ЗАВДАННЯ ДЛЯ ПЕРЕВІРКИ ЗНАНЬ ДО §§ 8–11

Зміст

1. Для функції $f (x) = x^{2} + x$ знайдіть:

1) $f (0)$ ;

2) $f (- 1)$ ;

3) $f (2)$ ;

4) $f (- 3)$ .

Розв’язання:

1) Підставимо $x = 0$ у формулу функції:

$f (0) = 0^{2} + 0 = 0 + 0 = 0$

2) Підставимо $x = - 1$ у формулу функції:

$f (- 1) = (- 1)^{2} + (- 1) = 1 - 1 = 0$

3) Підставимо $x = 2$ у формулу функції:

$f (2) = 2^{2} + 2 = 4 + 2 = 6$

4) Підставимо $x = - 3$ у формулу функції:

$f (- 3) = (- 3)^{2} + (- 3) = 9 - 3 = 6$

Відповідь:

1) $0$ ;

2) $0$ ;

3) $6$ ;

4) $6$ .

2. Як із графіка функції $y = x^{2}$ отримати графік функції:

1) $y = x^{2} + 5$ ;

2) $y = (x + 5)^{2}$ ?

Розв’язання:

1) Щоб отримати графік функції $y = x^{2} + 5$ , потрібно графік функції $y = x^{2}$ паралельно перенести вздовж осі $y$ на $5$ одиниць вгору.

2) Щоб отримати графік функції $y = (x + 5)^{2}$ , потрібно графік функції $y = x^{2}$ паралельно перенести вздовж осі $x$ на $5$ одиниць ліворуч.

Відповідь:

1) паралельним перенесенням графіка $y = x^{2}$ вздовж осі $y$ на $5$ одиниць вгору;

2) паралельним перенесенням графіка $y = x^{2}$ вздовж осі $x$ на $5$ одиниць ліворуч.

3. Які з функцій є квадратичними:

1) $y = x^{2} - 4 x$ ;

2) $y = \frac{1}{x ^{2} - 4 x}$ ;

3) $y = x^{3} + x + 3$ ;

4) $y = x^{2} + x + 3$ ?

Розв’язання:

Квадратичною називають функцію, яку можна задати формулою вигляду $y = a x^{2} + b x + c$ , де $x$ — незалежна змінна, $a, b, c$ — числа, причому $a \neq = 0$ .

1) $y = x^{2} - 4 x$ — є квадратичною функцією, оскільки її можна записати у вигляді $y = a x^{2} + b x + c$ , де $a = 1, b = - 4, c = 0$ .

2) $y = \frac{1}{x ^{2} - 4 x}$ — не є квадратичною функцією, оскільки змінна $x$ міститься у знаменнику дробу (це дробово-раціональна функція).

3) $y = x^{3} + x + 3$ — не є квадратичною функцією, оскільки найвищий степінь змінної $x$ дорівнює $3$ .

4) $y = x^{2} + x + 3$ — є квадратичною функцією, оскільки її можна записати у вигляді $y = a x^{2} + b x + c$ , де $a = 1, b = 1, c = 3$ .

Відповідь: квадратичними є функції 1) та 4).

4. Знайдіть нулі функції:

1) $y = - 2 x + 7$ ;

2) $y = x^{2} - 5 x + 6$ .

Розв’язання:

Щоб знайти нулі функції, прирівняємо її значення до нуля ( $y = 0$ ).

1) Для функції $y = - 2 x + 7$ :

$- 2 x + 7 = 0$

$- 2 x = - 7$

$x = \frac{- 7}{- 2}$

$x = 3, 5$

2) Для функції $y = x^{2} - 5 x + 6$ :

$x^{2} - 5 x + 6 = 0$

За теоремою Вієта:

${x_{1} + x_{2} = 5 x_{1} \cdot x_{2} = 6$

Звідси:

$x_{1} = 2, x_{2} = 3$

Відповідь:

1) $x = 3, 5$ ;

2) $x = 2$ та $x = 3$ .

5. Побудуйте графік функції:

1) $y = x - 3$ ;

2) $y = x - 3$ .

Розв’язання:

1) Для функції $y = x - 3$ :

Область визначення функції: $x - 3 \geq 0 ⟹ x \geq 3$ , тобто $D (y) = [3; + \infty)$ .

Графік функції $y = x - 3$ отримуємо шляхом паралельного перенесення графіка функції $y = x$ вздовж осі абсцис на $3$ одиниці праворуч.

Складемо таблицю значень для побудови графіка:

$x$	$3$	$4$	$7$	$12$
$y$	$0$	$1$	$2$	$3$

Побудова: позначимо точки $(3; 0)$ , $(4; 1)$ , $(7; 2)$ , $(12; 3)$ на координатній площині та з’єднаємо їх плавною лінією, починаючи з точки $(3; 0)$ .

2) Для функції $y = x - 3$ :

Область визначення функції: $x \geq 0$ , тобто $D (y) = [0; + \infty)$ .

Графік функції $y = x - 3$ отримуємо шляхом паралельного перенесення графіка функції $y = x$ вздовж осі ординат на $3$ одиниці вниз.

Складемо таблицю значень для побудови графіка:

$x$	$0$	$1$	$4$	$9$
$y$	$- 3$	$- 2$	$- 1$	$0$

Побудова: позначимо точки $(0; - 3)$ , $(1; - 2)$ , $(4; - 1)$ , $(9; 0)$ на координатній площині та з’єднаємо їх плавною лінією, починаючи з точки $(0; - 3)$ .

Відповідь: графіки побудовано.

6. Не виконуючи побудови, знайдіть координати точок перетину графіків функцій $y = - 4 x^{2}$ та $y = 2 x$ .

Розв’язання:

Щоб знайти координати точок перетину графіків функцій, складемо та розв’яжемо систему рівнянь:

${y = - 4 x^{2} y = 2 x$

Прирівняємо праві частини рівнянь:

$- 4 x^{2} = 2 x$

$4 x^{2} + 2 x = 0$

$2 x (2 x + 1) = 0$

$[2 x = 0 2 x + 1 = 0 ⟹ [x_{1} = 0 x_{2} = - 0, 5$

Обчислимо відповідні значення $y$ :

При $x_{1} = 0$ :

$y_{1} = 2 \cdot 0 = 0$

Точка перетину: $(0; 0)$ .

При $x_{2} = - 0, 5$ :

$y_{2} = 2 \cdot (- 0, 5) = - 1$

Точка перетину: $(- 0, 5; - 1)$ .

Відповідь: $(0; 0)$ та $(- 0, 5; - 1)$ .

7. Знайдіть область визначення функції:

1) $f (x) = \frac{15 x}{2 x ^{2} + 3 x - 5}$ ;

2) $g (x) = \frac{1}{8 - 2 x}$ .

Розв’язання:

1) Знаменник дробу не може дорівнювати нулю, тому $2 x^{2} + 3 x - 5 \neq = 0$ .

Знайдемо корені квадратного рівняння $2 x^{2} + 3 x - 5 = 0$ :

$D = b^{2} - 4 a c = 3^{2} - 4 \cdot 2 \cdot (- 5) = 9 + 40 = 49 > 0$

$x_{1} = \frac{- 3 + 49}{2 \cdot 2} = \frac{- 3 + 7}{4} = 1$

$x_{2} = \frac{- 3 - 49}{2 \cdot 2} = \frac{- 3 - 7}{4} = - 2, 5$

Отже, $x \neq = - 2, 5$ та $x \neq = 1$ .

Область визначення: $D (f) = (- \infty; - 2, 5) \cup (- 2, 5; 1) \cup (1; + \infty)$ .

2) Вираз під знаком квадратного кореня має бути строго більшим за нуль, оскільки корінь міститься у знаменнику дробу:

$8 - 2 x > 0$

$- 2 x > - 8$

$x < 4$

Область визначення: $D (g) = (- \infty; 4)$ .

Відповідь:

1) $D (f) = (- \infty; - 2, 5) \cup (- 2, 5; 1) \cup (1; + \infty)$ ;

2) $D (g) = (- \infty; 4)$ .

8. Побудуйте графік функції $y = x^{2} - 2 x - 3$ . За графіком знайдіть:

1) область значень функції;

2) проміжок зростання і проміжок спадання функції.

Розв’язання:

Графіком функції є парабола, вітки якої напрямлені вгору ( $a = 1 > 0$ ).

Обчислимо координати вершини параболи $(x_{0}; y_{0})$ :

$x_{0} = - \frac{b}{2 a} = - \frac{- 2}{2 \cdot 1} = 1$

$y_{0} = 1^{2} - 2 \cdot 1 - 3 = 1 - 2 - 3 = - 4$

Вершина параболи — точка $(1; - 4)$ .

Знайдемо нулі функції ( $y = 0$ ):

$x^{2} - 2 x - 3 = 0 ⟹ x_{1} = - 1, x_{2} = 3$

Точки перетину з віссю $O x$ : $(- 1; 0)$ та $(3; 0)$ .

Точка перетину з віссю $O y$ ( $x = 0$ ):

$y (0) = - 3 ⟹ (0; - 3)$

Складемо таблицю значень для побудови графіка:

$x$	$- 2$	$- 1$	$0$	$1$	$2$	$3$	$4$
$y$	$5$	$0$	$- 3$	$- 4$	$- 3$	$0$	$5$

Позначимо точки на координатній площині та сполучимо їх плавною неперервною лінією.

Відповіді на запитання за графіком:

1) Область значень функції $E (y)$ :

Найменше значення функції дорівнює $- 4$ (у вершині), тому $E (y) = [- 4; + \infty)$ .

2) Проміжки спадання та зростання:

Функція спадає на проміжку $(- \infty; 1]$ та зростає на проміжку $[1; + \infty)$ .

Відповідь: графік побудовано; 1) $E (y) = [- 4; + \infty)$ ; 2) спадає на $(- \infty; 1]$ , зростає на $[1; + \infty)$ .

9. За яких значень $b$ і $c$ точка $A (2; - 1)$ є вершиною параболи $y = 2 x^{2} + b x + c$ ?

Розв’язання:

Абсциса вершини параболи обчислюється за формулою $x_{0} = - \frac{b}{2 a}$ .

За умовою $x_{0} = 2$ та $a = 2$ . Підставимо ці значення:

$2 = - \frac{b}{2 \cdot 2}$

$2 = - \frac{b}{4}$

$b = - 8$

Точка $A (2; - 1)$ належить параболі, тому її координати задовольняють рівняння $y = 2 x^{2} + b x + c$ .

Підставимо $x = 2$ , $y = - 1$ та $b = - 8$ :

$- 1 = 2 \cdot 2^{2} + (- 8) \cdot 2 + c$

$- 1 = 2 \cdot 4 - 16 + c$

$- 1 = 8 - 16 + c$

$- 1 = - 8 + c$

$c = 7$

Відповідь: $b = - 8$ , $c = 7$ .

ДОДАТКОВІ ЗАВДАННЯ

10. Розв’яжіть рівняння $x - 2 = \frac{6}{x} + 1$ графічно.

Розв’язання:

Для графічного розв’язування рівняння розглянемо дві функції:

$f (x) = x - 2 та g (x) = \frac{6}{x} + 1$

Область визначення функцій:

Для $f (x) = x - 2$ : $x - 2 \geq 0 ⟹ x \geq 2$ , тобто $D (f) = [2; + \infty)$ .
Для $g (x) = \frac{6}{x} + 1$ : $x \neq = 0$ , тобто $D (g) = (- \infty; 0) \cup (0; + \infty)$ .

Спільна область пошуку коренів рівняння: $x \in [2; + \infty)$ .

Складемо таблиці значень для побудови графіків обох функцій у спільній області визначення:

Таблиця значень для функції $y = x - 2$ :

$x$	$2$	$3$	$6$	$11$
$y$	$0$	$1$	$2$	$3$

Таблиця значень для функції $y = \frac{6}{x} + 1$ :

$x$	$1$	$2$	$3$	$6$
$y$	$7$	$4$	$3$	$2$

Побудова та аналіз:

Нанесемо точки з таблиць на координатну площину та побудуємо графіки функцій $y = x - 2$ та $y = \frac{6}{x} + 1$ .

Графіки перетинаються в єдиній точці $A (6; 2)$ .

Перевіримо точку перетину аналітично:

$f (6) = 6 - 2 = 4 = 2$

$g (6) = \frac{6}{6} + 1 = 1 + 1 = 2$

Оскільки функція $f (x) = x - 2$ є зростаючою на $[2; + \infty)$ , а функція $g (x) = \frac{6}{x} + 1$ є спадною на $(0; + \infty)$ , то точка перетину є єдиною.

Абсциса точки перетину $x = 6$ є шуканим коренем рівняння.

Відповідь: $x = 6$ .

11. Скільки нулів має функція $f (x) = x (x^{2} - 1) ∣ x ∣ - 2$ ?

Розв’язання:

Знайдемо область визначення функції $D (f)$ :

Вираз під знаком кореня має бути невід’ємним:

$∣ x ∣ - 2 \geq 0 ⟹ ∣ x ∣ \geq 2 ⟹ x \in (- \infty; - 2] \cup [2; + \infty)$

Нулі функції — це значення аргументу $x$ , при яких $f (x) = 0$ . Прирівняємо функцію до нуля:

$x (x^{2} - 1) ∣ x ∣ - 2 = 0$

Добуток кількох множників дорівнює нулю тоді й тільки тоді, коли хоча б один із множників дорівнює нулю, а всі інші при цьому мають зміст (тобто належать області визначення):

$x = 0 x^{2} - 1 = 0 ∣ x ∣ - 2 = 0$

Розв’яжемо кожне з рівнянь та перевіримо належність коренів до області визначення $D (f)$ :

1) З першого рівняння: $x_{1} = 0$ .

Перевірка: $∣0∣ - 2 = - 2 < 0$ , тому $0 \in / D (f)$ (сторонній корінь).

2) З другого рівняння: $x^{2} - 1 = 0 ⟹ x^{2} = 1 ⟹ x = 1$ або $x = - 1$ .

Перевірка:

Для $x = 1$ : $∣1∣ - 2 = - 1 < 0$ , тому $1 \in / D (f)$ .

Для $x = - 1$ : $∣ - 1∣ - 2 = - 1 < 0$ , тому $- 1 \in / D (f)$ .

Отже, $x = 1$ та $x = - 1$ — сторонні корені.

3) З третього рівняння: $∣ x ∣ - 2 = 0 ⟹ ∣ x ∣ - 2 = 0 ⟹ ∣ x ∣ = 2 ⟹ x = 2$ або $x = - 2$ .

Перевірка:

Для $x = 2$ : $∣2∣ - 2 = 0 \geq 0$ , тому $2 \in D (f)$ .

Для $x = - 2$ : $∣ - 2∣ - 2 = 0 \geq 0$ , тому $- 2 \in D (f)$ .

Таким чином, функція має тільки два нулі: $x = - 2$ та $x = 2$ .

Відповідь: $2$ нулі ( $x = - 2$ та $x = 2$ ).

ЗАВДАННЯ ДЛЯ ПЕРЕВІРКИ ЗНАНЬ ДО §§ 8–11

Теги статті:

До уроку