§8. Раціональні рівняння

Назад до змісту

Розв’яжіть задачі та виконайте вправи

8.1. (Усно.) Назвіть цілі раціональні рівняння, дробові раціональні рівняння:

Цілі раціональні рівняння (не мають змінної у знаменнику): 2, 3.

Дробові раціональні рівняння (мають змінну у знаменнику): 1, 4.

1) $\frac{2}{x}+\frac{x}{3}=1$ (дробове)

2) $x^2-2x(x+3)=x-7$ (ціле)

3) $\frac{x+2}{4}-\frac{x-3}{8}=15$ (ціле)

4) $\frac{4}{x+2}-\frac{8}{x-3}=15$ (дробове)

8.2. Чи є число 1 коренем рівняння:

1) $\frac{x}{x+2}=0$. Підставляємо $x=1$:$\frac{1}{1+2}=\frac{1}{3}\ne 0$. Відповідь: ні.

2) $\frac{x-1}{x+2}=0$. Підставляємо $x=1$:$\frac{1-1}{1+2}=\frac{0}{3}=0$. Відповідь: так.

3) $\frac{x}{x-1}=0$. Підставляємо $x=1$:$\frac{1}{1-1}=\frac{1}{0}$. Ділення на нуль неможливе. Відповідь: ні.

4) $\frac{x^2-1}{x}=0$. Підставляємо $x=1$:$\frac{1^2-1}{1}=\frac{1-1}{1}=\frac{0}{1}=0$. Відповідь: так.

8.3. Чи є число 2 коренем рівняння:

1) $\frac{x-2}{x+3}=0$. Підставляємо $x=2$:$\frac{2-2}{2+3}=\frac{0}{5}=0$. Відповідь: так.

2) $\frac{x}{x+3}=0$. Підставляємо $x=2$:$\frac{2}{2+3}=\frac{2}{5}\ne 0$. Відповідь: ні.

3) $\frac{x}{x-2}=0$. Підставляємо $x=2$:$\frac{2}{2-2}=\frac{2}{0}$. Ділення на нуль неможливе. Відповідь: ні.

4) $\frac{4-x^2}{x+1}=0$. Підставляємо $x=2$:$\frac{4-2^2}{2+1}=\frac{4-4}{3}=\frac{0}{3}=0$. Відповідь: так.

8.4. Розв’яжіть рівняння:

Дріб дорівнює нулю, коли чисельник дорівнює нулю, а знаменник не дорівнює нулю.

1) $\frac{x}{x-2}=0$

$x=0$

Перевірка знаменника:

$x-2=0-2=-2\ne 0$.

Відповідь: $x=0$.

2) $\frac{x-3}{x}=0$

$x-3=0$

$x=3$

Перевірка знаменника:

$x=3\ne 0$.

Відповідь: $x=3$.

3) $\frac{x+2}{x-1}=0$

$x+2=0$

$x=-2$

Перевірка знаменника: $x-1=-2-1=-3\ne 0$.

Відповідь: $x=-2$.

4) $\frac{x+5}{x}=0$

$x+5=0$

$x=-5$

Перевірка знаменника:

$x=-5\ne 0$.

Відповідь: $x=-5$.

8.5. Розв’яжіть рівняння:

1) $\frac{x}{x+1}=0$

$x=0$

Перевірка знаменника:

$x+1=0+1=1\ne 0$.

Відповідь: $x=0$.

2) $\frac{x-2}{x}=0$

$x-2=0$

$x=2$

Перевірка знаменника: $x=2\ne 0$.

Відповідь: $x=2$.

3) $\frac{x+3}{x-4}=0$

$x+3=0$

$x=-3$

Перевірка знаменника:

$x-4=-3-4=-7\ne 0$.

Відповідь: $x=-3$.

4) $\frac{x+7}{x}=0$

$x+7=0$

$x=-7$

Перевірка знаменника:

$x=-7\ne 0$.

Відповідь: $x=-7$.

8.6. Розв’яжіть рівняння:

1) $\frac{2x-8}{x+4}=0$

$\{\begin{array}{l}2x-8=0\\ \\ x+4\ne 0\end{array}$

$\{\begin{array}{l}2x=8\\ \\ x\ne -4\end{array}$

$\{\begin{array}{l}x=4\\ \\ \\ x\ne -4\end{array}$

$x=4$

2) $\frac{3x+7}{x}=0$

$\{\begin{array}{l}3x+7=0\\ \\ x\ne 0\end{array}$

$\{\begin{array}{l}3x=-7\\ \\ x\ne 0\end{array}$

$\{\begin{array}{l}x=-\frac{7}{3}\\ \\ x\ne 0\end{array}$

$x=-\frac{7}{3}$

3) $\frac{x^2}{x-9}=0$

$\{\begin{array}{l}{x}^2=0\\ \\ x-9\ne 0\end{array}$

$\{\begin{array}{l}x=0\\ \\ x\ne 9\end{array}$

$x=0$

4) $\frac{x-1}{1-x}=0$

$\{\begin{array}{l}x-1=0\\ \\ 1-x\ne 0\end{array}$

$\{\begin{array}{l}x=1\\ \\ x\ne 1\end{array}$

$\text{коренів немає}$

8.7. Розв’яжіть рівняння:

1) $\frac{3x+12}{x-4}=0$

$\{\begin{array}{l}3x+12=0\\ \\ x-4\ne 0\end{array}$

$\{\begin{array}{l}3x=-12\\ \\ x\ne 4\end{array}$

$\{\begin{array}{l}x=-4\\ \\ x\ne 4\end{array}$

$x=-4$

2) $\frac{2x-5}{x}=0$

$\{\begin{array}{l}2x-5=0\\ \\ x\ne 0\end{array}$

$\{\begin{array}{l}2x=5\\ \\ x\ne 0\end{array}$

$\{\begin{array}{l}x=\frac{5}{2}\\ \\ x\ne 0\end{array}$

$x=\frac{5}{2}$

3) $\frac{x^2}{x+1}=0$

$\{\begin{array}{l}{x}^2=0\\ \\ x+1\ne 0\end{array}$

$\{\begin{array}{l}x=0\\ \\ x\ne -1\end{array}$

$x=0$

4) $\frac{2-x}{x-2}=0$

$\{\begin{array}{l}2-x=0\\ \\ x-2\ne 0\end{array}$

$\{\begin{array}{l}x=2\\ \\ x\ne 2\end{array}$

$\text{коренів немає}$

8.8. Знайдіть корені рівняння:

1) $2-\frac{x+3}{x}=0$

$\frac{2x}{x}-\frac{x+3}{x}=0$

$\frac{2x-(x+3)}{x}=0$

$\frac{x-3}{x}=0$

$\{\begin{array}{l}x-3=0\\ \\ x\ne 0\end{array}$

$x=3$

2) $\frac{x}{x+2}=2$

ОДЗ: $x+2\ne 0⟹x\ne -2$

$x=2(x+2)$
$x=2x+4$
$-x=4$
$x=-4$

3) $\frac{x}{x-4}=\frac{9}{5}$

ОДЗ: $x-4\ne 0⟹x\ne 4$

$5x=9(x-4)$
$5x=9x-36$
$-4x=-36$
$x=9$

4) $\frac{3}{x-2}=\frac{2}{x-3}$

ОДЗ: $\{\begin{array}{l}x-2\ne 0\\ \\ x-3\ne 0\end{array}⟹\{\begin{array}{l}x\ne 2\\ \\ x\ne 3\end{array}$

$3(x-3)=2(x-2)$
$3x-9=2x-4$
$x=5$

8.9. Знайдіть корені рівняння:

1) $\frac{2x+1}{x}-3=0$

$\frac{2x+1-3x}{x}=0$

$\frac{1-x}{x}=0$

$\{\begin{array}{l}1-x=0\\ \\ x\ne 0\end{array}$

$x=1$

2) $\frac{x}{x-4}=5$

$x-4\ne 0⟹x\ne 4$

$x=5(x-4)$

$x=5x-20$

$-4x=-20$

$x=5$

3) $\frac{x}{x+2}=\frac{5}{3}$

ОДЗ: $x+2\ne 0⟹x\ne -2$

$3x=5(x+2)$

$3x=5x+10$

$-2x=10$

$x=-5$

4) $\frac{5}{x-2}=\frac{3}{x+4}$

$\{\begin{array}{l}x-2\ne 0\\ \\ x+4\ne 0\end{array}⟹\{\begin{array}{l}x\ne 2\\ \\ x\ne -4\end{array}$

$5(x+4)=3(x-2)$

$5x+20=3x-6$

$2x=-26$

$x=-13$

8.10. Чи є рівносильними рівняння:

1)

$\frac{x}{x-2}=\frac{4}{x-2}\text{ і }\frac{x-5}{x}=\frac{3-x}{x}$

$\text{Розв’яжемо перше рівняння:}$

$\text{ОДЗ: }x-2\ne 0⟹x\ne 2$

$x=4$

$\text{Розв’яжемо друге рівняння:}$

$\text{ОДЗ: }x\ne 0$

$x-5=3-x$

$2x=8$

$x=4$

$\text{Корені обох рівнянь дорівнюють 4. Отже, рівняння рівносильні.}$

2)

$\frac{x^2+2x}{x-3}=\frac{x^2-4}{x-3}\text{ і }\frac{2x-3}{3x}-\frac{x-2}{3x}=0$

$\text{Розв’яжемо перше рівняння:}$

$\text{ОДЗ: }x-3\ne 0⟹x\ne 3$

$x^2+2x=x^2-4$

$2x=-4$

$x=-2$

$\text{Розв’яжемо друге рівняння:}$

$\frac{2x-3-(x-2)}{3x}=0$

$\frac{x-1}{3x}=0$

$\text{ОДЗ: }3x\ne 0⟹x\ne 0$

$x-1=0$

$x=1$

$\text{Корені рівнянь різні (}-2\text{ і }1\text{). Отже, рівняння не є рівносильними.}$

8.11. Чи є рівносильними рівняння:

1) Розв’яжемо перше рівняння $\frac{x-4}{x}=\frac{2-x}{x}$.

ОДЗ: $x\ne 0$.

$x-4=2-x$

$2x=6$

$x=3$

Розв’яжемо друге рівняння $\frac{x}{x+1}=\frac{3}{x+1}$.

ОДЗ: $x+1\ne 0⟹x\ne -1$.

$x=3$

Корені обох рівнянь збігаються ($x=3$), отже, рівняння є рівносильними.

2) Розв’яжемо перше рівняння $\frac{x^2-x}{x-1}=\frac{x^2+5}{x-1}$.

ОДЗ: $x-1\ne 0⟹x\ne 1$.

$x^2-x=x^2+5$

$-x=5$

$x=-5$

Розв’яжемо друге рівняння $\frac{3x-1}{2x}-\frac{2x-5}{2x}=0$.

ОДЗ: $2x\ne 0⟹x\ne 0$.

$\frac{3x-1-(2x-5)}{2x}=0$

$\frac{x+4}{2x}=0$

$x+4=0$

$x=-4$

Корені рівнянь різні ($-5$ та $-4$), отже, рівняння не є рівносильними.

8.12. Розв’яжіть рівняння, використовуючи основну властивість пропорції:

1) $\frac{2x^2-1}{x+1}=2x$

ОДЗ: $x+1\ne 0⟹x\ne -1$.

$2x^2-1=2x(x+1)$

$2x^2-1=2x^2+2x$

$-1=2x$

$x=-\frac{1}{2}$

2) $\frac{3x^2+1}{x}=3x-1$

ОДЗ: $x\ne 0$.

$3x^2+1=x(3x-1)$

$3x^2+1=3x^2-x$

$1=-x$

$x=-1$

3) $\frac{x-3}{2x^2+1}=\frac{1}{2x}$

ОДЗ: $2x^2+1\ne 0$ (виконується для будь-якого x) та $2x\ne 0⟹x\ne 0$.

$2x(x-3)=1(2x^2+1)$

$2x^2-6x=2x^2+1$

$-6x=1$

$x=-\frac{1}{6}$

4) $\frac{4x^2-3}{2x-1}=2x+3$

ОДЗ: $2x-1\ne 0⟹x\ne \frac{1}{2}$.

$4x^2-3=(2x-1)(2x+3)$

$4x^2-3=4x^2+6x-2x-3$

$4x^2-3=4x^2+4x-3$

$0=4x$

$x=0$

8.13. Розв’яжіть рівняння, використовуючи основну властивість пропорції:

1) $\frac{3x^2+2}{x-2}=3x$

$x-2\ne 0⟹x\ne 2$.

$3x^2+2=3x(x-2)$

$3x^2+2=3x^2-6x$

$2=-6x$

$x=-\frac{2}{6}$

$x=-\frac{1}{3}$

2) $\frac{2x^2-1}{x}=2x+1$

$x\ne 0$

$2x^2-1=x(2x+1)$

$2x^2-1=2x^2+x$

$-1=x$

$x=-1$

3) $\frac{2x-3}{2x^2+3}=\frac{1}{x}$

$2x^2+3\ne 0$ (виконується для будь-якого x) та $x\ne 0$.

$x(2x-3)=1(2x^2+3)$

$2x^2-3x=2x^2+3$

$-3x=3$

$x=-1$

4) $\frac{6x^2-1}{2x+3}=3x-1$

$2x+3\ne 0⟹x\ne -\frac{3}{2}$

$6x^2-1=(2x+3)(3x-1)$

$6x^2-1=6x^2-2x+9x-3$

$6x^2-1=6x^2+7x-3$

$2=7x$

$x=\frac{2}{7}$

8.14. Знайдіть дріб, що дорівнює $\frac{2}{3}$, у якого знаменник на 5 більший за чисельник.

$\frac{2}{3}=\frac{x}{x+5}$

$2(x+5)=3x$

$2x+10=3x$

$x=10$

$\text{Шуканий дріб }\frac{10}{15}$

8.15. Знайдіть дріб, що дорівнює $\frac{1}{5}$, у якого чисельник на 12 менший від знаменника.

$\frac{1}{5}=\frac{y}{y+12}$

$1(y+12)=5y$

$y+12=5y$

$12=4y$

$y=3$

$\text{Шуканий дріб }\frac{3}{15}$

8.16. Яке число треба додати до чисельника дробу $\frac{3}{10}$, щоб отримати дріб $\frac{1}{2}$?

$\frac{3+a}{10}=\frac{1}{2}$

$2(3+a)=10$

$6+2a=10$

$2a=4$

$a=2$

8.17. Яке число треба відняти від знаменника дробу $\frac{5}{18}$, щоб отримати дріб $\frac{1}{3}$?

$\frac{5}{18-b}=\frac{1}{3}$

$5\cdot 3=18-b$

$15=18-b$

$b=3$

8.18. Розв’яжіть рівняння:

$$\begin{gathered} 1) \\ \frac{x+4}{2x-1}-\frac{x+8}{2x+1}=0 \\ (x\ne \frac{1}{2}; \\ x\ne -\frac{1}{2}) \end{gathered}$$
$\frac{(x+4)(2x+1)-(x+8)(2x-1)}{(2x-1)(2x+1)}=0$
$(x+4)(2x+1)-(x+8)(2x-1)=0$
$(2x^2+x+8x+4)-(2x^2-x+16x-8)=0$
$(2x^2+9x+4)-(2x^2+15x-8)=0$
$2x^2+9x+4-2x^2-15x+8=0$
$-6x+12=0$
$x=2$

$$\begin{gathered} 2) \\ \frac{1}{5x}-\frac{1}{10x}=\frac{1}{30} \\ (x\ne 0) \end{gathered}$$
$\frac{2-1}{10x}=\frac{1}{30}$
$\frac{1}{10x}=\frac{1}{30}$
$10x=30$
$x=3$

$$\begin{gathered} 3) \\ 2+\frac{1}{x-2}=\frac{8-x}{2-x} \\ (x\ne 2) \end{gathered}$$
$\frac{2(x-2)+1}{x-2}=\frac{8-x}{2-x}$
$\frac{2x-4+1}{x-2}=\frac{8-x}{-(x-2)}$
$\frac{2x-3}{x-2}=\frac{x-8}{x-2}$
$2x-3=x-8$
$x=-5$

$$\begin{gathered} 4) \\ \frac{1}{x-1}-\frac{1}{5x-5}=\frac{1}{10} \\ (x\ne 1) \end{gathered}$$
$\frac{1}{x-1}-\frac{1}{5(x-1)}=\frac{1}{10}$
$\frac{5-1}{5(x-1)}=\frac{1}{10}$
$\frac{4}{5(x-1)}=\frac{1}{10}$
$40=5(x-1)$
$x-1=8$
$x=9$

8.19. Розв’яжіть рівняння:

$$\begin{gathered} 1) \\ \frac{x+1}{3x+1}-\frac{x}{3x-1}=0 \\ (x\ne -\frac{1}{3}; \\ x\ne \frac{1}{3}) \end{gathered}$$.

$\frac{(x+1)(3x-1)-x(3x+1)}{(3x+1)(3x-1)}=0$.

$(3x^2-x+3x-1)-(3x^2+x)=0$.

$3x^2+2x-1-3x^2-x=0$.

$x-1=0$.

$x=1$.

$$\begin{gathered} 2) \\ \frac{1}{6x}-\frac{1}{2x}=\frac{1}{6} \\ (x\ne 0) \end{gathered}$$.

$\frac{1-3}{6x}=\frac{1}{6}$.

$\frac{-2}{6x}=\frac{1}{6}$.

$\frac{-1}{3x}=\frac{1}{6}$.

$-6=3x$.

$x=-2$.

$$\begin{gathered} 3) \\ 3+\frac{1}{1-x}=\frac{x}{x-1} \\ (x\ne 1) \end{gathered}$$.

$3-\frac{1}{x-1}=\frac{x}{x-1}$.

$\frac{3(x-1)-1}{x-1}=\frac{x}{x-1}$.

$\frac{3x-3-1}{x-1}=\frac{x}{x-1}$.

$\frac{3x-4}{x-1}=\frac{x}{x-1}$.

$3x-4=x$.

$2x=4$.

$x=2$.

$$\begin{gathered} 4) \\ \frac{1}{4x+4}-\frac{1}{x+1}=\frac{3}{8} \\ (x\ne -1) \end{gathered}$$.

$\frac{1}{4(x+1)}-\frac{1}{x+1}=\frac{3}{8}$.

$\frac{1-4}{4(x+1)}=\frac{3}{8}$.

$\frac{-3}{4(x+1)}=\frac{3}{8}$.

$\frac{-1}{4(x+1)}=\frac{1}{8}$.

$-8=4(x+1)$.

$x+1=-2$.

$x=-3$.

8.20. Чи є рівносильними рівняння $\frac{2x+6}{x+1}+\frac{3x-7}{x-2}=5$ і $\frac{x-2}{x+2}+\frac{x+2}{x-2}=\frac{8}{x^2-4}$?

Розв’яжемо перше рівняння, ОДЗ: $x\ne -1,x\ne 2$:

$\frac{(2x+6)(x-2)+(3x-7)(x+1)}{(x+1)(x-2)}=5$

$2x^2-4x+6x-12+3x^2+3x-7x-7=5(x^2-x-2)$

$5x^2-2x-19=5x^2-5x-10$

$-2x+5x=-10+19$

$3x=9$

$x=3$

Розв’яжемо друге рівняння, ОДЗ: $x\ne -2,x\ne 2$:

$\frac{(x-2{)}^2+(x+2{)}^2}{x^2-4}=\frac{8}{x^2-4}$

$x^2-4x+4+x^2+4x+4=8$

$2x^2+8=8$

$2x^2=0$

$x=0$

Корені рівнянь $x=3$ та $x=0$ не збігаються. Отже, рівняння не є рівносильними.

8.21. Чи є рівносильними рівняння $\frac{3x-12}{x-3}+\frac{x+12}{x}=4$ і $\frac{x+1}{x-1}+\frac{x-1}{x+1}=\frac{2}{x^2-1}$?

Розв’яжемо перше рівняння, ОДЗ: $x\ne 3,x\ne 0$:

$\frac{x(3x-12)+(x-3)(x+12)}{x(x-3)}=4$

$3x^2-12x+x^2+12x-3x-36=4(x^2-3x)$

$4x^2-3x-36=4x^2-12x$

$-3x+12x=36$

$9x=36$

$x=4$

Розв’яжемо друге рівняння, ОДЗ: $x\ne 1,x\ne -1$:

$\frac{(x+1{)}^2+(x-1{)}^2}{x^2-1}=\frac{2}{x^2-1}$

$x^2+2x+1+x^2-2x+1=2$

$2x^2+2=2$

$2x^2=0$

$x=0$

Корені рівнянь $x=4$ та $x=0$ не збігаються. Отже, рівняння не є рівносильними.

8.22. Чисельник на 5 менший від знаменника. Якщо до чисельника додати 14, а від знаменника відняти 1, одержимо дріб, обернений даному. Знайдіть початковий дріб.

$\frac{n}{n+5}={\frac{(n+14)}{(n+5)-1}}^{-1}=\frac{(n+5)-1}{n+14}$

$\frac{n}{n+5}=\frac{n+4}{n+14}$

$n(n+14)=(n+5)(n+4)$

$n^2+14n=n^2+9n+20$

$5n=20$

$n=4$

$\text{Дріб }\frac{4}{9}$

8.23. Знаменник на 3 більший за чисельник. Якщо до чисельника додати 8, а від знаменника відняти 1, одержимо дріб, обернений даному. Знайдіть початковий дріб.

$\frac{n}{n+3}={\frac{(n+8)}{(n+3)-1}}^{-1}=\frac{n+2}{n+8}$

$n(n+8)=(n+3)(n+2)$

$n^2+8n=n^2+5n+6$

$3n=6$

$n=2$

$\text{Дріб }\frac{2}{5}$

8.24. Знайдіть корені рівняння

$$\begin{gathered} 1) \\ \frac{x^2-2}{x^2+2x}=\frac{x-1}{x}+\frac{x+3}{x+2} \\ (x\ne 0; \\ x\ne -2) \end{gathered}$$
$\frac{x^2-2}{x(x+2)}=\frac{(x-1)(x+2)+x(x+3)}{x(x+2)}$
$x^2-2=(x^2+x-2)+(x^2+3x)$
$x^2-2=2x^2+4x-2$
$0=x^2+4x$
$x(x+4)=0$
$x=-4$ (x=0 не підходить за ОДЗ)

$$\begin{gathered} 2) \\ \frac{x^2+1}{x^2-1}=\frac{x}{x+1}+\frac{2}{x-1} \\ (x\ne 1; \\ x\ne -1) \end{gathered}$$
$\frac{x^2+1}{(x-1)(x+1)}=\frac{x(x-1)+2(x+1)}{(x-1)(x+1)}$
$x^2+1=x^2-x+2x+2$
$x^2+1=x^2+x+2$
$-1=x$ немає розв’язків, бо після скорочення виходить $-\frac{1}{x-1}=0$, що неможливо при жодному $x$ з ОДЗ

8.25. Розв’яжіть рівняння

$$\begin{gathered} 1) \\ \frac{x^2-2}{x^2-x}=\frac{x+2}{x}+\frac{x+3}{x-1} \\ (x\ne 0; \\ x\ne 1) \end{gathered}$$
$\frac{x^2-2}{x(x-1)}=\frac{(x+2)(x-1)+x(x+3)}{x(x-1)}$
$x^2-2=(x^2-x+2x-2)+(x^2+3x)$
$x^2-2=2x^2+4x-2$
$0=x^2+4x$
$x(x+4)=0$
$x_1=0$ (не входить в ОДЗ), $x_2=-4$
Відповідь: $x=-4$

$$\begin{gathered} 2) \\ \frac{x^2+8}{x^2-4}=\frac{x}{x+2}+\frac{3}{x-2} \\ (x\ne 2; \\ x\ne -2) \end{gathered}$$
$\frac{x^2+8}{(x-2)(x+2)}=\frac{x(x-2)+3(x+2)}{(x-2)(x+2)}$
$x^2+8=x^2-2x+3x+6$
$x^2+8=x^2+x+6$
$8=x+6$
$x=2$ (не входить в ОДЗ)
Відповідь: коренів немає

8.26. Розв’яжіть рівняння:

$$\begin{gathered} 1) \\ \frac{|x-1|-5}{x-6}=0 \end{gathered}$$
ОДЗ: $x-6\ne 0\Rightarrow x\ne 6$.
Дріб дорівнює нулю, коли чисельник дорівнює нулю, а знаменник не дорівнює нулю.
$|x-1|-5=0$
$|x-1|=5$
Розкриваємо модуль:
$x-1=5$ або $x-1=-5$
$x=6$ або $x=-4$
Корінь $x=6$ не задовольняє ОДЗ.
Відповідь: $x=-4$.

$$\begin{gathered} 2) \\ \frac{|x-1|-1}{x(x-2)}=0 \end{gathered}$$
ОДЗ: $x(x-2)\ne 0\Rightarrow x\ne 0$ і $x\ne 2$.
Прирівнюємо чисельник до нуля:
$|x-1|-1=0$
$|x-1|=1$
Розкриваємо модуль:
$x-1=1$ або $x-1=-1$
$x=2$ або $x=0$
Обидва знайдені корені не задовольняють ОДЗ.
Відповідь: коренів немає.

8.27. Знайдіть корені рівняння:

$$\begin{gathered} 1) \\ \frac{|x-2|-3}{x-5}=0 \end{gathered}$$
ОДЗ: $x-5\ne 0\Rightarrow x\ne 5$.
Дріб дорівнює нулю, коли його чисельник дорівнює нулю.
$|x-2|-3=0$
$|x-2|=3$
Звідси маємо два випадки:
$x-2=3$ або $x-2=-3$
$x=5$ або $x=-1$
Корінь $x=5$ не задовольняє ОДЗ.
Відповідь: $x=-1$.

$$\begin{gathered} 2) \\ \frac{|x-2|-2}{x(x-4)}=0 \end{gathered}$$
ОДЗ: $x(x-4)\ne 0\Rightarrow x\ne 0$ і $x\ne 4$.
Прирівнюємо чисельник до нуля:
$|x-2|-2=0$
$|x-2|=2$
Звідси маємо два випадки:
$x-2=2$ або $x-2=-2$
$x=4$ або $x=0$
Обидва знайдені значення, $x=4$ і $x=0$, не задовольняють ОДЗ.
Відповідь: коренів немає.

8.28. Для яких значень $a$ рівняння не має розв’язків:

1) $\frac{x-2a}{x(x-8)}=0$

Рівняння не має розв’язків, якщо корінь чисельника збігається з одним із значень, що перетворюють знаменник на нуль.

ОДЗ: $x\ne 0,x\ne 8$.

Корінь чисельника: $x-2a=0\Rightarrow x=2a$.

Рівняння не матиме розв’язків, якщо:

$2a=0\Rightarrow a=0$

або

$2a=8\Rightarrow a=4$

Відповідь: $a=0$ або $a=4$.

2) $\frac{x-a+1}{x^2-3x}=0$

Рівняння не має розв’язків, якщо корінь чисельника збігається з одним із значень, що перетворюють знаменник на нуль.

ОДЗ: $x^2-3x\ne 0\Rightarrow x(x-3)\ne 0\Rightarrow x\ne 0,x\ne 3$.

Корінь чисельника: $x-a+1=0\Rightarrow x=a-1$.

Рівняння не матиме розв’язків, якщо:

$a-1=0\Rightarrow a=1$

або

$a-1=3\Rightarrow a=4$

Відповідь: $a=1$ або $a=4$.

8.29. Для яких значень $a$ рівняння $\frac{(x-a)(x-2a-1)}{x-3}=0$ має лише один корінь?

З першого рівняння маємо два можливі випадки для знаходження коренів:

$x-a=0$ або $x-2a-1=0$

Звідси знаходимо вирази для $x$:

$x=a$ або $x=2a+1$

Щоб початкове рівняння мало тільки один корінь, один із знайдених коренів має дорівнювати 3 (ймовірно, це значення виключається з області визначення рівняння).

$a=3$ або $2a+1=3$

Розв’язуємо друге рівняння для $a$:

$2a=3-1$

$2a=2$

$a=1$

Відповідь: $a=3;a=1$

Вправи для повторення

8.30. Спростіть вираз і знайдіть значення при $x=20$.

Спочатку розкладемо на множники знаменники дробів:

$\frac{10x}{x+2}-\frac{x-8}{3(x+2)}\cdot \frac{120}{x(x-8)}$

Скоротимо дріб у другій частині виразу:

$\frac{10x}{x+2}-\frac{1}{3(x+2)}\cdot \frac{120}{x}$

Виконаємо множення дробів:

$\frac{10x}{x+2}-\frac{40}{x(x+2)}$

Зведемо дроби до спільного знаменника $x(x+2)$:

$\frac{10x\cdot x}{x(x+2)}-\frac{40}{x(x+2)}=\frac{10x^2-40}{x(x+2)}$

Винесемо спільний множник 10 у чисельнику:

$\frac{10(x^2-4)}{x(x+2)}$

Розкладемо чисельник за формулою різниці квадратів:

$\frac{10(x-2)(x+2)}{x(x+2)}$

Скоротимо дріб на $(x+2)$:

$\frac{10(x-2)}{x}$

Тепер підставимо значення $x=20$ у спрощений вираз:

$\frac{10(20-2)}{20}=\frac{10\cdot 18}{20}=\frac{180}{20}=9$

Відповідь: 9. Отже, у скарбниці Лариси Латиніної 9 олімпійських золотих медалей.

8.31. Скоротіть дріб.

$\frac{4a^2-b^2+2a-b}{4a^2+4ab+b^2+2a+b}$

$\frac{(2a-b)(2a+b)+(2a-b)}{(2a+b{)}^2+(2a+b)}$

$\frac{(2a-b)((2a+b)+1)}{(2a+b)((2a+b)+1)}$

$\frac{2a-b}{2a+b}$

Пiдготуйтеся до вивчення нового матерiалу

8.32. Знайдіть значення степеня:

1) (-2)^3$$ (-2)^3=-8

2) 14^2$$ 14^2=196

3) (-1)^{11}\cdot (-1)^2$$ (-1)^{11}\cdot (-1)^2=(-1)\cdot 1=-1

4) 0^5$$ 0^5=0

5) (0{,}3)^3$$ (0{,}3)^3=0{,}027

6) (-0{,}8)^2$$ (-0{,}8)^2=0{,}64

7) \left(-\dfrac{2}{7}\right)^2$$ \left(-\dfrac{2}{7}\right)^2=\dfrac{4}{49}

8) \left(-\dfrac{1}{5}\right)^3$$ \left(-\dfrac{1}{5}\right)^3=-\dfrac{1}{125}

8.33. Обчисліть:

1) 2^5-3^2$$ 32-9=23

2) (-1)^9+(-1)^8$$ (-1)+1=0

3) 4^2\cdot\left(-\dfrac{3}{4}\right)^2$$ 16\cdot \dfrac{9}{16}=9

4) 5^3:\left(\dfrac{5}{6}\right)^2$$ 125:\dfrac{25}{36}=125\cdot \dfrac{36}{25}=5\cdot 36=180

8.34. Подайте у вигляді степеня:

1) основою 2 числа 2, 4, 8, 16, 32, 128, 512$$\begin{gathered} 2=2^1, \\ 4=2^2, \\ 8=2^3, \\ 16=2^4, \\ 32=2^5, \\ 128=2^7, \\ 512=2^9 \end{gathered}$$

2) основою 3 числа 81, 243$$\begin{gathered} 81=3^4, \\ 243=3^5 \end{gathered}$$

3) основою 5 числа 5, 25, 625$$\begin{gathered} 5=5^1, \\ 25=5^2, \\ 625=5^4 \end{gathered}$$

4) основою 10 числа 100, 10\ 000$$\begin{gathered} 100=10^2, \\ 10 \\ 000=10^4 \end{gathered}$$

Життєва математика

8.35. У червні 1 кг помідорів на ринку коштував у середньому 60 грн. У липні ця вартість зменшилася на 30 %, а в кінці серпня – ще на 50 %. Скільки в середньому коштував на ринку 1 кг помідорів у кінці серпня?

$60\cdot (1-0,30)=60\cdot 0,70=42$

$42\cdot (1-0,50)=42\cdot 0,50=21$

$$\begin{gathered} \text{Відповідь: }21 \\ \text{грн} \end{gathered}$$

Цікаві задачі – поміркуй одначе

8.36. Видатні українці.

1) Линів

2) Сікорський

3) Бєланов

4) Костенко

У виділеному стовпчику: ВІЕТ