1. Укажіть вираз, що не є цілим раціональним виразом.
$ \text{Вираз не є цілим раціональним, якщо він містить ділення на змінну.} $
$ \text{Вираз В містить знаменник } m-3, \text{ що є діленням на змінну.} $
$ \text{Відповідь: В.} $
2. Скоротіть дріб
$ \dfrac{5ax}{5xy} = \dfrac{\cancel{5}a\cancel{x}}{\cancel{5}\cancel{x}y} = \dfrac{a}{y} $
$ \text{Відповідь: Б.} $
3. Виконайте дію
$ \dfrac{m}{3}-\dfrac{5}{b} = \dfrac{m \cdot b}{3b}-\dfrac{5 \cdot 3}{3b} = \dfrac{mb-15}{3b} $
$ \text{Відповідь: Г.} $
4. Знайдіть допустимі значення змінної у виразі
$ \dfrac{a-3}{a+2} $
$ \text{Знаменник дробу не може дорівнювати нулю, тому:} $
$ a+2 \ne 0 $
$ a \ne -2 $
$ \text{Відповідь: В. a-будь-яке число, крім -2} $
5. Скоротіть дріб
$ \dfrac{2p+4}{p^2-4} = \dfrac{2(p+2)}{(p-2)(p+2)} = \dfrac{2}{p-2} $
$ \text{Відповідь: А.} $
6. Виконайте дію
$ \dfrac{4m}{m-a} + \dfrac{4a}{a-m} = \dfrac{4m}{m-a}-\dfrac{4a}{m-a} = \dfrac{4m-4a}{m-a} = \dfrac{4(m-a)}{m-a} = 4 $
$ \text{Відповідь: Б.} $
7. Для яких значень x дріб $\dfrac{(3+x)(1-x)}{5x-5}$ дорівнює нулю?
$ \text{Дріб дорівнює нулю, коли його чисельник дорівнює нулю, а знаменник-ні.} $
$ \text{1) Знайдемо, коли чисельник дорівнює нулю:} $
$ (3+x)(1-x) = 0 $
$ 3+x = 0 \quad \text{або} \quad 1-x = 0 $
$ x = -3 \quad \text{або} \quad x = 1 $
$ \text{2) Знайдемо, коли знаменник не дорівнює нулю (ОДЗ):} $
$ 5x-5 \ne 0 $
$ 5x \ne 5 $
$ x \ne 1 $
$ \text{3) Зі знайдених значень } x, \text{ що перетворюють чисельник в нуль, виключаємо те, яке не входить в ОДЗ.} $
$ \text{Отже, єдиним значенням є } x = -3. $
$ \text{Відповідь: Б.} $
8. Спростіть вираз
$ \dfrac{2m}{m-3} + \dfrac{m}{m+3} + \dfrac{2m^2}{9-m^2} = \dfrac{2m}{m-3} + \dfrac{m}{m+3}-\dfrac{2m^2}{m^2-9} $
$ = \dfrac{2m(m+3) + m(m-3)-2m^2}{(m-3)(m+3)} $
$ = \dfrac{2m^2+6m+m^2-3m-2m^2}{m^2-9} $
$ = \dfrac{m^2+3m}{m^2-9} $
$ = \dfrac{m(m+3)}{(m-3)(m+3)} $
$ = \dfrac{m}{m-3} $
$ \text{Відповідь: А.} $
9. Подайте дріб $\dfrac{m^3-m^4+3}{m^3}$ у вигляді суми цілого виразу і дробу.
$ \dfrac{m^3-m^4+3}{m^3} = \dfrac{m^3}{m^3}-\dfrac{m^4}{m^3} + \dfrac{3}{m^3} $
$ = 1-m + \dfrac{3}{m^3} $
$ \text{Відповідь: В.} $
10. Для яких значень x вираз $\dfrac{x^2-9}{|x + 1|-4}$ має зміст?
$ \text{Вираз має зміст, коли його знаменник не дорівнює нулю.} $
$ |x + 1|-4 \ne 0 $
$ |x + 1| \ne 4 $
$ \text{Це означає, що:} $
$ x + 1 \ne 4 \quad \text{і} \quad x + 1 \ne -4 $
$ x \ne 3 \quad \text{і} \quad x \ne -5 $
$ \text{Відповідь: Г. x-будь-яке число, крім 3 і -5} $
11. Для яких значень x дріб $\dfrac{x^2-9}{|x + 1|-4}$ дорівнює нулю?
$ \text{Дріб дорівнює нулю, коли його чисельник дорівнює нулю, а знаменник-ні.} $
$ \text{1) Чисельник дорівнює нулю:} $
$ x^2-9 = 0 $
$ (x-3)(x+3) = 0 $
$ x = 3 \quad \text{або} \quad x = -3 $
$ \text{2) З попереднього завдання ми знаємо, що при } x = 3 \text{ знаменник дорівнює нулю, тому це значення не підходить.} $
$ \text{3) Перевіримо } x = -3: $
$ \text{Чисельник: } (-3)^2-9 = 9-9 = 0. $
$ \text{Знаменник: } |-3 + 1|-4 = |-2|-4 = 2-4 = -2 \ne 0. $
$ \text{Отже, дріб дорівнює нулю при } x = -3. $
$ \text{Відповідь: В.} $
12. Знайдіть значення виразу $\dfrac{2(x-4y)}{(x-2)(y-1)}-\dfrac{x^2-8y}{(2-x)(1-y)}$, якщо $x = 13, y = 0.99$.
$ \dfrac{2(x-4y)}{(x-2)(y-1)}-\dfrac{x^2-8y}{(2-x)(1-y)} = \dfrac{2(x-4y)}{(x-2)(y-1)}-\dfrac{x^2-8y}{-(x-2) \cdot -(y-1)} $
$ = \dfrac{2(x-4y)}{(x-2)(y-1)}-\dfrac{x^2-8y}{(x-2)(y-1)} $
$ = \dfrac{2(x-4y)-(x^2-8y)}{(x-2)(y-1)} $
$ = \dfrac{2x-8y-x^2+8y}{(x-2)(y-1)} $
$ = \dfrac{2x-x^2}{(x-2)(y-1)} $
$ = \dfrac{-x(x-2)}{(x-2)(y-1)} $
$ = \dfrac{-x}{y-1} $
$ \text{Підставимо значення } x=13 \text{ та } y=0.99: $
$ \dfrac{-13}{0.99-1} = \dfrac{-13}{-0.01} = 1300 $
$ \text{Відповідь: А.} $
13. Установіть відповідність між виразом (1-3) та його значенням (А-Г), якщо x = 2,5.
1.
$ \dfrac{x^3 + 8}{x^2-2x + 4} = \dfrac{(x+2)(x^2-2x+4)}{x^2-2x+4} = x+2 $
$ \text{При } x = 2.5: \quad 2.5 + 2 = 4.5 $
$ \text{Відповідність: 1-Б} $
2.
$ \dfrac{4x}{x-2} + \dfrac{8}{2-x} = \dfrac{4x}{x-2}-\dfrac{8}{x-2} = \dfrac{4x-8}{x-2} = \dfrac{4(x-2)}{x-2} = 4 $
$ \text{Відповідність: 2-А} $
3.
$ \dfrac{100}{10x-x^2} + \dfrac{x}{x-10} = \dfrac{100}{x(10-x)}-\dfrac{x}{10-x} = \dfrac{100-x^2}{x(10-x)} $
$ = \dfrac{(10-x)(10+x)}{x(10-x)} = \dfrac{10+x}{x} $
$ \text{При } x = 2.5: \quad \dfrac{10+2.5}{2.5} = \dfrac{12.5}{2.5} = 5 $
$ \text{Відповідність: 3-В} $