Повторюємо алгебру за 8 клас

Зміст

РАЦІОНАЛЬНІ ВИРАЗИ

1. Скоротіть дроби:

1. $\dfrac{7x}{7y} = \dfrac{x}{y}$
2. $\dfrac{2x}{10m} = \dfrac{x}{5m}$
3. $\dfrac{mc}{xm} = \dfrac{c}{x}$
4. $\dfrac{p^2}{pa} = \dfrac{p}{a}$
5. $\dfrac{4ab}{7bc} = \dfrac{4a}{7c}$
6. $\dfrac{6ay}{6by} = \dfrac{a}{b}$

2. Скоротіть дроби:

1. $\dfrac{9a}{9b} = \dfrac{a}{b}$
2. $\dfrac{5t}{15a} = \dfrac{t}{3a}$
3. $\dfrac{ad}{dm} = \dfrac{a}{m}$
4. $\dfrac{c^2}{5c} = \dfrac{c}{5}$
5. $\dfrac{7xy}{9yt} = \dfrac{7x}{9t}$
6. $\dfrac{4xp}{4yp} = \dfrac{x}{y}$

3. Виконайте дію:

1. $\dfrac{x+y}{5} -\dfrac{x}{5} = \dfrac{x + y -x}{5} = \dfrac{y}{5}$
2. $\dfrac{4m^2}{5} + \dfrac{m^2}{5} = \dfrac{4m^2 + m^2}{5} = \dfrac{5m^2}{5} = m^2$
3. $\dfrac{12}{x^2} \cdot \dfrac{x}{3} = \dfrac{12 \cdot x}{3 \cdot x^2} = \dfrac{4}{x}$
4. $\dfrac{a^2}{3} : \dfrac{a}{15} = \dfrac{a^2}{3} \cdot \dfrac{15}{a} = \dfrac{a^2 \cdot 15}{3 \cdot a} = 5a$

4. Виконайте дію:

1. $\dfrac{a-b}{3} + \dfrac{b}{3} = \dfrac{a -b + b}{3} = \dfrac{a}{3}$
2. $\dfrac{7a^2}{6} -\dfrac{a^2}{6} = \dfrac{7a^2 -a^2}{6} = \dfrac{6a^2}{6} = a^2$
3. $\dfrac{y}{4} \cdot \dfrac{16}{y^2} = \dfrac{y \cdot 16}{4 \cdot y^2} = \dfrac{4}{y}$
4. $\dfrac{m^2}{5} : \dfrac{m}{10} = \dfrac{m^2}{5} \cdot \dfrac{10}{m} = \dfrac{m^2 \cdot 10}{5 \cdot m} = 2m$

5. Скоротіть дроби:

1. $\dfrac{16m^2 p}{20mb} = \dfrac{4 \cdot 4 \cdot m \cdot m \cdot p}{4 \cdot 5 \cdot m \cdot b} = \dfrac{4mp}{5b}$
2. $\dfrac{ab^2(x+2)}{a^2 b(x+2)^2} = \dfrac{b}{a(x+2)}$
3. $\dfrac{5m-15}{10} = \dfrac{5(m-3)}{10} = \dfrac{m-3}{2}$
4. $\dfrac{a+2b}{a^2+2ab} = \dfrac{a+2b}{a(a+2b)} = \dfrac{1}{a}$

6. Скоротіть дроби:

1. Для скорочення дробу $\dfrac{15a^2x}{25ay}$ поділимо чисельник і знаменник на їхній спільний множник $5a$:
   $\dfrac{15a^2x}{25ay} = \dfrac{3ax}{5y}$
2. Для скорочення дробу $\dfrac{m^2c(a-2)^2}{mc^2(a-2)}$ поділимо на спільний множник $mc(a-2)$:
   $\dfrac{m^2c(a-2)^2}{mc^2(a-2)} = \dfrac{m(a-2)}{c}$
3. У чисельнику дробу $\dfrac{4x+12}{16}$ винесемо спільний множник 4 за дужки та скоротимо:
   $\dfrac{4(x+3)}{16} = \dfrac{x+3}{4}$
4. У знаменнику дробу $\dfrac{m-3p}{m^2-3mp}$ винесемо $m$ за дужки та скоротимо на вираз $(m-3p)$:
   $\dfrac{m-3p}{m(m-3p)} = \dfrac{1}{m}$

7. Подайте у вигляді дробу:

1. Виконаємо додавання дробів з однаковими знаменниками:
   $\dfrac{x+2y}{5} + \dfrac{4x-7y}{5} = \dfrac{x+2y+4x-7y}{5} = \dfrac{5x-5y}{5} = \dfrac{5(x-y)}{5} = x-y$
2. Виконаємо віднімання дробів з однаковими знаменниками:
   $\dfrac{x-y}{x^2-4} -\dfrac{y-2}{x^2-4} = \dfrac{x-y-(y-2)}{x^2-4} = \dfrac{x-2y+2}{x^2-4}$
3. Зведемо дроби до спільного знаменника $mp$:
   $\dfrac{4-2m}{m} -\dfrac{5-2p}{p} = \dfrac{p(4-2m) -m(5-2p)}{mp} = \dfrac{4p-2mp-5m+2mp}{mp} = \dfrac{4p-5m}{mp}$
4. Зведемо до спільного знаменника, враховуючи, що $m^2-8m+16 = (m-4)^2$:
   $\dfrac{m}{m-4} -\dfrac{m^2}{(m-4)^2} = \dfrac{m(m-4) -m^2}{(m-4)^2} = \dfrac{m^2-4m-m^2}{(m-4)^2} = \dfrac{-4m}{(m-4)^2}$
5. Виконаємо множення дробів, попередньо розклавши вирази на множники:
   $\dfrac{p^2-p}{3py} \cdot \dfrac{3p}{p^2-1} = \dfrac{p(p-1) \cdot 3p}{3py \cdot (p-1)(p+1)} = \dfrac{p}{y(p+1)}$
6. Виконаємо ділення, замінивши його множенням на обернений дріб:
   $10x^2 : \left(-\dfrac{5x}{m}\right) = 10x^2 \cdot \left(-\dfrac{m}{5x}\right) = -2x \cdot m = -2mx$

8. Подайте у вигляді дробу:

1. Додамо дроби:
   $\dfrac{a+3b}{4} + \dfrac{3a-7b}{4} = \dfrac{a+3b+3a-7b}{4} = \dfrac{4a-4b}{4} = a-b$
2. Віднімемо дроби:
   $\dfrac{m-b}{m^2-1} -\dfrac{b-1}{m^2-1} = \dfrac{m-b-b+1}{m^2-1} = \dfrac{m-2b+1}{m^2-1}$
3. Зведемо до спільного знаменника $xy$:
   $\dfrac{5-3y}{y} -\dfrac{2-3x}{x} = \dfrac{x(5-3y) -y(2-3x)}{xy} = \dfrac{5x-3xy-2y+3xy}{xy} = \dfrac{5x-2y}{xy}$
4. Використаємо формулу квадрата суми $(b+2)^2 = b^2+4b+4$ для знаходження спільного знаменника:
   $\dfrac{b}{b+2} -\dfrac{b^2}{(b+2)^2} = \dfrac{b(b+2) -b^2}{(b+2)^2} = \dfrac{b^2+2b-b^2}{(b+2)^2} = \dfrac{2b}{(b+2)^2}$
5. Виконаємо множення:
   $\dfrac{c^2-2c}{5ma} \cdot \dfrac{5m}{c^2-4} = \dfrac{c(c-2) \cdot 5m}{5ma \cdot (c-2)(c+2)} = \dfrac{c}{a(c+2)}$
6. Виконаємо ділення:
   $\dfrac{4a^2}{p} : (-8a) = \dfrac{4a^2}{p} \cdot \left(-\dfrac{1}{8a}\right) = -\dfrac{a}{2p}$

9. Розв’яжіть рівняння:

1) $\dfrac{2x-6}{x+3} = 0$

Дріб дорівнює нулю, коли чисельник дорівнює нулю, а знаменник — ні.
$2x -6 = 0$
$2x = 6$
$x = 3$
Перевірка знаменника: $3 + 3 = 6 \neq 0$.
Відповідь: 3.

2) $\dfrac{x+4}{x} = 0$

$x + 4 = 0$
$x = -4$
Перевірка знаменника: $-4 \neq 0$.
Відповідь: -4.

3) $\dfrac{x}{x-2} = \dfrac{7}{5}$

За основною властивістю пропорції:
$5x = 7(x -2)$
$5x = 7x -14$
$-2x = -14$
$x = 7$
Перевірка знаменника: $7 -2 = 5 \neq 0$.
Відповідь: 7.

4) $\dfrac{3x^2-9}{x+1} = 3x$

$3x^2 -9 = 3x(x + 1)$
$3x^2 -9 = 3x^2 + 3x$
$-9 = 3x$
$x = -3$
Перевірка знаменника: $-3 + 1 = -2 \neq 0$.
Відповідь: -3.

10. Розв’яжіть рівняння:

1 $\dfrac{2x+4}{x-2} = 0$

$2x + 4 = 0$
$2x = -4$
$x = -2$
Перевірка знаменника: $-2 -2 = -4 \neq 0$.
Відповідь: -2.

2 $\dfrac{x+8}{x} = 0$

$x + 8 = 0$
$x = -8$
Перевірка знаменника: $-8 \neq 0$.
Відповідь: -8.

3 $\dfrac{x}{x+1} = \dfrac{4}{5}$

$5x = 4(x + 1)$
$5x = 4x + 4$
$x = 4$
Перевірка знаменника: $4 + 1 = 5 \neq 0$.
Відповідь: 4.

4 $\dfrac{2x^2+8}{x-1} = 2x$

$2x^2 + 8 = 2x(x -1)$
$2x^2 + 8 = 2x^2 -2x$
$8 = -2x$
$x = -4$
Перевірка знаменника: $-4 -1 = -5 \neq 0$.
Відповідь: -4.

ПОВТОРЮЄМО АЛГЕБРУ ЗА 8 КЛАС

11. Обчисліть:

1. $9^{-2} = \dfrac{1}{9^2} = \dfrac{1}{81}$
2. $(-4)^{-3} = \dfrac{1}{(-4)^3} = \dfrac{1}{-64} = -\dfrac{1}{64}$
3. $(-1)^{-7} = \dfrac{1}{(-1)^7} = \dfrac{1}{-1} = -1$
4. $14^{-1} = \dfrac{1}{14^1} = \dfrac{1}{14}$
5. $2^9 \cdot 2^{-10} = 2^{9 + (-10)} = 2^{-1} = \dfrac{1}{2}$
6. $5 : 5^{-1} = 5^1 : 5^{-1} = 5^{1 -(-1)} = 5^{1 + 1} = 5^2 = 25$
7. $\dfrac{4^{-3}}{4^{-2}} = 4^{-3 -(-2)} = 4^{-3 + 2} = 4^{-1} = \dfrac{1}{4}$
8. $\left( \dfrac{1}{3} \right)^{-2} = 3^2 = 9$

12. Обчисліть:

1. $2^{-3} = \dfrac{1}{2^3} = \dfrac{1}{8}$
2. $(-5)^{-2} = \dfrac{1}{(-5)^2} = \dfrac{1}{25}$
3. $(-1)^{-11} = \dfrac{1}{(-1)^{11}} = \dfrac{1}{-1} = -1$
4. $15^{-1} = \dfrac{1}{15^1} = \dfrac{1}{15}$
5. $4^8 \cdot 4^{-10} = 4^{8 + (-10)} = 4^{-2} = \dfrac{1}{4^2} = \dfrac{1}{16}$
6. $7^{-1} : 7 = 7^{-1} : 7^1 = 7^{-1 -1} = 7^{-2} = \dfrac{1}{49}$
7. $\dfrac{9^{-4}}{9^{-5}} = 9^{-4 -(-5)} = 9^{-4 + 5} = 9^1 = 9$
8. $\left( \dfrac{1}{10} \right)^{-3} = 10^3 = 1000$

13. Виконайте дії та подайте результат у стандартному вигляді:

1. $(1,8 \cdot 10^{-5}) \cdot (3 \cdot 10^9) = (1,8 \cdot 3) \cdot (10^{-5} \cdot 10^9) = 5,4 \cdot 10^4$
2. $(1,7 \cdot 10^4) : (3,4 \cdot 10^{-3}) = \dfrac{1,7}{3,4} \cdot \dfrac{10^4}{10^{-3}} = 0,5 \cdot 10^{4 -(-3)} = 0,5 \cdot 10^7 = 5 \cdot 10^6$
3. $3,2 \cdot 10^{-3} + 7 \cdot 10^{-3} = (3,2 + 7) \cdot 10^{-3} = 10,2 \cdot 10^{-3} = 1,02 \cdot 10^{-2}$
4. $5,42 \cdot 10^8 -4,3 \cdot 10^8 = (5,42 -4,3) \cdot 10^8 = 1,12 \cdot 10^8$

14. Виконайте дії та подайте результат у стандартному вигляді:

1. $(5 \cdot 10^8) \cdot (2,4 \cdot 10^{-3}) = (5 \cdot 2,4) \cdot (10^8 \cdot 10^{-3}) = 12 \cdot 10^5 = 1,2 \cdot 10^6$
2. $(7 \cdot 10^8) : (3,5 \cdot 10^{-1}) = \dfrac{7}{3,5} \cdot \dfrac{10^8}{10^{-1}} = 2 \cdot 10^{8 -(-1)} = 2 \cdot 10^9$
3. $4,9 \cdot 10^4 + 2 \cdot 10^4 = (4,9 + 2) \cdot 10^4 = 6,9 \cdot 10^4$
4. $4,42 \cdot 10^{-7} -4 \cdot 10^{-7} = (4,42 -4) \cdot 10^{-7} = 0,42 \cdot 10^{-7} = 4,2 \cdot 10^{-8}$

15. Побудуйте графіки функцій:

Графіком кожної з функцій є гіпербола.

1. $y = \dfrac{8}{x}$
   Для побудови обчислимо координати кількох точок:

• Якщо $x = 1$, то $y = 8$;
• Якщо $x = 2$, то $y = 4$;
• Якщо $x = 4$, то $y = 2$;
• Якщо $x = 8$, то $y = 1$;
• Якщо $x = -1$, то $y = -8$;
• Якщо $x = -2$, то $y = -4$;
• Якщо $x = -4$, то $y = -2$;
• Якщо $x = -8$, то $y = -1$.
  Гілки гіперболи розташовані у I та III чвертях.

2. $y = -\dfrac{10}{x}$
   Для побудови обчислимо координати кількох точок:

• Якщо $x = 1$, то $y = -10$;
• Якщо $x = 2$, то $y = -5$;
• Якщо $x = 5$, то $y = -2$;
• Якщо $x = 10$, то $y = -1$;
• Якщо $x = -1$, то $y = 10$;
• Якщо $x = -2$, то $y = 5$;
• Если $x = -5$, то $y = 2$;
• Якщо $x = -10$, то $y = 1$.
  Гілки гіперболи розташовані у II та IV чвертях.

16. Побудуйте графіки функцій:

1. $y = \dfrac{12}{x}$

Для побудови графіка функції $y = \dfrac{12}{x}$ (гіперболи) складемо таблицю значень:

2. $y = -\dfrac{4}{x}$

Для побудови графіка функції $y = -\dfrac{4}{x}$ (гіперболи) складемо таблицю значень:

17. Виконайте дію:

1. $\dfrac{2a^2 -2a}{4a^2 -b^2} + \dfrac{b(a -1)}{b^2 -4a^2}$

Зведемо дроби до спільного знаменника, змінивши знак у другому знаменнику:
$\dfrac{2a(a -1)}{4a^2 -b^2} -\dfrac{b(a -1)}{4a^2 -b^2} =$
$= \dfrac{(a -1) \cdot (2a -b)}{(2a -b) \cdot (2a + b)} =$
$= \dfrac{a -1}{2a + b}$

2. $\dfrac{x + 3}{xy -x^2} + \dfrac{y + 3}{xy -y^2}$

Розкладемо знаменники на множники та зведемо до спільного знаменника $xy(y -x)$:
$\dfrac{x + 3}{x \cdot (y -x)} + \dfrac{y + 3}{y \cdot (x -y)} =$
$= \dfrac{x + 3}{x \cdot (y -x)} -\dfrac{y + 3}{y \cdot (y -x)} =$
$= \dfrac{y \cdot (x + 3) -x \cdot (y + 3)}{xy \cdot (y -x)} =$
$= \dfrac{xy + 3y -xy -3x}{xy \cdot (y -x)} =$
$= \dfrac{3 \cdot (y -x)}{xy \cdot (y -x)} =$
$= \dfrac{3}{xy}$

3. $\dfrac{x^2 + x -3}{x^2 -9} -\dfrac{3}{2x -6} -1$

Спільний знаменник для дробів дорівнює $2 \cdot (x -3) \cdot (x + 3)$:
$\dfrac{x^2 + x -3}{(x -3) \cdot (x + 3)} -\dfrac{3}{2 \cdot (x -3)} -1 =$
$= \dfrac{2 \cdot (x^2 + x -3) -3 \cdot (x + 3) -2 \cdot (x^2 -9)}{2 \cdot (x -3) \cdot (x + 3)} =$
$= \dfrac{2x^2 + 2x -6 -3x -9 -2x^2 + 18}{2 \cdot (x^2 -9)} =$
$= \dfrac{-x + 3}{2 \cdot (x -3) \cdot (x + 3)} =$
$= \dfrac{-(x -3)}{2 \cdot (x -3) \cdot (x + 3)} =$
$= -\dfrac{1}{2 \cdot (x + 3)}$

4. $\dfrac{ax -2x}{3y + 6} : \dfrac{4 -a^2}{y^2 + 4y + 4}$

Виконаємо ділення, помноживши на обернений дріб та розклавши вирази на множники:
$\dfrac{x \cdot (a -2)}{3 \cdot (y + 2)} \cdot \dfrac{(y + 2)^2}{(2 -a) \cdot (2 + a)} =$
$= \dfrac{x \cdot (a -2) \cdot (y + 2)^2}{3 \cdot (y + 2) \cdot (-(a -2)) \cdot (a + 2)} =$
$= -\dfrac{x \cdot (y + 2)}{3 \cdot (a + 2)}$

18. Виконайте дію:

1. $\dfrac{3x(x -1)}{9x^2 -y^2} + \dfrac{xy -y}{y^2 -9x^2}$

Зведемо до спільного знаменника $9x^2 -y^2$:
$\dfrac{3x(x -1)}{9x^2 -y^2} -\dfrac{y(x -1)}{9x^2 -y^2} =$
$= \dfrac{(x -1) \cdot (3x -y)}{(3x -y) \cdot (3x + y)} =$
$= \dfrac{x -1}{3x + y}$

2. $\dfrac{a -5}{ab -a^2} -\dfrac{5 -b}{ab -b^2}$

Зведемо до спільного знаменника $ab(b -a)$:
$\dfrac{a -5}{a \cdot (b -a)} -\dfrac{5 -b}{b \cdot (a -b)} =$
$= \dfrac{a -5}{a \cdot (b -a)} + \dfrac{5 -b}{b \cdot (b -a)} =$
$= \dfrac{b \cdot (a -5) + a \cdot (5 -b)}{ab \cdot (b -a)} =$
$= \dfrac{ab -5b + 5a -ab}{ab \cdot (b -a)} =$
$= \dfrac{5 \cdot (a -b)}{ab \cdot (b -a)} =$
$= \dfrac{-5 \cdot (b -a)}{ab \cdot (b -a)} =$
$= -\dfrac{5}{ab}$

3. $\dfrac{x^2 + x -2}{x^2 -4} -\dfrac{2}{3x -6} -1$

Спільний знаменник дорівнює $3 \cdot (x -2) \cdot (x + 2)$:
$\dfrac{x^2 + x -2}{(x -2) \cdot (x + 2)} -\dfrac{2}{3 \cdot (x -2)} -1 =$
$= \dfrac{3 \cdot (x^2 + x -2) -2 \cdot (x + 2) -3 \cdot (x^2 -4)}{3 \cdot (x -2) \cdot (x + 2)} =$
$= \dfrac{3x^2 + 3x -6 -2x -4 -3x^2 + 12}{3 \cdot (x^2 -4)} =$
$= \dfrac{x + 2}{3 \cdot (x -2) \cdot (x + 2)} =$
$= \dfrac{1}{3 \cdot (x -2)}$

4. $\dfrac{m^2 -9}{a^2 + 6a + 9} : \dfrac{12 -4m}{ap + 3p}$

Розкладемо на множники та скоротимо:
$\dfrac{(m -3) \cdot (m + 3)}{(a + 3)^2} \cdot \dfrac{p \cdot (a + 3)}{4 \cdot (3 -m)} =$
$= \dfrac{(m -3) \cdot (m + 3) \cdot p \cdot (a + 3)}{(a + 3)^2 \cdot (-4) \cdot (m -3)} =$
$= -\dfrac{p \cdot (m + 3)}{4 \cdot (a + 3)}$

19. 7 липня 2024 року українська легкоатлетка Ярослава Магучіх установила новий світовий рекорд зі стрибків у висоту — 2 м 10 см. Знайдіть значення виразу $(\dfrac{a}{a+6} + \dfrac{a^2+36}{a^2-36} -\dfrac{a}{a-6}) : \dfrac{a-6}{a^2+12a+36}$, якщо $a = 31$, відтак дізнаєтеся, скільки років тримався попередній світовий рекорд у цій дисципліні.

Відомо:

• $a = 31$
• Вираз: $(\dfrac{a}{a + 6} + \dfrac{a^2 + 36}{a^2 -36} -\dfrac{a}{a -6}) : \dfrac{a -6}{a^2 + 12a + 36}$

Знайти:

• Значення виразу при $a = 31$.

Розв’язання:

Спочатку спростимо вираз у дужках, звівши дроби до спільного знаменника $(a -6) \cdot (a + 6)$:
$\dfrac{a \cdot (a -6) + a^2 + 36 -a \cdot (a + 6)}{(a -6) \cdot (a + 6)} =$
$= \dfrac{a^2 -6a + a^2 + 36 -a^2 -6a}{a^2 -36} =$
$= \dfrac{a^2 -12a + 36}{a^2 -36} =$
$= \dfrac{(a -6)^2}{(a -6) \cdot (a + 6)} = \dfrac{a -6}{a + 6}$

Тепер виконаємо ділення:
$\dfrac{a -6}{a + 6} : \dfrac{a -6}{(a + 6)^2} = \dfrac{a -6}{a + 6} \cdot \dfrac{(a + 6)^2}{a -6} =$
$= a + 6$

Підставимо значення $a = 31$:
$31 + 6 = 37$

Відповідь: попередній світовий рекорд тримався 37 років.

20. Доведіть тотожність $(\dfrac{x}{x -1} -\dfrac{x}{x + 1} -\dfrac{x^2 + 1}{1 -x^2}) \cdot \dfrac{x -1}{x^2 + 2x + 1} = \dfrac{1}{x + 1}$

Спростимо вираз у дужках, звівши дроби до спільного знаменника $x^2 -1$:
$\dfrac{x}{x -1} -\dfrac{x}{x + 1} + \dfrac{x^2 + 1}{x^2 -1} =$
$= \dfrac{x \cdot (x + 1) -x \cdot (x -1) + x^2 + 1}{(x -1) \cdot (x + 1)} =$
$= \dfrac{x^2 + x -x^2 + x + x^2 + 1}{x^2 -1} =$
$= \dfrac{x^2 + 2x + 1}{x^2 -1} =$
$= \dfrac{(x + 1)^2}{(x -1) \cdot (x + 1)} = \dfrac{x + 1}{x -1}$

Виконаємо множення отриманого результату на другий множник:
$\dfrac{x + 1}{x -1} \cdot \dfrac{x -1}{(x + 1)^2} = \dfrac{1}{x + 1}$

Оскільки ліва частина виразу після спрощення дорівнює правій, тотожність доведено.

21. Розв’яжіть рівняння $2 + \dfrac{1}{x-20} = \dfrac{x-18}{20-x}$ і $\dfrac{4}{y+1} + \dfrac{3y-7}{y-2} = 3$. Знайдіть значення виразу $100x + 18y$ та дізнаєтеся, якого року українка Катерина Логвинівна Ющенко розробила концепцію першої у світі формальної мови адресного програмування.

1. Розв’яжемо перше рівняння:
   $2 + \dfrac{1}{x-20} = \dfrac{x-18}{-(x-20)}$
   $2 + \dfrac{1}{x-20} + \dfrac{x-18}{x-20} = 0$
   $\dfrac{2 \cdot (x-20) + 1 + x -18}{x-20} = 0$
   $\dfrac{2x -40 + x -17}{x-20} = 0$
   $3x -57 = 0$
   $x = 19$ (при $x \neq 20$)
2. Розв’яжемо друге рівняння:
   $\dfrac{4 \cdot (y-2) + (3y-7) \cdot (y+1)}{(y+1) \cdot (y-2)} = 3$
   $\dfrac{4y -8 + 3y^2 + 3y -7y -7}{y^2 -y -2} = 3$
   $\dfrac{3y^2 -15}{y^2 -y -2} = 3$
   $3y^2 -15 = 3 \cdot (y^2 -y -2)$
   $3y^2 -15 = 3y^2 -3y -6$
   $3y = 9$
   $y = 3$ (при $y \neq -1, y \neq 2$)
3. Обчислимо значення виразу:
   $100 \cdot 19 + 18 \cdot 3 = 1900 + 54 = 1954$

Відповідь: 1954 рік.

22. Національний університет «Острозька академія» — один із найдавніших навчальних закладів Європи і перший — створений в Україні. Розв’яжіть рівняння $3 + \dfrac{1}{x-16} = \dfrac{x-13}{16-x}$ і $\dfrac{5}{y+1} + \dfrac{2y-1}{y+3} = 2$ та знайдіть значення виразу $100x + 19y$, відтак дізнаєтеся рік заснування цього університету.

1. Розв’яжемо перше рівняння:
   $3 + \dfrac{1}{x-16} = -\dfrac{x-13}{x-16}$
   $3 + \dfrac{1 + x -13}{x-16} = 0$
   $\dfrac{3 \cdot (x-16) + x -12}{x-16} = 0$
   $3x -48 + x -12 = 0$
   $4x = 60$
   $x = 15$ (при $x \neq 16$)
2. Розв’яжемо друге рівняння:
   $\dfrac{5 \cdot (y+3) + (2y-1) \cdot (y+1)}{(y+1) \cdot (y+3)} = 2$
   $\dfrac{5y + 15 + 2y^2 + 2y -y -1}{y^2 + 4y + 3} = 2$
   $\dfrac{2y^2 + 6y + 14}{y^2 + 4y + 3} = 2$
   $2y^2 + 6y + 14 = 2 \cdot (y^2 + 4y + 3)$
   $2y^2 + 6y + 14 = 2y^2 + 8y + 6$
   $2y = 8$
   $y = 4$ (при $y \neq -1, y \neq -3$)
3. Обчислимо значення виразу:
   $100 \cdot 15 + 19 \cdot 4 = 1500 + 76 = 1576$

Відповідь: 1576 рік.

23. Обчисліть, використовуючи властивості степенів:

1. $(4^{-3})^7 \cdot ((4^{-2})^3)^{-4} = 4^{-21} \cdot (4^{-6})^{-4} = 4^{-21} \cdot 4^{24} = 4^3 = 64$
2. $\dfrac{10^{-5} \cdot (10^{-7})^4}{(10^{-11})^3} = \dfrac{10^{-5} \cdot 10^{-28}}{10^{-33}} = \dfrac{10^{-33}}{10^{-33}} = 1$
3. $4^{-5} \cdot \left( \dfrac{1}{2} \right)^{-8} = (2^2)^{-5} \cdot (2^{-1})^{-8} = 2^{-10} \cdot 2^8 = 2^{-2} = \dfrac{1}{4} = 0{,}25$
4. $243^{-2} \cdot (3^{-7})^{-2} = (3^5)^{-2} \cdot 3^{14} = 3^{-10} \cdot 3^{14} = 3^4 = 81$
5. $\dfrac{(-5)^{-4} \cdot 25^{-2}}{(-125)^{-3}} = \dfrac{5^{-4} \cdot (5^2)^{-2}}{-(5^3)^{-3}} = \dfrac{5^{-4} \cdot 5^{-4}}{-5^{-9}} = \dfrac{5^{-8}}{-5^{-9}} = -5^{(-8) -(-9)} = -5^1 = -5$
6. $0{,}01^{-3} \cdot 10^{-8} = (10^{-2})^{-3} \cdot 10^{-8} = 10^6 \cdot 10^{-8} = 10^{-2} = 0{,}01$

24. Обчисліть, використовуючи властивості степенів:

1. $(5^{-2})^5 \cdot ((5^{-1})^{-3})^3 = 5^{-10} \cdot (5^3)^3 = 5^{-10} \cdot 5^9 = 5^{-1} = 0{,}2$
2. $\dfrac{7^{-4} \cdot (7^{-2})^5}{(7^3)^{-5}} = \dfrac{7^{-4} \cdot 7^{-10}}{7^{-15}} = \dfrac{7^{-14}}{7^{-15}} = 7^1 = 7$
3. $\left( \dfrac{1}{6} \right)^{-7} \cdot 36^{-4} = 6^7 \cdot (6^2)^{-4} = 6^7 \cdot 6^{-8} = 6^{-1} = \dfrac{1}{6}$
4. $16^{-5} \cdot (2^{-3})^{-7} = (2^4)^{-5} \cdot 2^{21} = 2^{-20} \cdot 2^{21} = 2^1 = 2$
5. $\dfrac{(-3)^{-5} \cdot 27^{-3}}{(-9)^{-6}} = \dfrac{-3^{-5} \cdot (3^3)^{-3}}{(3^2)^{-6}} = \dfrac{-3^{-14}}{3^{-12}} = -3^{-2} = -\dfrac{1}{9}$
6. $0{,}2^{-8} \cdot 25^{-4} = (5^{-1})^{-8} \cdot (5^2)^{-4} = 5^8 \cdot 5^{-8} = 5^0 = 1$

25. Доведіть, що значення виразу $\dfrac{3ab -a^2}{a^2 -9b^2} -\dfrac{3b^2}{ab + 3b^2}$ не залежить від значення змінних.

Спростимо кожну частину виразу окремо:

1. $\dfrac{3ab -a^2}{a^2 -9b^2} = \dfrac{-a \cdot (a -3b)}{(a -3b) \cdot (a + 3b)} = -\dfrac{a}{a + 3b}$
2. $\dfrac{3b^2}{ab + 3b^2} = \dfrac{3b^2}{b \cdot (a + 3b)} = \dfrac{3b}{a + 3b}$
3. Виконаємо віднімання:
   $-\dfrac{a}{a + 3b} -\dfrac{3b}{a + 3b} = \dfrac{-a -3b}{a + 3b} = \dfrac{-(a + 3b)}{a + 3b} = -1$

Значення виразу дорівнює $-1$ при всіх допустимих значеннях змінних, отже, воно не залежить від $a$ та $b$. Твердження доведено.

26. Чи існує така пара значень (x; y), що вираз $\dfrac{4y^2}{xy+4y^2} -\dfrac{4xy-x^2}{x^2-16y^2}$ набуває від’ємного значення?

Спростимо наведений вираз:
$\dfrac{4y^2}{y(x+4y)} -\dfrac{4xy-x^2}{(x-4y)(x+4y)} = \dfrac{4y}{x+4y} -\dfrac{x(4y-x)}{(x-4y)(x+4y)} = \dfrac{4y}{x+4y} -\dfrac{-x(x-4y)}{(x-4y)(x+4y)} =$
$= \dfrac{4y}{x+4y} + \dfrac{x}{x+4y} = \dfrac{x+4y}{x+4y} = 1$

Оскільки після спрощення вираз набуває сталого значення 1 для всіх допустимих значень змінних ($y \neq 0, x \neq \pm 4y$), він завжди є додатним.

Відповідь: такої пари значень не існує.

27. Обчисліть значення виразу $\dfrac{x^3+3x^2+3x+1}{1-x^2} : \dfrac{x^2+2x+1}{3-3x}$, якщо $x = 2026$, відтак дізнаєтеся, скільки разів українські футболісти отримували «Золотий м’яч» — нагорода найкращому футболісту Європи.

Спростимо вираз, використовуючи формули скороченого множення:
$\dfrac{x^3+3x^2+3x+1}{1-x^2} : \dfrac{x^2+2x+1}{3-3x} = \dfrac{(x+1)^3}{(1-x)(1+x)} \cdot \dfrac{3(1-x)}{(x+1)^2} =$
$= \dfrac{(x+1)^2}{1-x} \cdot \dfrac{3(1-x)}{(x+1)^2} = 3$

При $x = 2026$ значення виразу дорівнює 3. Українські футболісти отримували «Золотий м’яч» 3 рази (Олег Блохін у 1975 р., Ігор Бєланов у 1986 р. та Андрій Шевченко у 2004 р.).

Відповідь: 3.

28. У перших Зимових Олімпійських іграх 1924 року брав участь американець українського походження Валентин Білас. Він був учасником змагань із ковзанярського спорту на дистанції 5000 м. Знайдіть значення виразу $\dfrac{6-6y^2}{y^3-3y^2+3y-1} : \dfrac{y+1}{y^2-2y+1}$, якщо $y = 2027$, відтак дізнаєтеся, яке підсумкове місце він зайняв.

Спростимо вираз:
$\dfrac{6(1-y^2)}{(y-1)^3} \cdot \dfrac{(y-1)^2}{y+1} = \dfrac{6(1-y)(1+y)}{(y-1)^3} \cdot \dfrac{(y-1)^2}{y+1} = \dfrac{-6(y-1)(1+y) \cdot (y-1)^2}{(y-1)^3 \cdot (y+1)} =$
$= \dfrac{-6(y-1)^3(y+1)}{(y-1)^3(y+1)} = -6$

Оскільки підсумкове місце в протоколі змагань є натуральним числом, Валентин Білас посів 6 місце.

Відповідь: 6.

29. 1) Знайдіть цілі корені рівняння $\dfrac{8}{|x|} = 6 -x$, використовуючи графічний спосіб розв’язування. 2) Спробуйте розв’язати рівняння аналітично та знайти його нецілий корінь.

1. Побудуємо графіки функцій $y = \dfrac{8}{|x|}$ та $y = 6 -x$. Графік першої функції складається з двох віток гіпербол, симетричних відносно осі ординат, що лежать у I та II чвертях. Графік другої функції — пряма.

Точки перетину мають абсциси $x = 2$ та $x = 4$. Це і є цілі корені рівняння.

2. Розв’яжемо рівняння аналітично для випадку $x < 0$:
   $\dfrac{8}{-x} = 6 -x$
   $-8 = 6x -x^2$
   $x^2 -6x -8 = 0$
   $D = (-6)^2 -4 \cdot 1 \cdot (-8) = 36 + 32 = 68$
   $x = \dfrac{6 \pm \sqrt{68}}{2} = \dfrac{6 \pm 2\sqrt{17}}{2} = 3 \pm \sqrt{17}$
   Оскільки ми розглядаємо $x < 0$, нецілим коренем є $x = 3 -\sqrt{17}$.

Відповідь: 1) 2; 4; 2) $3 -\sqrt{17}$.

30. Розв’яжіть графічно рівняння $\dfrac{6}{|x|} = 2x -4$.

Побудуємо графіки функцій $y = \dfrac{6}{|x|}$ та $y = 2x -4$.
Функція $y = \dfrac{6}{|x|}$ визначена для всіх $x \neq 0$, її графік симетричний відносно осі $Oy$.
Функція $y = 2x -4$ — лінійна, її графіком є пряма, що проходить через точки $(2; 0)$ та $(0; -4)$.

Графіки перетинаються в одній точці з абсцисою $x = 3$.

Відповідь: 3.

КВАДРАТНІ КОРЕНІ. ДІЙСНІ ЧИСЛА

31. Для функції $y = x^2$ знайдіть значення $y$, що відповідає значенням $x = -2; 0; 7$.

$y_1 = (-2)^2 = 4$

$y_2 = 0^2 = 0$

$y_3 = 7^2 = 49$

Відповідь: 4; 0; 49.

32. Чи має корені рівняння:

1. Рівняння $x^2 = 4$ має два корені, оскільки число 4 є додатним.
2. Рівняння $x^2 = -4$ не має коренів, оскільки квадрат будь-якого дійсного числа не може бути від’ємним.
3. Рівняння $x^2 = 0$ має один корінь, який дорівнює 0.
4. Рівняння $x^2 = 10$ має два корені, оскільки число 10 є додатним.

33. Обчисліть:

1. $\sqrt{25} = 5$
2. $\sqrt{0{,}09} = 0{,}3$
3. $\sqrt{1 \dfrac{11}{25}} = \sqrt{\dfrac{36}{25}} = \dfrac{6}{5} = 1{,}2$
4. $\sqrt{64} -2 \cdot \sqrt{0{,}04} = 8 -2 \cdot 0{,}2 = 8 -0{,}4 = 7{,}6$
5. $-5 \cdot \sqrt{0{,}16} = -5 \cdot 0{,}4 = -2$
6. $4 \cdot \sqrt{20 \dfrac{1}{4}} = 4 \cdot \sqrt{\dfrac{81}{4}} = 4 \cdot \dfrac{9}{2} = 18$
7. $\sqrt{13^2 -12^2} = \sqrt{(13 -12) \cdot (13 + 12)} = \sqrt{1 \cdot 25} = 5$
8. $\sqrt{2 \cdot (0{,}3^2 + 0{,}41)} = \sqrt{2 \cdot (0{,}09 + 0{,}41)} = \sqrt{2 \cdot 0{,}5} = \sqrt{1} = 1$

34. Обчисліть:

1. $\sqrt{36} = 6$
2. $\sqrt{0{,}49} = 0{,}7$
3. $\sqrt{2 \dfrac{1}{4}} = \sqrt{\dfrac{9}{4}} = \dfrac{3}{2} = 1{,}5$
4. $\sqrt{100} + 5 \cdot \sqrt{0{,}64} = 10 + 5 \cdot 0{,}8 = 10 + 4 = 14$
5. $-10 \cdot \sqrt{0{,}09} = -10 \cdot 0{,}3 = -3$
6. $8 \cdot \sqrt{3 \dfrac{1}{16}} = 8 \cdot \sqrt{\dfrac{49}{16}} = 8 \cdot \dfrac{7}{4} = 14$
7. $\sqrt{15^2 -9^2} = \sqrt{(15 -9) \cdot (15 + 9)} = \sqrt{6 \cdot 24} = \sqrt{144} = 12$
8. $\sqrt{8 \cdot (0{,}4^2 + 0{,}34)} = \sqrt{8 \cdot (0{,}16 + 0{,}34)} = \sqrt{8 \cdot 0{,}5} = \sqrt{4} = 2$

35. Знайдіть наближене значення виразу $\sqrt{13} + 6{,}79$, округливши значення кореня до сотих. Відтак дізнаєтеся загальну площу лісових ділянок (у млн га), що належать до лісового фонду України.

$\sqrt{13} \approx 3{,}60555…$

$\sqrt{13} \approx 3{,}61$ (після округлення до сотих)

$3{,}61 + 6{,}79 = 10{,}4$

Відповідь: загальна площа лісових ділянок становить 10,4 млн га.

КВАДРАТНІ КОРЕНІ. ДІЙСНІ ЧИСЛА

36. Знайдіть наближене значення виразів, округливши значення кореня до тисячних:

1. $\sqrt{15} + 7{,}383$

Розв’язання:

$\sqrt{15} \approx 3{,}873$

$3{,}873 + 7{,}383 = 11{,}256$

Відповідь: 11,256.

2. $13 -\sqrt{26}$

Розв’язання:

$\sqrt{26} \approx 5{,}099$

$13 -5{,}099 = 7{,}901$

Відповідь: 7,901.

3. $\sqrt{3} + \sqrt{2}$

Розв’язання:

$\sqrt{3} \approx 1{,}732$

$\sqrt{2} \approx 1{,}414$

$1{,}732 + 1{,}414 = 3{,}146$

Відповідь: 3,146.

37. Обчисліть:

1. $(-\sqrt{17})^2 = 17$
2. $2{,}9 + (\sqrt{3})^2 = 2{,}9 + 3 = 5{,}9$
3. $\sqrt{100 \cdot 64} = 10 \cdot 8 = 80$
4. $\sqrt{3} \cdot \sqrt{27} = \sqrt{3 \cdot 27} = \sqrt{81} = 9$
5. $\sqrt{\dfrac{121}{169}} = \dfrac{11}{13}$
6. $\dfrac{\sqrt{32}}{\sqrt{2}} = \sqrt{\dfrac{32}{2}} = \sqrt{16} = 4$
7. $-3\sqrt{(-7)^2} = -3 \cdot |-7| = -3 \cdot 7 = -21$
8. $\sqrt{3^6} = 3^3 = 27$

38. Обчисліть:

1. $(\sqrt{19})^2 = 19$
2. $3{,}7 -(-\sqrt{2})^2 = 3{,}7 -2 = 1{,}7$
3. $\sqrt{25 \cdot 10,000} = 5 \cdot 100 = 500$
4. $\sqrt{2} \cdot \sqrt{50} = \sqrt{2 \cdot 50} = \sqrt{100} = 10$
5. $\sqrt{\dfrac{64}{81}} = \dfrac{8}{9}$
6. $\dfrac{\sqrt{75}}{\sqrt{3}} = \sqrt{\dfrac{75}{3}} = \sqrt{25} = 5$
7. $-2\sqrt{5^2} = -2 \cdot 5 = -10$
8. $\sqrt{(-11)^4} = (-11)^2 = 121$

39. Розв’яжіть рівняння:

1. $x^2 = 49$
   $x = \pm \sqrt{49}$
   $x_1 = 7, x_2 = -7$
2. $x^2 = -49$
   Рівняння не має коренів, оскільки квадрат числа не може бути від’ємним.
3. $x^2 + 0{,}07 = 0{,}08$
   $x^2 = 0{,}08 -0{,}07$
   $x^2 = 0{,}01$
   $x = \pm \sqrt{0{,}01}$
   $x_1 = 0{,}1, x_2 = -0{,}1$
4. $2x^2 = 12$
   $x^2 = 6$
   $x = \pm \sqrt{6}$
   $x_1 = \sqrt{6}, x_2 = -\sqrt{6}$
5. $\sqrt{x} = 3$
   $(\sqrt{x})^2 = 3^2$
   $x = 9$
6. $\sqrt{x} = 0$
   $x = 0$
7. $\sqrt{x} + 3 = 8$
   $\sqrt{x} = 8 -3$
   $\sqrt{x} = 5$
   $x = 25$
8. $-\dfrac{1}{3}\sqrt{x} = 5$
   $\sqrt{x} = 5 \cdot (-3)$
   $\sqrt{x} = -15$
   Рівняння не має коренів, оскільки значення арифметичного квадратного кореня не може бути від’ємним.

40. Розв’яжіть рівняння:

1. $x^2 = 64$
   $x = \pm \sqrt{64}$
   $x_1 = 8, x_2 = -8$
2. $x^2 = -64$
   Рівняння не має коренів.
3. $x^2 + 5 = 7$
   $x^2 = 7 -5$
   $x^2 = 2$
   $x = \pm \sqrt{2}$
   $x_1 = \sqrt{2}, x_2 = -\sqrt{2}$
4. $\dfrac{1}{4}x^2 = 0$
   $x^2 = 0$
   $x = 0$
5. $\sqrt{x} = 1$
   $x = 1$
6. $\sqrt{x} = -8$
   Рівняння не має коренів.
7. $\sqrt{x} -2 = 3$
   $\sqrt{x} = 3 + 2$
   $\sqrt{x} = 5$
   $x = 25$
8. $4\sqrt{x} = 8$
   $\sqrt{x} = \dfrac{8}{4}$
   $\sqrt{x} = 2$
   $x = 4$

КВАДРАТНІ КОРЕНІ. ДІЙСНІ ЧИСЛА

41. Винесіть множник з-під знака кореня:

1. $\sqrt{200} = \sqrt{100 \cdot 2} = 10\sqrt{2}$
2. $\sqrt{75} = \sqrt{25 \cdot 3} = 5\sqrt{3}$
3. $\sqrt{5^4 \cdot 2} = 5^2 \cdot \sqrt{2} = 25\sqrt{2}$
4. $\sqrt{7^3 \cdot 2^6} = \sqrt{7^2 \cdot 7 \cdot (2^3)^2} = 7 \cdot 2^3 \cdot \sqrt{7} = 7 \cdot 8 \cdot \sqrt{7} = 56\sqrt{7}$

42. Винесіть множник з-під знака кореня:

1. $\sqrt{20} = \sqrt{4 \cdot 5} = 2\sqrt{5}$
2. $\sqrt{45} = \sqrt{9 \cdot 5} = 3\sqrt{5}$
3. $\sqrt{11^2 \cdot 3} = 11\sqrt{3}$
4. $\sqrt{2^4 \cdot 5^3} = \sqrt{(2^2)^2 \cdot 5^2 \cdot 5} = 2^2 \cdot 5 \cdot \sqrt{5} = 4 \cdot 5 \cdot \sqrt{5} = 20\sqrt{5}$

43. Внесіть множник під знак кореня:

1. $4\sqrt{3} = \sqrt{4^2 \cdot 3} = \sqrt{16 \cdot 3} = \sqrt{48}$
2. $-2\sqrt{7} = -\sqrt{2^2 \cdot 7} = -\sqrt{4 \cdot 7} = -\sqrt{28}$
3. $\dfrac{1}{3}\sqrt{3m} = \sqrt{\left(\dfrac{1}{3}\right)^2 \cdot 3m} = \sqrt{\dfrac{1}{9} \cdot 3m} = \sqrt{\dfrac{m}{3}}$
4. $-0,3\sqrt{2a} = -\sqrt{0,3^2 \cdot 2a} = -\sqrt{0,09 \cdot 2a} = -\sqrt{0,18a}$

44. Внесіть множник під знак кореня:

1. $3\sqrt{11} = \sqrt{3^2 \cdot 11} = \sqrt{9 \cdot 11} = \sqrt{99}$
2. $-3\sqrt{5} = -\sqrt{3^2 \cdot 5} = -\sqrt{9 \cdot 5} = -\sqrt{45}$
3. $-\dfrac{1}{2}\sqrt{8x} = -\sqrt{\left(\dfrac{1}{2}\right)^2 \cdot 8x} = -\sqrt{\dfrac{1}{4} \cdot 8x} = -\sqrt{2x}$
4. $0,1\sqrt{200m} = \sqrt{0,1^2 \cdot 200m} = \sqrt{0,01 \cdot 200m} = \sqrt{2m}$

45. Розв’яжіть рівняння:

1. $4\sqrt{x} -12 = 0$

$4\sqrt{x} = 12$

$\sqrt{x} = 3$

$x = 3^2$

$x = 9$

Відповідь: 9.

2. $\dfrac{20}{\sqrt{x} -3} = 10$

$\sqrt{x} -3 = \dfrac{20}{10}$

$\sqrt{x} -3 = 2$

$\sqrt{x} = 5$

$x = 25$

Відповідь: 25.

3. $(x -5)^2 = 36$

$x -5 = 6$ або $x -5 = -6$

$x_1 = 11$

$x_2 = -1$

Відповідь: -1; 11.

4. $(x -9)^2 = -4$

Оскільки квадрат будь-якого дійсного числа є невід’ємним, рівняння не має коренів.

Відповідь: коренів немає.

5. $\dfrac{x -1}{5} = \dfrac{7}{x + 1}$

$(x -1) \cdot (x + 1) = 5 \cdot 7$

$x^2 -1 = 35$

$x^2 = 36$

$x_1 = 6, x_2 = -6$

Відповідь: -6; 6.

6. $(2x -1)^2 + (2x + 1)^2 = 18$

$4x^2 -4x + 1 + 4x^2 + 4x + 1 = 18$

$8x^2 + 2 = 18$

$8x^2 = 16$

$x^2 = 2$

$x = \pm \sqrt{2}$

Відповідь: $-\sqrt{2}; \sqrt{2}$.

46. Розв’яжіть рівняння:

1. $5\sqrt{x} + 15 = 0$

Розв’язання:

$5\sqrt{x} = -15$

$\sqrt{x} = -3$

Оскільки значення квадратного кореня не може бути від’ємним числом, рівняння не має коренів.

Відповідь: коренів немає.

2. $\dfrac{15}{\sqrt{x} + 2} = 3$

Розв’язання:

$3 \cdot (\sqrt{x} + 2) = 15$

$\sqrt{x} + 2 = 5$

$\sqrt{x} = 3$

$x = 9$

Відповідь: 9.

3. $(x + 9)^2 = 0$

Розв’язання:

$x + 9 = 0$

$x = -9$

Відповідь: -9.

4. $(x -3)^2 = 49$

Розв’язання:

$x -3 = 7$ або $x -3 = -7$

$x_1 = 10$

$x_2 = -4$

Відповідь: -4; 10.

5. $\dfrac{3}{x -2} = \dfrac{x + 2}{4}$

Розв’язання:

$(x -2) \cdot (x + 2) = 3 \cdot 4$

$x^2 -4 = 12$

$x^2 = 16$

$x_1 = 4$, $x_2 = -4$

Обидва значення не перетворюють знаменник $x -2$ на нуль.

Відповідь: -4; 4.

6. $(3x + 1)^2 + (3x -1)^2 = 56$

Розв’язання:

$9x^2 + 6x + 1 + 9x^2 -6x + 1 = 56$

$18x^2 + 2 = 56$

$18x^2 = 54$

$x^2 = 3$

$x = \pm \sqrt{3}$

Відповідь: $-\sqrt{3}; \sqrt{3}$.

47. Обчисліть:

1. $\sqrt{9 \dfrac{49}{64} \cdot 6 \dfrac{3}{121}}$

Розв’язання:

$\sqrt{\dfrac{625}{64} \cdot \dfrac{729}{121}} = \sqrt{\dfrac{625}{64}} \cdot \sqrt{\dfrac{729}{121}} = \dfrac{25}{8} \cdot \dfrac{27}{11} = \dfrac{675}{88} = 7 \dfrac{59}{88}$

Відповідь: $7 \dfrac{59}{88}$.

2. $\sqrt{4 \dfrac{1}{4}} \cdot \sqrt{3 \dfrac{13}{17}}$

Розв’язання:

$\sqrt{\dfrac{17}{4} \cdot \dfrac{64}{17}} = \sqrt{\dfrac{17 \cdot 64}{4 \cdot 17}} = \sqrt{16} = 4$

Відповідь: 4.

3. $\sqrt{80} \cdot \sqrt{605}$

Розв’язання:

$\sqrt{16 \cdot 5} \cdot \sqrt{121 \cdot 5} = 4\sqrt{5} \cdot 11\sqrt{5} = 44 \cdot 5 = 220$

Відповідь: 220.

4. $\sqrt{36^3}$

Розв’язання:

$\sqrt{(6^2)^3} = \sqrt{6^6} = 6^3 = 216$

Відповідь: 216.

48. Обчисліть:

1. $\sqrt{4 \dfrac{33}{64} \cdot 4 \dfrac{21}{25}}$

Розв’язання:

$\sqrt{\dfrac{289}{64} \cdot \dfrac{121}{25}} = \dfrac{17}{8} \cdot \dfrac{11}{5} = \dfrac{187}{40} = 4{,}675$

Відповідь: 4,675.

2. $\sqrt{3 \dfrac{4}{5}} \cdot \sqrt{6 \dfrac{11}{19}}$

Розв’язання:

$\sqrt{\dfrac{19}{5} \cdot \dfrac{125}{19}} = \sqrt{\dfrac{125}{5}} = \sqrt{25} = 5$

Відповідь: 5.

3. $\sqrt{175} \cdot \sqrt{28}$

Розв’язання:

$\sqrt{25 \cdot 7} \cdot \sqrt{4 \cdot 7} = 5\sqrt{7} \cdot 2\sqrt{7} = 10 \cdot 7 = 70$

Відповідь: 70.

4. $\sqrt{25^3}$

Розв’язання:

$\sqrt{(5^2)^3} = \sqrt{5^6} = 5^3 = 125$

Відповідь: 125.

49. Скоротіть дріб:

1. $\dfrac{a + 5\sqrt{a}}{a -25}$

Розв’язання:

$\dfrac{\sqrt{a}(\sqrt{a} + 5)}{(\sqrt{a} -5)(\sqrt{a} + 5)} = \dfrac{\sqrt{a}}{\sqrt{a} -5}$

Відповідь: $\dfrac{\sqrt{a}}{\sqrt{a} -5}$.

2. $\dfrac{x -4y}{x + 4\sqrt{xy} + 4y}$

Розв’язання:

$\dfrac{(\sqrt{x} -2\sqrt{y})(\sqrt{x} + 2\sqrt{y})}{(\sqrt{x} + 2\sqrt{y})^2} = \dfrac{\sqrt{x} -2\sqrt{y}}{\sqrt{x} + 2\sqrt{y}}$

Відповідь: $\dfrac{\sqrt{x} -2\sqrt{y}}{\sqrt{x} + 2\sqrt{y}}$.

3. $\dfrac{\sqrt{21} -3}{7 -\sqrt{21}}$

Розв’язання:

$\dfrac{\sqrt{3}\sqrt{7} -\sqrt{3}^2}{\sqrt{7}^2 -\sqrt{3}\sqrt{7}} = \dfrac{\sqrt{3}(\sqrt{7} -\sqrt{3})}{\sqrt{7}(\sqrt{7} -\sqrt{3})} = \dfrac{\sqrt{3}}{\sqrt{7}} = \sqrt{\dfrac{3}{7}}$

Відповідь: $\sqrt{\dfrac{3}{7}}$.

50. Скоротіть дріб:

1. $\dfrac{y -36}{y -6\sqrt{y}}$

Розв’язання:

$\dfrac{(\sqrt{y} -6)(\sqrt{y} + 6)}{\sqrt{y}(\sqrt{y} -6)} = \dfrac{\sqrt{y} + 6}{\sqrt{y}}$

Відповідь: $\dfrac{\sqrt{y} + 6}{\sqrt{y}}$.

2. $\dfrac{a -6\sqrt{ab} + 9b}{a -9b}$

Розв’язання:

$\dfrac{(\sqrt{a} -3\sqrt{b})^2}{(\sqrt{a} -3\sqrt{b})(\sqrt{a} + 3\sqrt{b})} = \dfrac{\sqrt{a} -3\sqrt{b}}{\sqrt{a} + 3\sqrt{b}}$

Відповідь: $\dfrac{\sqrt{a} -3\sqrt{b}}{\sqrt{a} + 3\sqrt{b}}$.

3. $\dfrac{\sqrt{26} + 13}{2 + \sqrt{26}}$

Розв’язання:

$\dfrac{\sqrt{13}\sqrt{2} + \sqrt{13}^2}{\sqrt{2}^2 + \sqrt{13}\sqrt{2}} = \dfrac{\sqrt{13}(\sqrt{2} + \sqrt{13})}{\sqrt{2}(\sqrt{2} + \sqrt{13})} = \dfrac{\sqrt{13}}{\sqrt{2}} = \sqrt{6{,}5}$

Відповідь: $\sqrt{6{,}5}$.

51. Розв’яжіть графічно рівняння:

1. $x^2 = 3x$

Для графічного розв’язання необхідно побудувати в одній системі координат графіки функцій $y = x^2$ та $y = 3x$.

Побудуємо графік квадратичної функції $y = x^2$ (парабола) та лінійної функції $y = 3x$ (пряма, що проходить через початок координат).

Точки перетину графіків мають абсциси $x = 0$ та $x = 3$.

Відповідь: 0; 3.

2. $\sqrt{x} = 3 -0,25x$

Для графічного розв’язання побудуємо графіки функцій $y = \sqrt{x}$ та $y = 3 -0,25x$.

Графіком першої функції є вітка параболи, спрямована вправо, а другої — пряма. При значенні $x = 4$ значення обох функцій рівні: $\sqrt{4} = 2$ та $3 -0,25 \cdot 4 = 2$. Графіки перетинаються в одній точці.

Відповідь: 4.

52. Розв’яжіть графічно рівняння:

1. $x^2 = -2x$

Для розв’язання побудуємо графіки функцій $y = x^2$ та $y = -2x$.

Графіки перетинаються у точках з абсцисами $x = -2$ та $x = 0$.

Відповідь: -2; 0.

2. $\sqrt{x} = 5 -4x$

Для розв’язання побудуємо графіки функцій $y = \sqrt{x}$ та $y = 5 -4x$.

При значенні $x = 1$ отримаємо: $\sqrt{1} = 1$ та $5 -4 \cdot 1 = 1$. Графіки перетинаються в точці з абсцисою $1$.

Відповідь: 1.

53. Розв’яжіть рівняння:

1. $\sqrt{2x + 1} = 3$

Піднесемо обидві частини рівняння до квадрата:

$2x + 1 = 3^2$

$2x + 1 = 9$

$2x = 8$

$x = 4$

Відповідь: 4.

2. $\sqrt{2 + \sqrt{x^2 + 2}} = 2$

Піднесемо обидві частини до квадрата:

$2 + \sqrt{x^2 + 2} = 4$

$\sqrt{x^2 + 2} = 2$

Знову піднесемо до квадрата:

$x^2 + 2 = 4$

$x^2 = 2$

$x = \sqrt{2}$ або $x = -\sqrt{2}$

Відповідь: $-\sqrt{2}; \sqrt{2}$.

3. $3|x^2 -2| + 1 = 4$

Перенесемо одиницю в праву частину:

$3|x^2 -2| = 3$

$|x^2 -2| = 1$

Це рівняння розпадається на два випадки:

$x^2 -2 = 1 \quad$ або $\quad x^2 -2 = -1$

$x^2 = 3 \quad \quad \quad \quad x^2 = 1$

$x = \pm\sqrt{3} \quad \quad \quad x = \pm 1$

Відповідь: $-\sqrt{3}; -1; 1; \sqrt{3}$.

54. Розв’яжіть рівняння:

1. $\sqrt{2x -1} = 5$

$(\sqrt{2x -1})^2 = 5^2$

$2x -1 = 25$

$2x = 26$

$x = 13$

Відповідь: 13.

2. $\sqrt{3 + \sqrt{x^2 + 3}} = 3$

$3 + \sqrt{x^2 + 3} = 9$

$\sqrt{x^2 + 3} = 6$

$x^2 + 3 = 36$

$x^2 = 33$

$x = \pm\sqrt{33}$

Відповідь: $-\sqrt{33}; \sqrt{33}$.

3. $5|x^2 -2| -2 = 8$

$5|x^2 -2| = 10$

$|x^2 -2| = 2$

Розглянемо два випадки:

$x^2 -2 = 2 \quad$ або $\quad x^2 -2 = -2$

$x^2 = 4 \quad \quad \quad \quad x^2 = 0$

$x = \pm 2 \quad \quad \quad \quad x = 0$

Відповідь: -2; 0; 2.

55. Обчисліть:

1. $(\sqrt{7 -4\sqrt{3}} -\sqrt{7 + 4\sqrt{3}})^2$

Скористаємося формулою квадрата різниці $(a -b)^2 = a^2 -2ab + b^2$:

$(\sqrt{7 -4\sqrt{3}})^2 -2 \cdot \sqrt{7 -4\sqrt{3}} \cdot \sqrt{7 + 4\sqrt{3}} + (\sqrt{7 + 4\sqrt{3}})^2$

$7 -4\sqrt{3} -2\sqrt{(7 -4\sqrt{3})(7 + 4\sqrt{3})} + 7 + 4\sqrt{3}$

$14 -2\sqrt{7^2 -(4\sqrt{3})^2}$

$14 -2\sqrt{49 -48} = 14 -2\sqrt{1} = 14 -2 = 12$

Відповідь: 12.

2. $\dfrac{4}{8 -3\sqrt{7}} + \dfrac{4}{8 + 3\sqrt{7}}$

Зведемо дроби до спільного знаменника:

$\dfrac{4 \cdot (8 + 3\sqrt{7}) + 4 \cdot (8 -3\sqrt{7})}{(8 -3\sqrt{7})(8 + 3\sqrt{7})}$

$\dfrac{32 + 12\sqrt{7} + 32 -12\sqrt{7}}{8^2 -(3\sqrt{7})^2}$

$\dfrac{64}{64 -63} = \dfrac{64}{1} = 64$

Відповідь: 64.

КВАДРАТНІ КОРЕНІ. ДІЙСНІ ЧИСЛА

56. Обчисліть:

1. $(\sqrt{3+\sqrt{5}} + \sqrt{3-\sqrt{5}})^2$

Розв’язання:

Застосуємо формулу квадрата суми $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$:

$(\sqrt{3+\sqrt{5}} + \sqrt{3-\sqrt{5}})^2 = (\sqrt{3+\sqrt{5}})^2 + 2\sqrt{3+\sqrt{5}} \cdot \sqrt{3-\sqrt{5}} + (\sqrt{3-\sqrt{5}})^2$

$= 3 + \sqrt{5} + 2\sqrt{(3+\sqrt{5})(3-\sqrt{5})} + 3 -\sqrt{5}$

$= 6 + 2\sqrt{3^2 -(\sqrt{5})^2} = 6 + 2\sqrt{9 -5} = 6 + 2\sqrt{4} = 6 + 2 \cdot 2 = 10$

Відповідь: 10.

2. $\dfrac{2}{9+4\sqrt{5}} + \dfrac{2}{9-4\sqrt{5}}$

Розв’язання:

Зведемо дроби до спільного знаменника:

$\dfrac{2(9-4\sqrt{5}) + 2(9+4\sqrt{5})}{(9+4\sqrt{5})(9-4\sqrt{5})} = \dfrac{18 -8\sqrt{5} + 18 + 8\sqrt{5}}{9^2 -(4\sqrt{5})^2} = \dfrac{36}{81 -16 \cdot 5} = \dfrac{36}{81 -80} = 36$

Відповідь: 36.

57. Побудуйте графік функції:

1. $y = \begin{cases} 3 -2x, \text{ якщо } x < 1, \ \sqrt{x}, \text{ якщо } x \ge 1; \end{cases}$

Дана функція є кусково-заданою. Для $x < 1$ графіком є промінь прямої $y = 3 -2x$, що проходить через точки $(0; 3)$ та $(1; 1)$. Для $x \ge 1$ графіком є частина параболи $y = \sqrt{x}$, що починається в точці $(1; 1)$. Оскільки значення функцій у точці $x=1$ збігаються ($3-2(1)=1$ та $\sqrt{1}=1$), графік є неперервним.

2. $y = \dfrac{3\sqrt{x}-x}{3-\sqrt{x}}$

Розв’язання:

Область визначення функції: $x \ge 0$ та $3 -\sqrt{x} \neq 0$, тобто $x \neq 9$.
Спростимо вираз:
$y = \dfrac{\sqrt{x}(3-\sqrt{x})}{3-\sqrt{x}} = \sqrt{x}$ за умови $x \neq 9$.
Отже, графіком функції є графік $y = \sqrt{x}$ з “виколотою” точкою $(9; 3)$.

58. Побудуйте графік функції:

1. $y = \begin{cases} 6 -x, \text{ якщо } x \le 4, \ \sqrt{x}, \text{ якщо } x > 4; \end{cases}$

Для $x \le 4$ будуємо промінь прямої $y = 6 -x$ (точки $(0; 6)$ та $(4; 2)$). Для $x > 4$ будуємо частину графіка $y = \sqrt{x}$, що починається в точці $(4; 2)$. Графік є неперервним, оскільки $6 -4 = 2$ і $\sqrt{4} = 2$.

2. $y = \dfrac{2\sqrt{x}-x}{2-\sqrt{x}}$

Розв’язання:

Область визначення функції: $x \ge 0$ та $2 -\sqrt{x} \neq 0$, тобто $x \neq 4$.
Спростимо вираз:
$y = \dfrac{\sqrt{x}(2-\sqrt{x})}{2-\sqrt{x}} = \sqrt{x}$ за умови $x \neq 4$.
Графіком є крива $y = \sqrt{x}$ з “виколотою” точкою $(4; 2)$.

КВАДРАТНІ РІВНЯННЯ

59. Випишіть коефіцієнти a, b і c квадратного рівняння:

Для визначення коефіцієнтів необхідно привести кожне рівняння до стандартного вигляду $ax^2 + bx + c = 0$.

60. Знайдіть, використовуючи теорему Вієта, суму і добуток коренів рівняння:

Згідно з теоремою Вієта, для рівняння $ax^2 + bx + c = 0$ сума коренів $x_1 + x_2 = -\dfrac{b}{a}$, а добуток $x_1 \cdot x_2 = \dfrac{c}{a}$.

1. $x^2 + 2x -3 = 0$
   Сума: $x_1 + x_2 = -2$; Добуток: $x_1 \cdot x_2 = -3$.
2. $x^2 -2x = 0$
   Сума: $x_1 + x_2 = 2$; Добуток: $x_1 \cdot x_2 = 0$.
3. $-x^2 + 9x -8 = 0$
   Сума: $x_1 + x_2 = -\dfrac{9}{-1} = 9$; Добуток: $x_1 \cdot x_2 = \dfrac{-8}{-1} = 8$.
4. $2x^2 -4x -7 = 0$
   Сума: $x_1 + x_2 = -\dfrac{-4}{2} = 2$; Добуток: $x_1 \cdot x_2 = \dfrac{-7}{2} = -3{,}5$.
5. $5x^2 -8x + 1 = 0$
   Сума: $x_1 + x_2 = -\dfrac{-8}{5} = 1{,}6$; Добуток: $x_1 \cdot x_2 = \dfrac{1}{5} = 0{,}2$.
6. $6x^2 -12 = 0$
   Сума: $x_1 + x_2 = 0$; Добуток: $x_1 \cdot x_2 = \dfrac{-12}{6} = -2$.

ПОВТОРЮЄМО АЛГЕБРУ ЗА 8 КЛАС

61. Розв’яжіть неповні квадратні рівняння:

1. $7x^2 -28 = 0$
   $7x^2 = 28$
   $x^2 = 4$
   $x_1 = 2, x_2 = -2$
2. $4x^2 -8x = 0$
   $4x \cdot (x -2) = 0$
   $x_1 = 0$ або $x -2 = 0$
   $x_1 = 0, x_2 = 2$
3. $9x^2 = 0$
   $x^2 = 0$
   $x = 0$
4. $2x^2 + 18 = 0$
   $2x^2 = -18$
   $x^2 = -9$
   Рівняння не має коренів, оскільки квадрат числа не може бути від’ємним.
5. $-4x^2 -2x = 0$
   $-2x \cdot (2x + 1) = 0$
   $-2x = 0$ або $2x + 1 = 0$
   $x_1 = 0, x_2 = -0,5$
6. $0,2x^2 + 0,6x = 0$
   $0,2x \cdot (x + 3) = 0$
   $0,2x = 0$ або $x + 3 = 0$
   $x_1 = 0, x_2 = -3$

62. Розв’яжіть неповні квадратні рівняння:

1. $4x^2 + 12x = 0$
   $4x \cdot (x + 3) = 0$
   $x_1 = 0, x_2 = -3$
2. $4x^2 -36 = 0$
   $4x^2 = 36$
   $x^2 = 9$
   $x_1 = 3, x_2 = -3$
3. $-x^2 + 2x = 0$
   $x \cdot (-x + 2) = 0$
   $x_1 = 0, x_2 = 2$
4. $-7x^2 = 0$
   $x = 0$
5. $3x^2 + 27 = 0$
   $3x^2 = -27$
   $x^2 = -9$
   Рівняння не має коренів.
6. $0,3x^2 -3x = 0$
   $0,3x \cdot (x -10) = 0$
   $x_1 = 0, x_2 = 10$

63. Розв’яжіть рівняння:

1. $x^2 -4x + 3 = 0$
   За теоремою Вієта:
   $x_1 + x_2 = 4$
   $x_1 \cdot x_2 = 3$
   $x_1 = 3, x_2 = 1$
2. $3x^2 + 2x -5 = 0$
   $D = 2^2 -4 \cdot 3 \cdot (-5) = 4 + 60 = 64$
   $x = \dfrac{-2 \pm 8}{6}$
   $x_1 = 1, x_2 = -\dfrac{5}{3}$
3. $x^2 -10x + 25 = 0$
   $(x -5)^2 = 0$
   $x = 5$
4. $2x^2 = 4 -7x$
   $2x^2 + 7x -4 = 0$
   $D = 7^2 -4 \cdot 2 \cdot (-4) = 49 + 32 = 81$
   $x = \dfrac{-7 \pm 9}{4}$
   $x_1 = 0,5, x_2 = -4$
5. $x^2 = 5x -7$
   $x^2 -5x + 7 = 0$
   $D = (-5)^2 -4 \cdot 1 \cdot 7 = 25 -28 = -3$
   Оскільки $D < 0$, рівняння не має коренів.
6. $2x = x^2 -8$
   $x^2 -2x -8 = 0$
   За теоремою Вієта:
   $x_1 + x_2 = 2$
   $x_1 \cdot x_2 = -8$
   $x_1 = 4, x_2 = -2$

64. Розв’яжіть рівняння:

1. $x^2 -x -2 = 0$
   $x_1 = 2, x_2 = -1$
2. $2x^2 -3x -5 = 0$
   $D = (-3)^2 -4 \cdot 2 \cdot (-5) = 9 + 40 = 49$
   $x = \dfrac{3 \pm 7}{4}$
   $x_1 = 2,5, x_2 = -1$
3. $x^2 + 12x + 36 = 0$
   $(x + 6)^2 = 0$
   $x = -6$
4. $3x = 5x^2 -2$
   $5x^2 -3x -2 = 0$
   $D = (-3)^2 -4 \cdot 5 \cdot (-2) = 9 + 40 = 49$
   $x = \dfrac{3 \pm 7}{10}$
   $x_1 = 1, x_2 = -0,4$
5. $x^2 + 2 = 3x$
   $x^2 -3x + 2 = 0$
   $x_1 = 2, x_2 = 1$
6. $3x = x^2 + 7$
   $x^2 -3x + 7 = 0$
   $D = 9 -28 = -19$
   Рівняння не має коренів.

65. Знайдіть периметр прямокутника, якщо його площа дорівнює 96 см², а одна зі сторін на 4 см більша за другу.

Відомо:

• $S = 96\text{ см}^2$
• $a = x\text{ см}$
• $b = (x + 4)\text{ см}$

Знайти:

• $P -?$

Розв’язання:
Площа прямокутника обчислюється за формулою $S = a \cdot b$.
$x \cdot (x + 4) = 96$
$x^2 + 4x -96 = 0$
$D = 4^2 -4 \cdot 1 \cdot (-96) = 16 + 384 = 400$
$x = \dfrac{-4 \pm 20}{2}$
$x_1 = 8, x_2 = -12$
Оскільки довжина сторони не може бути від’ємною, $a = 8\text{ см}$.
Тоді $b = 8 + 4 = 12\text{ см}$.
Периметр прямокутника:
$P = 2 \cdot (a + b)$
$P = 2 \cdot (8 + 12) = 40\text{ см}$

Відповідь: 40 см.

ПОВТОРЮЄМО АЛГЕБРУ ЗА 8 КЛАС

66. Ділянку землі прямокутної форми, одна зі сторін якої на 5 м більша за другу, потрібно обнести парканом. Знайдіть довжину паркана, якщо площа ділянки становить 300 м².

Дано:

• $S = 300\text{ м}^2$
• $a = x\text{ м}$
• $b = (x + 5)\text{ м}$

Знайти:

• $P -?$

Розв’язання:

Площа прямокутника обчислюється за формулою:
$S = a \cdot b$

Складемо рівняння відповідно до умови задачі:
$x \cdot (x + 5) = 300$

$x^2 + 5x -300 = 0$

Знайдемо дискримінант квадратного рівняння:
$D = b^2 -4ac$

$D = 5^2 -4 \cdot 1 \cdot (-300) = 25 + 1200 = 1225$

$\sqrt{D} = \sqrt{1225} = 35$

Знайдемо корені рівняння:
$x_1 = \dfrac{-5 + 35}{2 \cdot 1} = \dfrac{30}{2} = 15$

$x_2 = \dfrac{-5 -35}{2 \cdot 1} = \dfrac{-40}{2} = -20$

Оскільки довжина сторони не може бути від’ємним числом, то $x = 15$.
Отже, сторони ділянки дорівнюють:
$a = 15\text{ м}$
$b = 15 + 5 = 20\text{ м}$

Довжина паркана відповідає периметру прямокутника:
$P = 2 \cdot (a + b)$

$P = 2 \cdot (15 + 20) = 2 \cdot 35 = 70\text{ м}$

Відповідь: 70 м.

67. Розкладіть на множники квадратний тричлен:

1. $x^2 -7x + 6$

Знайдемо корені рівняння $x^2 -7x + 6 = 0$ за теоремою Вієта:
$x_1 + x_2 = 7$
$x_1 \cdot x_2 = 6$
Корені: $x_1 = 1$, $x_2 = 6$.
Використаємо формулу $a(x -x_1)(x -x_2)$:
$x^2 -7x + 6 = (x -1)(x -6)$

2. $2x^2 + 5x + 2$

Розв’яжемо рівняння $2x^2 + 5x + 2 = 0$:
$D = 5^2 -4 \cdot 2 \cdot 2 = 25 -16 = 9$
$x_1 = \dfrac{-5 + 3}{4} = -0{,}5$
$x_2 = \dfrac{-5 -3}{4} = -2$
Розклад:
$2(x + 0{,}5)(x + 2) = (2x + 1)(x + 2)$

3. $-3x^2 -5x + 2$

Розв’яжемо рівняння $-3x^2 -5x + 2 = 0$:
$D = (-5)^2 -4 \cdot (-3) \cdot 2 = 25 + 24 = 49$
$x_1 = \dfrac{5 + 7}{-6} = -2$
$x_2 = \dfrac{5 -7}{-6} = \dfrac{-2}{-6} = \dfrac{1}{3}$
Розклад:
$-3(x + 2)\left(x -\dfrac{1}{3}\right) = (x + 2)(1 -3x)$

68. Розкладіть на множники квадратний тричлен:

1. $x^2 -5x -6$

Корені рівняння $x^2 -5x -6 = 0$ за теоремою Вієта:
$x_1 + x_2 = 5$
$x_1 \cdot x_2 = -6$
Корені: $x_1 = 6$, $x_2 = -1$.
Розклад:
$x^2 -5x -6 = (x -6)(x + 1)$

2. $3x^2 -4x + 1$

Розв’яжемо рівняння $3x^2 -4x + 1 = 0$:
$D = (-4)^2 -4 \cdot 3 \cdot 1 = 16 -12 = 4$
$x_1 = \dfrac{4 + 2}{6} = 1$
$x_2 = \dfrac{4 -2}{6} = \dfrac{1}{3}$
Розклад:
$3(x -1)\left(x -\dfrac{1}{3}\right) = (x -1)(3x -1)$

3. $-2x^2 + 7x -3$

Розв’яжемо рівняння $-2x^2 + 7x -3 = 0$:
$D = 7^2 -4 \cdot (-2) \cdot (-3) = 49 -24 = 25$
$x_1 = \dfrac{-7 + 5}{-4} = 0{,}5$
$x_2 = \dfrac{-7 -5}{-4} = 3$
Розклад:
$-2(x -0{,}5)(x -3) = (1 -2x)(x -3)$

69. Розв’яжіть біквадратне рівняння:

1. $x^4 -8x^2 -9 = 0$

Нехай $x^2 = t$, де $t \geq 0$. Рівняння набуває вигляду:
$t^2 -8t -9 = 0$
За теоремою Вієта: $t_1 = 9, t_2 = -1$.
Оскільки $t \geq 0$, то $t = 9$.
Повернемося до заміни:
$x^2 = 9$
$x = \pm 3$
Відповідь: $\pm 3$.

2. $x^4 + 10x^2 + 9 = 0$

Нехай $x^2 = t$, де $t \geq 0$. Рівняння набуває вигляду:
$t^2 + 10t + 9 = 0$
За теоремою Вієта: $t_1 = -1, t_2 = -9$.
Обидва значення не задовольняють умові $t \geq 0$.
Відповідь: коренів немає.

3. $x^4 -6x^2 + 8 = 0$

Нехай $x^2 = t$, де $t \geq 0$. Рівняння набуває вигляду:
$t^2 -6t + 8 = 0$
За теоремою Вієта: $t_1 = 4, t_2 = 2$.
Обидва значення задовольняють умові $t \geq 0$.
$x^2 = 4 \Rightarrow x = \pm 2$
$x^2 = 2 \Rightarrow x = \pm \sqrt{2}$
Відповідь: $\pm 2; \pm \sqrt{2}$.

70. Знайдіть корені біквадратного рівняння:

1. $x^4 -3x^2 -4 = 0$

Нехай $x^2 = t$, де $t \geq 0$.
$t^2 -3t -4 = 0$
$t_1 = 4, t_2 = -1$.
Умові $t \geq 0$ відповідає лише $t = 4$.
$x^2 = 4 \Rightarrow x = \pm 2$.
Відповідь: $\pm 2$.

2. $x^4 -4x^2 + 3 = 0$

Нехай $x^2 = t$, де $t \geq 0$.
$t^2 -4t + 3 = 0$
$t_1 = 3, t_2 = 1$.
$x^2 = 3 \Rightarrow x = \pm \sqrt{3}$
$x^2 = 1 \Rightarrow x = \pm 1$
Відповідь: $\pm 1; \pm \sqrt{3}$.

3. $x^4 + 10x^2 + 25 = 0$

Вираз у лівій частині є повним квадратом:
$(x^2 + 5)^2 = 0$
$x^2 + 5 = 0$
$x^2 = -5$
Рівняння не має дійсних коренів.
Відповідь: коренів немає.

КВАДРАТНІ РІВНЯННЯ

71. Розв’яжіть рівняння:

1. $\dfrac{x^2 + x -2}{x -3} = 0$

Розв’язання:
Дріб дорівнює нулю, коли чисельник дорівнює нулю, а знаменник відмінний від нуля:
$x^2 + x -2 = 0$
$D = 1^2 -4 \cdot 1 \cdot (-2) = 1 + 8 = 9$
$x_1 = \dfrac{-1 -3}{2} = -2$
$x_2 = \dfrac{-1 + 3}{2} = 1$
Перевірка знаменника:
$x -3 \neq 0 \Rightarrow x \neq 3$. Обидва корені задовольняють умову.
Відповідь: $-2; 1$.

2. $\dfrac{x^2 + 4x -5}{x -1} = 0$

Розв’язання:
$x^2 + 4x -5 = 0$
$D = 4^2 -4 \cdot 1 \cdot (-5) = 16 + 20 = 36$
$x_1 = \dfrac{-4 -6}{2} = -5$
$x_2 = \dfrac{-4 + 6}{2} = 1$
Перевірка знаменника:
$x -1 \neq 0 \Rightarrow x \neq 1$. Корінь $x = 1$ не підходить.
Відповідь: $-5$.

3. $\dfrac{x^2}{x -2} = \dfrac{2x}{x -2}$

Розв’язання:
$x^2 = 2x$
$x^2 -2x = 0$
$x(x -2) = 0$
$x_1 = 0$ або $x_2 = 2$
Перевірка знаменника:
$x -2 \neq 0 \Rightarrow x \neq 2$. Корінь $x = 2$ не підходить.
Відповідь: $0$.

4. $\dfrac{x^2 -2x}{x -3} = \dfrac{3}{3 -x}$

Розв’язання:
$\dfrac{x^2 -2x}{x -3} = \dfrac{-3}{x -3}$
$x^2 -2x = -3$
$x^2 -2x + 3 = 0$
$D = (-2)^2 -4 \cdot 1 \cdot 3 = 4 -12 = -8 < 0$
Рівняння не має дійсних коренів.
Відповідь: коренів немає.

5. $\dfrac{x -3}{8} = \dfrac{x}{x + 3}$

Розв’язання:
$(x -3)(x + 3) = 8x$
$x^2 -9 = 8x$
$x^2 -8x -9 = 0$
За теоремою Вієта:
$x_1 = 9; x_2 = -1$
Перевірка знаменника: $x \neq -3$. Обидва корені підходять.
Відповідь: $-1; 9$.

6. $\dfrac{4}{x} = x + 3$

Розв’язання:
$4 = x(x + 3)$
$x^2 + 3x -4 = 0$
За теоремою Вієта:
$x_1 = -4; x_2 = 1$
Перевірка знаменника: $x \neq 0$. Обидва корені підходять.
Відповідь: $-4; 1$.

72. Розв’яжіть рівняння:

1. $\dfrac{x^2 -2x -8}{x + 1} = 0$

Розв’язання:
$x^2 -2x -8 = 0$
$D = (-2)^2 -4 \cdot 1 \cdot (-8) = 4 + 32 = 36$
$x_1 = \dfrac{2 -6}{2} = -2$
$x_2 = \dfrac{2 + 6}{2} = 4$
Перевірка знаменника: $x + 1 \neq 0 \Rightarrow x \neq -1$. Обидва корені підходять.
Відповідь: $-2; 4$.

2. $\dfrac{x^2 -3x -4}{x -4} = 0$

Розв’язання:
$x^2 -3x -4 = 0$
$D = (-3)^2 -4 \cdot 1 \cdot (-4) = 9 + 16 = 25$
$x_1 = \dfrac{3 -5}{2} = -1$
$x_2 = \dfrac{3 + 5}{2} = 4$
Перевірка знаменника: $x -4 \neq 0 \Rightarrow x \neq 4$. Корінь $x = 4$ не підходить.
Відповідь: $-1$.

3. $\dfrac{x^2}{x + 4} = \dfrac{16}{x + 4}$

Розв’язання:
$x^2 = 16$
$x_1 = 4; x_2 = -4$
Перевірка знаменника: $x + 4 \neq 0 \Rightarrow x \neq -4$. Корінь $x = -4$ не підходить.
Відповідь: $4$.

4. $\dfrac{x^2 -3x}{x -5} = \dfrac{2}{5 -x}$

Розв’язання:
$\dfrac{x^2 -3x}{x -5} = \dfrac{-2}{x -5}$
$x^2 -3x = -2$
$x^2 -3x + 2 = 0$
За теоремою Вієта:
$x_1 = 1; x_2 = 2$
Перевірка знаменника: $x \neq 5$. Обидва корені підходять.
Відповідь: $1; 2$.

5. $\dfrac{x + 2}{x} = \dfrac{3}{x -2}$

Розв’язання:
$(x + 2)(x -2) = 3x$
$x^2 -4 = 3x$
$x^2 -3x -4 = 0$
За теоремою Вієта:
$x_1 = 4; x_2 = -1$
Перевірка знаменника: $x \neq 0, x \neq 2$. Обидва корені підходять.
Відповідь: $-1; 4$.

6. $\dfrac{5}{x} = 6 -x$

Розв’язання:
$5 = x(6 -x)$
$5 = 6x -x^2$
$x^2 -6x + 5 = 0$
За теоремою Вієта:
$x_1 = 5; x_2 = 1$
Перевірка знаменника: $x \neq 0$. Обидва корені підходять.
Відповідь: $1; 5$.

73. За яких значень коефіцієнтів a і b числа -1 і 3 є коренями рівняння ax² + bx -6 = 0?

Підставимо значення коренів у рівняння та складемо систему:
$\begin{cases} a(-1)^2 + b(-1) -6 = 0 \ a(3)^2 + b(3) -6 = 0 \end{cases}$
$\begin{cases} a -b = 6 \ 9a + 3b = 6 \end{cases}$
$\begin{cases} a -b = 6 \ 3a + b = 2 \end{cases}$
Додамо рівняння:
$4a = 8 \Rightarrow a = 2$
Підставимо $a = 2$ у перше рівняння:
$2 -b = 6 \Rightarrow b = -4$
Відповідь: $a = 2, b = -4$.

74. За яких значень коефіцієнтів b і c числа -3 і 2 є коренями рівняння 3x² + bx + c = 0?

За теоремою Вієта для рівняння $ax^2 + bx + c = 0$:
$x_1 + x_2 = -\dfrac{b}{a}$
$x_1 \cdot x_2 = \dfrac{c}{a}$
Підставимо значення:
$-3 + 2 = -\dfrac{b}{3} \Rightarrow -1 = -\dfrac{b}{3} \Rightarrow b = 3$
$(-3) \cdot 2 = \dfrac{c}{3} \Rightarrow -6 = \dfrac{c}{3} \Rightarrow c = -18$
Відповідь: $b = 3, c = -18$.

75. Розв’яжіть рівняння:

1. $(x + 3)(x -4) = -12$

Розв’язання:
$x^2 -4x + 3x -12 = -12$
$x^2 -x = 0$
$x(x -1) = 0$
$x_1 = 0; x_2 = 1$
Відповідь: $0; 1$.

2. $(2x -1)^2 = (x -2)^2$

Розв’язання:
$4x^2 -4x + 1 = x^2 -4x + 4$
$3x^2 -3 = 0$
$3x^2 = 3$
$x^2 = 1$
$x_1 = 1; x_2 = -1$
Відповідь: $-1; 1$.

3. $(2x -3)(2x + 3) = 3x + 1$

Розв’язання:
$4x^2 -9 = 3x + 1$
$4x^2 -3x -10 = 0$
$D = (-3)^2 -4 \cdot 4 \cdot (-10) = 9 + 160 = 169$
$x_1 = \dfrac{3 -13}{8} = -1,25$
$x_2 = \dfrac{3 + 13}{8} = 2$
Відповідь: $-1,25; 2$.

4. $x(x -3) -(x + 2)^2 = x^2 -3x$

Розв’язання:
$x^2 -3x -(x^2 + 4x + 4) = x^2 -3x$
$x^2 -3x -x^2 -4x -4 -x^2 + 3x = 0$
$-x^2 -4x -4 = 0$
$x^2 + 4x + 4 = 0$
$(x + 2)^2 = 0$
$x = -2$
Відповідь: $-2$.

76. Розв’яжіть рівняння:

1. $(x + 6)(x -2) = -12$

Розв’язання:

Розкриємо дужки у лівій частині рівняння:
$x^2 -2x + 6x -12 = -12$

$x^2 + 4x -12 + 12 = 0$

$x^2 + 4x = 0$

Винесемо спільний множник за дужки:
$x(x + 4) = 0$

$x = 0$ або $x + 4 = 0$
$x_1 = 0$, $x_2 = -4$.

Відповідь: $0; -4$.

2. $(3x -1)^2 = (x -3)^2$

Розв’язання:

Розкриємо квадрати двочленів:
$9x^2 -6x + 1 = x^2 -6x + 9$

Перенесемо всі доданки в ліву частину:
$9x^2 -6x + 1 -x^2 + 6x -9 = 0$

$8x^2 -8 = 0$

$8x^2 = 8$

$x^2 = 1$

$x_1 = 1$, $x_2 = -1$.

Відповідь: $1; -1$.

3. $(3x + 2)(3x -2) = x + 6$

Розв’язання:

Застосуємо формулу різниці квадратів:
$9x^2 -4 = x + 6$

$9x^2 -x -10 = 0$

Знайдемо дискримінант:
$D = (-1)^2 -4 \cdot 9 \cdot (-10) = 1 + 360 = 361$

$\sqrt{D} = 19$

$x_1 = \dfrac{1 + 19}{2 \cdot 9} = \dfrac{20}{18} = \dfrac{10}{9} = 1\dfrac{1}{9}$

$x_2 = \dfrac{1 -19}{18} = \dfrac{-18}{18} = -1$

Відповідь: $1\dfrac{1}{9}; -1$.

4. $x(x -2) -(x + 1)^2 = x^2 -2x$

Розв’язання:

Розкриємо дужки:
$x^2 -2x -(x^2 + 2x + 1) = x^2 -2x$

$x^2 -2x -x^2 -2x -1 = x^2 -2x$

$-4x -1 = x^2 -2x$

$x^2 + 2x + 1 = 0$

$(x + 1)^2 = 0$

$x + 1 = 0$

$x = -1$

Відповідь: $-1$.

77. 1) Розв’яжіть рівняння $\dfrac{x^2+2x}{8} = \dfrac{2x-1}{3}$; 2) Розв’яжіть рівняння $\dfrac{y+3}{5} -\dfrac{y^2-1}{10} = \dfrac{2}{5}$; 3) Нехай $x$ — найбільший корінь першого рівняння, $y$ — найбільший корінь другого рівняння. Знайдіть значення виразу $600y + 2x$, відтак дізнаєтеся рік заснування Харківського національного університету імені В. Н. Каразіна.

1. Розв’язання:

$\dfrac{x^2 + 2x}{8} = \dfrac{2x -1}{3}$

За основною властивістю пропорції:
$3(x^2 + 2x) = 8(2x -1)$

$3x^2 + 6x = 16x -8$

$3x^2 -10x + 8 = 0$

$D = (-10)^2 -4 \cdot 3 \cdot 8 = 100 -96 = 4$

$x_1 = \dfrac{10 + 2}{6} = 2$

$x_2 = \dfrac{10 -2}{6} = \dfrac{8}{6} = \dfrac{4}{3}$

Найбільший корінь $x = 2$.

2. Розв’язання:

$\dfrac{y + 3}{5} -\dfrac{y^2 -1}{10} = \dfrac{2}{5}$

Помножимо обидві частини рівняння на 10:
$2(y + 3) -(y^2 -1) = 4$

$2y + 6 -y^2 + 1 = 4$

$-y^2 + 2y + 7 -4 = 0$

$-y^2 + 2y + 3 = 0$

$y^2 -2y -3 = 0$

За теоремою Вієта:
$y_1 + y_2 = 2$
$y_1 \cdot y_2 = -3$
$y_1 = 3, y_2 = -1$.

Найбільший корінь $y = 3$.

3. Розв’язання:

Підставимо отримані значення $x = 2$ та $y = 3$ у вираз:
$600 \cdot 3 + 2 \cdot 2 = 1800 + 4 = 1804$.

Відповідь: 1804 рік.

78. 1) Розв’яжіть рівняння $\dfrac{x^2+5}{6} = \dfrac{4x+5}{5}$; 2) Розв’яжіть рівняння $\dfrac{x^2+2}{4} + \dfrac{x-3}{5} = \dfrac{13}{10}$; 3) Знайдіть суму всіх коренів обох рівнянь, відтак дізнаєтеся, яке місце у світі посідає Україна за кількістю громадян з вищою освітою.

1. Розв’язання:

$\dfrac{x^2 + 5}{6} = \dfrac{4x + 5}{5}$

$5(x^2 + 5) = 6(4x + 5)$

$5x^2 + 25 = 24x + 30$

$5x^2 -24x -5 = 0$

$D = (-24)^2 -4 \cdot 5 \cdot (-5) = 576 + 100 = 676 = 26^2$

$x_1 = \dfrac{24 + 26}{10} = 5$

$x_2 = \dfrac{24 -26}{10} = -0{,}2$

2. Розв’язання:

$\dfrac{x^2 + 2}{4} + \dfrac{x -3}{5} = \dfrac{13}{10}$

Помножимо на 20:
$5(x^2 + 2) + 4(x -3) = 2 \cdot 13$

$5x^2 + 10 + 4x -12 = 26$

$5x^2 + 4x -2 -26 = 0$

$5x^2 + 4x -28 = 0$

$D = 4^2 -4 \cdot 5 \cdot (-28) = 16 + 560 = 576 = 24^2$

$x_3 = \dfrac{-4 + 24}{10} = 2$

$x_4 = \dfrac{-4 -24}{10} = -2{,}8$

3. Розв’язання:

Сума всіх коренів:
$5 + (-0{,}2) + 2 + (-2{,}8) = 4{,}8 + 2 -2{,}8 = 4$.

Відповідь: 4 місце.

79. Корені $x_1$ і $x_2$ рівняння $x^2 + px -6 = 0$ задовольняють умову $2x_1 + 3x_2 = 0$. Знайдіть корені рівняння та коефіцієнт $p$.

Відомо:

• $x^2 + px -6 = 0$
• $2x_1 + 3x_2 = 0$

Знайти:

• $x_1, x_2, p -?$

Розв’язання:

За теоремою Вієта:
$x_1 \cdot x_2 = -6$
$x_1 + x_2 = -p$

З умови $2x_1 + 3x_2 = 0$ виразимо $x_1$:
$2x_1 = -3x_2$
$x_1 = -1{,}5x_2$

Підставимо у вираз для добутку коренів:
$-1{,}5x_2 \cdot x_2 = -6$
$-1{,}5x_2^2 = -6$
$x_2^2 = 4$
Отже, можливі два випадки:

Випадок 1: $x_2 = 2$.
$x_1 = -1{,}5 \cdot 2 = -3$
$p = -(x_1 + x_2) = -(-3 + 2) = 1$

Випадок 2: $x_2 = -2$.
$x_1 = -1{,}5 \cdot (-2) = 3$
$p = -(x_1 + x_2) = -(3 -2) = -1$

Відповідь: $x_1 = -3, x_2 = 2, p = 1$ або $x_1 = 3, x_2 = -2, p = -1$.

80. Корені $x_1$ і $x_2$ рівняння $x^2 -3x + q = 0$ задовольняють умову $2x_1 + 3x_2 = 5$. Знайдіть корені рівняння та коефіцієнт $q$.

За теоремою Вієта:
$x_1 + x_2 = 3$ (1)
$x_1 \cdot x_2 = q$ (2)

Складемо систему з рівняння (1) та умови задачі:
$\begin{cases} x_1 + x_2 = 3 \ 2x_1 + 3x_2 = 5 \end{cases}$

З першого рівняння $x_1 = 3 -x_2$. Підставимо у друге:
$2(3 -x_2) + 3x_2 = 5$
$6 -2x_2 + 3x_2 = 5$
$x_2 = -1$

Знайдемо $x_1$:
$x_1 = 3 -(-1) = 4$

Знайдемо $q$:
$q = x_1 \cdot x_2 = 4 \cdot (-1) = -4$

Відповідь: $x_1 = 4, x_2 = -1, q = -4$.

ПОВТОРЮЄМО АЛГЕБРУ ЗА 8 КЛАС

81. Скоротіть дроби:

1. $\dfrac{4x -12}{x^2 -2x -3} = \dfrac{4(x -3)}{(x -3)(x + 1)} = \dfrac{4}{x + 1}$
2. $\dfrac{x^2 -4}{2x^2 -5x + 2} = \dfrac{(x -2)(x + 2)}{(x -2)(2x -1)} = \dfrac{x + 2}{2x -1}$
3. $\dfrac{2x^2 + 5x -3}{3x -2x^2 -1} = \dfrac{2(x + 3)(x -0,5)}{-(2x^2 -3x + 1)} = \dfrac{(x + 3)(2x -1)}{-(2x -1)(x -1)} = \dfrac{x + 3}{1 -x}$

82. Скоротіть дроби:

1. $\dfrac{x^2 -x -6}{2x + 4} = \dfrac{(x -3)(x + 2)}{2(x + 2)} = \dfrac{x -3}{2}$
2. $\dfrac{3x^2 -8x -3}{x^2 -9} = \dfrac{(x -3)(3x + 1)}{(x -3)(x + 3)} = \dfrac{3x + 1}{x + 3}$
3. $\dfrac{2x^2 -3x -2}{x + 1 -2x^2} = \dfrac{(x -2)(2x + 1)}{-(2x^2 -x -1)} = \dfrac{(x -2)(2x + 1)}{-(2x + 1)(x -1)} = \dfrac{2 -x}{x -1}$

83. Розв’яжіть рівняння:

1. $\dfrac{4x^2 + 11x -3}{1 -4x} = 7$

ОДЗ: $1 -4x \neq 0 \implies x \neq 0,25$.

$4x^2 + 11x -3 = 7(1 -4x)$

$4x^2 + 11x -3 = 7 -28x$

$4x^2 + 39x -10 = 0$

$D = 39^2 -4 \cdot 4 \cdot (-10) = 1521 + 160 = 1681 = 41^2$

$x_1 = \dfrac{-39 + 41}{8} = \dfrac{2}{8} = 0,25$ (не задовольняє ОДЗ)

$x_2 = \dfrac{-39 -41}{8} = -10$

Відповідь: -10.

2. $\dfrac{x + 4}{x -2} + \dfrac{x -3}{x + 2} = 7$

ОДЗ: $x \neq \pm 2$.

$(x + 4)(x + 2) + (x -3)(x -2) = 7(x^2 -4)$

$x^2 + 6x + 8 + x^2 -5x + 6 = 7x^2 -28$

$2x^2 + x + 14 = 7x^2 -28$

$5x^2 -x -42 = 0$

$D = (-1)^2 -4 \cdot 5 \cdot (-42) = 1 + 840 = 841 = 29^2$

$x_1 = \dfrac{1 + 29}{10} = 3$

$x_2 = \dfrac{1 -29}{10} = -2,8$

Відповідь: -2,8; 3.

3. $\dfrac{3x + 2}{x + 1} + \dfrac{x + 4}{x -3} = \dfrac{3x^2 + 1}{(x + 1)(x -3)}$

ОДЗ: $x \neq -1, x \neq 3$.

$(3x + 2)(x -3) + (x + 4)(x + 1) = 3x^2 + 1$

$3x^2 -9x + 2x -6 + x^2 + x + 4x + 4 = 3x^2 + 1$

$4x^2 -2x -2 = 3x^2 + 1$

$x^2 -2x -3 = 0$

За теоремою Вієта: $x_1 = 3$ (не задовольняє ОДЗ), $x_2 = -1$ (не задовольняє ОДЗ).

Відповідь: коренів немає.

4. $\dfrac{2x -2}{x + 3} -\dfrac{x -6}{x -3} = \dfrac{18}{x^2 -9}$

ОДЗ: $x \neq \pm 3$.

$(2x -2)(x -3) -(x -6)(x + 3) = 18$

$2x^2 -6x -2x + 6 -(x^2 -3x -18) = 18$

$2x^2 -8x + 6 -x^2 + 3x + 18 = 18$

$x^2 -5x + 6 = 0$

За теоремою Вієта: $x_1 = 2, x_2 = 3$ (не задовольняє ОДЗ).

Відповідь: 2.

84. Розв’яжіть рівняння:

1. $\dfrac{6x^2 + 5x -4}{1 -2x} = 2$

ОДЗ: $x \neq 0,5$.

$6x^2 + 5x -4 = 2(1 -2x)$

$6x^2 + 5x -4 = 2 -4x$

$6x^2 + 9x -6 = 0 \implies 2x^2 + 3x -2 = 0$

$D = 3^2 -4 \cdot 2 \cdot (-2) = 9 + 16 = 25$

$x_1 = \dfrac{-3 + 5}{4} = 0,5$ (не задовольняє ОДЗ)

$x_2 = \dfrac{-3 -5}{4} = -2$

Відповідь: -2.

2. $\dfrac{x + 4}{x + 1} + \dfrac{x -4}{x -1} = 1$

ОДЗ: $x \neq \pm 1$.

$(x + 4)(x -1) + (x -4)(x + 1) = x^2 -1$

$x^2 + 3x -4 + x^2 -3x -4 = x^2 -1$

$2x^2 -8 = x^2 -1$

$x^2 = 7$

$x = \pm \sqrt{7}$

Відповідь: $-\sqrt{7}; \sqrt{7}$.

3. $\dfrac{2x -7}{x + 4} + \dfrac{x -2}{x -1} = \dfrac{2x^2 + 4x -11}{(x + 4)(x -1)}$

ОДЗ: $x \neq -4, x \neq 1$.

$(2x -7)(x -1) + (x -2)(x + 4) = 2x^2 + 4x -11$

$2x^2 -9x + 7 + x^2 + 2x -8 = 2x^2 + 4x -11$

$3x^2 -7x -1 = 2x^2 + 4x -11$

$x^2 -11x + 10 = 0$

За теоремою Вієта: $x_1 = 10, x_2 = 1$ (не задовольняє ОДЗ).

Відповідь: 10.

4. $\dfrac{x -4}{x + 2} + \dfrac{x + 4}{x -2} = \dfrac{24}{x^2 -4}$

ОДЗ: $x \neq \pm 2$.

$(x -4)(x -2) + (x + 4)(x + 2) = 24$

$x^2 -6x + 8 + x^2 + 6x + 8 = 24$

$2x^2 + 16 = 24$

$2x^2 = 8 \implies x^2 = 4 \implies x = \pm 2$ (не задовольняють ОДЗ).

Відповідь: коренів немає.

85. З міста A в місто B, відстань між якими 360 км, одночасно виїхали два авто. Швидкість одного з них була на 10 км/год більша за швидкість другого, тому перше авто прибуло у місто B на 30 хв раніше, ніж друге. Знайдіть швидкість кожного авто.

Відомо:

• $S = 360\text{ км}$
• $v_1 = (x + 10)\text{ км/год}$
• $v_2 = x\text{ км/год}$
• $\Delta t = 30\text{ хв} = 0,5\text{ год}$

Знайти:

• $v_1, v_2 -?$

Розв’язання:

Час руху другого авто $t_2 = \dfrac{360}{x}$, час руху першого авто $t_1 = \dfrac{360}{x + 10}$.
Складемо рівняння:

$\dfrac{360}{x} -\dfrac{360}{x + 10} = 0,5$

$\dfrac{360(x + 10) -360x}{x(x + 10)} = 0,5$

$3600 = 0,5x(x + 10)$

$7200 = x^2 + 10x$

$x^2 + 10x -7200 = 0$

$D = 10^2 -4 \cdot 1 \cdot (-7200) = 100 + 28800 = 28900 = 170^2$

$x_1 = \dfrac{-10 + 170}{2} = 80$

$x_2 = \dfrac{-10 -170}{2} = -90$ (не задовольняє умову задачі, $x > 0$)

Швидкість другого авто дорівнює 80 км/год, швидкість першого — $80 + 10 = 90$ км/год.

Відповідь: 90 км/год та 80 км/год.

86. З одного села в інше, відстань між якими 24 км, виїхав велосипедист. Через 30 хв у тому самому напрямку виїхала велосипедистка, швидкість якої на 4 км/год більша за швидкість велосипедиста. Знайдіть швидкості велосипедистів, якщо до пункту призначення вони прибули одночасно.

Відомо:

• $S = 24\text{ км}$
• $v_1 = x\text{ км/год}$
• $v_2 = (x + 4)\text{ км/год}$
• $\Delta t = 30\text{ хв} = 0{,}5\text{ год}$

Знайти:

• $v_1 -?$
• $v_2 -?$

Розв’язання:

Час руху першого велосипедиста становить
$t_1 = \dfrac{S}{v_1} = \dfrac{24}{x}\text{ год}$

Час руху другого велосипедиста (велосипедистки) становить
$t_2 = \dfrac{S}{v_2} = \dfrac{24}{x + 4}\text{ год}$

Оскільки велосипедистка виїхала на 30 хвилин пізніше і прибула одночасно з першим велосипедистом, вона витратила на дорогу на 0,5 години менше. Складемо рівняння:
$\dfrac{24}{x} -\dfrac{24}{x + 4} = 0{,}5$

$24(x + 4) -24x = 0{,}5x(x + 4)$

$24x + 96 -24x = 0{,}5x^2 + 2x$

$0{,}5x^2 + 2x -96 = 0$

$x^2 + 4x -192 = 0$

$D = 4^2 -4 \cdot 1 \cdot (-192) = 16 + 768 = 784 = 28^2$

$x_1 = \dfrac{-4 + 28}{2} = 12$

$x_2 = \dfrac{-4 -28}{2} = -16$ (не задовольняє умову задачі, швидкість має бути додатною)

Отже, швидкість велосипедиста $v_1 = 12\text{ км/год}$, а швидкість велосипедистки $v_2 = 12 + 4 = 16\text{ км/год}$.

Відповідь: 12 км/год; 16 км/год.

87. Розв’яжіть рівняння:

1. $(2x -1)(4x^2 + 2x + 1) = 2x(2x -1)(2x + 1) + x^2 -3$

Застосуємо формулу різниці кубів до лівої частини та формулу різниці квадратів до правої частини рівняння:
$8x^3 -1 = 2x(4x^2 -1) + x^2 -3$

$8x^3 -1 = 8x^3 -2x + x^2 -3$

$8x^3 -1 -8x^3 + 2x -x^2 + 3 = 0$

$-x^2 + 2x + 2 = 0$

$x^2 -2x -2 = 0$

$D = (-2)^2 -4 \cdot 1 \cdot (-2) = 4 + 8 = 12$

$x = \dfrac{2 \pm \sqrt{12}}{2} = \dfrac{2 \pm 2\sqrt{3}}{2} = 1 \pm \sqrt{3}$

2. $(\sqrt{x} -3)(x^2 + 2x -3) = 0$

Область допустимих значень (ОДЗ): $x \geq 0$.
Добуток дорівнює нулю, якщо хоча б один із множників дорівнює нулю:
$\sqrt{x} -3 = 0$ або $x^2 + 2x -3 = 0$

З першого рівняння:
$\sqrt{x} = 3 \Rightarrow x = 9$

З другого рівняння за теоремою Вієта:
$x_1 = 1, x_2 = -3$

Перевіримо отримані значення на відповідність ОДЗ. Число $-3$ не входить в ОДЗ. Отже, коренями рівняння є числа 1 та 9.

3. $x|x| -3x -4 = 0$

Для розв’язання рівняння з модулем розглянемо два випадки:
Якщо $x \geq 0$, рівняння має вигляд:
$x^2 -3x -4 = 0$
За теоремою Вієта $x_1 = 4, x_2 = -1$. Умову $x \geq 0$ задовольняє лише $x = 4$.

Якщо $x < 0$, рівняння має вигляд:
$-x^2 -3x -4 = 0$
$x^2 + 3x + 4 = 0$
$D = 3^2 -4 \cdot 1 \cdot 4 = 9 -16 = -7$
Оскільки дискримінант від’ємний, у цьому випадку коренів немає.

88. Розв’яжіть рівняння:

1. $(3x + 1)(9x^2 -3x + 1) = 3x(3x -1)(3x + 1) + x -x^2$

Використаємо формули суми кубів та різниці квадратів:
$27x^3 + 1 = 3x(9x^2 -1) + x -x^2$

$27x^3 + 1 = 27x^3 -3x + x -x^2$

$27x^3 + 1 -27x^3 + 3x -x + x^2 = 0$

$x^2 + 2x + 1 = 0$

$(x + 1)^2 = 0$

$x = -1$

2. $(\sqrt{x} -2)(2x^2 + 3x -5) = 0$

Область допустимих значень: $x \geq 0$.
$\sqrt{x} -2 = 0 \Rightarrow \sqrt{x} = 2 \Rightarrow x = 4$

$2x^2 + 3x -5 = 0$
$D = 3^2 -4 \cdot 2 \cdot (-5) = 9 + 40 = 49$
$x = \dfrac{-3 \pm 7}{4} \Rightarrow x_1 = 1, x_2 = -2{,}5$

Значення $x = -2{,}5$ не входить в ОДЗ. Коренями рівняння є 1 та 4.

3. $x|x| + 5x -6 = 0$

Випадок $x \geq 0$:
$x^2 + 5x -6 = 0$
За теоремою Вієта корені $1$ та $-6$. Підходить лише $x = 1$.

Випадок $x < 0$:
$-x^2 + 5x -6 = 0 \Rightarrow x^2 -5x + 6 = 0$
За теоремою Вієта корені $2$ та $3$. Обидва не задовольняють умову $x < 0$.

89. За яких значень a рівняння має лише один корінь:

1. $4x^2 + x -a = 0$

Квадратне рівняння має один корінь, якщо дискримінант дорівнює нулю:
$D = 1^2 -4 \cdot 4 \cdot (-a) = 1 + 16a$

$1 + 16a = 0$

$a = -\dfrac{1}{16}$

2. $ax^2 -8x -4 = 0$

Якщо $a = 0$, рівняння стає лінійним $-8x -4 = 0$ і має один корінь $x = -0{,}5$.
Якщо $a \neq 0$, рівняння є квадратним і має один корінь при $D = 0$:
$D = (-8)^2 -4 \cdot a \cdot (-4) = 64 + 16a$

$64 + 16a = 0 \Rightarrow a = -4$

Відповідь: 0; -4.

90. За яких значень b рівняння має лише один корінь:

1. $x^2 + bx + 4 = 0$

Рівняння має один корінь при $D = 0$:
$D = b^2 -4 \cdot 1 \cdot 4 = b^2 -16$

$b^2 -16 = 0 \Rightarrow b = \pm 4$

2. $bx^2 + 6x -1 = 0$

Якщо $b = 0$, рівняння $6x -1 = 0$ є лінійним і має один корінь $x = \dfrac{1}{6}$.
Якщо $b \neq 0$, рівняння має один корінь, якщо $D = 0$:
$D = 6^2 -4 \cdot b \cdot (-1) = 36 + 4b$

$36 + 4b = 0 \Rightarrow b = -9$

Відповідь: 0; -9.

ПОВТОРЮЄМО АЛГЕБРУ ЗА 8 КЛАС

91. Розв’яжіть рівняння:

1. $(x + 1)^4 -3(x + 1)^2 -4 = 0$

Для розв’язання рівняння застосуємо метод заміни змінної. Нехай $(x + 1)^2 = t$, де $t \geq 0$. Тоді вихідне рівняння набуває вигляду:
$t^2 -3t -4 = 0$

За теоремою Вієта:
$t_1 + t_2 = 3$
$t_1 \cdot t_2 = -4$
Звідси $t_1 = 4$, $t_2 = -1$.

Оскільки за умовою $t \geq 0$, то значення $t = -1$ не задовольняє умову.
Повернемося до заміни для $t = 4$:
$(x + 1)^2 = 4$
$x + 1 = 2$ або $x + 1 = -2$
$x_1 = 1$, $x_2 = -3$.

Відповідь: 1; -3.

2. $(x^2 + x)^2 -4x^2 -4x -12 = 0$

Перепишемо рівняння, винісши спільний множник за дужки:
$(x^2 + x)^2 -4(x^2 + x) -12 = 0$

Застосуємо заміну змінної. Нехай $x^2 + x = t$. Отримаємо квадратне рівняння:
$t^2 -4t -12 = 0$

За теоремою Вієта:
$t_1 + t_2 = 4$
$t_1 \cdot t_2 = -12$
Отже, $t_1 = 6$, $t_2 = -2$.

Розглянемо два випадки:

1. $x^2 + x = 6$
   $x^2 + x -6 = 0$
   $D = 1^2 -4 \cdot 1 \cdot (-6) = 25$
   $x = \dfrac{-1 \pm 5}{2}$
   $x_1 = 2$, $x_2 = -3$.
2. $x^2 + x = -2$
   $x^2 + x + 2 = 0$
   $D = 1^2 -4 \cdot 1 \cdot 2 = -7$
   Оскільки $D < 0$, рівняння коренів не має.

Відповідь: 2; -3.

92. Розв’яжіть рівняння:

1. $(x -2)^4 + 4(x -2)^2 -5 = 0$

Застосуємо заміну змінної. Нехай $(x -2)^2 = t$, де $t \geq 0$. Отримаємо рівняння:
$t^2 + 4t -5 = 0$

За теоремою Вієта:
$t_1 + t_2 = -4$
$t_1 \cdot t_2 = -5$
Звідси $t_1 = 1$, $t_2 = -5$.

Значення $t = -5$ не відповідає умові $t \geq 0$.
Виконаємо зворотну заміну для $t = 1$:
$(x -2)^2 = 1$
$x -2 = 1$ або $x -2 = -1$
$x_1 = 3$, $x_2 = 1$.

Відповідь: 3; 1.

2. $(x^2 -x)^2 -5x^2 + 5x + 6 = 0$

Перетворимо рівняння для виділення спільної частини:
$(x^2 -x)^2 -5(x^2 -x) + 6 = 0$

Нехай $x^2 -x = t$. Рівняння набуває вигляду:
$t^2 -5t + 6 = 0$

За теоремою Вієта:
$t_1 + t_2 = 5$
$t_1 \cdot t_2 = 6$
Отже, $t_1 = 3$, $t_2 = 2$.

Розв’яжемо рівняння для кожного значення $t$:

1. $x^2 -x = 3$
   $x^2 -x -3 = 0$
   $D = (-1)^2 -4 \cdot 1 \cdot (-3) = 13$
   $x = \dfrac{1 \pm \sqrt{13}}{2}$
2. $x^2 -x = 2$
   $x^2 -x -2 = 0$
   $D = (-1)^2 -4 \cdot 1 \cdot (-2) = 9$
   $x = \dfrac{1 \pm 3}{2}$
   $x_3 = 2$, $x_4 = -1$.

Відповідь: $\dfrac{1 \pm \sqrt{13}}{2}$; 2; -1.