Розв’яжіть задачі та виконайте вправи
5.1. Виконайте множення:
$1) \dfrac{4x}{a} \cdot \dfrac{b}{3m} = \dfrac{4x \cdot b}{a \cdot 3m} = \dfrac{4xb}{3am}$
$2) \dfrac{2}{a} \cdot \dfrac{a}{5} = \dfrac{2 \cdot a}{a \cdot 5} = \dfrac{2}{5}$
$3) \dfrac{5m}{4n} \cdot \dfrac{3}{p} = \dfrac{5m \cdot 3}{4n \cdot p} = \dfrac{15m}{4np}$
$4) \dfrac{3x}{8} \cdot \dfrac{1}{x} = \dfrac{3x \cdot 1}{8 \cdot x} = \dfrac{3}{8}$
5.2. Виконайте множення:
$1) \dfrac{5p}{a} \cdot \dfrac{x}{2b} = \dfrac{5p \cdot x}{a \cdot 2b} = \dfrac{5px}{2ab}$
$2) \dfrac{b}{9} \cdot \dfrac{7}{b} = \dfrac{b \cdot 7}{9 \cdot b} = \dfrac{7}{9}$
$3) \dfrac{4}{7a} \cdot \dfrac{5b}{3} = \dfrac{4 \cdot 5b}{7a \cdot 3} = \dfrac{20b}{21a}$
$4) \dfrac{1}{m} \cdot \dfrac{m}{8} = \dfrac{1 \cdot m}{m \cdot 8} = \dfrac{1}{8}$
5.3. Перетворіть на дріб вираз:
$1) \dfrac{a^2}{5} \cdot \dfrac{7}{a} = \dfrac{a^2 \cdot 7}{5 \cdot a} = \dfrac{7a}{5}$
$2) \dfrac{b^4}{3} \cdot \dfrac{5}{b^2} = \dfrac{b^4 \cdot 5}{3 \cdot b^2} = \dfrac{5b^2}{3}$
$3) \dfrac{1}{a^2} \cdot \dfrac{a}{3} = \dfrac{1 \cdot a}{a^2 \cdot 3} = \dfrac{1}{3a}$
$4) \dfrac{9}{x^2} \cdot \dfrac{x}{3} = \dfrac{9 \cdot x}{x^2 \cdot 3} = \dfrac{3}{x}$
5.4. Перетворіть на дріб вираз:
$1) \dfrac{7}{b} \cdot \dfrac{b^2}{3} = \dfrac{7 \cdot b^2}{b \cdot 3} = \dfrac{7b}{3}$
$2) \dfrac{5}{a^3} \cdot \dfrac{a^5}{2} = \dfrac{5 \cdot a^5}{a^3 \cdot 2} = \dfrac{5a^2}{2}$
$3) \dfrac{m}{8} \cdot \dfrac{1}{m^2} = \dfrac{m \cdot 1}{8 \cdot m^2} = \dfrac{1}{8m}$
$4) \dfrac{a^2}{12} \cdot \dfrac{4}{a} = \dfrac{a^2 \cdot 4}{12 \cdot a} = \dfrac{a}{3}$
5.5. Виконайте дію:
$1) \dfrac{5a}{7} \cdot \dfrac{21}{20a^2} = \dfrac{5a \cdot 21}{7 \cdot 20a^2} = \dfrac{1 \cdot 3}{4a} = \dfrac{3}{4a}$
$2) \dfrac{3,5}{14a^2} \cdot \dfrac{4a^3}{5b} = \dfrac{3,5 \cdot 4a^3}{14a^2 \cdot 5b} = \dfrac{14a}{70b} = \dfrac{a}{5b}$
$3) \dfrac{c^2}{30} \cdot \dfrac{20}{cm} = \dfrac{20c^2}{30cm} = \dfrac{2c}{3m}$
$4) -\dfrac{3m}{5a^2} \cdot \dfrac{a}{9m^2} = -\dfrac{3am}{45a^2m^2} = -\dfrac{1}{15am}$
$5) \dfrac{4x^2}{7p} \cdot \left(-\dfrac{21p}{8x^3}\right) = -\dfrac{4x^2 \cdot 21p}{7p \cdot 8x^3} = -\dfrac{3}{2x}$
$6) -\dfrac{5x^2}{7y^3} \cdot \left(-\dfrac{21y^2}{25x}\right) = \dfrac{5x^2 \cdot 21y^2}{7y^3 \cdot 25x} = \dfrac{3x}{5y}$
5.6. Перетворіть на дріб вираз:
$1) \dfrac{15m^2}{22} \cdot \dfrac{11}{10m} = \dfrac{15m^2 \cdot 11}{22 \cdot 10m} = \dfrac{3m}{4}$
$2) \dfrac{6p}{7} \cdot \dfrac{2,5c^2}{15p^3} = \dfrac{6p \cdot 2,5c^2}{7 \cdot 15p^3} = \dfrac{15pc^2}{105p^3} = \dfrac{c^2}{7p^2}$
$3) \dfrac{15}{xp} \cdot \dfrac{x^2}{45} = \dfrac{15x^2}{45xp} = \dfrac{x}{3p}$
$4) \dfrac{4a}{p^2} \cdot \left(-\dfrac{p}{8a^2}\right) = -\dfrac{4ap}{8a^2p^2} = -\dfrac{1}{2ap}$
$5) -\dfrac{5c^2}{7y} \cdot \dfrac{49y}{10c^3} = -\dfrac{5c^2 \cdot 49y}{7y \cdot 10c^3} = -\dfrac{7}{2c}$
$6) -\dfrac{6a^2}{65b^3} \cdot \left(-\dfrac{13b}{30a}\right) = \dfrac{6a^2 \cdot 13b}{65b^3 \cdot 30a} = \dfrac{a}{25b^2}$
5.7. Перетворіть на дріб вираз:
- $9p \cdot \dfrac{b}{6p^2} = \dfrac{9pb}{6p^2} = \dfrac{3b}{2p}$
- $\dfrac{4m^3}{x^2} \cdot x^3 = \dfrac{4m^3x^3}{x^2} = 4m^3x$
- $9ab^2 \cdot (-\dfrac{5b}{3a^3}) = -\dfrac{9ab^2 \cdot 5b}{3a^3} = -\dfrac{45ab^3}{3a^3} = -\dfrac{15b^3}{a^2}$
- $-7ab^3 \cdot \dfrac{b^5}{14a} = -\dfrac{7ab^8}{14a} = -\dfrac{b^8}{2}$
- $-4mn^2 \cdot \dfrac{1}{8mn} = -\dfrac{4mn^2}{8mn} = -\dfrac{n}{2}$
- $-11a^2b \cdot (-\dfrac{5}{22a^3b^2}) = \dfrac{11a^2b \cdot 5}{22a^3b^2} = \dfrac{55a^2b}{22a^3b^2} = \dfrac{5}{2ab}$
5.8. Виконайте дію:
- $\dfrac{a}{16m^2} \cdot 12m = \dfrac{12am}{16m^2} = \dfrac{3a}{4m}$
- $a^3 \cdot \dfrac{7x^3}{a^2} = \dfrac{a^3 \cdot 7x^3}{a^2} = 7ax^3$
- $-\dfrac{7y}{4x^2} \cdot 12xy^3 = -\dfrac{7y \cdot 12xy^3}{4x^2} = -\dfrac{84xy^4}{4x^2} = -\dfrac{21y^4}{x}$
- $5cm^4 \cdot (-\dfrac{m}{15c}) = -\dfrac{5cm^5}{15c} = -\dfrac{m^5}{3}$
- $-5ab^2 \cdot (-\dfrac{1}{10ab}) = \dfrac{5ab^2}{10ab} = \dfrac{b}{2}$
- $13c^2d \cdot \dfrac{7}{26c^3d^2} = \dfrac{13c^2d \cdot 7}{26c^3d^2} = \dfrac{91c^2d}{26c^3d^2} = \dfrac{7}{2cd}$
5.9. Спростіть вираз:
- $\dfrac{7c^3}{10m^2} \cdot \dfrac{25m^3}{14c^8} = \dfrac{7 \cdot 25 \cdot c^3m^3}{10 \cdot 14 \cdot m^2c^8} = \dfrac{175c^3m^3}{140m^2c^8} = \dfrac{5m}{4c^5}$
- $-\dfrac{8a^3}{27c^4} \cdot \dfrac{45c^5}{16a^3} = -\dfrac{8 \cdot 45 \cdot a^3c^5}{27 \cdot 16 \cdot c^4a^3} = -\dfrac{360a^3c^5}{432c^4a^3} = -\dfrac{5c}{6}$
- $\dfrac{4c^3}{15a^8} \cdot (-\dfrac{5a^3}{8c^4}) = -\dfrac{4 \cdot 5 \cdot c^3a^3}{15 \cdot 8 \cdot a^8c^4} = -\dfrac{20c^3a^3}{120a^8c^4} = -\dfrac{1}{6a^5c}$
- $-\dfrac{1}{25p^2q^7} \cdot (-\dfrac{10p^3q^7}{11}) = \dfrac{10p^3q^7}{25 \cdot 11 \cdot p^2q^7} = \dfrac{10p^3q^7}{275p^2q^7} = \dfrac{2p}{55}$
5.10. Спростіть вираз:
- $\dfrac{9m^2}{25a^2} \cdot \dfrac{35a^3}{18m^5} = \dfrac{9 \cdot 35 \cdot m^2a^3}{25 \cdot 18 \cdot a^2m^5} = \dfrac{7a}{10m^3}$
- $\dfrac{7p^3}{18a^3} \cdot (-\dfrac{27a^4}{14p^3}) = -\dfrac{7 \cdot 27 \cdot p^3a^4}{18 \cdot 14 \cdot a^3p^3} = -\dfrac{3a}{4}$
- $-\dfrac{5m^3}{21n^7} \cdot \dfrac{7n^2}{10m^4} = -\dfrac{5 \cdot 7 \cdot m^3n^2}{21 \cdot 10 \cdot n^7m^4} = -\dfrac{1}{6mn^5}$
- $-\dfrac{1}{18c^3d^4} \cdot (-\dfrac{12c^4d^4}{7}) = \dfrac{12c^4d^4}{18 \cdot 7 \cdot c^3d^4} = \dfrac{2c}{21}$
5.11. Виконайте множення:
- $\dfrac{a^2+2a}{5} \cdot \dfrac{a}{4a+8} = \dfrac{a(a+2)}{5} \cdot \dfrac{a}{4(a+2)} = \dfrac{a^2}{20}$
- $\dfrac{7m}{a} \cdot \dfrac{a^2-ab}{21} = \dfrac{7m}{a} \cdot \dfrac{a(a-b)}{21} = \dfrac{m(a-b)}{3}$
- $\dfrac{2a-b}{10a} \cdot \dfrac{15a^2}{b-2a} = \dfrac{2a-b}{10a} \cdot \dfrac{15a^2}{-(2a-b)} = -\dfrac{15a^2}{10a} = -\dfrac{3a}{2}$
- $\dfrac{10ab}{x+y} \cdot \dfrac{x^2-y^2}{5ab} = \dfrac{10ab}{x+y} \cdot \dfrac{(x-y)(x+y)}{5ab} = 2(x-y)$
- $-\dfrac{ab-ac}{10p} \cdot \dfrac{25p}{xc-xb} = -\dfrac{a(b-c)}{10p} \cdot \dfrac{25p}{x(c-b)} = -\dfrac{a(b-c)}{10p} \cdot \dfrac{25p}{-x(b-c)} = \dfrac{25ap}{10px} = \dfrac{5a}{2x}$
- $\dfrac{a^2+ab}{x^2} \cdot \dfrac{xy}{a^2+2ab+b^2} = \dfrac{a(a+b)}{x^2} \cdot \dfrac{xy}{(a+b)^2} = \dfrac{ay}{x(a+b)}$
5.12. Виконайте множення:
- $\dfrac{m^2-3m}{7} \cdot \dfrac{x}{2m-6} = \dfrac{m(m-3)}{7} \cdot \dfrac{x}{2(m-3)} = \dfrac{mx}{14}$
- $\dfrac{5a}{x^2+xy} \cdot \dfrac{x}{15} = \dfrac{5a}{x(x+y)} \cdot \dfrac{x}{15} = \dfrac{a}{3(x+y)}$
- $\dfrac{a-b}{16m^2} \cdot \dfrac{24m}{b-a} = \dfrac{a-b}{16m^2} \cdot \dfrac{24m}{-(a-b)} = -\dfrac{24m}{16m^2} = -\dfrac{3}{2m}$
- $\dfrac{x^2-y^2}{5pc} \cdot \dfrac{20pc}{x-y} = \dfrac{(x-y)(x+y)}{5pc} \cdot \dfrac{20pc}{x-y} = 4(x+y)$
- $\dfrac{3a-3b}{12x} \cdot (-\dfrac{18x}{mb-ma}) = \dfrac{3(a-b)}{12x} \cdot (-\dfrac{18x}{m(b-a)}) = \dfrac{3(a-b)}{12x} \cdot \dfrac{18x}{m(a-b)} = \dfrac{54x}{12xm} = \dfrac{9}{2m}$
- $\dfrac{m^2-2mn+n^2}{pc} \cdot \dfrac{p^2}{m^2-mn} = \dfrac{(m-n)^2}{pc} \cdot \dfrac{p^2}{m(m-n)} = \dfrac{p(m-n)}{mc}$
5.13. Спростіть вираз та знайдіть його значення:
$ \dfrac{5x^2+15x}{y^2-2y} \cdot \dfrac{2-y}{x+3} = \dfrac{5x(x+3)}{y(y-2)} \cdot \dfrac{-(y-2)}{x+3} = -\dfrac{5x}{y} $
Якщо $x=17, y = -\dfrac{1}{23}$, то
$ -\dfrac{5 \cdot 17}{-\dfrac{1}{23}} = \dfrac{85}{\dfrac{1}{23}} = 85 \cdot 23 = 1955 $
Відтак: у 1955 році українка Катерина Ющенко винайшла одну з перших у світі мов програмування високого рівня з назвою «Адресна мова».
5.14. Спростіть вираз та знайдіть його значення:
$ \dfrac{35a-5a^2}{b^2+4b} \cdot \dfrac{4+b}{a-7} = \dfrac{5a(7-a)}{b(b+4)} \cdot \dfrac{b+4}{a-7} = \dfrac{-5a(a-7)}{b(b+4)} \cdot \dfrac{b+4}{a-7} = -\dfrac{5a}{b} $
Якщо $a=79, b=-0.2$, то
$ -\dfrac{5 \cdot 79}{-0.2} = \dfrac{395}{0.2} = 1975 $
Відтак: у 1975 році футбольна команда «Динамо» (Київ) уперше виборола європейський Кубок кубків.
5.15. Піднесіть до степеня:
- $(\dfrac{p}{4m})^3 = \dfrac{p^3}{4^3m^3} = \dfrac{p^3}{64m^3}$
- $(\dfrac{3c^2}{m})^4 = \dfrac{3^4(c^2)^4}{m^4} = \dfrac{81c^8}{m^4}$
- $(-\dfrac{3m^2n}{7})^2 = \dfrac{(-3)^2(m^2)^2n^2}{7^2} = \dfrac{9m^4n^2}{49}$
- $(-\dfrac{2m^2}{3x^3})^3 = -\dfrac{2^3(m^2)^3}{3^3(x^3)^3} = -\dfrac{8m^6}{27x^9}$
- $(\dfrac{2a^3b}{x^7})^5 = \dfrac{2^5(a^3)^5b^5}{(x^7)^5} = \dfrac{32a^{15}b^5}{x^{35}}$
- $(-\dfrac{c^2m^3}{p})^{10} = \dfrac{(c^2)^{10}(m^3)^{10}}{p^{10}} = \dfrac{c^{20}m^{30}}{p^{10}}$
5.16. Подайте у вигляді дробу вираз:
- $(\dfrac{c}{5m})^2 = \dfrac{c^2}{5^2m^2} = \dfrac{c^2}{25m^2}$
- $(\dfrac{y}{2x^3})^4 = \dfrac{y^4}{2^4(x^3)^4} = \dfrac{y^4}{16x^{12}}$
- $(-\dfrac{4c^2m^3}{5})^2 = \dfrac{(-4)^2(c^2)^2(m^3)^2}{5^2} = \dfrac{16c^4m^6}{25}$
- $(-\dfrac{3c^3}{m^7})^3 = -\dfrac{3^3(c^3)^3}{(m^7)^3} = -\dfrac{27c^9}{m^{21}}$
- $(\dfrac{c^3m}{2a^2})^6 = \dfrac{(c^3)^6m^6}{2^6(a^2)^6} = \dfrac{c^{18}m^6}{64a^{12}}$
- $(-\dfrac{ab^3}{c^2})^8 = \dfrac{a^8(b^3)^8}{(c^2)^8} = \dfrac{a^8b^{24}}{c^{16}}$
5.17. Спростіть вираз:
- $\dfrac{54a^2c}{81b^3} \cdot \dfrac{32ab}{13c^3} \cdot \dfrac{52bc^2}{128a^3} = \dfrac{54 \cdot 32 \cdot 52 \cdot a^2cab c^2}{81 \cdot 13 \cdot 128 \cdot b^3c^3a^3} = \dfrac{2 \cdot 1 \cdot 4 \cdot a^3b^2c^3}{3 \cdot 1 \cdot 4 \cdot a^3b^3c^3} = \dfrac{2}{3b}$
- $\dfrac{147x^4y^2}{p^3} \cdot 10xp^2 \cdot \dfrac{y^3}{105x^5y} = \dfrac{147 \cdot 10 \cdot x^4y^2xp^2y^3}{105 \cdot p^3x^5y} = \dfrac{14 \cdot x^5y^5p^2}{p^3x^5y} = \dfrac{14y^4}{p}$
5.18. Виконайте дії:
- $\dfrac{14xz^3}{81y^2} \cdot \dfrac{27y^3}{5xz} \cdot \dfrac{45xy}{7z^2} = \dfrac{14 \cdot 27 \cdot 45 \cdot xz^3y^3xy}{81 \cdot 5 \cdot 7 \cdot y^2xz z^2} = \dfrac{2 \cdot 1 \cdot 9 \cdot x^2y^4z^3}{3 \cdot 1 \cdot 1 \cdot xy^2z^3} = 6x y^2$
- $\dfrac{b^3}{111m^5} \cdot 3mc^3 \cdot \dfrac{74m^3b}{c^4} = \dfrac{3 \cdot 74 \cdot b^3mc^3m^3b}{111 \cdot m^5c^4} = \dfrac{2 \cdot b^4m^4c^3}{m^5c^4} = \dfrac{2b^4}{mc}$
5.19. Знайдіть добуток:
- $\dfrac{m^2-4m+4}{m^2+6m+9} \cdot \dfrac{m^2-9}{3m-6} = \dfrac{(m-2)^2}{(m+3)^2} \cdot \dfrac{(m-3)(m+3)}{3(m-2)} = \dfrac{(m-2)(m-3)}{3(m+3)}$
- $-\dfrac{x^2-10x+25}{x^2-3x+9} \cdot \dfrac{x^3+27}{25-x^2} = -\dfrac{(x-5)^2}{x^2-3x+9} \cdot \dfrac{(x+3)(x^2-3x+9)}{-(x-5)(x+5)} = \dfrac{x-5}{1} \cdot \dfrac{x+3}{x+5} = \dfrac{(x-5)(x+3)}{x+5}$
5.20. Виконайте множення:
- $\dfrac{a^2+8a+16}{a^2-2a+1} \cdot \dfrac{7a-7}{a^2-16} = \dfrac{(a+4)^2}{(a-1)^2} \cdot \dfrac{7(a-1)}{(a-4)(a+4)} = \dfrac{7(a+4)}{(a-1)(a-4)}$
- $\dfrac{y^3-8}{9-y^2} \cdot \dfrac{y^2-6y+9}{y^2+2y+4} = \dfrac{(y-2)(y^2+2y+4)}{-(y-3)(y+3)} \cdot \dfrac{(y-3)^2}{y^2+2y+4} = \dfrac{-(y-2)(y-3)}{y+3}$
5.21. Перетворіть на дріб:
- $(4a+20b) \cdot \dfrac{5}{a^2-25b^2} = 4(a+5b) \cdot \dfrac{5}{(a-5b)(a+5b)} = \dfrac{20}{a-5b}$
- $(m^2-4) \cdot \dfrac{2m}{(m-2)^2} = (m-2)(m+2) \cdot \dfrac{2m}{(m-2)^2} = \dfrac{2m(m+2)}{m-2}$
- $-\dfrac{a}{2a^2-18} \cdot (a^2-6a+9) = -\dfrac{a}{2(a-3)(a+3)} \cdot (a-3)^2 = -\dfrac{a(a-3)}{2(a+3)}$
- $(x^3+27y^3) \cdot \dfrac{5}{3x^2-9xy+27y^2} = (x+3y)(x^2-3xy+9y^2) \cdot \dfrac{5}{3(x^2-3xy+9y^2)} = \dfrac{5(x+3y)}{3}$
5.22. Перетворіть на дріб:
- $\dfrac{4}{x^2-9y^2} \cdot (6x+18y) = \dfrac{4}{(x-3y)(x+3y)} \cdot 6(x+3y) = \dfrac{24}{x-3y}$
- $(c^2+4c+4) \cdot (-\dfrac{c}{3c^2-12}) = (c+2)^2 \cdot (-\dfrac{c}{3(c^2-4)}) = (c+2)^2 \cdot (-\dfrac{c}{3(c-2)(c+2)}) = -\dfrac{c(c+2)}{3(c-2)}$
5.23. Виконайте дії:
- $(\dfrac{25x^2}{8y^3})^3 \cdot (-\dfrac{16y^5}{125x^3})^2 = \dfrac{25^3(x^2)^3}{8^3(y^3)^3} \cdot \dfrac{16^2(y^5)^2}{125^2(x^3)^2} = \dfrac{15625x^6}{512y^9} \cdot \dfrac{256y^{10}}{15625x^6} = \dfrac{y}{2}$
- $\dfrac{x^2-2xy+y^2}{x^2+2xy+y^2} \cdot (\dfrac{x+y}{x-y})^3 = \dfrac{(x-y)^2}{(x+y)^2} \cdot \dfrac{(x+y)^3}{(x-y)^3} = \dfrac{x+y}{x-y}$
5.24. Виконайте дії:
- $(-\dfrac{16m^3}{27n^5})^2 \cdot (\dfrac{9n^4}{8m^2})^3 = \dfrac{16^2(m^3)^2}{27^2(n^5)^2} \cdot \dfrac{9^3(n^4)^3}{8^3(m^2)^3} = \dfrac{256m^6}{729n^{10}} \cdot \dfrac{729n^{12}}{512m^6} = \dfrac{n^2}{2}$
- $(\dfrac{m-n}{m+n})^3 \cdot \dfrac{m^2+2mn+n^2}{m^2-2mn+n^2} = \dfrac{(m-n)^3}{(m+n)^3} \cdot \dfrac{(m+n)^2}{(m-n)^2} = \dfrac{m-n}{m+n}$
5.25. Знайдіть значення виразу:
1) $ \dfrac{6ab-b}{5a+b} \cdot \dfrac{25a^2-b^2}{6a-1} = \dfrac{b(6a-1)}{5a+b} \cdot \dfrac{(5a-b)(5a+b)}{6a-1} = b(5a-b) $
Якщо $ a = 1.2, b = 6 $, то
$ 6 \cdot (5 \cdot 1.2 – 6) = 6 \cdot (6 – 6) = 0 $
2) $ \dfrac{a^3+8}{a^2-1} \cdot \dfrac{a^2+a}{a^2-2a+4} = \dfrac{(a+2)(a^2-2a+4)}{(a-1)(a+1)} \cdot \dfrac{a(a+1)}{a^2-2a+4} = \dfrac{a(a+2)}{a-1} $
Якщо $ a = 6 $, то
$ \dfrac{6(6+2)}{6-1} = \dfrac{6 \cdot 8}{5} = \dfrac{48}{5} = 9.6 $
5.26. Виконайте множення:
- $ \dfrac{x^2+ax-cx-ca}{x^2-ax+cx-ac} \cdot \dfrac{x^2+ac+xc+xa}{x^2+ac-xc-xa} = \dfrac{(x+a)(x-c)}{(x-a)(x+c)} \cdot \dfrac{(x+a)(x+c)}{(x-a)(x-c)} = \dfrac{(x+a)^2}{(x-a)^2} $
- $ \dfrac{5a-5b}{3c+3y} \cdot \dfrac{c^2-y^2-c-y}{a^2-b^2+a-b} = \dfrac{5(a-b)}{3(c+y)} \cdot \dfrac{(c+y)(c-y-1)}{(a-b)(a+b+1)} = \dfrac{5(c-y-1)}{3(a+b+1)} $
5.27. Обчисліть:
$ \dfrac{a^2-b^2+a+b}{a^2-b^2+a-b} \cdot \dfrac{4a-4b}{8a+8b} = \dfrac{(a+b)(a-b)+(a+b)}{(a-b)(a+b)+(a-b)} \cdot \dfrac{4(a-b)}{8(a+b)} = \dfrac{(a+b)(a-b+1)}{(a-b)(a+b+1)} \cdot \dfrac{a-b}{2(a+b)} = \dfrac{a-b+1}{2(a+b+1)} $
Якщо $ a = 100, b = 101 $, то
$ \dfrac{100-101+1}{2(100+101+1)} = \dfrac{0}{2(202)} = 0 $
Вправи для повторення
5.28. Розв’яжіть систему рівнянь:
1)
$\cases{\dfrac{1}{8}(x+y) = 3 \cr \dfrac{1}{3}(x-y) = 5 }$
$ \begin{cases} x+y = 24 \cr x-y = 15 \end{cases} $
$ (x+y)+(x-y) = 24+15 $
$ 2x = 39 $
$ x = 19.5 $
$ 19.5+y=24 $
$ y = 4.5 $
Відповідь: $(19.5; 4.5)$
2)
$ \begin{cases} \dfrac{x-1}{3} + \dfrac{y-1}{2} = 2 \cr \dfrac{x-1}{2} – \dfrac{y-1}{12} = \dfrac{4}{3} \end{cases} $
Нехай $ a = x-1 $ і $ b = y-1 $.
$ \begin{cases} \dfrac{a}{3} + \dfrac{b}{2} = 2 \cr \dfrac{a}{2} – \dfrac{b}{12} = \dfrac{4}{3} \end{cases} $
$ \begin{cases} 2a+3b = 12 \cr 6a-b = 16 \end{cases} $
$ \begin{cases} 2a+3b = 12 \cr b = 6a-16 \end{cases} $
$ 2a+3(6a-16)=12 $
$ 2a+18a-48=12 $
$ 20a=60 $
$ a=3 $
$ b=6(3)-16=2 $
$ x-1=3 \Rightarrow x=4 $
$ y-1=2 \Rightarrow y=3 $
Відповідь: $(4; 3)$
5.29. Побудуйте графік функції:
$ y = \dfrac{x^3-8}{x-2}-x^2 $
Спростимо вираз:
$ y = \dfrac{(x-2)(x^2+2x+4)}{x-2}-x^2 $
Область визначення: $ x-2 \neq 0 \Rightarrow x \neq 2 $.
$ y = x^2+2x+4-x^2 $
$ y = 2x+4 $
Графіком є пряма $ y = 2x+4 $ з виколотою точкою при $ x=2 $.
Знайдемо координати цієї точки: $ y = 2(2)+4 = 8 $.
Отже, точка $(2; 8)$.
Пiдготуйтеся до вивчення нового матерiалу
5.30. Знайдіть число, взаємно обернене із числом:
- $4 = \dfrac{4}{1} \Rightarrow \dfrac{1}{4}$
- $-7 = -\dfrac{7}{1} \Rightarrow -\dfrac{1}{7}$
- $\dfrac{1}{3} \Rightarrow 3$
- $-\dfrac{2}{5} \Rightarrow -\dfrac{5}{2}$
- $0,16 = \dfrac{16}{100} = \dfrac{4}{25} \Rightarrow \dfrac{25}{4} = 6.25$
- $1,2 = \dfrac{12}{10} = \dfrac{6}{5} \Rightarrow \dfrac{5}{6}$
5.31. Обчисліть:
- $\dfrac{26}{45} : \dfrac{91}{135} = \dfrac{26}{45} \cdot \dfrac{135}{91} = \dfrac{2 \cdot 13 \cdot 3 \cdot 45}{45 \cdot 7 \cdot 13} = \dfrac{6}{7}$
- $2\dfrac{1}{2} : \dfrac{15}{16} = \dfrac{5}{2} : \dfrac{15}{16} = \dfrac{5}{2} \cdot \dfrac{16}{15} = \dfrac{5 \cdot 16}{2 \cdot 15} = \dfrac{8}{3}$
- $-3\dfrac{1}{7} : 2\dfrac{5}{14} = -\dfrac{22}{7} : \dfrac{33}{14} = -\dfrac{22}{7} \cdot \dfrac{14}{33} = -\dfrac{2 \cdot 2}{3} = -\dfrac{4}{3}$
- $-5\dfrac{13}{15} : (-1\dfrac{8}{25}) = -\dfrac{88}{15} : (-\dfrac{33}{25}) = \dfrac{88}{15} \cdot \dfrac{25}{33} = \dfrac{8 \cdot 5}{3 \cdot 3} = \dfrac{40}{9}$
Життєва математика
5.32. Родина витрачає 13% своїх доходів на оплату комірного, 45% – на продукти харчування, 17% – на побутові товари і послуги, а решту на відпочинок. Який річний бюджет родини, якщо на відпочинок вона витрачає 120 000 грн на рік?
Знайдемо, який відсоток доходів родина витрачає на відпочинок:
100% – (13% + 45% + 17%) = 100% – 75% = 25%
Знайдемо річний бюджет родини. Нехай $x$ — річний бюджет.
$ 0.25x = 120000 $
$ x = \dfrac{120000}{0.25} $
$ x = 480000 $
Відповідь: річний бюджет родини становить 480 000 грн.
Цікаві задачі – поміркуй одначе
5.33. На моніторі комп’ютера – число 2500. Щохвилини комп’ютерна програма множить або ділить це число на 2 або на 5, одержуючи при цьому натуральне число. Чи може на моніторі рівно через годину з’явитися число: 1) 10 000; 2) 20 000?
Розкладемо початкове число на прості множники:
$2500 = 25 \cdot 100 = 5^2 \cdot 10^2 = 5^2 \cdot (2 \cdot 5)^2 = 2^2 \cdot 5^4$
Сума показників степенів простих множників дорівнює $2+4 = 6$.
Кожна операція (множення або ділення на 2 або на 5) змінює суму показників степенів на 1 (або $+1$, або $-1$). Це означає, що парність суми показників змінюється щохвилини.
Початкова сума показників (6) є парною.
Після 1 хвилини сума стане непарною.
Після 2 хвилин – знову парною.
Через годину, тобто через 60 хвилин (парне число операцій), сума показників степенів у розкладі нового числа також має бути парною.
Перевіримо числа-кандидати:
1) 10 000
$10000 = 10^4 = (2 \cdot 5)^4 = 2^4 \cdot 5^4$
Сума показників степенів: $4+4 = 8$. Число 8 є парним.
Оскільки парність суми показників (8) збігається з парністю початкової суми (6) після парної кількості кроків, то число 10 000 може з’явитися на моніторі.
2) 20 000
$20000 = 2 \cdot 10000 = 2 \cdot (2^4 \cdot 5^4) = 2^5 \cdot 5^4$
Сума показників степенів: $5+4 = 9$. Число 9 є непарним.
Оскільки парність суми показників (9) не збігається з необхідною парністю, число 20 000 не може з’явитися на моніторі.
Відповідь: 1) так, може; 2) ні, не може.