§3. Додавання та віднімання дробів з однаковими знаменниками (3.1-3.28)

Розв’яжіть задачі та виконайте вправи

3.1. Виконайте дію (усно)

Щоб додати або відняти дроби з однаковими знаменниками, потрібно виконати відповідну дію з їхніми чисельниками, а знаменник залишити той самий.

1) $\frac{a}{5} + \frac{b}{5} = \frac{a + b}{5}$

2) $\frac{x}{9} - \frac{y}{9} = \frac{x - y}{9}$

3) $\frac{2}{a} + \frac{3}{a} = \frac{2 + 3}{a} = \frac{5}{a}$

4) $\frac{7}{b} - \frac{5}{b} = \frac{7 - 5}{b} = \frac{2}{b}$

3.2. Знайдіть суму або різницю

Правило таке ж, як у попередньому завданні. Додаємо або віднімаємо чисельники, а знаменник залишаємо без змін.

1) $\frac{2 x}{5} + \frac{x}{5} = \frac{2 x + x}{5} = \frac{3 x}{5}$

2) $\frac{7 y}{3} - \frac{2 y}{3} = \frac{7 y - 2 y}{3} = \frac{5 y}{3}$

3) $\frac{a + b}{x} - \frac{a}{x} = \frac{a + b - a}{x} = \frac{b}{x}$

4) $\frac{7 x ^{2}}{y} + \frac{5 x ^{2}}{y} = \frac{7 x ^{2} + 5 x ^{2}}{y} = \frac{12 x ^{2}}{y}$

3.3. Виконайте дію

Продовжуємо використовувати правило додавання та віднімання дробів з однаковими знаменниками.

1) $\frac{3 m}{8} + \frac{2 m}{8} = \frac{3 m + 2 m}{8} = \frac{5 m}{8}$

2) $\frac{9 p}{17} - \frac{p}{17} = \frac{9 p - p}{17} = \frac{8 p}{17}$

3) $\frac{x - y}{m} + \frac{y}{m} = \frac{x - y + y}{m} = \frac{x}{m}$

4) $\frac{5 c ^{2}}{n} - \frac{2 c ^{2}}{n} = \frac{5 c ^{2} - 2 c ^{2}}{n} = \frac{3 c ^{2}}{n}$

3.4. Подайте у вигляді дробу

Тут, окрім додавання та віднімання, потрібно ще й спростити отриманий дріб, скоротивши спільні множники в чисельнику та знаменнику.

1) $\frac{7 a}{4 x} - \frac{3 a}{4 x} = \frac{7 a - 3 a}{4 x} = \frac{4 a}{4 x} = \frac{a}{x}$

2) $\frac{x + y}{8} - \frac{x - 3 y}{8} = \frac{x + y - ( x - 3 y )}{8} = \frac{x + y - x + 3 y}{8} = \frac{4 y}{8} = \frac{y}{2}$

3) $\frac{a + 4}{9} + \frac{5 - a}{9} = \frac{a + 4 + 5 - a}{9} = \frac{9}{9} = 1$

4) $\frac{x + 3 y}{10} + \frac{4 x + 7 y}{10} = \frac{x + 3 y + 4 x + 7 y}{10} = \frac{5 x + 10 y}{10} = \frac{5 ( x + 2 y )}{10} = \frac{x + 2 y}{2}$

5) $\frac{5 m - 2}{8 m} - \frac{m - 10}{8 m} = \frac{5 m - 2 - ( m - 10 )}{8 m} = \frac{5 m - 2 - m + 10}{8 m} = \frac{4 m + 8}{8 m} = \frac{4 ( m + 2 )}{8 m} = \frac{m + 2}{2 m}$

6) $\frac{7 a + 13}{6 a} + \frac{17 - a}{6 a} = \frac{7 a + 13 + 17 - a}{6 a} = \frac{6 a + 30}{6 a} = \frac{6 ( a + 5 )}{6 a} = \frac{a + 5}{a}$

3.5. Спростіть вираз

Щоб виконати додавання або віднімання дробів з однаковими знаменниками, потрібно виконати відповідну дію з їхніми чисельниками, а знаменник залишити без змін. Після цього, якщо можливо, слід спростити отриманий вираз.

1) $\frac{5 x}{2 a} + \frac{3 x}{2 a} = \frac{5 x + 3 x}{2 a} = \frac{8 x}{2 a} = \frac{4 x}{a}$

2) $\frac{a + b}{12} - \frac{a - 5 b}{12} = \frac{a + b - ( a - 5 b )}{12} = \frac{a + b - a + 5 b}{12} = \frac{6 b}{12} = \frac{b}{2}$

3) $\frac{b - 3}{5} + \frac{13 - b}{5} = \frac{b - 3 + 13 - b}{5} = \frac{10}{5} = 2$

4) $\frac{a + 2 b}{8} + \frac{3 a + 6 b}{8} = \frac{a + 2 b + 3 a + 6 b}{8} = \frac{4 a + 8 b}{8} = \frac{4 ( a + 2 b )}{8} = \frac{a + 2 b}{2}$

5) $\frac{6 m - 3}{10 m} - \frac{m - 13}{10 m} = \frac{6 m - 3 - ( m - 13 )}{10 m} = \frac{6 m - 3 - m + 13}{10 m} = \frac{5 m + 10}{10 m} = \frac{5 ( m + 2 )}{10 m} = \frac{m + 2}{2 m}$

6) $\frac{5 x - 3}{4 x} + \frac{11 - x}{4 x} = \frac{5 x - 3 + 11 - x}{4 x} = \frac{4 x + 8}{4 x} = \frac{4 ( x + 2 )}{4 x} = \frac{x + 2}{x}$

3.6. Спростіть вираз

Застосовуємо те ж правило: виконуємо дії з чисельниками, залишаючи знаменник спільним. Особливу увагу приділяємо знакам при розкритті дужок після віднімання.

1) $\frac{3 x - 7 y}{4 x y} + \frac{15 y - 3 x}{4 x y} = \frac{3 x - 7 y + 15 y - 3 x}{4 x y} = \frac{8 y}{4 x y} = \frac{2}{x}$

2) $\frac{7 a + p ^{3}}{3 p} - \frac{7 a - 2 p ^{3}}{3 p} = \frac{7 a + p ^{3} - ( 7 a - 2 p ^{3} )}{3 p} = \frac{7 a + p ^{3} - 7 a + 2 p ^{3}}{3 p} = \frac{3 p ^{3}}{3 p} = p^{2}$

3) $\frac{5 a - b ^{4}}{6 b ^{5}} - \frac{b ^{4} + 5 a}{6 b ^{5}} = \frac{5 a - b ^{4} - ( b ^{4} + 5 a )}{6 b ^{5}} = \frac{5 a - b ^{4} - b ^{4} - 5 a}{6 b ^{5}} = \frac{- 2 b ^{4}}{6 b ^{5}} = - \frac{1}{3 b}$

4) $\frac{3 a - 4}{8 a} + \frac{4 a + 5}{8 a} - \frac{1 - a}{8 a} = \frac{3 a - 4 + 4 a + 5 - ( 1 - a )}{8 a} = \frac{7 a + 1 - 1 + a}{8 a} = \frac{8 a}{8 a} = 1$

3.7. Подайте у вигляді дробу

Щоб виконати додавання або віднімання дробів з однаковими знаменниками, необхідно додати або відняти їхні чисельники, а знаменник залишити той самий. Дуже важливо правильно розкривати дужки, особливо при відніманні, змінюючи знаки на протилежні.

1) $\frac{3 a - b}{ab} - \frac{5 b + 3 a}{ab} = \frac{3 a - b - ( 5 b + 3 a )}{ab} = \frac{3 a - b - 5 b - 3 a}{ab} = \frac{- 6 b}{ab} = - \frac{6}{a}$

2) $\frac{9 m + 2 k ^{2}}{5 k} - \frac{9 m - 3 k ^{2}}{5 k} = \frac{9 m + 2 k ^{2} - ( 9 m - 3 k ^{2} )}{5 k} = \frac{9 m + 2 k ^{2} - 9 m + 3 k ^{2}}{5 k} = \frac{5 k ^{2}}{5 k} = k$

3) $\frac{5 b - m ^{2}}{4 m ^{3}} - \frac{m ^{2} + 5 b}{4 m ^{3}} = \frac{5 b - m ^{2} - ( m ^{2} + 5 b )}{4 m ^{3}} = \frac{5 b - m ^{2} - m ^{2} - 5 b}{4 m ^{3}} = \frac{- 2 m ^{2}}{4 m ^{3}} = - \frac{1}{2 m}$

4) $\frac{4 a - 3}{6 a} + \frac{a + 8}{6 a} - \frac{5 - a}{6 a} = \frac{4 a - 3 + a + 8 - ( 5 - a )}{6 a} = \frac{5 a + 5 - 5 + a}{6 a} = \frac{6 a}{6 a} = 1$

3.8. Обчисліть значення виразу

Спочатку спростимо вираз, а потім підставимо значення a.

$\frac{7 a - 5}{4 a ^{2}} + \frac{5 + a}{4 a ^{2}} = \frac{7 a - 5 + 5 + a}{4 a ^{2}} = \frac{8 a}{4 a ^{2}} = \frac{2}{a}$

Тепер підставимо $a = \frac{1}{8}$ :

$\frac{2}{a} = \frac{2}{\frac{1}{8}} = 2 \cdot 8 = 16$

Відповідь: Оксана Баюл стала олімпійською чемпіонкою у 16 років.

3.9. Знайдіть значення виразу

Спочатку спростимо вираз, а потім підставимо значення b.

$\frac{11 b - 7}{6 b ^{2}} + \frac{7 + b}{6 b ^{2}} = \frac{11 b - 7 + 7 + b}{6 b ^{2}} = \frac{12 b}{6 b ^{2}} = \frac{2}{b}$

Тепер підставимо $b = \frac{1}{13}$ :

$\frac{2}{b} = \frac{2}{\frac{1}{13}} = 2 \cdot 13 = 26$

Відповідь: світовий рекорд Інеси Кравець протримався 26 років.

3.10. Виконайте дію

Щоб виконати дію з дробами, які мають однакові знаменники, потрібно виконати відповідну дію з чисельниками, а знаменник залишити без змін. Після цього чисельник і знаменник нового дробу потрібно, якщо можливо, скоротити. Часто для цього використовуються формули скороченого множення, наприклад, різниця квадратів $a^{2} - b^{2} = (a - b) (a + b)$ .

1) $\frac{x ^{2}}{x - 5} - \frac{25}{x - 5} = \frac{x ^{2} - 25}{x - 5} = \frac{( x - 5 ) ( x + 5 )}{x - 5} = x + 5$

2) $\frac{36}{y + 6} - \frac{y ^{2}}{y + 6} = \frac{36 - y ^{2}}{y + 6} = \frac{( 6 - y ) ( 6 + y )}{y + 6} = 6 - y$

3) $\frac{x - 3}{x ^{2} - 9} + \frac{6}{x ^{2} - 9} = \frac{x - 3 + 6}{x ^{2} - 9} = \frac{x + 3}{( x - 3 ) ( x + 3 )} = \frac{1}{x - 3}$

4) $\frac{7 a - 1}{a ^{2} - b ^{2}} - \frac{7 b - 1}{a ^{2} - b ^{2}} = \frac{7 a - 1 - ( 7 b - 1 )}{a ^{2} - b ^{2}} = \frac{7 a - 1 - 7 b + 1}{( a - b ) ( a + b )} = \frac{7 a - 7 b}{( a - b ) ( a + b )} = \frac{7 ( a - b )}{( a - b ) ( a + b )} = \frac{7}{a + b}$

5) $\frac{2 x + y}{( x - y ) ^{2}} + \frac{x - 4 y}{( x - y ) ^{2}} = \frac{2 x + y + x - 4 y}{( x - y ) ^{2}} = \frac{3 x - 3 y}{( x - y ) ^{2}} = \frac{3 ( x - y )}{( x - y ) ^{2}} = \frac{3}{x - y}$

6) $\frac{9 m + 5 n}{( m + n ) ^{2}} - \frac{m - 3 n}{( m + n ) ^{2}} = \frac{9 m + 5 n - ( m - 3 n )}{( m + n ) ^{2}} = \frac{9 m + 5 n - m + 3 n}{( m + n ) ^{2}} = \frac{8 m + 8 n}{( m + n ) ^{2}} = \frac{8 ( m + n )}{( m + n ) ^{2}} = \frac{8}{m + n}$

3.11. Спростіть вираз

Завдання аналогічне попередньому. Слід виконати дії з чисельниками, а потім скоротити отриманий дріб, розклавши чисельник та знаменник на множники.

1) $\frac{49}{7 - m} - \frac{m ^{2}}{7 - m} = \frac{49 - m ^{2}}{7 - m} = \frac{( 7 - m ) ( 7 + m )}{7 - m} = 7 + m$

2) $\frac{x + 7}{x ^{2} - 1} - \frac{6}{x ^{2} - 1} = \frac{x + 7 - 6}{x ^{2} - 1} = \frac{x + 1}{( x - 1 ) ( x + 1 )} = \frac{1}{x - 1}$

3) $\frac{5 x - 2}{x ^{2} - y ^{2}} - \frac{5 y - 2}{x ^{2} - y ^{2}} = \frac{5 x - 2 - ( 5 y - 2 )}{x ^{2} - y ^{2}} = \frac{5 x - 2 - 5 y + 2}{( x - y ) ( x + y )} = \frac{5 x - 5 y}{( x - y ) ( x + y )} = \frac{5 ( x - y )}{( x - y ) ( x + y )} = \frac{5}{x + y}$

4) $\frac{3 a - 4 b}{( a - b ) ^{2}} + \frac{2 a - b}{( a - b ) ^{2}} = \frac{3 a - 4 b + 2 a - b}{( a - b ) ^{2}} = \frac{5 a - 5 b}{( a - b ) ^{2}} = \frac{5 ( a - b )}{( a - b ) ^{2}} = \frac{5}{a - b}$

3.12. Спростіть вираз

Щоб додати або відняти дроби, знаменники яких є протилежними виразами (наприклад, x-1 та 1-x), потрібно в одному з дробів змінити знак знаменника на протилежний, одночасно змінивши знак перед цим дробом. Це дозволить звести дроби до спільного знаменника.

1) $\frac{a}{x - 1} + \frac{5}{1 - x} = \frac{a}{x - 1} - \frac{5}{x - 1} = \frac{a - 5}{x - 1}$

2) $\frac{m}{c - 3} - \frac{p}{3 - c} = \frac{m}{c - 3} - \frac{p}{- ( c - 3 )} = \frac{m}{c - 3} + \frac{p}{c - 3} = \frac{m + p}{c - 3}$

3) $\frac{5 x}{x - y} + \frac{5 y}{y - x} = \frac{5 x}{x - y} - \frac{5 y}{x - y} = \frac{5 x - 5 y}{x - y} = \frac{5 ( x - y )}{x - y} = 5$

4) $\frac{10 p}{2 p - m} + \frac{5 m}{m - 2 p} = \frac{10 p}{2 p - m} - \frac{5 m}{2 p - m} = \frac{10 p - 5 m}{2 p - m} = \frac{5 ( 2 p - m )}{2 p - m} = 5$

3.13. Виконайте дію

Застосовуємо той самий принцип, що й у попередньому завданні: змінюємо знак знаменника та знак перед дробом, щоб отримати однакові знаменники.

1) $\frac{c}{a - 2} + \frac{x}{2 - a} = \frac{c}{a - 2} - \frac{x}{a - 2} = \frac{c - x}{a - 2}$

2) $\frac{a}{x - y} - \frac{8}{y - x} = \frac{a}{x - y} + \frac{8}{x - y} = \frac{a + 8}{x - y}$

3) $\frac{2 m}{m - n} + \frac{2 n}{n - m} = \frac{2 m}{m - n} - \frac{2 n}{m - n} = \frac{2 m - 2 n}{m - n} = \frac{2 ( m - n )}{m - n} = 2$

4) $\frac{16 x}{4 x - y} + \frac{4 y}{y - 4 x} = \frac{16 x}{4 x - y} - \frac{4 y}{4 x - y} = \frac{16 x - 4 y}{4 x - y} = \frac{4 ( 4 x - y )}{4 x - y} = 4$

3.14. Виконайте дію

Спочатку виконуємо віднімання чисельників, оскільки знаменники вже однакові. Потім розкладаємо чисельник і знаменник на множники та скорочуємо дріб.

1) $\frac{m ^{2} - m}{m ^{2} + 4 m + 4} - \frac{4 - m}{m ^{2} + 4 m + 4} = \frac{m ^{2} - m - ( 4 - m )}{( m + 2 ) ^{2}} = \frac{m ^{2} - m - 4 + m}{( m + 2 ) ^{2}} = \frac{m ^{2} - 4}{( m + 2 ) ^{2}} = \frac{( m - 2 ) ( m + 2 )}{( m + 2 ) ^{2}} = \frac{m - 2}{m + 2}$

2) $\frac{9 c}{c ^{2} - 6 c} - \frac{18 + 6 c}{c ^{2} - 6 c} = \frac{9 c - ( 18 + 6 c )}{c ( c - 6 )} = \frac{9 c - 18 - 6 c}{c ( c - 6 )} = \frac{3 c - 18}{c ( c - 6 )} = \frac{3 ( c - 6 )}{c ( c - 6 )} = \frac{3}{c}$

3.15. Знайдіть різницю

Виконуємо віднімання дробів, спрощуємо чисельник, розкладаємо на множники і скорочуємо.

1) $\frac{a ^{2} + 3 a}{a ^{2} + 6 a + 9} - \frac{3 a + 9}{a ^{2} + 6 a + 9} = \frac{a ^{2} + 3 a - ( 3 a + 9 )}{( a + 3 ) ^{2}} = \frac{a ^{2} + 3 a - 3 a - 9}{( a + 3 ) ^{2}} = \frac{a ^{2} - 9}{( a + 3 ) ^{2}} = \frac{( a - 3 ) ( a + 3 )}{( a + 3 ) ^{2}} = \frac{a - 3}{a + 3}$

2) $\frac{3 m}{m ^{2} - 5 m} - \frac{m + 10}{m ^{2} - 5 m} = \frac{3 m - ( m + 10 )}{m ( m - 5 )} = \frac{3 m - m - 10}{m ( m - 5 )} = \frac{2 m - 10}{m ( m - 5 )} = \frac{2 ( m - 5 )}{m ( m - 5 )} = \frac{2}{m}$

3.16. Доведіть тотожність

Щоб довести тотожність, потрібно виконати перетворення однієї з її частин (зазвичай лівої) і звести її до вигляду іншої частини. Ми будемо зводити дроби до спільного знаменника, розкривати дужки за формулами скороченого множення $(a \pm b)^{2} = a^{2} \pm 2 ab + b^{2}$ та спрощувати вираз.

1) Перетворимо ліву частину:

$\frac{( a - b ) ^{2}}{2 ab} - \frac{( a + b ) ^{2}}{2 ab} = \frac{( a - b ) ^{2} - ( a + b ) ^{2}}{2 ab} = \frac{( a ^{2} - 2 ab + b ^{2} ) - ( a ^{2} + 2 ab + b ^{2} )}{2 ab} = \frac{a ^{2} - 2 ab + b ^{2} - a ^{2} - 2 ab - b ^{2}}{2 ab} = \frac{- 4 ab}{2 ab} = - 2$

Ліва частина дорівнює правій, тотожність доведено.

2) Перетворимо ліву частину:

$\frac{( a + b ) ^{2}}{a ^{2} + b ^{2}} + \frac{( a - b ) ^{2}}{a ^{2} + b ^{2}} = \frac{( a + b ) ^{2} + ( a - b ) ^{2}}{a ^{2} + b ^{2}} = \frac{( a ^{2} + 2 ab + b ^{2} ) + ( a ^{2} - 2 ab + b ^{2} )}{a ^{2} + b ^{2}} = \frac{2 a ^{2} + 2 b ^{2}}{a ^{2} + b ^{2}} = \frac{2 ( a ^{2} + b ^{2} )}{a ^{2} + b ^{2}} = 2$

Ліва частина дорівнює правій, тотожність доведено.

3.17. Знайдіть значення виразу

Спочатку спростимо вираз, звівши дроби до спільного знаменника. Потім підставимо числові значення змінних.

1) $\frac{m ^{2}}{2 m - 10} + \frac{25}{10 - 2 m} = \frac{m ^{2}}{2 ( m - 5 )} - \frac{25}{2 ( m - 5 )} = \frac{m ^{2} - 25}{2 ( m - 5 )} = \frac{( m - 5 ) ( m + 5 )}{2 ( m - 5 )} = \frac{m + 5}{2}$

Якщо $m = 25$ , то:

$\frac{25 + 5}{2} = \frac{30}{2} = 15$

2) $\frac{x ^{2} + 9 y ^{2}}{x - 3 y} + \frac{6 x y}{3 y - x} = \frac{x ^{2} + 9 y ^{2}}{x - 3 y} - \frac{6 x y}{x - 3 y} = \frac{x ^{2} + 9 y ^{2} - 6 x y}{x - 3 y} = \frac{( x - 3 y ) ^{2}}{x - 3 y} = x - 3 y$

Якщо $x = 2026, y = \frac{1}{3}$ , то:

$2026 - 3 \cdot \frac{1}{3} = 2026 - 1 = 2025$

3.18. Обчисліть

Спочатку спростимо алгебраїчний вираз, а потім підставимо в нього числові значення.

1) $\frac{x ^{2}}{3 x - 18} + \frac{36}{18 - 3 x} = \frac{x ^{2}}{3 ( x - 6 )} - \frac{36}{3 ( x - 6 )} = \frac{x ^{2} - 36}{3 ( x - 6 )} = \frac{( x - 6 ) ( x + 6 )}{3 ( x - 6 )} = \frac{x + 6}{3}$

Якщо $x = - 12$ , то:

$\frac{- 12 + 6}{3} = \frac{- 6}{3} = - 2$

2) $\frac{c ^{2}}{c - 5 k} - \frac{25 k ^{2} - 10 c k}{5 k - c} = \frac{c ^{2}}{c - 5 k} + \frac{25 k ^{2} - 10 c k}{c - 5 k} = \frac{c ^{2} + 25 k ^{2} - 10 c k}{c - 5 k} = \frac{( c - 5 k ) ^{2}}{c - 5 k} = c - 5 k$

Якщо $c = 199, k = 0, 2$ , то:

$199 - 5 \cdot 0, 2 = 199 - 1 = 198$

3.19. Подайте дріб у вигляді суми або різниці цілого виразу і дробу

Щоб подати дріб у вигляді суми або різниці цілого виразу і дробу, потрібно чисельник дробу розділити на знаменник. Це можна зробити, розбивши чисельник на доданки, один з яких ділиться націло на знаменник, або виконавши ділення многочленів “у стовпчик”.

1) $\frac{m + 3}{m} = \frac{m}{m} + \frac{3}{m} = 1 + \frac{3}{m}$

2) $\frac{a ^{4} + a ^{3} - 5}{a ^{2}} = \frac{a ^{4}}{a ^{2}} + \frac{a ^{3}}{a ^{2}} - \frac{5}{a ^{2}} = a^{2} + a - \frac{5}{a ^{2}}$

3) $\frac{x ^{2} + 5 x - 3}{x + 5} = \frac{x ( x + 5 ) - 3}{x + 5} = \frac{x ( x + 5 )}{x + 5} - \frac{3}{x + 5} = x - \frac{3}{x + 5}$

4) $\frac{4 a - 4 b + 7}{a - b} = \frac{4 ( a - b ) + 7}{a - b} = \frac{4 ( a - b )}{a - b} + \frac{7}{a - b} = 4 + \frac{7}{a - b}$

3.20. Подайте дріб у вигляді суми або різниці цілого виразу і дробу

Використовуємо той самий метод, що і в попередньому завданні, щоб виділити цілу частину з дробу.

1) $\frac{a - 7}{a} = \frac{a}{a} - \frac{7}{a} = 1 - \frac{7}{a}$

2) $\frac{m ^{2} - m ^{3} + 7}{m ^{2}} = \frac{m ^{2}}{m ^{2}} - \frac{m ^{3}}{m ^{2}} + \frac{7}{m ^{2}} = 1 - m + \frac{7}{m ^{2}}$

3) $\frac{y ^{2} + y + 2}{y + 1} = \frac{y ( y + 1 ) + 2}{y + 1} = \frac{y ( y + 1 )}{y + 1} + \frac{2}{y + 1} = y + \frac{2}{y + 1}$

4) $\frac{5 p - 5 q - 1}{p - q} = \frac{5 ( p - q ) - 1}{p - q} = \frac{5 ( p - q )}{p - q} - \frac{1}{p - q} = 5 - \frac{1}{p - q}$

3.21. Подайте вираз у вигляді дробу

Для виконання дій з дробами, знаменники яких є протилежними виразами, необхідно звести їх до спільного знаменника. Важливо пам’ятати, що $(a - b)^{2} = (b - a)^{2}$ , оскільки квадрат будь-якого виразу є невід’ємним. Однак для непарних степенів, наприклад $(a - b)^{3} = - (b - a)^{3}$ , знак змінюється.

1) $\frac{7 - 4 m}{( 2 - m ) ^{2}} - \frac{9 - 5 m}{( m - 2 ) ^{2}} = \frac{7 - 4 m}{( m - 2 ) ^{2}} - \frac{9 - 5 m}{( m - 2 ) ^{2}} = \frac{7 - 4 m - ( 9 - 5 m )}{( m - 2 ) ^{2}} = \frac{7 - 4 m - 9 + 5 m}{( m - 2 ) ^{2}} = \frac{m - 2}{( m - 2 ) ^{2}} = \frac{1}{m - 2}$

2) $\frac{12 a}{( 2 - a ) ^{3}} + \frac{3 a ^{2} + 12}{( a - 2 ) ^{3}} = \frac{12 a}{- ( a - 2 ) ^{3}} + \frac{3 a ^{2} + 12}{( a - 2 ) ^{3}} = \frac{- ( 12 a ) + 3 a ^{2} + 12}{( a - 2 ) ^{3}} = \frac{3 a ^{2} - 12 a + 12}{( a - 2 ) ^{3}} = \frac{3 ( a ^{2} - 4 a + 4 )}{( a - 2 ) ^{3}} = \frac{3 ( a - 2 ) ^{2}}{( a - 2 ) ^{3}} = \frac{3}{a - 2}$

3) $\frac{m ^{2} - 6 n}{( m - 2 ) ( n - 3 )} - \frac{2 ( m - 3 n )}{( 2 - m ) ( 3 - n )} = \frac{m ^{2} - 6 n}{( m - 2 ) ( n - 3 )} - \frac{2 ( m - 3 n )}{( - ( m - 2 )) ( - ( n - 3 ))} = \frac{m ^{2} - 6 n - 2 ( m - 3 n )}{( m - 2 ) ( n - 3 )} = \frac{m ^{2} - 6 n - 2 m + 6 n}{( m - 2 ) ( n - 3 )} = \frac{m ^{2} - 2 m}{( m - 2 ) ( n - 3 )} = \frac{m ( m - 2 )}{( m - 2 ) ( n - 3 )} = \frac{m}{n - 3}$

3.22. Спростіть вираз

Застосовуємо ті самі правила, що й у попередньому завданні, щоб звести дроби до спільного знаменника, а потім спростити отриманий вираз.

1) $\frac{16 - 7 a}{( 3 - a ) ^{2}} - \frac{13 - 6 a}{( a - 3 ) ^{2}} = \frac{16 - 7 a}{( a - 3 ) ^{2}} - \frac{13 - 6 a}{( a - 3 ) ^{2}} = \frac{16 - 7 a - ( 13 - 6 a )}{( a - 3 ) ^{2}} = \frac{16 - 7 a - 13 + 6 a}{( a - 3 ) ^{2}} = \frac{3 - a}{( a - 3 ) ^{2}} = \frac{- ( a - 3 )}{( a - 3 ) ^{2}} = - \frac{1}{a - 3}$

2) $\frac{15 ( 2 m - 3 )}{( 3 - m ) ^{3}} + \frac{5 m ^{2}}{( m - 3 ) ^{3}} = \frac{15 ( 2 m - 3 )}{- ( m - 3 ) ^{3}} + \frac{5 m ^{2}}{( m - 3 ) ^{3}} = \frac{- 15 ( 2 m - 3 ) + 5 m ^{2}}{( m - 3 ) ^{3}} = \frac{- 30 m + 45 + 5 m ^{2}}{( m - 3 ) ^{3}} = \frac{5 ( m ^{2} - 6 m + 9 )}{( m - 3 ) ^{3}} = \frac{5 ( m - 3 ) ^{2}}{( m - 3 ) ^{3}} = \frac{5}{m - 3}$

3) $\frac{p ^{2} - 9 q}{( p - 3 ) ( q - 4 )} - \frac{3 ( p - 3 q )}{( 3 - p ) ( 4 - q )} = \frac{p ^{2} - 9 q}{( p - 3 ) ( q - 4 )} - \frac{3 ( p - 3 q )}{( - ( p - 3 )) ( - ( q - 4 ))} = \frac{p ^{2} - 9 q - 3 ( p - 3 q )}{( p - 3 ) ( q - 4 )} = \frac{p ^{2} - 9 q - 3 p + 9 q}{( p - 3 ) ( q - 4 )} = \frac{p ( p - 3 )}{( p - 3 ) ( q - 4 )} = \frac{p}{q - 4}$

Вправи для повторення

3.23. Подайте вираз у вигляді многочлена

Щоб подати вираз у вигляді многочлена, потрібно розкрити дужки. Спочатку підносимо до квадрата вираз у дужках за формулою $(a \pm b)^{2} = a^{2} \pm 2 ab + b^{2}$ , а потім множимо отриманий многочлен на інший многочлен у дужках.

1) $(a - 1) (a + 3)^{2}$

$(a + 3)^{2} = a^{2} + 6 a + 9$

$(a - 1) (a^{2} + 6 a + 9) = a (a^{2} + 6 a + 9) - 1 (a^{2} + 6 a + 9) = a^{3} + 6 a^{2} + 9 a - a^{2} - 6 a - 9 = a^{3} + 5 a^{2} + 3 a - 9$

2) $(x - 4)^{2} (x + 2)$

$(x - 4)^{2} = x^{2} - 8 x + 16$

$(x^{2} - 8 x + 16) (x + 2) = x (x^{2} - 8 x + 16) + 2 (x^{2} - 8 x + 16) = x^{3} - 8 x^{2} + 16 x + 2 x^{2} - 16 x + 32 = x^{3} - 6 x^{2} + 32$

3.24. Скоротіть дріб

$\frac{x ^{2} + y ^{2} - z ^{2} - 2 x y}{x ^{2} - y ^{2} + z ^{2} + 2 x z}$

Щоб скоротити дріб, потрібно розкласти чисельник і знаменник на множники та скоротити однакові множники. Для цього згрупуємо доданки та застосуємо формули скороченого множення:

квадрат різниці $(a - b)^{2} = a^{2} - 2 ab + b^{2}$
квадрат суми $(a + b)^{2} = a^{2} + 2 ab + b^{2}$
різниця квадратів $a^{2} - b^{2} = (a - b) (a + b)$ .

Спочатку розкладемо на множники чисельник:

$x^{2} + y^{2} - z^{2} - 2 x y = (x^{2} - 2 x y + y^{2}) - z^{2} = (x - y)^{2} - z^{2} = (x - y - z) (x - y + z)$

Тепер розкладемо на множники знаменник:

$x^{2} - y^{2} + z^{2} + 2 x z = (x^{2} + 2 x z + z^{2}) - y^{2} = (x + z)^{2} - y^{2} = (x + z - y) (x + z + y)$

Підставимо отримані вирази у дріб і скоротимо:

$\frac{( x - y - z ) ( x - y + z )}{( x - y + z ) ( x + y + z )} = \frac{x - y - z}{x + y + z}$

Пiдготуйтеся до вивчення нового матерiалу

3.25. Обчисліть

Щоб додавати або віднімати дроби з різними знаменниками, потрібно спочатку звести їх до спільного знаменника. Спільний знаменник — це найменше спільне кратне (НСК) знаменників цих дробів.

1) $\frac{1}{7} + \frac{5}{14}$

Спільний знаменник для 7 і 14 — це 14. Домножимо перший дріб на 2:

$\frac{1 \cdot 2}{7 \cdot 2} + \frac{5}{14} = \frac{2}{14} + \frac{5}{14} = \frac{2 + 5}{14} = \frac{7}{14} = \frac{1}{2}$

2) $\frac{5}{12} - \frac{3}{16}$

НСК для 12 і 16 — це 48. Домножимо перший дріб на 4, а другий — на 3:

$\frac{5 \cdot 4}{12 \cdot 4} - \frac{3 \cdot 3}{16 \cdot 3} = \frac{20}{48} - \frac{9}{48} = \frac{20 - 9}{48} = \frac{11}{48}$

3) $\frac{1}{8} - \frac{3}{16} + \frac{7}{24}$

НСК для 8, 16 і 24 — це 48. Домножимо перший дріб на 6, другий — на 3, а третій — на 2:

$\frac{1 \cdot 6}{8 \cdot 6} - \frac{3 \cdot 3}{16 \cdot 3} + \frac{7 \cdot 2}{24 \cdot 2} = \frac{6}{48} - \frac{9}{48} + \frac{14}{48} = \frac{6 - 9 + 14}{48} = \frac{11}{48}$

3.26. Подайте одночлен $15 a^{3} b^{7}$ у вигляді добутку двох одночленів, один з яких дорівнює:

Щоб знайти другий одночлен, потрібно вихідний одночлен $15 a^{3} b^{7}$ поділити на заданий одночлен. При діленні степенів з однаковою основою їх показники віднімаються.

1) $15 a^{3} b^{7} = (3 a b^{5}) \cdot (x)$

$x = \frac{15 a ^{3} b ^{7}}{3 a b ^{5}} = 5 a^{3 - 1} b^{7 - 5} = 5 a^{2} b^{2}$

2) $15 a^{3} b^{7} = (- 5 a^{2} b^{7}) \cdot (x)$

$x = \frac{15 a ^{3} b ^{7}}{- 5 a ^{2} b ^{7}} = - 3 a^{3 - 2} b^{7 - 7} = - 3 a^{1} b^{0} = - 3 a$

3) $15 a^{3} b^{7} = (- b^{6}) \cdot (x)$

$x = \frac{15 a ^{3} b ^{7}}{- b ^{6}} = - 15 a^{3} b^{7 - 6} = - 15 a^{3} b$

4) $15 a^{3} b^{7} = (15 ab) \cdot (x)$

$x = \frac{15 a ^{3} b ^{7}}{15 ab} = a^{3 - 1} b^{7 - 1} = a^{2} b^{6}$

Життєва математика

3.27. 1) На території шкільного подвір’я росте дерево білої акації (робінія звичайна). Через 5 год після поливу вода по її стовбуру піднялася на висоту 7 м 20 см. Обчисліть швидкість переміщення води в стовбурі білої акації.

Переводимо висоту у метри:

$7, м 20, см = 7, 2, м$

Знаходимо швидкість переміщення води (шлях поділити на час):

$v = \frac{S}{t}$

$S = 7, 2, м$

$t = 5, год$

Виконуємо розрахунок:

$v = \frac{7 , 2}{5}$

$v = 1, 44, м / год$

Відповідь: $Швидкістьпереміщенняводи = \frac{7 , 2}{5} = 1, 44, м / год$

2) Практична діяльність. Користь білої акації (робінії звичайної) в житті людини та господарстві

1) Медоносна рослина — акація дає багато нектару, з якого бджоли виробляють високоякісний, прозорий мед.

2) Лікарські властивості — препарати з квітів акації використовують у народній медицині при кашлі, хворобах нирок, як заспокійливий засіб.

3) Озеленення та декор — робінія гарно квітне і використовується для озеленення міст і парків.

4) Деревина — акація має міцну деревину, яку застосовують для виробництва меблів, парканів, шпалер, в будівництві.

5) Зміцнення ґрунтів — коренева система робінії закріплює ґрунти від ерозії, використовується для озеленення схилів та укріплення берегів.

6) Кормова рослина — листя та молоді гілки використовуються як корм для худоби.

Цікаві задачі – поміркуй одначе

3.28. (Національна олімпіада Великої Британії, 1968 р.) Нехай $a_{1}, a_{2}, \dots, a_{7}$ – цілі числа, а $b_{1}, b_{2}, \dots, b_{7}$ – ті самі числа в іншому порядку. Доведіть, що число $(a_{1} - b_{1}) (a_{2} - b_{2}) \dots (a_{7} - b_{7})$ є парним.

За умовою задачі, набір чисел {b₁, b₂, …, b₇} є тим самим набором чисел, що і {a₁, a₂, …, a₇}, просто в іншому порядку. Тому суми елементів цих наборів рівні:

(a₁ + a₂ + … + a₇) = (b₁ + b₂ + … + b₇)

Отже, наша сума S дорівнює:

S = 0

Число 0 є парним.

Висновок: Припущення, що добуток є непарним, хибне. Отже, добуток (a₁ − b₁)(a₂ − b₂) … (a₇ − b₇) є парним числом, що й потрібно було довести.