10. Ящик з яблуками на 8 кг важчий за ящик зі сливами. Яка маса кожного ящика, якщо маса двох ящиків з яблуками така сама, як і маса трьох ящиків зі сливами?
Нехай маса ящика зі сливами — $x$ кг, тоді ящика з яблуками — $x+8$.
Маємо:
$2(x+8) = 3x$
Розкриваємо дужки:
$2x + 16 = 3x$
$16 = 3x – 2x$:
$16 = x$
Ящик з яблуками: $16+8=24$кг.
Відповідь: Маса ящика зі сливами — $16$ кг, з яблуками — 24$ кг.
11. Розв’яжіть рівняння (2x−5)/3 = (5x+1)/9 і 7(y + 3) − 9(y − 1) = 24.
$9 \cdot (2x – 5) = 3 \cdot (5x + 1)$
Розкриємо дужки:
$18x – 45 = 15x + 3$
Перенесемо доданки з $x$ в одну сторону, а числа — в іншу:
$18x – 15x = 3 + 45$
$3x = 48$
$x = 16$
Тепер другу частину:
$7(y + 3) – 9(y – 1) = 24$
Розкриємо дужки:
$7y + 21 – 9y + 9 = 24$
$-2y + 30 = 24$
$-2y = -6$
$y = 3$
Значення виразу $100x + 5y = 100 \cdot 16 + 5 \cdot 3 = 1600 + 15 = 1615$
Рік заснування Національного університету «Києво-Могилянська академія» — 1615.
12. Розв’яжіть рівняння (2x−1)/3 = (3+4x)/7 і 7(y − 2) − 3(y + 5) = 11.
Розв’яжемо першу частину:
$\dfrac{2x-1}{3} = \dfrac{3+4x}{7}$
Перемножимо хрест-навхрест:
$ (2x-1) \cdot 7 = 3 \cdot (3+4x)$
$14x – 7 = 9 + 12x$
$14x – 12x = 9 + 7$
$2x = 16$
$x = 8$
Тепер другу частину:
$7(y – 2) – 3(y + 5) = 11$
Розкриємо дужки:
$7y – 14 – 3y – 15 = 11$
$4y – 29 = 11$
$4y = 11 + 29 $
$4y = 40 $
$y = 10$
Відповідь: $x = 8$, $y = 10$
Значення виразу $200x + 11y = 200 \cdot 8 + 11 \cdot 10 = 1600 + 110 = 1710$
Рік ухвалення першої Конституції Пилипа Орлика — 1710.
13. Розв’яжіть рівняння:
1) $|x| – 2 = 9$
$|x| – 2 = 9$
$|x| = 11$
Оскільки модуль може давати два значення, маємо:
$x = 11$ або $x = -11$
Відповідь: $x = -11$ або $x = 11$
2) $5 – |x| = 7$
$5 – |x| = 7$
$-|x| = 2$
$|x| = -2$
Оскільки модуль не може бути від’ємним, рівняння розв’язків не має.
Відповідь: Рівняння не має розв’язків.
3) $|x – 2| = 3$
Модуль дорівнює $3$, тому:
$x – 2 = 3$ або $x – 2 = -3$
$x = 5$ або $x = -1$
Відповідь: $x = -1$ або $x = 5$
4) $|2x – 1| = 0$
$|2x – 1| = 0$
$2x – 1 = 0$
$2x = 1$
$x = \dfrac{1}{2}$
Відповідь: $x = \dfrac{1}{2}$
5) $|5x + 2| = 3$
$|5x + 2| = 3$
$5x + 2 = 3$ або $5x + 2 = -3$
$5x = 1$ або $5x = -5$
$x = \dfrac{1}{5}$ або $x = -1$
Відповідь: $x = -1$ або $x = \dfrac{1}{5}$
6) $\dfrac{1}{3}|x – 2| + 3 = 7$
$\dfrac{1}{3}|x-2| = 7-3$
$\dfrac{1}{3}|x-2| = 4$
$|x-2| = 4 \cdot 3$
$|x-2| = 12$
Тепер розглянемо два випадки:
1) $x-2 = 12$
$x = 12 + 2$
$x_1 = 14$
2) $x-2 = -12$
$x = -12 + 2$
$x_2 = -10$
Відповідь: $x = -10$ або $x = 14$
14. Одна сторона трикутника утричі менша від другої і на $12$ см менша від третьої. Знайдіть сторони трикутника, периметр якого дорівнює $52$ см.
Нехай $x$ — перша сторона трикутника.
Тоді: Друга сторона: $3x$ (втричі більша за першу)
Третя сторона: $x + 12$ (на $12$ см більша за першу)
За умовою периметр дорівнює $52$ см:
$x + 3x + (x + 12) = 52$
$5x + 12 = 52$
$5x = 40$
$x = 8$
Обчислюємо сторони: Перша сторона: $8$ см
Друга сторона: $3 \cdot 8 = 24$ см
Третя сторона: $8 + 12 = 20$ см
Відповідь: Сторони трикутника: $8$ см, $24$ см і $20$ см.
15. В одному мішку на $6$ кг борошна більше, ніж у другому, і вдвічі менше, ніж у третьому. Скільки кілограмів борошна в кожному мішку, якщо у трьох мішках разом $66$ кг борошна?
Нехай у другому мішку $x$ кг борошна.
Тоді: У першому мішку: $x + 6$ кг (на $6$ кг більше)
У третьому мішку: $2(x + 6)$ кг (вдвічі більше, ніж у першому)
За умовою, у трьох мішках разом $66$ кг:
$x + (x + 6) + 2(x + 6) = 66$
$x + x + 6 + 2x + 12 = 66$
$4x + 18 = 66$
$4x = 48$
$x = 12$
Обчислюємо кількість борошна в кожному мішку:
Другий мішок: $12$ кг
Перший мішок: $12 + 6 = 18$ кг
Третій мішок: $2 \cdot (12+6) = 36$ кг
Перевірка: $12 + 18 + 36 = 66$
Відповідь: У першому мішку $18$ кг, у другому $12$ кг, у третьому $36$ кг борошна.
16. За якого значення $a$ рівняння $x + a = 9$ і $4x – a = 3x$ мають однакові корені?
Розв’яжемо перше рівняння:
$x + a = 9$
$x = 9 – a$
Розв’яжемо друге рівняння:
$4x – a = 3x$
$4x – 3x = a$
$x = a$
Оскільки корені мають бути однаковими:
$9 – a = a$
$9 = 2a$
$a = 4,5$
Відповідь: $a = 4,5$
17. За якого значення $b$ рівняння $x – b = 7$ і $5x + b = 4x$ мають однакові корені?
Розв’яжемо перше рівняння:
$x – b = 7$
$x = 7 + b$
Розв’яжемо друге рівняння:
$5x + b = 4x$
$5x – 4x = -b$
$x = -b$
Тепер прирівняємо два вирази для x, оскільки корінь однаковий:
$7 + b = -b$
Розв’яжемо отримане рівняння відносно b:
$b + b = -7$
$2b = -7$
$b = -3.5$
Відповідь: $b = -3,5$