Завдання для перевірки знань за курс алгебри 9 класу

Зміст

РОЗВ’ЯЖІТЬ ЗАДАЧІ ТА ВИКОНАЙТЕ ВПРАВИ

📋 Швидка навігація по вправах:

№ 1 № 2 № 3 № 4 № 5 № 6 № 7 № 8 № 9

№ 1. Порівняйте $a$ і $b$ , якщо:

1) $a - b = 5$ ;

2) $a - b = - 4, 1$ .

Розв’язання:

1) $a - b = 5$
Оскільки $5 > 0$ , то $a - b > 0$ , отже:
$a > b$

2) $a - b = - 4, 1$
Оскільки $- 4, 1 < 0$ , то $a - b < 0$ , отже:
$a < b$

Відповідь: 1) $a > b$ ; 2) $a < b$ .

№ 2. Запишіть проміжки, які зображено на малюнках 1 і 2.

Розв’язання:

1) На малюнку 1 точка $- 2$ зафарбована (входить у проміжок), штриховка спрямована праворуч до нескінченності:
$[- 2; + \infty)$

2) На малюнку 2 точка 3 виколота (не входить у проміжок), точка 7 зафарбована (входить у проміжок), штриховка розміщена між ними:
$(3; 7]$

Відповідь: 1) $[- 2; + \infty)$ ; 2) $(3; 7]$ .

№ 3. Дано $f (x) = \frac{x + 5}{x - 1}$ . Знайдіть:
1) $f (0)$ ;
2) $f (3)$ .

Розв’язання:

1) $f (0) = \frac{0 + 5}{0 - 1} = \frac{5}{- 1} = - 5$

2) $f (3) = \frac{3 + 5}{3 - 1} = \frac{8}{2} = 4$

Відповідь: 1) -5; 2) 4.

№ 4. Розв’яжіть нерівність:
1) $- 3 x < 12$
2) $4 x - x^{2} \geq 0$

Розв’язання:

1)
$- 3 x < 12$
$x > \frac{12}{- 3}$
$x > - 4$
$x \in (- 4; + \infty)$

2)
$4 x - x^{2} \geq 0$
$x^{2} - 4 x \leq 0$
$x (x - 4) \leq 0$

Знайдемо нулі функції $y = x^{2} - 4 x$ :
$x (x - 4) = 0$
$[x_{1} = 0 x_{2} = 4$

Вітки параболи $y = x^{2} - 4 x$ напрямлені вгору ( $a = 1 > 0$ ), тому значення функції недодатні між нулями:
$x \in [0; 4]$

Відповідь: 1) $(- 4; + \infty)$ ; 2) $[0; 4]$ .

№ 5. Знайдіть дев’ятий член та суму перших десяти членів арифметичної прогресії $(a_{n})$ , якщо $a_{1} = 9$ , $d = - 2$ .

Розв’язання:
Формула $n$ -го члена арифметичної прогресії:
$a_{n} = a_{1} + (n - 1) d$

Обчислимо дев’ятий член ( $n = 9$ ):
$a_{9} = 9 + (9 - 1) \cdot (- 2)$
$a_{9} = 9 + 8 \cdot (- 2)$
$a_{9} = 9 - 16$
$a_{9} = - 7$

Формула суми перших $n$ членів арифметичної прогресії:
$S_{n} = \frac{2 a _{1} + ( n - 1 ) d}{2} \cdot n$

Обчислимо суму перших десяти членів ( $n = 10$ ):
$S_{10} = \frac{2 \cdot 9 + ( 10 - 1 ) \cdot ( - 2 )}{2} \cdot 10$
$S_{10} = \frac{18 + 9 \cdot ( - 2 )}{2} \cdot 10$
$S_{10} = \frac{18 - 18}{2} \cdot 10$
$S_{10} = \frac{0}{2} \cdot 10$
$S_{10} = 0$

Відповідь: $a_{9} = - 7$ ; $S_{10} = 0$ .

№ 6. Відомо, що в партії з 2000 деталей 5 є бракованими. Яка ймовірність того, що навмання вибрана деталь:

1) бракована;

2) якісна?

Розв’язання:

Загальна кількість можливих наслідків:
$n = 2000$

1) Нехай подія $A$ — вибрана деталь є бракованою.
Кількість сприятливих наслідків:
$m = 5$

За класичним означенням ймовірності:
$P (A) = \frac{m}{n}$
$P (A) = \frac{5}{2000} = \frac{1}{400} = 0, 0025$

2) Нехай подія $B$ — вибрана деталь є якісною.
Кількість якісних деталей (сприятливих наслідків):
$m = 2000 - 5 = 1995$

Ймовірність того, що деталь якісна:
$P (B) = \frac{m}{n}$
$P (B) = \frac{1995}{2000} = \frac{399}{400} = 0, 9975$

Відповідь: 1) $0, 0025$ ; 2) $0, 9975$ .

№ 7. Розв’яжіть систему рівнянь:
${x - 2 y = 5 x^{2} - 2 x y - 3 y^{2} = - 7$

Розв’язання:
Виразимо $x$ з першого рівняння системи:
$x = 5 + 2 y$

Підставимо отриманий вираз у друге рівняння:
$(5 + 2 y)^{2} - 2 y (5 + 2 y) - 3 y^{2} = - 7$
$25 + 20 y + 4 y^{2} - 10 y - 4 y^{2} - 3 y^{2} = - 7$
$- 3 y^{2} + 10 y + 25 = - 7$
$- 3 y^{2} + 10 y + 32 = 0$
$3 y^{2} - 10 y - 32 = 0$

Знайдемо дискримінант:
$D = (- 10)^{2} - 4 \cdot 3 \cdot (- 32) = 100 + 384 = 484 = 2 2^{2}$

Обчислимо корені рівняння:
$y_{1} = \frac{10 + 22}{2 \cdot 3} = \frac{32}{6} = \frac{16}{3} = 5 \frac{1}{3}$
$y_{2} = \frac{10 - 22}{2 \cdot 3} = \frac{- 12}{6} = - 2$

Знайдемо відповідні значення $x$ :

1) Якщо $y_{1} = \frac{16}{3}$ , то:
$x_{1} = 5 + 2 \cdot \frac{16}{3} = 5 + \frac{32}{3} = \frac{47}{3} = 15 \frac{2}{3}$

2) Якщо $y_{2} = - 2$ , то:
$x_{2} = 5 + 2 \cdot (- 2) = 5 - 4 = 1$

Отже, розв’язками системи є пари чисел:
$(1; - 2)$ та $(15 \frac{2}{3}; 5 \frac{1}{3})$ .

Відповідь: $(1; - 2)$ , $(15 \frac{2}{3}; 5 \frac{1}{3})$ .

№ 8. Побудуйте графік функції $y = x^{2} + 4 x - 5$ . За графіком знайдіть:
1) область значень функції;
2) проміжок зростання функції.

Розв’язання:
Графіком функції $y = x^{2} + 4 x - 5$ є парабола, вітки якої напрямлені вгору ( $a = 1 > 0$ ).

Знайдемо координати вершини параболи $(x_{0}; y_{0})$ :
$x_{0} = - \frac{b}{2 a} = - \frac{4}{2 \cdot 1} = - 2$
$y_{0} = (- 2)^{2} + 4 \cdot (- 2) - 5 = 4 - 8 - 5 = - 9$
Вершина: $(- 2; - 9)$ .

Знайдемо точки перетину графіка з віссю $O x$ ( $y = 0$ ):
$x^{2} + 4 x - 5 = 0$
За теоремою Вієта:
$[x_{1} = - 5 x_{2} = 1$

Складемо таблицю значень функції:

$x$	$- 5$	$- 4$	$- 3$	$- 2$	$- 1$	$0$	$1$
$y$	$0$	$- 5$	$- 8$	$- 9$	$- 8$	$- 5$	$0$

За побудованим графіком:

1) Область значень функції — це множина всіх значень, яких набуває залежна змінна $y$ :
$E (y) = [- 9; + \infty)$

2) Функція зростає на проміжку:
$[- 2; + \infty)$

Відповідь: 1) $[- 9; + \infty)$ ; 2) $[- 2; + \infty)$ .

№ 9. Доведіть, що $x^{2} + y^{2} - 2 (2 x - y) + 5 \geq 0$ для будь-яких значень змінних $x$ та $y$ .

Розв’язання:

Перетворимо вираз у лівій частині нерівності, розкривши дужки та виділивши повні квадрати:
$x^{2} + y^{2} - 2 (2 x - y) + 5 =$
$= x^{2} + y^{2} - 4 x + 2 y + 5 =$
$= (x^{2} - 4 x + 4) + (y^{2} + 2 y + 1) =$
$= (x - 2)^{2} + (y + 1)^{2}$

Оскільки квадрат будь-якого дійсного числа є невід’ємним:
$(x - 2)^{2} \geq 0$ для будь-якого $x$
$(y + 1)^{2} \geq 0$ для будь-якого $y$

Сума двох невід’ємних виразів є невід’ємною:
$(x - 2)^{2} + (y + 1)^{2} \geq 0$

Отже, $x^{2} + y^{2} - 2 (2 x - y) + 5 \geq 0$ для будь-яких значень змінних $x$ та $y$ .

Відповідь: нерівність доведено.

Завдання для перевірки знань за курс алгебри 9 класу

Теги статті:

До уроку