§2. Основна властивість раціонального дробу (2.1-2.31)

Назад до змісту

Розв’яжіть задачі та виконайте вправи

2.1. Скоротіть дріб (Усно)

1. $\dfrac{7x}{7y}$ =$\dfrac{x}{y}$
2. $\dfrac{3a}{15b}$ =$\dfrac{a}{5b}$
3. $\dfrac{xy}{xm}$ =$\dfrac{y}{m}$
4. $\dfrac{ab}{b^2}$ =$\dfrac{a}{b}$
5. $\dfrac{5ac}{4ab}$ =$\dfrac{5c}{4b}$
6. $\dfrac{10xy}{10my}$ =$\dfrac{x}{m}$

2.2. Скоротіть дріб

1. $\dfrac{3m}{3p}$ =$\dfrac{m}{p}$
2. $\dfrac{4x}{12y}$ =$\dfrac{x}{3y}$
3. $\dfrac{ab}{ap}$ =$\dfrac{b}{p}$
4. $\dfrac{t^2}{tx}$ =$\dfrac{t}{x}$
5. $\dfrac{9xy}{8xz}$ =$\dfrac{9y}{8z}$
6. $\dfrac{4mn}{4pn}$ =$\dfrac{m}{p}$

2.3. Скоротіть дріб

1. $\dfrac{15ab}{20am}$ =$\dfrac{3b}{4m}$
2. $\dfrac{-2a^2m}{5ap}$ =$-\dfrac{2am}{5p}$
3. $\dfrac{16ax^2}{20xb}$ =$\dfrac{4ax}{5b}$
4. $\dfrac{-8m^2n}{-2n^3}$ =$\dfrac{4m^2}{n^2}$
5. $\dfrac{-ap^2}{p^3c}$ =$-\dfrac{a}{pc}$
6. $\dfrac{4abc}{12ac^3}$ =$\dfrac{b}{3c^2}$
7. $\dfrac{26m^2n}{39mn^2}$ =$\dfrac{2m}{3n}$
8. $\dfrac{a^5c^4}{-c^3a^6}$ =$-\dfrac{c}{a}$

2.4. Скоротіть дріб

1. $\dfrac{8at}{12ap}$ =$\dfrac{2t}{3p}$
2. $\dfrac{-3xy}{7x^2y}$ =$-\dfrac{3}{7x}$
3. $\dfrac{12m^2n}{20xm}$ =$\dfrac{3mn}{5x}$
4. $\dfrac{-6p^3c}{-3p^4}$ =$\dfrac{2c}{p}$
5. $\dfrac{-kp^3}{p^4t}$ =$-\dfrac{k}{pt}$
6. $\dfrac{5xyz}{15y^2z}$ =$\dfrac{x}{3y}$
7. $\dfrac{22x^2y}{-33y^2x}$ =$-\dfrac{2x}{3y}$
8. $\dfrac{t^7p^8}{p^6t^9}$ =$\dfrac{p^2}{t^2}$

2.5. Подайте частку у вигляді дробу і скоротіть цей дріб:

1. $12x^2y : (4xy^3)$ =$ \dfrac{12x^2y}{4xy^3} = \dfrac{3x}{y^2}$
2. $3a^2bc : (-18ab^2c^2)$ =$ \dfrac{3a^2bc}{-18ab^2c^2} = -\dfrac{a}{6bc}$
3. $-10ap^3 : (-15a^2)$ =$ \dfrac{-10ap^3}{-15a^2} = \dfrac{2p^3}{3a}$
4. $-14x^9 : (2x^7y)$ =$ \dfrac{-14x^9}{2x^7y} = -\dfrac{7x^2}{y}$

2.6. Зведіть дріб:

1)$\dfrac{5}{4m}$ до знаменника $20m$

Щоб отримати знаменник $20m$, потрібно домножити дріб на $5$.

$ \dfrac{5 \cdot 5}{4m \cdot 5} = \dfrac{25}{20m}$

2)$\dfrac{p}{a^2}$ до знаменника $a^5$

Щоб отримати знаменник $a^5$, потрібно домножити дріб на $a^3$.

$ \dfrac{p \cdot a^3}{a^2 \cdot a^3} = \dfrac{pa^3}{a^5}$

2.7. Зведіть дріб:

1)$\dfrac{4}{3p}$ до знаменника $15p$

Домножимо чисельник і знаменник на $5$.

$ \dfrac{4 \cdot 5}{3p \cdot 5} = \dfrac{20}{15p}$

2)$\dfrac{x}{y^3}$ до знаменника $y^7$

Домножимо чисельник і знаменник на $y^4$.

$ \dfrac{x \cdot y^4}{y^3 \cdot y^4} = \dfrac{xy^4}{y^7}$

2.8. Скоротіть дріб:

1. $\dfrac{m(a-2)}{p(a-2)}$ =$ \dfrac{m}{p}$
2. $\dfrac{4(x + 2)^2}{(x + 2)^3}$ =$ \dfrac{4}{x+2}$
3. $\dfrac{mn(p + 7)}{m^2n(p + 7)^2}$ =$ \dfrac{1}{m(p+7)}$
4. $\dfrac{16m^3(a + 3)^2}{20m^4(a + 3)}$ =$ \dfrac{4(a+3)}{5m}$

2.9. Скоротіть дріб:

1. $\dfrac{x(b+7)}{y(b+7)}$ =$\dfrac{x}{y}$
2. $\dfrac{5(m-3)^3}{(m-3)^4}$ =$\dfrac{5}{m-3}$
3. $\dfrac{a^2y(x-2)^2}{ay(x-2)}$ =$a(x-2)$
4. $\dfrac{12x^3(y-7)}{16x^2(y-7)^2}$ =$\dfrac{3x}{4(y-7)}$

2.10. Розкладіть на множники чисельник і знаменник і скоротіть дріб:

1. $\dfrac{4a+12b}{16ab}$ =$\dfrac{4(a+3b)}{16ab} = \dfrac{a+3b}{4ab}$
2. $\dfrac{5x-5y}{7(x-y)}$ =$\dfrac{5(x-y)}{7(x-y)} = \dfrac{5}{7}$
3. $\dfrac{3m(x+2)}{x^2+2x}$ =$\dfrac{3m(x+2)}{x(x+2)} = \dfrac{3m}{x}$
4. $\dfrac{ax-a}{a}$ =$\dfrac{a(x-1)}{a} = x-1$
5. $\dfrac{y}{y^2-yx}$ =$\dfrac{y}{y(y-x)} = \dfrac{1}{y-x}$
6. $\dfrac{2x-6y}{5x-15y}$ =$\dfrac{2(x-3y)}{5(x-3y)} = \dfrac{2}{5}$
7. $\dfrac{a+2b}{a^2+2ab}$ =$\dfrac{a+2b}{a(a+2b)} = \dfrac{1}{a}$
8. $\dfrac{2x^2-10xy}{x-5y}$ =$\dfrac{2x(x-5y)}{x-5y} = 2x$

2.11. Скоротіть дріб, попередньо розклавши його чисельник і знаменник на множники:

1. $\dfrac{3a+15b}{9ab}$ =$\dfrac{3(a+5b)}{9ab} = \dfrac{a+5b}{3ab}$
2. $\dfrac{mn-m}{4(n-1)}$ =$\dfrac{m(n-1)}{4(n-1)} = \dfrac{m}{4}$
3. $\dfrac{p^2-3p}{4k(p-3)}$ =$\dfrac{p(p-3)}{4k(p-3)} = \dfrac{p}{4k}$
4. $\dfrac{xy-2x}{x}$ =$\dfrac{x(y-2)}{x} = y-2$
5. $\dfrac{m}{m^2+mn}$ =$\dfrac{m}{m(m+n)} = \dfrac{1}{m+n}$
6. $\dfrac{4a-12c}{7a-21c}$ =$\dfrac{4(a-3c)}{7(a-3c)} = \dfrac{4}{7}$

2.12. Скоротіть дріб:

1. $\dfrac{a(x-y)}{5(y-x)}$ =$\dfrac{a(x-y)}{-5(x-y)} = -\dfrac{a}{5}$
2. $\dfrac{3a-9b}{15b-5a}$ =$\dfrac{3(a-3b)}{5(3b-a)} = \dfrac{3(a-3b)}{-5(a-3b)} = -\dfrac{3}{5}$
3. $\dfrac{7y-14}{y^2-4}$ =$\dfrac{7(y-2)}{(y-2)(y+2)} = \dfrac{7}{y+2}$
4. $\dfrac{m^2-9}{m^2-6m+9}$ =$\dfrac{(m-3)(m+3)}{(m-3)^2} = \dfrac{m+3}{m-3}$
5. $\dfrac{p^2-1}{p^3-p^2}$ =$\dfrac{(p-1)(p+1)}{p^2(p-1)} = \dfrac{p+1}{p^2}$
6. $\dfrac{x^2+10x+25}{mx+5m}$ =$\dfrac{(x+5)^2}{m(x+5)} = \dfrac{x+5}{m}$

2.13. Скоротіть дріб:

1. $\dfrac{m(p-2)}{a(2-p)}$ =$\dfrac{m(p-2)}{-a(p-2)} = -\dfrac{m}{a}$
2. $\dfrac{3a+12}{a^2-16}$ =$\dfrac{3(a+4)}{(a-4)(a+4)} = \dfrac{3}{a-4}$
3. $\dfrac{x^2-4x+4}{x^2-4}$ =$\dfrac{(x-2)^2}{(x-2)(x+2)} = \dfrac{x-2}{x+2}$
4. $\dfrac{mc+4c}{m^2+8m+16}$ =$\dfrac{c(m+4)}{(m+4)^2} = \dfrac{c}{m+4}$

2.14. Спростіть вираз:

1. $\dfrac{a^5-a^3}{a^4-a^2}$ =$\dfrac{a^3(a^2-1)}{a^2(a^2-1)} = a$
2. $\dfrac{p^9+p^7}{p^5+p^7}$ =$\dfrac{p^7(p^2+1)}{p^5(p^2+1)} = p^2$
3. $\dfrac{2a^2-a^3}{a^6-2a^5}$ =$\dfrac{a^2(2-a)}{a^5(a-2)} = \dfrac{-a^2(a-2)}{a^5(a-2)} = -\dfrac{1}{a^3}$
4. $\dfrac{5c^5-10c^4}{12c^5-6c^6}$ =$\dfrac{5c^4(c-2)}{6c^5(2-c)} = \dfrac{-5c^4(2-c)}{6c^5(2-c)} = -\dfrac{5}{6c}$

2.15. Спростіть вираз:

1. $\dfrac{t^9-t^8}{t^8-t^7}$ =$\dfrac{t^8(t-1)}{t^7(t-1)} = t$
2. $\dfrac{a^6+a^3}{a^9+a^6}$ =$\dfrac{a^3(a^3+1)}{a^6(a^3+1)} = \dfrac{1}{a^3}$
3. $\dfrac{3b^2-b^3}{b^8-3b^7}$ =$\dfrac{b^2(3-b)}{b^7(b-3)} = \dfrac{-b^2(b-3)}{b^7(b-3)} = -\dfrac{1}{b^5}$
4. $\dfrac{4a^4-8a^3}{12a^2-6a^3}$ =$\dfrac{4a^3(a-2)}{6a^2(2-a)} = \dfrac{-4a^3(2-a)}{6a^2(2-a)} = -\dfrac{2a}{3}$

2.16. Скоротіть дріб:

1. $\dfrac{m^2n-m}{m^2-m^3n}$ =$\dfrac{m(mn-1)}{m^2(1-mn)} = \dfrac{-m(1-mn)}{m^2(1-mn)} = -\dfrac{1}{m}$
2. $\dfrac{15m^3-15mn}{10n^2-10nm^2}$ =$\dfrac{15m(m^2-n)}{10n(n-m^2)} = \dfrac{-15m(n-m^2)}{10n(n-m^2)} = -\dfrac{3m}{2n}$
3. $\dfrac{m^3+27}{m^2-3m+9}$ =$\dfrac{(m+3)(m^2-3m+9)}{m^2-3m+9} = m+3$
4. $\dfrac{20+10a+5a^2}{a^3-8}$ =$\dfrac{5(4+2a+a^2)}{(a-2)(a^2+2a+4)} = \dfrac{5}{a-2}$
5. $\dfrac{3p+pn-3y-yn}{7p-7y}$ =$\dfrac{p(3+n)-y(3+n)}{7(p-y)} = \dfrac{(p-y)(n+3)}{7(p-y)} = \dfrac{n+3}{7}$
6. $\dfrac{am+an-bm-bn}{am-an-bm+bn}$ =$\dfrac{a(m+n)-b(m+n)}{a(m-n)-b(m-n)} = \dfrac{(a-b)(m+n)}{(a-b)(m-n)} = \dfrac{m+n}{m-n}$

2.17. Скоротіть дріб:

1. $\dfrac{16p^3-16pq}{12p^3q-12pq^2}$ =$\dfrac{16p(p^2-q)}{12pq(p^2-q)} = \dfrac{16p}{12pq} = \dfrac{4}{3q}$
2. $\dfrac{a^2-2a+4}{a^3+8}$ =$\dfrac{a^2-2a+4}{(a+2)(a^2-2a+4)} = \dfrac{1}{a+2}$
3. $\dfrac{7+7a+7a^2}{a^3-1}$ =$\dfrac{7(1+a+a^2)}{(a-1)(a^2+a+1)} = \dfrac{7}{a-1}$
4. $\dfrac{5m+an-5n-am}{a^2-10a+25}$ =$\dfrac{(m-n)(5-a)}{(a-5)^2} = \dfrac{-(m-n)(a-5)}{(a-5)^2} = \dfrac{n-m}{a-5}$

2.18. Зведіть дріб:

1) $\dfrac{5}{a-b}$ до знаменника $a^2-ab$

Розкладемо знаменник на множники: $a^2-ab = a(a-b)$.

Щоб отримати новий знаменник, потрібно домножити початковий дріб на $a$.

$\dfrac{5 \cdot a}{(a-b) \cdot a} = \dfrac{5a}{a^2-ab}$

2) $\dfrac{4}{m+n}$ до знаменника $m^2 + 2mn + n^2$

Згорнемо знаменник за формулою квадрата суми: $m^2 + 2mn + n^2 = (m+n)^2$.

Домножимо дріб на $(m+n)$.

$\dfrac{4 \cdot (m+n)}{(m+n) \cdot (m+n)} = \dfrac{4(m+n)}{(m+n)^2}$

3) $\dfrac{9}{x-y}$ до знаменника $x^2-y^2$

Розкладемо знаменник за формулою різниці квадратів: $x^2-y^2 = (x-y)(x+y)$.

Домножимо дріб на $(x+y)$.

$\dfrac{9 \cdot (x+y)}{(x-y) \cdot (x+y)} = \dfrac{9(x+y)}{x^2-y^2}$

4) $\dfrac{4}{k-1}$ до знаменника $k^3-1$

Розкладемо знаменник за формулою різниці кубів: $k^3-1 = (k-1)(k^2+k+1)$.

Домножимо дріб на $(k^2+k+1)$.

$\dfrac{4 \cdot (k^2+k+1)}{(k-1) \cdot (k^2+k+1)} = \dfrac{4(k^2+k+1)}{k^3-1}$

5) $\dfrac{a}{a-b}$ до знаменника $b-a$

Зауважимо, що $b-a = -(a-b)$. Отже, потрібно домножити дріб на $-1$.

$\dfrac{a \cdot (-1)}{(a-b) \cdot (-1)} = \dfrac{-a}{b-a}$

6) $\dfrac{p}{p-2}$ до знаменника $4-p^2$

Розкладемо знаменник: $4-p^2 = (2-p)(2+p)$. Також $p-2 = -(2-p)$.

Домножимо дріб на $-(p+2)$.

$\dfrac{p \cdot (-(p+2))}{(p-2) \cdot (-(p+2))} = \dfrac{-p(p+2)}{(2-p)(p+2)} = \dfrac{-p(p+2)}{4-p^2}$

2.19. Зведіть дріб:

1) $\dfrac{7}{m+n}$ до знаменника $m^2+mn$

Розкладемо знаменник: $m^2+mn = m(m+n)$.

Домножимо дріб на $m$.

$\dfrac{7 \cdot m}{(m+n) \cdot m} = \dfrac{7m}{m^2+mn}$

2) $\dfrac{4}{x-y}$ до знаменника $x^2-2xy+y^2$

Згорнемо знаменник: $x^2-2xy+y^2 = (x-y)^2$.

Домножимо дріб на $(x-y)$.

$\dfrac{4 \cdot (x-y)}{(x-y) \cdot (x-y)} = \dfrac{4(x-y)}{(x-y)^2}$

3) $\dfrac{a}{a+b}$ до знаменника $a^2-b^2$

Розкладемо знаменник: $a^2-b^2 = (a-b)(a+b)$.

Домножимо дріб на $(a-b)$.

$\dfrac{a \cdot (a-b)}{(a+b) \cdot (a-b)} = \dfrac{a(a-b)}{a^2-b^2}$

4) $\dfrac{c}{c-7}$ до знаменника $7-c$

Зауважимо, що $7-c = -(c-7)$. Домножимо дріб на $-1$.

$\dfrac{c \cdot (-1)}{(c-7) \cdot (-1)} = \dfrac{-c}{7-c}$

2.20. Знайдіть значення виразу

Спростимо вираз:

$-\dfrac{(c^3)^5 (x^{12})^2}{9(c^6)^2(x^3)^8} = -\dfrac{c^{15} x^{24}}{9c^{12}x^{24}} = -\dfrac{c^3}{9}$

Якщо $c=-3, x=2025$, то

$-\dfrac{(-3)^3}{9} = -\dfrac{-27}{9} = \dfrac{27}{9} = 3$

Представники від України вигравали пісенний конкурс «Євробачення» 3 рази.

2.21. Обчисліть значення дробу

Спочатку спростимо дріб, винісши спільні множники за дужки:

$\dfrac{6x^2-3xy}{8xy-4y^2} = \dfrac{3x(2x-y)}{4y(2x-y)} = \dfrac{3x}{4y}$

Тепер підставимо значення $x = -4$ та $y = -\dfrac{1}{4}$:

$\dfrac{3 \cdot (-4)}{4 \cdot (-\dfrac{1}{4})} = \dfrac{-12}{-1} = 12$

Перша письмова згадка про місто Кам’янець-Подільський датується 12 століттям.

2.22. Скоротіть дріб:

1) $\dfrac{(x+2)^2-(x-2)^2}{48x}$

Розкладемо чисельник за формулою різниці квадратів:

$\dfrac{(x+2-(x-2))(x+2+x-2)}{48x} = \dfrac{(x+2-x+2)(2x)}{48x} = \dfrac{4 \cdot 2x}{48x} = \dfrac{8x}{48x} = \dfrac{1}{6}$

2) $\dfrac{x^3-y^3}{x^4-y^4}$

Розкладемо чисельник і знаменник на множники:

$\dfrac{(x-y)(x^2+xy+y^2)}{(x^2-y^2)(x^2+y^2)} = \dfrac{(x-y)(x^2+xy+y^2)}{(x-y)(x+y)(x^2+y^2)} = \dfrac{x^2+xy+y^2}{(x+y)(x^2+y^2)}$

3) $\dfrac{(3b-9c)^2}{5b-15c}$

Винесемо спільні множники:

$\dfrac{(3(b-3c))^2}{5(b-3c)} = \dfrac{9(b-3c)^2}{5(b-3c)} = \dfrac{9(b-3c)}{5}$

Ось розв’язки до завдань.

2.23. Скоротіть дріб:

1. $\dfrac{(m+5)^2+(m-5)^2}{m^2+25}$Розкриємо дужки в чисельнику за формулами скороченого множення:$\dfrac{(m^2+10m+25)+(m^2-10m+25)}{m^2+25} = \dfrac{2m^2+50}{m^2+25} = \dfrac{2(m^2+25)}{m^2+25} = 2$
2. $\dfrac{a^4-b^4}{a^3+b^3}$Розкладемо чисельник і знаменник на множники, використовуючи формули різниці квадратів та суми кубів:$\dfrac{(a^2-b^2)(a^2+b^2)}{(a+b)(a^2-ab+b^2)} = \dfrac{(a-b)(a+b)(a^2+b^2)}{(a+b)(a^2-ab+b^2)} = \dfrac{(a-b)(a^2+b^2)}{a^2-ab+b^2}$
3. $\dfrac{6m+2n}{(12m+4n)^2}$Винесемо спільні множники в чисельнику та знаменнику:$\dfrac{2(3m+n)}{(4(3m+n))^2} = \dfrac{2(3m+n)}{16(3m+n)^2} = \dfrac{1}{8(3m+n)}$

2.24. Знайдіть область визначення функції та побудуйте її графік:

1) $y = \dfrac{x^2+6x}{6x+36}$

Область визначення: Знаменник не може дорівнювати нулю.

$6x+36 \neq 0 \implies 6x \neq -36 \implies x \neq -6$.

Отже, область визначення: $D(y) = (-\infty; -6) \cup (-6; +\infty)$.

Побудова графіка: Спростимо функцію.

$y = \dfrac{x(x+6)}{6(x+6)} = \dfrac{x}{6}$ при умові, що $x \neq -6$.

Графіком є пряма $y=\dfrac{x}{6}$ з точкою, абсциса якої дорівнює $-6$.

Знайдемо ординату цієї точки: $y = \dfrac{-6}{6} = -1$.

При x= 6 $y = 1$

2) $y = \dfrac{x^2-4x+4}{2-x}$

Область визначення: $2-x \neq 0 \implies x \neq 2$.

$D(y) = (-\infty; 2) \cup (2; +\infty)$.

Побудова графіка: Спростимо функцію.

$y = \dfrac{(x-2)^2}{-(x-2)} = -(x-2) = -x+2$ при умові, що $x \neq 2$.

Графіком є пряма $y=-x+2$ з виколотою точкою при $x=2$.

Ордината точки: $y = -2+2=0$.

При $x = 0$ то $y = 2$

2.25. Знайдіть область визначення функції та побудуйте її графік:

1) $y = \dfrac{x^2-5x}{25-5x}$

Область визначення: $25-5x \neq 0 \implies 5x \neq 25 \implies x \neq 5$.

$D(y) = (-\infty; 5) \cup (5; +\infty)$.

Побудова графіка: Спростимо функцію.

$y = \dfrac{x(x-5)}{5(5-x)} = \dfrac{x(x-5)}{-5(x-5)} = -\dfrac{x}{5}$ при умові, що $x \neq 5$.

Графіком є пряма $y=-\dfrac{x}{5}$ при $x=5$.

Ордината точки: $y = -\dfrac{5}{5} = -1$.

Отже, графік — пряма $y=-\dfrac{x}{5}$ з точкою $(5; -1)$.

2) $y = \dfrac{x^2+6x+9}{3+x}$

Область визначення: $3+x \neq 0 \implies x \neq -3$.

$D(y) = (-\infty; -3) \cup (-3; +\infty)$.

Побудова графіка: Спростимо функцію.

$y = \dfrac{(x+3)^2}{3+x} = x+3$ при умові, що $x \neq -3$.

Графіком є пряма $y=x+3$ з точкою при $x=-3$.

Ордината точки: $y = -3+3=0$.

З точкою при $x=0$ $y = 3$.

Вправи для повторення

2.26. Обчисліть значення виразу:

1. $\dfrac{2^{12}}{2^{14}}$ = $2^{12-14} = 2^{-2} = \dfrac{2}{2^2} = \dfrac{1}{4}$
2. $\dfrac{3^9}{3^6}$ = $3^{9-6} = 3^3 = 27$
3. $\dfrac{7^4}{49}$ = $\dfrac{7^4}{7^2} = 7^{4-2} = 7^2 = 49$
4. $\dfrac{125}{5^5}$ = $\dfrac{5^3}{5^5} = 5^{3-5} = 5^{-2} = \dfrac{1}{25}$

2.27. Розв’яжіть систему рівнянь:

1) $\left\{ \begin{array}{l} x + 3y = 2 \\ 3x-2y = 17 \end{array} \right.$

З першого рівняння виразимо $x$:

$x = 2-3y$.

Підставимо у друге рівняння:

$3(2-3y)-2y = 17$
$6-9y-2y = 17$
$ -11y = 11 $
$y = -1$.
$x = 2-3(-1) = 5$.

Відповідь: $(5; -1)$.

2) $\left\{ \begin{array}{l} 3x + 2y = 2 \\ 7x-2y = -22 \end{array} \right.$

Додамо перше рівняння до другого:

$(3x + 7x) + (2y-2y) = 2-22$
$10x = -20$
$x = -2$

Підставимо $x$ у перше рівняння:

$3(-2) + 2y = 2$
$-6 + 2y = 2$
$2y = 8$
$y = 4$.

Відповідь: $(-2; 4)$.

2.28. Спростіть вираз:

1) $(2x + 3y)^2-(x + 7y)(4x-y)$

$= (4x^2 + 12xy + 9y^2)-(4x^2-xy + 28xy-7y^2)$
$= 4x^2 + 12xy + 9y^2-4x^2-27xy + 7y^2$
$= 16y^2-15xy$

2) $(m + 3)(m^2-5)-m(m-4)^2$

$= (m^3-5m + 3m^2-15)-m(m^2-8m + 16)$
$= m^3 + 3m^2-5m-15-m^3 + 8m^2-16m$
$= 11m^2-21m-15$

Пiдготуйтеся до вивчення нового матерiалу

2.29. Обчисліть:

1. $\dfrac{1}{7} + \dfrac{3}{7}$ $= \dfrac{1+3}{7} = \dfrac{4}{7}$
2. $\dfrac{7}{13} + \dfrac{8}{13}$ $= \dfrac{7+8}{13} = \dfrac{15}{13} = 1\dfrac{2}{13}$
3. $\dfrac{9}{11}-\dfrac{5}{11}$ $= \dfrac{9-5}{11} = \dfrac{4}{11}$
4. $\dfrac{3}{17}-\dfrac{9}{17}$ $= \dfrac{3-9}{17} = -\dfrac{6}{17}$
5. $\dfrac{4}{5} + \dfrac{1}{5}$ $= \dfrac{4+1}{5} = \dfrac{5}{5} = 1$
6. $-\dfrac{11}{15} + \dfrac{2}{15}$ $= \dfrac{-11+2}{15} = \dfrac{-9}{15} = -\dfrac{3}{5}$
7. $-\dfrac{3}{10}-\dfrac{7}{10}$ $= \dfrac{-3-7}{10} = \dfrac{-10}{10} = -1$
8. $-\dfrac{2}{7}-(-\dfrac{1}{7})$ $= -\dfrac{2}{7} + \dfrac{1}{7} = \dfrac{-2+1}{7} = -\dfrac{1}{7}$

Життєва математика

2.30. На 1 січня 2016 року сільського населення в Україні було на 38,375094% менше, ніж міського. Знайдіть кількість міського і кількість сільського населення в Україні станом на 1 січня 2016 року, якщо загальна кількість населення на цю дату складала 42 760 516 осіб.

Розв’язок:

Позначимо кількість міського населення через x.

Кількість сільського населення була на 38,375094% меншою, що в десятковому дробі становить 0,38375094. Отже, кількість сільського населення дорівнює

x-0,38375094x = 0,61624906x.

Складемо рівняння, додавши міське та сільське населення:

$x + 0,61624906x = 42 760 516$

$1,61624906x = 42 760 516$

Знайдемо x (кількість міського населення):

$x = \dfrac{42 760 516}{1,61624906} \approx 26 456 638$ (осіб)-міське населення.

Знайдемо кількість сільського населення:

$42 760 516-26 456 638 = 16 303 878$ (осіб)-сільське населення.

Відповідь: Кількість міського населення становила приблизно 26 456 638 осіб, а сільського — 16 303 878 осіб.

Цікаві задачі – поміркуй одначе

2.31. Катер за течією річки долає відстань від пункту А до пункту В за 2 год, а проти течії — за 3 год. За який час від пункту А до пункту В пропливе пліт?

Розв’язок:

Позначимо відстань між А і В як S, власну швидкість катера як $v_к$, а швидкість течії як $v_т$.

Швидкість катера за течією: $v_к + v_т = \dfrac{S}{2}$.

Швидкість катера проти течії: $v_к-v_т = \dfrac{S}{3}$.

Маємо систему з двох рівнянь:

$\left\{\begin{array}{l}v_{\mathrm{k}} + v_{\mathrm{t}} = \dfrac{S}{2} \\v_{\mathrm{k}}-v_{\mathrm{t}} = \dfrac{S}{3}\end{array}\right.$

Віднімемо друге рівняння від першого, щоб знайти швидкість течії:

$(v_к + v_т)-(v_к-v_т) = \dfrac{S}{2}-\dfrac{S}{3}$

$2v_т = \dfrac{3S-2S}{6} = \dfrac{S}{6}$

$v_т = \dfrac{S}{12}$

Пліт рухається зі швидкістю течії. Щоб знайти час (t), за який пліт пропливе відстань S, треба відстань поділити на швидкість течії:

$t = \dfrac{S}{v_т} = \dfrac{S}{\dfrac{S}{12}} = S \cdot \dfrac{12}{S} = 12$ (год).

Відповідь: Пліт пропливе відстань від пункту А до пункту В за 12 годин.