Розв’яжіть задачі та виконайте вправи
3.1. Виконайте дію (усно)
Щоб додати або відняти дроби з однаковими знаменниками, потрібно виконати відповідну дію з їхніми чисельниками, а знаменник залишити той самий.
- $\dfrac{a}{5} + \dfrac{b}{5} = \dfrac{a+b}{5}$
- $\dfrac{x}{9} – \dfrac{y}{9} = \dfrac{x-y}{9}$
- $\dfrac{2}{a} + \dfrac{3}{a} = \dfrac{2+3}{a} = \dfrac{5}{a}$
- $\dfrac{7}{b} – \dfrac{5}{b} = \dfrac{7-5}{b} = \dfrac{2}{b}$
3.2. Знайдіть суму або різницю
Правило таке ж, як у попередньому завданні. Додаємо або віднімаємо чисельники, а знаменник залишаємо без змін.
- $\dfrac{2x}{5} + \dfrac{x}{5} = \dfrac{2x+x}{5} = \dfrac{3x}{5}$
- $\dfrac{7y}{3} – \dfrac{2y}{3} = \dfrac{7y-2y}{3} = \dfrac{5y}{3}$
- $\dfrac{a+b}{x} – \dfrac{a}{x} = \dfrac{a+b-a}{x} = \dfrac{b}{x}$
- $\dfrac{7x^2}{y} + \dfrac{5x^2}{y} = \dfrac{7x^2+5x^2}{y} = \dfrac{12x^2}{y}$
3.3. Виконайте дію
Продовжуємо використовувати правило додавання та віднімання дробів з однаковими знаменниками.
- $\dfrac{3m}{8} + \dfrac{2m}{8} = \dfrac{3m+2m}{8} = \dfrac{5m}{8}$
- $\dfrac{9p}{17} – \dfrac{p}{17} = \dfrac{9p-p}{17} = \dfrac{8p}{17}$
- $\dfrac{x-y}{m} + \dfrac{y}{m} = \dfrac{x-y+y}{m} = \dfrac{x}{m}$
- $\dfrac{5c^2}{n} – \dfrac{2c^2}{n} = \dfrac{5c^2-2c^2}{n} = \dfrac{3c^2}{n}$
3.4. Подайте у вигляді дробу
Тут, окрім додавання та віднімання, потрібно ще й спростити отриманий дріб, скоротивши спільні множники в чисельнику та знаменнику.
- $\dfrac{7a}{4x} – \dfrac{3a}{4x} = \dfrac{7a-3a}{4x} = \dfrac{4a}{4x} = \dfrac{a}{x}$
- $\dfrac{x+y}{8} – \dfrac{x-3y}{8} = \dfrac{x+y-(x-3y)}{8} = \dfrac{x+y-x+3y}{8} = \dfrac{4y}{8} = \dfrac{y}{2}$
- $\dfrac{a+4}{9} + \dfrac{5-a}{9} = \dfrac{a+4+5-a}{9} = \dfrac{9}{9} = 1$
- $\dfrac{x+3y}{10} + \dfrac{4x+7y}{10} = \dfrac{x+3y+4x+7y}{10} = \dfrac{5x+10y}{10} = \dfrac{5(x+2y)}{10} = \dfrac{x+2y}{2}$
- $\dfrac{5m-2}{8m} – \dfrac{m-10}{8m} = \dfrac{5m-2-(m-10)}{8m} = \dfrac{5m-2-m+10}{8m} = \dfrac{4m+8}{8m} = \dfrac{4(m+2)}{8m} = \dfrac{m+2}{2m}$
- $\dfrac{7a+13}{6a} + \dfrac{17-a}{6a} = \dfrac{7a+13+17-a}{6a} = \dfrac{6a+30}{6a} = \dfrac{6(a+5)}{6a} = \dfrac{a+5}{a}$
3.5. Спростіть вираз
Щоб виконати додавання або віднімання дробів з однаковими знаменниками, потрібно виконати відповідну дію з їхніми чисельниками, а знаменник залишити без змін. Після цього, якщо можливо, слід спростити отриманий вираз.
- $\dfrac{5x}{2a} + \dfrac{3x}{2a} = \dfrac{5x+3x}{2a} = \dfrac{8x}{2a} = \dfrac{4x}{a}$
- $\dfrac{a+b}{12} – \dfrac{a-5b}{12} = \dfrac{a+b-(a-5b)}{12} = \dfrac{a+b-a+5b}{12} = \dfrac{6b}{12} = \dfrac{b}{2}$
- $\dfrac{b-3}{5} + \dfrac{13-b}{5} = \dfrac{b-3+13-b}{5} = \dfrac{10}{5} = 2$
- $\dfrac{a+2b}{8} + \dfrac{3a+6b}{8} = \dfrac{a+2b+3a+6b}{8} = \dfrac{4a+8b}{8} = \dfrac{4(a+2b)}{8} = \dfrac{a+2b}{2}$
- $\dfrac{6m-3}{10m} – \dfrac{m-13}{10m} = \dfrac{6m-3-(m-13)}{10m} = \dfrac{6m-3-m+13}{10m} = \dfrac{5m+10}{10m} = \dfrac{5(m+2)}{10m} = \dfrac{m+2}{2m}$
- $\dfrac{5x-3}{4x} + \dfrac{11-x}{4x} = \dfrac{5x-3+11-x}{4x} = \dfrac{4x+8}{4x} = \dfrac{4(x+2)}{4x} = \dfrac{x+2}{x}$
3.6. Спростіть вираз
Застосовуємо те ж правило: виконуємо дії з чисельниками, залишаючи знаменник спільним. Особливу увагу приділяємо знакам при розкритті дужок після віднімання.
- $\dfrac{3x-7y}{4xy} + \dfrac{15y-3x}{4xy} = \dfrac{3x-7y+15y-3x}{4xy} = \dfrac{8y}{4xy} = \dfrac{2}{x}$
- $\dfrac{7a+p^3}{3p} – \dfrac{7a-2p^3}{3p} = \dfrac{7a+p^3-(7a-2p^3)}{3p} = \dfrac{7a+p^3-7a+2p^3}{3p} = \dfrac{3p^3}{3p} = p^2$
- $\dfrac{5a-b^4}{6b^5} – \dfrac{b^4+5a}{6b^5} = \dfrac{5a-b^4-(b^4+5a)}{6b^5} = \dfrac{5a-b^4-b^4-5a}{6b^5} = \dfrac{-2b^4}{6b^5} = -\dfrac{1}{3b}$
- $\dfrac{3a-4}{8a} + \dfrac{4a+5}{8a} – \dfrac{1-a}{8a} = \dfrac{3a-4+4a+5-(1-a)}{8a} = \dfrac{7a+1-1+a}{8a} = \dfrac{8a}{8a} = 1$
3.7. Подайте у вигляді дробу
Щоб виконати додавання або віднімання дробів з однаковими знаменниками, необхідно додати або відняти їхні чисельники, а знаменник залишити той самий. Дуже важливо правильно розкривати дужки, особливо при відніманні, змінюючи знаки на протилежні.
- $\dfrac{3a-b}{ab} – \dfrac{5b+3a}{ab} = \dfrac{3a-b-(5b+3a)}{ab} = \dfrac{3a-b-5b-3a}{ab} = \dfrac{-6b}{ab} = -\dfrac{6}{a}$
- $\dfrac{9m+2k^2}{5k} – \dfrac{9m-3k^2}{5k} = \dfrac{9m+2k^2-(9m-3k^2)}{5k} = \dfrac{9m+2k^2-9m+3k^2}{5k} = \dfrac{5k^2}{5k} = k$
- $\dfrac{5b-m^2}{4m^3} – \dfrac{m^2+5b}{4m^3} = \dfrac{5b-m^2-(m^2+5b)}{4m^3} = \dfrac{5b-m^2-m^2-5b}{4m^3} = \dfrac{-2m^2}{4m^3} = -\dfrac{1}{2m}$
- $\dfrac{4a-3}{6a} + \dfrac{a+8}{6a} – \dfrac{5-a}{6a} = \dfrac{4a-3+a+8-(5-a)}{6a} = \dfrac{5a+5-5+a}{6a} = \dfrac{6a}{6a} = 1$
3.8. Обчисліть значення виразу
Спочатку спростимо вираз, а потім підставимо значення a.
$\dfrac{7a-5}{4a^2} + \dfrac{5+a}{4a^2} = \dfrac{7a-5+5+a}{4a^2} = \dfrac{8a}{4a^2} = \dfrac{2}{a}$
Тепер підставимо $a = \dfrac{1}{8}$:
$\dfrac{2}{a} = \dfrac{2}{\frac{1}{8}} = 2 \cdot 8 = 16$
Відповідь: Оксана Баюл стала олімпійською чемпіонкою у 16 років.
3.9. Знайдіть значення виразу
Спочатку спростимо вираз, а потім підставимо значення b.
$\dfrac{11b-7}{6b^2} + \dfrac{7+b}{6b^2} = \dfrac{11b-7+7+b}{6b^2} = \dfrac{12b}{6b^2} = \dfrac{2}{b}$
Тепер підставимо $b = \dfrac{1}{13}$:
$\dfrac{2}{b} = \dfrac{2}{\frac{1}{13}} = 2 \cdot 13 = 26$
Відповідь: світовий рекорд Інеси Кравець протримався 26 років.
3.10. Виконайте дію
Щоб виконати дію з дробами, які мають однакові знаменники, потрібно виконати відповідну дію з чисельниками, а знаменник залишити без змін. Після цього чисельник і знаменник нового дробу потрібно, якщо можливо, скоротити. Часто для цього використовуються формули скороченого множення, наприклад, різниця квадратів $a^2-b^2=(a-b)(a+b)$.
- $\dfrac{x^2}{x-5} – \dfrac{25}{x-5} = \dfrac{x^2-25}{x-5} = \dfrac{(x-5)(x+5)}{x-5} = x+5$
- $\dfrac{36}{y+6} – \dfrac{y^2}{y+6} = \dfrac{36-y^2}{y+6} = \dfrac{(6-y)(6+y)}{y+6} = 6-y$
- $\dfrac{x-3}{x^2-9} + \dfrac{6}{x^2-9} = \dfrac{x-3+6}{x^2-9} = \dfrac{x+3}{(x-3)(x+3)} = \dfrac{1}{x-3}$
- $\dfrac{7a-1}{a^2-b^2} – \dfrac{7b-1}{a^2-b^2} = \dfrac{7a-1-(7b-1)}{a^2-b^2} = \dfrac{7a-1-7b+1}{(a-b)(a+b)} = \dfrac{7a-7b}{(a-b)(a+b)} = \dfrac{7(a-b)}{(a-b)(a+b)} = \dfrac{7}{a+b}$
- $\dfrac{2x+y}{(x-y)^2} + \dfrac{x-4y}{(x-y)^2} = \dfrac{2x+y+x-4y}{(x-y)^2} = \dfrac{3x-3y}{(x-y)^2} = \dfrac{3(x-y)}{(x-y)^2} = \dfrac{3}{x-y}$
- $\dfrac{9m+5n}{(m+n)^2} – \dfrac{m-3n}{(m+n)^2} = \dfrac{9m+5n-(m-3n)}{(m+n)^2} = \dfrac{9m+5n-m+3n}{(m+n)^2} = \dfrac{8m+8n}{(m+n)^2} = \dfrac{8(m+n)}{(m+n)^2} = \dfrac{8}{m+n}$
3.11. Спростіть вираз
Завдання аналогічне попередньому. Слід виконати дії з чисельниками, а потім скоротити отриманий дріб, розклавши чисельник та знаменник на множники.
- $\dfrac{49}{7-m} – \dfrac{m^2}{7-m} = \dfrac{49-m^2}{7-m} = \dfrac{(7-m)(7+m)}{7-m} = 7+m$
- $\dfrac{x+7}{x^2-1} – \dfrac{6}{x^2-1} = \dfrac{x+7-6}{x^2-1} = \dfrac{x+1}{(x-1)(x+1)} = \dfrac{1}{x-1}$
- $\dfrac{5x-2}{x^2-y^2} – \dfrac{5y-2}{x^2-y^2} = \dfrac{5x-2-(5y-2)}{x^2-y^2} = \dfrac{5x-2-5y+2}{(x-y)(x+y)} = \dfrac{5x-5y}{(x-y)(x+y)} = \dfrac{5(x-y)}{(x-y)(x+y)} = \dfrac{5}{x+y}$
- $\dfrac{3a-4b}{(a-b)^2} + \dfrac{2a-b}{(a-b)^2} = \dfrac{3a-4b+2a-b}{(a-b)^2} = \dfrac{5a-5b}{(a-b)^2} = \dfrac{5(a-b)}{(a-b)^2} = \dfrac{5}{a-b}$
3.12. Спростіть вираз
Щоб додати або відняти дроби, знаменники яких є протилежними виразами (наприклад, x-1 та 1-x), потрібно в одному з дробів змінити знак знаменника на протилежний, одночасно змінивши знак перед цим дробом. Це дозволить звести дроби до спільного знаменника.
- $\dfrac{a}{x-1} + \dfrac{5}{1-x} = \dfrac{a}{x-1} – \dfrac{5}{x-1} = \dfrac{a-5}{x-1}$
- $\dfrac{m}{c-3} – \dfrac{p}{3-c} = \dfrac{m}{c-3} – \dfrac{p}{-(c-3)} = \dfrac{m}{c-3} + \dfrac{p}{c-3} = \dfrac{m+p}{c-3}$
- $\dfrac{5x}{x-y} + \dfrac{5y}{y-x} = \dfrac{5x}{x-y} – \dfrac{5y}{x-y} = \dfrac{5x-5y}{x-y} = \dfrac{5(x-y)}{x-y} = 5$
- $\dfrac{10p}{2p-m} + \dfrac{5m}{m-2p} = \dfrac{10p}{2p-m} – \dfrac{5m}{2p-m} = \dfrac{10p-5m}{2p-m} = \dfrac{5(2p-m)}{2p-m} = 5$
3.13. Виконайте дію
Застосовуємо той самий принцип, що й у попередньому завданні: змінюємо знак знаменника та знак перед дробом, щоб отримати однакові знаменники.
- $\dfrac{c}{a-2} + \dfrac{x}{2-a} = \dfrac{c}{a-2} – \dfrac{x}{a-2} = \dfrac{c-x}{a-2}$
- $\dfrac{a}{x-y} – \dfrac{8}{y-x} = \dfrac{a}{x-y} + \dfrac{8}{x-y} = \dfrac{a+8}{x-y}$
- $\dfrac{2m}{m-n} + \dfrac{2n}{n-m} = \dfrac{2m}{m-n} – \dfrac{2n}{m-n} = \dfrac{2m-2n}{m-n} = \dfrac{2(m-n)}{m-n} = 2$
- $\dfrac{16x}{4x-y} + \dfrac{4y}{y-4x} = \dfrac{16x}{4x-y} – \dfrac{4y}{4x-y} = \dfrac{16x-4y}{4x-y} = \dfrac{4(4x-y)}{4x-y} = 4$
3.14. Виконайте дію
Спочатку виконуємо віднімання чисельників, оскільки знаменники вже однакові. Потім розкладаємо чисельник і знаменник на множники та скорочуємо дріб.
- $\dfrac{m^2-m}{m^2+4m+4} – \dfrac{4-m}{m^2+4m+4} = \dfrac{m^2-m-(4-m)}{(m+2)^2} = \dfrac{m^2-m-4+m}{(m+2)^2} = \dfrac{m^2-4}{(m+2)^2} = \dfrac{(m-2)(m+2)}{(m+2)^2} = \dfrac{m-2}{m+2}$
- $\dfrac{9c}{c^2-6c} – \dfrac{18+6c}{c^2-6c} = \dfrac{9c-(18+6c)}{c(c-6)} = \dfrac{9c-18-6c}{c(c-6)} = \dfrac{3c-18}{c(c-6)} = \dfrac{3(c-6)}{c(c-6)} = \dfrac{3}{c}$
3.15. Знайдіть різницю
Виконуємо віднімання дробів, спрощуємо чисельник, розкладаємо на множники і скорочуємо.
- $\dfrac{a^2+3a}{a^2+6a+9} – \dfrac{3a+9}{a^2+6a+9} = \dfrac{a^2+3a-(3a+9)}{(a+3)^2} = \dfrac{a^2+3a-3a-9}{(a+3)^2} = \dfrac{a^2-9}{(a+3)^2} = \dfrac{(a-3)(a+3)}{(a+3)^2} = \dfrac{a-3}{a+3}$
- $\dfrac{3m}{m^2-5m} – \dfrac{m+10}{m^2-5m} = \dfrac{3m-(m+10)}{m(m-5)} = \dfrac{3m-m-10}{m(m-5)} = \dfrac{2m-10}{m(m-5)} = \dfrac{2(m-5)}{m(m-5)} = \dfrac{2}{m}$
3.16. Доведіть тотожність
Щоб довести тотожність, потрібно виконати перетворення однієї з її частин (зазвичай лівої) і звести її до вигляду іншої частини. Ми будемо зводити дроби до спільного знаменника, розкривати дужки за формулами скороченого множення $(a \pm b)^2 = a^2 \pm 2ab + b^2$ та спрощувати вираз.
- Перетворимо ліву частину:
$\dfrac{(a-b)^2}{2ab} – \dfrac{(a+b)^2}{2ab} = \dfrac{(a-b)^2-(a+b)^2}{2ab} = \dfrac{(a^2-2ab+b^2)-(a^2+2ab+b^2)}{2ab} = \dfrac{a^2-2ab+b^2-a^2-2ab-b^2}{2ab} = \dfrac{-4ab}{2ab} = -2$
Ліва частина дорівнює правій, тотожність доведено.
- Перетворимо ліву частину:
$\dfrac{(a+b)^2}{a^2+b^2} + \dfrac{(a-b)^2}{a^2+b^2} = \dfrac{(a+b)^2 + (a-b)^2}{a^2+b^2} = \dfrac{(a^2+2ab+b^2) + (a^2-2ab+b^2)}{a^2+b^2} = \dfrac{2a^2+2b^2}{a^2+b^2} = \dfrac{2(a^2+b^2)}{a^2+b^2} = 2$
Ліва частина дорівнює правій, тотожність доведено.
3.17. Знайдіть значення виразу
Спочатку спростимо вираз, звівши дроби до спільного знаменника. Потім підставимо числові значення змінних.
- $\dfrac{m^2}{2m-10} + \dfrac{25}{10-2m} = \dfrac{m^2}{2(m-5)} – \dfrac{25}{2(m-5)} = \dfrac{m^2-25}{2(m-5)} = \dfrac{(m-5)(m+5)}{2(m-5)} = \dfrac{m+5}{2}$
Якщо $m=25$, то:
$\dfrac{25+5}{2} = \dfrac{30}{2} = 15$
- $\dfrac{x^2+9y^2}{x-3y} + \dfrac{6xy}{3y-x} = \dfrac{x^2+9y^2}{x-3y} – \dfrac{6xy}{x-3y} = \dfrac{x^2+9y^2-6xy}{x-3y} = \dfrac{(x-3y)^2}{x-3y} = x-3y$
Якщо $x=2026, y=\dfrac{1}{3}$, то:
$2026 – 3 \cdot \dfrac{1}{3} = 2026-1 = 2025$
3.18. Обчисліть
Спочатку спростимо алгебраїчний вираз, а потім підставимо в нього числові значення.
- $\dfrac{x^2}{3x-18} + \dfrac{36}{18-3x} = \dfrac{x^2}{3(x-6)} – \dfrac{36}{3(x-6)} = \dfrac{x^2-36}{3(x-6)} = \dfrac{(x-6)(x+6)}{3(x-6)} = \dfrac{x+6}{3}$
Якщо $x=-12$, то:
$\dfrac{-12+6}{3} = \dfrac{-6}{3} = -2$
- $\dfrac{c^2}{c-5k} – \dfrac{25k^2-10ck}{5k-c} = \dfrac{c^2}{c-5k} + \dfrac{25k^2-10ck}{c-5k} = \dfrac{c^2+25k^2-10ck}{c-5k} = \dfrac{(c-5k)^2}{c-5k} = c-5k$
Якщо $c=199, k=0,2$, то:
$199 – 5 \cdot 0,2 = 199-1 = 198$
3.19. Подайте дріб у вигляді суми або різниці цілого виразу і дробу
Щоб подати дріб у вигляді суми або різниці цілого виразу і дробу, потрібно чисельник дробу розділити на знаменник. Це можна зробити, розбивши чисельник на доданки, один з яких ділиться націло на знаменник, або виконавши ділення многочленів “у стовпчик”.
- $\dfrac{m+3}{m} = \dfrac{m}{m} + \dfrac{3}{m} = 1 + \dfrac{3}{m}$
- $\dfrac{a^4+a^3-5}{a^2} = \dfrac{a^4}{a^2} + \dfrac{a^3}{a^2} – \dfrac{5}{a^2} = a^2+a-\dfrac{5}{a^2}$
- $\dfrac{x^2+5x-3}{x+5} = \dfrac{x(x+5)-3}{x+5} = \dfrac{x(x+5)}{x+5} – \dfrac{3}{x+5} = x – \dfrac{3}{x+5}$
- $\dfrac{4a-4b+7}{a-b} = \dfrac{4(a-b)+7}{a-b} = \dfrac{4(a-b)}{a-b} + \dfrac{7}{a-b} = 4 + \dfrac{7}{a-b}$
3.20. Подайте дріб у вигляді суми або різниці цілого виразу і дробу
Використовуємо той самий метод, що і в попередньому завданні, щоб виділити цілу частину з дробу.
- $\dfrac{a-7}{a} = \dfrac{a}{a} – \dfrac{7}{a} = 1 – \dfrac{7}{a}$
- $\dfrac{m^2-m^3+7}{m^2} = \dfrac{m^2}{m^2} – \dfrac{m^3}{m^2} + \dfrac{7}{m^2} = 1-m+\dfrac{7}{m^2}$
- $\dfrac{y^2+y+2}{y+1} = \dfrac{y(y+1)+2}{y+1} = \dfrac{y(y+1)}{y+1} + \dfrac{2}{y+1} = y + \dfrac{2}{y+1}$
- $\dfrac{5p-5q-1}{p-q} = \dfrac{5(p-q)-1}{p-q} = \dfrac{5(p-q)}{p-q} – \dfrac{1}{p-q} = 5 – \dfrac{1}{p-q}$
3.21. Подайте вираз у вигляді дробу
Для виконання дій з дробами, знаменники яких є протилежними виразами, необхідно звести їх до спільного знаменника. Важливо пам’ятати, що $(a-b)^2 = (b-a)^2$, оскільки квадрат будь-якого виразу є невід’ємним. Однак для непарних степенів, наприклад $(a-b)^3 = -(b-a)^3$, знак змінюється.
- $\dfrac{7-4m}{(2-m)^2} – \dfrac{9-5m}{(m-2)^2} = \dfrac{7-4m}{(m-2)^2} – \dfrac{9-5m}{(m-2)^2} = \dfrac{7-4m-(9-5m)}{(m-2)^2} = \dfrac{7-4m-9+5m}{(m-2)^2} = \dfrac{m-2}{(m-2)^2} = \dfrac{1}{m-2}$
- $\dfrac{12a}{(2-a)^3} + \dfrac{3a^2+12}{(a-2)^3} = \dfrac{12a}{-(a-2)^3} + \dfrac{3a^2+12}{(a-2)^3} = \dfrac{-(12a) + 3a^2+12}{(a-2)^3} = \dfrac{3a^2-12a+12}{(a-2)^3} = \dfrac{3(a^2-4a+4)}{(a-2)^3} = \dfrac{3(a-2)^2}{(a-2)^3} = \dfrac{3}{a-2}$
- $\dfrac{m^2-6n}{(m-2)(n-3)} – \dfrac{2(m-3n)}{(2-m)(3-n)} = \dfrac{m^2-6n}{(m-2)(n-3)} – \dfrac{2(m-3n)}{(-(m-2))(-(n-3))} = \dfrac{m^2-6n – 2(m-3n)}{(m-2)(n-3)} = \dfrac{m^2-6n-2m+6n}{(m-2)(n-3)} = \dfrac{m^2-2m}{(m-2)(n-3)} = \dfrac{m(m-2)}{(m-2)(n-3)} = \dfrac{m}{n-3}$
3.22. Спростіть вираз
Застосовуємо ті самі правила, що й у попередньому завданні, щоб звести дроби до спільного знаменника, а потім спростити отриманий вираз.
- $\dfrac{16-7a}{(3-a)^2} – \dfrac{13-6a}{(a-3)^2} = \dfrac{16-7a}{(a-3)^2} – \dfrac{13-6a}{(a-3)^2} = \dfrac{16-7a-(13-6a)}{(a-3)^2} = \dfrac{16-7a-13+6a}{(a-3)^2} = \dfrac{3-a}{(a-3)^2} = \dfrac{-(a-3)}{(a-3)^2} = -\dfrac{1}{a-3}$
- $\dfrac{15(2m-3)}{(3-m)^3} + \dfrac{5m^2}{(m-3)^3} = \dfrac{15(2m-3)}{-(m-3)^3} + \dfrac{5m^2}{(m-3)^3} = \dfrac{-15(2m-3)+5m^2}{(m-3)^3} = \dfrac{-30m+45+5m^2}{(m-3)^3} = \dfrac{5(m^2-6m+9)}{(m-3)^3} = \dfrac{5(m-3)^2}{(m-3)^3} = \dfrac{5}{m-3}$
- $\dfrac{p^2-9q}{(p-3)(q-4)} – \dfrac{3(p-3q)}{(3-p)(4-q)} = \dfrac{p^2-9q}{(p-3)(q-4)} – \dfrac{3(p-3q)}{(-(p-3))(-(q-4))} = \dfrac{p^2-9q-3(p-3q)}{(p-3)(q-4)} = \dfrac{p^2-9q-3p+9q}{(p-3)(q-4)} = \dfrac{p(p-3)}{(p-3)(q-4)} = \dfrac{p}{q-4}$
Вправи для повторення
3.23. Подайте вираз у вигляді многочлена
Щоб подати вираз у вигляді многочлена, потрібно розкрити дужки. Спочатку підносимо до квадрата вираз у дужках за формулою $(a \pm b)^2 = a^2 \pm 2ab + b^2$, а потім множимо отриманий многочлен на інший многочлен у дужках.
- $(a-1)(a+3)^2$
$(a+3)^2 = a^2+6a+9$
$(a-1)(a^2+6a+9) = a(a^2+6a+9)-1(a^2+6a+9) = a^3+6a^2+9a-a^2-6a-9 = a^3+5a^2+3a-9$
- $(x-4)^2(x+2)$
$(x-4)^2 = x^2-8x+16$
$(x^2-8x+16)(x+2) = x(x^2-8x+16) + 2(x^2-8x+16) = x^3-8x^2+16x + 2x^2-16x+32 = x^3-6x^2+32$
3.24. Скоротіть дріб
$\dfrac{x^2+y^2-z^2-2xy}{x^2-y^2+z^2+2xz}$
Щоб скоротити дріб, потрібно розкласти чисельник і знаменник на множники та скоротити однакові множники. Для цього згрупуємо доданки та застосуємо формули скороченого множення:
- квадрат різниці $(a-b)^2 = a^2-2ab+b^2$
- квадрат суми $(a+b)^2 = a^2+2ab+b^2$
- різниця квадратів $a^2-b^2 = (a-b)(a+b)$.
Спочатку розкладемо на множники чисельник:
$x^2+y^2-z^2-2xy = (x^2-2xy+y^2)-z^2 = (x-y)^2-z^2 = (x-y-z)(x-y+z)$
Тепер розкладемо на множники знаменник:
$x^2-y^2+z^2+2xz = (x^2+2xz+z^2)-y^2 = (x+z)^2-y^2 = (x+z-y)(x+z+y)$
Підставимо отримані вирази у дріб і скоротимо:
$\dfrac{(x-y-z)(x-y+z)}{(x-y+z)(x+y+z)} = \dfrac{x-y-z}{x+y+z}$
Пiдготуйтеся до вивчення нового матерiалу
3.25. Обчисліть
Щоб додавати або віднімати дроби з різними знаменниками, потрібно спочатку звести їх до спільного знаменника. Спільний знаменник — це найменше спільне кратне (НСК) знаменників цих дробів.
- $\dfrac{1}{7} + \dfrac{5}{14}$
Спільний знаменник для 7 і 14 — це 14. Домножимо перший дріб на 2:
$\dfrac{1 \cdot 2}{7 \cdot 2} + \dfrac{5}{14} = \dfrac{2}{14} + \dfrac{5}{14} = \dfrac{2+5}{14} = \dfrac{7}{14} = \dfrac{1}{2}$
- $\dfrac{5}{12} – \dfrac{3}{16}$
НСК для 12 і 16 — це 48. Домножимо перший дріб на 4, а другий — на 3:
$\dfrac{5 \cdot 4}{12 \cdot 4} – \dfrac{3 \cdot 3}{16 \cdot 3} = \dfrac{20}{48} – \dfrac{9}{48} = \dfrac{20-9}{48} = \dfrac{11}{48}$
- $\dfrac{1}{8} – \dfrac{3}{16} + \dfrac{7}{24}$
НСК для 8, 16 і 24 — це 48. Домножимо перший дріб на 6, другий — на 3, а третій — на 2:
$\dfrac{1 \cdot 6}{8 \cdot 6} – \dfrac{3 \cdot 3}{16 \cdot 3} + \dfrac{7 \cdot 2}{24 \cdot 2} = \dfrac{6}{48} – \dfrac{9}{48} + \dfrac{14}{48} = \dfrac{6-9+14}{48} = \dfrac{11}{48}$
3.26. Подайте одночлен $15a^3b^7$ у вигляді добутку двох одночленів, один з яких дорівнює:
Щоб знайти другий одночлен, потрібно вихідний одночлен $15a^3b^7$ поділити на заданий одночлен. При діленні степенів з однаковою основою їх показники віднімаються.
- $15a^3b^7 = (3ab^5) \cdot (x)$
$x = \dfrac{15a^3b^7}{3ab^5} = 5a^{3-1}b^{7-5} = 5a^2b^2$
- $15a^3b^7 = (-5a^2b^7) \cdot (x)$
$x = \dfrac{15a^3b^7}{-5a^2b^7} = -3a^{3-2}b^{7-7} = -3a^1b^0 = -3a$
- $15a^3b^7 = (-b^6) \cdot (x)$
$x = \dfrac{15a^3b^7}{-b^6} = -15a^3b^{7-6} = -15a^3b$
- $15a^3b^7 = (15ab) \cdot (x)$
$x = \dfrac{15a^3b^7}{15ab} = a^{3-1}b^{7-1} = a^2b^6$
Життєва математика
3.27. 1) На території шкільного подвір’я росте дерево білої акації (робінія звичайна). Через 5 год після поливу вода по її стовбуру піднялася на висоту 7 м 20 см. Обчисліть швидкість переміщення води в стовбурі білої акації.
Переводимо висоту у метри:
$7,\text{м}\ 20,\text{см} = 7{,}2,\text{м}$
Знаходимо швидкість переміщення води (шлях поділити на час):
$v = \dfrac{S}{t}$
$S = 7{,}2,\text{м}$
$t = 5,\text{год}$
Виконуємо розрахунок:
$v = \dfrac{7{,}2}{5}$
$v = 1{,}44,\text{м/год}$
Відповідь: $Швидкість переміщення води = \dfrac{7{,}2}{5} = 1{,}44,\text{м/год}$
2) Практична діяльність. Користь білої акації (робінії звичайної) в житті людини та господарстві
- Медоносна рослина — акація дає багато нектару, з якого бджоли виробляють високоякісний, прозорий мед.
- Лікарські властивості — препарати з квітів акації використовують у народній медицині при кашлі, хворобах нирок, як заспокійливий засіб.
- Озеленення та декор — робінія гарно квітне і використовується для озеленення міст і парків.
- Деревина — акація має міцну деревину, яку застосовують для виробництва меблів, парканів, шпалер, в будівництві.
- Зміцнення ґрунтів — коренева система робінії закріплює ґрунти від ерозії, використовується для озеленення схилів та укріплення берегів.
- Кормова рослина — листя та молоді гілки використовуються як корм для худоби.
Цікаві задачі – поміркуй одначе
3.28. (Національна олімпіада Великої Британії, 1968 р.) Нехай $a_1, a_2, …, a_7$ – цілі числа, а $b_1, b_2, …, b_7$ – ті самі числа в іншому порядку. Доведіть, що число $(a_1-b_1)(a_2-b_2)…(a_7-b_7)$ є парним.
За умовою задачі, набір чисел {b₁, b₂, …, b₇} є тим самим набором чисел, що і {a₁, a₂, …, a₇}, просто в іншому порядку. Тому суми елементів цих наборів рівні:
(a₁ + a₂ + … + a₇) = (b₁ + b₂ + … + b₇)
Отже, наша сума S дорівнює:
S = 0
Число 0 є парним.
Висновок: Припущення, що добуток є непарним, хибне. Отже, добуток (a₁ − b₁)(a₂ − b₂) … (a₇ − b₇) є парним числом, що й потрібно було довести.