§5. Множення дробів. Піднесення дробу до степеня

Назад до змісту

Розв’яжіть задачі та виконайте вправи

5.1. Виконайте множення:

$1) \frac{4 x}{a} \cdot \frac{b}{3 m} = \frac{4 x \cdot b}{a \cdot 3 m} = \frac{4 x b}{3 am}$

$2) \frac{2}{a} \cdot \frac{a}{5} = \frac{2 \cdot a}{a \cdot 5} = \frac{2}{5}$

$3) \frac{5 m}{4 n} \cdot \frac{3}{p} = \frac{5 m \cdot 3}{4 n \cdot p} = \frac{15 m}{4 n p}$

$4) \frac{3 x}{8} \cdot \frac{1}{x} = \frac{3 x \cdot 1}{8 \cdot x} = \frac{3}{8}$

5.2. Виконайте множення:

$1) \frac{5 p}{a} \cdot \frac{x}{2 b} = \frac{5 p \cdot x}{a \cdot 2 b} = \frac{5 p x}{2 ab}$

$2) \frac{b}{9} \cdot \frac{7}{b} = \frac{b \cdot 7}{9 \cdot b} = \frac{7}{9}$

$3) \frac{4}{7 a} \cdot \frac{5 b}{3} = \frac{4 \cdot 5 b}{7 a \cdot 3} = \frac{20 b}{21 a}$

$4) \frac{1}{m} \cdot \frac{m}{8} = \frac{1 \cdot m}{m \cdot 8} = \frac{1}{8}$

5.3. Перетворіть на дріб вираз:

$1) \frac{a ^{2}}{5} \cdot \frac{7}{a} = \frac{a ^{2} \cdot 7}{5 \cdot a} = \frac{7 a}{5}$

$2) \frac{b ^{4}}{3} \cdot \frac{5}{b ^{2}} = \frac{b ^{4} \cdot 5}{3 \cdot b ^{2}} = \frac{5 b ^{2}}{3}$

$3) \frac{1}{a ^{2}} \cdot \frac{a}{3} = \frac{1 \cdot a}{a ^{2} \cdot 3} = \frac{1}{3 a}$

$4) \frac{9}{x ^{2}} \cdot \frac{x}{3} = \frac{9 \cdot x}{x ^{2} \cdot 3} = \frac{3}{x}$

5.4. Перетворіть на дріб вираз:

$1) \frac{7}{b} \cdot \frac{b ^{2}}{3} = \frac{7 \cdot b ^{2}}{b \cdot 3} = \frac{7 b}{3}$

$2) \frac{5}{a ^{3}} \cdot \frac{a ^{5}}{2} = \frac{5 \cdot a ^{5}}{a ^{3} \cdot 2} = \frac{5 a ^{2}}{2}$

$3) \frac{m}{8} \cdot \frac{1}{m ^{2}} = \frac{m \cdot 1}{8 \cdot m ^{2}} = \frac{1}{8 m}$

$4) \frac{a ^{2}}{12} \cdot \frac{4}{a} = \frac{a ^{2} \cdot 4}{12 \cdot a} = \frac{a}{3}$

5.5. Виконайте дію:

$1) \frac{5 a}{7} \cdot \frac{21}{20 a ^{2}} = \frac{5 a \cdot 21}{7 \cdot 20 a ^{2}} = \frac{1 \cdot 3}{4 a} = \frac{3}{4 a}$

$2) \frac{3 , 5}{14 a ^{2}} \cdot \frac{4 a ^{3}}{5 b} = \frac{3 , 5 \cdot 4 a ^{3}}{14 a ^{2} \cdot 5 b} = \frac{14 a}{70 b} = \frac{a}{5 b}$

$3) \frac{c ^{2}}{30} \cdot \frac{20}{c m} = \frac{20 c ^{2}}{30 c m} = \frac{2 c}{3 m}$

$4) - \frac{3 m}{5 a ^{2}} \cdot \frac{a}{9 m ^{2}} = - \frac{3 am}{45 a ^{2} m ^{2}} = - \frac{1}{15 am}$

$5) \frac{4 x ^{2}}{7 p} \cdot (- \frac{21 p}{8 x ^{3}}) = - \frac{4 x ^{2} \cdot 21 p}{7 p \cdot 8 x ^{3}} = - \frac{3}{2 x}$

$6) - \frac{5 x ^{2}}{7 y ^{3}} \cdot (- \frac{21 y ^{2}}{25 x}) = \frac{5 x ^{2} \cdot 21 y ^{2}}{7 y ^{3} \cdot 25 x} = \frac{3 x}{5 y}$

5.6. Перетворіть на дріб вираз:

$1) \frac{15 m ^{2}}{22} \cdot \frac{11}{10 m} = \frac{15 m ^{2} \cdot 11}{22 \cdot 10 m} = \frac{3 m}{4}$

$2) \frac{6 p}{7} \cdot \frac{2 , 5 c ^{2}}{15 p ^{3}} = \frac{6 p \cdot 2 , 5 c ^{2}}{7 \cdot 15 p ^{3}} = \frac{15 p c ^{2}}{105 p ^{3}} = \frac{c ^{2}}{7 p ^{2}}$

$3) \frac{15}{x p} \cdot \frac{x ^{2}}{45} = \frac{15 x ^{2}}{45 x p} = \frac{x}{3 p}$

$4) \frac{4 a}{p ^{2}} \cdot (- \frac{p}{8 a ^{2}}) = - \frac{4 a p}{8 a ^{2} p ^{2}} = - \frac{1}{2 a p}$

$5) - \frac{5 c ^{2}}{7 y} \cdot \frac{49 y}{10 c ^{3}} = - \frac{5 c ^{2} \cdot 49 y}{7 y \cdot 10 c ^{3}} = - \frac{7}{2 c}$

$6) - \frac{6 a ^{2}}{65 b ^{3}} \cdot (- \frac{13 b}{30 a}) = \frac{6 a ^{2} \cdot 13 b}{65 b ^{3} \cdot 30 a} = \frac{a}{25 b ^{2}}$

5.7. Перетворіть на дріб вираз:

1) $9 p \cdot \frac{b}{6 p ^{2}} = \frac{9 p b}{6 p ^{2}} = \frac{3 b}{2 p}$

2) $\frac{4 m ^{3}}{x ^{2}} \cdot x^{3} = \frac{4 m ^{3} x ^{3}}{x ^{2}} = 4 m^{3} x$

3) $9 a b^{2} \cdot (- \frac{5 b}{3 a ^{3}}) = - \frac{9 a b ^{2} \cdot 5 b}{3 a ^{3}} = - \frac{45 a b ^{3}}{3 a ^{3}} = - \frac{15 b ^{3}}{a ^{2}}$

4) $- 7 a b^{3} \cdot \frac{b ^{5}}{14 a} = - \frac{7 a b ^{8}}{14 a} = - \frac{b ^{8}}{2}$

5) $- 4 m n^{2} \cdot \frac{1}{8 mn} = - \frac{4 m n ^{2}}{8 mn} = - \frac{n}{2}$

6) $- 11 a^{2} b \cdot (- \frac{5}{22 a ^{3} b ^{2}}) = \frac{11 a ^{2} b \cdot 5}{22 a ^{3} b ^{2}} = \frac{55 a ^{2} b}{22 a ^{3} b ^{2}} = \frac{5}{2 ab}$

5.8. Виконайте дію:

1) $\frac{a}{16 m ^{2}} \cdot 12 m = \frac{12 am}{16 m ^{2}} = \frac{3 a}{4 m}$

2) $a^{3} \cdot \frac{7 x ^{3}}{a ^{2}} = \frac{a ^{3} \cdot 7 x ^{3}}{a ^{2}} = 7 a x^{3}$

3) $- \frac{7 y}{4 x ^{2}} \cdot 12 x y^{3} = - \frac{7 y \cdot 12 x y ^{3}}{4 x ^{2}} = - \frac{84 x y ^{4}}{4 x ^{2}} = - \frac{21 y ^{4}}{x}$

4) $5 c m^{4} \cdot (- \frac{m}{15 c}) = - \frac{5 c m ^{5}}{15 c} = - \frac{m ^{5}}{3}$

5) $- 5 a b^{2} \cdot (- \frac{1}{10 ab}) = \frac{5 a b ^{2}}{10 ab} = \frac{b}{2}$

6) $13 c^{2} d \cdot \frac{7}{26 c ^{3} d ^{2}} = \frac{13 c ^{2} d \cdot 7}{26 c ^{3} d ^{2}} = \frac{91 c ^{2} d}{26 c ^{3} d ^{2}} = \frac{7}{2 c d}$

5.9. Спростіть вираз:

1) $\frac{7 c ^{3}}{10 m ^{2}} \cdot \frac{25 m ^{3}}{14 c ^{8}} = \frac{7 \cdot 25 \cdot c ^{3} m ^{3}}{10 \cdot 14 \cdot m ^{2} c ^{8}} = \frac{175 c ^{3} m ^{3}}{140 m ^{2} c ^{8}} = \frac{5 m}{4 c ^{5}}$

2) $- \frac{8 a ^{3}}{27 c ^{4}} \cdot \frac{45 c ^{5}}{16 a ^{3}} = - \frac{8 \cdot 45 \cdot a ^{3} c ^{5}}{27 \cdot 16 \cdot c ^{4} a ^{3}} = - \frac{360 a ^{3} c ^{5}}{432 c ^{4} a ^{3}} = - \frac{5 c}{6}$

3) $\frac{4 c ^{3}}{15 a ^{8}} \cdot (- \frac{5 a ^{3}}{8 c ^{4}}) = - \frac{4 \cdot 5 \cdot c ^{3} a ^{3}}{15 \cdot 8 \cdot a ^{8} c ^{4}} = - \frac{20 c ^{3} a ^{3}}{120 a ^{8} c ^{4}} = - \frac{1}{6 a ^{5} c}$

4) $- \frac{1}{25 p ^{2} q ^{7}} \cdot (- \frac{10 p ^{3} q ^{7}}{11}) = \frac{10 p ^{3} q ^{7}}{25 \cdot 11 \cdot p ^{2} q ^{7}} = \frac{10 p ^{3} q ^{7}}{275 p ^{2} q ^{7}} = \frac{2 p}{55}$

5.10. Спростіть вираз:

1) $\frac{9 m ^{2}}{25 a ^{2}} \cdot \frac{35 a ^{3}}{18 m ^{5}} = \frac{9 \cdot 35 \cdot m ^{2} a ^{3}}{25 \cdot 18 \cdot a ^{2} m ^{5}} = \frac{7 a}{10 m ^{3}}$

2) $\frac{7 p ^{3}}{18 a ^{3}} \cdot (- \frac{27 a ^{4}}{14 p ^{3}}) = - \frac{7 \cdot 27 \cdot p ^{3} a ^{4}}{18 \cdot 14 \cdot a ^{3} p ^{3}} = - \frac{3 a}{4}$

3) $- \frac{5 m ^{3}}{21 n ^{7}} \cdot \frac{7 n ^{2}}{10 m ^{4}} = - \frac{5 \cdot 7 \cdot m ^{3} n ^{2}}{21 \cdot 10 \cdot n ^{7} m ^{4}} = - \frac{1}{6 m n ^{5}}$

4) $- \frac{1}{18 c ^{3} d ^{4}} \cdot (- \frac{12 c ^{4} d ^{4}}{7}) = \frac{12 c ^{4} d ^{4}}{18 \cdot 7 \cdot c ^{3} d ^{4}} = \frac{2 c}{21}$

5.11. Виконайте множення:

1) $\frac{a ^{2} + 2 a}{5} \cdot \frac{a}{4 a + 8} = \frac{a ( a + 2 )}{5} \cdot \frac{a}{4 ( a + 2 )} = \frac{a ^{2}}{20}$

2) $\frac{7 m}{a} \cdot \frac{a ^{2} - ab}{21} = \frac{7 m}{a} \cdot \frac{a ( a - b )}{21} = \frac{m ( a - b )}{3}$

3) $\frac{2 a - b}{10 a} \cdot \frac{15 a ^{2}}{b - 2 a} = \frac{2 a - b}{10 a} \cdot \frac{15 a ^{2}}{- ( 2 a - b )} = - \frac{15 a ^{2}}{10 a} = - \frac{3 a}{2}$

4) $\frac{10 ab}{x + y} \cdot \frac{x ^{2} - y ^{2}}{5 ab} = \frac{10 ab}{x + y} \cdot \frac{( x - y ) ( x + y )}{5 ab} = 2 (x - y)$

5) $- \frac{ab - a c}{10 p} \cdot \frac{25 p}{x c - x b} = - \frac{a ( b - c )}{10 p} \cdot \frac{25 p}{x ( c - b )} = - \frac{a ( b - c )}{10 p} \cdot \frac{25 p}{- x ( b - c )} = \frac{25 a p}{10 p x} = \frac{5 a}{2 x}$

6) $\frac{a ^{2} + ab}{x ^{2}} \cdot \frac{x y}{a ^{2} + 2 ab + b ^{2}} = \frac{a ( a + b )}{x ^{2}} \cdot \frac{x y}{( a + b ) ^{2}} = \frac{a y}{x ( a + b )}$

5.12. Виконайте множення:

1) $\frac{m ^{2} - 3 m}{7} \cdot \frac{x}{2 m - 6} = \frac{m ( m - 3 )}{7} \cdot \frac{x}{2 ( m - 3 )} = \frac{m x}{14}$

2) $\frac{5 a}{x ^{2} + x y} \cdot \frac{x}{15} = \frac{5 a}{x ( x + y )} \cdot \frac{x}{15} = \frac{a}{3 ( x + y )}$

3) $\frac{a - b}{16 m ^{2}} \cdot \frac{24 m}{b - a} = \frac{a - b}{16 m ^{2}} \cdot \frac{24 m}{- ( a - b )} = - \frac{24 m}{16 m ^{2}} = - \frac{3}{2 m}$

4) $\frac{x ^{2} - y ^{2}}{5 p c} \cdot \frac{20 p c}{x - y} = \frac{( x - y ) ( x + y )}{5 p c} \cdot \frac{20 p c}{x - y} = 4 (x + y)$

5) $\frac{3 a - 3 b}{12 x} \cdot (- \frac{18 x}{mb - ma}) = \frac{3 ( a - b )}{12 x} \cdot (- \frac{18 x}{m ( b - a )}) = \frac{3 ( a - b )}{12 x} \cdot \frac{18 x}{m ( a - b )} = \frac{54 x}{12 x m} = \frac{9}{2 m}$

6) $\frac{m ^{2} - 2 mn + n ^{2}}{p c} \cdot \frac{p ^{2}}{m ^{2} - mn} = \frac{( m - n ) ^{2}}{p c} \cdot \frac{p ^{2}}{m ( m - n )} = \frac{p ( m - n )}{m c}$

5.13. Спростіть вираз та знайдіть його значення:

$\frac{5 x ^{2} + 15 x}{y ^{2} - 2 y} \cdot \frac{2 - y}{x + 3} = \frac{5 x ( x + 3 )}{y ( y - 2 )} \cdot \frac{- ( y - 2 )}{x + 3} = - \frac{5 x}{y}$

Якщо $x = 17, y = - \frac{1}{23}$ , то

$- \frac{5 \cdot 17}{- \frac{1}{23}} = \frac{85}{\frac{1}{23}} = 85 \cdot 23 = 1955$

Відтак: у 1955 році українка Катерина Ющенко винайшла одну з перших у світі мов програмування високого рівня з назвою «Адресна мова».

5.14. Спростіть вираз та знайдіть його значення:

$\frac{35 a - 5 a ^{2}}{b ^{2} + 4 b} \cdot \frac{4 + b}{a - 7} = \frac{5 a ( 7 - a )}{b ( b + 4 )} \cdot \frac{b + 4}{a - 7} = \frac{- 5 a ( a - 7 )}{b ( b + 4 )} \cdot \frac{b + 4}{a - 7} = - \frac{5 a}{b}$

Якщо $a = 79, b = - 0.2$ , то

$- \frac{5 \cdot 79}{- 0.2} = \frac{395}{0.2} = 1975$

Відтак: у 1975 році футбольна команда «Динамо» (Київ) уперше виборола європейський Кубок кубків.

5.15. Піднесіть до степеня:

1) $(\frac{p}{4 m})^{3} = \frac{p ^{3}}{4 ^{3} m ^{3}} = \frac{p ^{3}}{64 m ^{3}}$

2) $(\frac{3 c ^{2}}{m})^{4} = \frac{3 ^{4} ( c ^{2} ) ^{4}}{m ^{4}} = \frac{81 c ^{8}}{m ^{4}}$

3) $(- \frac{3 m ^{2} n}{7})^{2} = \frac{( - 3 ) ^{2} ( m ^{2} ) ^{2} n ^{2}}{7 ^{2}} = \frac{9 m ^{4} n ^{2}}{49}$

4) $(- \frac{2 m ^{2}}{3 x ^{3}})^{3} = - \frac{2 ^{3} ( m ^{2} ) ^{3}}{3 ^{3} ( x ^{3} ) ^{3}} = - \frac{8 m ^{6}}{27 x ^{9}}$

5) $(\frac{2 a ^{3} b}{x ^{7}})^{5} = \frac{2 ^{5} ( a ^{3} ) ^{5} b ^{5}}{( x ^{7} ) ^{5}} = \frac{32 a ^{15} b ^{5}}{x ^{35}}$

6) $(- \frac{c ^{2} m ^{3}}{p})^{10} = \frac{( c ^{2} ) ^{10} ( m ^{3} ) ^{10}}{p ^{10}} = \frac{c ^{20} m ^{30}}{p ^{10}}$

5.16. Подайте у вигляді дробу вираз:

1) $(\frac{c}{5 m})^{2} = \frac{c ^{2}}{5 ^{2} m ^{2}} = \frac{c ^{2}}{25 m ^{2}}$

2) $(\frac{y}{2 x ^{3}})^{4} = \frac{y ^{4}}{2 ^{4} ( x ^{3} ) ^{4}} = \frac{y ^{4}}{16 x ^{12}}$

3) $(- \frac{4 c ^{2} m ^{3}}{5})^{2} = \frac{( - 4 ) ^{2} ( c ^{2} ) ^{2} ( m ^{3} ) ^{2}}{5 ^{2}} = \frac{16 c ^{4} m ^{6}}{25}$

4) $(- \frac{3 c ^{3}}{m ^{7}})^{3} = - \frac{3 ^{3} ( c ^{3} ) ^{3}}{( m ^{7} ) ^{3}} = - \frac{27 c ^{9}}{m ^{21}}$

5) $(\frac{c ^{3} m}{2 a ^{2}})^{6} = \frac{( c ^{3} ) ^{6} m ^{6}}{2 ^{6} ( a ^{2} ) ^{6}} = \frac{c ^{18} m ^{6}}{64 a ^{12}}$

6) $(- \frac{a b ^{3}}{c ^{2}})^{8} = \frac{a ^{8} ( b ^{3} ) ^{8}}{( c ^{2} ) ^{8}} = \frac{a ^{8} b ^{24}}{c ^{16}}$

5.17. Спростіть вираз:

1) $\frac{54 a ^{2} c}{81 b ^{3}} \cdot \frac{32 ab}{13 c ^{3}} \cdot \frac{52 b c ^{2}}{128 a ^{3}} = \frac{54 \cdot 32 \cdot 52 \cdot a ^{2} c ab c ^{2}}{81 \cdot 13 \cdot 128 \cdot b ^{3} c ^{3} a ^{3}} = \frac{2 \cdot 1 \cdot 4 \cdot a ^{3} b ^{2} c ^{3}}{3 \cdot 1 \cdot 4 \cdot a ^{3} b ^{3} c ^{3}} = \frac{2}{3 b}$

2) $\frac{147 x ^{4} y ^{2}}{p ^{3}} \cdot 10 x p^{2} \cdot \frac{y ^{3}}{105 x ^{5} y} = \frac{147 \cdot 10 \cdot x ^{4} y ^{2} x p ^{2} y ^{3}}{105 \cdot p ^{3} x ^{5} y} = \frac{14 \cdot x ^{5} y ^{5} p ^{2}}{p ^{3} x ^{5} y} = \frac{14 y ^{4}}{p}$

5.18. Виконайте дії:

1) $\frac{14 x z ^{3}}{81 y ^{2}} \cdot \frac{27 y ^{3}}{5 x z} \cdot \frac{45 x y}{7 z ^{2}} = \frac{14 \cdot 27 \cdot 45 \cdot x z ^{3} y ^{3} x y}{81 \cdot 5 \cdot 7 \cdot y ^{2} x z z ^{2}} = \frac{2 \cdot 1 \cdot 9 \cdot x ^{2} y ^{4} z ^{3}}{3 \cdot 1 \cdot 1 \cdot x y ^{2} z ^{3}} = 6 x y^{2}$

2) $\frac{b ^{3}}{111 m ^{5}} \cdot 3 m c^{3} \cdot \frac{74 m ^{3} b}{c ^{4}} = \frac{3 \cdot 74 \cdot b ^{3} m c ^{3} m ^{3} b}{111 \cdot m ^{5} c ^{4}} = \frac{2 \cdot b ^{4} m ^{4} c ^{3}}{m ^{5} c ^{4}} = \frac{2 b ^{4}}{m c}$

5.19. Знайдіть добуток:

1) $\frac{m ^{2} - 4 m + 4}{m ^{2} + 6 m + 9} \cdot \frac{m ^{2} - 9}{3 m - 6} = \frac{( m - 2 ) ^{2}}{( m + 3 ) ^{2}} \cdot \frac{( m - 3 ) ( m + 3 )}{3 ( m - 2 )} = \frac{( m - 2 ) ( m - 3 )}{3 ( m + 3 )}$

2) $- \frac{x ^{2} - 10 x + 25}{x ^{2} - 3 x + 9} \cdot \frac{x ^{3} + 27}{25 - x ^{2}} = - \frac{( x - 5 ) ^{2}}{x ^{2} - 3 x + 9} \cdot \frac{( x + 3 ) ( x ^{2} - 3 x + 9 )}{- ( x - 5 ) ( x + 5 )} = \frac{x - 5}{1} \cdot \frac{x + 3}{x + 5} = \frac{( x - 5 ) ( x + 3 )}{x + 5}$

5.20. Виконайте множення:

1) $\frac{a ^{2} + 8 a + 16}{a ^{2} - 2 a + 1} \cdot \frac{7 a - 7}{a ^{2} - 16} = \frac{( a + 4 ) ^{2}}{( a - 1 ) ^{2}} \cdot \frac{7 ( a - 1 )}{( a - 4 ) ( a + 4 )} = \frac{7 ( a + 4 )}{( a - 1 ) ( a - 4 )}$

2) $\frac{y ^{3} - 8}{9 - y ^{2}} \cdot \frac{y ^{2} - 6 y + 9}{y ^{2} + 2 y + 4} = \frac{( y - 2 ) ( y ^{2} + 2 y + 4 )}{- ( y - 3 ) ( y + 3 )} \cdot \frac{( y - 3 ) ^{2}}{y ^{2} + 2 y + 4} = \frac{- ( y - 2 ) ( y - 3 )}{y + 3}$

5.21. Перетворіть на дріб:

1) $(4 a + 20 b) \cdot \frac{5}{a ^{2} - 25 b ^{2}} = 4 (a + 5 b) \cdot \frac{5}{( a - 5 b ) ( a + 5 b )} = \frac{20}{a - 5 b}$

2) $(m^{2} - 4) \cdot \frac{2 m}{( m - 2 ) ^{2}} = (m - 2) (m + 2) \cdot \frac{2 m}{( m - 2 ) ^{2}} = \frac{2 m ( m + 2 )}{m - 2}$

3) $- \frac{a}{2 a ^{2} - 18} \cdot (a^{2} - 6 a + 9) = - \frac{a}{2 ( a - 3 ) ( a + 3 )} \cdot (a - 3)^{2} = - \frac{a ( a - 3 )}{2 ( a + 3 )}$

4) $(x^{3} + 27 y^{3}) \cdot \frac{5}{3 x ^{2} - 9 x y + 27 y ^{2}} = (x + 3 y) (x^{2} - 3 x y + 9 y^{2}) \cdot \frac{5}{3 ( x ^{2} - 3 x y + 9 y ^{2} )} = \frac{5 ( x + 3 y )}{3}$

5.22. Перетворіть на дріб:

1) $\frac{4}{x ^{2} - 9 y ^{2}} \cdot (6 x + 18 y) = \frac{4}{( x - 3 y ) ( x + 3 y )} \cdot 6 (x + 3 y) = \frac{24}{x - 3 y}$

2) $(c^{2} + 4 c + 4) \cdot (- \frac{c}{3 c ^{2} - 12}) = (c + 2)^{2} \cdot (- \frac{c}{3 ( c ^{2} - 4 )}) = (c + 2)^{2} \cdot (- \frac{c}{3 ( c - 2 ) ( c + 2 )}) = - \frac{c ( c + 2 )}{3 ( c - 2 )}$

5.23. Виконайте дії:

1) $(\frac{25 x ^{2}}{8 y ^{3}})^{3} \cdot (- \frac{16 y ^{5}}{125 x ^{3}})^{2} = \frac{2 5 ^{3} ( x ^{2} ) ^{3}}{8 ^{3} ( y ^{3} ) ^{3}} \cdot \frac{1 6 ^{2} ( y ^{5} ) ^{2}}{12 5 ^{2} ( x ^{3} ) ^{2}} = \frac{15625 x ^{6}}{512 y ^{9}} \cdot \frac{256 y ^{10}}{15625 x ^{6}} = \frac{y}{2}$

2) $\frac{x ^{2} - 2 x y + y ^{2}}{x ^{2} + 2 x y + y ^{2}} \cdot (\frac{x + y}{x - y})^{3} = \frac{( x - y ) ^{2}}{( x + y ) ^{2}} \cdot \frac{( x + y ) ^{3}}{( x - y ) ^{3}} = \frac{x + y}{x - y}$

5.24. Виконайте дії:

1) $(- \frac{16 m ^{3}}{27 n ^{5}})^{2} \cdot (\frac{9 n ^{4}}{8 m ^{2}})^{3} = \frac{1 6 ^{2} ( m ^{3} ) ^{2}}{2 7 ^{2} ( n ^{5} ) ^{2}} \cdot \frac{9 ^{3} ( n ^{4} ) ^{3}}{8 ^{3} ( m ^{2} ) ^{3}} = \frac{256 m ^{6}}{729 n ^{10}} \cdot \frac{729 n ^{12}}{512 m ^{6}} = \frac{n ^{2}}{2}$

2) $(\frac{m - n}{m + n})^{3} \cdot \frac{m ^{2} + 2 mn + n ^{2}}{m ^{2} - 2 mn + n ^{2}} = \frac{( m - n ) ^{3}}{( m + n ) ^{3}} \cdot \frac{( m + n ) ^{2}}{( m - n ) ^{2}} = \frac{m - n}{m + n}$

5.25. Знайдіть значення виразу:

1) $\frac{6 ab - b}{5 a + b} \cdot \frac{25 a ^{2} - b ^{2}}{6 a - 1} = \frac{b ( 6 a - 1 )}{5 a + b} \cdot \frac{( 5 a - b ) ( 5 a + b )}{6 a - 1} = b (5 a - b)$

Якщо $a = 1.2, b = 6$ , то

$6 \cdot (5 \cdot 1.2 - 6) = 6 \cdot (6 - 6) = 0$

2) $\frac{a ^{3} + 8}{a ^{2} - 1} \cdot \frac{a ^{2} + a}{a ^{2} - 2 a + 4} = \frac{( a + 2 ) ( a ^{2} - 2 a + 4 )}{( a - 1 ) ( a + 1 )} \cdot \frac{a ( a + 1 )}{a ^{2} - 2 a + 4} = \frac{a ( a + 2 )}{a - 1}$

Якщо $a = 6$ , то

$\frac{6 ( 6 + 2 )}{6 - 1} = \frac{6 \cdot 8}{5} = \frac{48}{5} = 9.6$

5.26. Виконайте множення:

1) $\frac{x ^{2} + a x - c x - c a}{x ^{2} - a x + c x - a c} \cdot \frac{x ^{2} + a c + x c + x a}{x ^{2} + a c - x c - x a} = \frac{( x + a ) ( x - c )}{( x - a ) ( x + c )} \cdot \frac{( x + a ) ( x + c )}{( x - a ) ( x - c )} = \frac{( x + a ) ^{2}}{( x - a ) ^{2}}$

2) $\frac{5 a - 5 b}{3 c + 3 y} \cdot \frac{c ^{2} - y ^{2} - c - y}{a ^{2} - b ^{2} + a - b} = \frac{5 ( a - b )}{3 ( c + y )} \cdot \frac{( c + y ) ( c - y - 1 )}{( a - b ) ( a + b + 1 )} = \frac{5 ( c - y - 1 )}{3 ( a + b + 1 )}$

5.27. Обчисліть:

$\frac{a ^{2} - b ^{2} + a + b}{a ^{2} - b ^{2} + a - b} \cdot \frac{4 a - 4 b}{8 a + 8 b} = \frac{( a + b ) ( a - b ) + ( a + b )}{( a - b ) ( a + b ) + ( a - b )} \cdot \frac{4 ( a - b )}{8 ( a + b )} = \frac{( a + b ) ( a - b + 1 )}{( a - b ) ( a + b + 1 )} \cdot \frac{a - b}{2 ( a + b )} = \frac{a - b + 1}{2 ( a + b + 1 )}$

Якщо $a = 100, b = 101$ , то

$\frac{100 - 101 + 1}{2 ( 100 + 101 + 1 )} = \frac{0}{2 ( 202 )} = 0$

Вправи для повторення

5.28. Розв’яжіть систему рівнянь:

$\cases \frac{1}{8} (x + y) = 3 \cr \frac{1}{3} (x - y) = 5$

${x + y = 24 x - y = 15$

$(x + y) + (x - y) = 24 + 15$

$2 x = 39$

$x = 19.5$

$19.5 + y = 24$

$y = 4.5$

Відповідь: $(19.5; 4.5)$

$⎩ ⎨ ⎧ \frac{x - 1}{3} + \frac{y - 1}{2} = 2 \frac{x - 1}{2} - \frac{y - 1}{12} = \frac{4}{3}$

Нехай $a = x - 1$ і $b = y - 1$ .

$⎩ ⎨ ⎧ \frac{a}{3} + \frac{b}{2} = 2 \frac{a}{2} - \frac{b}{12} = \frac{4}{3}$

${2 a + 3 b = 12 6 a - b = 16$

${2 a + 3 b = 12 b = 6 a - 16$

$2 a + 3 (6 a - 16) = 12$

$2 a + 18 a - 48 = 12$

$20 a = 60$

$a = 3$

$b = 6 (3) - 16 = 2$

$x - 1 = 3 \Rightarrow x = 4$

$y - 1 = 2 \Rightarrow y = 3$

Відповідь: $(4; 3)$

5.29. Побудуйте графік функції:

$y = \frac{x ^{3} - 8}{x - 2} - x^{2}$

Спростимо вираз:

$y = \frac{( x - 2 ) ( x ^{2} + 2 x + 4 )}{x - 2} - x^{2}$

Область визначення: $x - 2 \neq = 0 \Rightarrow x \neq = 2$ .

$y = x^{2} + 2 x + 4 - x^{2}$

$y = 2 x + 4$

Графіком є пряма $y = 2 x + 4$ з виколотою точкою при $x = 2$ .

Знайдемо координати цієї точки: $y = 2 (2) + 4 = 8$ .

Отже, точка $(2; 8)$ .

$y = \dfrac{x^3-8}{x-2}-x^2$

Пiдготуйтеся до вивчення нового матерiалу

5.30. Знайдіть число, взаємно обернене із числом:

1) $4 = \frac{4}{1} \Rightarrow \frac{1}{4}$

2) $- 7 = - \frac{7}{1} \Rightarrow - \frac{1}{7}$

3) $\frac{1}{3} \Rightarrow 3$

4) $- \frac{2}{5} \Rightarrow - \frac{5}{2}$

5) $0, 16 = \frac{16}{100} = \frac{4}{25} \Rightarrow \frac{25}{4} = 6.25$

6) $1, 2 = \frac{12}{10} = \frac{6}{5} \Rightarrow \frac{5}{6}$

5.31. Обчисліть:

1) $\frac{26}{45} : \frac{91}{135} = \frac{26}{45} \cdot \frac{135}{91} = \frac{2 \cdot 13 \cdot 3 \cdot 45}{45 \cdot 7 \cdot 13} = \frac{6}{7}$

2) $2 \frac{1}{2} : \frac{15}{16} = \frac{5}{2} : \frac{15}{16} = \frac{5}{2} \cdot \frac{16}{15} = \frac{5 \cdot 16}{2 \cdot 15} = \frac{8}{3}$

3) $- 3 \frac{1}{7} : 2 \frac{5}{14} = - \frac{22}{7} : \frac{33}{14} = - \frac{22}{7} \cdot \frac{14}{33} = - \frac{2 \cdot 2}{3} = - \frac{4}{3}$

4) $- 5 \frac{13}{15} : (- 1 \frac{8}{25}) = - \frac{88}{15} : (- \frac{33}{25}) = \frac{88}{15} \cdot \frac{25}{33} = \frac{8 \cdot 5}{3 \cdot 3} = \frac{40}{9}$

Життєва математика

5.32. Родина витрачає 13% своїх доходів на оплату комірного, 45% – на продукти харчування, 17% – на побутові товари і послуги, а решту на відпочинок. Який річний бюджет родини, якщо на відпочинок вона витрачає 120 000 грн на рік?

Знайдемо, який відсоток доходів родина витрачає на відпочинок:

100% – (13% + 45% + 17%) = 100% – 75% = 25%

Знайдемо річний бюджет родини. Нехай $x$ — річний бюджет.

$0.25 x = 120000$

$x = \frac{120000}{0.25}$

$x = 480000$

Відповідь: річний бюджет родини становить 480 000 грн.

Цікаві задачі – поміркуй одначе

5.33. На моніторі комп’ютера – число 2500. Щохвилини комп’ютерна програма множить або ділить це число на 2 або на 5, одержуючи при цьому натуральне число. Чи може на моніторі рівно через годину з’явитися число: 1) 10 000; 2) 20 000?

Розкладемо початкове число на прості множники:

$2500 = 25 \cdot 100 = 5^{2} \cdot 1 0^{2} = 5^{2} \cdot (2 \cdot 5)^{2} = 2^{2} \cdot 5^{4}$

Сума показників степенів простих множників дорівнює $2 + 4 = 6$ .

Кожна операція (множення або ділення на 2 або на 5) змінює суму показників степенів на 1 (або $+ 1$ , або $- 1$ ). Це означає, що парність суми показників змінюється щохвилини.

Початкова сума показників (6) є парною.

Після 1 хвилини сума стане непарною.

Після 2 хвилин – знову парною.

Через годину, тобто через 60 хвилин (парне число операцій), сума показників степенів у розкладі нового числа також має бути парною.

Перевіримо числа-кандидати:

1) 10 000

$10000 = 1 0^{4} = (2 \cdot 5)^{4} = 2^{4} \cdot 5^{4}$

Сума показників степенів: $4 + 4 = 8$ . Число 8 є парним.

Оскільки парність суми показників (8) збігається з парністю початкової суми (6) після парної кількості кроків, то число 10 000 може з’явитися на моніторі.

2) 20 000

$20000 = 2 \cdot 10000 = 2 \cdot (2^{4} \cdot 5^{4}) = 2^{5} \cdot 5^{4}$

Сума показників степенів: $5 + 4 = 9$ . Число 9 є непарним.

Оскільки парність суми показників (9) не збігається з необхідною парністю, число 20 000 не може з’явитися на моніторі.

Відповідь: 1) так, може; 2) ні, не може.