§6. Ділення дробів

Назад до змісту

Розв’яжiть задачi та виконайте вправи

6.1. Виконайте ділення:

1. $ \dfrac{2}{a} : \dfrac{3}{b} = \dfrac{2}{a} \cdot \dfrac{b}{3} = \dfrac{2b}{3a} $
2. $ \dfrac{7}{x} : \dfrac{y}{2} = \dfrac{7}{x} \cdot \dfrac{2}{y} = \dfrac{14}{xy} $
3. $ \dfrac{m}{3} : \dfrac{m}{4} = \dfrac{m}{3} \cdot \dfrac{4}{m} = \dfrac{4m}{3m} = \dfrac{4}{3} $
4. $ \dfrac{a^2}{2} : \dfrac{a}{7} = \dfrac{a^2}{2} \cdot \dfrac{7}{a} = \dfrac{7a^2}{2a} = \dfrac{7a}{2} $

6.2. Виконайте ділення:

1. $ \dfrac{5}{x} : \dfrac{2}{y} = \dfrac{5}{x} \cdot \dfrac{y}{2} = \dfrac{5y}{2x} $
2. $ \dfrac{a}{2} : \dfrac{5}{b} = \dfrac{a}{2} \cdot \dfrac{b}{5} = \dfrac{ab}{10} $
3. $ \dfrac{4}{x} : \dfrac{5}{x} = \dfrac{4}{x} \cdot \dfrac{x}{5} = \dfrac{4x}{5x} = \dfrac{4}{5} $
4. $ \dfrac{x^2}{3} : \dfrac{x}{2} = \dfrac{x^2}{3} \cdot \dfrac{2}{x} = \dfrac{2x^2}{3x} = \dfrac{2x}{3} $

6.3. Спростіть вираз:

1. $ \dfrac{7b}{12a} : \dfrac{21b^2}{16a} = \dfrac{7b}{12a} \cdot \dfrac{16a}{21b^2} = \dfrac{7b \cdot 16a}{12a \cdot 21b^2} = \dfrac{1 \cdot 4}{3 \cdot 3b} = \dfrac{4}{9b} $
2. $ \dfrac{15}{2n^2} : \dfrac{3m}{8n} = \dfrac{15}{2n^2} \cdot \dfrac{8n}{3m} = \dfrac{15 \cdot 8n}{2n^2 \cdot 3m} = \dfrac{5 \cdot 4}{n \cdot m} = \dfrac{20}{nm} $
3. $ \dfrac{9b}{14a} : \dfrac{5b^2}{21a^2} = \dfrac{9b}{14a} \cdot \dfrac{21a^2}{5b^2} = \dfrac{9b \cdot 21a^2}{14a \cdot 5b^2} = \dfrac{9 \cdot 3a}{2 \cdot 5b} = \dfrac{27a}{10b} $
4. $ -\dfrac{3x^2}{a} : \dfrac{6x^3}{a^2} = -\dfrac{3x^2}{a} \cdot \dfrac{a^2}{6x^3} = -\dfrac{3x^2a^2}{6x^3a} = -\dfrac{a}{2x} $
5. $ 14x^2 : \dfrac{7x}{a} = \dfrac{14x^2}{1} \cdot \dfrac{a}{7x} = \dfrac{14x^2a}{7x} = 2xa $
6. $ \dfrac{8x^3}{7a} : (-2x^2) = \dfrac{8x^3}{7a} \cdot \left(-\dfrac{1}{2x^2}\right) = -\dfrac{8x^3}{14ax^2} = -\dfrac{4x}{7a} $
7. $ -\dfrac{12a^2}{b} : (16a^2) = -\dfrac{12a^2}{b} \cdot \dfrac{1}{16a^2} = -\dfrac{12a^2}{16a^2b} = -\dfrac{3}{4b} $
8. $ -40ma^5 : \left(-\dfrac{8m^2}{a}\right) = -40ma^5 \cdot \left(-\dfrac{a}{8m^2}\right) = \dfrac{40ma^6}{8m^2} = \dfrac{5a^6}{m} $

6.4. Виконайте дію:

1. $ \dfrac{3a^2}{b} : \dfrac{a}{b^2} = \dfrac{3a^2}{b} \cdot \dfrac{b^2}{a} = \dfrac{3a^2b^2}{ab} = 3ab $
2. $ -\dfrac{3p}{c^3} : \dfrac{15p^2}{c^2} = -\dfrac{3p}{c^3} \cdot \dfrac{c^2}{15p^2} = -\dfrac{3pc^2}{15p^2c^3} = -\dfrac{1}{5pc} $
3. $ \dfrac{4p}{5c} : \dfrac{8p^2}{15c^3} = \dfrac{4p}{5c} \cdot \dfrac{15c^3}{8p^2} = \dfrac{4p \cdot 15c^3}{5c \cdot 8p^2} = \dfrac{3c^2}{2p} $
4. $ \dfrac{15m^3}{c} : (-10m^2) = \dfrac{15m^3}{c} \cdot \left(-\dfrac{1}{10m^2}\right) = -\dfrac{15m^3}{10m^2c} = -\dfrac{3m}{2c} $
5. $ -\dfrac{2a^2}{b} : (-8a^2) = -\dfrac{2a^2}{b} \cdot \left(-\dfrac{1}{8a^2}\right) = \dfrac{2a^2}{8a^2b} = \dfrac{1}{4b} $
6. $ -12a^2bc : \dfrac{4ab}{m} = -12a^2bc \cdot \dfrac{m}{4ab} = -\dfrac{12a^2bcm}{4ab} = -3acm $

6.5. Подайте у вигляді дробу:

1. $ \dfrac{12m^2}{7c^4} : \dfrac{6m^4}{35c^3} = \dfrac{12m^2}{7c^4} \cdot \dfrac{35c^3}{6m^4} = \dfrac{12m^2 \cdot 35c^3}{7c^4 \cdot 6m^4} = \dfrac{2 \cdot 5}{c \cdot m^2} = \dfrac{10}{cm^2} $
2. $ \dfrac{9m^2}{22n^3} : \left(-\dfrac{m^5}{11n^6}\right) = \dfrac{9m^2}{22n^3} \cdot \left(-\dfrac{11n^6}{m^5}\right) = -\dfrac{9m^2 \cdot 11n^6}{22n^3 \cdot m^5} = -\dfrac{9n^3}{2m^3} $
3. $ -\dfrac{7ab}{4cd} : \dfrac{21a^2b}{8cd^3} = -\dfrac{7ab}{4cd} \cdot \dfrac{8cd^3}{21a^2b} = -\dfrac{7ab \cdot 8cd^3}{4cd \cdot 21a^2b} = -\dfrac{2d^2}{3a} $
4. $ -\dfrac{27m^2n}{7c^2x} : \left(-\dfrac{9mn^2}{7c^2x^3}\right) = \dfrac{27m^2n}{7c^2x} \cdot \dfrac{7c^2x^3}{9mn^2} = \dfrac{27m^2n \cdot 7c^2x^3}{7c^2x \cdot 9mn^2} = \dfrac{3mx^2}{n} $

6.6. Подайте у вигляді дробу:

1. $ \dfrac{6a^2}{5b^2} : \dfrac{2a^3}{15b} = \dfrac{6a^2}{5b^2} \cdot \dfrac{15b}{2a^3} = \dfrac{90a^2b}{10a^3b^2} = \dfrac{9}{ab} $
2. $ -\dfrac{4a^2}{27x} : \dfrac{a^4}{9x^3} = -\dfrac{4a^2}{27x} \cdot \dfrac{9x^3}{a^4} = -\dfrac{36a^2x^3}{27a^4x} = -\dfrac{4x^2}{3a^2} $
3. $ \dfrac{5xy}{2m^2n} : \left(-\dfrac{15x^2y}{8mn^3}\right) = \dfrac{5xy}{2m^2n} \cdot \left(-\dfrac{8mn^3}{15x^2y}\right) = -\dfrac{40mn^3xy}{30m^2nx^2y} = -\dfrac{4n^2}{3mx} $
4. $ -\dfrac{2ab^2}{9x^2p} : \left(-\dfrac{2a^2b}{27x^2p^3}\right) = \dfrac{2ab^2}{9x^2p} \cdot \dfrac{27x^2p^3}{2a^2b} = \dfrac{54ab^2x^2p^3}{18a^2bx^2p} = \dfrac{3bp^2}{a} $

6.7. Виконайте ділення:

1. $ \dfrac{2a+b}{4p} : \dfrac{b+2a}{8p^2} = \dfrac{2a+b}{4p} \cdot \dfrac{8p^2}{2a+b} = \dfrac{8p^2}{4p} = 2p $
2. $ \dfrac{3a-2x}{7x^2} : \dfrac{2x-3a}{14x} = \dfrac{3a-2x}{7x^2} \cdot \dfrac{14x}{-(3a-2x)} = -\dfrac{14x}{7x^2} = -\dfrac{2}{x} $
3. $ \dfrac{a^2-3a}{9y^2} : \dfrac{5a}{9y} = \dfrac{a(a-3)}{9y^2} \cdot \dfrac{9y}{5a} = \dfrac{a-3}{5y} $
4. $ \dfrac{a^2+a}{9b^2} : \dfrac{5+5a}{b^3} = \dfrac{a(a+1)}{9b^2} \cdot \dfrac{b^3}{5(1+a)} = \dfrac{ab}{45} $
5. $ \dfrac{7ab}{c^2-3c} : \dfrac{14ab^2}{3c-9} = \dfrac{7ab}{c(c-3)} \cdot \dfrac{3(c-3)}{14ab^2} = \dfrac{3}{2bc} $
6. $ \dfrac{11a}{m^2-2m} : \dfrac{22a^2}{6-3m} = \dfrac{11a}{m(m-2)} \cdot \dfrac{3(2-m)}{22a^2} = \dfrac{11a}{m(m-2)} \cdot \dfrac{-3(m-2)}{22a^2} = -\dfrac{3}{2am} $

6.8. Виконайте ділення:

1. $ \dfrac{x-y}{2a^2} : \dfrac{y-x}{8a} = \dfrac{x-y}{2a^2} \cdot \dfrac{8a}{-(x-y)} = -\dfrac{8a}{2a^2} = -\dfrac{4}{a} $
2. $ \dfrac{p^2+2p}{18a^2} : \dfrac{7p}{9a} = \dfrac{p(p+2)}{18a^2} \cdot \dfrac{9a}{7p} = \dfrac{p+2}{14a} $
3. $ \dfrac{x^2+x}{9ab} : \dfrac{5x+5}{18a^2b} = \dfrac{x(x+1)}{9ab} \cdot \dfrac{18a^2b}{5(x+1)} = \dfrac{2ax}{5} $
4. $ \dfrac{3x-x^2}{7p} : \dfrac{2x-6}{14p^2} = \dfrac{x(3-x)}{7p} \cdot \dfrac{14p^2}{2(x-3)} = \dfrac{x(3-x)}{7p} \cdot \dfrac{14p^2}{-2(3-x)} = -px $

6.9. Спростіть вираз:

1. $ \dfrac{m^2-n^2}{p+2q} : \dfrac{mn+m^2}{2p+4q} = \dfrac{(m-n)(m+n)}{p+2q} \cdot \dfrac{2(p+2q)}{m(n+m)} = \dfrac{2(m-n)}{m} $
2. $ \dfrac{6x-30}{2x+5} : \dfrac{x^2-25}{4x+10} = \dfrac{6(x-5)}{2x+5} \cdot \dfrac{2(2x+5)}{(x-5)(x+5)} = \dfrac{12}{x+5} $
3. $ \dfrac{a+2}{a-2} : \dfrac{a^2+4a+4}{5a-10} = \dfrac{a+2}{a-2} \cdot \dfrac{5(a-2)}{(a+2)^2} = \dfrac{5}{a+2} $
4. $ \dfrac{x+y}{p-2m} : \dfrac{x^2+2xy+y^2}{2m^2-mp} = \dfrac{x+y}{p-2m} \cdot \dfrac{m(2m-p)}{(x+y)^2} = \dfrac{x+y}{-(2m-p)} \cdot \dfrac{m(2m-p)}{(x+y)^2} = -\dfrac{m}{x+y} $

6.10. Спростіть вираз:

1. $ \dfrac{ab + b^2}{m – 3n} : \dfrac{a^2 – b^2}{2m – 6n} = \dfrac{b(a + b)}{m – 3n} \cdot \dfrac{2(m – 3n)}{(a – b)(a + b)} = \dfrac{2b}{a – b} $
2. $ \dfrac{x – 5}{y^2 – 4} : \dfrac{2x – 10}{3y – 6} = \dfrac{x – 5}{(y – 2)(y + 2)} \cdot \dfrac{3(y – 2)}{2(x – 5)} = \dfrac{3}{2(y + 2)} $
3. $ \dfrac{x^2 – 9}{x^2 + x} : \dfrac{x^2 + 6x + 9}{7x + 7} = \dfrac{(x – 3)(x + 3)}{x(x + 1)} \cdot \dfrac{7(x + 1)}{(x + 3)^2} = \dfrac{7(x – 3)}{x(x + 3)} $
4. $ \dfrac{x – 4y}{a^2 – 2ab + b^2} : \dfrac{4xy – x^2}{a – b} = \dfrac{x – 4y}{(a – b)^2} \cdot \dfrac{a – b}{x(4y – x)} = \dfrac{-(4y – x)}{(a – b)^2} \cdot \dfrac{a – b}{x(4y – x)} = -\dfrac{1}{x(a – b)} $

6.11. Спростіть вираз та знайдіть його значення:

Спрощення виразу:

$ \dfrac{6x^2 – 3xy}{m^2 + 2m} : \dfrac{y – 2x}{m + 2} = \dfrac{3x(2x – y)}{m(m + 2)} \cdot \dfrac{m + 2}{y – 2x} = \dfrac{3x(2x – y)}{m(m + 2)} \cdot \dfrac{m + 2}{-(2x – y)} = -\dfrac{3x}{m} $

Знаходження значення:

Якщо $ x = 10, m = -2 $, то $ -\dfrac{3x}{m} = -\dfrac{3 \cdot 10}{-2} = \dfrac{-30}{-2} = 15 $

Відповідь: науковиця провела в експедиції 15 місяців.

6.12. Спростіть вираз та знайдіть його значення:

Спрощення виразу:

$ \dfrac{n^2 + 3n}{5c – p} : \dfrac{n + 3}{10p^2 – 50pc} = \dfrac{n(n + 3)}{5c – p} \cdot \dfrac{10p(p – 5c)}{n + 3} = \dfrac{n(n + 3)}{5c – p} \cdot \dfrac{-10p(5c – p)}{n + 3} = -10np $

Знаходження значення:

Якщо $ n = 5,5, p = -2 $, то $ -10np = -10 \cdot 5,5 \cdot (-2) = -55 \cdot (-2) = 110 $

Відповідь: телемарафон тривав 110 годин.

6.13. Виконайте дії:

1. $ \dfrac{4a^2}{5b^3} \cdot \dfrac{8a^3}{7c^3} : \dfrac{14c^2}{15b^2} = \dfrac{32a^5}{35b^3c^3} \cdot \dfrac{15b^2}{14c^2} = \dfrac{480a^5b^2}{490b^3c^5} = \dfrac{48a^5}{49bc^5} $
2. $ \dfrac{2a^3}{25b^3} \cdot \dfrac{10b^2}{3c^4} : \dfrac{4a^2}{15bc} = \dfrac{20a^3b^2}{75b^3c^4} \cdot \dfrac{15bc}{4a^2} = \dfrac{300a^3b^3c}{300a^2b^3c^4} = \dfrac{a}{c^3} $
3. $ \dfrac{c^3}{18p^4} : \left( \dfrac{9c^2}{20p^3} : \dfrac{27c^3p}{10} \right) = \dfrac{c^3}{18p^4} : \left( \dfrac{9c^2}{20p^3} \cdot \dfrac{10}{27c^3p} \right) = \dfrac{c^3}{18p^4} : \dfrac{90c^2}{540c^3p^4} = \dfrac{c^3}{18p^4} : \dfrac{1}{6cp^4} = \dfrac{c^3}{18p^4} \cdot 6cp^4 = \dfrac{6c^4p^4}{18p^4} = \dfrac{c^4}{3} $
4. $ \dfrac{115a^3}{34b^4} \cdot \dfrac{92a^6}{51b^3} : \dfrac{4b^2}{15a^2} = \dfrac{115 \cdot 92 a^9}{34 \cdot 51 b^7} \cdot \dfrac{15a^2}{4b^2} = \dfrac{10580a^9}{1734b^7} \cdot \dfrac{15a^2}{4b^2} = \dfrac{158700a^{11}}{6936b^9} = \dfrac{13225a^{11}}{578b^9} $

6.14. Подайте у вигляді нескоротного дробу вираз:

1. $ \dfrac{3a^2}{2b^2c^2} : \dfrac{6b^3}{7c^6} \cdot \dfrac{9ab}{14c^2} = \dfrac{3a^2}{2b^2c^2} \cdot \dfrac{7c^6}{6b^3} \cdot \dfrac{9ab}{14c^2} = \dfrac{189a^3bc^6}{168b^5c^4} = \dfrac{9a^3c^2}{8b^4} $
2. $ \dfrac{7x^3}{4y^2} \cdot \dfrac{216x^6}{343y^3} : \dfrac{18x^8}{49y^4} = \dfrac{1512x^9}{1372y^5} : \dfrac{18x^8}{49y^4} = \dfrac{54x^9}{49y^5} \cdot \dfrac{49y^4}{18x^8} = \dfrac{3x}{y} $

6.15. Виконайте ділення:

1. $ \dfrac{9+6a+4a^2}{2a-1} : \dfrac{27-8a^3}{1-4a^2} = \dfrac{9+6a+4a^2}{2a-1} \cdot \dfrac{(1-2a)(1+2a)}{(3-2a)(9+6a+4a^2)} = \dfrac{1}{-(1-2a)} \cdot \dfrac{(1-2a)(1+2a)}{3-2a} = -\dfrac{1+2a}{3-2a} = \dfrac{2a+1}{2a-3} $
2. $ \dfrac{8+x^3}{16-x^4} : \dfrac{x^2-2x+4}{x^2+4} = \dfrac{(2+x)(x^2-2x+4)}{(4-x^2)(4+x^2)} \cdot \dfrac{x^2+4}{x^2-2x+4} = \dfrac{2+x}{(2-x)(2+x)} = \dfrac{1}{2-x} $
3. $ (25x^2-10xy+y^2) : \dfrac{y^2-5xy}{7} = (5x-y)^2 : \dfrac{y(y-5x)}{7} = (5x-y)^2 \cdot \dfrac{7}{-y(5x-y)} = -\dfrac{7(5x-y)}{y} = \dfrac{7(y-5x)}{y} $
4. $ \dfrac{(6y-4x)^2}{3} : (9y^2-12xy+4x^2) = \dfrac{(2(3y-2x))^2}{3} : (3y-2x)^2 = \dfrac{4(3y-2x)^2}{3} \cdot \dfrac{1}{(3y-2x)^2} = \dfrac{4}{3} $

6.16. Знайдіть значення виразу:

1. $ \dfrac{x^3-8}{9x^2-16} : \dfrac{x^2+2x+4}{3x-4} = \dfrac{(x-2)(x^2+2x+4)}{(3x-4)(3x+4)} \cdot \dfrac{3x-4}{x^2+2x+4} = \dfrac{x-2}{3x+4} $Якщо $ x=-3 $, то $ \dfrac{-3-2}{3(-3)+4} = \dfrac{-5}{-9+4} = \dfrac{-5}{-5} = 1 $
2. $ (m^2-10mn+25n^2) : \dfrac{0,2m^2-5n^2}{5} = (m-5n)^2 : \dfrac{\frac{1}{5}(m^2-25n^2)}{5} = (m-5n)^2 : \dfrac{(m-5n)(m+5n)}{25} = (m-5n)^2 \cdot \dfrac{25}{(m-5n)(m+5n)} = \dfrac{25(m-5n)}{m+5n} $Якщо $ m=10, n=3 $, то $ \dfrac{25(10-5 \cdot 3)}{10+5 \cdot 3} = \dfrac{25(10-15)}{10+15} = \dfrac{25(-5)}{25} = -5 $

6.17. Знайдіть значення виразу:

1) $ \left(\dfrac{a^2y^3}{5}\right)^3 : \left(-\dfrac{a^3y^4}{25}\right)^2 = \dfrac{a^6y^9}{125} : \dfrac{a^6y^8}{625} = \dfrac{a^6y^9}{125} \cdot \dfrac{625}{a^6y^8} = 5y $

Якщо $ y = 0,02 $, то $ 5 \cdot 0,02 = 0,1 $

2) $ \dfrac{(2x – y)^2}{(x – 2y)^2} : \dfrac{4x^2 – y^2}{x^2 – 4y^2} = \dfrac{(2x – y)^2}{(x – 2y)^2} : \dfrac{(2x-y)(2x+y)}{(x-2y)(x+2y)} = \dfrac{(2x – y)^2}{(x – 2y)^2} \cdot \dfrac{(x-2y)(x+2y)}{(2x-y)(2x+y)} = \dfrac{(2x-y)(x+2y)}{(x-2y)(2x+y)} $

Якщо $ x = 4,2, y = 1,6 $, то $ \dfrac{(2 \cdot 4,2 – 1,6)(4,2 + 2 \cdot 1,6)}{(4,2 – 2 \cdot 1,6)(2 \cdot 4,2 + 1,6)} = \dfrac{(8,4-1,6)(4,2+3,2)}{(4,2-3,2)(8,4+1,6)} = \dfrac{6,8 \cdot 7,4}{1 \cdot 10} = \dfrac{50,32}{10} = 5,032 $

6.18. Спростіть вираз:

$ \dfrac{0,5a^2 – 32}{0,5a^3 – 62,5} : \dfrac{0,2a + 1,6}{0,2a^2 + a + 5} = \dfrac{0,5(a^2 – 64)}{0,5(a^3 – 125)} : \dfrac{0,2(a + 8)}{0,2(a^2 + 5a + 25)} = \dfrac{(a-8)(a+8)}{(a-5)(a^2+5a+25)} \cdot \dfrac{a^2+5a+25}{a+8} = \dfrac{a-8}{a-5} $

6.19. Доведіть тотожність:

$ \dfrac{m^3 + 27}{75m^2 – 12} : \dfrac{\frac{1}{3}m^2 – m + 3}{m – 0,4} = \dfrac{(m+3)(m^2-3m+9)}{3(25m^2-4)} : \dfrac{\frac{1}{3}(m^2-3m+9)}{m-0,4} = \dfrac{(m+3)(m^2-3m+9)}{3(5m-2)(5m+2)} \cdot \dfrac{m-0,4}{\frac{1}{3}(m^2-3m+9)} = \dfrac{m+3}{3(5m-2)(5m+2)} \cdot \dfrac{3(m-0,4)}{1} = \dfrac{m+3}{(5m-2)(5m+2)} \cdot \dfrac{5m-2}{5} = \dfrac{m+3}{5(5m+2)} = \dfrac{m+3}{25m+10} $

6.20. Спростіть вираз:

$ \dfrac{6ab + 6 – 4a – 9b}{a^2 – 12a + 36} : \dfrac{9b^2 – 12b + 4}{3ab – 18b – 2a + 12} = \dfrac{(2a-3)(3b-2)}{(a-6)^2} : \dfrac{(3b-2)^2}{(a-6)(3b-2)} = \dfrac{(2a-3)(3b-2)}{(a-6)^2} \cdot \dfrac{a-6}{3b-2} = \dfrac{2a-3}{a-6} $

6.21. Виконайте дію:

$ \dfrac{a+4}{x-a} : \dfrac{ab+4b-2a-8}{cx+xy-ac-ay} = \dfrac{a+4}{x-a} : \dfrac{(a+4)(b-2)}{(x-a)(c+y)} = \dfrac{a+4}{x-a} \cdot \dfrac{(x-a)(c+y)}{(a+4)(b-2)} = \dfrac{c+y}{b-2} $

Вправи для повторення

6.22. Подайте дріб у вигляді суми або різниці двох дробів:

1. $ \dfrac{2a-b}{ab} = \dfrac{2a}{ab} – \dfrac{b}{ab} = \dfrac{2}{b} – \dfrac{1}{a} $
2. $ \dfrac{7y^2+y^3}{y^5} = \dfrac{7y^2}{y^5} + \dfrac{y^3}{y^5} = \dfrac{7}{y^3} + \dfrac{1}{y^2} $
3. $ \dfrac{4m^2+5n^2}{m^2n} = \dfrac{4m^2}{m^2n} + \dfrac{5n^2}{m^2n} = \dfrac{4}{n} + \dfrac{5n}{m^2} $
4. $ \dfrac{18x-24x^2y}{30y^2} = \dfrac{18x}{30y^2} – \dfrac{24x^2y}{30y^2} = \dfrac{3x}{5y^2} – \dfrac{4x^2}{5y} $

6.23. Обчисліть значення дробу:

1) $ \dfrac{m^2+6mn+9n^2}{(2m+6n)^2} = \dfrac{(m+3n)^2}{(2(m+3n))^2} = \dfrac{(m+3n)^2}{4(m+3n)^2} = \dfrac{1}{4} $

2) $ \dfrac{0,1x^2-2,5y^2}{x^2+10xy+25y^2} = \dfrac{0,1(x^2-25y^2)}{(x+5y)^2} = \dfrac{0,1(x-5y)(x+5y)}{(x+5y)^2} = \dfrac{0,1(x-5y)}{x+5y} $

Якщо $ x=100, y=20 $, то $ \dfrac{0,1(100-5 \cdot 20)}{100+5 \cdot 20} = \dfrac{0,1(100-100)}{100+100} = \dfrac{0,1 \cdot 0}{200} = 0 $

6.24. Доведіть тотожність:

$ \dfrac{1}{1+x} + \dfrac{1}{1-x} + \dfrac{2}{1+x^2} + \dfrac{4}{1+x^4} = \dfrac{1-x+1+x}{(1+x)(1-x)} + \dfrac{2}{1+x^2} + \dfrac{4}{1+x^4} = \dfrac{2}{1-x^2} + \dfrac{2}{1+x^2} + \dfrac{4}{1+x^4} $

$ \dfrac{2(1+x^2)+2(1-x^2)}{(1-x^2)(1+x^2)} + \dfrac{4}{1+x^4} = \dfrac{2+2x^2+2-2x^2}{1-x^4} + \dfrac{4}{1+x^4} = \dfrac{4}{1-x^4} + \dfrac{4}{1+x^4} $

$ \dfrac{4(1+x^4)+4(1-x^4)}{(1-x^4)(1+x^4)} = \dfrac{4+4x^4+4-4x^4}{1-x^8} = \dfrac{8}{1-x^8} $

$ \dfrac{8}{1-x^8} = \dfrac{8}{1-x^8} $

Життєва математика

6.25. У якому розмірі сплатило це підприємство ППП за ці 3 місяці, якщо прибуток за перший місяць склав 40 000 грн?

Знайдемо прибуток за другий місяць.

$ 40000 \cdot 1,1 = 44000 $ (грн)

Знайдемо прибуток за третій місяць.

$ 44000 \cdot 1,1 = 48400 $ (грн)

Знайдемо загальний прибуток за три місяці.

$ 40000 + 44000 + 48400 = 132400 $ (грн)

Знайдемо суму податку на прибуток (18%).

$ 132400 \cdot 0,18 = 23832 $ (грн)

Відповідь: підприємство сплатило 23832 грн податку.

Цікаві задачі – поміркуй одначе

6.26. Український гросмейстер Василь Іванчук узяв участь у чемпіонаті світу з бліцу. У перший день він переміг суперників у 70 % партій, а на другий день виграв ще 15 партій поспіль. Відсоток виграшних партій за два дні сягнув 80 %. Скільки партій за ці два дні зіграв Василь Іванчук?

Нехай $x$ — кількість партій, зіграних у перший день.

Кількість перемог у перший день: $0,7x$.

Загальна кількість партій за два дні: $x + 15$.

Загальна кількість перемог за два дні: $0,7x + 15$.

Відсоток виграшних партій за два дні: $ \dfrac{0,7x + 15}{x + 15} $.

Складаємо рівняння:

$ \dfrac{0,7x + 15}{x + 15} = 0,8 $

$ 0,7x + 15 = 0,8(x + 15) $

$ 0,7x + 15 = 0,8x + 12 $

$ 15 – 12 = 0,8x – 0,7x $

$ 3 = 0,1x $

$ x = 30 $

Загальна кількість партій за два дні:

$ 30 + 15 = 45 $

Відповідь: за два дні Василь Іванчук зіграв 45 партій.