45. Які записи задають функцію? Вкажіть аргумент і залежну змінну.
- m=2p−9 — так; аргумент p, залежна m.
- 4x−9=9−4x — ні (рівняння, не виражає y через x).
- y=2x/(x−3) — так; аргумент x, залежна y (x≠3).
- 36:9−4=0 — ні (числова рівність).
- c=n²−n³ — так; аргумент n, залежна c.
- 2x−9>3 — ні (нерівність).
46. Чи є лінійною функція?
- y=2x² — ні.
- y=2x — так.
- y=2 — так (k=0).
- y=1/(2x−3) — ні.
- y=2x−3 — так.
- y=2x²−3 — ні.
47. Функція y=3−2x. Знайдіть:
y при x=−4; 1,5:
y=3−2(−4)=11
y=3−2(1,5)=0
x при y=−7; 5:
−7=3−2x
−10=−2x
x=5
5=3−2x
2=−2x
x=−1
48. Функція y=4x−5. Знайдіть:
y при x=−1,5; 6:
y=4(−1,5)−5=−6−5=−11
y=24−5=19
x при y=−9; 1:
−9=4x−5
−4=4x
x=−1
1=4x−5
6=4x
x=1,5
49. Знайдіть область визначення функції:
- $y = 3x – 6$: $D(y) = (-\infty; +\infty)$ (всі числа).
- $y = \dfrac{3x-6}{5}$: $D(y) = (-\infty; +\infty)$ (всі числа).
- $y = \dfrac{5}{3x-6}$: знаменник не може бути нулем, тому $3x-6 \neq 0$, отже $x \neq 2$. $D(y) = (-\infty; 2) \cup (2; +\infty)$ (всі числа, крім 2).
- $y = \dfrac{7}{x+6}$: знаменник не може бути нулем, тому $x+6 \neq 0$, отже $x \neq -6$. $D(y) = (-\infty; -6) \cup (-6; +\infty)$ (всі числа, крім -6).
50. Знайдіть область визначення функції:
- $y = 2x + 4$: область визначення – всі числа $D(y) = (-\infty; +\infty)$.
- $y = \dfrac{2x+4}{7}$: область визначення – всі числа $D(y) = (-\infty; +\infty)$.
- $y = \dfrac{7}{2x+4}$: знаменник $2x+4 \neq 0$, тому $2x \neq -4$, $x \neq -2$. $D(y) = (-\infty; -2) \cup (-2; +\infty)$ (всі числа, крім -2).
- $y = \dfrac{9}{x-4}$: знаменник $x-4 \neq 0$, тому $x \neq 4$. $D(y) = (-\infty; 4) \cup (4; +\infty)$ (всі числа, крім 4).
51. Не виконуючи побудови графіка, знайдіть нулі функції:
1) y = 7x
7x = 0.
x = 0.
2) y = 2x – 9
2x – 9 = 0
2x = 9
x = 4.5
3) $y = \dfrac{-x}{7}$
$\dfrac{-x}{7} = 0$.
$x = 0$.
4) $y = \dfrac{x+9}{11}$
$\dfrac{x+9}{11} = 0$.
$x + 9 = 0$.
$x = -9$.
52. Не будуючи графіка, знайдіть нулі функції:
1) $y = -4x$
Прирівнюємо $y$ до нуля: $-4x = 0$. Ділимо обидві частини на -4, отримуємо $x = 0$.
2) $y = 7 + 14x$
Прирівнюємо функцію до нуля: $7 + 14x = 0$. Переносимо 7 у праву частину: $14x = -7$. Ділимо обидві частини на 14 і отримуємо $x = \dfrac{-7}{14}$, що дорівнює $-0.5$.
3) $y = \dfrac{x}{5}$
Розв’язуємо рівняння $\dfrac{x}{5} = 0$. Множимо обидві частини на 5 і отримуємо $x = 0$.
4) $y = \dfrac{x-4}{5}$
Складаємо рівняння: $\dfrac{x-4}{5} = 0$.
Множимо обидві частини на 5, виходить $x – 4 = 0$.
Переносимо -4 в праву частину і отримуємо $x = 4$.
53. Побудуйте графік лінійної функції (ключові точки):
- $y=x+3$: $(0;3)$, $(-3;0)$.
- $y=7-0{,}5x$: $(0;7)$, $(14;0)$.
- $y=-4x$: $(0;0)$, $(1;-4)$.
- $y=2$: горизонтальна пряма $y=2$.
54. Побудуйте графік лінійної функції (ключові точки):
- $y=2-x$: $(0;2)$, $(2;0)$.
- $y=\dfrac{1}{3}x+1$: $(0;1)$, $(3;2)$.
- $y=2x$: $(0;0)$, $(1;2)$.
- $y=-3$: горизонтальна пряма $y=-3$.
55. За графіком знайдіть:
1. Знайдіть значення y, якщо x = -3,5; -1; 0,5.
Якщо x = -3,5, то y = -2.
Якщо x = -1, то y = 2,5.
Якщо x = 0,5, то y = 2.
2. Знайдіть значення x, якщо y = -0,5; 2; 2,5.
Якщо y = -0,5, то x = -3 або x = 2.
Якщо y = 2, то x = -1,5 або x = 0,5.
Якщо y = 2,5, то x = -1.
3. Знайдіть нулі функції.
Нулі функції (де y=0) знаходяться в точках x = -2 та x = 1,5.
4. Знайдіть значення аргументу, для яких функція набуває додатних значень.
Функція є додатною (y > 0) на проміжку x ∈ (-2; 1,5).
5. Знайдіть значення аргументу, для яких функція набуває від’ємних значень.
Функція є від’ємною (y < 0) на проміжках: $x \in [-4; -2) \cup (1,5; 4]$
56. За графіком знайдіть:
1) Знайдіть значення y, якщо x = -1; -0,5; 2,5
За графіком, якщо $x = -1$, то $y = 0$. Якщо $x = -0,5$, то $y = -1$. Для $x = 2,5$ значення $y = -2,5$.
2) Знайдіть значення x, якщо y = -3; -2; 1
Якщо $y = -3$, то $x = 2$. Якщо $y = -2$, то $x$ дорівнює $0$ та $3$. При $y = 1$ значення $x$ дорівнюють $-2$ та $4$.
3) Знайдіть нулі функції
Нулі функції (де $y=0$) знаходяться в точках $x = -1$ та $x =3,5$.
4) Знайдіть значення аргументу, для яких функція набуває додатних значень
$y > 0$ $при$ $x \in [-3; -1) \cup (3,5; 5]$
5) Знайдіть значення аргументу, для яких функція набуває від’ємних значень
$y < 0$ $при$ $x \in (-1; 3,5)$
57. Не виконуючи побудови, знайдіть координати точок перетину з осями координат графіка функції:
1. Для функції $y = 0,5x-4$:
Перетин з віссю OY (коли x=0): $y = 0,5 \cdot 0-4 = -4$. Координати точки: $(0; -4)$.
Перетин з віссю OX (коли y=0):
0 = 0,5x – 4
0,5x = 4
x=8.
Координати точки: (8; 0).
2. Для функції $y = 16 – x^2$:
Перетин з віссю OY (коли x=0):
$y = 16-0^2 = 16$.
Координати точки: (0; 16).
Перетин з віссю OX (коли y=0):
$0 = 16-x^2$
$x^2 = 16$
x=4 або x=-4.
Координати точок: (-4; 0) та (4; 0).
58. Не виконуючи побудови, знайдіть координати точок перетину з осями координат графіка функції:
1) Для функції $y = 3-2x$:
Перетин з віссю OY ($x=0$): $y = 3-2 \cdot 0 = 3$.
Координати точки: (0; 3).
Перетин з віссю OX (y=0):
0 = 3 – 2x
2x = 3
x=1,5.
Координати точки: $(1,5; 0)$.
2) Для функції $y = x^2 + 2x$:
Перетин з віссю OY ($x=0$): $y = 0^2 + 2 \cdot 0 = 0$.
Координати точки: $(0; 0)$.
Перетин з віссю OX ($y=0$):
$0 = x^2 + 2x$
x(x+2)=0
x=0 або x=-2.
Координати точок: $(0; 0)$ та $(-2; 0)$.
59. Побудуйте графік функції
1) Побудова графіка $y = -3x$ на проміжку $x \le -1$.
Це лінійна функція, її графік — пряма. Для побудови прямої достатньо двох точок. Візьмемо точки з проміжку $(-\infty; -1]$, наприклад, $x = -1$ та $x = -2$.
- Якщо $x = -1$, то $y = -3 \cdot (-1) = 3$. Отримуємо точку $(-1; 3)$.
- Якщо $x = -2$, то $y = -3 \cdot (-2) = 6$. Отримуємо точку $(-2; 6)$.
2) Побудова графіка $y = 4 + x$ на проміжку $x > -1$.
Це також лінійна функція, її графік — пряма. Візьмемо дві точки з проміжку $(-1; \infty)$, наприклад, $x = 0$ та $x = 1$.
- Якщо $x = 0$, то $y = 4 + 0 = 4$. Отримуємо точку $(0; 4)$.
- Якщо $x = 1$, то $y = 4 + 1 = 5$. Отримуємо точку $(1; 5)$.
60. Побудуйте графік функції
1) Побудова графіка $y = -3x$ при $x \le -1$.
Це лінійна функція, її графіком є пряма. Для побудови прямої нам достатньо двох точок. Ми обираємо значення $x$, що задовольняють умову $x \le -1$.
- Беремо $x = -1$:$y = -3 \cdot (-1) = 3$. Маємо точку $(-1; 3)$. Оскільки умова $x \le -1$ нестрога, ця точка належить графіку (зображується зафарбованою).
- Беремо $x = -2$:$y = -3 \cdot (-2) = 6$. Маємо точку $(-2; 6)$.
2) Побудова графіка $y = 4 + x$ при $x > -1$.
Це також лінійна функція, її графік — пряма. Обираємо значення $x$, що задовольняють умову $x > -1$.
- Беремо $x = 0$:$y = 4 + 0 = 4$. Маємо точку $(0; 4)$.
- Беремо $x = 1$:$y = 4 + 1 = 5$. Маємо точку $(1; 5)$.
