1. Камінь масою 500 г кинули вертикально вгору зі швидкістю 20 м/с. Визначте кінетичну і потенціальну енергії каменя на висоті 10 м.
Дано:
- $m = 0,5$ кг
- $v_0 = 20$ м/с
- $h = 10$ м
Знайти: $E_k = ?$, $E_p = ?$
Розв’язання:
Використаємо закон збереження механічної енергії: $E = E_k + E_p$.
Початкова кінетична енергія:
$E_{k0} = \dfrac{1}{2} m v_0^2 = \dfrac{1}{2} \cdot 0,5 \cdot 400 = 100$ Дж
Потенціальна енергія на висоті $h$:
$E_p = m g h = 0,5 \cdot 10 \cdot 10 = 50$ Дж
Кінетична енергія на висоті $h$:
$E_k = E_{k0} – E_p = 100 – 50 = 50$ Дж
Відповідь: $E_k = 50$ Дж, $E_p = 50$ Дж
2. Тіло, що перебувало в стані спокою, падає з висоти 20 м. На якій висоті швидкість руху тіла дорівнюватиме 10 м/с?
Дано:
- $h_0 = 20$ м
- $v_0 = 0$ м/с
- $v = 10$ м/с
Знайти: $h = ?$
Розв’язання:
Використаємо закон збереження механічної енергії: $E_{p0} = E_k + E_p$.
Початкова потенціальна енергія:
$E_{p0} = m g h_0$
Енергія на висоті $h$:
$\dfrac{1}{2} m v^2 + m g h = m g h_0$
Спрощуємо (масу скасовуємо):
$\dfrac{1}{2} v^2 + g h = g h_0$
$h = h_0 – \dfrac{v^2}{2 g} = 20 – \dfrac{100}{20} = 20 – 5 = 15$ м
Відповідь: 15 м
3. Пружинний пістолет заряджають кулькою масою 6 г і стріляють угору. На яку висоту підніметься кулька, якщо пружину жорсткістю 180 Н/м було стиснуто на 4 см?
Дано:
- $m = 0,006$ кг
- $k = 180$ Н/м
- $x = 0,04$ м
- $g \approx 10 м/с^2$
Знайти: $h = ?$
Розв’язання:
$E_{p, пружини} = E_{p, кульки}$
$\dfrac{k \cdot x^2}{2} = m \cdot g \cdot h$
$h = \dfrac{k \cdot x^2}{2 \cdot m \cdot g}$
$h = \dfrac{180 \cdot (0.04)^2}{2 \cdot 0.006 \cdot 10} = \dfrac{180 \cdot 0.0016}{0.12} = \dfrac{0.288}{0.12} = 2.4 м$
Відповідь: 2,4 м
4. М’яч кинули вертикально вгору зі швидкістю 8 м/с. Визначте, на якій висоті швидкість руху м’яча зменшиться удвічі.
Дано:
- $v_0 = 8$ м/с
- $v = 4$ м/с
- $g \approx 10 м/с^2$
Знайти: $h = ?$
Розв’язання:
Використаємо формулу для швидкості:
$v^2 = v_0^2 – 2 g h$.
$16 = 64 – 20 h$
$20 h = 48$
$h = \dfrac{48}{20} = 2,4$ м
Відповідь: 2,4 м
5. Кульку кинули горизонтально з висоти 4 м зі швидкістю 8 м/с. Визначте швидкість руху кульки в момент падіння на поверхню землі.
Дано:
- $h = 4$ м
- $v_x = 8$ м/с
- $g \approx 10 м/с^2$
Знайти: $v = ?$
Розв’язання:
$E_{k0} + E_{p0} = E_k$
$\dfrac{m \cdot v_0^2}{2} + m \cdot g \cdot h = \dfrac{m \cdot v^2}{2}$
$\dfrac{v_0^2}{2} + g \cdot h = \dfrac{v^2}{2}$
$v^2 = v_0^2 + 2 \cdot g \cdot h$
$v = \sqrt{v_0^2 + 2 \cdot g \cdot h}$
$v = \sqrt{8^2 + 2 \cdot 10 \cdot 4} = \sqrt{64 + 80} = \sqrt{144} = 12 м/с$
Відповідь: 12 м/с
6. Вантаж масою 40 кг скинули з літака. Після того як на висоті 400 м швидкість руху вантажу досягла 20 м/с, він почав рухатися рівномірно. Визначте: 1) повну механічну енергію вантажу: а) на висоті 400 м; б) в момент приземлення; 2) енергію, на яку перетворилася частина механічної енергії вантажу.
Дано:
- $m = 40$ кг
- $h = 400$ м
- $v = 20$ м/с
- $g \approx 10 м/с^2$
Знайти: $E_{мех, 400} = ?$, $E_{мех, 0} = ?$, $\Delta E – ?$
Розв’язання:
$E_1 = E_{k1} + E_{p1} = \dfrac{m \cdot v^2}{2} + m \cdot g \cdot h_1$
$E_1 = \dfrac{40 \cdot 20^2}{2} + 40 \cdot 10 \cdot 400 = \dfrac{40 \cdot 400}{2} + 160000 = 8000 + 160000 = 168000 Дж = 168 кДж$
$E_2 = E_{k2} + E_{p2} = \dfrac{m \cdot v^2}{2} + m \cdot g \cdot h_2$
$E_2 = \dfrac{40 \cdot 20^2}{2} + 0 = 8000 Дж = 8 кДж$
$\Delta E = E_1 – E_2$
$\Delta E = 168000 – 8000 = 160000 Дж = 160 кДж$
Відповідь: 1 а) 168 кДж; 1 б) 8 кДж; 2) 160 кДж
7. Складіть задачу, обернену до задачі, розв’язання якої подано на заставці до § 9, і розв’яжіть її.
Кулька масою $0{,}05$ кг вилітає з пружинного пістолета зі швидкістю $v = 2$ м/с. Жорсткість пружини $k = 125\,\text{Н}/\text{м}$. На яку відстань $x_0$ потрібно стиснути пружину, щоб кулька отримала таку швидкість?
Дано:
- $m = 0{,}05$ кг
- $v = 2$ м/с
- $k = 125\,\text{Н}/\text{м}$
Знайти: $x_0 = ?$
Розв’язання
За законом збереження енергії:
$E_{пруж} = E_{кін}$
Потенціальна енергія пружини:
$E_{пруж} = \dfrac{k x_0^2}{2}$
Кінетична енергія кульки:
$E_{кін} = \dfrac{m v^2}{2}$
Прирівнюємо:
$\dfrac{k x_0^2}{2} = \dfrac{m v^2}{2}$
$k x_0^2 = m v^2$
$x_0^2 = \dfrac{m v^2}{k}$
$x_0 = v \cdot \sqrt{\dfrac{m}{k}}$
Підставимо числові значення:
$x_0 = 2 \cdot \sqrt{\dfrac{0{,}05}{125}}$
$\dfrac{0{,}05}{125} = 0{,}0004$
$\sqrt{0{,}0004} = 0{,}02$
$x_0 = 2 \cdot 0{,}02 = 0{,}04\,\text{м} = 4\,\text{см}$
Відповідь: Щоб кулька масою $0{,}05$ кг вилетіла з пружинного пістолета зі швидкістю $2$ м/с, пружину потрібно стиснути на $4$ см.