Повторюємо алгебру за 7 клас – цілі вирази (31-44)

31. Знайдіть значення виразу, використовуючи властивості степенів:

1) 3⁹ : 81 : 27

Виражу 81 і 27 через степені 3:
81 = 3⁴, 27 = 3³
3⁹ : 81 : 27 = 3⁹ : 3⁴ : 3³ = 3⁹⁻⁴⁻³ = 3² = 9

2) (1000 · 10⁷) / (10 · 100⁴)

Виражу все через степені 10:
1000 = 10³, 100⁴ = (10²)⁴ = 10⁸
(1000 · 10⁷) / (10 · 100⁴) = (10³ · 10⁷) / (10¹ · 10⁸) = 10³⁺⁷⁻¹⁻⁸ = 10¹ = 10

3) $0, 2 5^{7} \cdot 4 7^{7}$

У цьому виразі основи степенів різні, але показники однакові. Тому ми можемо скористатися властивістю множення степенів з однаковими показниками: $a^{n} \cdot b^{n} = (a \cdot b)^{n}$ .

$0, 2 5^{7} \cdot 4^{7} = (0, 25 \cdot 4)^{7} = 1^{7} = 1$

4) 16⁴ / 8⁵

Виражу все через степені 2:
16 = 2⁴, 8 = 2³
16⁴ / 8⁵ = (2⁴)⁴ / (2³)⁵ = 2¹⁶ / 2¹⁵ = 2¹⁶⁻¹⁵ = 2¹ = 2

32. Перетворіть на многочлен стандартного вигляду:

1) (x² – 3x)(x + 1) – x²(x – 2)

Розкрию перші дужки за формулою множення двочленів:
(x² – 3x)(x + 1) = x³ + x² – 3x² – 3x = x³ – 2x² – 3x

Розкрию другі дужки:
x²(x – 2) = x³ – 2x²

(x² – 3x)(x + 1) – x²(x – 2) = x³ – 2x² – 3x – (x³ – 2x²) = x³ – 2x² – 3x – x³ + 2x² = -3x

Відповідь: -3x

2) (2a – 3)² – (4a – 1)(a + 3)

Розкрию перші дужки за формулою квадрата різниці:
(2a – 3)² = (2a)² – 2·2a·3 + 3² = 4a² – 12a + 9

Розкрию другі дужки за формулою множення двочленів:
(4a – 1)(a + 3) = 4a² + 12a – a – 3 = 4a² + 11a – 3

(2a – 3)² – (4a – 1)(a + 3) = 4a² – 12a + 9 – (4a² + 11a – 3) = 4a² – 12a + 9 – 4a² – 11a + 3 = -23a + 12

Відповідь: -23a + 12

33. Перетворіть на многочлен стандартного вигляду:

1) m²(m + 3) – (m² + 4m)(m – 1)

Розкрию перші дужки:
m²(m + 3) = m³ + 3m²

Розкрию другі дужки:
(m² + 4m)(m – 1) = m³ – m² + 4m² – 4m = m³ + 3m² – 4m

m²(m + 3) – (m² + 4m)(m – 1) = m³ + 3m² – (m³ + 3m² – 4m) = m³ + 3m² – m³ – 3m² + 4m = 4m

Відповідь: 4m

2) (9x – 1)(x + 3) – (3x – 2)²

Розкрию перші дужки за формулою множення двочленів:
(9x – 1)(x + 3) = 9x² + 27x – x – 3 = 9x² + 26x – 3

Розкрию другі дужки за формулою квадрата різниці:
(3x – 2)² = (3x)² – 2·3x·2 + 2² = 9x² – 12x + 4

(9x – 1)(x + 3) – (3x – 2)² = 9x² + 26x – 3 – (9x² – 12x + 4) = 9x² + 26x – 3 – 9x² + 12x – 4 = 38x – 7

Відповідь: 38x – 7

34. Спростіть вираз (9x – 1)(4x + 2) – (6x – 7)(6x + 7) та знайдіть його значення, якщо x = -3

Розкрию перші дужки за формулою множення двочленів:
(9x – 1)(4x + 2) = 36x² + 18x – 4x – 2 = 36x² + 14x – 2

Розкрию другі дужки за формулою різниці квадратів:
(6x – 7)(6x + 7) = (6x)² – 7² = 36x² – 49

(9x – 1)(4x + 2) – (6x – 7)(6x + 7) = 36x² + 14x – 2 – (36x² – 49) = 36x² + 14x – 2 – 36x² + 49 = 14x + 47

Підставлю x = -3:
14·(-3) + 47 = -42 + 47 = 5

Відтак, дізнаємося, скільки разів чоловіча збірна України із шахів ставала призером командного чемпіонату світу: 5 разів.

Відповідь: 14x + 47; при x = -3 значення виразу дорівнює 5.

35. Спростіть вираз (4a – 3)(4a + 3) – (8a – 7)(2a – 1)

Спростіть вираз і знайдіть значення при $a = 1 \frac{1}{11}$
$(4 a - 3) (4 a + 3) - (8 a - 7) (2 a - 1)$

$(4 a - 3) (4 a + 3) = 16 a^{2} - 9$
$(8 a - 7) (2 a - 1) = 16 a^{2} - 22 a + 7$
$(16 a^{2} - 9) - (16 a^{2} - 22 a + 7) = 22 a - 16$

Підставляю $a = \frac{12}{11}$ :

$22 \cdot \frac{12}{11} - 16 = 24 - 16 = 8$

36. Розкладіть многочлен на множники:

1) Розкладіть: $6 a^{3} - 2 a^{2} - 12 a$

$6 a^{3} - 2 a^{2} - 12 a = 2 a (3 a^{2} - a - 6)$

$3 a^{2} - a - 6 = 3 a^{2} + 5 a - 6 a - 6 = a (3 a + 5) - 2 (3 a + 5) = (3 a + 5) (a - 2)$

2) Розкладіть: $x^{5} - 3 x^{3} - 2 x^{2} + 6$

$x^{5} - 3 x^{3} - 2 x^{2} + 6 = x^{3} (x^{2} - 3) - 2 (x^{2} - 3)$

$x^{3} (x^{2} - 3) - 2 (x^{2} - 3) = (x^{2} - 3) (x^{3} - 2)$

3) Розкладіть: $- 4 x^{2} + 20 x - 25$

$- 4 x^{2} + 20 x - 25 = - (4 x^{2} - 20 x + 25)$

$4 x^{2} - 20 x + 25 = (2 x - 5)^{2}$

4) Розкладіть: $0, 36 p^{8} - c^{10} x^{12}$

$0, 36 p^{8} = (0, 6 p^{4})^{2}$ , а $c^{10} x^{12} = (c^{5} x^{6})^{2}$

$0, 36 p^{8} - c^{10} x^{12} = (0, 6 p^{4})^{2} - (c^{5} x^{6})^{2} = (0, 6 p^{4} - c^{5} x^{6}) (0, 6 p^{4} + c^{5} x^{6})$

5) Розкладіть: $64 m^{3} c^{9} + t^{30}$

$64 m^{3} c^{9} = (4 m c^{3})^{3}$ , $t^{30} = (t^{10})^{3}$

$64 m^{3} c^{9} + t^{30} = (4 m c^{3})^{3} + (t^{10})^{3} = (4 m c^{3} + t^{10}) (16 m^{2} c^{6} - 4 m c^{3} t^{10} + t^{20})$

6) Розкладіть: $c^{2} + 2 c d + d^{2} - 25$

$c^{2} + 2 c d + d^{2} = (c + d)^{2}$

$(c + d)^{2} - 25 = (c + d - 5) (c + d + 5)$

37. Розкладіть многочлен на множники:

1) Розкладіть: $8 p^{4} - 4 p^{5} + 12 p$

Спочатку знайдемо найбільший спільний дільник для всіх членів многочлена. Для коефіцієнтів 8, -4 та 12 це 4, а для змінних — $p$ . Винесемо спільний множник $4 p$ за дужки.

$8 p^{4} - 4 p^{5} + 12 p = 4 p (2 p^{3} - p^{4} + 3)$

2) Розкладіть: $a^{5} - 2 a^{2} - 3 a^{3} + 6$

Застосуємо метод групування. Згрупуємо перший член з третім, а другий з четвертим. Потім винесемо спільний множник з кожної групи, а далі — спільний для обох груп двочлен.

$a^{5} - 2 a^{2} - 3 a^{3} + 6 = (a^{5} - 3 a^{3}) + (- 2 a^{2} + 6) = a^{3} (a^{2} - 3) - 2 (a^{2} - 3) = (a^{2} - 3) (a^{3} - 2)$

3) Розкладіть: $- 9 m^{2} - 6 m - 1$

Спочатку винесемо знак мінус за дужки, щоб отримати вираз з додатним першим коефіцієнтом. Вираз у дужках є формулою повного квадрата суми $(a + b)^{2} = a^{2} + 2 ab + b^{2}$ .

$- 9 m^{2} - 6 m - 1 = - (9 m^{2} + 6 m + 1) = - ((3 m)^{2} + 2 \cdot 3 m \cdot 1 + 1^{2}) = - (3 m + 1)^{2}$

4) Розкладіть: $0, 49 m^{4} - t^{16} p^{2}$

Цей вираз є різницею квадратів, яку можна розкласти за формулою $a^{2} - b^{2} = (a - b) (a + b)$ .

Потрібно представити кожен член у вигляді квадрата.

$0, 49 m^{4} - t^{16} p^{2} = (0, 7 m^{2})^{2} - (t^{8} p)^{2} = (0, 7 m^{2} - t^{8} p) (0, 7 m^{2} + t^{8} p)$

5) Розкладіть: $125 a^{6} - b^{9}$

Цей вираз є різницею кубів, яку розкладаємо за формулою $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + ab + b^{2})$ . Представимо кожен член у вигляді куба.

$125 a^{6} - b^{9} = (5 a^{2})^{3} - (b^{3})^{3} = (5 a^{2} - b^{3}) ((5 a^{2})^{2} + 5 a^{2} b^{3} + (b^{3})^{2}) = (5 a^{2} - b^{3}) (25 a^{4} + 5 a^{2} b^{3} + b^{6})$

6) Розкладіть: $a^{2} - 2 a x + x^{2} - 36$

Згрупуємо перші три члени, які утворюють повний квадрат різниці $(a - x)^{2}$ .

Після цього застосуємо формулу різниці квадратів.

$a^{2} - 2 a x + x^{2} - 36 = (a^{2} - 2 a x + x^{2}) - 36 = (a - x)^{2} - 6^{2} = (a - x - 6) (a - x + 6)$

38. Розв’яжіть рівняння:

1) 4x² − x = 0

$x (4 x - 1) = 0 \Rightarrow x = 0$ або $x = \frac{1}{4}$

38.2) 25x² + 10x + 1 = 0

$(5 x + 1)^{2} = 0 \Rightarrow x = - \frac{1}{5}$

38.3) (x − 1)² − 4 = 0

$(x - 1)^{2} = 4 \Rightarrow x = 1 \pm 2 \Rightarrow x = 3$ або $x = - 1$

39. Розв’яжіть рівняння:

1) 2x² + x = 0

$x (2 x + 1) = 0 \Rightarrow x = 0$ або $x = - \frac{1}{2}$

39.2) 36x² − 12x + 1 = 0

$(6 x - 1)^{2} = 0 \Rightarrow x = \frac{1}{6}$

39.3) (x + 2)² − 9 = 0

$(x + 2)^{2} - 9 = 0$
$(x + 2)^{2} = 9$
$x + 2 = 3$ або $x + 2 = - 3$
$x_{1} = 3 - 2$ або $x_{2} = - 3 - 2$
$x_{1} = 1$ або $x_{2} = - 5$

40. Доведіть, що якщо n – натуральне число, то значення виразу (2n – 3)(5n – 1) – 2n(5n – 12) + n є непарним числом.

$(2 n - 3) (5 n - 1) - 2 n (5 n - 12) + n = 0 n^{2} - 2 n - 15 n + 3 - 10 n^{2} + 24 n + n = 8 n + 3$

Вираз $8 n$ завжди парний для будь-якого натурального $n$ , бо є добутком на парне число. Сума парного числа $8 n$ і непарного числа 3 завжди є непарним числом.

41. Доведіть, що якщо m – натуральне число, то значення виразу (3m + 2)(4m – 1) – 2m(6m – 7) + m є парним числом.

$(3 m + 2) (4 m - 1) - 2 m (6 m - 7) + m = 12 m^{2} - 3 m + 8 m - 2 - 12 m^{2} + 14 m + m = 20 m - 2 = 2 (10 m - 1)$

Оскільки один із множників дорівнює 2, то вираз завжди є парним числом.

42. Виконайте множення (m² – 2m + 3)(m² + m – 5)

$(m^{2} - 2 m + 3) (m^{2} + m - 5) = m^{4} + m^{3} - 5 m^{2} - 2 m^{3} - 2 m^{2} + 10 m + 3 m^{2} + 3 m - 15 = m^{4} - m^{3} - 4 m^{2} + 13 m - 15$

43. Відомо, що $2 x y^{2} = 5$ . Знайдіть значення виразу:

$x y^{2} = \frac{5}{2} = 2.5$
$3 x y^{2} = 3 \cdot \frac{5}{2} = \frac{15}{2} = 7.5$
$- 4 x^{2} y^{4} = - 4 (x y^{2})^{2} = - 4 \cdot (\frac{5}{2})^{2} = - 4 \cdot \frac{25}{4} = - 25$
$8 x^{3} y^{6} = 8 (x y^{2})^{3} = 8 \cdot (\frac{5}{2})^{3} = 8 \cdot \frac{125}{8} = 125$

44. Відомо, що $5 a b^{2} = 7$ . Знайдіть значення виразу:

$a b^{2} = \frac{7}{5} = 1.4$
$4 a b^{2} = 4 \cdot \frac{7}{5} = \frac{28}{5} = 5.6$
$- 25 a^{2} b^{4} = - 25 (a b^{2})^{2} = - 25 \cdot (\frac{7}{5})^{2} = - 25 \cdot \frac{49}{25} = - 49$
$125 a^{3} b^{6} = 125 (a b^{2})^{3} = 125 \cdot (\frac{7}{5})^{3} = 125 \cdot \frac{343}{125} = 343$

Назад до 18-30

Далі до 45-60

Повторюємо алгебру за 7 клас – цілі вирази (31-44)

Теги статті:

До уроку