Повторюємо алгебру за 8 клас

Зміст

РАЦІОНАЛЬНІ ВИРАЗИ

1. Скоротіть дроби:

1) $\frac{7 x}{7 y} = \frac{x}{y}$

2) $\frac{2 x}{10 m} = \frac{x}{5 m}$

3) $\frac{m c}{x m} = \frac{c}{x}$

4) $\frac{p ^{2}}{p a} = \frac{p}{a}$

5) $\frac{4 ab}{7 b c} = \frac{4 a}{7 c}$

6) $\frac{6 a y}{6 b y} = \frac{a}{b}$

2. Скоротіть дроби:

1) $\frac{9 a}{9 b} = \frac{a}{b}$

2) $\frac{5 t}{15 a} = \frac{t}{3 a}$

3) $\frac{a d}{d m} = \frac{a}{m}$

4) $\frac{c ^{2}}{5 c} = \frac{c}{5}$

5) $\frac{7 x y}{9 y t} = \frac{7 x}{9 t}$

6) $\frac{4 x p}{4 y p} = \frac{x}{y}$

3. Виконайте дію:

1) $\frac{x + y}{5} - \frac{x}{5} = \frac{x + y - x}{5} = \frac{y}{5}$

2) $\frac{4 m ^{2}}{5} + \frac{m ^{2}}{5} = \frac{4 m ^{2} + m ^{2}}{5} = \frac{5 m ^{2}}{5} = m^{2}$

3) $\frac{12}{x ^{2}} \cdot \frac{x}{3} = \frac{12 \cdot x}{3 \cdot x ^{2}} = \frac{4}{x}$

4) $\frac{a ^{2}}{3} : \frac{a}{15} = \frac{a ^{2}}{3} \cdot \frac{15}{a} = \frac{a ^{2} \cdot 15}{3 \cdot a} = 5 a$

4. Виконайте дію:

1) $\frac{a - b}{3} + \frac{b}{3} = \frac{a - b + b}{3} = \frac{a}{3}$

2) $\frac{7 a ^{2}}{6} - \frac{a ^{2}}{6} = \frac{7 a ^{2} - a ^{2}}{6} = \frac{6 a ^{2}}{6} = a^{2}$

3) $\frac{y}{4} \cdot \frac{16}{y ^{2}} = \frac{y \cdot 16}{4 \cdot y ^{2}} = \frac{4}{y}$

4) $\frac{m ^{2}}{5} : \frac{m}{10} = \frac{m ^{2}}{5} \cdot \frac{10}{m} = \frac{m ^{2} \cdot 10}{5 \cdot m} = 2 m$

5. Скоротіть дроби:

1) $\frac{16 m ^{2} p}{20 mb} = \frac{4 \cdot 4 \cdot m \cdot m \cdot p}{4 \cdot 5 \cdot m \cdot b} = \frac{4 m p}{5 b}$

2) $\frac{a b ^{2} ( x + 2 )}{a ^{2} b ( x + 2 ) ^{2}} = \frac{b}{a ( x + 2 )}$

3) $\frac{5 m - 15}{10} = \frac{5 ( m - 3 )}{10} = \frac{m - 3}{2}$

4) $\frac{a + 2 b}{a ^{2} + 2 ab} = \frac{a + 2 b}{a ( a + 2 b )} = \frac{1}{a}$

6. Скоротіть дроби:

1) Для скорочення дробу $\frac{15 a ^{2} x}{25 a y}$ поділимо чисельник і знаменник на їхній спільний множник $5 a$ :

$\frac{15 a ^{2} x}{25 a y} = \frac{3 a x}{5 y}$

2) Для скорочення дробу $\frac{m ^{2} c ( a - 2 ) ^{2}}{m c ^{2} ( a - 2 )}$ поділимо на спільний множник $m c (a - 2)$ :

$\frac{m ^{2} c ( a - 2 ) ^{2}}{m c ^{2} ( a - 2 )} = \frac{m ( a - 2 )}{c}$

3) У чисельнику дробу $\frac{4 x + 12}{16}$ винесемо спільний множник $4$ за дужки та скоротимо:

$\frac{4 ( x + 3 )}{16} = \frac{x + 3}{4}$

4) У знаменнику дробу $\frac{m - 3 p}{m ^{2} - 3 m p}$ винесемо $m$ за дужки та скоротимо на вираз $(m - 3 p)$ :

$\frac{m - 3 p}{m ( m - 3 p )} = \frac{1}{m}$

7. Подайте у вигляді дробу:

1) Виконаємо додавання дробів з однаковими знаменниками:

$\frac{x + 2 y}{5} + \frac{4 x - 7 y}{5} = \frac{x + 2 y + 4 x - 7 y}{5} = \frac{5 x - 5 y}{5} = \frac{5 ( x - y )}{5} = x - y$

2) Виконаємо віднімання дробів з однаковими знаменниками:

$\frac{x - y}{x ^{2} - 4} - \frac{y - 2}{x ^{2} - 4} = \frac{x - y - ( y - 2 )}{x ^{2} - 4} = \frac{x - 2 y + 2}{x ^{2} - 4}$

3) Зведемо дроби до спільного знаменника $m p$ :

$\frac{4 - 2 m}{m} - \frac{5 - 2 p}{p} = \frac{p ( 4 - 2 m ) - m ( 5 - 2 p )}{m p} = \frac{4 p - 2 m p - 5 m + 2 m p}{m p} = \frac{4 p - 5 m}{m p}$

4) Зведемо до спільного знаменника, враховуючи, що $m^{2} - 8 m + 16 = (m - 4)^{2}$ :

$\frac{m}{m - 4} - \frac{m ^{2}}{( m - 4 ) ^{2}} = \frac{m ( m - 4 ) - m ^{2}}{( m - 4 ) ^{2}} = \frac{m ^{2} - 4 m - m ^{2}}{( m - 4 ) ^{2}} = \frac{- 4 m}{( m - 4 ) ^{2}}$

5) Виконаємо множення дробів, попередньо розклавши вирази на множники:

$\frac{p ^{2} - p}{3 p y} \cdot \frac{3 p}{p ^{2} - 1} = \frac{p ( p - 1 ) \cdot 3 p}{3 p y \cdot ( p - 1 ) ( p + 1 )} = \frac{p}{y ( p + 1 )}$

6) Виконаємо ділення, замінивши його множенням на обернений дріб:

$10 x^{2} : (- \frac{5 x}{m}) = 10 x^{2} \cdot (- \frac{m}{5 x}) = - 2 x \cdot m = - 2 m x$

8. Подайте у вигляді дробу:

1) Додамо дроби:

$\frac{a + 3 b}{4} + \frac{3 a - 7 b}{4} = \frac{a + 3 b + 3 a - 7 b}{4} = \frac{4 a - 4 b}{4} = a - b$

2) Віднімемо дроби:

$\frac{m - b}{m ^{2} - 1} - \frac{b - 1}{m ^{2} - 1} = \frac{m - b - b + 1}{m ^{2} - 1} = \frac{m - 2 b + 1}{m ^{2} - 1}$

3) Зведемо до спільного знаменника $x y$ :

$\frac{5 - 3 y}{y} - \frac{2 - 3 x}{x} = \frac{x ( 5 - 3 y ) - y ( 2 - 3 x )}{x y} = \frac{5 x - 3 x y - 2 y + 3 x y}{x y} = \frac{5 x - 2 y}{x y}$

4) Використаємо формулу квадрата суми $(b + 2)^{2} = b^{2} + 4 b + 4$ для знаходження спільного знаменника:

$\frac{b}{b + 2} - \frac{b ^{2}}{( b + 2 ) ^{2}} = \frac{b ( b + 2 ) - b ^{2}}{( b + 2 ) ^{2}} = \frac{b ^{2} + 2 b - b ^{2}}{( b + 2 ) ^{2}} = \frac{2 b}{( b + 2 ) ^{2}}$

5) Виконаємо множення:

$\frac{c ^{2} - 2 c}{5 ma} \cdot \frac{5 m}{c ^{2} - 4} = \frac{c ( c - 2 ) \cdot 5 m}{5 ma \cdot ( c - 2 ) ( c + 2 )} = \frac{c}{a ( c + 2 )}$

6) Виконаємо ділення:

$\frac{4 a ^{2}}{p} : (- 8 a) = \frac{4 a ^{2}}{p} \cdot (- \frac{1}{8 a}) = - \frac{a}{2 p}$

9. Розв’яжіть рівняння:

1) $\frac{2 x - 6}{x + 3} = 0$

Дріб дорівнює нулю, коли чисельник дорівнює нулю, а знаменник — ні.

$2 x - 6 = 0$

$2 x = 6$

$x = 3$

Перевірка знаменника: $3 + 3 = 6 \neq = 0$ .

Відповідь: $3$ .

2) $\frac{x + 4}{x} = 0$

$x + 4 = 0$

$x = - 4$

Перевірка знаменника: $- 4 \neq = 0$ .

Відповідь: $- 4$ .

3) $\frac{x}{x - 2} = \frac{7}{5}$

За основною властивістю пропорції:

$5 x = 7 (x - 2)$

$5 x = 7 x - 14$

$- 2 x = - 14$

$x = 7$

Перевірка знаменника: $7 - 2 = 5 \neq = 0$ .

Відповідь: $7$ .

4) $\frac{3 x ^{2} - 9}{x + 1} = 3 x$

$3 x^{2} - 9 = 3 x (x + 1)$

$3 x^{2} - 9 = 3 x^{2} + 3 x$

$- 9 = 3 x$

$x = - 3$

Перевірка знаменника: $- 3 + 1 = - 2 \neq = 0$ .

Відповідь: $- 3$ .

10. Розв’яжіть рівняння:

1) $\frac{2 x + 4}{x - 2} = 0$

$2 x + 4 = 0$

$2 x = - 4$

$x = - 2$

Перевірка знаменника: $- 2 - 2 = - 4 \neq = 0$ .

Відповідь: $- 2$ .

2) $\frac{x + 8}{x} = 0$

$x + 8 = 0$

$x = - 8$

Перевірка знаменника: $- 8 \neq = 0$ .

Відповідь: $- 8$ .

3) $\frac{x}{x + 1} = \frac{4}{5}$

$5 x = 4 (x + 1)$

$5 x = 4 x + 4$

$x = 4$

Перевірка знаменника: $4 + 1 = 5 \neq = 0$ .

Відповідь: $4$ .

4) $\frac{2 x ^{2} + 8}{x - 1} = 2 x$

$2 x^{2} + 8 = 2 x (x - 1)$

$2 x^{2} + 8 = 2 x^{2} - 2 x$

$8 = - 2 x$

$x = - 4$

Перевірка знаменника: $- 4 - 1 = - 5 \neq = 0$ .

Відповідь: $- 4$ .

ПОВТОРЮЄМО АЛГЕБРУ ЗА 8 КЛАС

11. Обчисліть:

1) $9^{- 2} = \frac{1}{9 ^{2}} = \frac{1}{81}$

2) $(- 4)^{- 3} = \frac{1}{( - 4 ) ^{3}} = \frac{1}{- 64} = - \frac{1}{64}$

3) $(- 1)^{- 7} = \frac{1}{( - 1 ) ^{7}} = \frac{1}{- 1} = - 1$

4) $1 4^{- 1} = \frac{1}{1 4 ^{1}} = \frac{1}{14}$

5) $2^{9} \cdot 2^{- 10} = 2^{9 + (- 10)} = 2^{- 1} = \frac{1}{2}$

6) $5 : 5^{- 1} = 5^{1} : 5^{- 1} = 5^{1 - (- 1)} = 5^{1 + 1} = 5^{2} = 25$

7) $\frac{4 ^{- 3}}{4 ^{- 2}} = 4^{- 3 - (- 2)} = 4^{- 3 + 2} = 4^{- 1} = \frac{1}{4}$

8) $(\frac{1}{3})^{- 2} = 3^{2} = 9$

12. Обчисліть:

1) $2^{- 3} = \frac{1}{2 ^{3}} = \frac{1}{8}$

2) $(- 5)^{- 2} = \frac{1}{( - 5 ) ^{2}} = \frac{1}{25}$

3) $(- 1)^{- 11} = \frac{1}{( - 1 ) ^{11}} = \frac{1}{- 1} = - 1$

4) $1 5^{- 1} = \frac{1}{1 5 ^{1}} = \frac{1}{15}$

5) $4^{8} \cdot 4^{- 10} = 4^{8 + (- 10)} = 4^{- 2} = \frac{1}{4 ^{2}} = \frac{1}{16}$

6) $7^{- 1} : 7 = 7^{- 1} : 7^{1} = 7^{- 1 - 1} = 7^{- 2} = \frac{1}{49}$

7) $\frac{9 ^{- 4}}{9 ^{- 5}} = 9^{- 4 - (- 5)} = 9^{- 4 + 5} = 9^{1} = 9$

8) $(\frac{1}{10})^{- 3} = 1 0^{3} = 1000$

13. Виконайте дії та подайте результат у стандартному вигляді:

1) $(1, 8 \cdot 1 0^{- 5}) \cdot (3 \cdot 1 0^{9}) = (1, 8 \cdot 3) \cdot (1 0^{- 5} \cdot 1 0^{9}) = 5, 4 \cdot 1 0^{4}$

2) $(1, 7 \cdot 1 0^{4}) : (3, 4 \cdot 1 0^{- 3}) = \frac{1 , 7}{3 , 4} \cdot \frac{1 0 ^{4}}{1 0 ^{- 3}} = 0, 5 \cdot 1 0^{4 - (- 3)} = 0, 5 \cdot 1 0^{7} = 5 \cdot 1 0^{6}$

3) $3, 2 \cdot 1 0^{- 3} + 7 \cdot 1 0^{- 3} = (3, 2 + 7) \cdot 1 0^{- 3} = 10, 2 \cdot 1 0^{- 3} = 1, 02 \cdot 1 0^{- 2}$

4) $5, 42 \cdot 1 0^{8} - 4, 3 \cdot 1 0^{8} = (5, 42 - 4, 3) \cdot 1 0^{8} = 1, 12 \cdot 1 0^{8}$

14. Виконайте дії та подайте результат у стандартному вигляді:

1) $(5 \cdot 1 0^{8}) \cdot (2, 4 \cdot 1 0^{- 3}) = (5 \cdot 2, 4) \cdot (1 0^{8} \cdot 1 0^{- 3}) = 12 \cdot 1 0^{5} = 1, 2 \cdot 1 0^{6}$

2) $(7 \cdot 1 0^{8}) : (3, 5 \cdot 1 0^{- 1}) = \frac{7}{3 , 5} \cdot \frac{1 0 ^{8}}{1 0 ^{- 1}} = 2 \cdot 1 0^{8 - (- 1)} = 2 \cdot 1 0^{9}$

3) $4, 9 \cdot 1 0^{4} + 2 \cdot 1 0^{4} = (4, 9 + 2) \cdot 1 0^{4} = 6, 9 \cdot 1 0^{4}$

4) $4, 42 \cdot 1 0^{- 7} - 4 \cdot 1 0^{- 7} = (4, 42 - 4) \cdot 1 0^{- 7} = 0, 42 \cdot 1 0^{- 7} = 4, 2 \cdot 1 0^{- 8}$

15. Побудуйте графіки функцій:

Графіком кожної з функцій є гіпербола.

1) $y = \frac{8}{x}$

Для побудови обчислимо координати кількох точок:

$x$	$- 8$	$- 4$	$- 2$	$- 1$	$1$	$2$	$4$	$8$
$y$	$- 1$	$- 2$	$- 4$	$- 8$	$8$	$4$	$2$	$1$

Гілки гіперболи розташовані у I та III чвертях.

2) $y = - \frac{10}{x}$

$x$	$- 10$	$- 5$	$- 2$	$- 1$	$1$	$2$	$5$	$10$
$y$	$1$	$2$	$5$	$10$	$- 10$	$- 5$	$- 2$	$- 1$

$y = -\dfrac{10}{x}$

16. Побудуйте графіки функцій:

1) $y = \frac{12}{x}$

Для побудови графіка функції $y = \frac{12}{x}$ (гіперболи) складемо таблицю значень:

$x$	$- 12$	$- 6$	$- 4$	$- 3$	$- 2$	$- 1$	$1$	$2$	$3$	$4$	$6$	$12$
$y$	$- 1$	$- 2$	$- 3$	$- 4$	$- 6$	$- 12$	$12$	$6$	$4$	$3$	$2$	$1$

$Побудуйте графік функцій: $y = \dfrac{12}{x}$$

2) $y = - \frac{4}{x}$

Для побудови графіка функції $y = - \frac{4}{x}$ (гіперболи) складемо таблицю значень:

$x$	$- 4$	$- 2$	$- 1$	$1$	$2$	$4$
$y$	$1$	$2$	$4$	$- 4$	$- 2$	$- 1$

$y = -\dfrac{4}{x}$

17. Виконайте дію:

1) $\frac{2 a ^{2} - 2 a}{4 a ^{2} - b ^{2}} + \frac{b ( a - 1 )}{b ^{2} - 4 a ^{2}}$

Зведемо дроби до спільного знаменника, змінивши знак у другому знаменнику:

$\frac{2 a ( a - 1 )}{4 a ^{2} - b ^{2}} - \frac{b ( a - 1 )}{4 a ^{2} - b ^{2}} = \frac{( a - 1 ) \cdot ( 2 a - b )}{( 2 a - b ) \cdot ( 2 a + b )} = \frac{a - 1}{2 a + b}$

2) $\frac{x + 3}{x y - x ^{2}} + \frac{y + 3}{x y - y ^{2}}$

Розкладемо знаменники на множники та зведемо до спільного знаменника $x y (y - x)$ :

$\frac{x + 3}{x ( y - x )} + \frac{y + 3}{y ( x - y )} = \frac{x + 3}{x ( y - x )} - \frac{y + 3}{y ( y - x )} = \frac{y ( x + 3 ) - x ( y + 3 )}{x y ( y - x )} = \frac{x y + 3 y - x y - 3 x}{x y ( y - x )} = \frac{3 ( y - x )}{x y ( y - x )} = \frac{3}{x y}$

3) $\frac{x ^{2} + x - 3}{x ^{2} - 9} - \frac{3}{2 x - 6} - 1$

Спільний знаменник для дробів дорівнює $2 (x - 3) (x + 3)$ :

$\frac{x ^{2} + x - 3}{( x - 3 ) ( x + 3 )} - \frac{3}{2 ( x - 3 )} - 1 = \frac{2 ( x ^{2} + x - 3 ) - 3 ( x + 3 ) - 2 ( x ^{2} - 9 )}{2 ( x - 3 ) ( x + 3 )} = \frac{2 x ^{2} + 2 x - 6 - 3 x - 9 - 2 x ^{2} + 18}{2 ( x ^{2} - 9 )} = \frac{- x + 3}{2 ( x - 3 ) ( x + 3 )} = \frac{- ( x - 3 )}{2 ( x - 3 ) ( x + 3 )} = - \frac{1}{2 ( x + 3 )}$

4) $\frac{a x - 2 x}{3 y + 6} : \frac{4 - a ^{2}}{y ^{2} + 4 y + 4}$

Виконаємо ділення, помноживши на обернений дріб та розклавши вирази на множники:

$\frac{x ( a - 2 )}{3 ( y + 2 )} \cdot \frac{( y + 2 ) ^{2}}{( 2 - a ) ( 2 + a )} = \frac{x ( a - 2 ) ( y + 2 ) ^{2}}{3 ( y + 2 ) ( - ( a - 2 )) ( a + 2 )} = - \frac{x ( y + 2 )}{3 ( a + 2 )}$

18. Виконайте дію:

1) $\frac{3 x ( x - 1 )}{9 x ^{2} - y ^{2}} + \frac{x y - y}{y ^{2} - 9 x ^{2}}$

Зведемо до спільного знаменника $9 x^{2} - y^{2}$ :

$\frac{3 x ( x - 1 )}{9 x ^{2} - y ^{2}} - \frac{y ( x - 1 )}{9 x ^{2} - y ^{2}} = \frac{( x - 1 ) ( 3 x - y )}{( 3 x - y ) ( 3 x + y )} = \frac{x - 1}{3 x + y}$

2) $\frac{a - 5}{ab - a ^{2}} - \frac{5 - b}{ab - b ^{2}}$

Зведемо до спільного знаменника $ab (b - a)$ :

$\frac{a - 5}{a ( b - a )} - \frac{5 - b}{b ( a - b )} = \frac{a - 5}{a ( b - a )} + \frac{5 - b}{b ( b - a )} = \frac{b ( a - 5 ) + a ( 5 - b )}{ab ( b - a )} = \frac{ab - 5 b + 5 a - ab}{ab ( b - a )} = \frac{5 ( a - b )}{ab ( b - a )} = \frac{- 5 ( b - a )}{ab ( b - a )} = - \frac{5}{ab}$

3) $\frac{x ^{2} + x - 2}{x ^{2} - 4} - \frac{2}{3 x - 6} - 1$

Спільний знаменник дорівнює $3 (x - 2) (x + 2)$ :

$\frac{x ^{2} + x - 2}{( x - 2 ) ( x + 2 )} - \frac{2}{3 ( x - 2 )} - 1 = \frac{3 ( x ^{2} + x - 2 ) - 2 ( x + 2 ) - 3 ( x ^{2} - 4 )}{3 ( x - 2 ) ( x + 2 )} = \frac{3 x ^{2} + 3 x - 6 - 2 x - 4 - 3 x ^{2} + 12}{3 ( x ^{2} - 4 )} = \frac{x + 2}{3 ( x - 2 ) ( x + 2 )} = \frac{1}{3 ( x - 2 )}$

4) $\frac{m ^{2} - 9}{a ^{2} + 6 a + 9} : \frac{12 - 4 m}{a p + 3 p}$

Розкладемо на множники та скоротимо:

$\frac{( m - 3 ) ( m + 3 )}{( a + 3 ) ^{2}} \cdot \frac{p ( a + 3 )}{4 ( 3 - m )} = \frac{( m - 3 ) ( m + 3 ) p ( a + 3 )}{( a + 3 ) ^{2} \cdot ( - 4 ) ( m - 3 )} = - \frac{p ( m + 3 )}{4 ( a + 3 )}$

19. 7 липня 2024 року українська легкоатлетка Ярослава Магучіх установила новий світовий рекорд зі стрибків у висоту — $2 м 10 см$ . Знайдіть значення виразу $(\frac{a}{a + 6} + \frac{a ^{2} + 36}{a ^{2} - 36} - \frac{a}{a - 6}) : \frac{a - 6}{a ^{2} + 12 a + 36}$ , якщо $a = 31$ , відтак дізнаєтеся, скільки років тримався попередній світовий рекорд у цій дисципліні.

Дано:

$a = 31$
Вираз: $(\frac{a}{a + 6} + \frac{a ^{2} + 36}{a ^{2} - 36} - \frac{a}{a - 6}) : \frac{a - 6}{a ^{2} + 12 a + 36}$

Знайти:

Значення виразу при $a = 31$ .

Розв’язання:

Спочатку спростимо вираз у дужках, звівши дроби до спільного знаменника $(a - 6) (a + 6)$ :

$\frac{a ( a - 6 ) + a ^{2} + 36 - a ( a + 6 )}{( a - 6 ) ( a + 6 )} = \frac{a ^{2} - 6 a + a ^{2} + 36 - a ^{2} - 6 a}{a ^{2} - 36} = \frac{a ^{2} - 12 a + 36}{a ^{2} - 36} = \frac{( a - 6 ) ^{2}}{( a - 6 ) ( a + 6 )} = \frac{a - 6}{a + 6}$

Тепер виконаємо ділення:

$\frac{a - 6}{a + 6} : \frac{a - 6}{( a + 6 ) ^{2}} = \frac{a - 6}{a + 6} \cdot \frac{( a + 6 ) ^{2}}{a - 6} = a + 6$

Підставимо значення $a = 31$ :

$31 + 6 = 37$

Відповідь: попередній світовий рекорд тримався $37$ років.

20. Доведіть тотожність $(\frac{x}{x - 1} - \frac{x}{x + 1} - \frac{x ^{2} + 1}{1 - x ^{2}}) \cdot \frac{x - 1}{x ^{2} + 2 x + 1} = \frac{1}{x + 1}$

Розв’язання:

Спростимо вираз у дужках, звівши дроби до спільного знаменника $x^{2} - 1$ :

$\frac{x}{x - 1} - \frac{x}{x + 1} + \frac{x ^{2} + 1}{x ^{2} - 1} = \frac{x ( x + 1 ) - x ( x - 1 ) + x ^{2} + 1}{( x - 1 ) ( x + 1 )} = \frac{x ^{2} + x - x ^{2} + x + x ^{2} + 1}{x ^{2} - 1} = \frac{x ^{2} + 2 x + 1}{x ^{2} - 1} = \frac{( x + 1 ) ^{2}}{( x - 1 ) ( x + 1 )} = \frac{x + 1}{x - 1}$

Виконаємо множення отриманого результату на другий множник:

$\frac{x + 1}{x - 1} \cdot \frac{x - 1}{( x + 1 ) ^{2}} = \frac{1}{x + 1}$

Оскільки ліва частина виразу після спрощення дорівнює правій, тотожність доведено.

21. Розв’яжіть рівняння $2 + \frac{1}{x - 20} = \frac{x - 18}{20 - x}$ і $\frac{4}{y + 1} + \frac{3 y - 7}{y - 2} = 3$ . Знайдіть значення виразу $100 x + 18 y$ та дізнаєтеся, якого року українка Катерина Логвинівна Ющенко розробила концепцію першої у світі формальної мови адресного програмування.

Розв’язання:

1) Розв’яжемо перше рівняння:

$2 + \frac{1}{x - 20} = \frac{x - 18}{- ( x - 20 )}$

$2 + \frac{1}{x - 20} + \frac{x - 18}{x - 20} = 0$

$\frac{2 ( x - 20 ) + 1 + x - 18}{x - 20} = 0$

$\frac{2 x - 40 + x - 17}{x - 20} = 0$

$3 x - 57 = 0$

$x = 19 (при x \neq = 20)$

2) Розв’яжемо друге рівняння:

$\frac{4 ( y - 2 ) + ( 3 y - 7 ) ( y + 1 )}{( y + 1 ) ( y - 2 )} = 3$

$\frac{4 y - 8 + 3 y ^{2} + 3 y - 7 y - 7}{y ^{2} - y - 2} = 3$

$\frac{3 y ^{2} - 15}{y ^{2} - y - 2} = 3$

$3 y^{2} - 15 = 3 (y^{2} - y - 2)$

$3 y^{2} - 15 = 3 y^{2} - 3 y - 6$

$3 y = 9$

$y = 3 (при y \neq = - 1, y \neq = 2)$

3) Обчислимо значення виразу:

$100 \cdot 19 + 18 \cdot 3 = 1900 + 54 = 1954$

Відповідь: $1954$ рік.

22. Національний університет «Острозька академія» — один із найдавніших навчальних закладів Європи і перший — створений в Україні. Розв’яжіть рівняння $3 + \frac{1}{x - 16} = \frac{x - 13}{16 - x}$ і $\frac{5}{y + 1} + \frac{2 y - 1}{y + 3} = 2$ та знайдіть значення виразу $100 x + 19 y$ , відтак дізнаєтеся рік заснування цього університету.

Розв’язання:

1) Розв’яжемо перше рівняння:

$3 + \frac{1}{x - 16} = - \frac{x - 13}{x - 16}$

$3 + \frac{1 + x - 13}{x - 16} = 0$

$\frac{3 ( x - 16 ) + x - 12}{x - 16} = 0$

$3 x - 48 + x - 12 = 0$

$4 x = 60$

$x = 15 (при x \neq = 16)$

2) Розв’яжемо друге рівняння:

$\frac{5 ( y + 3 ) + ( 2 y - 1 ) ( y + 1 )}{( y + 1 ) ( y + 3 )} = 2$

$\frac{5 y + 15 + 2 y ^{2} + 2 y - y - 1}{y ^{2} + 4 y + 3} = 2$

$\frac{2 y ^{2} + 6 y + 14}{y ^{2} + 4 y + 3} = 2$

$2 y^{2} + 6 y + 14 = 2 (y^{2} + 4 y + 3)$

$2 y^{2} + 6 y + 14 = 2 y^{2} + 8 y + 6$

$2 y = 8$

$y = 4 (при y \neq = - 1, y \neq = - 3)$

3) Обчислимо значення виразу:

$100 \cdot 15 + 19 \cdot 4 = 1500 + 76 = 1576$

Відповідь: $1576$ рік.

23. Обчисліть, використовуючи властивості степенів:

1) $(4^{- 3})^{7} \cdot ((4^{- 2})^{3})^{- 4} = 4^{- 21} \cdot (4^{- 6})^{- 4} = 4^{- 21} \cdot 4^{24} = 4^{3} = 64$

2) $\frac{1 0 ^{- 5} \cdot ( 1 0 ^{- 7} ) ^{4}}{( 1 0 ^{- 11} ) ^{3}} = \frac{1 0 ^{- 5} \cdot 1 0 ^{- 28}}{1 0 ^{- 33}} = \frac{1 0 ^{- 33}}{1 0 ^{- 33}} = 1$

3) $4^{- 5} \cdot (\frac{1}{2})^{- 8} = (2^{2})^{- 5} \cdot (2^{- 1})^{- 8} = 2^{- 10} \cdot 2^{8} = 2^{- 2} = \frac{1}{4} = 0, 25$

4) $24 3^{- 2} \cdot (3^{- 7})^{- 2} = (3^{5})^{- 2} \cdot 3^{14} = 3^{- 10} \cdot 3^{14} = 3^{4} = 81$

5) $\frac{( - 5 ) ^{- 4} \cdot 2 5 ^{- 2}}{( - 125 ) ^{- 3}} = \frac{5 ^{- 4} \cdot ( 5 ^{2} ) ^{- 2}}{- ( 5 ^{3} ) ^{- 3}} = \frac{5 ^{- 4} \cdot 5 ^{- 4}}{- 5 ^{- 9}} = \frac{5 ^{- 8}}{- 5 ^{- 9}} = - 5^{(- 8) - (- 9)} = - 5^{1} = - 5$

6) $0, 0 1^{- 3} \cdot 1 0^{- 8} = (1 0^{- 2})^{- 3} \cdot 1 0^{- 8} = 1 0^{6} \cdot 1 0^{- 8} = 1 0^{- 2} = 0, 01$

24. Обчисліть, використовуючи властивості степенів:

1) $(5^{- 2})^{5} \cdot ((5^{- 1})^{- 3})^{3} = 5^{- 10} \cdot (5^{3})^{3} = 5^{- 10} \cdot 5^{9} = 5^{- 1} = 0, 2$

2) $\frac{7 ^{- 4} \cdot ( 7 ^{- 2} ) ^{5}}{( 7 ^{3} ) ^{- 5}} = \frac{7 ^{- 4} \cdot 7 ^{- 10}}{7 ^{- 15}} = \frac{7 ^{- 14}}{7 ^{- 15}} = 7^{1} = 7$

3) $(\frac{1}{6})^{- 7} \cdot 3 6^{- 4} = 6^{7} \cdot (6^{2})^{- 4} = 6^{7} \cdot 6^{- 8} = 6^{- 1} = \frac{1}{6}$

4) $1 6^{- 5} \cdot (2^{- 3})^{- 7} = (2^{4})^{- 5} \cdot 2^{21} = 2^{- 20} \cdot 2^{21} = 2^{1} = 2$

5) $\frac{( - 3 ) ^{- 5} \cdot 2 7 ^{- 3}}{( - 9 ) ^{- 6}} = \frac{- 3 ^{- 5} \cdot ( 3 ^{3} ) ^{- 3}}{( 3 ^{2} ) ^{- 6}} = \frac{- 3 ^{- 14}}{3 ^{- 12}} = - 3^{- 2} = - \frac{1}{9}$

6) $0, 2^{- 8} \cdot 2 5^{- 4} = (5^{- 1})^{- 8} \cdot (5^{2})^{- 4} = 5^{8} \cdot 5^{- 8} = 5^{0} = 1$

25. Доведіть, що значення виразу $\frac{3 ab - a ^{2}}{a ^{2} - 9 b ^{2}} - \frac{3 b ^{2}}{ab + 3 b ^{2}}$ не залежить від значення змінних.

Розв’язання:

Спростимо кожну частину виразу окремо:

1) $\frac{3 ab - a ^{2}}{a ^{2} - 9 b ^{2}} = \frac{- a ( a - 3 b )}{( a - 3 b ) ( a + 3 b )} = - \frac{a}{a + 3 b}$

2) $\frac{3 b ^{2}}{ab + 3 b ^{2}} = \frac{3 b ^{2}}{b ( a + 3 b )} = \frac{3 b}{a + 3 b}$

3) Виконаємо віднімання:

$- \frac{a}{a + 3 b} - \frac{3 b}{a + 3 b} = \frac{- a - 3 b}{a + 3 b} = \frac{- ( a + 3 b )}{a + 3 b} = - 1$

Значення виразу дорівнює $- 1$ при всіх допустимих значеннях змінних, отже, воно не залежить від $a$ та $b$ . Твердження доведено.

26. Чи існує така пара значень $(x; y)$ , що вираз $\frac{4 y ^{2}}{x y + 4 y ^{2}} - \frac{4 x y - x ^{2}}{x ^{2} - 16 y ^{2}}$ набуває від’ємного значення?

Розв’язання:

Спростимо наведений вираз:

$\frac{4 y ^{2}}{y ( x + 4 y )} - \frac{4 x y - x ^{2}}{( x - 4 y ) ( x + 4 y )} = \frac{4 y}{x + 4 y} - \frac{x ( 4 y - x )}{( x - 4 y ) ( x + 4 y )} = \frac{4 y}{x + 4 y} - \frac{- x ( x - 4 y )}{( x - 4 y ) ( x + 4 y )} = \frac{4 y}{x + 4 y} + \frac{x}{x + 4 y} = \frac{x + 4 y}{x + 4 y} = 1$

Оскільки після спрощення вираз набуває сталого значення $1$ для всіх допустимих значень змінних ( $y \neq = 0, x \neq = \pm 4 y$ ), він завжди є додатним.

Відповідь: такої пари значень не існує.

27. Обчисліть значення виразу $\frac{x ^{3} + 3 x ^{2} + 3 x + 1}{1 - x ^{2}} : \frac{x ^{2} + 2 x + 1}{3 - 3 x}$ , якщо $x = 2026$ , відтак дізнаєтеся, скільки разів українські футболісти отримували «Золотий м’яч» — нагорода найкращому футболісту Європи.

Розв’язання:

Спростимо вираз, використовуючи формули скороченого множення:

$\frac{x ^{3} + 3 x ^{2} + 3 x + 1}{1 - x ^{2}} : \frac{x ^{2} + 2 x + 1}{3 - 3 x} = \frac{( x + 1 ) ^{3}}{( 1 - x ) ( 1 + x )} \cdot \frac{3 ( 1 - x )}{( x + 1 ) ^{2}} = \frac{( x + 1 ) ^{2}}{1 - x} \cdot \frac{3 ( 1 - x )}{( x + 1 ) ^{2}} = 3$

При $x = 2026$ значення виразу дорівнює $3$ . Українські футболісти отримували «Золотий м’яч» $3$ рази (Олег Блохін у 1975 р., Ігор Бєланов у 1986 р. та Андрій Шевченко у 2004 р.).

Відповідь: $3$ .

28. У перших Зимових Олімпійських іграх 1924 року брав участь американець українського походження Валентин Білас. Він був учасником змагань із ковзанярського спорту на дистанції 5000 м. Знайдіть значення виразу $\frac{6 - 6 y ^{2}}{y ^{3} - 3 y ^{2} + 3 y - 1} : \frac{y + 1}{y ^{2} - 2 y + 1}$ , якщо $y = 2027$ , відтак дізнаєтеся, яке підсумкове місце він зайняв.

Розв’язання:

Спростимо вираз:

$\frac{6 ( 1 - y ^{2} )}{( y - 1 ) ^{3}} \cdot \frac{( y - 1 ) ^{2}}{y + 1} = \frac{6 ( 1 - y ) ( 1 + y )}{( y - 1 ) ^{3}} \cdot \frac{( y - 1 ) ^{2}}{y + 1} = \frac{- 6 ( y - 1 ) ( 1 + y ) \cdot ( y - 1 ) ^{2}}{( y - 1 ) ^{3} ( y + 1 )} = \frac{- 6 ( y - 1 ) ^{3} ( y + 1 )}{( y - 1 ) ^{3} ( y + 1 )} = - 6$

Оскільки підсумкове місце в протоколі змагань є натуральним числом, Валентин Білас посів $6$ місце.

Відповідь: $6$ .

29. 1) Знайдіть цілі корені рівняння $\frac{8}{∣ x ∣} = 6 - x$ , використовуючи графічний спосіб розв’язування. 2) Спробуйте розв’язати рівняння аналітично та знайти його нецілий корінь.

Розв’язання:

1) Побудуємо графіки функцій $y = \frac{8}{∣ x ∣}$ та $y = 6 - x$ . Графік першої функції складається з двох віток гіпербол, симетричних відносно осі ординат, що лежать у I та II чвертях. Графік другої функції — пряма.

Математичний графік на координатній площині з осями X та Y. Показано дві функції: симетричну криву y = 8/|x| та пряму лінію y = 6 -x, які перетинаються в точках (2, 4) та (4, 2).

Точки перетину мають абсциси $x = 2$ та $x = 4$ . Це і є цілі корені рівняння.

2) Розв’яжемо рівняння аналітично для випадку $x < 0$ :

$\frac{8}{- x} = 6 - x$

$- 8 = 6 x - x^{2}$

$x^{2} - 6 x - 8 = 0$

$D = (- 6)^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 8) = 36 + 32 = 68$

$x = \frac{6 \pm 68}{2} = \frac{6 \pm 2 17}{2} = 3 \pm 17$

Оскільки ми розглядаємо $x < 0$ , нецілим коренем є $x = 3 - 17$ .

Відповідь: 1) $2; 4$ ; 2) $3 - 17$ .

30. Розв’яжіть графічно рівняння $\frac{6}{∣ x ∣} = 2 x - 4$ .

Розв’язання:

Побудуємо графіки функцій $y = \frac{6}{∣ x ∣}$ та $y = 2 x - 4$ .
Функція $y = \frac{6}{∣ x ∣}$ визначена для всіх $x \neq = 0$ , її графік симетричний відносно осі $O y$ .
Функція $y = 2 x - 4$ — лінійна, її графіком є пряма, що проходить через точки $(2; 0)$ та $(0; - 4)$ .

Математичний графік на координатній площині, що показує функції y = 6/|x| та y = 2x -4. Гіперболоподібна крива симетрично розташована в першій та другій чвертях, а пряма перетинає її в точці (3, 2). Осі підписані як X та Y, початок координат позначений літерою O.

Графіки перетинаються в одній точці з абсцисою $x = 3$ .

Відповідь: $3$ .

КВАДРАТНІ КОРЕНІ. ДІЙСНІ ЧИСЛА

31. Для функції $y = x^{2}$ знайдіть значення $y$ , що відповідає значенням $x = - 2; 0; 7$ .

$y_{1} = (- 2)^{2} = 4$

$y_{2} = 0^{2} = 0$

$y_{3} = 7^{2} = 49$

Відповідь: $4; 0; 49$ .

32. Чи має корені рівняння:

1) Рівняння $x^{2} = 4$ має два корені, оскільки число $4$ є додатним.

2) Рівняння $x^{2} = - 4$ не має коренів, оскільки квадрат будь-якого дійсного числа не може бути від’ємним.

3) Рівняння $x^{2} = 0$ має один корінь, який дорівнює $0$ .

4) Рівняння $x^{2} = 10$ має два корені, оскільки число $10$ є додатним.

33. Обчисліть:

1) $25 = 5$

2) $0, 09 = 0, 3$

3) $1 \frac{11}{25} = \frac{36}{25} = \frac{6}{5} = 1, 2$

4) $64 - 2 \cdot 0, 04 = 8 - 2 \cdot 0, 2 = 8 - 0, 4 = 7, 6$

5) $- 5 \cdot 0, 16 = - 5 \cdot 0, 4 = - 2$

6) $4 \cdot 20 \frac{1}{4} = 4 \cdot \frac{81}{4} = 4 \cdot \frac{9}{2} = 18$

7) $1 3^{2} - 1 2^{2} = (13 - 12) (13 + 12) = 1 \cdot 25 = 5$

8) $2 (0, 3^{2} + 0, 41) = 2 (0, 09 + 0, 41) = 2 \cdot 0, 5 = 1 = 1$

34. Обчисліть:

1) $36 = 6$

2) $0, 49 = 0, 7$

3) $2 \frac{1}{4} = \frac{9}{4} = \frac{3}{2} = 1, 5$

4) $100 + 5 \cdot 0, 64 = 10 + 5 \cdot 0, 8 = 10 + 4 = 14$

5) $- 10 \cdot 0, 09 = - 10 \cdot 0, 3 = - 3$

6) $8 \cdot 3 \frac{1}{16} = 8 \cdot \frac{49}{16} = 8 \cdot \frac{7}{4} = 14$

7) $1 5^{2} - 9^{2} = (15 - 9) (15 + 9) = 6 \cdot 24 = 144 = 12$

8) $8 (0, 4^{2} + 0, 34) = 8 (0, 16 + 0, 34) = 8 \cdot 0, 5 = 4 = 2$

35. Знайдіть наближене значення виразу $13 + 6, 79$ , округливши значення кореня до сотих. Відтак дізнаєтеся загальну площу лісових ділянок (у млн га), що належать до лісового фонду України.

Розв’язання:

$13 \approx 3, 60555 \dots$

$13 \approx 3, 61 (після округлення до сотих)$

$3, 61 + 6, 79 = 10, 4$

Відповідь: загальна площа лісових ділянок становить $10, 4 млн га$ .

36. Знайдіть наближене значення виразів, округливши значення кореня до тисячних:

1) $15 + 7, 383$

Розв’язання:

$15 \approx 3, 873$

$3, 873 + 7, 383 = 11, 256$

Відповідь: $11, 256$ .

2) $13 - 26$

Розв’язання:

$26 \approx 5, 099$

$13 - 5, 099 = 7, 901$

Відповідь: $7, 901$ .

3) $3 + 2$

Розв’язання:

$3 \approx 1, 732$

$2 \approx 1, 414$

$1, 732 + 1, 414 = 3, 146$

Відповідь: $3, 146$ .

37. Обчисліть:

1) $(- 17)^{2} = 17$

2) $2, 9 + (3)^{2} = 2, 9 + 3 = 5, 9$

3) $100 \cdot 64 = 10 \cdot 8 = 80$

4) $3 \cdot 27 = 3 \cdot 27 = 81 = 9$

5) $\frac{121}{169} = \frac{11}{13}$

6) $\frac{32}{2} = \frac{32}{2} = 16 = 4$

7) $- 3 (- 7)^{2} = - 3 \cdot ∣ - 7∣ = - 3 \cdot 7 = - 21$

8) $3^{6} = 3^{3} = 27$

38. Обчисліть:

1) $(19)^{2} = 19$

2) $3, 7 - (- 2)^{2} = 3, 7 - 2 = 1, 7$

3) $25 \cdot 10000 = 5 \cdot 100 = 500$

4) $2 \cdot 50 = 2 \cdot 50 = 100 = 10$

5) $\frac{64}{81} = \frac{8}{9}$

6) $\frac{75}{3} = \frac{75}{3} = 25 = 5$

7) $- 2 5^{2} = - 2 \cdot 5 = - 10$

8) $(- 11)^{4} = (- 11)^{2} = 121$

39. Розв’яжіть рівняння:

1) $x^{2} = 49$

$x = \pm 49$

$x_{1} = 7, x_{2} = - 7$

2) $x^{2} = - 49$

Рівняння не має коренів, оскільки квадрат числа не може бути від’ємним.

3) $x^{2} + 0, 07 = 0, 08$

$x^{2} = 0, 08 - 0, 07$

$x^{2} = 0, 01$

$x = \pm 0, 01$

$x_{1} = 0, 1, x_{2} = - 0, 1$

4) $2 x^{2} = 12$

$x^{2} = 6$

$x = \pm 6$

$x_{1} = 6, x_{2} = - 6$

5) $x = 3$

$(x)^{2} = 3^{2}$

$x = 9$

6) $x = 0$

$x = 0$

7) $x + 3 = 8$

$x = 8 - 3$

$x = 5$

$x = 25$

8) $- \frac{1}{3} x = 5$

$x = 5 \cdot (- 3)$

$x = - 15$

Рівняння не має коренів, оскільки значення арифметичного квадратного кореня не може бути від’ємним.

40. Розв’яжіть рівняння:

1) $x^{2} = 64$

$x = \pm 64$

$x_{1} = 8, x_{2} = - 8$

2) $x^{2} = - 64$

Рівняння не має коренів.

3) $x^{2} + 5 = 7$

$x^{2} = 7 - 5$

$x^{2} = 2$

$x = \pm 2$

$x_{1} = 2, x_{2} = - 2$

4) $\frac{1}{4} x^{2} = 0$

$x^{2} = 0$

$x = 0$

5) $x = 1$

$x = 1$

6) $x = - 8$

Рівняння не має коренів.

7) $x - 2 = 3$

$x = 3 + 2$

$x = 5$

$x = 25$

8) $4 x = 8$

$x = \frac{8}{4}$

$x = 2$

$x = 4$

41. Винесіть множник з-під знака кореня:

1) $200 = 100 \cdot 2 = 102$

2) $75 = 25 \cdot 3 = 53$

3) $5^{4} \cdot 2 = 5^{2} \cdot 2 = 252$

4) $7^{3} \cdot 2^{6} = 7^{2} \cdot 7 \cdot (2^{3})^{2} = 7 \cdot 2^{3} \cdot 7 = 7 \cdot 8 \cdot 7 = 567$

42. Винесіть множник з-під знака кореня:

1) $20 = 4 \cdot 5 = 25$

2) $45 = 9 \cdot 5 = 35$

3) $1 1^{2} \cdot 3 = 113$

4) $2^{4} \cdot 5^{3} = (2^{2})^{2} \cdot 5^{2} \cdot 5 = 2^{2} \cdot 5 \cdot 5 = 4 \cdot 5 \cdot 5 = 205$

43. Внесіть множник під знак кореня:

1) $43 = 4^{2} \cdot 3 = 16 \cdot 3 = 48$

2) $- 27 = - 2^{2} \cdot 7 = - 4 \cdot 7 = - 28$

3) $\frac{1}{3} 3 m = (\frac{1}{3})^{2} \cdot 3 m = \frac{1}{9} \cdot 3 m = \frac{m}{3}$

4) $- 0, 3 2 a = - 0, 3^{2} \cdot 2 a = - 0, 09 \cdot 2 a = - 0, 18 a$

44. Внесіть множник під знак кореня:

1) $311 = 3^{2} \cdot 11 = 9 \cdot 11 = 99$

2) $- 35 = - 3^{2} \cdot 5 = - 9 \cdot 5 = - 45$

3) $- \frac{1}{2} 8 x = - (\frac{1}{2})^{2} \cdot 8 x = - \frac{1}{4} \cdot 8 x = - 2 x$

4) $0, 1 200 m = 0, 1^{2} \cdot 200 m = 0, 01 \cdot 200 m = 2 m$

45. Розв’яжіть рівняння:

1) $4 x - 12 = 0$

$4 x = 12$

$x = 3$

$x = 3^{2}$

$x = 9$

Відповідь: $9$ .

2) $\frac{20}{x - 3} = 10$

$x - 3 = \frac{20}{10}$

$x - 3 = 2$

$x = 5$

$x = 25$

Відповідь: $25$ .

3) $(x - 5)^{2} = 36$

$x - 5 = 6 або x - 5 = - 6$

$x_{1} = 11$

$x_{2} = - 1$

Відповідь: $- 1; 11$ .

4) $(x - 9)^{2} = - 4$

Оскільки квадрат будь-якого дійсного числа є невід’ємним, рівняння не має коренів.

Відповідь: коренів немає.

5) $\frac{x - 1}{5} = \frac{7}{x + 1}$

$(x - 1) (x + 1) = 5 \cdot 7$

$x^{2} - 1 = 35$

$x^{2} = 36$

$x_{1} = 6, x_{2} = - 6$

Відповідь: $- 6; 6$ .

6) $(2 x - 1)^{2} + (2 x + 1)^{2} = 18$

$4 x^{2} - 4 x + 1 + 4 x^{2} + 4 x + 1 = 18$

$8 x^{2} + 2 = 18$

$8 x^{2} = 16$

$x^{2} = 2$

$x = \pm 2$

Відповідь: $- 2; 2$ .

46. Розв’яжіть рівняння:

1) $5 x + 15 = 0$

Розв’язання:

$5 x = - 15$

$x = - 3$

Оскільки значення квадратного кореня не може бути від’ємним числом, рівняння не має коренів.

Відповідь: коренів немає.

2) $\frac{15}{x + 2} = 3$

Розв’язання:

$3 (x + 2) = 15$

$x + 2 = 5$

$x = 3$

$x = 9$

Відповідь: $9$ .

3) $(x + 9)^{2} = 0$

Розв’язання:

$x + 9 = 0$

$x = - 9$

Відповідь: $- 9$ .

4) $(x - 3)^{2} = 49$

Розв’язання:

$x - 3 = 7 або x - 3 = - 7$

$x_{1} = 10$

$x_{2} = - 4$

Відповідь: $- 4; 10$ .

5) $\frac{3}{x - 2} = \frac{x + 2}{4}$

Розв’язання:

$(x - 2) (x + 2) = 3 \cdot 4$

$x^{2} - 4 = 12$

$x^{2} = 16$

$x_{1} = 4, x_{2} = - 4$

Обидва значення не перетворюють знаменник $x - 2$ на нуль.

Відповідь: $- 4; 4$ .

6) $(3 x + 1)^{2} + (3 x - 1)^{2} = 56$

Розв’язання:

$9 x^{2} + 6 x + 1 + 9 x^{2} - 6 x + 1 = 56$

$18 x^{2} + 2 = 56$

$18 x^{2} = 54$

$x^{2} = 3$

$x = \pm 3$

Відповідь: $- 3; 3$ .

47. Обчисліть:

1) $9 \frac{49}{64} \cdot 6 \frac{3}{121}$

Розв’язання:

$\frac{625}{64} \cdot \frac{729}{121} = \frac{625}{64} \cdot \frac{729}{121} = \frac{25}{8} \cdot \frac{27}{11} = \frac{675}{88} = 7 \frac{59}{88}$

Відповідь: $7 \frac{59}{88}$ .

2) $4 \frac{1}{4} \cdot 3 \frac{13}{17}$

Розв’язання:

$\frac{17}{4} \cdot \frac{64}{17} = \frac{17 \cdot 64}{4 \cdot 17} = 16 = 4$

Відповідь: $4$ .

3) $80 \cdot 605$

Розв’язання:

$16 \cdot 5 \cdot 121 \cdot 5 = 45 \cdot 115 = 44 \cdot 5 = 220$

Відповідь: $220$ .

4) $3 6^{3}$

Розв’язання:

$(6^{2})^{3} = 6^{6} = 6^{3} = 216$

Відповідь: $216$ .

48. Обчисліть:

1) $4 \frac{33}{64} \cdot 4 \frac{21}{25}$

Розв’язання:

$\frac{289}{64} \cdot \frac{121}{25} = \frac{17}{8} \cdot \frac{11}{5} = \frac{187}{40} = 4, 675$

Відповідь: $4, 675$ .

2) $3 \frac{4}{5} \cdot 6 \frac{11}{19}$

Розв’язання:

$\frac{19}{5} \cdot \frac{125}{19} = \frac{125}{5} = 25 = 5$

Відповідь: $5$ .

3) $175 \cdot 28$

Розв’язання:

$25 \cdot 7 \cdot 4 \cdot 7 = 57 \cdot 27 = 10 \cdot 7 = 70$

Відповідь: $70$ .

4) $2 5^{3}$

Розв’язання:

$(5^{2})^{3} = 5^{6} = 5^{3} = 125$

Відповідь: $125$ .

49. Скоротіть дріб:

1) $\frac{a + 5 a}{a - 25}$

Розв’язання:

$\frac{a ( a + 5 )}{( a - 5 ) ( a + 5 )} = \frac{a}{a - 5}$

Відповідь: $\frac{a}{a - 5}$ .

2) $\frac{x - 4 y}{x + 4 x y + 4 y}$

Розв’язання:

$\frac{( x - 2 y ) ( x + 2 y )}{( x + 2 y ) ^{2}} = \frac{x - 2 y}{x + 2 y}$

Відповідь: $\frac{x - 2 y}{x + 2 y}$ .

3) $\frac{21 - 3}{7 - 21}$

Розв’язання:

$\frac{3 7 - ( 3 ) ^{2}}{( 7 ) ^{2} - 3 7} = \frac{3 ( 7 - 3 )}{7 ( 7 - 3 )} = \frac{3}{7} = \frac{3}{7}$

Відповідь: $\frac{3}{7}$ .

50. Скоротіть дріб:

1) $\frac{y - 36}{y - 6 y}$

Розв’язання:

$\frac{( y - 6 ) ( y + 6 )}{y ( y - 6 )} = \frac{y + 6}{y}$

Відповідь: $\frac{y + 6}{y}$ .

2) $\frac{a - 6 ab + 9 b}{a - 9 b}$

Розв’язання:

$\frac{( a - 3 b ) ^{2}}{( a - 3 b ) ( a + 3 b )} = \frac{a - 3 b}{a + 3 b}$

Відповідь: $\frac{a - 3 b}{a + 3 b}$ .

3) $\frac{26 + 13}{2 + 26}$

Розв’язання:

$\frac{13 2 + ( 13 ) ^{2}}{( 2 ) ^{2} + 13 2} = \frac{13 ( 2 + 13 )}{2 ( 2 + 13 )} = \frac{13}{2} = 6, 5$

Відповідь: $6, 5$ .

51. Розв’яжіть графічно рівняння:

1) $x^{2} = 3 x$

Для графічного розв’язання необхідно побудувати в одній системі координат графіки функцій $y = x^{2}$ та $y = 3 x$ .

Побудуємо графік квадратичної функції $y = x^{2}$ (парабола) та лінійної функції $y = 3 x$ (пряма, що проходить через початок координат).

Точки перетину графіків мають абсциси $x = 0$ та $x = 3$ .

Відповідь: $0; 3$ .

2) $x = 3 - 0, 25 x$

Для графічного розв’язання побудуємо графіки функцій $y = x$ та $y = 3 - 0, 25 x$ .

$Для графічного розв’язання побудуємо графіки функцій $y = \sqrt{x}$ та $y = 3 -0,25x$.$

Графіком першої функції є вітка параболи, спрямована вправо, а другої — пряма. При значенні $x = 4$ значення обох функцій рівні: $4 = 2$ та $3 - 0, 25 \cdot 4 = 2$ . Графіки перетинаються в одній точці.

Відповідь: $4$ .

52. Розв’яжіть графічно рівняння:

1) $x^{2} = - 2 x$

Для розв’язання побудуємо графіки функцій $y = x^{2}$ та $y = - 2 x$ .

$Для розв’язання побудуємо графіки функцій $y = \sqrt{x}$ та $y = 5 -4x$.$

Графіки перетинаються у точках з абсцисами $x = - 2$ та $x = 0$ .

Відповідь: $- 2; 0$ .

2) $x = 5 - 4 x$

Для розв’язання побудуємо графіки функцій $y = x$ та $y = 5 - 4 x$ .

$Для розв’язання побудуємо графіки функцій $y = \sqrt{x}$ та $y = 5 -4x$.$

При значенні $x = 1$ отримаємо: $1 = 1$ та $5 - 4 \cdot 1 = 1$ . Графіки перетинаються в точці з абсцисою $1$ .

Відповідь: $1$ .

53. Розв’яжіть рівняння:

1) $2 x + 1 = 3$

Піднесемо обидві частини рівняння до квадрата:

$2 x + 1 = 3^{2}$

$2 x + 1 = 9$

$2 x = 8$

$x = 4$

Відповідь: $4$ .

2) $2 + x^{2} + 2 = 2$

Піднесемо обидві частини до квадрата:

$2 + x^{2} + 2 = 4$

$x^{2} + 2 = 2$

Знову піднесемо до квадрата:

$x^{2} + 2 = 4$

$x^{2} = 2$

$x = 2 або x = - 2$

Відповідь: $- 2; 2$ .

3) $3∣ x^{2} - 2∣ + 1 = 4$

Перенесемо одиницю в праву частину:

$3∣ x^{2} - 2∣ = 3$

$∣ x^{2} - 2∣ = 1$

Це рівняння розпадається на два випадки:

$x^{2} - 2 = 1 або x^{2} - 2 = - 1$

$x^{2} = 3 x^{2} = 1$

$x = \pm 3 x = \pm 1$

Відповідь: $- 3; - 1; 1; 3$ .

54. Розв’яжіть рівняння:

1) $2 x - 1 = 5$

$(2 x - 1)^{2} = 5^{2}$

$2 x - 1 = 25$

$2 x = 26$

$x = 13$

Відповідь: $13$ .

2) $3 + x^{2} + 3 = 3$

$3 + x^{2} + 3 = 9$

$x^{2} + 3 = 6$

$x^{2} + 3 = 36$

$x^{2} = 33$

$x = \pm 33$

Відповідь: $- 33; 33$ .

3) $5∣ x^{2} - 2∣ - 2 = 8$

$5∣ x^{2} - 2∣ = 10$

$∣ x^{2} - 2∣ = 2$

Розглянемо два випадки:

$x^{2} - 2 = 2 або x^{2} - 2 = - 2$

$x^{2} = 4 x^{2} = 0$

$x = \pm 2 x = 0$

Відповідь: $- 2; 0; 2$ .

55. Обчисліть:

1) $(7 - 43 - 7 + 43)^{2}$

Скористаємося формулою квадрата різниці $(a - b)^{2} = a^{2} - 2 ab + b^{2}$ :

$(7 - 43)^{2} - 2 7 - 43 \cdot 7 + 43 + (7 + 43)^{2}$

$= 7 - 43 - 2 (7 - 43) (7 + 43) + 7 + 43$

$= 14 - 2 7^{2} - (43)^{2}$

$= 14 - 2 49 - 48 = 14 - 21 = 14 - 2 = 12$

Відповідь: $12$ .

2) $\frac{4}{8 - 3 7} + \frac{4}{8 + 3 7}$

Зведемо дроби до спільного знаменника:

$\frac{4 ( 8 + 3 7 ) + 4 ( 8 - 3 7 )}{( 8 - 3 7 ) ( 8 + 3 7 )} = \frac{32 + 12 7 + 32 - 12 7}{8 ^{2} - ( 3 7 ) ^{2}} = \frac{64}{64 - 63} = \frac{64}{1} = 64$

Відповідь: $64$ .

56. Обчисліть:

1) $(3 + 5 + 3 - 5)^{2}$

Розв’язання:

Застосуємо формулу квадрата суми $(a + b)^{2} = a^{2} + 2 ab + b^{2}$ :

$(3 + 5 + 3 - 5)^{2} = (3 + 5)^{2} + 2 3 + 5 \cdot 3 - 5 + (3 - 5)^{2}$

$= 3 + 5 + 2 (3 + 5) (3 - 5) + 3 - 5$

$= 6 + 2 3^{2} - (5)^{2} = 6 + 2 9 - 5 = 6 + 24 = 6 + 2 \cdot 2 = 10$

Відповідь: $10$ .

2) $\frac{2}{9 + 4 5} + \frac{2}{9 - 4 5}$

Розв’язання:

Зведемо дроби до спільного знаменника:

$\frac{2 ( 9 - 4 5 ) + 2 ( 9 + 4 5 )}{( 9 + 4 5 ) ( 9 - 4 5 )} = \frac{18 - 8 5 + 18 + 8 5}{9 ^{2} - ( 4 5 ) ^{2}} = \frac{36}{81 - 16 \cdot 5} = \frac{36}{81 - 80} = 36$

Відповідь: $36$ .

57. Побудуйте графік функції:

y = {3 - 2 x, x, якщо x < 1, якщо x \geq 1;

Для $x < 1$ графіком є промінь прямої $y = 3 - 2 x$ , що проходить через точки $(0; 3)$ та $(1; 1)$ . Для $x \geq 1$ графіком є частина параболи $y = x$ , що починається в точці $(1; 1)$ . Оскільки значення функцій у точці $x = 1$ збігаються ( $3 - 2 (1) = 1$ та $1 = 1$ ), графік є неперервним.

$ля $x < 1$ графіком є промінь прямої $y = 3 -2x$, що проходить через точки $(0; 3)$ та $(1; 1)$. Для $x \ge 1$ графіком є частина параболи $y = \sqrt{x}$, що починається в точці $(1; 1)$. Оскільки значення функцій у точці $x=1$ збігаються ($3-2(1)=1$ та $\sqrt{1}=1$), графік є неперервним.$

2) $y = \frac{3 x - x}{3 - x}$

Розв’язання:

Область визначення функції: $x \geq 0$ та $3 - x \neq = 0$ , тобто $x \neq = 9$ .
Спростимо вираз:

$y = \frac{x ( 3 - x )}{3 - x} = x за умови x \neq = 9.$

Отже, графіком функції є графік $y = x$ з «виколотою» точкою $(9; 3)$ .

Математичний графік функції y = sqrt(x) у декартовій системі координат із виколотою точкою (порожнім колом) у точці (9, 3). Осі мають підписи «вісь X» та «вісь Y».

58. Побудуйте графік функції:

y = {6 - x, x, якщо x \leq 4, якщо x > 4;

Для $x \leq 4$ будуємо промінь прямої $y = 6 - x$ (точки $(0; 6)$ та $(4; 2)$ ). Для $x > 4$ будуємо частину графіка $y = x$ , що починається в точці $(4; 2)$ . Графік є неперервним, оскільки $6 - 4 = 2$ і $4 = 2$ .

Графік кусково-заданої функції, що складається з прямої y = 6 -x при x ≤ 4 та кривої y = √x при x > 4. Обидві частини з'єднуються в точці (4, 2). Осі підписані як «вісь X» та «вісь Y».

2) $y = \frac{2 x - x}{2 - x}$

Розв’язання:

Область визначення функції: $x \geq 0$ та $2 - x \neq = 0$ , тобто $x \neq = 4$ .
Спростимо вираз:

$y = \frac{x ( 2 - x )}{2 - x} = x за умови x \neq = 4.$

Графіком є крива $y = x$ з «виколотою» точкою $(4; 2)$ .

Математичний графік функції y = sqrt(x) із виколотою точкою в координатах (4, 2) та підписами осей «вісь X» і «вісь Y».

КВАДРАТНІ РІВНЯННЯ

59. Випишіть коефіцієнти a, b і c квадратного рівняння:

Для визначення коефіцієнтів необхідно привести кожне рівняння до стандартного вигляду $a x^{2} + b x + c = 0$ .

№	Рівняння	$a$	$b$	$c$
1	$3 x^{2} + 4 x - 7 = 0$	$3$	$4$	$- 7$
2	$4 x^{2} + 8 = 0$	$4$	$0$	$8$
3	$4 x - x^{2} + 9 = 0 ⟹ - x^{2} + 4 x + 9 = 0$	$- 1$	$4$	$9$
4	$5 x^{2} = 0$	$5$	$0$	$0$
5	$9 x - x^{2} = 0 ⟹ - x^{2} + 9 x + 0 = 0$	$- 1$	$9$	$0$
6	$9 + 8 x - x^{2} = 0 ⟹ - x^{2} + 8 x + 9 = 0$	$- 1$	$8$	$9$

60. Знайдіть, використовуючи теорему Вієта, суму і добуток коренів рівняння:

Згідно з теоремою Вієта, для рівняння $a x^{2} + b x + c = 0$ сума коренів $x_{1} + x_{2} = - \frac{b}{a}$ , а добуток $x_{1} \cdot x_{2} = \frac{c}{a}$ .

1) $x^{2} + 2 x - 3 = 0$
Сума: $x_{1} + x_{2} = - 2$ ; Добуток: $x_{1} \cdot x_{2} = - 3$ .

2) $x^{2} - 2 x = 0$
Сума: $x_{1} + x_{2} = 2$ ; Добуток: $x_{1} \cdot x_{2} = 0$ .

3) $- x^{2} + 9 x - 8 = 0$
Сума: $x_{1} + x_{2} = - \frac{9}{- 1} = 9$ ; Добуток: $x_{1} \cdot x_{2} = \frac{- 8}{- 1} = 8$ .

4) $2 x^{2} - 4 x - 7 = 0$
Сума: $x_{1} + x_{2} = - \frac{- 4}{2} = 2$ ; Добуток: $x_{1} \cdot x_{2} = \frac{- 7}{2} = - 3, 5$ .

5) $5 x^{2} - 8 x + 1 = 0$
Сума: $x_{1} + x_{2} = - \frac{- 8}{5} = 1, 6$ ; Добуток: $x_{1} \cdot x_{2} = \frac{1}{5} = 0, 2$ .

6) $6 x^{2} - 12 = 0$
Сума: $x_{1} + x_{2} = 0$ ; Добуток: $x_{1} \cdot x_{2} = \frac{- 12}{6} = - 2$ .

ПОВТОРЮЄМО АЛГЕБРУ ЗА 8 КЛАС

61. Розв’яжіть неповні квадратні рівняння:

1) $7 x^{2} - 28 = 0$

$7 x^{2} = 28$

$x^{2} = 4$

$x_{1} = 2, x_{2} = - 2$

2) $4 x^{2} - 8 x = 0$

$4 x (x - 2) = 0$

$x_{1} = 0 або x - 2 = 0$

$x_{1} = 0, x_{2} = 2$

3) $9 x^{2} = 0$

$x^{2} = 0$

$x = 0$

4) $2 x^{2} + 18 = 0$

$2 x^{2} = - 18$

$x^{2} = - 9$

Рівняння не має коренів, оскільки квадрат числа не може бути від’ємним.

5) $- 4 x^{2} - 2 x = 0$

$- 2 x (2 x + 1) = 0$

$- 2 x = 0 або 2 x + 1 = 0$

$x_{1} = 0, x_{2} = - 0, 5$

6) $0, 2 x^{2} + 0, 6 x = 0$

$0, 2 x (x + 3) = 0$

$0, 2 x = 0 або x + 3 = 0$

$x_{1} = 0, x_{2} = - 3$

62. Розв’яжіть неповні квадратні рівняння:

1) $4 x^{2} + 12 x = 0$

$4 x (x + 3) = 0$

$x_{1} = 0, x_{2} = - 3$

2) $4 x^{2} - 36 = 0$

$4 x^{2} = 36$

$x^{2} = 9$

$x_{1} = 3, x_{2} = - 3$

3) $- x^{2} + 2 x = 0$

$x (- x + 2) = 0$

$x_{1} = 0, x_{2} = 2$

4) $- 7 x^{2} = 0$

$x = 0$

5) $3 x^{2} + 27 = 0$

$3 x^{2} = - 27$

$x^{2} = - 9$

Рівняння не має коренів.

6) $0, 3 x^{2} - 3 x = 0$

$0, 3 x (x - 10) = 0$

$x_{1} = 0, x_{2} = 10$

63. Розв’яжіть рівняння:

1) $x^{2} - 4 x + 3 = 0$

За теоремою Вієта:

$x_{1} + x_{2} = 4$

$x_{1} \cdot x_{2} = 3$

$x_{1} = 3, x_{2} = 1$

2) $3 x^{2} + 2 x - 5 = 0$

$D = 2^{2} - 4 \cdot 3 \cdot (- 5) = 4 + 60 = 64$

$x = \frac{- 2 \pm 8}{6}$

$x_{1} = 1, x_{2} = - \frac{5}{3}$

3) $x^{2} - 10 x + 25 = 0$

$(x - 5)^{2} = 0$

$x = 5$

4) $2 x^{2} = 4 - 7 x$

$2 x^{2} + 7 x - 4 = 0$

$D = 7^{2} - 4 \cdot 2 \cdot (- 4) = 49 + 32 = 81$

$x = \frac{- 7 \pm 9}{4}$

$x_{1} = 0, 5, x_{2} = - 4$

5) $x^{2} = 5 x - 7$

$x^{2} - 5 x + 7 = 0$

$D = (- 5)^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 7 = 25 - 28 = - 3$

Оскільки $D < 0$ , рівняння не має коренів.

6) $2 x = x^{2} - 8$

$x^{2} - 2 x - 8 = 0$

За теоремою Вієта:

$x_{1} + x_{2} = 2$

$x_{1} \cdot x_{2} = - 8$

$x_{1} = 4, x_{2} = - 2$

64. Розв’яжіть рівняння:

1) $x^{2} - x - 2 = 0$

$x_{1} = 2, x_{2} = - 1$

2) $2 x^{2} - 3 x - 5 = 0$

$D = (- 3)^{2} - 4 \cdot 2 \cdot (- 5) = 9 + 40 = 49$

$x = \frac{3 \pm 7}{4}$

$x_{1} = 2, 5, x_{2} = - 1$

3) $x^{2} + 12 x + 36 = 0$

$(x + 6)^{2} = 0$

$x = - 6$

4) $3 x = 5 x^{2} - 2$

$5 x^{2} - 3 x - 2 = 0$

$D = (- 3)^{2} - 4 \cdot 5 \cdot (- 2) = 9 + 40 = 49$

$x = \frac{3 \pm 7}{10}$

$x_{1} = 1, x_{2} = - 0, 4$

5) $x^{2} + 2 = 3 x$

$x^{2} - 3 x + 2 = 0$

$x_{1} = 2, x_{2} = 1$

6) $3 x = x^{2} + 7$

$x^{2} - 3 x + 7 = 0$

$D = 9 - 28 = - 19$

Рівняння не має коренів.

65. Знайдіть периметр прямокутника, якщо його площа дорівнює 96 см², а одна зі сторін на 4 см більша за другу.

Дано:

$S = 96 см^{2}$
$a = x см$
$b = (x + 4) см$

Знайти:

Розв’язання:

Площа прямокутника обчислюється за формулою $S = a \cdot b$ .

$x (x + 4) = 96$

$x^{2} + 4 x - 96 = 0$

$D = 4^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 96) = 16 + 384 = 400$

$x = \frac{- 4 \pm 20}{2}$

$x_{1} = 8, x_{2} = - 12$

Оскільки довжина сторони не може бути від’ємною, $a = 8 см$ .
Тоді $b = 8 + 4 = 12 см$ .

Периметр прямокутника:

$P = 2 (a + b)$

$P = 2 (8 + 12) = 40 см$

Відповідь: $40 см$ .

66. Ділянку землі прямокутної форми, одна зі сторін якої на 5 м більша за другу, потрібно обнести парканом. Знайдіть довжину паркана, якщо площа ділянки становить 300 м².

Дано:

$S = 300 м^{2}$
$a = x м$
$b = (x + 5) м$

Знайти:

Розв’язання:

Площа прямокутника обчислюється за формулою:

$S = a \cdot b$

Складемо рівняння відповідно до умови задачі:

$x (x + 5) = 300$

$x^{2} + 5 x - 300 = 0$

Знайдемо дискримінант квадратного рівняння:

$D = b^{2} - 4 a c$

$D = 5^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 300) = 25 + 1200 = 1225$

$D = 1225 = 35$

Знайдемо корені рівняння:

$x_{1} = \frac{- 5 + 35}{2 \cdot 1} = \frac{30}{2} = 15$

$x_{2} = \frac{- 5 - 35}{2 \cdot 1} = \frac{- 40}{2} = - 20$

Оскільки довжина сторони не може бути від’ємним числом, то $x = 15$ .
Отже, сторони ділянки дорівнюють:
$a = 15 м$
$b = 15 + 5 = 20 м$

Довжина паркана відповідає периметру прямокутника:

$P = 2 (a + b)$

$P = 2 (15 + 20) = 2 \cdot 35 = 70 м$

Відповідь: $70 м$ .

67. Розкладіть на множники квадратний тричлен:

1) $x^{2} - 7 x + 6$

Знайдемо корені рівняння $x^{2} - 7 x + 6 = 0$ за теоремою Вієта:

$x_{1} + x_{2} = 7$

$x_{1} \cdot x_{2} = 6$

Корені: $x_{1} = 1$ , $x_{2} = 6$ .
Використаємо формулу $a (x - x_{1}) (x - x_{2})$ :

$x^{2} - 7 x + 6 = (x - 1) (x - 6)$

2) $2 x^{2} + 5 x + 2$

Розв’яжемо рівняння $2 x^{2} + 5 x + 2 = 0$ :

$D = 5^{2} - 4 \cdot 2 \cdot 2 = 25 - 16 = 9$

$x_{1} = \frac{- 5 + 3}{4} = - 0, 5$

$x_{2} = \frac{- 5 - 3}{4} = - 2$

Розклад:

$2 (x + 0, 5) (x + 2) = (2 x + 1) (x + 2)$

3) $- 3 x^{2} - 5 x + 2$

Розв’яжемо рівняння $- 3 x^{2} - 5 x + 2 = 0$ :

$D = (- 5)^{2} - 4 \cdot (- 3) \cdot 2 = 25 + 24 = 49$

$x_{1} = \frac{5 + 7}{- 6} = - 2$

$x_{2} = \frac{5 - 7}{- 6} = \frac{- 2}{- 6} = \frac{1}{3}$

Розклад:

$- 3 (x + 2) (x - \frac{1}{3}) = (x + 2) (1 - 3 x)$

68. Розкладіть на множники квадратний тричлен:

1) $x^{2} - 5 x - 6$

Корені рівняння $x^{2} - 5 x - 6 = 0$ за теоремою Вієта:

$x_{1} + x_{2} = 5$

$x_{1} \cdot x_{2} = - 6$

Корені: $x_{1} = 6$ , $x_{2} = - 1$ .
Розклад:

$x^{2} - 5 x - 6 = (x - 6) (x + 1)$

2) $3 x^{2} - 4 x + 1$

Розв’яжемо рівняння $3 x^{2} - 4 x + 1 = 0$ :

$D = (- 4)^{2} - 4 \cdot 3 \cdot 1 = 16 - 12 = 4$

$x_{1} = \frac{4 + 2}{6} = 1$

$x_{2} = \frac{4 - 2}{6} = \frac{1}{3}$

Розклад:

$3 (x - 1) (x - \frac{1}{3}) = (x - 1) (3 x - 1)$

3) $- 2 x^{2} + 7 x - 3$

Розв’яжемо рівняння $- 2 x^{2} + 7 x - 3 = 0$ :

$D = 7^{2} - 4 \cdot (- 2) \cdot (- 3) = 49 - 24 = 25$

$x_{1} = \frac{- 7 + 5}{- 4} = 0, 5$

$x_{2} = \frac{- 7 - 5}{- 4} = 3$

Розклад:

$- 2 (x - 0, 5) (x - 3) = (1 - 2 x) (x - 3)$

69. Розв’яжіть біквадратне рівняння:

1) $x^{4} - 8 x^{2} - 9 = 0$

Нехай $x^{2} = t$ , де $t \geq 0$ . Рівняння набуває вигляду:

$t^{2} - 8 t - 9 = 0$

За теоремою Вієта: $t_{1} = 9, t_{2} = - 1$ .
Оскільки $t \geq 0$ , то $t = 9$ .

Повернемося до заміни:

$x^{2} = 9$

$x = \pm 3$

Відповідь: $\pm 3$ .

2) $x^{4} + 10 x^{2} + 9 = 0$

Нехай $x^{2} = t$ , де $t \geq 0$ . Рівняння набуває вигляду:

$t^{2} + 10 t + 9 = 0$

За теоремою Вієта: $t_{1} = - 1, t_{2} = - 9$ .
Обидва значення не задовольняють умові $t \geq 0$ .

Відповідь: коренів немає.

3) $x^{4} - 6 x^{2} + 8 = 0$

Нехай $x^{2} = t$ , де $t \geq 0$ . Рівняння набуває вигляду:

$t^{2} - 6 t + 8 = 0$

За теоремою Вієта: $t_{1} = 4, t_{2} = 2$ .
Обидва значення задовольняють умові $t \geq 0$ .

$x^{2} = 4 ⟹ x = \pm 2$

$x^{2} = 2 ⟹ x = \pm 2$

Відповідь: $\pm 2; \pm 2$ .

70. Знайдіть корені біквадратного рівняння:

1) $x^{4} - 3 x^{2} - 4 = 0$

Нехай $x^{2} = t$ , де $t \geq 0$ .

$t^{2} - 3 t - 4 = 0$

$t_{1} = 4, t_{2} = - 1$

Умові $t \geq 0$ відповідає лише $t = 4$ .

$x^{2} = 4 ⟹ x = \pm 2$

Відповідь: $\pm 2$ .

2) $x^{4} - 4 x^{2} + 3 = 0$

Нехай $x^{2} = t$ , де $t \geq 0$ .

$t^{2} - 4 t + 3 = 0$

$t_{1} = 3, t_{2} = 1$

$x^{2} = 3 ⟹ x = \pm 3$

$x^{2} = 1 ⟹ x = \pm 1$

Відповідь: $\pm 1; \pm 3$ .

3) $x^{4} + 10 x^{2} + 25 = 0$

Вираз у лівій частині є повним квадратом:

$(x^{2} + 5)^{2} = 0$

$x^{2} + 5 = 0$

$x^{2} = - 5$

Рівняння не має дійсних коренів.

Відповідь: коренів немає.

71. Розв’яжіть рівняння:

1) $\frac{x ^{2} + x - 2}{x - 3} = 0$

Розв’язання:
Дріб дорівнює нулю, коли чисельник дорівнює нулю, а знаменник відмінний від нуля:

$x^{2} + x - 2 = 0$

$D = 1^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 2) = 1 + 8 = 9$

$x_{1} = \frac{- 1 - 3}{2} = - 2$

$x_{2} = \frac{- 1 + 3}{2} = 1$

Перевірка знаменника: $x - 3 \neq = 0 ⟹ x \neq = 3$ . Обидва корені задовольняють умову.

Відповідь: $- 2; 1$ .

2) $\frac{x ^{2} + 4 x - 5}{x - 1} = 0$

Розв’язання:

$x^{2} + 4 x - 5 = 0$

$D = 4^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 5) = 16 + 20 = 36$

$x_{1} = \frac{- 4 - 6}{2} = - 5$

$x_{2} = \frac{- 4 + 6}{2} = 1$

Перевірка знаменника: $x - 1 \neq = 0 ⟹ x \neq = 1$ . Корінь $x = 1$ не підходить.

Відповідь: $- 5$ .

3) $\frac{x ^{2}}{x - 2} = \frac{2 x}{x - 2}$

Розв’язання:

$x^{2} = 2 x$

$x^{2} - 2 x = 0$

$x (x - 2) = 0$

$x_{1} = 0 або x_{2} = 2$

Перевірка знаменника: $x - 2 \neq = 0 ⟹ x \neq = 2$ . Корінь $x = 2$ не підходить.

Відповідь: $0$ .

4) $\frac{x ^{2} - 2 x}{x - 3} = \frac{3}{3 - x}$

Розв’язання:

$\frac{x ^{2} - 2 x}{x - 3} = \frac{- 3}{x - 3}$

$x^{2} - 2 x = - 3$

$x^{2} - 2 x + 3 = 0$

$D = (- 2)^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 3 = 4 - 12 = - 8 < 0$

Рівняння не має дійсних коренів.

Відповідь: коренів немає.

5) $\frac{x - 3}{8} = \frac{x}{x + 3}$

Розв’язання:

$(x - 3) (x + 3) = 8 x$

$x^{2} - 9 = 8 x$

$x^{2} - 8 x - 9 = 0$

За теоремою Вієта:

$x_{1} = 9, x_{2} = - 1$

Перевірка знаменника: $x \neq = - 3$ . Обидва корені підходять.

Відповідь: $- 1; 9$ .

6) $\frac{4}{x} = x + 3$

Розв’язання:

$4 = x (x + 3)$

$x^{2} + 3 x - 4 = 0$

За теоремою Вієта:

$x_{1} = - 4, x_{2} = 1$

Перевірка знаменника: $x \neq = 0$ . Обидва корені підходять.

Відповідь: $- 4; 1$ .

72. Розв’яжіть рівняння:

1) $\frac{x ^{2} - 2 x - 8}{x + 1} = 0$

Розв’язання:

$x^{2} - 2 x - 8 = 0$

$D = (- 2)^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 8) = 4 + 32 = 36$

$x_{1} = \frac{2 - 6}{2} = - 2$

$x_{2} = \frac{2 + 6}{2} = 4$

Перевірка знаменника: $x + 1 \neq = 0 ⟹ x \neq = - 1$ . Обидва корені підходять.

Відповідь: $- 2; 4$ .

2) $\frac{x ^{2} - 3 x - 4}{x - 4} = 0$

Розв’язання:

$x^{2} - 3 x - 4 = 0$

$D = (- 3)^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 4) = 9 + 16 = 25$

$x_{1} = \frac{3 - 5}{2} = - 1$

$x_{2} = \frac{3 + 5}{2} = 4$

Перевірка знаменника: $x - 4 \neq = 0 ⟹ x \neq = 4$ . Корінь $x = 4$ не підходить.

Відповідь: $- 1$ .

3) $\frac{x ^{2}}{x + 4} = \frac{16}{x + 4}$

Розв’язання:

$x^{2} = 16$

$x_{1} = 4, x_{2} = - 4$

Перевірка знаменника: $x + 4 \neq = 0 ⟹ x \neq = - 4$ . Корінь $x = - 4$ не підходить.

Відповідь: $4$ .

4) $\frac{x ^{2} - 3 x}{x - 5} = \frac{2}{5 - x}$

Розв’язання:

$\frac{x ^{2} - 3 x}{x - 5} = \frac{- 2}{x - 5}$

$x^{2} - 3 x = - 2$

$x^{2} - 3 x + 2 = 0$

За теоремою Вієта:

$x_{1} = 1, x_{2} = 2$

Перевірка знаменника: $x \neq = 5$ . Обидва корені підходять.

Відповідь: $1; 2$ .

5) $\frac{x + 2}{x} = \frac{3}{x - 2}$

Розв’язання:

$(x + 2) (x - 2) = 3 x$

$x^{2} - 4 = 3 x$

$x^{2} - 3 x - 4 = 0$

За теоремою Вієта:

$x_{1} = 4, x_{2} = - 1$

Перевірка знаменника: $x \neq = 0, x \neq = 2$ . Обидва корені підходять.

Відповідь: $- 1; 4$ .

6) $\frac{5}{x} = 6 - x$

Розв’язання:

$5 = x (6 - x)$

$5 = 6 x - x^{2}$

$x^{2} - 6 x + 5 = 0$

За теоремою Вієта:

$x_{1} = 5, x_{2} = 1$

Перевірка знаменника: $x \neq = 0$ . Обидва корені підходять.

Відповідь: $1; 5$ .

73. За яких значень коефіцієнтів a і b числа -1 і 3 є коренями рівняння ax² + bx - 6 = 0?

Розв’язання:

Підставимо значення коренів у рівняння та складемо систему:

{a (- 1)^{2} + b (- 1) - 6 = 0 a (3)^{2} + b (3) - 6 = 0

{a - b = 6 9 a + 3 b = 6

{a - b = 6 3 a + b = 2

Додамо рівняння:

$4 a = 8 ⟹ a = 2$

Підставимо $a = 2$ у перше рівняння:

$2 - b = 6 ⟹ b = - 4$

Відповідь: $a = 2, b = - 4$ .

74. За яких значень коефіцієнтів b і c числа -3 і 2 є коренями рівняння 3x² + bx + c = 0?

Розв’язання:

За теоремою Вієта для рівняння $a x^{2} + b x + c = 0$ :

$x_{1} + x_{2} = - \frac{b}{a}$

$x_{1} \cdot x_{2} = \frac{c}{a}$

Підставимо значення:

$- 3 + 2 = - \frac{b}{3} ⟹ - 1 = - \frac{b}{3} ⟹ b = 3$

$(- 3) \cdot 2 = \frac{c}{3} ⟹ - 6 = \frac{c}{3} ⟹ c = - 18$

Відповідь: $b = 3, c = - 18$ .

75. Розв’яжіть рівняння:

1) $(x + 3) (x - 4) = - 12$

Розв’язання:

$x^{2} - 4 x + 3 x - 12 = - 12$

$x^{2} - x = 0$

$x (x - 1) = 0$

$x_{1} = 0, x_{2} = 1$

Відповідь: $0; 1$ .

2) $(2 x - 1)^{2} = (x - 2)^{2}$

Розв’язання:

$4 x^{2} - 4 x + 1 = x^{2} - 4 x + 4$

$3 x^{2} - 3 = 0$

$3 x^{2} = 3$

$x^{2} = 1$

$x_{1} = 1, x_{2} = - 1$

Відповідь: $- 1; 1$ .

3) $(2 x - 3) (2 x + 3) = 3 x + 1$

Розв’язання:

$4 x^{2} - 9 = 3 x + 1$

$4 x^{2} - 3 x - 10 = 0$

$D = (- 3)^{2} - 4 \cdot 4 \cdot (- 10) = 9 + 160 = 169$

$x_{1} = \frac{3 - 13}{8} = - 1, 25$

$x_{2} = \frac{3 + 13}{8} = 2$

Відповідь: $- 1, 25; 2$ .

4) $x (x - 3) - (x + 2)^{2} = x^{2} - 3 x$

Розв’язання:

$x^{2} - 3 x - (x^{2} + 4 x + 4) = x^{2} - 3 x$

$x^{2} - 3 x - x^{2} - 4 x - 4 - x^{2} + 3 x = 0$

$- x^{2} - 4 x - 4 = 0$

$x^{2} + 4 x + 4 = 0$

$(x + 2)^{2} = 0$

$x = - 2$

Відповідь: $- 2$ .

76. Розв’яжіть рівняння:

1) $(x + 6) (x - 2) = - 12$

Розв’язання:

Розкриємо дужки у лівій частині рівняння:

$x^{2} - 2 x + 6 x - 12 = - 12$

$x^{2} + 4 x - 12 + 12 = 0$

$x^{2} + 4 x = 0$

Винесемо спільний множник за дужки:

$x (x + 4) = 0$

$x = 0 або x + 4 = 0$

$x_{1} = 0, x_{2} = - 4$

Відповідь: $0; - 4$ .

2) $(3 x - 1)^{2} = (x - 3)^{2}$

Розв’язання:

Розкриємо квадрати двочленів:

$9 x^{2} - 6 x + 1 = x^{2} - 6 x + 9$

Перенесемо всі доданки в ліву частину:

$9 x^{2} - 6 x + 1 - x^{2} + 6 x - 9 = 0$

$8 x^{2} - 8 = 0$

$8 x^{2} = 8$

$x^{2} = 1$

$x_{1} = 1, x_{2} = - 1$

Відповідь: $1; - 1$ .

3) $(3 x + 2) (3 x - 2) = x + 6$

Розв’язання:

Застосуємо формулу різниці квадратів:

$9 x^{2} - 4 = x + 6$

$9 x^{2} - x - 10 = 0$

Знайдемо дискримінант:

$D = (- 1)^{2} - 4 \cdot 9 \cdot (- 10) = 1 + 360 = 361$

$D = 19$

$x_{1} = \frac{1 + 19}{2 \cdot 9} = \frac{20}{18} = \frac{10}{9} = 1 \frac{1}{9}$

$x_{2} = \frac{1 - 19}{18} = \frac{- 18}{18} = - 1$

Відповідь: $1 \frac{1}{9}; - 1$ .

4) $x (x - 2) - (x + 1)^{2} = x^{2} - 2 x$

Розв’язання:

Розкриємо дужки:

$x^{2} - 2 x - (x^{2} + 2 x + 1) = x^{2} - 2 x$

$x^{2} - 2 x - x^{2} - 2 x - 1 = x^{2} - 2 x$

$- 4 x - 1 = x^{2} - 2 x$

$x^{2} + 2 x + 1 = 0$

$(x + 1)^{2} = 0$

$x + 1 = 0$

$x = - 1$

Відповідь: $- 1$ .

77. 1) Розв’яжіть рівняння $\frac{x ^{2} + 2 x}{8} = \frac{2 x - 1}{3}$ ; 2) Розв’яжіть рівняння $\frac{y + 3}{5} - \frac{y ^{2} - 1}{10} = \frac{2}{5}$ ; 3) Нехай $x$ — найбільший корінь першого рівняння, $y$ — найбільший корінь другого рівняння. Знайдіть значення виразу $600 y + 2 x$ , відтак дізнаєтеся рік заснування Харківського національного університету імені В. Н. Каразіна.

Розв’язання:

$\frac{x ^{2} + 2 x}{8} = \frac{2 x - 1}{3}$

За основною властивістю пропорції:

$3 (x^{2} + 2 x) = 8 (2 x - 1)$

$3 x^{2} + 6 x = 16 x - 8$

$3 x^{2} - 10 x + 8 = 0$

$D = (- 10)^{2} - 4 \cdot 3 \cdot 8 = 100 - 96 = 4$

$x_{1} = \frac{10 + 2}{6} = 2$

$x_{2} = \frac{10 - 2}{6} = \frac{8}{6} = \frac{4}{3}$

Найбільший корінь $x = 2$ .

$\frac{y + 3}{5} - \frac{y ^{2} - 1}{10} = \frac{2}{5}$

Помножимо обидві частини рівняння на 10:

$2 (y + 3) - (y^{2} - 1) = 4$

$2 y + 6 - y^{2} + 1 = 4$

$- y^{2} + 2 y + 7 - 4 = 0$

$- y^{2} + 2 y + 3 = 0$

$y^{2} - 2 y - 3 = 0$

За теоремою Вієта:

$y_{1} + y_{2} = 2$

$y_{1} \cdot y_{2} = - 3$

$y_{1} = 3, y_{2} = - 1$

Найбільший корінь $y = 3$ .

3) Підставимо отримані значення $x = 2$ та $y = 3$ у вираз:

$600 \cdot 3 + 2 \cdot 2 = 1800 + 4 = 1804$

Відповідь: $1804$ рік.

78. 1) Розв’яжіть рівняння $\frac{x ^{2} + 5}{6} = \frac{4 x + 5}{5}$ ; 2) Розв’яжіть рівняння $\frac{x ^{2} + 2}{4} + \frac{x - 3}{5} = \frac{13}{10}$ ; 3) Знайдіть суму всіх коренів обох рівнянь, відтак дізнаєтеся, яке місце у світі посідає Україна за кількістю громадян з вищою освітою.

Розв’язання:

$\frac{x ^{2} + 5}{6} = \frac{4 x + 5}{5}$

$5 (x^{2} + 5) = 6 (4 x + 5)$

$5 x^{2} + 25 = 24 x + 30$

$5 x^{2} - 24 x - 5 = 0$

$D = (- 24)^{2} - 4 \cdot 5 \cdot (- 5) = 576 + 100 = 676 = 2 6^{2}$

$x_{1} = \frac{24 + 26}{10} = 5$

$x_{2} = \frac{24 - 26}{10} = - 0, 2$

$\frac{x ^{2} + 2}{4} + \frac{x - 3}{5} = \frac{13}{10}$

Помножимо на 20:

$5 (x^{2} + 2) + 4 (x - 3) = 2 \cdot 13$

$5 x^{2} + 10 + 4 x - 12 = 26$

$5 x^{2} + 4 x - 2 - 26 = 0$

$5 x^{2} + 4 x - 28 = 0$

$D = 4^{2} - 4 \cdot 5 \cdot (- 28) = 16 + 560 = 576 = 2 4^{2}$

$x_{3} = \frac{- 4 + 24}{10} = 2$

$x_{4} = \frac{- 4 - 24}{10} = - 2, 8$

3) Сума всіх коренів:

$5 + (- 0, 2) + 2 + (- 2, 8) = 4, 8 + 2 - 2, 8 = 4$

Відповідь: $4$ місце.

79. Корені $x_{1}$ і $x_{2}$ рівняння $x^{2} + p x - 6 = 0$ задовольняють умову $2 x_{1} + 3 x_{2} = 0$ . Знайдіть корені рівняння та коефіцієнт $p$ .

Дано:

$x^{2} + p x - 6 = 0$
$2 x_{1} + 3 x_{2} = 0$

Знайти:

$x_{1}, x_{2}, p$

Розв’язання:

За теоремою Вієта:

$x_{1} \cdot x_{2} = - 6$

$x_{1} + x_{2} = - p$

З умови $2 x_{1} + 3 x_{2} = 0$ виразимо $x_{1}$ :

$2 x_{1} = - 3 x_{2}$

$x_{1} = - 1, 5 x_{2}$

Підставимо у вираз для добутку коренів:

$- 1, 5 x_{2} \cdot x_{2} = - 6$

$- 1, 5 x_{2}^{2} = - 6$

$x_{2}^{2} = 4$

Отже, можливі два випадки:

Випадок 1: $x_{2} = 2$ .

$x_{1} = - 1, 5 \cdot 2 = - 3$

$p = - (x_{1} + x_{2}) = - (- 3 + 2) = 1$

Випадок 2: $x_{2} = - 2$ .

$x_{1} = - 1, 5 \cdot (- 2) = 3$

$p = - (x_{1} + x_{2}) = - (3 - 2) = - 1$

Відповідь: $x_{1} = - 3, x_{2} = 2, p = 1$ або $x_{1} = 3, x_{2} = - 2, p = - 1$ .

80. Корені $x_{1}$ і $x_{2}$ рівняння $x^{2} - 3 x + q = 0$ задовольняють умову $2 x_{1} + 3 x_{2} = 5$ . Знайдіть корені рівняння та коефіцієнт $q$ .

Розв’язання:

За теоремою Вієта:

$x_{1} + x_{2} = 3 (1)$

$x_{1} \cdot x_{2} = q (2)$

Складемо систему з рівняння (1) та умови задачі:

{x_{1} + x_{2} = 3 2 x_{1} + 3 x_{2} = 5

З першого рівняння $x_{1} = 3 - x_{2}$ . Підставимо у друге:

$2 (3 - x_{2}) + 3 x_{2} = 5$

$6 - 2 x_{2} + 3 x_{2} = 5$

$x_{2} = - 1$

Знайдемо $x_{1}$ :

$x_{1} = 3 - (- 1) = 4$

Знайдемо $q$ :

$q = x_{1} \cdot x_{2} = 4 \cdot (- 1) = - 4$

Відповідь: $x_{1} = 4, x_{2} = - 1, q = - 4$ .

81. Скоротіть дроби:

1) $\frac{4 x - 12}{x ^{2} - 2 x - 3} = \frac{4 ( x - 3 )}{( x - 3 ) ( x + 1 )} = \frac{4}{x + 1}$

2) $\frac{x ^{2} - 4}{2 x ^{2} - 5 x + 2} = \frac{( x - 2 ) ( x + 2 )}{( x - 2 ) ( 2 x - 1 )} = \frac{x + 2}{2 x - 1}$

3) $\frac{2 x ^{2} + 5 x - 3}{3 x - 2 x ^{2} - 1} = \frac{2 ( x + 3 ) ( x - 0 , 5 )}{- ( 2 x ^{2} - 3 x + 1 )} = \frac{( x + 3 ) ( 2 x - 1 )}{- ( 2 x - 1 ) ( x - 1 )} = \frac{x + 3}{1 - x}$

82. Скоротіть дроби:

1) $\frac{x ^{2} - x - 6}{2 x + 4} = \frac{( x - 3 ) ( x + 2 )}{2 ( x + 2 )} = \frac{x - 3}{2}$

2) $\frac{3 x ^{2} - 8 x - 3}{x ^{2} - 9} = \frac{( x - 3 ) ( 3 x + 1 )}{( x - 3 ) ( x + 3 )} = \frac{3 x + 1}{x + 3}$

3) $\frac{2 x ^{2} - 3 x - 2}{x + 1 - 2 x ^{2}} = \frac{( x - 2 ) ( 2 x + 1 )}{- ( 2 x ^{2} - x - 1 )} = \frac{( x - 2 ) ( 2 x + 1 )}{- ( 2 x + 1 ) ( x - 1 )} = \frac{2 - x}{x - 1}$

83. Розв’яжіть рівняння:

1) $\frac{4 x ^{2} + 11 x - 3}{1 - 4 x} = 7$

ОДЗ: $1 - 4 x \neq = 0 ⟹ x \neq = 0, 25$ .

$4 x^{2} + 11 x - 3 = 7 (1 - 4 x)$

$4 x^{2} + 11 x - 3 = 7 - 28 x$

$4 x^{2} + 39 x - 10 = 0$

$D = 3 9^{2} - 4 \cdot 4 \cdot (- 10) = 1521 + 160 = 1681 = 4 1^{2}$

$x_{1} = \frac{- 39 + 41}{8} = \frac{2}{8} = 0, 25 (не задовольняє ОДЗ)$

$x_{2} = \frac{- 39 - 41}{8} = - 10$

Відповідь: $- 10$ .

2) $\frac{x + 4}{x - 2} + \frac{x - 3}{x + 2} = 7$

ОДЗ: $x \neq = \pm 2$ .

$(x + 4) (x + 2) + (x - 3) (x - 2) = 7 (x^{2} - 4)$

$x^{2} + 6 x + 8 + x^{2} - 5 x + 6 = 7 x^{2} - 28$

$2 x^{2} + x + 14 = 7 x^{2} - 28$

$5 x^{2} - x - 42 = 0$

$D = (- 1)^{2} - 4 \cdot 5 \cdot (- 42) = 1 + 840 = 841 = 2 9^{2}$

$x_{1} = \frac{1 + 29}{10} = 3$

$x_{2} = \frac{1 - 29}{10} = - 2, 8$

Відповідь: $- 2, 8; 3$ .

3) $\frac{3 x + 2}{x + 1} + \frac{x + 4}{x - 3} = \frac{3 x ^{2} + 1}{( x + 1 ) ( x - 3 )}$

ОДЗ: $x \neq = - 1, x \neq = 3$ .

$(3 x + 2) (x - 3) + (x + 4) (x + 1) = 3 x^{2} + 1$

$3 x^{2} - 9 x + 2 x - 6 + x^{2} + x + 4 x + 4 = 3 x^{2} + 1$

$4 x^{2} - 2 x - 2 = 3 x^{2} + 1$

$x^{2} - 2 x - 3 = 0$

За теоремою Вієта: $x_{1} = 3$ (не задовольняє ОДЗ), $x_{2} = - 1$ (не задовольняє ОДЗ).

Відповідь: коренів немає.

4) $\frac{2 x - 2}{x + 3} - \frac{x - 6}{x - 3} = \frac{18}{x ^{2} - 9}$

ОДЗ: $x \neq = \pm 3$ .

$(2 x - 2) (x - 3) - (x - 6) (x + 3) = 18$

$2 x^{2} - 6 x - 2 x + 6 - (x^{2} - 3 x - 18) = 18$

$2 x^{2} - 8 x + 6 - x^{2} + 3 x + 18 = 18$

$x^{2} - 5 x + 6 = 0$

За теоремою Вієта: $x_{1} = 2, x_{2} = 3$ (не задовольняє ОДЗ).

Відповідь: $2$ .

84. Розв’яжіть рівняння:

1) $\frac{6 x ^{2} + 5 x - 4}{1 - 2 x} = 2$

ОДЗ: $x \neq = 0, 5$ .

$6 x^{2} + 5 x - 4 = 2 (1 - 2 x)$

$6 x^{2} + 5 x - 4 = 2 - 4 x$

$6 x^{2} + 9 x - 6 = 0 ⟹ 2 x^{2} + 3 x - 2 = 0$

$D = 3^{2} - 4 \cdot 2 \cdot (- 2) = 9 + 16 = 25$

$x_{1} = \frac{- 3 + 5}{4} = 0, 5 (не задовольняє ОДЗ)$

$x_{2} = \frac{- 3 - 5}{4} = - 2$

Відповідь: $- 2$ .

2) $\frac{x + 4}{x + 1} + \frac{x - 4}{x - 1} = 1$

ОДЗ: $x \neq = \pm 1$ .

$(x + 4) (x - 1) + (x - 4) (x + 1) = x^{2} - 1$

$x^{2} + 3 x - 4 + x^{2} - 3 x - 4 = x^{2} - 1$

$2 x^{2} - 8 = x^{2} - 1$

$x^{2} = 7$

$x = \pm 7$

Відповідь: $- 7; 7$ .

3) $\frac{2 x - 7}{x + 4} + \frac{x - 2}{x - 1} = \frac{2 x ^{2} + 4 x - 11}{( x + 4 ) ( x - 1 )}$

ОДЗ: $x \neq = - 4, x \neq = 1$ .

$(2 x - 7) (x - 1) + (x - 2) (x + 4) = 2 x^{2} + 4 x - 11$

$2 x^{2} - 9 x + 7 + x^{2} + 2 x - 8 = 2 x^{2} + 4 x - 11$

$3 x^{2} - 7 x - 1 = 2 x^{2} + 4 x - 11$

$x^{2} - 11 x + 10 = 0$

За теоремою Вієта: $x_{1} = 10, x_{2} = 1$ (не задовольняє ОДЗ).

Відповідь: $10$ .

4) $\frac{x - 4}{x + 2} + \frac{x + 4}{x - 2} = \frac{24}{x ^{2} - 4}$

ОДЗ: $x \neq = \pm 2$ .

$(x - 4) (x - 2) + (x + 4) (x + 2) = 24$

$x^{2} - 6 x + 8 + x^{2} + 6 x + 8 = 24$

$2 x^{2} + 16 = 24$

$2 x^{2} = 8 ⟹ x^{2} = 4 ⟹ x = \pm 2 (не задовольняють ОДЗ)$

Відповідь: коренів немає.

85. З міста A в місто B, відстань між якими 360 км, одночасно виїхали два авто. Швидкість одного з них була на 10 км/год більша за швидкість другого, тому перше авто прибуло у місто B на 30 хв раніше, ніж друге. Знайдіть швидкість кожного авто.

Дано:

$S = 360 км$
$v_{1} = (x + 10) км / год$
$v_{2} = x км / год$
$Δ t = 30 хв = 0, 5 год$

Знайти:

$v_{1}, v_{2}$

Розв’язання:

Час руху другого авто $t_{2} = \frac{360}{x}$ , час руху першого авто $t_{1} = \frac{360}{x + 10}$ .
Складемо рівняння:

$\frac{360}{x} - \frac{360}{x + 10} = 0, 5$

$\frac{360 ( x + 10 ) - 360 x}{x ( x + 10 )} = 0, 5$

$3600 = 0, 5 x (x + 10)$

$7200 = x^{2} + 10 x$

$x^{2} + 10 x - 7200 = 0$

$D = 1 0^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 7200) = 100 + 28800 = 28900 = 17 0^{2}$

$x_{1} = \frac{- 10 + 170}{2} = 80$

$x_{2} = \frac{- 10 - 170}{2} = - 90 (не задовольняє умову задачі, x > 0)$

Швидкість другого авто дорівнює $80 км / год$ , швидкість першого — $80 + 10 = 90 км / год$ .

Відповідь: $90 км / год$ та $80 км / год$ .

86. З одного села в інше, відстань між якими 24 км, виїхав велосипедист. Через 30 хв у тому самому напрямку виїхала велосипедистка, швидкість якої на 4 км/год більша за швидкість велосипедиста. Знайдіть швидкості велосипедистів, якщо до пункту призначення вони прибули одночасно.

Дано:

$S = 24 км$
$v_{1} = x км / год$
$v_{2} = (x + 4) км / год$
$Δ t = 30 хв = 0, 5 год$

Знайти:

$v_{1}$
$v_{2}$

Розв’язання:

Час руху першого велосипедиста становить:

$t_{1} = \frac{S}{v _{1}} = \frac{24}{x} год$

Час руху другого велосипедиста (велосипедистки) становить:

$t_{2} = \frac{S}{v _{2}} = \frac{24}{x + 4} год$

Оскільки велосипедистка виїхала на $30$ хвилин пізніше і прибула одночасно з першим велосипедистом, вона витратила на дорогу на $0, 5$ години менше. Складемо рівняння:

$\frac{24}{x} - \frac{24}{x + 4} = 0, 5$

$24 (x + 4) - 24 x = 0, 5 x (x + 4)$

$24 x + 96 - 24 x = 0, 5 x^{2} + 2 x$

$0, 5 x^{2} + 2 x - 96 = 0$

$x^{2} + 4 x - 192 = 0$

$D = 4^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 192) = 16 + 768 = 784 = 2 8^{2}$

$x_{1} = \frac{- 4 + 28}{2} = 12$

$x_{2} = \frac{- 4 - 28}{2} = - 16 (не задовольняє умову задачі, швидкість має бути додатною)$

Отже, швидкість велосипедиста $v_{1} = 12 км / год$ , а швидкість велосипедистки $v_{2} = 12 + 4 = 16 км / год$ .

Відповідь: $12 км / год$ ; $16 км / год$ .

87. Розв’яжіть рівняння:

1) $(2 x - 1) (4 x^{2} + 2 x + 1) = 2 x (2 x - 1) (2 x + 1) + x^{2} - 3$

Розв’язання:

Застосуємо формулу різниці кубів до лівої частини та формулу різниці квадратів до правої частини рівняння:

$8 x^{3} - 1 = 2 x (4 x^{2} - 1) + x^{2} - 3$

$8 x^{3} - 1 = 8 x^{3} - 2 x + x^{2} - 3$

$8 x^{3} - 1 - 8 x^{3} + 2 x - x^{2} + 3 = 0$

$- x^{2} + 2 x + 2 = 0$

$x^{2} - 2 x - 2 = 0$

$D = (- 2)^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 2) = 4 + 8 = 12$

$x = \frac{2 \pm 12}{2} = \frac{2 \pm 2 3}{2} = 1 \pm 3$

Відповідь: $1 \pm 3$ .

2) $(x - 3) (x^{2} + 2 x - 3) = 0$

Розв’язання:

Область допустимих значень (ОДЗ): $x \geq 0$ .
Добуток дорівнює нулю, якщо хоча б один із множників дорівнює нулю:

$x - 3 = 0 або x^{2} + 2 x - 3 = 0$

З першого рівняння:

$x = 3 ⟹ x = 9$

З другого рівняння за теоремою Вієта:

$x_{1} = 1, x_{2} = - 3$

Перевіримо отримані значення на відповідність ОДЗ. Число $- 3$ не входить в ОДЗ. Отже, коренями рівняння є числа $1$ та $9$ .

Відповідь: $1; 9$ .

3) $x ∣ x ∣ - 3 x - 4 = 0$

Розв’язання:

Для розв’язання рівняння з модулем розглянемо два випадки:
Якщо $x \geq 0$ , рівняння має вигляд:

$x^{2} - 3 x - 4 = 0$

За теоремою Вієта $x_{1} = 4, x_{2} = - 1$ . Умову $x \geq 0$ задовольняє лише $x = 4$ .

Якщо $x < 0$ , рівняння має вигляд:

$- x^{2} - 3 x - 4 = 0$

$x^{2} + 3 x + 4 = 0$

$D = 3^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 4 = 9 - 16 = - 7 < 0$

Оскільки дискримінант від’ємний, у цьому випадку коренів немає.

Відповідь: $4$ .

88. Розв’яжіть рівняння:

1) $(3 x + 1) (9 x^{2} - 3 x + 1) = 3 x (3 x - 1) (3 x + 1) + x - x^{2}$

Розв’язання:

Використаємо формули суми кубів та різниці квадратів:

$27 x^{3} + 1 = 3 x (9 x^{2} - 1) + x - x^{2}$

$27 x^{3} + 1 = 27 x^{3} - 3 x + x - x^{2}$

$27 x^{3} + 1 - 27 x^{3} + 3 x - x + x^{2} = 0$

$x^{2} + 2 x + 1 = 0$

$(x + 1)^{2} = 0$

$x = - 1$

Відповідь: $- 1$ .

2) $(x - 2) (2 x^{2} + 3 x - 5) = 0$

Розв’язання:

Область допустимих значень: $x \geq 0$ .

$x - 2 = 0 ⟹ x = 2 ⟹ x = 4$

$2 x^{2} + 3 x - 5 = 0$

$D = 3^{2} - 4 \cdot 2 \cdot (- 5) = 9 + 40 = 49$

$x = \frac{- 3 \pm 7}{4} ⟹ x_{1} = 1, x_{2} = - 2, 5$

Значення $x = - 2, 5$ не входить в ОДЗ. Коренями рівняння є $1$ та $4$ .

Відповідь: $1; 4$ .

3) $x ∣ x ∣ + 5 x - 6 = 0$

Розв’язання:

Випадок $x \geq 0$ :

$x^{2} + 5 x - 6 = 0$

За теоремою Вієта корені $1$ та $- 6$ . Підходить лише $x = 1$ .

Випадок $x < 0$ :

$- x^{2} + 5 x - 6 = 0 ⟹ x^{2} - 5 x + 6 = 0$

За теоремою Вієта корені $2$ та $3$ . Обидва не задовольняють умову $x < 0$ .

Відповідь: $1$ .

89. За яких значень a рівняння має лише один корінь:

1) $4 x^{2} + x - a = 0$

Квадратне рівняння має один корінь, якщо дискримінант дорівнює нулю:

$D = 1^{2} - 4 \cdot 4 \cdot (- a) = 1 + 16 a$

$1 + 16 a = 0$

$a = - \frac{1}{16}$

2) $a x^{2} - 8 x - 4 = 0$

Якщо $a = 0$ , рівняння стає лінійним $- 8 x - 4 = 0$ і має один корінь $x = - 0, 5$ .
Якщо $a \neq = 0$ , рівняння є квадратним і має один корінь при $D = 0$ :

$D = (- 8)^{2} - 4 \cdot a \cdot (- 4) = 64 + 16 a$

$64 + 16 a = 0 ⟹ a = - 4$

Відповідь: 1) $- \frac{1}{16}$ ; 2) $0; - 4$ .

90. За яких значень b рівняння має лише один корінь:

1) $x^{2} + b x + 4 = 0$

Рівняння має один корінь при $D = 0$ :

$D = b^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 4 = b^{2} - 16$

$b^{2} - 16 = 0 ⟹ b = \pm 4$

2) $b x^{2} + 6 x - 1 = 0$

Якщо $b = 0$ , рівняння $6 x - 1 = 0$ є лінійним і має один корінь $x = \frac{1}{6}$ .
Якщо $b \neq = 0$ , рівняння має один корінь, якщо $D = 0$ :

$D = 6^{2} - 4 \cdot b \cdot (- 1) = 36 + 4 b$

$36 + 4 b = 0 ⟹ b = - 9$

Відповідь: 1) $\pm 4$ ; 2) $0; - 9$ .

ПОВТОРЮЄМО АЛГЕБРУ ЗА 8 КЛАС

91. Розв’яжіть рівняння:

1) $(x + 1)^{4} - 3 (x + 1)^{2} - 4 = 0$

Розв’язання:

Для розв’язання рівняння застосуємо метод заміни змінної. Нехай $(x + 1)^{2} = t$ , де $t \geq 0$ . Тоді вихідне рівняння набуває вигляду:

$t^{2} - 3 t - 4 = 0$

За теоремою Вієта:

$t_{1} + t_{2} = 3$

$t_{1} \cdot t_{2} = - 4$

Звідси $t_{1} = 4$ , $t_{2} = - 1$ .

Оскільки за умовою $t \geq 0$ , то значення $t = - 1$ не задовольняє умову.
Повернемося до заміни для $t = 4$ :

$(x + 1)^{2} = 4$

$x + 1 = 2 або x + 1 = - 2$

$x_{1} = 1, x_{2} = - 3$

Відповідь: $1; - 3$ .

2) $(x^{2} + x)^{2} - 4 x^{2} - 4 x - 12 = 0$

Розв’язання:

Перепишемо рівняння, винісши спільний множник за дужки:

$(x^{2} + x)^{2} - 4 (x^{2} + x) - 12 = 0$

Застосуємо заміну змінної. Нехай $x^{2} + x = t$ . Отримаємо квадратне рівняння:

$t^{2} - 4 t - 12 = 0$

За теоремою Вієта:

$t_{1} + t_{2} = 4$

$t_{1} \cdot t_{2} = - 12$

Отже, $t_{1} = 6$ , $t_{2} = - 2$ .

Розглянемо два випадки:

$x^{2} + x = 6$

$x^{2} + x - 6 = 0$

$D = 1^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 6) = 25$

$x = \frac{- 1 \pm 5}{2}$

$x_{1} = 2, x_{2} = - 3$

$x^{2} + x = - 2$

$x^{2} + x + 2 = 0$

$D = 1^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 2 = - 7 < 0$

Оскільки $D < 0$ , рівняння коренів не має.

Відповідь: $2; - 3$ .

92. Розв’яжіть рівняння:

1) $(x - 2)^{4} + 4 (x - 2)^{2} - 5 = 0$

Розв’язання:

Застосуємо заміну змінної. Нехай $(x - 2)^{2} = t$ , де $t \geq 0$ . Отримаємо рівняння:

$t^{2} + 4 t - 5 = 0$

За теоремою Вієта:

$t_{1} + t_{2} = - 4$

$t_{1} \cdot t_{2} = - 5$

Звідси $t_{1} = 1$ , $t_{2} = - 5$ .

Значення $t = - 5$ не відповідає умові $t \geq 0$ .
Виконаємо зворотну заміну для $t = 1$ :

$(x - 2)^{2} = 1$

$x - 2 = 1 або x - 2 = - 1$

$x_{1} = 3, x_{2} = 1$

Відповідь: $1; 3$ .

2) $(x^{2} - x)^{2} - 5 x^{2} + 5 x + 6 = 0$

Розв’язання:

Перетворимо рівняння для виділення спільної частини:

$(x^{2} - x)^{2} - 5 (x^{2} - x) + 6 = 0$

Нехай $x^{2} - x = t$ . Рівняння набуває вигляду:

$t^{2} - 5 t + 6 = 0$

За теоремою Вієта:

$t_{1} + t_{2} = 5$

$t_{1} \cdot t_{2} = 6$

Отже, $t_{1} = 3$ , $t_{2} = 2$ .

Розв’яжемо рівняння для кожного значення $t$ :

$x^{2} - x = 3$

$x^{2} - x - 3 = 0$

$D = (- 1)^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 3) = 13$

$x = \frac{1 \pm 13}{2}$

$x^{2} - x = 2$

$x^{2} - x - 2 = 0$

$D = (- 1)^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 2) = 9$

$x = \frac{1 \pm 3}{2}$

$x_{3} = 2, x_{4} = - 1$

Відповідь: $- 1; 2; \frac{1 \pm 13}{2}$ .

Повторюємо алгебру за 8 клас

Теги статті:

До уроку