1. Які з виразів є цілими, а які – дробовими:
- Цілі вирази: 1, 3, 4
- Дробові вирази: 2
2. Скоротіть дріб:
1)
$ \dfrac{m^2}{mn} = \dfrac{m}{n} $
2)
$ \dfrac{4ab}{4bc} = \dfrac{a}{c} $
3. Виконайте дію:
1)
$ \dfrac{a-b}{n} + \dfrac{b}{n} = \dfrac{a-b+b}{n} = \dfrac{a}{n} $
2)
$ \dfrac{x}{2} – \dfrac{3}{y} = \dfrac{xy-6}{2y} $
4. Знайдіть допустимі значення змінної у виразі:
1)
$ x(x-1) \ne 0 $
$ x \ne 0; x \ne 1 $
2)
$ a+2 \ne 0; a-3 \ne 0 $
$ a \ne -2; a \ne 3 $
5. Скоротіть дріб:
1)
$ \dfrac{16am}{20bm} = \dfrac{4a}{5b} $
2)
$ \dfrac{12am^2}{8mc} = \dfrac{3am}{2c} $
3)
$ \dfrac{2m-6}{m^2-9} = \dfrac{2(m-3)}{(m-3)(m+3)} = \dfrac{2}{m+3} $
4)
$ \dfrac{ax+2a}{x^2+4x+4} = \dfrac{a(x+2)}{(x+2)^2} = \dfrac{a}{x+2} $
6. Виконайте дію:
1)
$ \dfrac{3a}{a-b} + \dfrac{3b}{b-a} = \dfrac{3a}{a-b} – \dfrac{3b}{a-b} = \dfrac{3a-3b}{a-b} = \dfrac{3(a-b)}{a-b} = 3 $
2)
$ \dfrac{5x+y}{x^2y} + \dfrac{x-5y}{xy^2} = \dfrac{y(5x+y)+x(x-5y)}{x^2y^2} = \dfrac{5xy+y^2+x^2-5xy}{x^2y^2} = \dfrac{x^2+y^2}{x^2y^2} $
7. Спростіть вираз:
$ \dfrac{2b}{b-4} + \dfrac{b}{b+4} + \dfrac{2b^2}{16-b^2} = \dfrac{2b}{b-4} + \dfrac{b}{b+4} – \dfrac{2b^2}{b^2-16} $
$ = \dfrac{2b(b+4)+b(b-4)-2b^2}{(b-4)(b+4)} = \dfrac{2b^2+8b+b^2-4b-2b^2}{(b-4)(b+4)} $
$ = \dfrac{b^2+4b}{(b-4)(b+4)} = \dfrac{b(b+4)}{(b-4)(b+4)} = \dfrac{b}{b-4} $
8. Подайте дріб у вигляді суми або різниці цілого виразу і дробу:
1)
$ \dfrac{c^2-c^3+5}{c^2} = \dfrac{c^2}{c^2} – \dfrac{c^3}{c^2} + \dfrac{5}{c^2} = 1-c+\dfrac{5}{c^2} $
2)
$ \dfrac{p^2-p-2}{p-1} = \dfrac{p(p-1)-2}{p-1} = \dfrac{p(p-1)}{p-1} – \dfrac{2}{p-1} = p-\dfrac{2}{p-1} $
9. Побудуйте графік функції $ y = \dfrac{x^2-4x}{16-4x} $
Спочатку спростимо вираз, розклавши чисельник і знаменник на множники.
$ y = \dfrac{x(x-4)}{4(4-x)} = \dfrac{x(x-4)}{-4(x-4)} $
Знайдемо область допустимих значень (ОДЗ). Знаменник не може дорівнювати нулю.
$ 16-4x \ne 0 $
$ 4x \ne 16 $
$ x \ne 4 $
Скоротимо дріб.
$ y = -\dfrac{x}{4} $
Графіком функції є пряма $ y = -\dfrac{x}{4} $ з “виколотою” точкою, абсциса якої дорівнює 4. Знайдемо ординату цієї точки, підставивши x = 4 у спрощену функцію.
$ y = -\dfrac{4}{4} = -1 $
Отже, графіком є пряма $ y = -\dfrac{x}{4} $ з точкою (4; -1).
10. Знайдіть:
1) область визначення виразу $ \dfrac{x^2-16}{|x+1|-5} $
Знаменник дробу не може дорівнювати нулю.
$ |x+1|-5 \ne 0 $
$ |x+1| \ne 5 $
Розв’яжемо два випадки:
$ x+1 \ne 5 \Rightarrow x \ne 4 $
$ x+1 \ne -5 \Rightarrow x \ne -6 $
Область визначення: усі числа, крім $x=4$ та $x=-6$.
2) значення х, для яких дріб $ \dfrac{x^2-16}{|x+1|-5} $ дорівнює нулю.
Дріб дорівнює нулю, коли його чисельник дорівнює нулю, а знаменник при цьому не дорівнює нулю.
$ x^2-16 = 0 $
$ (x-4)(x+4) = 0 $
$ x_1 = 4 $, $ x_2 = -4 $
Перевіримо, чи входять ці значення в область визначення. Значення $x=4$ не входить в область визначення, оскільки при ньому знаменник перетворюється на нуль. Значення $x=-4$ входить в область визначення.
Отже, дріб дорівнює нулю при $x = -4$.
11. Спростіть вираз $ \dfrac{3(a-2b)}{(a-3)(b-4)} – \dfrac{a^2-6b}{(3-a)(4-b)} $
$ \dfrac{3(a-2b)}{(a-3)(b-4)} – \dfrac{a^2-6b}{(a-3)(b-4)} = \dfrac{3(a-2b) – (a^2-6b)}{(a-3)(b-4)} $
$ = \dfrac{3a-6b-a^2+6b}{(a-3)(b-4)} = \dfrac{3a-a^2}{(a-3)(b-4)} =$
$ = \dfrac{a(3-a)}{(a-3)(b-4)} = \dfrac{-a(a-3)}{(a-3)(b-4)} = \dfrac{-a}{b-4} = \dfrac{a}{4-b}$