Завдання для перевірки знань до 1–4

Назад до змісту

1. Які з виразів є цілими, а які – дробовими:

• Цілі вирази: 1, 3, 4
• Дробові вирази: 2

2. Скоротіть дріб:

1)

$\frac{m^2}{mn}=\frac{m}{n}$

2)

$\frac{4ab}{4bc}=\frac{a}{c}$

3. Виконайте дію:

1)

$\frac{a-b}{n}+\frac{b}{n}=\frac{a-b+b}{n}=\frac{a}{n}$

2)

$\frac{x}{2}-\frac{3}{y}=\frac{xy-6}{2y}$

4. Знайдіть допустимі значення змінної у виразі:

1)

$x(x-1)\ne 0$

$x\ne 0;x\ne 1$

2)

$a+2\ne 0;a-3\ne 0$

$a\ne -2;a\ne 3$

5. Скоротіть дріб:

1)

$\frac{16am}{20bm}=\frac{4a}{5b}$

2)

$\frac{12a{m}^2}{8mc}=\frac{3am}{2c}$

3)

$\frac{2m-6}{m^2-9}=\frac{2(m-3)}{(m-3)(m+3)}=\frac{2}{m+3}$

4)

$\frac{ax+2a}{x^2+4x+4}=\frac{a(x+2)}{(x+2{)}^2}=\frac{a}{x+2}$

6. Виконайте дію:

1)

$\frac{3a}{a-b}+\frac{3b}{b-a}=\frac{3a}{a-b}-\frac{3b}{a-b}=\frac{3a-3b}{a-b}=\frac{3(a-b)}{a-b}=3$

2)

$\frac{5x+y}{x^{2}y}+\frac{x-5y}{x{y}^2}=\frac{y(5x+y)+x(x-5y)}{x^2{y}^2}=\frac{5xy+y^2+x^2-5xy}{x^2{y}^2}=\frac{x^2+y^2}{x^2{y}^2}$

7. Спростіть вираз:

$\frac{2b}{b-4}+\frac{b}{b+4}+\frac{2b^2}{16-b^2}=\frac{2b}{b-4}+\frac{b}{b+4}-\frac{2b^2}{b^2-16}$

$=\frac{2b(b+4)+b(b-4)-2b^2}{(b-4)(b+4)}=\frac{2b^2+8b+b^2-4b-2b^2}{(b-4)(b+4)}$

$=\frac{b^2+4b}{(b-4)(b+4)}=\frac{b(b+4)}{(b-4)(b+4)}=\frac{b}{b-4}$

8. Подайте дріб у вигляді суми або різниці цілого виразу і дробу:

1)

$\frac{c^2-c^3+5}{c^2}=\frac{c^2}{c^2}-\frac{c^3}{c^2}+\frac{5}{c^2}=1-c+\frac{5}{c^2}$

2)

$\frac{p^2-p-2}{p-1}=\frac{p(p-1)-2}{p-1}=\frac{p(p-1)}{p-1}-\frac{2}{p-1}=p-\frac{2}{p-1}$

9. Побудуйте графік функції $y=\frac{x^2-4x}{16-4x}$

Спочатку спростимо вираз, розклавши чисельник і знаменник на множники.

$y=\frac{x(x-4)}{4(4-x)}=\frac{x(x-4)}{-4(x-4)}$

Знайдемо область допустимих значень (ОДЗ). Знаменник не може дорівнювати нулю.

$16-4x\ne 0$

$4x\ne 16$

$x\ne 4$

Скоротимо дріб.

$y=-\frac{x}{4}$

Графіком функції є пряма $y=-\frac{x}{4}$ з “виколотою” точкою, абсциса якої дорівнює 4. Знайдемо ординату цієї точки, підставивши x = 4 у спрощену функцію.

$y=-\frac{4}{4}=-1$

Отже, графіком є пряма $y=-\frac{x}{4}$ з точкою (4; -1).

10. Знайдіть:

1) область визначення виразу $\frac{x^2-16}{|x+1|-5}$

Знаменник дробу не може дорівнювати нулю.

$|x+1|-5\ne 0$

$|x+1|\ne 5$

Розв’яжемо два випадки:

$x+1\ne 5\Rightarrow x\ne 4$

$x+1\ne -5\Rightarrow x\ne -6$

Область визначення: усі числа, крім $x=4$ та $x=-6$.

2) значення х, для яких дріб $\frac{x^2-16}{|x+1|-5}$ дорівнює нулю.

Дріб дорівнює нулю, коли його чисельник дорівнює нулю, а знаменник при цьому не дорівнює нулю.

$x^2-16=0$

$(x-4)(x+4)=0$

$x_1=4$, $x_2=-4$

Перевіримо, чи входять ці значення в область визначення. Значення $x=4$ не входить в область визначення, оскільки при ньому знаменник перетворюється на нуль. Значення $x=-4$ входить в область визначення.

Отже, дріб дорівнює нулю при $x=-4$.

11. Спростіть вираз $\frac{3(a-2b)}{(a-3)(b-4)}-\frac{a^2-6b}{(3-a)(4-b)}$

$\frac{3(a-2b)}{(a-3)(b-4)}-\frac{a^2-6b}{(a-3)(b-4)}=\frac{3(a-2b)-(a^2-6b)}{(a-3)(b-4)}$

$=\frac{3a-6b-a^2+6b}{(a-3)(b-4)}=\frac{3a-a^2}{(a-3)(b-4)}=$

$=\frac{a(3-a)}{(a-3)(b-4)}=\frac{-a(a-3)}{(a-3)(b-4)}=\frac{-a}{b-4}=\frac{a}{4-b}$