Домашня самостійна робота № 1

Назад до змісту

1. Укажіть вираз, що не є цілим раціональним виразом.

$\text{Вираз не є цілим раціональним, якщо він містить ділення на змінну.}$

$\text{Вираз В містить знаменник }m-3,\text{ що є діленням на змінну.}$

$\text{Відповідь: В.}$

2. Скоротіть дріб

$\frac{5ax}{5xy}=\frac{\cancel{5}a\cancel{x}}{\cancel{5}\cancel{x}y}=\frac{a}{y}$

$\text{Відповідь: Б.}$

3. Виконайте дію

$\frac{m}{3}-\frac{5}{b}=\frac{m\cdot b}{3b}-\frac{5\cdot 3}{3b}=\frac{mb-15}{3b}$

$\text{Відповідь: Г.}$

4. Знайдіть допустимі значення змінної у виразі

$\frac{a-3}{a+2}$

$\text{Знаменник дробу не може дорівнювати нулю, тому:}$

$a+2\ne 0$

$a\ne -2$

$\text{Відповідь: В. a-будь-яке число, крім -2}$

5. Скоротіть дріб

$\frac{2p+4}{p^2-4}=\frac{2(p+2)}{(p-2)(p+2)}=\frac{2}{p-2}$

$\text{Відповідь: А.}$

6. Виконайте дію

$\frac{4m}{m-a}+\frac{4a}{a-m}=\frac{4m}{m-a}-\frac{4a}{m-a}=\frac{4m-4a}{m-a}=\frac{4(m-a)}{m-a}=4$

$\text{Відповідь: Б.}$

7. Для яких значень x дріб $\frac{(3+x)(1-x)}{5x-5}$ дорівнює нулю?

$\text{Дріб дорівнює нулю, коли його чисельник дорівнює нулю, а знаменник-ні.}$

$\text{1) Знайдемо, коли чисельник дорівнює нулю:}$

$(3+x)(1-x)=0$

$3+x=0\text{або}1-x=0$

$x=-3\text{або}x=1$

$\text{2) Знайдемо, коли знаменник не дорівнює нулю (ОДЗ):}$

$5x-5\ne 0$

$5x\ne 5$

$x\ne 1$

$\text{3) Зі знайдених значень }x,\text{ що перетворюють чисельник в нуль, виключаємо те, яке не входить в ОДЗ.}$

$\text{Отже, єдиним значенням є }x=-3.$

$\text{Відповідь: Б.}$

8. Спростіть вираз

$\frac{2m}{m-3}+\frac{m}{m+3}+\frac{2m^2}{9-m^2}=\frac{2m}{m-3}+\frac{m}{m+3}-\frac{2m^2}{m^2-9}$

$=\frac{2m(m+3)+m(m-3)-2m^2}{(m-3)(m+3)}$

$=\frac{2m^2+6m+m^2-3m-2m^2}{m^2-9}$

$=\frac{m^2+3m}{m^2-9}$

$=\frac{m(m+3)}{(m-3)(m+3)}$

$=\frac{m}{m-3}$

$\text{Відповідь: А.}$

9. Подайте дріб $\frac{m^3-m^4+3}{m^3}$ у вигляді суми цілого виразу і дробу.

$\frac{m^3-m^4+3}{m^3}=\frac{m^3}{m^3}-\frac{m^4}{m^3}+\frac{3}{m^3}$

$=1-m+\frac{3}{m^3}$

$\text{Відповідь: В.}$

10. Для яких значень x вираз $\frac{x^2-9}{|x+1|-4}$ має зміст?

$\text{Вираз має зміст, коли його знаменник не дорівнює нулю.}$

$|x+1|-4\ne 0$

$|x+1|\ne 4$

$\text{Це означає, що:}$

$x+1\ne 4\text{і}x+1\ne -4$

$x\ne 3\text{і}x\ne -5$

$\text{Відповідь: Г. x-будь-яке число, крім 3 і -5}$

11. Для яких значень x дріб $\frac{x^2-9}{|x+1|-4}$ дорівнює нулю?

$\text{Дріб дорівнює нулю, коли його чисельник дорівнює нулю, а знаменник-ні.}$

$\text{1) Чисельник дорівнює нулю:}$

$x^2-9=0$

$(x-3)(x+3)=0$

$x=3\text{або}x=-3$

$\text{2) З попереднього завдання ми знаємо, що при }x=3\text{ знаменник дорівнює нулю, тому це значення не підходить.}$

$\text{3) Перевіримо }x=-3:$

$\text{Чисельник: }(-3{)}^2-9=9-9=0.$

$\text{Знаменник: }|-3+1|-4=|-2|-4=2-4=-2\ne 0.$

$\text{Отже, дріб дорівнює нулю при }x=-3.$

$\text{Відповідь: В.}$

12. Знайдіть значення виразу $\frac{2(x-4y)}{(x-2)(y-1)}-\frac{x^2-8y}{(2-x)(1-y)}$, якщо $x=13,y=0.99$.

$\frac{2(x-4y)}{(x-2)(y-1)}-\frac{x^2-8y}{(2-x)(1-y)}=\frac{2(x-4y)}{(x-2)(y-1)}-\frac{x^2-8y}{-(x-2)\cdot -(y-1)}$

$=\frac{2(x-4y)}{(x-2)(y-1)}-\frac{x^2-8y}{(x-2)(y-1)}$

$=\frac{2(x-4y)-(x^2-8y)}{(x-2)(y-1)}$

$=\frac{2x-8y-x^2+8y}{(x-2)(y-1)}$

$=\frac{2x-x^2}{(x-2)(y-1)}$

$=\frac{-x(x-2)}{(x-2)(y-1)}$

$=\frac{-x}{y-1}$

$\text{Підставимо значення }x=13\text{ та }y=0.99:$

$\frac{-13}{0.99-1}=\frac{-13}{-0.01}=1300$

$\text{Відповідь: А.}$

13. Установіть відповідність між виразом (1-3) та його значенням (А-Г), якщо x = 2,5.

1.

$\frac{x^3+8}{x^2-2x+4}=\frac{(x+2)(x^2-2x+4)}{x^2-2x+4}=x+2$

$\text{При }x=2.5:2.5+2=4.5$

$\text{Відповідність: 1-Б}$

2.

$\frac{4x}{x-2}+\frac{8}{2-x}=\frac{4x}{x-2}-\frac{8}{x-2}=\frac{4x-8}{x-2}=\frac{4(x-2)}{x-2}=4$

$\text{Відповідність: 2-А}$

3.

$\frac{100}{10x-x^2}+\frac{x}{x-10}=\frac{100}{x(10-x)}-\frac{x}{10-x}=\frac{100-x^2}{x(10-x)}$

$=\frac{(10-x)(10+x)}{x(10-x)}=\frac{10+x}{x}$

$\text{При }x=2.5:\frac{10+2.5}{2.5}=\frac{12.5}{2.5}=5$

$\text{Відповідність: 3-В}$