17. Тепловий баланс

Контрольні запитання

1. Сформулюйте закон збереження енергії, на підставі якого складають рівняння теплового балансу.

Закон збереження і перетворення енергії для процесу теплопередачі формулюється так: у системі тіл, яка не одержує і не віддає енергію, а зміна внутрішньої енергії тіл відбувається лише внаслідок теплообміну між тілами системи, скільки теплоти віддають одні тіла системи, стільки ж теплоти одержують інші.

$Q_{1}^{+} + Q_{2}^{+} + \dots + Q_{n}^{+} = Q_{1}^{-} + Q_{2}^{-} + \dots + Q_{k}^{-}$

де $n$ — кількість тіл, що віддають енергію, а $k$ — кількість тіл, що одержують енергію.

2. Назвіть умови, які мають виконуватися для використання рівняння теплового балансу.

Для використання рівняння теплового балансу мають виконуватися дві умови: по-перше, система тіл не повинна одержувати чи віддавати енергію назовні (теплообмін із довкіллям має бути відсутнім). По-друге, процес теплообміну має призвести до стану теплової рівноваги, тобто температури всіх тіл системи стають однаковими.

Вправа

Виконуючи завдання, теплообміном із довкіллям знехтуйте.

1. У ванну налили 80 кг води за температури 10 °С. Скільки води за температури 100 °С потрібно додати у ванну, щоб температура води в ній стала 25 °С? Теплообміном між ванною та водою знехтуйте.

Дано:
$m_{1} = 80 кг$
$t_{1} = 10° С$
$t_{2} = 100° С$
$t = 25° С$
$c = 4200 \frac{Дж}{кг \cdot ° С}$

Знайти:
$m_{2} = ?$

Розв’язання:
Складаємо рівняння теплового балансу. Кількість теплоти $Q_{1}$ , яку отримала холодна вода, дорівнює кількості теплоти $Q_{2}$ , яку віддала гаряча вода.
$Q_{1} = Q_{2}$
$c \cdot m_{1} \cdot (t - t_{1}) = c \cdot m_{2} \cdot (t_{2} - t)$
Питома теплоємність води $c$ скорочується:
$m_{1} \cdot (t - t_{1}) = m_{2} \cdot (t_{2} - t)$
Звідси виражаємо $m_{2}$ :
$m_{2} = \frac{m _{1} \cdot ( t - t _{1} )}{t _{2} - t}$
Підставляємо числові значення:
$m_{2} = \frac{80 \cdot ( 25 - 10 )}{100 - 25} = \frac{80 \cdot 15}{75} = \frac{1200}{75} = 16 кг$

Відповідь: потрібно додати 16 кг води.

2. У каструлю налили 2 кг води за температури 40 °С, а потім додали 4 кг води за температури 85 °C. Визначте температуру суміші. Теплообміном між каструлею та водою знехтуйте.

Дано:
$m_{1} = 2 кг$
$t_{1} = 40° С$
$m_{2} = 4 кг$
$t_{2} = 85° С$
$c = 4200 \frac{Дж}{кг \cdot ° С}$

Знайти:
$t = ?$

Розв’язання:
Записуємо рівняння теплового балансу. Кількість теплоти, яку отримала холодніша вода, дорівнює кількості теплоти, яку віддала гарячіша вода.
$c \cdot m_{1} \cdot (t - t_{1}) = c \cdot m_{2} \cdot (t_{2} - t)$
Скорочуємо питому теплоємність $c$ :
$m_{1} \cdot (t - t_{1}) = m_{2} \cdot (t_{2} - t)$
$m_{1} \cdot t - m_{1} \cdot t_{1} = m_{2} \cdot t_{2} - m_{2} \cdot t$
$m_{1} \cdot t + m_{2} \cdot t = m_{1} \cdot t_{1} + m_{2} \cdot t_{2}$
$t \cdot (m_{1} + m_{2}) = m_{1} \cdot t_{1} + m_{2} \cdot t_{2}$
$t = \frac{m _{1} \cdot t _{1} + m _{2} \cdot t _{2}}{m _{1} + m _{2}}$
Підставляємо значення:
$t = \frac{2 \cdot 40 + 4 \cdot 85}{2 + 4} = \frac{80 + 340}{6} = \frac{420}{6} = 70° С$

Відповідь: температура суміші становить 70 °С.

3. У воду масою 250 г за температури 15 °С занурили нагрітий у печі сталевий брусок масою 200 г. Температура води збільшилася до 25 °С. Обчисліть температуру в печі.

Дано:
$m_{в} = 250 г = 0, 25 кг$
$t_{в} = 15° С$
$m_{с} = 200 г = 0, 2 кг$
$t = 25° С$
$c_{в} = 4200 \frac{Дж}{кг \cdot ° С}$
$c_{с} = 500 \frac{Дж}{кг \cdot ° С}$ (питома теплоємність сталі)

Знайти:
$t_{с} = ?$

Розв’язання:

Кількість теплоти $Q_{в}$ , яку отримала вода, дорівнює кількості теплоти $Q_{с}$ , яку віддав сталевий брусок.
$Q_{в} = Q_{с}$
$c_{в} \cdot m_{в} \cdot (t - t_{в}) = c_{с} \cdot m_{с} \cdot (t_{с} - t)$
Звідси знаходимо $t_{с}$ :
$t_{с} - t = \frac{c _{в} \cdot m _{в} \cdot ( t - t _{в} )}{c _{с} \cdot m _{с}}$
$t_{с} = t + \frac{c _{в} \cdot m _{в} \cdot ( t - t _{в} )}{c _{с} \cdot m _{с}}$
Підставляємо значення:
$t_{с} = 25 + \frac{4200 \cdot 0 , 25 \cdot ( 25 - 15 )}{500 \cdot 0 , 2} = 25 + \frac{1050 \cdot 10}{100} = 25 + \frac{10500}{100} = 25 + 115 = 130° С$

Відповідь: температура в печі 130 °С.

4. Латунна посудина масою 200 г містить 400 г води за температури 20 °С. У воду опустили 800 г срібла за температури 69 °С. У результаті вода нагрілася до температури 25 °С. Визначте питому теплоємність срібла.

Дано:
$m_{л} = 200 г = 0, 2 кг$
$m_{в} = 400 г = 0, 4 кг$
$t_{1} = 20° С$
$m_{ср} = 800 г = 0, 8 кг$
$t_{ср} = 69° С$
$t_{2} = 25° С$
$c_{в} = 4200 \frac{Дж}{кг \cdot ° С}$
$c_{л} = 400 \frac{Дж}{кг \cdot ° С}$ (питома теплоємність латуні)

Знайти:
$c_{ср} = ?$

Розв’язання:

Кількість теплоти, яку віддало срібло ( $Q_{віддано}$ ), дорівнює сумарній кількості теплоти, яку отримали вода та латунна посудина ( $Q_{отримано}$ ).
$Q_{віддано} = Q_{отримано}$
$m_{ср} \cdot c_{ср} \cdot (t_{ср} - t_{2}) = m_{в} \cdot c_{в} \cdot (t_{2} - t_{1}) + m_{л} \cdot c_{л} \cdot (t_{2} - t_{1})$
$m_{ср} \cdot c_{ср} \cdot (t_{ср} - t_{2}) = (m_{в} \cdot c_{в} + m_{л} \cdot c_{л}) \cdot (t_{2} - t_{1})$
Виражаємо $c_{ср}$ :
$c_{ср} = \frac{( m _{в} \cdot c _{в} + m _{л} \cdot c _{л} ) \cdot ( t _{2} - t _{1} )}{m _{ср} \cdot ( t _{ср} - t _{2} )}$
Підставляємо значення:
$c_{ср} = \frac{( 0 , 4 \cdot 4200 + 0 , 2 \cdot 400 ) \cdot ( 25 - 20 )}{0 , 8 \cdot ( 69 - 25 )} = \frac{( 1680 + 80 ) \cdot 5}{0 , 8 \cdot 44} = \frac{1760 \cdot 5}{35 , 2} = \frac{8800}{35 , 2} = 250 \frac{Дж}{кг \cdot ° С}$

Відповідь: питома теплоємність срібла приблизно 250 Дж/(кг·°С).

5. Придумайте 1-2 задачі на складання рівняння теплового балансу та розв’яжіть їх. Умови задач, розв’язок і відповідні ілюстрації оформте на окремому аркуші.

Задача 5.1

У мідний калориметр масою 150 г, що містить 200 г води при 20 °С, опускають алюмінієвий циліндр масою 100 г, нагрітий до 95 °С. Якою буде кінцева температура води? (Питома теплоємність міді — 380 Дж/(кг·°С), алюмінію — 920 Дж/(кг·°С)).

Дано:
$m_{м} = 150 г = 0, 15 кг$
$m_{в} = 200 г = 0, 2 кг$
$t_{1} = 20° С$
$m_{ал} = 100 г = 0, 1 кг$
$t_{ал} = 95° С$
$c_{м} = 380 \frac{Дж}{кг \cdot ° С}$
$c_{в} = 4200 \frac{Дж}{кг \cdot ° С}$
$c_{ал} = 920 \frac{Дж}{кг \cdot ° С}$

Знайти:
$t_{2} = ?$

Розв’язання:

Теплота, яку віддав алюмінієвий циліндр, дорівнює теплоті, яку отримали вода та мідний калориметр.
$m_{ал} \cdot c_{ал} \cdot (t_{ал} - t_{2}) = (m_{в} \cdot c_{в} + m_{м} \cdot c_{м}) \cdot (t_{2} - t_{1})$
$0, 1 \cdot 920 \cdot (95 - t_{2}) = (0, 2 \cdot 4200 + 0, 15 \cdot 380) \cdot (t_{2} - 20)$
$92 \cdot (95 - t_{2}) = (840 + 57) \cdot (t_{2} - 20)$
$8740 - 92 \cdot t_{2} = 897 \cdot (t_{2} - 20)$
$8740 - 92 \cdot t_{2} = 897 \cdot t_{2} - 17940$
$8740 + 17940 = 897 \cdot t_{2} + 92 \cdot t_{2}$
$26680 = 989 \cdot t_{2}$
$t_{2} = \frac{26680}{989} \approx 26, 98° С$

Відповідь: кінцева температура води буде приблизно 27 °С.

Задача 5.2

Щоб отримати 10 л води при температурі 36 °С, змішують гарячу воду (80 °С) та холодну (10 °С). Які об’єми гарячої та холодної води потрібно взяти? (Густина води 1 кг/л).

Дано:
$V = 10 л ⟹ m = 10 кг$
$t = 36° С$
$t_{г} = 80° С$
$t_{х} = 10° С$
$c = 4200 \frac{Дж}{кг \cdot ° С}$

Знайти:
$V_{г} = ?, V_{х} = ?$

Розв’язання:

Нехай $m_{х}$ — маса холодної води, тоді маса гарячої води $m_{г} = m - m_{х} = 10 - m_{х}$ .
За рівнянням теплового балансу:
$m_{х} \cdot c \cdot (t - t_{х}) = m_{г} \cdot c \cdot (t_{г} - t)$
$m_{х} \cdot (36 - 10) = (10 - m_{х}) \cdot (80 - 36)$
$26 \cdot m_{х} = (10 - m_{х}) \cdot 44$
$26 \cdot m_{х} = 440 - 44 \cdot m_{х}$
$70 \cdot m_{х} = 440$
$m_{х} = \frac{440}{70} \approx 6, 29 кг$
Оскільки густина води 1 кг/л, то $V_{х} \approx 6, 29 л$
Тоді маса гарячої води:
$m_{г} = 10 - 6, 29 = 3, 71 кг$
Відповідно, об’єм гарячої води $V_{г} \approx 3, 71 л$

Відповідь: потрібно взяти приблизно 6,29 л холодної води та 3,71 л гарячої води.

17. Тепловий баланс

Контрольні запитання

Вправа

Теги статті:

До уроку