Повторюємо алгебру за 7 клас – функції (45-60)

Назад до змісту

45. Які записи задають функцію? Вкажіть аргумент і залежну змінну.

1. m=2p−9 — так; аргумент p, залежна m.
2. 4x−9=9−4x — ні (рівняння, не виражає y через x).
3. y=2x/(x−3) — так; аргумент x, залежна y (x≠3).
4. 36:9−4=0 — ні (числова рівність).
5. c=n²−n³ — так; аргумент n, залежна c.
6. 2x−9>3 — ні (нерівність).

46. Чи є лінійною функція?

1. y=2x² — ні.
2. y=2x — так.
3. y=2 — так (k=0).
4. y=1/(2x−3) — ні.
5. y=2x−3 — так.
6. y=2x²−3 — ні.

47. Функція y=3−2x. Знайдіть:

y при x=−4; 1,5:

y=3−2(−4)=11
y=3−2(1,5)=0

x при y=−7; 5:

−7=3−2x
−10=−2x
x=5
5=3−2x
2=−2x
x=−1

48. Функція y=4x−5. Знайдіть:

y при x=−1,5; 6:

y=4(−1,5)−5=−6−5=−11

y=24−5=19

x при y=−9; 1:

−9=4x−5
−4=4x
x=−1
1=4x−5
6=4x
x=1,5

49. Знайдіть область визначення функції:

1. $y = 3x - 6$:  $D(y) = (-\infty; +\infty)$ (всі числа).
2. $y = \dfrac{3x-6}{5}$: $D(y) = (-\infty; +\infty)$ (всі числа).
3. $y = \dfrac{5}{3x-6}$: знаменник не може бути нулем, тому $3x-6 \neq 0$, отже $x \neq 2$. $D(y) = (-\infty; 2) \cup (2; +\infty)$ (всі числа, крім 2).
4. $y = \dfrac{7}{x+6}$: знаменник не може бути нулем, тому $x+6 \neq 0$, отже $x \neq -6$. $D(y) = (-\infty; -6) \cup (-6; +\infty)$ (всі числа, крім -6).

50. Знайдіть область визначення функції:

1. $y = 2x + 4$: область визначення – всі числа $D(y) = (-\infty; +\infty)$.
2. $y = \dfrac{2x+4}{7}$: область визначення – всі числа $D(y) = (-\infty; +\infty)$.
3. $y = \dfrac{7}{2x+4}$: знаменник $2x+4 \neq 0$, тому $2x \neq -4$, $x \neq -2$. $D(y) = (-\infty; -2) \cup (-2; +\infty)$ (всі числа, крім -2).
4. $y = \dfrac{9}{x-4}$: знаменник $x-4 \neq 0$, тому $x \neq 4$. $D(y) = (-\infty; 4) \cup (4; +\infty)$ (всі числа, крім 4).

51. Не виконуючи побудови графіка, знайдіть нулі функції:

1. y = 7x
   7x = 0.
   x = 0.

2. y = 2x – 9
   2x – 9 = 0
   2x = 9
   x = 4.5

3. $y = \dfrac{-x}{7}$
   $\dfrac{-x}{7} = 0$.
   $x = 0$.

4. $y = \dfrac{x+9}{11}$
   $\dfrac{x+9}{11} = 0$.
   $x + 9 = 0$.
   $x = -9$.

52. Не будуючи графіка, знайдіть нулі функції:

1. $y = -4x$
   Прирівнюємо $y$ до нуля: $-4x = 0$. Ділимо обидві частини на -4, отримуємо $x = 0$.

2. $y = 7 + 14x$
   Прирівнюємо функцію до нуля: $7 + 14x = 0$. Переносимо 7 у праву частину: $14x = -7$. Ділимо обидві частини на 14 і отримуємо $x = \dfrac{-7}{14}$, що дорівнює $-0.5$.

3. $y = \dfrac{x}{5}$
   Розв’язуємо рівняння $\dfrac{x}{5} = 0$. Множимо обидві частини на 5 і отримуємо $x = 0$.

4. $y = \dfrac{x-4}{5}$

Складаємо рівняння: $\dfrac{x-4}{5} = 0$.

Множимо обидві частини на 5, виходить $x - 4 = 0$.

Переносимо -4 в праву частину і отримуємо $x = 4$.

53. Побудуйте графік лінійної функції (ключові точки):

1. $y=x+3$: $(0;3)$, $(-3;0)$.
2. $y=7-0{,}5x$: $(0;7)$, $(14;0)$.
3. $y=-4x$: $(0;0)$, $(1;-4)$.
4. $y=2$: горизонтальна пряма $y=2$.

54. Побудуйте графік лінійної функції (ключові точки):

1. $y=2-x$: $(0;2)$, $(2;0)$.
2. $y=\dfrac{1}{3}x+1$: $(0;1)$, $(3;2)$.
3. $y=2x$: $(0;0)$, $(1;2)$.
4. $y=-3$: горизонтальна пряма $y=-3$.

55. За графіком знайдіть:

1. Знайдіть значення y, якщо x = -3,5; -1; 0,5.

Якщо x = -3,5, то y = -2.

Якщо x = -1, то y = 2,5.

Якщо x = 0,5, то y = 2.

2. Знайдіть значення x, якщо y = -0,5; 2; 2,5.

Якщо y = -0,5, то x = -3 або x = 2.

Якщо y = 2, то x = -1,5 або x = 0,5.

Якщо y = 2,5, то x = -1.

3. Знайдіть нулі функції.

Нулі функції (де y=0) знаходяться в точках x = -2 та x = 1,5.

4. Знайдіть значення аргументу, для яких функція набуває додатних значень.

Функція є додатною (y > 0) на проміжку x ∈ (-2; 1,5).

5. Знайдіть значення аргументу, для яких функція набуває від’ємних значень.

Функція є від’ємною (y < 0) на проміжках: x \in \[-4; -2) \cup (1,5; 4\]

56. За графіком знайдіть:

1. Знайдіть значення y, якщо x = -1; -0,5; 2,5

За графіком, якщо $x = -1$, то $y = 0$. Якщо $x = -0,5$, то $y = -1$. Для $x = 2,5$ значення $y = -2,5$.

2. Знайдіть значення x, якщо y = -3; -2; 1

Якщо $y = -3$, то $x = 2$. Якщо $y = -2$, то $x$ дорівнює $0$ та $3$. При $y = 1$ значення $x$ дорівнюють $-2$ та $4$.

3. Знайдіть нулі функції

Нулі функції (де $y=0$) знаходяться в точках $x = -1$ та $x =3,5$.

4. Знайдіть значення аргументу, для яких функція набуває додатних значень

$y > 0$ $при$ x \in \[-3; -1) \cup (3,5; 5\]

5. Знайдіть значення аргументу, для яких функція набуває від’ємних значень

$y < 0$ $при$ $x \in (-1; 3,5)$

57. Не виконуючи побудови, знайдіть координати точок перетину з осями координат графіка функції:

1. Для функції $y = 0,5x-4$:

Перетин з віссю OY (коли x=0): $y = 0,5 \cdot 0-4 = -4$. Координати точки: $(0; -4)$.

Перетин з віссю OX (коли y=0):

0 = 0,5x – 4
0,5x = 4
x=8.

Координати точки: (8; 0).

2. Для функції $y = 16 - x^2$:

Перетин з віссю OY (коли x=0):

$y = 16-0^2 = 16$.

Координати точки: (0; 16).

Перетин з віссю OX (коли y=0):

$0 = 16-x^2$
$x^2 = 16$
x=4 або x=-4.

Координати точок: (-4; 0) та (4; 0).

58. Не виконуючи побудови, знайдіть координати точок перетину з осями координат графіка функції:

1. Для функції $y = 3-2x$:

Перетин з віссю OY ($x=0$): $y = 3-2 \cdot 0 = 3$.

Координати точки: (0; 3).

Перетин з віссю OX (y=0):

0 = 3 – 2x
2x = 3
x=1,5.

Координати точки: $(1,5; 0)$.

2. Для функції $y = x^2 + 2x$:

Перетин з віссю OY ($x=0$): $y = 0^2 + 2 \cdot 0 = 0$.

Координати точки: $(0; 0)$.

Перетин з віссю OX ($y=0$):

$0 = x^2 + 2x$
x(x+2)=0
x=0 або x=-2.

Координати точок: $(0; 0)$ та $(-2; 0)$.

59. Побудуйте графік функції

1) Побудова графіка $y = -3x$ на проміжку $x \le -1$.

Це лінійна функція, її графік — пряма. Для побудови прямої достатньо двох точок. Візьмемо точки з проміжку (-\infty; -1\], наприклад, $x = -1$ та $x = -2$.

• Якщо $x = -1$, то $y = -3 \cdot (-1) = 3$. Отримуємо точку $(-1; 3)$.
• Якщо $x = -2$, то $y = -3 \cdot (-2) = 6$. Отримуємо точку $(-2; 6)$.

2) Побудова графіка $y = 4 + x$ на проміжку $x > -1$.

Це також лінійна функція, її графік — пряма. Візьмемо дві точки з проміжку $(-1; \infty)$, наприклад, $x = 0$ та $x = 1$.

• Якщо $x = 0$, то $y = 4 + 0 = 4$. Отримуємо точку $(0; 4)$.
• Якщо $x = 1$, то $y = 4 + 1 = 5$. Отримуємо точку $(1; 5)$.

60. Побудуйте графік функції

1) Побудова графіка $y = -3x$ при $x \le -1$.

Це лінійна функція, її графіком є пряма. Для побудови прямої нам достатньо двох точок. Ми обираємо значення $x$, що задовольняють умову $x \le -1$.

• Беремо $x = -1$:$y = -3 \cdot (-1) = 3$. Маємо точку $(-1; 3)$. Оскільки умова $x \le -1$ нестрога, ця точка належить графіку (зображується зафарбованою).
• Беремо $x = -2$:$y = -3 \cdot (-2) = 6$. Маємо точку $(-2; 6)$.

2) Побудова графіка $y = 4 + x$ при $x > -1$.

Це також лінійна функція, її графік — пряма. Обираємо значення $x$, що задовольняють умову $x > -1$.

• Беремо $x = 0$:$y = 4 + 0 = 4$. Маємо точку $(0; 4)$.
• Беремо $x = 1$:$y = 4 + 1 = 5$. Маємо точку $(1; 5)$.

Назад до 31-44

Далі до 61-80