§6. Ділення дробів

Назад до змісту

Розв’яжiть задачi та виконайте вправи

6.1. Виконайте ділення:

1) $\frac{2}{a} : \frac{3}{b} = \frac{2}{a} \cdot \frac{b}{3} = \frac{2 b}{3 a}$

2) $\frac{7}{x} : \frac{y}{2} = \frac{7}{x} \cdot \frac{2}{y} = \frac{14}{x y}$

3) $\frac{m}{3} : \frac{m}{4} = \frac{m}{3} \cdot \frac{4}{m} = \frac{4 m}{3 m} = \frac{4}{3}$

4) $\frac{a ^{2}}{2} : \frac{a}{7} = \frac{a ^{2}}{2} \cdot \frac{7}{a} = \frac{7 a ^{2}}{2 a} = \frac{7 a}{2}$

6.2. Виконайте ділення:

1) $\frac{5}{x} : \frac{2}{y} = \frac{5}{x} \cdot \frac{y}{2} = \frac{5 y}{2 x}$

2) $\frac{a}{2} : \frac{5}{b} = \frac{a}{2} \cdot \frac{b}{5} = \frac{ab}{10}$

3) $\frac{4}{x} : \frac{5}{x} = \frac{4}{x} \cdot \frac{x}{5} = \frac{4 x}{5 x} = \frac{4}{5}$

4) $\frac{x ^{2}}{3} : \frac{x}{2} = \frac{x ^{2}}{3} \cdot \frac{2}{x} = \frac{2 x ^{2}}{3 x} = \frac{2 x}{3}$

6.3. Спростіть вираз:

1) $\frac{7 b}{12 a} : \frac{21 b ^{2}}{16 a} = \frac{7 b}{12 a} \cdot \frac{16 a}{21 b ^{2}} = \frac{7 b \cdot 16 a}{12 a \cdot 21 b ^{2}} = \frac{1 \cdot 4}{3 \cdot 3 b} = \frac{4}{9 b}$

2) $\frac{15}{2 n ^{2}} : \frac{3 m}{8 n} = \frac{15}{2 n ^{2}} \cdot \frac{8 n}{3 m} = \frac{15 \cdot 8 n}{2 n ^{2} \cdot 3 m} = \frac{5 \cdot 4}{n \cdot m} = \frac{20}{nm}$

3) $\frac{9 b}{14 a} : \frac{5 b ^{2}}{21 a ^{2}} = \frac{9 b}{14 a} \cdot \frac{21 a ^{2}}{5 b ^{2}} = \frac{9 b \cdot 21 a ^{2}}{14 a \cdot 5 b ^{2}} = \frac{9 \cdot 3 a}{2 \cdot 5 b} = \frac{27 a}{10 b}$

4) $- \frac{3 x ^{2}}{a} : \frac{6 x ^{3}}{a ^{2}} = - \frac{3 x ^{2}}{a} \cdot \frac{a ^{2}}{6 x ^{3}} = - \frac{3 x ^{2} a ^{2}}{6 x ^{3} a} = - \frac{a}{2 x}$

5) $14 x^{2} : \frac{7 x}{a} = \frac{14 x ^{2}}{1} \cdot \frac{a}{7 x} = \frac{14 x ^{2} a}{7 x} = 2 x a$

6) $\frac{8 x ^{3}}{7 a} : (- 2 x^{2}) = \frac{8 x ^{3}}{7 a} \cdot (- \frac{1}{2 x ^{2}}) = - \frac{8 x ^{3}}{14 a x ^{2}} = - \frac{4 x}{7 a}$

7) $- \frac{12 a ^{2}}{b} : (16 a^{2}) = - \frac{12 a ^{2}}{b} \cdot \frac{1}{16 a ^{2}} = - \frac{12 a ^{2}}{16 a ^{2} b} = - \frac{3}{4 b}$

8) $- 40 m a^{5} : (- \frac{8 m ^{2}}{a}) = - 40 m a^{5} \cdot (- \frac{a}{8 m ^{2}}) = \frac{40 m a ^{6}}{8 m ^{2}} = \frac{5 a ^{6}}{m}$

6.4. Виконайте дію:

1) $\frac{3 a ^{2}}{b} : \frac{a}{b ^{2}} = \frac{3 a ^{2}}{b} \cdot \frac{b ^{2}}{a} = \frac{3 a ^{2} b ^{2}}{ab} = 3 ab$

2) $- \frac{3 p}{c ^{3}} : \frac{15 p ^{2}}{c ^{2}} = - \frac{3 p}{c ^{3}} \cdot \frac{c ^{2}}{15 p ^{2}} = - \frac{3 p c ^{2}}{15 p ^{2} c ^{3}} = - \frac{1}{5 p c}$

3) $\frac{4 p}{5 c} : \frac{8 p ^{2}}{15 c ^{3}} = \frac{4 p}{5 c} \cdot \frac{15 c ^{3}}{8 p ^{2}} = \frac{4 p \cdot 15 c ^{3}}{5 c \cdot 8 p ^{2}} = \frac{3 c ^{2}}{2 p}$

4) $\frac{15 m ^{3}}{c} : (- 10 m^{2}) = \frac{15 m ^{3}}{c} \cdot (- \frac{1}{10 m ^{2}}) = - \frac{15 m ^{3}}{10 m ^{2} c} = - \frac{3 m}{2 c}$

5) $- \frac{2 a ^{2}}{b} : (- 8 a^{2}) = - \frac{2 a ^{2}}{b} \cdot (- \frac{1}{8 a ^{2}}) = \frac{2 a ^{2}}{8 a ^{2} b} = \frac{1}{4 b}$

6) $- 12 a^{2} b c : \frac{4 ab}{m} = - 12 a^{2} b c \cdot \frac{m}{4 ab} = - \frac{12 a ^{2} b c m}{4 ab} = - 3 a c m$

6.5. Подайте у вигляді дробу:

1) $\frac{12 m ^{2}}{7 c ^{4}} : \frac{6 m ^{4}}{35 c ^{3}} = \frac{12 m ^{2}}{7 c ^{4}} \cdot \frac{35 c ^{3}}{6 m ^{4}} = \frac{12 m ^{2} \cdot 35 c ^{3}}{7 c ^{4} \cdot 6 m ^{4}} = \frac{2 \cdot 5}{c \cdot m ^{2}} = \frac{10}{c m ^{2}}$

2) $\frac{9 m ^{2}}{22 n ^{3}} : (- \frac{m ^{5}}{11 n ^{6}}) = \frac{9 m ^{2}}{22 n ^{3}} \cdot (- \frac{11 n ^{6}}{m ^{5}}) = - \frac{9 m ^{2} \cdot 11 n ^{6}}{22 n ^{3} \cdot m ^{5}} = - \frac{9 n ^{3}}{2 m ^{3}}$

3) $- \frac{7 ab}{4 c d} : \frac{21 a ^{2} b}{8 c d ^{3}} = - \frac{7 ab}{4 c d} \cdot \frac{8 c d ^{3}}{21 a ^{2} b} = - \frac{7 ab \cdot 8 c d ^{3}}{4 c d \cdot 21 a ^{2} b} = - \frac{2 d ^{2}}{3 a}$

4) $- \frac{27 m ^{2} n}{7 c ^{2} x} : (- \frac{9 m n ^{2}}{7 c ^{2} x ^{3}}) = \frac{27 m ^{2} n}{7 c ^{2} x} \cdot \frac{7 c ^{2} x ^{3}}{9 m n ^{2}} = \frac{27 m ^{2} n \cdot 7 c ^{2} x ^{3}}{7 c ^{2} x \cdot 9 m n ^{2}} = \frac{3 m x ^{2}}{n}$

6.6. Подайте у вигляді дробу:

1) $\frac{6 a ^{2}}{5 b ^{2}} : \frac{2 a ^{3}}{15 b} = \frac{6 a ^{2}}{5 b ^{2}} \cdot \frac{15 b}{2 a ^{3}} = \frac{90 a ^{2} b}{10 a ^{3} b ^{2}} = \frac{9}{ab}$

2) $- \frac{4 a ^{2}}{27 x} : \frac{a ^{4}}{9 x ^{3}} = - \frac{4 a ^{2}}{27 x} \cdot \frac{9 x ^{3}}{a ^{4}} = - \frac{36 a ^{2} x ^{3}}{27 a ^{4} x} = - \frac{4 x ^{2}}{3 a ^{2}}$

3) $\frac{5 x y}{2 m ^{2} n} : (- \frac{15 x ^{2} y}{8 m n ^{3}}) = \frac{5 x y}{2 m ^{2} n} \cdot (- \frac{8 m n ^{3}}{15 x ^{2} y}) = - \frac{40 m n ^{3} x y}{30 m ^{2} n x ^{2} y} = - \frac{4 n ^{2}}{3 m x}$

4) $- \frac{2 a b ^{2}}{9 x ^{2} p} : (- \frac{2 a ^{2} b}{27 x ^{2} p ^{3}}) = \frac{2 a b ^{2}}{9 x ^{2} p} \cdot \frac{27 x ^{2} p ^{3}}{2 a ^{2} b} = \frac{54 a b ^{2} x ^{2} p ^{3}}{18 a ^{2} b x ^{2} p} = \frac{3 b p ^{2}}{a}$

6.7. Виконайте ділення:

1) $\frac{2 a + b}{4 p} : \frac{b + 2 a}{8 p ^{2}} = \frac{2 a + b}{4 p} \cdot \frac{8 p ^{2}}{2 a + b} = \frac{8 p ^{2}}{4 p} = 2 p$

2) $\frac{3 a - 2 x}{7 x ^{2}} : \frac{2 x - 3 a}{14 x} = \frac{3 a - 2 x}{7 x ^{2}} \cdot \frac{14 x}{- ( 3 a - 2 x )} = - \frac{14 x}{7 x ^{2}} = - \frac{2}{x}$

3) $\frac{a ^{2} - 3 a}{9 y ^{2}} : \frac{5 a}{9 y} = \frac{a ( a - 3 )}{9 y ^{2}} \cdot \frac{9 y}{5 a} = \frac{a - 3}{5 y}$

4) $\frac{a ^{2} + a}{9 b ^{2}} : \frac{5 + 5 a}{b ^{3}} = \frac{a ( a + 1 )}{9 b ^{2}} \cdot \frac{b ^{3}}{5 ( 1 + a )} = \frac{ab}{45}$

5) $\frac{7 ab}{c ^{2} - 3 c} : \frac{14 a b ^{2}}{3 c - 9} = \frac{7 ab}{c ( c - 3 )} \cdot \frac{3 ( c - 3 )}{14 a b ^{2}} = \frac{3}{2 b c}$

6) $\frac{11 a}{m ^{2} - 2 m} : \frac{22 a ^{2}}{6 - 3 m} = \frac{11 a}{m ( m - 2 )} \cdot \frac{3 ( 2 - m )}{22 a ^{2}} = \frac{11 a}{m ( m - 2 )} \cdot \frac{- 3 ( m - 2 )}{22 a ^{2}} = - \frac{3}{2 am}$

6.8. Виконайте ділення:

1) $\frac{x - y}{2 a ^{2}} : \frac{y - x}{8 a} = \frac{x - y}{2 a ^{2}} \cdot \frac{8 a}{- ( x - y )} = - \frac{8 a}{2 a ^{2}} = - \frac{4}{a}$

2) $\frac{p ^{2} + 2 p}{18 a ^{2}} : \frac{7 p}{9 a} = \frac{p ( p + 2 )}{18 a ^{2}} \cdot \frac{9 a}{7 p} = \frac{p + 2}{14 a}$

3) $\frac{x ^{2} + x}{9 ab} : \frac{5 x + 5}{18 a ^{2} b} = \frac{x ( x + 1 )}{9 ab} \cdot \frac{18 a ^{2} b}{5 ( x + 1 )} = \frac{2 a x}{5}$

4) $\frac{3 x - x ^{2}}{7 p} : \frac{2 x - 6}{14 p ^{2}} = \frac{x ( 3 - x )}{7 p} \cdot \frac{14 p ^{2}}{2 ( x - 3 )} = \frac{x ( 3 - x )}{7 p} \cdot \frac{14 p ^{2}}{- 2 ( 3 - x )} = - p x$

6.9. Спростіть вираз:

1) $\frac{m ^{2} - n ^{2}}{p + 2 q} : \frac{mn + m ^{2}}{2 p + 4 q} = \frac{( m - n ) ( m + n )}{p + 2 q} \cdot \frac{2 ( p + 2 q )}{m ( n + m )} = \frac{2 ( m - n )}{m}$

2) $\frac{6 x - 30}{2 x + 5} : \frac{x ^{2} - 25}{4 x + 10} = \frac{6 ( x - 5 )}{2 x + 5} \cdot \frac{2 ( 2 x + 5 )}{( x - 5 ) ( x + 5 )} = \frac{12}{x + 5}$

3) $\frac{a + 2}{a - 2} : \frac{a ^{2} + 4 a + 4}{5 a - 10} = \frac{a + 2}{a - 2} \cdot \frac{5 ( a - 2 )}{( a + 2 ) ^{2}} = \frac{5}{a + 2}$

4) $\frac{x + y}{p - 2 m} : \frac{x ^{2} + 2 x y + y ^{2}}{2 m ^{2} - m p} = \frac{x + y}{p - 2 m} \cdot \frac{m ( 2 m - p )}{( x + y ) ^{2}} = \frac{x + y}{- ( 2 m - p )} \cdot \frac{m ( 2 m - p )}{( x + y ) ^{2}} = - \frac{m}{x + y}$

6.10. Спростіть вираз:

1) $\frac{ab + b ^{2}}{m - 3 n} : \frac{a ^{2} - b ^{2}}{2 m - 6 n} = \frac{b ( a + b )}{m - 3 n} \cdot \frac{2 ( m - 3 n )}{( a - b ) ( a + b )} = \frac{2 b}{a - b}$

2) $\frac{x - 5}{y ^{2} - 4} : \frac{2 x - 10}{3 y - 6} = \frac{x - 5}{( y - 2 ) ( y + 2 )} \cdot \frac{3 ( y - 2 )}{2 ( x - 5 )} = \frac{3}{2 ( y + 2 )}$

3) $\frac{x ^{2} - 9}{x ^{2} + x} : \frac{x ^{2} + 6 x + 9}{7 x + 7} = \frac{( x - 3 ) ( x + 3 )}{x ( x + 1 )} \cdot \frac{7 ( x + 1 )}{( x + 3 ) ^{2}} = \frac{7 ( x - 3 )}{x ( x + 3 )}$

4) $\frac{x - 4 y}{a ^{2} - 2 ab + b ^{2}} : \frac{4 x y - x ^{2}}{a - b} = \frac{x - 4 y}{( a - b ) ^{2}} \cdot \frac{a - b}{x ( 4 y - x )} = \frac{- ( 4 y - x )}{( a - b ) ^{2}} \cdot \frac{a - b}{x ( 4 y - x )} = - \frac{1}{x ( a - b )}$

6.11. Спростіть вираз та знайдіть його значення:

Спрощення виразу:

$\frac{6 x ^{2} - 3 x y}{m ^{2} + 2 m} : \frac{y - 2 x}{m + 2} = \frac{3 x ( 2 x - y )}{m ( m + 2 )} \cdot \frac{m + 2}{y - 2 x} = \frac{3 x ( 2 x - y )}{m ( m + 2 )} \cdot \frac{m + 2}{- ( 2 x - y )} = - \frac{3 x}{m}$

Знаходження значення:

Якщо $x = 10, m = - 2$ , то $- \frac{3 x}{m} = - \frac{3 \cdot 10}{- 2} = \frac{- 30}{- 2} = 15$

Відповідь: науковиця провела в експедиції 15 місяців.

6.12. Спростіть вираз та знайдіть його значення:

Спрощення виразу:

$\frac{n ^{2} + 3 n}{5 c - p} : \frac{n + 3}{10 p ^{2} - 50 p c} = \frac{n ( n + 3 )}{5 c - p} \cdot \frac{10 p ( p - 5 c )}{n + 3} = \frac{n ( n + 3 )}{5 c - p} \cdot \frac{- 10 p ( 5 c - p )}{n + 3} = - 10 n p$

Знаходження значення:

Якщо $n = 5, 5, p = - 2$ , то $- 10 n p = - 10 \cdot 5, 5 \cdot (- 2) = - 55 \cdot (- 2) = 110$

Відповідь: телемарафон тривав 110 годин.

6.13. Виконайте дії:

1) $\frac{4 a ^{2}}{5 b ^{3}} \cdot \frac{8 a ^{3}}{7 c ^{3}} : \frac{14 c ^{2}}{15 b ^{2}} = \frac{32 a ^{5}}{35 b ^{3} c ^{3}} \cdot \frac{15 b ^{2}}{14 c ^{2}} = \frac{480 a ^{5} b ^{2}}{490 b ^{3} c ^{5}} = \frac{48 a ^{5}}{49 b c ^{5}}$

2) $\frac{2 a ^{3}}{25 b ^{3}} \cdot \frac{10 b ^{2}}{3 c ^{4}} : \frac{4 a ^{2}}{15 b c} = \frac{20 a ^{3} b ^{2}}{75 b ^{3} c ^{4}} \cdot \frac{15 b c}{4 a ^{2}} = \frac{300 a ^{3} b ^{3} c}{300 a ^{2} b ^{3} c ^{4}} = \frac{a}{c ^{3}}$

3) $\frac{c ^{3}}{18 p ^{4}} : (\frac{9 c ^{2}}{20 p ^{3}} : \frac{27 c ^{3} p}{10}) = \frac{c ^{3}}{18 p ^{4}} : (\frac{9 c ^{2}}{20 p ^{3}} \cdot \frac{10}{27 c ^{3} p}) = \frac{c ^{3}}{18 p ^{4}} : \frac{90 c ^{2}}{540 c ^{3} p ^{4}} = \frac{c ^{3}}{18 p ^{4}} : \frac{1}{6 c p ^{4}} = \frac{c ^{3}}{18 p ^{4}} \cdot 6 c p^{4} = \frac{6 c ^{4} p ^{4}}{18 p ^{4}} = \frac{c ^{4}}{3}$

4) $\frac{115 a ^{3}}{34 b ^{4}} \cdot \frac{92 a ^{6}}{51 b ^{3}} : \frac{4 b ^{2}}{15 a ^{2}} = \frac{115 \cdot 92 a ^{9}}{34 \cdot 51 b ^{7}} \cdot \frac{15 a ^{2}}{4 b ^{2}} = \frac{10580 a ^{9}}{1734 b ^{7}} \cdot \frac{15 a ^{2}}{4 b ^{2}} = \frac{158700 a ^{11}}{6936 b ^{9}} = \frac{13225 a ^{11}}{578 b ^{9}}$

6.14. Подайте у вигляді нескоротного дробу вираз:

1) $\frac{3 a ^{2}}{2 b ^{2} c ^{2}} : \frac{6 b ^{3}}{7 c ^{6}} \cdot \frac{9 ab}{14 c ^{2}} = \frac{3 a ^{2}}{2 b ^{2} c ^{2}} \cdot \frac{7 c ^{6}}{6 b ^{3}} \cdot \frac{9 ab}{14 c ^{2}} = \frac{189 a ^{3} b c ^{6}}{168 b ^{5} c ^{4}} = \frac{9 a ^{3} c ^{2}}{8 b ^{4}}$

2) $\frac{7 x ^{3}}{4 y ^{2}} \cdot \frac{216 x ^{6}}{343 y ^{3}} : \frac{18 x ^{8}}{49 y ^{4}} = \frac{1512 x ^{9}}{1372 y ^{5}} : \frac{18 x ^{8}}{49 y ^{4}} = \frac{54 x ^{9}}{49 y ^{5}} \cdot \frac{49 y ^{4}}{18 x ^{8}} = \frac{3 x}{y}$

6.15. Виконайте ділення:

1) $\frac{9 + 6 a + 4 a ^{2}}{2 a - 1} : \frac{27 - 8 a ^{3}}{1 - 4 a ^{2}} = \frac{9 + 6 a + 4 a ^{2}}{2 a - 1} \cdot \frac{( 1 - 2 a ) ( 1 + 2 a )}{( 3 - 2 a ) ( 9 + 6 a + 4 a ^{2} )} = \frac{1}{- ( 1 - 2 a )} \cdot \frac{( 1 - 2 a ) ( 1 + 2 a )}{3 - 2 a} = - \frac{1 + 2 a}{3 - 2 a} = \frac{2 a + 1}{2 a - 3}$

2) $\frac{8 + x ^{3}}{16 - x ^{4}} : \frac{x ^{2} - 2 x + 4}{x ^{2} + 4} = \frac{( 2 + x ) ( x ^{2} - 2 x + 4 )}{( 4 - x ^{2} ) ( 4 + x ^{2} )} \cdot \frac{x ^{2} + 4}{x ^{2} - 2 x + 4} = \frac{2 + x}{( 2 - x ) ( 2 + x )} = \frac{1}{2 - x}$

3) $(25 x^{2} - 10 x y + y^{2}) : \frac{y ^{2} - 5 x y}{7} = (5 x - y)^{2} : \frac{y ( y - 5 x )}{7} = (5 x - y)^{2} \cdot \frac{7}{- y ( 5 x - y )} = - \frac{7 ( 5 x - y )}{y} = \frac{7 ( y - 5 x )}{y}$

4) $\frac{( 6 y - 4 x ) ^{2}}{3} : (9 y^{2} - 12 x y + 4 x^{2}) = \frac{( 2 ( 3 y - 2 x ) ) ^{2}}{3} : (3 y - 2 x)^{2} = \frac{4 ( 3 y - 2 x ) ^{2}}{3} \cdot \frac{1}{( 3 y - 2 x ) ^{2}} = \frac{4}{3}$

6.16. Знайдіть значення виразу:

1) $\frac{x ^{3} - 8}{9 x ^{2} - 16} : \frac{x ^{2} + 2 x + 4}{3 x - 4} = \frac{( x - 2 ) ( x ^{2} + 2 x + 4 )}{( 3 x - 4 ) ( 3 x + 4 )} \cdot \frac{3 x - 4}{x ^{2} + 2 x + 4} = \frac{x - 2}{3 x + 4}$ Якщо $x = - 3$ , то $\frac{- 3 - 2}{3 ( - 3 ) + 4} = \frac{- 5}{- 9 + 4} = \frac{- 5}{- 5} = 1$

2) $(m^{2} - 10 mn + 25 n^{2}) : \frac{0 , 2 m ^{2} - 5 n ^{2}}{5} = (m - 5 n)^{2} : \frac{\frac{1}{5} ( m ^{2} - 25 n ^{2} )}{5} = (m - 5 n)^{2} : \frac{( m - 5 n ) ( m + 5 n )}{25} = (m - 5 n)^{2} \cdot \frac{25}{( m - 5 n ) ( m + 5 n )} = \frac{25 ( m - 5 n )}{m + 5 n}$ Якщо $m = 10, n = 3$ , то $\frac{25 ( 10 - 5 \cdot 3 )}{10 + 5 \cdot 3} = \frac{25 ( 10 - 15 )}{10 + 15} = \frac{25 ( - 5 )}{25} = - 5$

6.17. Знайдіть значення виразу:

1) $(\frac{a ^{2} y ^{3}}{5})^{3} : (- \frac{a ^{3} y ^{4}}{25})^{2} = \frac{a ^{6} y ^{9}}{125} : \frac{a ^{6} y ^{8}}{625} = \frac{a ^{6} y ^{9}}{125} \cdot \frac{625}{a ^{6} y ^{8}} = 5 y$

Якщо $y = 0, 02$ , то $5 \cdot 0, 02 = 0, 1$

2) $\frac{( 2 x - y ) ^{2}}{( x - 2 y ) ^{2}} : \frac{4 x ^{2} - y ^{2}}{x ^{2} - 4 y ^{2}} = \frac{( 2 x - y ) ^{2}}{( x - 2 y ) ^{2}} : \frac{( 2 x - y ) ( 2 x + y )}{( x - 2 y ) ( x + 2 y )} = \frac{( 2 x - y ) ^{2}}{( x - 2 y ) ^{2}} \cdot \frac{( x - 2 y ) ( x + 2 y )}{( 2 x - y ) ( 2 x + y )} = \frac{( 2 x - y ) ( x + 2 y )}{( x - 2 y ) ( 2 x + y )}$

Якщо $x = 4, 2, y = 1, 6$ , то $\frac{( 2 \cdot 4 , 2 - 1 , 6 ) ( 4 , 2 + 2 \cdot 1 , 6 )}{( 4 , 2 - 2 \cdot 1 , 6 ) ( 2 \cdot 4 , 2 + 1 , 6 )} = \frac{( 8 , 4 - 1 , 6 ) ( 4 , 2 + 3 , 2 )}{( 4 , 2 - 3 , 2 ) ( 8 , 4 + 1 , 6 )} = \frac{6 , 8 \cdot 7 , 4}{1 \cdot 10} = \frac{50 , 32}{10} = 5, 032$

6.18. Спростіть вираз:

$\frac{0 , 5 a ^{2} - 32}{0 , 5 a ^{3} - 62 , 5} : \frac{0 , 2 a + 1 , 6}{0 , 2 a ^{2} + a + 5} = \frac{0 , 5 ( a ^{2} - 64 )}{0 , 5 ( a ^{3} - 125 )} : \frac{0 , 2 ( a + 8 )}{0 , 2 ( a ^{2} + 5 a + 25 )} = \frac{( a - 8 ) ( a + 8 )}{( a - 5 ) ( a ^{2} + 5 a + 25 )} \cdot \frac{a ^{2} + 5 a + 25}{a + 8} = \frac{a - 8}{a - 5}$

6.19. Доведіть тотожність:

$\frac{m ^{3} + 27}{75 m ^{2} - 12} : \frac{\frac{1}{3} m ^{2} - m + 3}{m - 0 , 4} = \frac{( m + 3 ) ( m ^{2} - 3 m + 9 )}{3 ( 25 m ^{2} - 4 )} : \frac{\frac{1}{3} ( m ^{2} - 3 m + 9 )}{m - 0 , 4} = \frac{( m + 3 ) ( m ^{2} - 3 m + 9 )}{3 ( 5 m - 2 ) ( 5 m + 2 )} \cdot \frac{m - 0 , 4}{\frac{1}{3} ( m ^{2} - 3 m + 9 )} = \frac{m + 3}{3 ( 5 m - 2 ) ( 5 m + 2 )} \cdot \frac{3 ( m - 0 , 4 )}{1} = \frac{m + 3}{( 5 m - 2 ) ( 5 m + 2 )} \cdot \frac{5 m - 2}{5} = \frac{m + 3}{5 ( 5 m + 2 )} = \frac{m + 3}{25 m + 10}$

6.20. Спростіть вираз:

$\frac{6 ab + 6 - 4 a - 9 b}{a ^{2} - 12 a + 36} : \frac{9 b ^{2} - 12 b + 4}{3 ab - 18 b - 2 a + 12} = \frac{( 2 a - 3 ) ( 3 b - 2 )}{( a - 6 ) ^{2}} : \frac{( 3 b - 2 ) ^{2}}{( a - 6 ) ( 3 b - 2 )} = \frac{( 2 a - 3 ) ( 3 b - 2 )}{( a - 6 ) ^{2}} \cdot \frac{a - 6}{3 b - 2} = \frac{2 a - 3}{a - 6}$

6.21. Виконайте дію:

$\frac{a + 4}{x - a} : \frac{ab + 4 b - 2 a - 8}{c x + x y - a c - a y} = \frac{a + 4}{x - a} : \frac{( a + 4 ) ( b - 2 )}{( x - a ) ( c + y )} = \frac{a + 4}{x - a} \cdot \frac{( x - a ) ( c + y )}{( a + 4 ) ( b - 2 )} = \frac{c + y}{b - 2}$

Вправи для повторення

6.22. Подайте дріб у вигляді суми або різниці двох дробів:

1) $\frac{2 a - b}{ab} = \frac{2 a}{ab} - \frac{b}{ab} = \frac{2}{b} - \frac{1}{a}$

2) $\frac{7 y ^{2} + y ^{3}}{y ^{5}} = \frac{7 y ^{2}}{y ^{5}} + \frac{y ^{3}}{y ^{5}} = \frac{7}{y ^{3}} + \frac{1}{y ^{2}}$

3) $\frac{4 m ^{2} + 5 n ^{2}}{m ^{2} n} = \frac{4 m ^{2}}{m ^{2} n} + \frac{5 n ^{2}}{m ^{2} n} = \frac{4}{n} + \frac{5 n}{m ^{2}}$

4) $\frac{18 x - 24 x ^{2} y}{30 y ^{2}} = \frac{18 x}{30 y ^{2}} - \frac{24 x ^{2} y}{30 y ^{2}} = \frac{3 x}{5 y ^{2}} - \frac{4 x ^{2}}{5 y}$

6.23. Обчисліть значення дробу:

1) $\frac{m ^{2} + 6 mn + 9 n ^{2}}{( 2 m + 6 n ) ^{2}} = \frac{( m + 3 n ) ^{2}}{( 2 ( m + 3 n ) ) ^{2}} = \frac{( m + 3 n ) ^{2}}{4 ( m + 3 n ) ^{2}} = \frac{1}{4}$

2) $\frac{0 , 1 x ^{2} - 2 , 5 y ^{2}}{x ^{2} + 10 x y + 25 y ^{2}} = \frac{0 , 1 ( x ^{2} - 25 y ^{2} )}{( x + 5 y ) ^{2}} = \frac{0 , 1 ( x - 5 y ) ( x + 5 y )}{( x + 5 y ) ^{2}} = \frac{0 , 1 ( x - 5 y )}{x + 5 y}$

Якщо $x = 100, y = 20$ , то $\frac{0 , 1 ( 100 - 5 \cdot 20 )}{100 + 5 \cdot 20} = \frac{0 , 1 ( 100 - 100 )}{100 + 100} = \frac{0 , 1 \cdot 0}{200} = 0$

6.24. Доведіть тотожність:

$\frac{1}{1 + x} + \frac{1}{1 - x} + \frac{2}{1 + x ^{2}} + \frac{4}{1 + x ^{4}} = \frac{1 - x + 1 + x}{( 1 + x ) ( 1 - x )} + \frac{2}{1 + x ^{2}} + \frac{4}{1 + x ^{4}} = \frac{2}{1 - x ^{2}} + \frac{2}{1 + x ^{2}} + \frac{4}{1 + x ^{4}}$

$\frac{2 ( 1 + x ^{2} ) + 2 ( 1 - x ^{2} )}{( 1 - x ^{2} ) ( 1 + x ^{2} )} + \frac{4}{1 + x ^{4}} = \frac{2 + 2 x ^{2} + 2 - 2 x ^{2}}{1 - x ^{4}} + \frac{4}{1 + x ^{4}} = \frac{4}{1 - x ^{4}} + \frac{4}{1 + x ^{4}}$

$\frac{4 ( 1 + x ^{4} ) + 4 ( 1 - x ^{4} )}{( 1 - x ^{4} ) ( 1 + x ^{4} )} = \frac{4 + 4 x ^{4} + 4 - 4 x ^{4}}{1 - x ^{8}} = \frac{8}{1 - x ^{8}}$

$\frac{8}{1 - x ^{8}} = \frac{8}{1 - x ^{8}}$

Життєва математика

6.25. У якому розмірі сплатило це підприємство ППП за ці 3 місяці, якщо прибуток за перший місяць склав 40 000 грн?

Знайдемо прибуток за другий місяць.

$40000 \cdot 1, 1 = 44000$ (грн)

Знайдемо прибуток за третій місяць.

$44000 \cdot 1, 1 = 48400$ (грн)

Знайдемо загальний прибуток за три місяці.

$40000 + 44000 + 48400 = 132400$ (грн)

Знайдемо суму податку на прибуток (18%).

$132400 \cdot 0, 18 = 23832$ (грн)

Відповідь: підприємство сплатило 23832 грн податку.

Цікаві задачі – поміркуй одначе

6.26. Український гросмейстер Василь Іванчук узяв участь у чемпіонаті світу з бліцу. У перший день він переміг суперників у 70 % партій, а на другий день виграв ще 15 партій поспіль. Відсоток виграшних партій за два дні сягнув 80 %. Скільки партій за ці два дні зіграв Василь Іванчук?

Нехай $x$ — кількість партій, зіграних у перший день.

Кількість перемог у перший день: $0, 7 x$ .

Загальна кількість партій за два дні: $x + 15$ .

Загальна кількість перемог за два дні: $0, 7 x + 15$ .

Відсоток виграшних партій за два дні: $\frac{0 , 7 x + 15}{x + 15}$ .

Складаємо рівняння:

$\frac{0 , 7 x + 15}{x + 15} = 0, 8$

$0, 7 x + 15 = 0, 8 (x + 15)$

$0, 7 x + 15 = 0, 8 x + 12$

$15 - 12 = 0, 8 x - 0, 7 x$

$3 = 0, 1 x$

$x = 30$

Загальна кількість партій за два дні:

$30 + 15 = 45$

Відповідь: за два дні Василь Іванчук зіграв 45 партій.

§6. Ділення дробів

Розв’яжiть задачi та виконайте вправи

Вправи для повторення

Життєва математика

Цікаві задачі – поміркуй одначе

Теги статті:

До уроку