§8. Раціональні рівняння

Назад до змісту

Розв’яжіть задачі та виконайте вправи

8.1. (Усно.) Назвіть цілі раціональні рівняння, дробові раціональні рівняння:

Цілі раціональні рівняння (не мають змінної у знаменнику): 2, 3.

Дробові раціональні рівняння (мають змінну у знаменнику): 1, 4.

1. $\dfrac{2}{x} + \dfrac{x}{3} = 1$ (дробове)
2. $x^2-2x(x+3) = x-7$ (ціле)
3. $\dfrac{x+2}{4} – \dfrac{x-3}{8} = 15$ (ціле)
4. $\dfrac{4}{x+2} – \dfrac{8}{x-3} = 15$ (дробове)

8.2. Чи є число 1 коренем рівняння:

1. $\dfrac{x}{x+2} = 0$. Підставляємо $x=1$:$\dfrac{1}{1+2} = \dfrac{1}{3} \neq 0$. Відповідь: ні.
2. $\dfrac{x-1}{x+2} = 0$. Підставляємо $x=1$:$\dfrac{1-1}{1+2} = \dfrac{0}{3} = 0$. Відповідь: так.
3. $\dfrac{x}{x-1} = 0$. Підставляємо $x=1$:$\dfrac{1}{1-1} = \dfrac{1}{0}$. Ділення на нуль неможливе. Відповідь: ні.
4. $\dfrac{x^2-1}{x} = 0$. Підставляємо $x=1$:$\dfrac{1^2-1}{1} = \dfrac{1-1}{1} = \dfrac{0}{1} = 0$. Відповідь: так.

8.3. Чи є число 2 коренем рівняння:

1. $\dfrac{x-2}{x+3} = 0$. Підставляємо $x=2$:$\dfrac{2-2}{2+3} = \dfrac{0}{5} = 0$. Відповідь: так.
2. $\dfrac{x}{x+3} = 0$. Підставляємо $x=2$:$\dfrac{2}{2+3} = \dfrac{2}{5} \neq 0$. Відповідь: ні.
3. $\dfrac{x}{x-2} = 0$. Підставляємо $x=2$:$\dfrac{2}{2-2} = \dfrac{2}{0}$. Ділення на нуль неможливе. Відповідь: ні.
4. $\dfrac{4-x^2}{x+1} = 0$. Підставляємо $x=2$:$\dfrac{4-2^2}{2+1} = \dfrac{4-4}{3} = \dfrac{0}{3} = 0$. Відповідь: так.

8.4. Розв’яжіть рівняння:

Дріб дорівнює нулю, коли чисельник дорівнює нулю, а знаменник не дорівнює нулю.

1) $\dfrac{x}{x-2} = 0$

$x=0$

Перевірка знаменника:

$x-2 = 0-2 = -2 \neq 0$.

Відповідь: $x=0$.

2) $\dfrac{x-3}{x} = 0$

$x-3=0$

$x=3$

Перевірка знаменника:

$x = 3 \neq 0$.

Відповідь: $x=3$.

3) $\dfrac{x+2}{x-1} = 0$

$x+2=0$

$x=-2$

Перевірка знаменника: $x-1 = -2-1 = -3 \neq 0$.

Відповідь: $x=-2$.

4) $\dfrac{x+5}{x} = 0$

$x+5=0$

$ x=-5$

Перевірка знаменника:

$x = -5 \neq 0$.

Відповідь: $x=-5$.

8.5. Розв’яжіть рівняння:

1) $\dfrac{x}{x+1} = 0$

$x=0$

Перевірка знаменника:

$x+1 = 0+1 = 1 \neq 0$.

Відповідь: $x=0$.

2) $\dfrac{x-2}{x} = 0$

$x-2=0$

$x=2$

Перевірка знаменника: $x = 2 \neq 0$.

Відповідь: $x=2$.

3) $\dfrac{x+3}{x-4} = 0$

$x+3=0$

$x=-3$

Перевірка знаменника:

$x-4 = -3-4 = -7 \neq 0$.

Відповідь: $x=-3$.

4) $\dfrac{x+7}{x} = 0$

$x+7=0$

$x=-7$

Перевірка знаменника:

$x = -7 \neq 0$.

Відповідь: $x=-7$.

8.10. Чи є рівносильними рівняння:

1)

$ \dfrac{x}{x-2} = \dfrac{4}{x-2} \text{ і } \dfrac{x-5}{x} = \dfrac{3-x}{x} $

$ \text{Розв’яжемо перше рівняння:} $

$ \text{ОДЗ: } x-2 \neq 0 \implies x \neq 2 $

$ x=4 $

$ \text{Розв’яжемо друге рівняння:} $

$ \text{ОДЗ: } x \neq 0 $

$ x-5=3-x $

$ 2x=8 $

$ x=4 $

$ \text{Корені обох рівнянь дорівнюють 4. Отже, рівняння рівносильні.} $

2)

$ \dfrac{x^2+2x}{x-3} = \dfrac{x^2-4}{x-3} \text{ і } \dfrac{2x-3}{3x} – \dfrac{x-2}{3x} = 0 $

$ \text{Розв’яжемо перше рівняння:} $

$ \text{ОДЗ: } x-3 \neq 0 \implies x \neq 3 $

$ x^2+2x=x^2-4 $

$ 2x=-4 $

$ x=-2 $

$ \text{Розв’яжемо друге рівняння:} $

$ \dfrac{2x-3-(x-2)}{3x}=0 $

$ \dfrac{x-1}{3x}=0 $

$ \text{ОДЗ: } 3x \neq 0 \implies x \neq 0 $

$ x-1=0 $

$ x=1 $

$ \text{Корені рівнянь різні (}-2 \text{ і } 1\text{). Отже, рівняння не є рівносильними.} $

8.11. Чи є рівносильними рівняння:

1. Розв’яжемо перше рівняння $\dfrac{x-4}{x} = \dfrac{2-x}{x}$.

ОДЗ: $x \neq 0$.

$x-4 = 2-x$

$2x = 6$

$x = 3$

Розв’яжемо друге рівняння $\dfrac{x}{x+1} = \dfrac{3}{x+1}$.

ОДЗ: $x+1 \neq 0 \implies x \neq -1$.

$x = 3$

Корені обох рівнянь збігаються ($x=3$), отже, рівняння є рівносильними.

2. Розв’яжемо перше рівняння $\dfrac{x^2-x}{x-1} = \dfrac{x^2+5}{x-1}$.

ОДЗ: $x-1 \neq 0 \implies x \neq 1$.

$x^2-x = x^2+5$

$-x = 5$

$x = -5$

Розв’яжемо друге рівняння $\dfrac{3x-1}{2x} – \dfrac{2x-5}{2x} = 0$.

ОДЗ: $2x \neq 0 \implies x \neq 0$.

$\dfrac{3x-1-(2x-5)}{2x} = 0$

$\dfrac{x+4}{2x} = 0$

$x+4=0$

$x=-4$

Корені рівнянь різні ($-5$ та $-4$), отже, рівняння не є рівносильними.

8.12. Розв’яжіть рівняння, використовуючи основну властивість пропорції:

1. $\dfrac{2x^2-1}{x+1} = 2x$

ОДЗ: $x+1 \neq 0 \implies x \neq -1$.

$2x^2-1 = 2x(x+1)$

$2x^2-1 = 2x^2+2x$

$-1 = 2x$

$x = -\dfrac{1}{2}$

2. $\dfrac{3x^2+1}{x} = 3x-1$

ОДЗ: $x \neq 0$.

$3x^2+1 = x(3x-1)$

$3x^2+1 = 3x^2-x$

$1 = -x$

$x = -1$

3. $\dfrac{x-3}{2x^2+1} = \dfrac{1}{2x}$

ОДЗ: $2x^2+1 \neq 0$ (виконується для будь-якого x) та $2x \neq 0 \implies x \neq 0$.

$2x(x-3) = 1(2x^2+1)$

$2x^2-6x = 2x^2+1$

$-6x = 1$

$x = -\dfrac{1}{6}$

4. $\dfrac{4x^2-3}{2x-1} = 2x+3$

ОДЗ: $2x-1 \neq 0 \implies x \neq \dfrac{1}{2}$.

$4x^2-3 = (2x-1)(2x+3)$

$4x^2-3 = 4x^2+6x-2x-3$

$4x^2-3 = 4x^2+4x-3$

$0 = 4x$

$x = 0$

8.13. Розв’яжіть рівняння, використовуючи основну властивість пропорції:

1) $\dfrac{3x^2+2}{x-2} = 3x$

$x-2 \neq 0 \implies x \neq 2$.

$3x^2+2 = 3x(x-2)$

$3x^2+2 = 3x^2-6x$

$2 = -6x$

$x = -\dfrac{2}{6}$

$x = -\dfrac{1}{3}$

2) $\dfrac{2x^2-1}{x} = 2x+1$

$x \neq 0$

$2x^2-1 = x(2x+1)$

$2x^2-1 = 2x^2+x$

$-1 = x$

$x = -1$

3) $\dfrac{2x-3}{2x^2+3} = \dfrac{1}{x}$

$2x^2+3 \neq 0$ (виконується для будь-якого x) та $x \neq 0$.

$x(2x-3) = 1(2x^2+3)$

$2x^2-3x = 2x^2+3$

$-3x = 3$

$x = -1$

4) $\dfrac{6x^2-1}{2x+3} = 3x-1$

$2x+3 \neq 0 \implies x \neq -\dfrac{3}{2}$

$6x^2-1 = (2x+3)(3x-1)$

$6x^2-1 = 6x^2-2x+9x-3$

$6x^2-1 = 6x^2+7x-3$

$2 = 7x$

$x = \dfrac{2}{7}$

8.14. Знайдіть дріб, що дорівнює $\dfrac{2}{3}$, у якого знаменник на 5 більший за чисельник.

$ \dfrac{2}{3}=\dfrac{x}{x+5} $

$ 2(x+5)=3x $

$ 2x+10=3x $

$ x=10 $

$ \text{Шуканий дріб } \dfrac{10}{15} $

8.15. Знайдіть дріб, що дорівнює $\dfrac{1}{5}$, у якого чисельник на 12 менший від знаменника.

$ \dfrac{1}{5}=\dfrac{y}{y+12} $

$ 1(y+12)=5y $

$ y+12=5y $

$ 12=4y $

$ y=3 $

$ \text{Шуканий дріб } \dfrac{3}{15} $

8.16. Яке число треба додати до чисельника дробу $\dfrac{3}{10}$, щоб отримати дріб $\dfrac{1}{2}$?

$ \dfrac{3+a}{10}=\dfrac{1}{2} $

$ 2(3+a)=10 $

$ 6+2a=10 $

$ 2a=4 $

$ a=2 $

8.17. Яке число треба відняти від знаменника дробу $\dfrac{5}{18}$, щоб отримати дріб $\dfrac{1}{3}$?

$ \dfrac{5}{18-b}=\dfrac{1}{3} $

$ 5\cdot 3=18-b $

$ 15=18-b $

$ b=3 $

8.18. Розв’яжіть рівняння:

$1)\ \dfrac{x+4}{2x-1}-\dfrac{x+8}{2x+1}=0\ \ \ (x\neq \dfrac12;\ x\neq -\dfrac12)$
$\dfrac{(x+4)(2x+1)-(x+8)(2x-1)}{(2x-1)(2x+1)}=0$
$(x+4)(2x+1)-(x+8)(2x-1)=0$
$(2x^2+ x+8x+4)-(2x^2- x+16x-8)=0$
$(2x^2+9x+4)-(2x^2+15x-8)=0$
$2x^2+9x+4-2x^2-15x+8=0$
$-6x+12=0$
$x=2$

$2)\ \dfrac{1}{5x}-\dfrac{1}{10x}=\dfrac{1}{30}\ \ \ (x\neq 0)$
$\dfrac{2-1}{10x}=\dfrac{1}{30}$
$\dfrac{1}{10x}=\dfrac{1}{30}$
$10x=30$
$x=3$

$3)\ 2+\dfrac{1}{x-2}=\dfrac{8-x}{2-x}\ \ \ (x\neq 2)$
$\dfrac{2(x-2)+1}{x-2}=\dfrac{8-x}{2-x}$
$\dfrac{2x-4+1}{x-2}=\dfrac{8-x}{-(x-2)}$
$\dfrac{2x-3}{x-2}=\dfrac{x-8}{x-2}$
$2x-3=x-8$
$x=-5$

$4)\ \dfrac{1}{x-1}-\dfrac{1}{5x-5}=\dfrac{1}{10}\ \ \ (x\neq 1)$
$\dfrac{1}{x-1}-\dfrac{1}{5(x-1)}=\dfrac{1}{10}$
$\dfrac{5-1}{5(x-1)}=\dfrac{1}{10}$
$\dfrac{4}{5(x-1)}=\dfrac{1}{10}$
$40=5(x-1)$
$x-1=8$
$x=9$

8.19. Розв’яжіть рівняння:

$1)\ \dfrac{x+1}{3x+1}-\dfrac{x}{3x-1}=0\ \ (x\neq -\dfrac13;\ x\neq \dfrac13)$.

$\dfrac{(x+1)(3x-1)-x(3x+1)}{(3x+1)(3x-1)}=0$.

$(3x^2- x+3x-1)-(3x^2+ x)=0$.

$3x^2+2x-1-3x^2- x=0$.

$x-1=0$.

$x=1$.

$2)\ \dfrac{1}{6x}-\dfrac{1}{2x}=\dfrac{1}{6}\ \ (x\neq 0)$.

$\dfrac{1-3}{6x}=\dfrac{1}{6}$.

$\dfrac{-2}{6x}=\dfrac{1}{6}$.

$\dfrac{-1}{3x}=\dfrac{1}{6}$.

$-6=3x$.

$x=-2$.

$3)\ 3+\dfrac{1}{1-x}=\dfrac{x}{x-1}\ \ (x\neq 1)$.

$3-\dfrac{1}{x-1}=\dfrac{x}{x-1}$.

$\dfrac{3(x-1)-1}{x-1}=\dfrac{x}{x-1}$.

$\dfrac{3x-3-1}{x-1}=\dfrac{x}{x-1}$.

$\dfrac{3x-4}{x-1}=\dfrac{x}{x-1}$.

$3x-4=x$.

$2x=4$.

$x=2$.

$4)\ \dfrac{1}{4x+4}-\dfrac{1}{x+1}=\dfrac{3}{8}\ \ (x\neq -1)$.

$\dfrac{1}{4(x+1)}-\dfrac{1}{x+1}=\dfrac{3}{8}$.

$\dfrac{1-4}{4(x+1)}=\dfrac{3}{8}$.

$\dfrac{-3}{4(x+1)}=\dfrac{3}{8}$.

$\dfrac{-1}{4(x+1)}=\dfrac{1}{8}$.

$-8=4(x+1)$.

$x+1=-2$.

$x=-3$.

8.20. Чи є рівносильними рівняння $\dfrac{2x+6}{x+1}+\dfrac{3x-7}{x-2}=5$ і $\dfrac{x-2}{x+2}+\dfrac{x+2}{x-2}=\dfrac{8}{x^2-4}$?

Розв’яжемо перше рівняння, ОДЗ: $x\neq-1, x\neq 2$:

$\dfrac{(2x+6)(x-2)+(3x-7)(x+1)}{(x+1)(x-2)}=5$

$2x^2-4x+6x-12+3x^2+3x-7x-7=5(x^2-x-2)$

$5x^2-2x-19=5x^2-5x-10$

$-2x+5x=-10+19$

$3x=9$

$x=3$

Розв’яжемо друге рівняння, ОДЗ: $x\neq-2, x\neq 2$:

$\dfrac{(x-2)^2+(x+2)^2}{x^2-4}=\dfrac{8}{x^2-4}$

$x^2-4x+4+x^2+4x+4=8$

$2x^2+8=8$

$2x^2=0$

$x=0$

Корені рівнянь $x=3$ та $x=0$ не збігаються. Отже, рівняння не є рівносильними.

8.21. Чи є рівносильними рівняння $\dfrac{3x-12}{x-3}+\dfrac{x+12}{x}=4$ і $\dfrac{x+1}{x-1}+\dfrac{x-1}{x+1}=\dfrac{2}{x^2-1}$?

Розв’яжемо перше рівняння, ОДЗ: $x\neq 3, x\neq 0$:

$\dfrac{x(3x-12)+(x-3)(x+12)}{x(x-3)}=4$

$3x^2-12x+x^2+12x-3x-36=4(x^2-3x)$

$4x^2-3x-36=4x^2-12x$

$-3x+12x=36$

$9x=36$

$x=4$

Розв’яжемо друге рівняння, ОДЗ: $x\neq 1, x\neq-1$:

$\dfrac{(x+1)^2+(x-1)^2}{x^2-1}=\dfrac{2}{x^2-1}$

$x^2+2x+1+x^2-2x+1=2$

$2x^2+2=2$

$2x^2=0$

$x=0$

Корені рівнянь $x=4$ та $x=0$ не збігаються. Отже, рівняння не є рівносильними.

8.22. Чисельник на 5 менший від знаменника. Якщо до чисельника додати 14, а від знаменника відняти 1, одержимо дріб, обернений даному. Знайдіть початковий дріб.

$ \dfrac{n}{n+5} = \dfrac{(n+14)}{(n+5)-1}^{-1} = \dfrac{(n+5)-1}{n+14} $

$ \dfrac{n}{n+5}=\dfrac{n+4}{n+14} $

$ n(n+14)=(n+5)(n+4) $

$ n^2+14n=n^2+9n+20 $

$ 5n=20 $

$ n=4 $

$ \text{Дріб } \dfrac{4}{9} $

8.23. Знаменник на 3 більший за чисельник. Якщо до чисельника додати 8, а від знаменника відняти 1, одержимо дріб, обернений даному. Знайдіть початковий дріб.

$ \dfrac{n}{n+3}=\dfrac{(n+8)}{(n+3)-1}^{-1}=\dfrac{n+2}{n+8} $

$ n(n+8)=(n+3)(n+2) $

$ n^2+8n=n^2+5n+6 $

$ 3n=6 $

$ n=2 $

$ \text{Дріб } \dfrac{2}{5} $

8.24. Знайдіть корені рівняння

$1)\ \dfrac{x^2-2}{x^2+2x}=\dfrac{x-1}{x}+\dfrac{x+3}{x+2}\ \ (x\neq 0;\ x\neq -2)$
$\dfrac{x^2-2}{x(x+2)}=\dfrac{(x-1)(x+2)+x(x+3)}{x(x+2)}$
$x^2-2=(x^2+x-2)+(x^2+3x)$
$x^2-2=2x^2+4x-2$
$0=x^2+4x$
$x(x+4)=0$
$x=-4$ (x=0 не підходить за ОДЗ)

$2)\ \dfrac{x^2+1}{x^2-1}=\dfrac{x}{x+1}+\dfrac{2}{x-1}\ \ (x\neq 1;\ x\neq -1)$
$\dfrac{x^2+1}{(x-1)(x+1)}=\dfrac{x(x-1)+2(x+1)}{(x-1)(x+1)}$
$x^2+1=x^2-x+2x+2$
$x^2+1=x^2+x+2$
$-1=x$ немає розв’язків, бо після скорочення виходить $-\dfrac{1}{x-1}=0$, що неможливо при жодному $x$ з ОДЗ

8.25. Розв’яжіть рівняння

$1)\ \dfrac{x^2-2}{x^2-x}=\dfrac{x+2}{x}+\dfrac{x+3}{x-1}\ \ (x\neq 0;\ x\neq 1)$
$\dfrac{x^2-2}{x(x-1)}=\dfrac{(x+2)(x-1)+x(x+3)}{x(x-1)}$
$x^2-2=(x^2-x+2x-2)+(x^2+3x)$
$x^2-2=2x^2+4x-2$
$0=x^2+4x$
$x(x+4)=0$
$x_1=0$ (не входить в ОДЗ), $x_2=-4$
Відповідь: $x=-4$

$2)\ \dfrac{x^2+8}{x^2-4}=\dfrac{x}{x+2}+\dfrac{3}{x-2}\ \ (x\neq 2;\ x\neq -2)$
$\dfrac{x^2+8}{(x-2)(x+2)}=\dfrac{x(x-2)+3(x+2)}{(x-2)(x+2)}$
$x^2+8=x^2-2x+3x+6$
$x^2+8=x^2+x+6$
$8=x+6$
$x=2$ (не входить в ОДЗ)
Відповідь: коренів немає

8.26. Розв’яжіть рівняння:

$1)\ \dfrac{|x-1|-5}{x-6}=0$
ОДЗ: $x-6\neq0 \Rightarrow x\neq6$.
Дріб дорівнює нулю, коли чисельник дорівнює нулю, а знаменник не дорівнює нулю.
$|x-1|-5=0$
$|x-1|=5$
Розкриваємо модуль:
$x-1=5$ або $x-1=-5$
$x=6$ або $x=-4$
Корінь $x=6$ не задовольняє ОДЗ.
Відповідь: $x=-4$.

$2)\ \dfrac{|x-1|-1}{x(x-2)}=0$
ОДЗ: $x(x-2)\neq0 \Rightarrow x\neq0$ і $x\neq2$.
Прирівнюємо чисельник до нуля:
$|x-1|-1=0$
$|x-1|=1$
Розкриваємо модуль:
$x-1=1$ або $x-1=-1$
$x=2$ або $x=0$
Обидва знайдені корені не задовольняють ОДЗ.
Відповідь: коренів немає.

8.27. Знайдіть корені рівняння:

$1)\ \dfrac{|x-2|-3}{x-5}=0$
ОДЗ: $x-5\neq0 \Rightarrow x\neq5$.
Дріб дорівнює нулю, коли його чисельник дорівнює нулю.
$|x-2|-3=0$
$|x-2|=3$
Звідси маємо два випадки:
$x-2=3$ або $x-2=-3$
$x=5$ або $x=-1$
Корінь $x=5$ не задовольняє ОДЗ.
Відповідь: $x=-1$.

$2)\ \dfrac{|x-2|-2}{x(x-4)}=0$
ОДЗ: $x(x-4)\neq0 \Rightarrow x\neq0$ і $x\neq4$.
Прирівнюємо чисельник до нуля:
$|x-2|-2=0$
$|x-2|=2$
Звідси маємо два випадки:
$x-2=2$ або $x-2=-2$
$x=4$ або $x=0$
Обидва знайдені значення, $x=4$ і $x=0$, не задовольняють ОДЗ.
Відповідь: коренів немає.

8.28. Для яких значень $a$ рівняння не має розв’язків:

1) $\dfrac{x-2a}{x(x-8)}=0$

Рівняння не має розв’язків, якщо корінь чисельника збігається з одним із значень, що перетворюють знаменник на нуль.

ОДЗ: $x\neq0, x\neq8$.

Корінь чисельника: $x-2a=0 \Rightarrow x=2a$.

Рівняння не матиме розв’язків, якщо:

$2a=0 \Rightarrow a=0$

або

$2a=8 \Rightarrow a=4$

Відповідь: $a=0$ або $a=4$.

2) $\dfrac{x-a+1}{x^2-3x}=0$

Рівняння не має розв’язків, якщо корінь чисельника збігається з одним із значень, що перетворюють знаменник на нуль.

ОДЗ: $x^2-3x\neq0 \Rightarrow x(x-3)\neq0 \Rightarrow x\neq0, x\neq3$.

Корінь чисельника: $x-a+1=0 \Rightarrow x=a-1$.

Рівняння не матиме розв’язків, якщо:

$a-1=0 \Rightarrow a=1$

або

$a-1=3 \Rightarrow a=4$

Відповідь: $a=1$ або $a=4$.

8.29. Для яких значень $a$ рівняння $ \dfrac{(x-a)(x-2a-1)}{x-3}=0 $ має лише один корінь?

З першого рівняння маємо два можливі випадки для знаходження коренів:

$x-a=0$ або $x-2a-1=0$

Звідси знаходимо вирази для $x$:

$x=a$ або $x=2a+1$

Щоб початкове рівняння мало тільки один корінь, один із знайдених коренів має дорівнювати 3 (ймовірно, це значення виключається з області визначення рівняння).

$a=3$ або $2a+1=3$

Розв’язуємо друге рівняння для $a$:

$2a=3-1$

$2a=2$

$a=1$

Відповідь: $a=3; a=1$

Вправи для повторення

8.30. Спростіть вираз і знайдіть значення при $x=20$.

Спочатку розкладемо на множники знаменники дробів:

$ \dfrac{10x}{x+2} – \dfrac{x-8}{3(x+2)} \cdot \dfrac{120}{x(x-8)} $

Скоротимо дріб у другій частині виразу:

$ \dfrac{10x}{x+2} – \dfrac{1}{3(x+2)} \cdot \dfrac{120}{x} $

Виконаємо множення дробів:

$ \dfrac{10x}{x+2} – \dfrac{40}{x(x+2)} $

Зведемо дроби до спільного знаменника $x(x+2)$:

$ \dfrac{10x \cdot x}{x(x+2)} – \dfrac{40}{x(x+2)} = \dfrac{10x^2-40}{x(x+2)} $

Винесемо спільний множник 10 у чисельнику:

$ \dfrac{10(x^2-4)}{x(x+2)} $

Розкладемо чисельник за формулою різниці квадратів:

$ \dfrac{10(x-2)(x+2)}{x(x+2)} $

Скоротимо дріб на $(x+2)$:

$ \dfrac{10(x-2)}{x} $

Тепер підставимо значення $x = 20$ у спрощений вираз:

$ \dfrac{10(20-2)}{20} = \dfrac{10 \cdot 18}{20} = \dfrac{180}{20} = 9 $

Відповідь: 9. Отже, у скарбниці Лариси Латиніної 9 олімпійських золотих медалей.

8.31. Скоротіть дріб.

$ \dfrac{4a^2-b^2+2a-b}{4a^2+4ab+b^2+2a+b} $

$ \dfrac{(2a-b)(2a+b)+ (2a-b)}{(2a+b)^2 + (2a+b)} $

$ \dfrac{(2a-b)\big((2a+b)+1\big)}{(2a+b)\big((2a+b)+1\big)} $

$ \dfrac{2a-b}{2a+b} $

Пiдготуйтеся до вивчення нового матерiалу

8.32. Знайдіть значення степеня:

1. $(-2)^3$$ (-2)^3=-8 $
2. $14^2$$ 14^2=196 $
3. $(-1)^{11}\cdot (-1)^2$$ (-1)^{11}\cdot (-1)^2=(-1)\cdot 1=-1 $
4. $0^5$$ 0^5=0 $
5. $(0{,}3)^3$$ (0{,}3)^3=0{,}027 $
6. $(-0{,}8)^2$$ (-0{,}8)^2=0{,}64 $
7. $\left(-\dfrac{2}{7}\right)^2$$ \left(-\dfrac{2}{7}\right)^2=\dfrac{4}{49} $
8. $\left(-\dfrac{1}{5}\right)^3$$ \left(-\dfrac{1}{5}\right)^3=-\dfrac{1}{125} $

8.33. Обчисліть:

1. $2^5-3^2$$ 32-9=23 $
2. $(-1)^9+(-1)^8$$ (-1)+1=0 $
3. $4^2\cdot\left(-\dfrac{3}{4}\right)^2$$ 16\cdot \dfrac{9}{16}=9 $
4. $5^3:\left(\dfrac{5}{6}\right)^2$$ 125:\dfrac{25}{36}=125\cdot \dfrac{36}{25}=5\cdot 36=180 $

8.34. Подайте у вигляді степеня:

1. основою 2 числа 2, 4, 8, 16, 32, 128, 512$ 2=2^1,\ 4=2^2,\ 8=2^3,\ 16=2^4,\ 32=2^5,\ 128=2^7,\ 512=2^9 $
2. основою 3 числа 81, 243$ 81=3^4,\ 243=3^5 $
3. основою 5 числа 5, 25, 625$ 5=5^1,\ 25=5^2,\ 625=5^4 $
4. основою 10 числа 100, 10\ 000$ 100=10^2,\ 10\ 000=10^4 $

Життєва математика

8.35. У червні 1 кг помідорів на ринку коштував у середньому 60 грн. У липні ця вартість зменшилася на 30 %, а в кінці серпня – ще на 50 %. Скільки в середньому коштував на ринку 1 кг помідорів у кінці серпня?

$ 60 \cdot (1-0{,}30)=60 \cdot 0{,}70=42 $

$ 42 \cdot (1-0{,}50)=42 \cdot 0{,}50=21 $

$ \text{Відповідь: } 21\ \text{грн} $

Цікаві задачі – поміркуй одначе

8.36. Видатні українці.

1. Линів
2. Сікорський
3. Бєланов
4. Костенко

У виділеному стовпчику: ВІЕТ