1. (Усно.) Яке з рівнянь є лінійним рівнянням з однією змінною:
Лінійне рівняння з однією змінною має вигляд $ax + b = 0$, де $a \neq 0$.
Перевіримо кожне рівняння:
- $12x = 0$ — лінійне, бо має вигляд $12x – 0 = 0$
- $4x + 2y = 9$ — не лінійне з однією змінною, бо має дві змінні $x$ і $y$
- $7x = x^2$ — не лінійне, бо містить $x$ у степені 2
- $0x = 12$ — не є лінійним рівнянням з однією змінною, бо коефіцієнт при $x$ дорівнює нулю
- $\dfrac{1}{x} – 7 = 0$ — не лінійне, бо містить $x$ у знаменнику
- $0x = 0$ — не є лінійним рівнянням з однією змінною, бо коефіцієнт при $x$ дорівнює нулю
Відповідь: Лінійним рівнянням з однією змінною є рівняння 1) $12x = 0$.
2. Яке із чисел є коренем рівняння $x^2 – x = 2x + 4$:
$x^2 – x = 2x + 4$
$x^2 – x – 2x – 4 = 0$
$x^2 – 3x – 4 = 0$
$(x – 4)(x + 1) = 0$
$x – 4 = 0 \quad або \quad x + 1 = 0$
$x_1 = 4$
$x_2 = -1$
Відповідь: Коренями рівняння є числа 2) $-1$ та 5) $4$.
3. Яке із чисел є коренем рівняння $x^2 – 3x = x + 5$:
$x^2 – 3x = x + 5$
$x^2 – 3x – x – 5 = 0$
$x^2 – 4x – 5 = 0$
$(x – 5)(x + 1) = 0$
$x – 5 = 0 \quad або \quad x + 1 = 0$
$x_1 = 5$
$x_2 = -1$
Відповідь: Коренями рівняння є числа 3) $-1$ та 5) $5$.
4. Розв’яжіть рівняння:
1. $4x = -8$
Поділимо обидві частини рівняння на 4:
$x = -2$
2. $9x – 13 = 3x + 5$
Перенесемо всі члени з невідомою в ліву частину, а числа в праву:
$9x – 3x = 13 + 5$
$6x = 18$
Поділимо обидві частини на 6:
$x = 3$
3. $7 – (3x + 2) = 5$
Розкриємо дужки:
$7 – 3x – 2 = 5$
$5 – 3x = 5$
$-3x = 0$
$x = 0$
4. $-\dfrac{1}{8}x = -1\dfrac{1}{8}$
Спочатку перетворимо мішаний дріб $-1\dfrac{1}{8}$ у неправильний дріб:
$-1\dfrac{1}{8} = -\dfrac{8}{8} – \dfrac{1}{8} = -\dfrac{9}{8}$
Тепер наше рівняння має вигляд:
$-\dfrac{1}{8}x = -\dfrac{9}{8}$
Щоб знайти x, поділимо обидві частини рівняння на $-\dfrac{1}{8}$:
$x = -\dfrac{9}{8} \div \left(-\dfrac{1}{8}\right)$
При діленні на дріб множимо на обернений дріб:
$x = -\dfrac{9}{8} \cdot \left(-\dfrac{8}{1}\right) = -\dfrac{9}{8} \cdot \left(-8\right) = \dfrac{9 \cdot 8}{8} = 9$
5. $8 – 2x = -(4x + 3)$
Розкриємо дужки в правій частині:
$8 – 2x = -4x – 3$
Перенесемо всі члени з невідомою в ліву частину:
$8 – 2x + 4x = -3$
$8 + 2x = -3$
$2x = -11$
$x = -\dfrac{11}{2}$
6. $3(x – 3) = 4x + 21$
Розкриємо дужки:
$3x – 9 = 4x + 21$
Перенесемо всі члени з невідомою в ліву частину:
$3x – 4x = 21 + 9$
$-x = 30$
$x = -30$
5. Розв’яжіть рівняння:
1. $-5x = -20$
Поділимо обидві частини на -5:
$x = 4$
2. $7x – 11 = 2x + 1$
Перенесемо всі члени з невідомою в ліву частину:
$7x – 2x = 11 + 1$
$5x = 12$
$x = \dfrac{12}{5}$
3. $9 – (5x + 1) = 10$
Розкриємо дужки:
$9 – 5x – 1 = 10$
$8 – 5x = 10$
$-5x = 2$
$x = -\dfrac{2}{5}$
4. $2x = -1\dfrac{1}{5}$
Запишемо дріб як неправильний:
$2x = -\dfrac{6}{5}$
Поділимо обидві частини на 2:
$x = -\dfrac{3}{5}$
5. $7 – 3x = -(2x – 7)$
Розкриємо дужки:
$7 – 3x = -2x + 7$
Перенесемо всі члени з невідомою в ліву частину:
$7 – 3x + 2x = 7$
$7 – x = 7$
$-x = 0$
$x = 0$
6. $9(x – 1) = 8x + 13$
Розкриємо дужки:
$9x – 9 = 8x + 13$
Перенесемо всі члени з невідомою в ліву частину:
$9x – 8x = 13 + 9$
$x = 22$
6. Складіть лінійне рівняння, яке рівносильне рівнянню 9x + 36 = 0.
$9x + 36 = 0$
$9x = -36$
$x = \dfrac{-36}{9}$
$x = -4$
$18x + 72 = 0$
$18x = -72$
$x = \dfrac{-72}{18}$
$x = -4$
7. У вазі тістечок утричі більше, ніж на тарілці. Скільки тістечок у вазі, якщо їх там на 12 більше, ніж на тарілці?
Нехай на тарілці $x$ тістечок. Тоді у вазі $3x$, і також у вазі на 12 тістечок більше:
$3x = x + 12$
Віднімаємо $x$ з обох частин:
$2x = 12$
Ділимо на 2:
$x = 6$
Тістечок у вазі: $3 \cdot 6 = 18$
8. За два тижні магазин електроніки продав 48 ноутбуків, причому першого тижня було продано на 6 ноутбуків більше, ніж другого. Скільки ноутбуків продали другого тижня?
Нехай другого тижня продали $x$ ноутбуків, тоді першого — $x+6$.
Разом:
$x + (x + 6) = 48$
$2x + 6 = 48$
$2x = 42$
$x = 21$
9. За 2 год велосипедистка долає ту саму відстань, що й пішохід за 5 год. Швидкість пішохода на 9 км/год менша від швидкості велосипедистки. Знайдіть швидкість кожного.
Нехай швидкість пішохода — $x$ км/год, велосипедистки — $x+9$ км/год.
Дистанції рівні:
$5x = 2(x + 9)$
Розкриваємо дужки:
$5x = 2x + 18$
$5x – 2x = 18$
$3x = 18$
$x = 6$
Велосипедистка: $6+9=15$ км/год.
Відповідь: Швидкість пішохода — $6$ км/год, велосипедистки — $15$ км/год.