§1. Раціональні вирази. Раціональні дроби

Назад до змісту

1.1 Які з виразів є цілими, а які – дробовими?

Цілі вирази не містять ділення на змінну, тому цілими є вирази: 1, 3, 4, 6, 7.

Дробові вирази містять ділення на змінну, тому дробовими є вирази: 2, 5, 8.

1.2. Серед раціональних виразів знайдіть і випишіть ті, що є: 1) цілими; 2) дробовими.

1) Цілими є вирази: $a^3-ab$; $\frac{m}{17}$; $\frac{1}{9}a-\frac{1}{8}b$.

2) Дробовими є вирази: $\frac{17}{a}$; $t(t-1)+\frac{t}{p}$; $\frac{7}{x^2+1}-5$.

1.3. Які з дробів є раціональними дробами?

1) У дробі $\frac{a}{a^2-3}$ чисельник ($a$) і знаменник ($a^2-3$) є многочленами. Отже, цей дріб є раціональним.

2) У дробі $\frac{m(n+\frac{1}{k})}{p^2-2}$ чисельник $m(n+\frac{1}{k})$ не є многочленом, оскільки він містить ділення на змінну $k$. Отже, цей дріб не є раціональним.

3) У дробі $\frac{x^2-4x+5}{y^2-9}$ чисельник ($x^2-4x+5$) і знаменник ($y^2-9$) є многочленами. Отже, цей дріб є раціональним.

4) У дробі $\frac{\frac{x}{x+2}}{m-3}$ чисельник ($\frac{x}{x+2}$) не є многочленом, а є іншим дробом. Отже, цей дріб не є раціональним.

Відповідь: Раціональними дробами є вирази 1 та 3

1.4. Знайдіть значення виразу:

Для виразу $\frac{3a+9}{a^2}$:

• якщо $a=1$, то значення виразу дорівнює 12.
• якщо $a=-2$, то значення виразу дорівнює $\frac{3}{4}$.
• якщо $a=-3$, то значення виразу дорівнює 0.

Для виразу $\frac{x+3}{x}-\frac{x}{x-2}$:

• якщо $x=4$, то значення виразу дорівнює $-\frac{1}{4}$.
• якщо $x=-1$, то значення виразу дорівнює $-2\frac{1}{3}$.

1.5. Дізнайтеся прізвище видатного українського авіаконструктора.

Прізвище авіаконструктора – Антонов.

Якщо x = -3, то вираз дорівнює -0,5 (літера Т).

Якщо x = -1, то вираз дорівнює 0 (літера В).

Якщо x = 0, то вираз дорівнює 1 (літера А).

Якщо x = 2, то вираз дорівнює -3 (літера О).

Якщо x = 3, то вираз дорівнює -2 (літера Н).

Підставивши літери замість чисел у другій таблиці (1, -2, -0,5, -3, -2, -3, 0), отримаємо прізвище АНТОНОВ.

1.6. Складіть дріб:

• чисельником якого є різниця змінних $a$ і $b$, а знаменником – їх сума: $\frac{a-b}{a+b}$.
• чисельником якого є добуток змінних $x$ і $y$, а знаменником – сума їх квадратів: $\frac{xy}{x^2+y^2}$.

1.7. Знайдіть допустимі значення змінної у виразі:

• $m^2-5$: $m$ – будь-яке число.
• $\frac{3a-5}{a}$: $a$ – будь-яке число, крім $a=0$.
• $\frac{7b+9}{8}$: $b$ – будь-яке число.
• $\frac{t-9}{t+1}$: $t$ – будь-яке число, крім $t=-1$.
• $\frac{x^2+1}{x}+\frac{2}{x-7}$: $x$ – будь-яке число, крім $x=0$ та $x=7$.
• $\frac{p+2}{p(p-1)}$: $p$ – будь-яке число, крім $p=0$ та $p=1$.
• $\frac{3}{x^2+1}$: $x$ – будь-яке число.
• $\frac{1}{m}+\frac{1}{|m|+5}$: $m$ – будь-яке число, крім $m=0$.

1.8. Знайдіть допустимі значення змінної у виразі:

• $p+9$: $p$ – будь-яке число.
• $\frac{a-7}{a+4}$: $a$ – будь-яке число, крім $a=-4$.
• $\frac{b-9}{4}$: $b$ – будь-яке число.
• $\frac{x^2-3}{x(x+2)}$: $x$ – будь-яке число, крім $x=0$ та $x=-2$.
• $\frac{2y}{y-1}+\frac{3}{y+6}$: $y$ – будь-яке число, крім $y=1$ та $y=-6$.
• $\frac{4}{m^2+2}$: $m$ – будь-яке число.

1.9. За t год автомобіль подолав 240 км. Складіть вираз для обчислення швидкості автомобіля (у км/год). Знайдіть значення цього виразу, якщо t = 3; 4.

Для знаходження швидкості ($v$) потрібно відстань ($s$) поділити на час ($t$).

Вираз: $v=\frac{s}{t}=\frac{240}{t}$.

Якщо $t=3$, то $v=\frac{240}{3}=80$ (км/год).

Якщо $t=4$, то $v=\frac{240}{4}=60$ (км/год).

1.10. Пенсіонерка для потреб мечеті витратила 48 грн на придбання n ручок. Складіть вираз для обчислення ціни ручки (у грн) та обчисліть його значення, якщо n = 8; 10.

Щоб знайти ціну однієї ручки, потрібно загальну вартість поділити на кількість ручок ($n$).

Вираз: ціна = $\frac{48}{n}$.

Якщо $n=8$, то ціна $=\frac{48}{8}=6$ (грн).

Якщо $n=10$, то ціна $=\frac{48}{10}=4,8$ (грн).

1.11. Для якого значення змінної значення дробу $\frac{x+2}{8}$ дорівнює:

1) $\frac{x+2}{8}=-2$
$x+2=-2\cdot 8$
$x+2=-16$
$x=-18$.

2) $\frac{x+2}{8}=9$
$x+2=9\cdot 8$
$x+2=72$
$x=70$.

3) $\frac{x+2}{8}=0,01$
$x+2=0,01\cdot 8$
$x+2=0,08$
$x=-1,92$.

4) $\frac{x+2}{8}=-4,9$
$x+2=-4,9\cdot 8$
$x+2=-39,2$
$x=-41,2$.

1.12. Для якого значення змінної значення дробу $\frac{m-1}{10}$ дорівнює:

1) $\frac{m-1}{10}=-8$
$m-1=-8\cdot 10$
$m-1=-80$
$m=-79$.

2) $\frac{m-1}{10}=0,25$
$m-1=0,25\cdot 10$
$m-1=2,5$
$m=3,5$.

1.13. Для якого значення x дорівнює нулю дріб:

1) Для рівняння $\frac{4x-8}{x}=0$

$4x-8=0$
$4x=8$
$x=2$.

Відповідь: $x\ne 0$, $x=2$

2) Для рівняння $\frac{x(x+3)}{x^2}=0$

$x(x+3)=0$
$x=0$
$x=-3$.

Відповідь: $x=-3$, $x\ne 0$

3) Для рівняння $\frac{(x-1)(x+7)}{x+5}=0$

$(x-1)(x+7)=0$
$x=1$ або $x=-7$.

Відповідь: $x=1$ або $x=-7$, $x\ne -5$

4) Для рівняння $\frac{3x-6}{8-4x}=0$

$3x-6=0$
$3x=6$
$x=2$.

Перевіримо знаменник при $x=2$: $8-4(2)=8-8=0$.
Оскільки знаменник дорівнює нулю при $x=2$, то це значення не є коренем рівняння.

Відповідь: розв’язків немає.

1.14. Для якого значення y дорівнює нулю дріб:

1) Для рівняння $\frac{y}{5y-7}=0$

Дріб дорівнює нулю, коли чисельник дорівнює нулю, а знаменник не дорівнює нулю.

$y=0$
$5y-7\ne 0⟹y\ne \frac{7}{5}$

Відповідь: $y=0$, $y\ne \frac{7}{5}$

2) Для рівняння $\frac{(y+1)y}{y^7}=0$

Чисельник дорівнює нулю, коли $y+1=0$ або $y=0$. Це дає $y=-1$ або $y=0$.
Знаменник не може бути нулем, тому $y\ne 0$.

Відповідь: $y=-1$, $y\ne 0$.

3) Для рівняння $\frac{(y+2)(y-3)}{y+4}=0$

Чисельник дорівнює нулю, коли $y+2=0$ або $y-3=0$. Це дає $y=-2$ або $y=3$.
Знаменник не може бути нулем, тому $y+4\ne 0$, тобто $y\ne -4$.

Відповідь: $y=-2$, $y=3$, $y\ne -4$.

4) Для рівняння $\frac{y+1}{5y+5}=0$

Чисельник дорівнює нулю, коли $y+1=0$. Це дає $y=-1$.
Знаменник не може бути нулем, тому $5y+5\ne 0$, що означає $y\ne -1$.
Оскільки умови суперечать одна одній ($y$ має дорівнювати $-1$ і не дорівнювати $-1$ одночасно), розв’язків немає.

Відповідь: розв’язків немає.

1.15. Знайдіть допустимі значення змінної у виразі:

Допустимі значення змінної (Область допустимих значень, ОДЗ) для дробового виразу — це всі значення змінної, при яких знаменник дробу не дорівнює нулю.

1) $\frac{a+1}{(a-1)(2a+7)}$

Знайдемо значення a, при яких знаменник дорівнює нулю:

$(a-1)(2a+7)=0$
$a-1=0$ або $2a+7=0$
$a=1$ або $2a=-7$, звідки $a=-3.5$.

Отже, допустимими є всі значення, крім $1$ та $-3.5$.

2) $\frac{t+2}{t^2-7t}$

Прирівняємо знаменник до нуля:

$t^2-7t=0$
$t(t-7)=0$
$t=0$ або $t-7=0$, звідки $t=7$.

Отже, допустимими є всі значення, крім $0$ та $7$.

3) $\frac{m}{m^2-25}$

Прирівняємо знаменник до нуля:

$m^2-25=0$
$(m-5)(m+5)=0$
$m-5=0$ або $m+5=0$
$m=5$ або $m=-5$.

Отже, допустимими є всі значення, крім $5$ та $-5$.

4) $\frac{5}{(x-9{)}^2}$

Прирівняємо знаменник до нуля:

$(x-9{)}^2=0$
$x-9=0$
$x=9$.

Отже, допустимими є всі значення, крім $9$.

1.16. Знайдіть допустимі значення змінної у виразі:

1) $\frac{p-7}{(9-p)(4p+10)}$

Прирівняємо знаменник до нуля:

$(9-p)(4p+10)=0$
$9-p=0$ або $4p+10=0$
$p=9$ або $4p=-10$, звідки $p=-2.5$.

Отже, допустимими є всі значення, крім $9$ та $-2.5$.

2) $\frac{a+2}{5a-a^2}$

Прирівняємо знаменник до нуля:

$5a-a^2=0$
$a(5-a)=0$
$a=0$ або $5-a=0$, звідки $a=5$.

Отже, допустимими є всі значення, крім $0$ та $5$.

3) $\frac{c}{4-c^2}$

Прирівняємо знаменник до нуля:

$4-c^2=0$
$(2-c)(2+c)=0$
$2-c=0$ або $2+c=0$
$c=2$ або $c=-2$.

Отже, допустимими є всі значення, крім $2$ та $-2$.

4) $\frac{a}{(a+1{)}^2}$

Прирівняємо знаменник до нуля:

$(a+1{)}^2=0$
$a+1=0$
$a=-1$.

Отже, допустимими є всі значення, крім $-1$.

1.17. Складіть вираз зі змінною x, що мав би зміст для будь-яких значень x, крім:

1) $x=2$

Потрібно, щоб при $x=2$ знаменник дорівнював нулю. Таким виразом може бути $x-2$.

Приклад: $\frac{1}{x-2}$.

2) $x=1$ і $x=-4$

Потрібно, щоб при $x=1$ та $x=-4$ знаменник дорівнював нулю. Для цього в знаменнику мають бути множники $(x-1)$ та $(x+4)$.

Приклад: $\frac{5}{(x-1)(x+4)}$.

1.18. Знайдіть допустимі значення змінної у виразі:

1) $\frac{37}{a(a-2)-3a+6}$

Розв’язання:

Допустимі значення змінної — це всі значення, за яких знаменник дробу не дорівнює нулю. Прирівняємо знаменник до нуля і знайдемо значення, які потрібно виключити.

$a(a-2)-3a+6=0$
$a^2-2a-3a+6=0$
$a^2-5a+6=0$

За теоремою Вієта:

$a_1+a_2=5$
$a_1\cdot a_2=6$
Отже, $a_1=2$, $a_2=3$.

Вираз має зміст при всіх значеннях $a$, крім 2 та 3.

Відповідь: $a\ne 2,a\ne 3$.

2) $\frac{x}{|x|-1}$

Розв’язання:

Знаменник не може дорівнювати нулю.

$|x|-1\ne 0$
$|x|\ne 1$

Це означає, що $x$ не може дорівнювати 1 або -1.

Відповідь: $x\ne 1,x\ne -1$.

3) $\frac{5m}{1-\frac{1}{m}}$

Розв’язання:

У цьому виразі є два знаменники. По-перше, знаменник внутрішнього дробу m не може дорівнювати нулю. По-друге, знаменник основного дробу 1 - 1/m не може дорівнювати нулю.

1) $m\ne 0$

2) $1-\frac{1}{m}\ne 0⟹1\ne \frac{1}{m}⟹m\ne 1$Отже, m не може дорівнювати 0 та 1.

Відповідь:

$m\ne 0,m\ne 1$.

4) $\frac{4k}{4-|k-2|}$

Розв’язання:

Знаменник не може дорівнювати нулю.

$4-|k-2|\ne 0$
$|k-2|\ne 4$

Це рівняння розпадається на два:

$k-2\ne 4⟹k\ne 6$
$k-2\ne -4⟹k\ne -2$

Відповідь: $k\ne 6,k\ne -2$.

1.19. Знайдіть область визначення виразу:

1) $\frac{12}{x(x+2)-4x-8}$

Розв’язання:

Прирівняємо знаменник до нуля.

$x(x+2)-4x-8=0$
$x^2+2x-4x-8=0$
$x^2-2x-8=0$

За теоремою Вієта:

$x_1+x_2=2$
$x_1\cdot x_2=-8$
Отже, $x_1=4$, $x_2=-2$.

Область визначення — усі числа, крім 4 та -2.

2) $\frac{m}{4-|m|}$

Розв’язання:

Знаменник не дорівнює нулю.

$4-|m|\ne 0$
$|m|\ne 4$
Отже, $m\ne 4$ і $m\ne -4$.

3) $\frac{7}{\frac{1}{x}+1}$

Розв’язання:

Маємо два обмеження:

Знаменник внутрішнього дробу: $x\ne 0$.

Знаменник основного дробу:

$\frac{1}{x}+1\ne 0⟹\frac{1}{x}\ne -1⟹x\ne -1$.

Відповідь: $x\ne 0,x\ne -1$.

4) $\frac{2a}{|a+2|-3}$

Розв’язання:

Знаменник не дорівнює нулю.

$|a+2|-3\ne 0$
$|a+2|\ne 3$

Розв’язуємо два випадки:

$a+2\ne 3⟹a\ne 1$
$a+2\ne -3⟹a\ne -5$

Відповідь: $a\ne 1,a\ne -5$.

1.20. Визначте знак дробу:

1) $\frac{x^7}{y^8}$, якщо $x>0,y<0$

Чисельник: $x>0$, тому $x^7>0$ (додатне число в будь-якому степені є додатним).

Знаменник: $y<0$, але $y^8>0$ (від’ємне число в парному степені є додатним).

Дріб має вигляд $\frac{+}{+}$, отже, його знак додатний.

Відповідь: $\frac{x^7}{y^8}>0$.

2) $\frac{m+1}{n^7}$, якщо $m>0,n<0$

Чисельник: $m>0$, тому $m+1>1$, тобто $m+1>0$ (додатний).

Знаменник: $n<0$, тому $n^7<0$ (від’ємне число в непарному степені є від’ємним).

Дріб має вигляд $\frac{+}{-}$, отже, його знак від’ємний.

Відповідь: $\frac{m+1}{n^7}<0$.

3) $\frac{|p-1|}{n^{19}}$, якщо $p<0,n>0$

Чисельник: $|p-1|$. Оскільки $p<0$, то $p-1$ є від’ємним, але модуль будь-якого числа (крім нуля) є додатним. Отже, $|p-1|>0$.

Знаменник: $n>0$, тому $n^{19}>0$.Дріб має вигляд $\frac{+}{+}$, отже, його знак додатний.

Відповідь: $\frac{|p-1|}{n^{19}}>0$.

4) $\frac{|a|+1}{c^8}$, якщо $a<0,c<0$

Чисельник: $|a|>0$ (оскільки $a\ne 0$), тому $|a|+1>1$, тобто чисельник додатний.

Знаменник: $c<0$, тому $c^8>0$ (від’ємне число в парному степені є додатним).

Дріб має вигляд $\frac{+}{+}$, отже, його знак додатний.

Відповідь: $\frac{|a|+1}{c^8}>0$.

1.21. Доведіть, що для будь-якого значення змінної значення дробу:

1) $\frac{7}{a^2+1}$ є додатним

Чисельник $7$ є додатним числом.

Знаменник $a^2+1$. Оскільки $a^2\ge 0$ для будь-якого $a$, то $a^2+1\ge 1$, тобто знаменник завжди є додатним.

Частка двох додатних чисел є числом додатним. Отже, дріб завжди додатний.

2) $\frac{4}{-p^2-2}$ є від’ємним

Чисельник $4$ є додатним числом.

Знаменник $-p^2-2=-(p^2+2)$. Оскільки $p^2\ge 0$, то $p^2+2\ge 2$, а $-(p^2+2)\le -2$. Тобто знаменник завжди є від’ємним.

Частка додатного і від’ємного числа є числом від’ємним. Отже, дріб завжди від’ємний.

3) $\frac{(a+1{)}^2}{a^2+7}$ є невід’ємним

“Невід’ємний” означає більший або рівний нулю ($\ge 0$).

Чисельник $(a+1{)}^2\ge 0$, оскільки квадрат будь-якого виразу є невід’ємним.

Знаменник $a^2+7\ge 7$, оскільки $a^2\ge 0$. Знаменник завжди додатний.

Частка невід’ємного і додатного числа є невід’ємним числом. Отже, дріб завжди невід’ємний.

4) $\frac{-(p^2-4{)}^2}{p^4+1}$ є недодатним

“Недодатний” означає менший або рівний нулю ($\le 0$).

Чисельник $-(p^2-4{)}^2$. Вираз $(p^2-4{)}^2\ge 0$. Зі знаком мінус попереду, весь чисельник $-(p^2-4{)}^2\le 0$.

Знаменник $p^4+1\ge 1$, оскільки $p^4\ge 0$. Знаменник завжди додатний.

Частка недодатного і додатного числа є недодатним числом. Отже, дріб завжди недодатний.

1.22. Перетворіть вираз на многочлен:

1) $(a^2+2a-7)-(a^2-4a-9)=a^2+2a-7-a^2+4a+9=6a+2$

2) $3x^{2}y(2x-3y+7)=6x^{3}y-9x^2{y}^2+21x^{2}y$

3) $(x^2-2x)(x+9)=x^3+9x^2-2x^2-18x=x^3+7x^2-18x$

4) $(x^2-5{)}^2+10x^2=(x^4-10x^2+25)+10x^2=x^4+25$

1.23. Розв’яжіть рівняння:

$4x(2x-7)+3x(5-2x)=2x^2+39$

$8x^2-28x+15x-6x^2=2x^2+39$
$2x^2-13x=2x^2+39$
$-13x=39$
$x=-3$

Пiдготуйтеся до вивчення нового матерiалу

1.24. Скоротіть дріб:

1) $\frac{7}{14}=\frac{1}{2}$

2) $\frac{25}{35}=\frac{5}{7}$

3) $\frac{12}{18}=\frac{2}{3}$

4) $\frac{30}{45}=\frac{2}{3}$

5) $\frac{36}{48}=\frac{3}{4}$

6) $\frac{51}{85}=\frac{3}{5}$

1.25. Зведіть дріб:

1) $\frac{1}{8}$ до знаменника 24: $\frac{1\cdot 3}{8\cdot 3}=\frac{3}{24}$

2) $\frac{2}{7}$ до знаменника 28: $\frac{2\cdot 4}{7\cdot 4}=\frac{8}{28}$

3) $\frac{4}{15}$ до знаменника 30: $\frac{4\cdot 2}{15\cdot 2}=\frac{8}{30}$

4) $\frac{8}{9}$ до знаменника 63: $\frac{8\cdot 7}{9\cdot 7}=\frac{56}{63}$

1.26. Подайте у вигляді степеня вираз:

1) $m^3{m}^4=m^{3+4}=m^7$

2) $p{p}^7=p^{1+7}=p^8$

3) $x^9:x^3=x^{9-3}=x^6$

4) $(a^3{)}^7=a^{3\cdot 7}=a^{21}$

5) $b^2\cdot (b^3{)}^4=b^2\cdot b^{12}=b^{2+12}=b^{14}$

6) $(c^4{)}^5:c^{12}=c^{20}:c^{12}=c^{20-12}=c^8$

1.27. На який вираз треба помножити одночлен $2a^{2}b$, щоб отримати:

1) $2a^{3}b$: на $a$

2) $2a^2{b}^4$: на $b^3$

3) $4a^{5}b$: на $2a^3$

4) $16a^4{b}^3$: на $8a^2{b}^2$

1.28. Розкладіть на множники многочлен:

1) $ab-b^2=b(a-b)$

2) $m^7+m^5=m^5(m^2+1)$

3) $8m^2-4mn=4m(2m-n)$

4) $6a^{3}b-15a^2{b}^2=3a^{2}b(2a-5b)$

5) $x^2+6x+9=(x+3{)}^2$

6) $c^2-10c+25=(c-5{)}^2$

7) $x^2-25=(x-5)(x+5)$

8) $p^4-49m^2=(p^2-7m)(p^2+7m)$

9) $a^2+ab+7a+7b=a(a+b)+7(a+b)=(a+7)(a+b)$

Життєва математика

1.29. Лікарка Наталя Борисівна веде здоровий спосіб життя, тому на роботу і з роботи їздить на велосипеді. Вранці вона дістається до роботи за 15 хв, рухаючись зі швидкістю 12 км/год. З роботи повертається зі швидкістю 10 км/год. Скільки часу витрачає Наталя Борисівна на шлях з роботи додому?

Спочатку знайдемо відстань від дому до роботи. Для цього потрібно перевести час із хвилин у години та помножити на швидкість.

Переведемо час у години:

15 хв = $\frac{15}{60}$ год = 0,25 год.

Знайдемо відстань (s):

$s=v\cdot t=12\text{ км/год}\cdot 0,25\text{ год}=3$ км.

Знайдемо час на шлях додому (t):

$t=\frac{s}{v}=\frac{3\text{ км}}{10\text{ км/год}}=0,3$ год.

Переведемо години у хвилини:

$0,3\text{ год}\cdot 60\text{ хв/год}=18$ хв.

Відповідь: Наталя Борисівна витрачає на шлях з роботи додому 18 хвилин.

Цікаві задачі – поміркуй одначе

1.30. Скільки існує двоцифрових натуральних чисел, які дорівнюють сумі добутку й суми своїх цифр?

Давайте позначимо двоцифрове число як $10a+b$, де $a$ – це цифра десятків (від 1 до 9), а $b$ – цифра одиниць (від 0 до 9).

За умовою задачі, число повинно дорівнювати сумі добутку його цифр і суми його цифр. Складемо рівняння:

$10a+b=(a\cdot b)+(a+b)$

Тепер спростимо це рівняння. Ми можемо відняти $b$ від обох частин:

$10a=ab+a$
$10a-a=ab$
$9a=ab$
$9=b$

Це означає, що умова виконується для будь-якого двоцифрового числа, у якого цифра одиниць дорівнює 9. Цифра десятків ($a$) може бути будь-якою від 1 до 9.

Перелічимо ці числа:

19, 29, 39, 49, 59, 69, 79, 89, 99.

Всього таких чисел 9.