18. Подайте у вигляді степеня:
1) c³c⁵
Використаю властивість множення степенів з однаковою основою:
$c^a \cdot c^b = c^{a+b}$
$c³c⁵ = c³⁺⁵ = c⁸$
2) m⁹mm¹⁵
$m^9 \cdot m^{1} \cdot m^{15} = m^{9+1 +15}$
3) p¹²:p³
Використаю властивість ділення степенів з однаковою основою:
$p^a : p^b = p^{a-b}$.
$p¹²:p³ = p¹²⁻³ = p⁹$
4) (x⁹)⁷
Використаю властивість степеня степеня:
$(x^a)^b = x^{a·b}$
$(x⁹)⁷ = x^{9\cdot 7} = x⁶³$
19. Подайте у вигляді степеня:
1) p⁷p²
Використаю властивість множення степенів з однаковою основою:
$p^a · p^b = p^{a+b}$
p⁷p² = p⁷⁺² = p⁹
2) tt²t³
$t\cdot t^2\cdot t^3 = t^{1+2+3} = t^6$
3) c¹⁵:c⁵
Використаю властивість ділення степенів з однаковою основою:
$c^a : c^b = c^{a-b}$
c¹⁵:c⁵ = c¹⁵⁻⁵ = c¹⁰
4) (a³)⁸
Використаю властивість степеня:
$(a^b)^c = a^{b·c}$
$(a³)⁸ = a^{3\cdot 8} = a²⁴$
20. Виконайте множення:
1) p(x – 2)
p(x – 2) = px – 2p
2) -c(m – 4)
Використаю розподільну властивість множення відносно додавання:
-c(m – 4) = -c·m – (-c)·4 = -cm + 4c.
3) x(c – 3 – d)
Використаю розподільну властивість множення відносно додавання:
x(c – 3 – d) = x·c – x·3 – x·d = xc – 3x – xd
21. Виконайте множення:
1) t(3 – c)
Використаю розподільну властивість множення відносно додавання:
t(3 – c) = t·3 – t·c = 3t – tc
2) -x(p – 2)
Використаю розподільну властивість множення відносно додавання:
-x(p – 2) = -x·p – (-x)·2 = -xp + 2x
3) a(t – b – 9)
Використаю розподільну властивість множення відносно додавання:
a(t – b – 9) = a·t – a·b – a·9 = at – ab – 9a
22. Знайдіть значення виразу:
1) (-3)⁴
Використаю правило піднесення від’ємного числа до степеня:
(-3)⁴ = (-3)² · (-3)² = 9 · 9 = 81
2) (-6)³
Використаю правило піднесення від’ємного числа до непарного степеня:
(-6)³ = (-6) · (-6) · (-6) = -6 · 36 = -216
3) 0,1 · 10³
Множення десяткового дробу на степінь 10 означає переміщення коми вправо на кількість знаків, що дорівнює показнику степеня:
0,1 · 10³ = 0,1 · 1000 = 100
4) (2,6 – 2,7)²
Спочатку обчислю значення в дужках:
2,6 – 2,7 = -0,1
Тепер піднесу до квадрату:
(-0,1)² = 0,01
23. Знайдіть значення виразу:
1) (-2)⁴
Використаю правило піднесення від’ємного числа до парного степеня:
(-2)⁴ = (-2)² · (-2)² = 4 · 4 = 16
2) (-5)³
Використаю правило піднесення від’ємного числа до непарного степеня:
(-5)³ = (-5) · (-5) · (-5) = -5 · 25 = -125
3) 0,2 · 5³
Спочатку обчислю 5³:
5³ = 5 · 5 · 5 = 125
Тепер помножу на 0,2:
0,2 · 125 = 25
4) (1,5 – 1,8)²
Спочатку обчислю значення в дужках:
1,5 – 1,8 = -0,3
Тепер піднесу до квадрату:
(-0,3)² = 0,09
24. Перетворіть вираз на многочлен:
1) 4a²(3 – a)
Використаю розподільну властивість множення:
4a²(3 – a) = 4a² · 3 – 4a² · a = 12a² – 4a³
2) 7(x – 2) – 2(x – 7)
Розкрию дужки за допомогою розподільної властивості:
7(x – 2) – 2(x – 7) = 7x – 14 – 2x + 14 = 5x
3) (x – 5)(x + 3)
Використаю формулу множення двочленів:
(a + b)(c + d) = ac + ad + bc + bd:
(x – 5)(x + 3) = x² + 3x – 5x – 15 = x² – 2x – 15
4) -5c²(8 – c³ + c)
Використаю розподільну властивість множення:
-5c²(8 – c³ + c) = -5c² · 8 – (-5c²) · c³ + (-5c²) · c = -40c² + 5c⁵ – 5c³
5) 4(2x – 3) – (8x – 9)
Розкрию дужки:
4(2x – 3) – (8x – 9) = 8x – 12 – 8x + 9 = -12 + 9 = -3
6) (2b – a)(a + b)
Використаю формулу множення двочленів:
(a + b)(c + d) = ac + ad + bc + bd:
(2b – a)(a + b) = 2b·a + 2b·b – a·a – a·b = 2ab + 2b² – a² – ab = 2b² + ab – a²
25. Перетворіть на многочлен вираз:
1) 7b²(b – 3)
Використаю розподільну властивість множення:
7b²(b – 3) = 7b² · b – 7b² · 3 = 7b³ – 21b²
2) 4(b – 3) – 2(2b + 1)
Розкрию дужки:
4(b – 3) – 2(2b + 1) = 4b – 12 – 4b – 2 = -12 – 2 = -14
3) (m + 2)(m – 4)
Використаю формулу множення двочленів: (a + b)(c + d) = ac + ad + bc + bd:
(m + 2)(m – 4) = m · m – 4m + 2m – 8 = m² – 2m – 8
4) -2x²(4 – x² + x)
$-2x^3(4-x^2+x)=-8x^3+2x^5-2x^4=2x^5-2x^4-8x^3$
5) 3(2c – 6) – (5c – 18)
$6c-18-5c+18=c$
6) (3x + y)(x – y)
Використаю формулу множення двочленів:
(a + b)(c + d) = ac + ad + bc + bd:
(3x + y)(x – y) = 3x · x – 3x · y + y · x – y · y = 3x² – 3xy + xy – y² = 3x² – 2xy – y²
26. Подайте у вигляді многочлена:
1) (b – 6)²
Використаю формулу квадрата різниці: (a – b)² = a² – 2ab + b²
(b – 6)² = b² – 2·b·6 + 6² = b² – 12b + 36
2) (7x + 2)²
Використаю формулу квадрата суми: (a + b)² = a² + 2ab + b²
(7x + 2)² = (7x)² + 2·7x·2 + 2² = 49x² + 28x + 4
3) (4a – 1)² – 16a²
Спочатку розкрию дужки за формулою квадрата різниці:
(4a – 1)² = (4a)² – 2·4a·1 + 1² = 16a² – 8a + 1
Тепер віднімаю 16a²:
(4a – 1)² – 16a² = 16a² – 8a + 1 – 16a² = -8a + 1
4) (p – 3)(p + 3)
Використаю формулу різниці квадратів: (a – b)(a + b) = a² – b²
(p – 3)(p + 3) = p² – 3² = p² – 9
5) (7 + x)(x – 7)
Використаю формулу множення двочленів: (a + b)(c + d) = ac + ad + bc + bd
(7 + x)(x – 7) = 7·x – 7·7 + x·x – x·7 = 7x – 49 + x² – 7x = x² – 49
6) (2y – 3)(2y + 3) + 9
Спочатку розкрию дужки за формулою різниці квадратів:
(2y – 3)(2y + 3) = (2y)² – 3² = 4y² – 9
Тепер додаю 9:
(2y – 3)(2y + 3) + 9 = 4y² – 9 + 9 = 4y²
27. Подайте у вигляді многочлена:
1) (c + 5)²
Використаю формулу квадрата суми: (a + b)² = a² + 2ab + b²
(c + 5)² = c² + 2·c·5 + 5² = c² + 10c + 25
2) (8b – 3)²
Використаю формулу квадрата різниці: (a – b)² = a² – 2ab + b²
(8b – 3)² = (8b)² – 2·8b·3 + 3² = 64b² – 48b + 9
3) (4x + 3)² – 9
(4x + 3)² – 9 = (4x)² + 2·4x·3 + 3² – 9 = 16x² + 24x + 9 – 9 = 16x² + 24x
4) (c + 2)(c – 2)
Використаю формулу різниці квадратів: (a + b)(a – b) = a² – b²
(c + 2)(c – 2) = c² – 2² = c² – 4
5) (m – 3)(9 + m)
Використаю формулу множення двочленів: (a + b)(c + d) = ac + ad + bc + bd
(m – 3)(9 + m) = m·9 + m·m – 3·9 – 3·m = 9m + m² – 27 – 3m = m² + 6m – 27
6) (5p – 2)(5p + 2) – 25p²
(5p – 2)(5p + 2) = (5p)² – 2² – 25p² = 25p² – 4 – 25p² = -4
28. Розкладіть на множники:
1) 4a + 12b
Винесу спільний множник 4 за дужки:
4a + 12b = 4(a + 3b)
2) 15ac – 20a
Винесу спільний множник 5a за дужки:
15ac – 20a = 5a(3c – 4)
3) a(c – x) + 9c – 9x
Згрупую доданки:
a(c – x) + 9c – 9x = ac – ax + 9c – 9x = ac + 9c – ax – 9x = c(a + 9) – x(a + 9) = (a + 9)(c – x)
4) -7c² – 21c³
Винесу спільний множник -7c² за дужки:
-7c² – 21c³ = -7c²(1 + 3c)
5) a³ + a⁷ – a⁵
Винесу спільний множник a³:
a³ + a⁷ – a⁵ = a³(1 + a⁴ – a²) = a³(1 – a² + a⁴)
6) 5a + 5b – ay – yb
Згрупую доданки:
5a + 5b – ay – yb = 5a – ay + 5b – yb = a(5 – y) + b(5 – y) = (5 – y)(a + b)
29. Розкладіть на множники:
1) 9x – 18y
Винесу спільний множник 9 за дужки:
9x – 18y = 9(x – 2y)
2) 4xm + 6m
Винесу спільний множник 2m за дужки:
4xm + 6m = 2m(2x + 3)
3) m(x – p) + 3x – 3p
Згрупую доданки:
m(x – p) + 3x – 3p = mx – mp + 3x – 3p = mx + 3x – mp – 3p = x(m + 3) – p(m + 3) = (m + 3)(x – p)
4) -2x³ – 8x⁵
Винесу спільний множник -2x³ за дужки:
-2x³ – 8x⁵ = -2x³(1 + 4x²)
5) b² – b⁵ + b³
Винесу спільний множник b²:
b² – b⁵ + b³ = b²(1 – b³ + b) = b²(1 + b – b³)
6) 7c + 7n – cx – xn
Згрупую доданки:
7c + 7n – cx – xn = 7c – cx + 7n – xn = c(7 – x) + n(7 – x) = (7 – x)(c + n)
30. Знайдіть значення виразу, використовуючи властивості степенів:
1) 256 : 2⁷ · 8
Спочатку виражу 256 і 8 через степінь 2:
256 = 2⁸, 8 = 2³
256 : 2⁷ · 8 = 2⁸ : 2⁷ · 2³ = 2⁸⁻⁷⁺³ = 2⁴ = 16
2) (125 · 5⁷) / (5⁴ · 625)
Виражу все через степені 5:
125 = 5³, 625 = 5⁴
(125 · 5⁷) / (5⁴ · 625) = (5³ · 5⁷) / (5⁴ · 5⁴) = 5³⁺⁷⁻⁴⁻⁴ = 5³⁺⁷⁻⁸ = 5² = 25
3) 0,5⁹ · 2⁵
Використаю зв’язок між 0,5 і 2: 0,5 = 1/2 = 2⁻¹
0,5⁹ · 2⁵ = (2⁻¹)⁹ · 2⁵ = 2⁻⁹ · 2⁵ = 2⁻⁹⁺⁵ = 2⁻⁴ = 1/16
4) 27⁸ / 81⁵
Виражу все через степені 3:
27 = 3³, 81 = 3⁴
27⁸ / 81⁵ = (3³)⁸ / (3⁴)⁵ = 3²⁴ / 3²⁰ = 3²⁴⁻²⁰ = 3⁴ = 81