Повторюємо алгебру за 7 клас – лінійні рівняння з однією змінною (10-17)

Назад до змісту

10. Ящик з яблуками на 8 кг важчий за ящик зі сливами. Яка маса кожного ящика, якщо маса двох ящиків з яблуками така сама, як і маса трьох ящиків зі сливами?

Нехай маса ящика зі сливами — $x$ кг, тоді ящика з яблуками — $x+8$.
Маємо:
$2(x+8) = 3x$
Розкриваємо дужки:
$2x + 16 = 3x$
$16 = 3x - 2x$:
$16 = x$
Ящик з яблуками: $16+8=24$кг.

Відповідь: Маса ящика зі сливами — $16$ кг, з яблуками — 24$ кг.

11. Розв’яжіть рівняння (2x-5)/3 = (5x+1)/9 і 7(y + 3) - 9(y - 1) = 24.

$9 \cdot (2x – 5) = 3 \cdot (5x + 1)$

Розкриємо дужки:
$18x – 45 = 15x + 3$

Перенесемо доданки з $x$ в одну сторону, а числа - в іншу:
$18x – 15x = 3 + 45$
$3x = 48$
$x = 16$

Тепер другу частину:
$7(y + 3) – 9(y – 1) = 24$

Розкриємо дужки:

$7y + 21 – 9y + 9 = 24$
$-2y + 30 = 24$
$-2y = -6$
$y = 3$

Значення виразу $100x + 5y = 100 \cdot 16 + 5 \cdot 3 = 1600 + 15 = 1615$

Рік заснування Національного університету «Києво-Могилянська академія» - 1615.

12. Розв’яжіть рівняння (2x-1)/3 = (3+4x)/7 і 7(y - 2) - 3(y + 5) = 11.

Розв’яжемо першу частину:
$\dfrac{2x-1}{3} = \dfrac{3+4x}{7}$
Перемножимо хрест-навхрест:
$(2x-1) \cdot 7 = 3 \cdot (3+4x)$
$14x – 7 = 9 + 12x$
$14x – 12x = 9 + 7$
$2x = 16$
$x = 8$
Тепер другу частину:
$7(y – 2) – 3(y + 5) = 11$
Розкриємо дужки:
$7y – 14 – 3y – 15 = 11$
$4y – 29 = 11$
$4y = 11 + 29$
$4y = 40$
$y = 10$

Відповідь: $x = 8$, $y = 10$

Значення виразу $200x + 11y = 200 \cdot 8 + 11 \cdot 10 = 1600 + 110 = 1710$

Рік ухвалення першої Конституції Пилипа Орлика - 1710.

13. Розв’яжіть рівняння:

1) $|x| – 2 = 9$

$|x| – 2 = 9$
$|x| = 11$

Оскільки модуль може давати два значення, маємо:

$x = 11$ або $x = -11$

Відповідь: $x = -11$ або $x = 11$

2) $5 – |x| = 7$

$5 – |x| = 7$
$-|x| = 2$
$|x| = -2$

Оскільки модуль не може бути від’ємним, рівняння розв’язків не має.

Відповідь: Рівняння не має розв’язків.

3) $|x – 2| = 3$

Модуль дорівнює $3$, тому:

$x – 2 = 3$ або $x – 2 = -3$
$x = 5$ або $x = -1$

Відповідь: $x = -1$ або $x = 5$

4) $|2x – 1| = 0$

$|2x – 1| = 0$

$2x – 1 = 0$
$2x = 1$
$x = \dfrac{1}{2}$

Відповідь: $x = \dfrac{1}{2}$

5) $|5x + 2| = 3$

$|5x + 2| = 3$
$5x + 2 = 3$ або $5x + 2 = -3$
$5x = 1$ або $5x = -5$
$x = \dfrac{1}{5}$ або $x = -1$

Відповідь: $x = -1$ або $x = \dfrac{1}{5}$

6) $\dfrac{1}{3}|x – 2| + 3 = 7$

$\dfrac{1}{3}|x-2| = 7-3$
$\dfrac{1}{3}|x-2| = 4$
$|x-2| = 4 \cdot 3$
$|x-2| = 12$

Тепер розглянемо два випадки:

1. $x-2 = 12$
   $x = 12 + 2$
   $x_1 = 14$

2. $x-2 = -12$
   $x = -12 + 2$
   $x_2 = -10$

Відповідь: $x = -10$ або $x = 14$

14. Одна сторона трикутника утричі менша від другої і на $12$ см менша від третьої. Знайдіть сторони трикутника, периметр якого дорівнює $52$ см.

Нехай $x$ - перша сторона трикутника.

Тоді: Друга сторона: $3x$ (втричі більша за першу)

Третя сторона: $x + 12$ (на $12$ см більша за першу)

За умовою периметр дорівнює $52$ см:

$x + 3x + (x + 12) = 52$
$5x + 12 = 52$
$5x = 40$
$x = 8$

Обчислюємо сторони: Перша сторона: $8$ см

Друга сторона: $3 \cdot 8 = 24$ см

Третя сторона: $8 + 12 = 20$ см

Відповідь: Сторони трикутника: $8$ см, $24$ см і $20$ см.

15. В одному мішку на $6$ кг борошна більше, ніж у другому, і вдвічі менше, ніж у третьому. Скільки кілограмів борошна в кожному мішку, якщо у трьох мішках разом $66$ кг борошна?

Нехай у другому мішку $x$ кг борошна.

Тоді: У першому мішку: $x + 6$ кг (на $6$ кг більше)

У третьому мішку: $2(x + 6)$ кг (вдвічі більше, ніж у першому)

За умовою, у трьох мішках разом $66$ кг:

$x + (x + 6) + 2(x + 6) = 66$
$x + x + 6 + 2x + 12 = 66$
$4x + 18 = 66$
$4x = 48$
$x = 12$

Обчислюємо кількість борошна в кожному мішку:

Другий мішок: $12$ кг

Перший мішок: $12 + 6 = 18$ кг

Третій мішок: $2 \cdot (12+6) = 36$ кг

Перевірка: $12 + 18 + 36 = 66$

Відповідь: У першому мішку $18$ кг, у другому $12$ кг, у третьому $36$ кг борошна.

16. За якого значення $a$ рівняння $x + a = 9$ і $4x – a = 3x$ мають однакові корені?

Розв’яжемо перше рівняння:

$x + a = 9$
$x = 9 – a$

Розв’яжемо друге рівняння:

$4x – a = 3x$
$4x – 3x = a$
$x = a$

Оскільки корені мають бути однаковими:

$9 – a = a$
$9 = 2a$
$a = 4,5$

Відповідь: $a = 4,5$

17. За якого значення $b$ рівняння $x – b = 7$ і $5x + b = 4x$ мають однакові корені?

Розв’яжемо перше рівняння:

$x – b = 7$
$x = 7 + b$

Розв’яжемо друге рівняння:

$5x + b = 4x$
$5x – 4x = -b$
$x = -b$

Тепер прирівняємо два вирази для x, оскільки корінь однаковий:

$7 + b = -b$

Розв’яжемо отримане рівняння відносно b:

$b + b = -7$
$2b = -7$
$b = -3.5$

Відповідь: $b = -3,5$

Назад до 1-9 

Далі до 18-30