61. Чи належить графіку рівняння $x + y = 7$ точка:
Для перевірки потрібно підставити координати кожної точки у рівняння.
- Точка (6; 1): $6 + 1 = 7$. Рівність правильна, тому точка належить графіку.
- Точка (8; -2): $8 + (-2) = 6$. $6 \neq 7$, тому точка не належить графіку.
- Точка (1; -6): $1 + (-6) = -5$. $-5 \neq 7$, тому точка не належить графіку.
- Точка (3; 4): $3 + 4 = 7$. Рівність правильна, тому точка належить графіку.
Отже, графіку належать точки (6; 1) і (3; 4).
62. Чи є розв’язком системи $\cases{x + y = 5 \cr x-y = 1 }$ пара чисел:
Щоб пара чисел була розв’язком, вона має задовольняти обидва рівняння системи.
- Пара (4; 3): для першого рівняння $4 + 3 = 7$, що не дорівнює 5. Не є розв’язком.
- Пара (3; 2): для першого рівняння $3 + 2 = 5$ (правильно), для другого $3-2 = 1$ (правильно). Ця пара є розв’язком системи.
- Пара (4; 1): для першого рівняння $4 + 1 = 5$ (правильно), але для другого $4-1 = 3$, що не дорівнює 1. Не є розв’язком.
Отже, розв’язком системи є пара (3; 2).
63. Побудуйте графік рівняння:
1) x – y = 4
Це лінійне рівняння, його графіком є пряма. Для її побудови достатньо знайти дві точки. Спочатку виразимо $y$ через $x$: $y = x – 4$.
Якщо $x = 0$, то $y = 0-4 = -4$. Отже, перша точка (0; -4).
Якщо $x = 4$, то $y = 4-4 = 0$. Друга точка (4; 0).
Тепер можна провести пряму через ці дві точки.
2) 0,5x + y = 1
Це також графік прямої. Виразимо $y$: $y = 1-0,5x$.
Знайдемо координати двох точок:
Якщо $x = 0$, то $y = 1$. Точка (0; 1).
Якщо $x = 2$, то $y = 1-0,5 \cdot 2 = 1-1 = 0$. Точка (2; 0).
Графік – це пряма, що проходить через точки (0; 1) і (2; 0).
3) 3x + 0y = -6
Спростимо рівняння: $3x = -6$, звідси $x = -2$.
Графіком цього рівняння є вертикальна пряма, яка проходить через точку (-2; 0) і є паралельною до осі $y$.
4) 6y = 18
Спростимо рівняння: $y = 18 / 6$, звідси $y = 3$.
Графіком цього рівняння є горизонтальна пряма, яка проходить через точку (0; 3) і є паралельною до осі $x$.
64. Побудуйте графік рівняння:
1) x + y = 3
Це графік прямої. Виразимо $y$ через $x$: $y = 3-x$.
Знайдемо дві точки для побудови: якщо $x = 0$, то $y = 3$, точка (0; 3); якщо $x = 3$, то $y = 0$, точка (3; 0).
2) x – 0,5y = 2
Це також пряма. Виразимо $y$: $0,5y = x-2$, звідси $y = 2x-4$.
Знайдемо точки: якщо $x = 2$, то $y = 0$, точка (2; 0); якщо $x = 0$, то $y = -4$, точка (0; -4).
3) 4x = 12
Спрощуємо рівняння: $x = 3$. Графіком є вертикальна пряма, що проходить через точку (3; 0) паралельно осі $y$.
4) 0x + 2y = -8
Спрощуємо рівняння: $2y = -8$, звідси $y = -4$. Графіком є горизонтальна пряма, що проходить через точку (0; -4) паралельно осі $x$.
65. Розв’яжіть графічно систему рівнянь:
Щоб розв’язати систему графічно, потрібно побудувати графіки обох рівнянь в одній системі координат і знайти точку їхнього перетину.
- Графіки перетинаються в точці (-3; 3).
- Точка перетину графіків — (3; 1).
3. З першого рівняння маємо $y = -3$. Підставивши це значення в друге рівняння, знаходимо
2x + (-3) = 1
2x = 4
x=2.
Розв’язок системи (2; -3).
66. Розв’яжіть графічно систему рівнянь:
1. Графіки перетинаються в точці (2; 2).
2. Точка перетину графіків — (4; 1).
3. З першого рівняння x=2.
Підставляємо у друге рівняння:
2 + 3y = 5
3y=3
y=1.
Розв’язок системи — (2; 1).
67. Розв’яжіть способом підстановки систему рівнянь:
1. З першого рівняння $3x=12$ знаходимо, що $x=4$.
Підставляємо це значення у друге рівняння:
$2 \cdot 4 + 3y = 2$
$8 + 3y = 2$
$3y = -6$
$y = -2$.
Відповідь: (4; -2).
2. З першого рівняння $x = y-2$ підставляємо вираз для $x$ у друге рівняння:
$4(y-2)-3y = -5$.
$4y-8-3y=-5$
$y=3$
Тоді $x = 3-2 = 1$.
Відповідь: (1; 3).
3. З першого рівняння виражаємо $y$: $y = 3-3x$.
Підставляємо у друге:
$4x + 5(3-3x) = -7$
$4x + 15-15x = -7$
$-11x = -22$
$x = 2$.
Тоді $y = 3-3 \cdot 2 = -3$.
Відповідь: (2; -3).
68. Розв’яжіть способом підстановки систему рівнянь:
1. З рівняння $4y = -8$ маємо $y = -2$.
Підставляємо в друге:
$5x + 2(-2) = 1$
$5x-4 = 1$
$5x = 5$
$x = 1$.
Відповідь: (1; -2).
2. Підставляємо $y = x+3$ у друге рівняння:
$2x-3(x+3) = -8$
$2x-3x-9 = -8$
$-x = 1$
$x = -1$
Тоді $y = -1 + 3 = 2$.
Відповідь: (-1; 2).
3. З першого рівняння виражаємо $x = 5+2y$. Підставляємо в друге:
$3(5+2y) + 5y = 4$
$15 + 6y + 5y = 4$
$11y = -11$
$y = -1$
Тоді $x = 5 + 2(-1) = 3$.
Відповідь: (3; -1).
69. Розв’яжіть способом додавання систему рівнянь:
1.
$(3x+y) + (2x-y) = 2+3$
$5x=5$
$x=1$.
Підставляємо $x=1$ у перше рівняння:
$3(1)+y=2$
$y=-1$.
Відповідь: (1; -1).
2. Віднімаємо друге рівняння від першого:
$(2x+3y)-(2x-4y) = 1-(-13)$
$7y=14$
$y=2$
Підставляємо у перше рівняння:
$2x+3(2) = 1$
$2x = -5$
$x = -2,5$.
Відповідь: (-2,5; 2).
3. Множимо перше рівняння на 3:
$12x-9y = 33$.
Додаємо його до другого рівняння:
$(12x-9y)+(5x+9y) = 33+1$
$17x=34$
$x=2$.
Підставляємо у перше рівняння:
$4(2)-3y = 11$
$8-3y=11$
$-3y=3$
$y=-1$.
Відповідь: (2; -1).
70. Розв’яжіть способом додавання систему рівнянь:
1.
$(x+3y) + (-x+4y) = 1+6$
$7y=7$
$y=1$.
Підставляємо $y=1$ у перше рівняння:
$x+3(1)=1$, $x=-2$.
Відповідь: (-2; 1).
2. Віднімаємо перше рівняння від другого:
$(4x-5y)-(3x-5y) = 13-11$
$x=2$
Підставляємо у перше рівняння:
$3(2)-5y=11$
$6-5y=11$
$-5y=5$
$y=-1$.
Відповідь: (2; -1).
3. Множимо перше рівняння на -2:
$-8x+6y=-30$.
Додаємо його до другого рівняння:
$(-8x+6y)+(8x+5y) = -30+19$
$11y=-11$
$y=-1$.
Підставляємо у перше рівняння:
$4x-3(-1)=15$
$4x+3=15$
$4x=12$
$x=3$.
Відповідь: (3; -1).
71. Два ящики з бананами й один з апельсинами важать 40 кг, а ящик з бананами і два ящики з апельсинами – 44 кг. Скільки важить один ящик з бананами і скільки – один ящик з апельсинами?
Нехай $x$ кг — вага ящика з бананами, а $y$ кг — вага ящика з апельсинами. Складемо систему рівнянь:
$\cases{2x + y = 40 \cr x + 2y = 44}$
З першого рівняння виразимо $y$:
$y = 40-2x$.
Підставимо у друге рівняння:
$x + 2(40-2x) = 44$.
Розв’яжемо:
$x + 80-4x = 44$
$-3x = -36$
$x = 12$.
Знайдемо $y$:
$y = 40-2 \cdot 12 = 16$.
Відповідь: ящик з бананами важить 12 кг, ящик з апельсинами — 16 кг.
72. За 3 ручки і зошит заплатили 44 грн, а за ручку і 3 зошити – 68 грн. Скільки коштує одна ручка і скільки – один зошит?
Нехай $x$ грн — це ціна ручки, а $y$ грн — ціна зошита.
Складемо систему рівнянь за умовою задачі:
$\cases{3x + y = 44 \cr x + 3y = 68}$
З першого рівняння можна виразити $y$:
$y = 44-3x$.
Тепер підставимо цей вираз у друге рівняння:
$x + 3(44-3x) = 68$.
Розв’яжемо його:
$x + 132-9x = 68$
$-8x = -64$
$x = 8$
Знайдемо ціну зошита, підставивши $x=8$ у вираз для $y$:
$y = 44-3 \cdot 8 = 20$.
Відповідь: одна ручка коштує 8 грн, а один зошит — 20 грн.
73. Не виконуючи побудови, знайдіть координати точок перетину з осями координат графіка рівняння:
1) 2x – 3y = 24
Перетин з віссю Ox (y=0): $2x-0 = 24$, $x=12$. Точка (12; 0).
Перетин з віссю Oy (x=0): $0-3y = 24$, $y=-8$. Точка (0; -8).
2) 0x + 5y = 15
Рівняння спрощується до $5y = 15$, тобто $y=3$. Це горизонтальна пряма.
Перетин з віссю Oy: (0; 3).
З віссю Ox перетину немає.
3) 4x = 12
Рівняння спрощується до $x=-3$. Це вертикальна пряма.
Перетин з віссю Ox: (-3; 0).
З віссю Oy перетину немає.
74. Не виконуючи побудови, знайдіть координати точок перетину з осями координат графіка рівняння:
1) 4x + 5y = 40
Для перетину з віссю Ox (де $y=0$): $4x = 40$, отже $x=10$. Точка (10; 0).
Для перетину з віссю Oy (де $x=0$): $5y = 40$, отже $y=8$. Точка (0; 8).
2) 2x + 0y = -16
Рівняння спрощується до $2x = -16$, або $x = -8$. Це вертикальна пряма.
Перетин з віссю Ox: (-8; 0).
З віссю Oy перетину немає.
3) 3y = 6
Рівняння спрощується до $y=2$. Це горизонтальна пряма.
Перетин з віссю Oy: (0; 2).
З віссю Ox перетину немає.
75. Розв’яжіть систему рівнянь:
1) $\cases{2a + 3b = 0 \cr 4a-5b = -22}$
Помножимо перше рівняння на -2:
$-4a-6b = 0$.
Додамо його до другого:
$-11b = -22$, звідки $b=2$.
Підставимо $b=2$ у перше рівняння:
$2a + 3(2) = 0$
$2a = -6$
$a=-3$.
Відповідь: (-3; 2).
2) $\cases{4x-5y = 1 \cr 3x + 10y = 42}$
Помножимо перше рівняння на 2:
$8x-10y = 2$.
Додамо до другого:
$11x = 44$
$x=4$
Підставимо у перше:
$4(4)-5y = 1$
$16-5y=1$
$-5y=-15$
$y=3$.
Відповідь: (4; 3).
3) $\cases{3x + 5y = 9 \cr 4x-3y = -17}$
Помножимо перше рівняння на 3, а друге на 5:
$9x+15y=27$
$20x-15y=-85$.
Додамо їх:
$29x=-58$
$x=-2$.
Підставимо у перше:
$3(-2)+5y=9$
$-6+5y=9$
$5y=15$
$y=3$.
Відповідь: (-2; 3).
76. Розв’яжіть систему рівнянь:
1) $\cases{2m-3n = 7 \cr 5m + 6n = 4}$
Помножимо перше рівняння на 2:
$4m-6n = 14$.
Додамо до другого:
$9m = 18$
$m=2$.
Підставимо у перше:
$2(2)-3n = 7$
$4-3n=7$
$-3n=3$
$n=-1$.
Відповідь: (2; -1).
2) $\cases{2x-3y = 6 \cr 8x + 5y = 24}$
Помножимо перше рівняння на -4:
$-8x + 12y = -24$
Додамо до другого:
$17y = 0$
$y=0$
Підставимо у перше:
$2x-0 = 6$
$x=3$.
Відповідь: (3; 0).
3) $\cases{4x + 7y = 5 \cr 5x-3y = 18}$
Помножимо перше рівняння на 3, друге на 7:
$12x+21y=15$
$35x-21y=126$.
Додамо їх:
$47x = 141$
$x=3$
Підставимо у перше:
$4(3)+7y=5$
$12+7y=5$
$7y=-7$
$y=-1$.
Відповідь: (3; -1).
77. Човен за 2 год руху за течією і 3 год руху проти течії долає 88 км. За 4 год руху за течією човен долає таку саму відстань, що й за 5 год проти течії. Знайдіть власну швидкість човна і швидкість течії.
Нехай $x$ км/год — власна швидкість човна, а $y$ км/год — швидкість течії. Швидкість за течією — $(x+y)$ км/год, проти течії — $(x-y)$ км/год. Складемо систему:
$\cases{2(x+y) + 3(x-y) = 88 \cr 4(x+y) = 5(x-y)}$
Спростимо її:
$\cases{5x-y = 88 \cr 4x+4y = 5x-5y} \Rightarrow \cases{5x-y = 88 \cr x = 9y}$
Підставимо $x=9y$ у перше рівняння:
$5(9y)-y = 88$
$44y = 88$
$y=2$
$x = 9 \cdot 2 = 18$.
Відповідь: власна швидкість човна 18 км/год, швидкість течії 2 км/год.
78. Складіть рівняння прямої, графік якої проходить через точки (-1; 11) i (2; 5).
Рівняння прямої має вигляд $y=kx+b$.
Підставимо координати точок:
$\cases{11 = -k + b \cr 5 = 2k + b}$
Віднімемо перше рівняння від другого:
$5-11 = 2k-(-k)$
$-6 = 3k$
$k=-2$.
З першого рівняння $b = 11+k = 11-2=9$.
Відповідь: $y = -2x+9$.
79. Графік лінійної функції проходить через точки (-3; 2) і (4; 23). Задайте цю функцію формулою.
Шукаємо функцію $y=kx+b$. Підставимо координати точок:
$\cases{2 = -3k + b \cr 23 = 4k + b}$
Віднімемо перше рівняння від другого:
$23-2 = 4k-(-3k)$
$21 = 7k$
$k=3$.
З першого рівняння
$b = 2+3k = 2+3(3)=11$.
Відповідь: $y = 3x+11$.
80. За 4 циркулі й 3 лінійки заплатили 195 грн. Після того як циркуль подорожчав на 10%, а лінійка подешевшала на 20%, один циркуль і одна лінійка разом стали коштувати 53 грн. Якою була початкова вартість циркуля і якою — лінійки?
Нехай $x$ грн — початкова вартість циркуля, а $y$ грн — лінійки. Нова ціна циркуля — $1,1x$, лінійки — $0,8y$.
Маємо систему:
$\cases{4x + 3y = 195 \cr 1,1x + 0,8y = 53}$
Помножимо друге рівняння на 10:
$11x + 8y = 530$.
Тепер розв’яжемо систему:
$\cases{4x + 3y = 195 \cr 11x + 8y = 530}$
Помножимо перше на 8, друге на -3:
$32x+24y=1560$
$-33x-24y=-1590$
Додавши їх, отримаємо $-x=-30$, тобто $x=30$.
Підставимо $x=30$ у перше рівняння:
$4(30)+3y=195$
$120+3y=195$
$3y=75$
$y=25$.
Відповідь: початкова вартість циркуля — 30 грн, лінійки — 25 грн.