Зміст

1. Які з нерівностей є квадратними:

1) $x^2+x^3-3\ge 0$;

2) $x^2+3x-3\ge 0$;

3) $4x-x^2<0$;

4) $\frac{1}{4x-x^2}<0$?

Розв’язання:

Квадратною називають нерівність виду $a{x}^2+bx+c>0$ (або $<,\ge ,\le$), де $x$ — змінна, $a,b,c$ — деякі числа, причому $a\ne 0$.

1) $x^2+x^3-3\ge 0$ — не є квадратною, оскільки найбільший степінь змінної дорівнює 3;

2) $x^2+3x-3\ge 0$ — є квадратною нерівністю ($a=1,b=3,c=-3$);

3) $4x-x^2<0$ — є квадратною нерівністю (можна переписати у вигляді $-x^2+4x<0$, де $a=-1,b=4,c=0$);

4) $\frac{1}{4x-x^2}<0$ — не є квадратною, оскільки змінна міститься у знаменнику дробу (це дробово-раціональна нерівність).

Відповідь: 2); 3).

2. Які із чисел -1; 0; 1; 2; 3 є розв’язками нерівності $x^2-x-2\ge 0$?

Розв’язання:

Підставимо кожне із запропонованих чисел у нерівність $x^2-x-2\ge 0$:

1) Якщо $x=-1$:

$(-1{)}^2-(-1)-2=1+1-2=0\ge 0(\text{правильно})$

Число $-1$ є розв’язком.

2) Якщо $x=0$:

$0^2-0-2=-2\ge 0(\text{неправильно})$

Число $0$ не є розв’язком.

3) Якщо $x=1$:

$1^2-1-2=-2\ge 0(\text{неправильно})$

Число $1$ не є розв’язком.

4) Якщо $x=2$:

$2^2-2-2=4-4=0\ge 0(\text{правильно})$

Число $2$ є розв’язком.

5) Якщо $x=3$:

$3^2-3-2=9-5=4\ge 0(\text{правильно})$

Число $3$ є розв’язком.

Відповідь: -1; 2; 3.

3. Чи є розв’язком системи рівнянь $\{\begin{array}{l}x+y=4\\ x^2+y^2=10\end{array}$ пара чисел:

1) $(4;0)$;

2) $(1;3)$?

Розв’язання:

1) Перевіримо пару чисел $(4;0)$, підставивши $x=4$ та $y=0$ у систему:

$\{\begin{array}{l}4+0=4\\ 4^2+0^2=16\ne 10\end{array}$

Друге рівняння системи не перетворюється на правильну рівність, тому пара чисел $(4;0)$ не є розв’язком системи.

2) Перевіримо пару чисел $(1;3)$, підставивши $x=1$ та $y=3$ у систему:

$\{\begin{array}{l}1+3=4\\ 1^2+3^2=1+9=10\end{array}$

Обидва рівняння перетворюються на правильні числові рівності ($4=4$ та $10=10$), тому пара чисел $(1;3)$ є розв’язком системи.

Відповідь: 1) Ні; 2) Так.

4. Розв’яжіть нерівність:

1) $x^2-3x<0$;

2) $x^2-7x-30\ge 0$.

Розв’язання:

1) $x^2-3x<0$

Знайдемо нулі функції $f(x)=x^2-3x$:

$x^2-3x=0⟹x(x-3)=0⟹x_1=0,x_2=3$

Графіком функції $y=x^2-3x$ є парабола, вітки якої напрямлені вгору ($a=1>0$).

Парабола лежить нижче осі $Ox$ (значення $y<0$) між нулями функції, тобто на проміжку $(0;3)$.

2) $x^2-7x-30\ge 0$

Знайдемо нулі функції $f(x)=x^2-7x-30$, розв’язавши рівняння $x^2-7x-30=0$:

$D=(-7{)}^2-4\cdot 1\cdot (-30)=49+120=169=13^2$

$x_1=\frac{7+13}{2}=10,x_2=\frac{7-13}{2}=-3$

Графіком функції є парабола з вітками, напрямленими вгору ($a=1>0$).

Значення функції невід’ємні ($y\ge 0$) ліворуч від точки $-3$ та праворуч від точки $10$ (включаючи самі точки), тобто $x\in (-\infty ;-3]\cup [10;+\infty )$.

Відповідь: 1) $(0;3)$; 2) $(-\infty ;-3]\cup [10;+\infty )$.

5. Розв’яжіть систему рівнянь $\{\begin{array}{l}x-y=1\\ x^2+y^2=25\end{array}$

Розв’язання:

Виразимо змінну $x$ з першого рівняння системи:

$x=y+1$

Підставимо отриманий вираз замість $x$ у друге рівняння системи:

$(y+1{)}^2+y^2=25$

Розкриємо дужки за формулою квадрата суми та зведемо подібні доданки:

$y^2+2y+1+y^2=25$

$2y^2+2y+1-25=0$

$2y^2+2y-24=0$

Поділимо обидві частини рівняння на 2:

$y^2+y-12=0$

Знайдемо корені квадратного рівняння за теоремою Вієта:

$\{\begin{array}{l}{y}_1+y_2=-1\\ y_1\cdot y_2=-12\end{array}⟹y_1=-4,y_2=3$

Знайдемо відповідні значення змінної $x$:

1) Якщо $y_1=-4$, то $x_1=-4+1=-3$.

2) Якщо $y_2=3$, то $x_2=3+1=4$.

Отже, система рівнянь має два розв’язки: пари чисел $(-3;-4)$ та $(4;3)$.

Відповідь: $(-3;-4),(4;3)$.

ЗАВДАННЯ ДЛЯ ПЕРЕВІРКИ ЗНАНЬ ДО §§ 12–14

6. Периметр прямокутника дорівнює 24 см, а його площа – 35 см². Знайдіть сторони прямокутника.

Розв’язання:

1) Нехай $a\text{ см}$ і $b\text{ см}$ — довжини двох суміжних сторін прямокутника ($a>0$, $b>0$).

Периметр прямокутника обчислюється за формулою $P=2(a+b)$, а площа — за формулою $S=a\cdot b$.

За умовою задачі:

$2(a+b)=24⟹a+b=12$

$a\cdot b=35$

2) Складемо та розв’яжемо систему рівнянь:

$\{\begin{array}{l}a+b=12\\ a\cdot b=35\end{array}$

Виразимо $b$ через $a$ з першого рівняння: $b=12-a$.

Підставимо цей вираз у друге рівняння:

$a(12-a)=35$

$12a-a^2=35$

$a^2-12a+35=0$

Знайдемо корені квадратного рівняння за допомогою дискримінанта:

$D=(-12{)}^2-4\cdot 1\cdot 35=144-140=4>0$

$a_1=\frac{12+\sqrt{4}}{2}=\frac{12+2}{2}=7$

$a_2=\frac{12-\sqrt{4}}{2}=\frac{12-2}{2}=5$

Якщо $a=7\text{ см}$, то $b=12-7=5\text{ см}$.

Якщо $a=5\text{ см}$, то $b=12-5=7\text{ см}$.

Відповідь: $5\text{ см}$ і $7\text{ см}$.

7. Знайдіть область визначення функції $y=\frac{\sqrt{8-x^2+2x}}{x-1}$.

Розв’язання:

1) Область визначення функції $D(y)$ задається двома умовами:

• Підкореневий вираз має бути невід’ємним: $8-x^2+2x\ge 0$;
• Знаменник дробу не повинен дорівнювати нулю: $x-1\ne 0⟹x\ne 1$.

Отримуємо систему:

$\{\begin{array}{l}-x^2+2x+8\ge 0\\ x\ne 1\end{array}$

2) Розв’яжемо нерівність $-x^2+2x+8\ge 0$.

Помножимо обидві частини на $-1$, змінивши знак нерівності на протилежний:

$x^2-2x-8\le 0$

Знайдемо нулі функції $f(x)=x^2-2x-8$:

$x^2-2x-8=0$

За теоремою Вієта:

$\{\begin{array}{l}{x}_1+x_2=2\\ x_1\cdot x_2=-8\end{array}⟹x_1=-2,x_2=4$

Оскільки графіком є парабола з гілками, напрямленими вгору, то вираз $x^2-2x-8\le 0$ на проміжку між коренями:

$x\in [-2;4]$

3) Врахуємо умову $x\ne 1$, виключивши точку $x=1$ із проміжку $[-2;4]$:

$x\in [-2;1)\cup (1;4]$

Відповідь: $[-2;1)\cup (1;4]$.

8. Із двох пунктів, відстань між якими 24 км, вирушили одночасно назустріч одне одному велосипедистка і пішохід та зустрілися через 2 год. Знайдіть швидкість кожного з них, якщо велосипедистка витратила на весь шлях на 3 год менше, ніж пішохід.

Розв’язання:

1) Введення змінних та аналіз умови:

Нехай швидкість велосипедистки дорівнює $x\text{ км/год}$, а швидкість пішохода — $y\text{ км/год}$ ($x>0,y>0$).

Оскільки вони рухалися назустріч і зустрілися через $2\text{ год}$, сумарна відстань дорівнює $24\text{ км}$:

$2x+2y=24⟹x+y=12⟹x=12-y$

Час, витрачений велосипедисткою на весь шлях у $24\text{ км}$, дорівнює $\frac{24}{x}\text{ год}$.

Час, витрачений пішоходом на весь шлях у $24\text{ км}$, дорівнює $\frac{24}{y}\text{ год}$.

За умовою задачі велосипедистка витратила на весь шлях на $3\text{ год}$ менше:

$\frac{24}{y}-\frac{24}{x}=3$

2) Складання та розв’язання рівняння:

Підставимо $x=12-y$ у рівняння:

$\frac{24}{y}-\frac{24}{12-y}=3$

Поділимо обидві частини рівняння на $3$:

$\frac{8}{y}-\frac{8}{12-y}=1$

ОДЗ: $y>0$ та $y<12$.

Зведемо дроби до спільного знаменника $y(12-y)$:

$8(12-y)-8y=y(12-y)$

$96-8y-8y=12y-y^2$

$y^2-28y+96=0$

Знайдемо корені квадратного рівняння:

$D_1=(-14{)}^2-1\cdot 96=196-96=100$

$y_1=14+\sqrt{100}=14+10=24$

$y_2=14-\sqrt{100}=14-10=4$

3) Відбір коренів:

• Корінь $y_1=24$ не задовольняє умову $y<12$ (бо тоді $x=12-24=-12<0$, що суперечить змісту задачі).
• Значення $y_2=4\text{ км/год}$ є швидкістю пішохода.

Тоді швидкість велосипедистки дорівнює $x=12-4=8\text{ км/год}$.

Відповідь: $8\text{ км/год}$ і $4\text{ км/год}$.

9. Розв’яжіть систему рівнянь $\{\begin{array}{l}3xy-x=5,\\ 3xy-y=4.\end{array}$

Розв’язання:

Дано систему рівнянь:

$\{\begin{array}{l}3xy-x=5(1)\\ 3xy-y=4(2)\end{array}$

1) Віднімемо від першого рівняння друге рівняння:

$(3xy-x)-(3xy-y)=5-4$

$3xy-x-3xy+y=1$

$y-x=1⟹y=x+1$

2) Підставимо вираз $y=x+1$ у перше рівняння системи:

$3x(x+1)-x=5$

$3x^2+3x-x=5$

$3x^2+2x-5=0$

3) Знайдемо корені квадратного рівняння:

$D=2^2-4\cdot 3\cdot (-5)=4+60=64$

$x_1=\frac{-2+\sqrt{64}}{2\cdot 3}=\frac{-2+8}{6}=1$

$x_2=\frac{-2-\sqrt{64}}{2\cdot 3}=\frac{-2-8}{6}=-\frac{10}{6}=-1\frac{2}{3}$

4) Знайдемо відповідні значення $y$:

• Якщо $x_1=1$, то $y_1=1+1=2$.
• Якщо $x_2=-\frac{5}{3}$, то $y_2=-\frac{5}{3}+1=-\frac{2}{3}$.

Відповідь: $(1;2)$ та $\left(-1\frac{2}{3};-\frac{2}{3}\right)$.

10. Знайдіть, за яких значень $a$ не має коренів рівняння $x^2+(a-3)x+4=0$.

Розв’язання:

Квадратне рівняння $x^2+(a-3)x+4=0$ не має дійсних коренів тоді і тільки тоді, коли його дискримінант від’ємний ($D<0$).

1) Запишемо дискримінант рівняння:

$D=(a-3{)}^2-4\cdot 1\cdot 4=(a-3{)}^2-16$

2) Складемо нерівність $D<0$:

$(a-3{)}^2-16<0$

Розкладемо ліву частину на множники за формулою різниці квадратів:

$((a-3)-4)((a-3)+4)<0$

$(a-7)(a+1)<0$

3) Знайдемо нулі функції $f(a)=(a-7)(a+1)$:

$a_1=7,a_2=-1$

4) За методом інтервалів визначаємо, що нерівність $(a-7)(a+1)<0$ виконується на внутрішньому проміжку між коренями:

$a\in (-1;7)$

Відповідь: $a\in (-1;7)$.

11. Два робітники, працюючи разом, можуть виконати завдання за 12 год. За скільки годин може виконати завдання кожен робітник, працюючи окремо, якщо одному з них для виконання чверті завдання потрібно на 5 год менше, ніж другому для виконання третини завдання?

Розв’язання:

1) Нехай перший робітник може виконати все завдання окремо за $x\text{ год}$ ($x>0$), а другий робітник — за $y\text{ год}$ ($y>0$).

2) Працюючи разом, за $1\text{ год}$ перший робітник виконує $\frac{1}{x}$ частину завдання, а другий — $\frac{1}{y}$ частину завдання. Разом за $1\text{ год}$ вони виконують $\frac{1}{12}$ частину завдання:

$\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=\frac{1}{12}$

3) Час, необхідний першому робітникові для виконання $\frac{1}{4}$ завдання, становить $\frac{x}{4}\text{ год}$.

Час, необхідний другому робітникові для виконання $\frac{1}{3}$ завдання, становить $\frac{y}{3}\text{ год}$.

За умовою задачі першому робітникові потрібно на $5\text{ год}$ менше, ніж другому:

$\frac{y}{3}-\frac{x}{4}=5$

4) Складемо та розв’яжемо систему рівнянь:

$\{\begin{array}{l}\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=\frac{1}{12}\\ \frac{y}{3}-\frac{x}{4}=5\end{array}$

Виразимо $y$ через $x$ з другого рівняння:

$\frac{y}{3}=5+\frac{x}{4}⟹\frac{y}{3}=\frac{20+x}{4}⟹y=\frac{3(20+x)}{4}=\frac{60+3x}{4}$

Підставимо отриманий вираз у перше рівняння:

$\frac{1}{x}+\frac{4}{60+3x}=\frac{1}{12}$

Помножимо обидві частини рівняння на спільний знаменник $12x(60+3x)\ne 0$:

$12(60+3x)+4\cdot 12x=x(60+3x)$

$720+36x+48x=60x+3x^2$

$720+84x=60x+3x^2$

$3x^2-24x-720=0$

Поділимо обидві частини рівняння на $3$:

$x^2-8x-240=0$

Розв’яжемо квадратне рівняння через дискримінант:

$D=(-8{)}^2-4\cdot 1\cdot (-240)=64+960=1024=32^2$

$x_1=\frac{8+32}{2}=20$

$x_2=\frac{8-32}{2}=-12\text{ (сторонній корінь, оскільки }x>0)$

Отже, перший робітник може виконати завдання за $20\text{ год}$.

5) Знайдемо час роботи другого робітника:

$y=\frac{60+3\cdot 20}{4}=\frac{60+60}{4}=\frac{120}{4}=30\text{ (год)}$

Відповідь: $20\text{ год}$ та $30\text{ год}$.

ВПРАВИ ДЛЯ ПОВТОРЕННЯ РОЗДІЛУ 2 (ДО § 8)

1. Знайдіть:

1) $f(1)$, $f(2)$, $f(-4)$, якщо $f(x)=x^2-1$;

2) $g(-2)$, $g(0)$, $g(1)$, якщо $g(x)=x^3+8$.

Розв’язання:

1) Обчислимо значення функції $f(x)=x^2-1$:

• $f(1)=1^2-1=1-1=0$;
• $f(2)=2^2-1=4-1=3$;
• $f(-4)=(-4{)}^2-1=16-1=15$.

2) Обчислимо значення функції $g(x)=x^3+8$:

• $g(-2)=(-2{)}^3+8=-8+8=0$;
• $g(0)=0^3+8=0+8=8$;
• $g(1)=1^3+8=1+8=9$.

Відповідь: 1) $f(1)=0$, $f(2)=3$, $f(-4)=15$; 2) $g(-2)=0$, $g(0)=8$, $g(1)=9$.

2. Укажіть таке значення $x$ (якщо воно існує), за якого значення функції $g(x)=\frac{6}{x}$ дорівнює:

1) 6;

2) 1;

3) 0;

4) -100.

Розв’язання:

Область визначення функції $g(x)=\frac{6}{x}$ — усі дійсні числа, крім $x=0$ ($D(g):x\ne 0$).

1) $g(x)=6⟹\frac{6}{x}=6⟹x=\frac{6}{6}=1$.

2) $g(x)=1⟹\frac{6}{x}=1⟹x=6$.

3) $g(x)=0⟹\frac{6}{x}=0$. Дріб дорівнює нулю, коли чисельник дорівнює нулю, а знаменник відмінний від нуля. Оскільки чисельник $6\ne 0$, таке значення $x$ не існує.

4) $g(x)=-100⟹\frac{6}{x}=-100⟹x=\frac{6}{-100}=-0,06$.

Відповідь: 1) $x=1$; 2) $x=6$; 3) не існує; 4) $x=-0,06$.

3. Чи належить графіку функції $y=5x-7$ точка:

1) $A(5;-18)$;

2) $B(0;-7)$;

3) $C(-1;-12)$;

4) $D(1;2)$?

Розв’язання:

Точка належить графіку функції, якщо підстановка її координат $x$ та $y$ у рівняння $y=5x-7$ утворює правильну числову рівність.

1) Для $A(5;-18)$: підставимо $x=5$, $y=-18$:

$5\cdot 5-7=25-7=18\ne -18$

Рівність хибна, отже, точка $A(5;-18)$ не належить графіку функції.

2) Для $B(0;-7)$: підставимо $x=0$, $y=-7$:

$5\cdot 0-7=0-7=-7$

$-7=-7$. Рівність правильна, отже, точка $B(0;-7)$ належить графіку функції.

3) Для $C(-1;-12)$: підставимо $x=-1$, $y=-12$:

$5\cdot (-1)-7=-5-7=-12$

$-12=-12$. Рівність правильна, отже, точка $C(-1;-12)$ належить графіку функції.

4) Для $D(1;2)$: підставимо $x=1$, $y=2$:

$5\cdot 1-7=5-7=-2\ne 2$

Рівність хибна, отже, точка $D(1;2)$ не належить графіку функції.

Відповідь: 1) не належить; 2) належить; 3) належить; 4) не належить.

4. Побудуйте графік функції $y=\frac{10}{x^2+1}$, де $-3\le x\le 3$, попередньо заповнивши в зошиті таблицю значень.

Розв’язання:

1) Знайдемо значення функції $y=\frac{10}{x^2+1}$ для значень аргументу $x\in [-3;3]$:

• Якщо $x=-3$, то $y=\frac{10}{(-3{)}^2+1}=\frac{10}{9+1}=1$;
• Якщо $x=-2$, то $y=\frac{10}{(-2{)}^2+1}=\frac{10}{4+1}=2$;
• Якщо $x=-1$, то $y=\frac{10}{(-1{)}^2+1}=\frac{10}{1+1}=5$;
• Якщо $x=0$, то $y=\frac{10}{0^2+1}=\frac{10}{1}=10$;
• Якщо $x=1$, то $y=\frac{10}{1^2+1}=\frac{10}{1+1}=5$;
• Якщо $x=2$, то $y=\frac{10}{2^2+1}=\frac{10}{4+1}=2$;
• Якщо $x=3$, то $y=\frac{10}{3^2+1}=\frac{10}{9+1}=1$.

2) Заповнимо таблицю значень:

3) Опис побудови графіка:

• На координатній площині позначимо обчислені точки: $(-3;1)$, $(-2;2)$, $(-1;5)$, $(0;10)$, $(1;5)$, $(2;2)$, $(3;1)$.
• З’єднаємо отримані точки плавною лінією. Графік функції симетричний відносно осі ординат $Oy$, має найбільше значення $y=10$ у точці $(0;10)$ та спадає при віддаленні від осі $Oy$ на проміжку $x\in [-3;3]$.

Відповідь: таблицю заповнено, графік побудовано за координатами зазначених точок.

5. Наведіть приклад функції, областю визначення якої є:

1) множина всіх чисел;

Областю визначення є вся множина дійсних чисел $\mathbb{R}$, якщо вираз не містить ділення на змінну, арифметичного квадратного кореня або інших обмежень.

Прикладом є будь-яка ціла раціональна функція, наприклад, квадратична функція:

$y=x^2+1$

2) множина всіх чисел, крім числа 3;

Вираз у знаменнику дробу перетворюється на нуль при $x=3$. Отже, знаменник має вигляд $(x-3)$:

$y=\frac{1}{x-3}$

3) множина всіх чисел, крім чисел 2 і 9;

Знаменник дробу має перетворюватися на нуль у точках $x=2$ та $x=9$. Записавши знаменник у вигляді добутку $(x-2)(x-9)$, отримаємо:

$y=\frac{1}{(x-2)(x-9)}$

4) множина всіх чисел, не менших від числа 5.

Умова «не менших від числа 5» означає $x\ge 5$. Вираз під знаком арифметичного квадратного кореня має бути невід’ємним:

$x-5\ge 0⟹x\ge 5$

Отже, шуканою функцією є:

$y=\sqrt{x-5}$

Відповідь: 1) $y=x^2+1$; 2) $y=\frac{1}{x-3}$; 3) $y=\frac{1}{(x-2)(x-9)}$; 4) $y=\sqrt{x-5}$.

6. Тіло рухалося прямолінійно. Залежність відстані $s$ (у км), яку воно подолало, від часу $t$ (у год) задано так:

$s(t)=\{\begin{array}{l}4t,\text{ якщо }0\le t\le 2;\\ 8,\text{ якщо }2<t<3;\\ 3t-1,\text{ якщо }3\le t\le 4.\end{array}$

Знайдіть $s(1)$, $s(2)$, $s(2,5)$, $s(3)$, $s(4)$.

Розв’язання:

1) Для $t=1$ значення аргументу задовольняє умову $0\le t\le 2$, тому обчислюємо за першою формулою $s(t)=4t$:

$s(1)=4\cdot 1=4\text{ (км)}$

2) Для $t=2$ значення аргументу задовольняє умову $0\le t\le 2$, тому використовуємо першу формулу $s(t)=4t$:

$s(2)=4\cdot 2=8\text{ (км)}$

3) Для $t=2,5$ значення аргументу лежить в інтервалі $2<t<3$, тому використовуємо другу формулу $s(t)=8$:

$s(2,5)=8\text{ (км)}$

4) Для $t=3$ значення аргументу задовольняє умову $3\le t\le 4$, тому використовуємо третю формулу $s(t)=3t-1$:

$s(3)=3\cdot 3-1=9-1=8\text{ (км)}$

5) Для $t=4$ значення аргументу задовольняє умову $3\le t\le 4$, тому використовуємо третю формулу $s(t)=3t-1$:

$s(4)=3\cdot 4-1=12-1=11\text{ (км)}$

Відповідь: $s(1)=4\text{ км}$; $s(2)=8\text{ км}$; $s(2,5)=8\text{ км}$; $s(3)=8\text{ км}$; $s(4)=11\text{ км}$.

7. Чи належить області значень функції $y=x^2+2x$ число:

1) 0;

2) -3;

3) -1;

4) 8?

Розв’язання:

Знайдемо область значень квадратичної функції $y=x^2+2x$.

Виділимо повний квадрат у виразі:

$y=x^2+2x+1-1=(x+1{)}^2-1$

Оскільки для будь-якого дійсного $x$ квадрат виразу є невід’ємним ($(x+1{)}^2\ge 0$), то:

$(x+1{)}^2-1\ge -1⟹y\ge -1$

Отже, область значень даної функції: $E(y)=[-1;+\infty )$.

1) 0: оскільки $0\ge -1$, число $0$ належить області значень функції (перевірка: $x^2+2x=0⟹x=0$ або $x=-2$).

2) -3: оскільки $-3<-1$, число $-3$ не належить області значень функції (перевірка: $x^2+2x=-3⟹x^2+2x+3=0$, $D=2^2-4\cdot 1\cdot 3=-8<0$, рівняння не має дійсних коренів).

3) -1: оскільки $-1\ge -1$, число $-1$ належить області значень функції (це найменше значення функції при $x=-1$).

4) 8: оскільки $8\ge -1$, число $8$ належить області значень функції (перевірка: $x^2+2x=8⟹x^2+2x-8=0⟹x=2$ або $x=-4$).

Відповідь: 1) належить; 2) не належить; 3) належить; 4) належить.

8. Знайдіть область визначення функції:

1) $f(x)=\frac{3}{2|x|+x^2}$;

2) $g(x)=\frac{7x}{2-\frac{1}{x}}$;

3) $\phi (x)=\frac{1}{1+\frac{1}{x}}$;

4) $g(x)=\frac{7}{1-\frac{1}{|x|}}$;

5) $\psi (x)=\frac{3}{1+\frac{1}{|x|}}$;

6) $p(x)=\frac{1}{\sqrt{x-2}}+\frac{1}{x-5}$;

7) $\phi (x)=\sqrt{-x^2}$;

8) $f(x)=\sqrt{-x^2-2x-1}$;

9) $g(x)=\sqrt{x}+\sqrt{-x}$.

Розв’язання:

1) $f(x)=\frac{3}{2|x|+x^2}$

Знаменник дробу не дорівнює нулю:

$2|x|+x^2\ne 0$

Ураховуючи, що $x^2=|x{|}^2$, розкладемо вираз на множники:

$|x|(2+|x|)\ne 0$

Оскільки $|x|\ge 0$, то $2+|x|\ge 2>0$ для всіх $x\in \mathbb{R}$. Тому $2+|x|$ ніколи не дорівнює нулю.

Отже, єдина умова: $|x|\ne 0⟹x\ne 0$.

$D(f)=(-\infty ;0)\cup (0;+\infty )$.

2) $g(x)=\frac{7x}{2-\frac{1}{x}}$

Функція містить дроби, тому знаменники не повинні дорівнювати нулю:

• Знаменник внутрішнього дробу: $x\ne 0$.
• Головний знаменник:

$2-\frac{1}{x}\ne 0⟹\frac{1}{x}\ne 2⟹x\ne \frac{1}{2}$

$D(g)=(-\infty ;0)\cup \left(0;\frac{1}{2}\right)\cup \left(\frac{1}{2};+\infty \right)$.

3) $\phi (x)=\frac{1}{1+\frac{1}{x}}$

Обмеження для знаменників:

• Знаменник внутрішнього дробу: $x\ne 0$.
• Головний знаменник:

$1+\frac{1}{x}\ne 0⟹\frac{1}{x}\ne -1⟹x\ne -1$

$D(\phi )=(-\infty ;-1)\cup (-1;0)\cup (0;+\infty )$.

4) $g(x)=\frac{7}{1-\frac{1}{|x|}}$

Обмеження для знаменників:

• Знаменник внутрішнього дробу: $|x|\ne 0⟹x\ne 0$.
• Головний знаменник:

$1-\frac{1}{|x|}\ne 0⟹\frac{1}{|x|}\ne 1⟹|x|\ne 1⟹x\ne \pm 1$

$D(g)=(-\infty ;-1)\cup (-1;0)\cup (0;1)\cup (1;+\infty )$.

5) $\psi (x)=\frac{3}{1+\frac{1}{|x|}}$

Обмеження для знаменників:

• Знаменник внутрішнього дробу: $|x|\ne 0⟹x\ne 0$.
• Головний знаменник: $1+\frac{1}{|x|}\ne 0$. Оскільки при $x\ne 0$ маємо $|x|>0$, то $\frac{1}{|x|}>0$, а отже $1+\frac{1}{|x|}>1>0$. Головний знаменник додатний за всіх допустимих $x$.

$D(\psi )=(-\infty ;0)\cup (0;+\infty )$.

6) $p(x)=\frac{1}{\sqrt{x-2}}+\frac{1}{x-5}$

Складаємо систему умов:

$\{\begin{array}{l}x-2>0\\ x-5\ne 0\end{array}⟹\{\begin{array}{l}x>2\\ x\ne 5\end{array}$

Об’єднуючи ці умови, отримуємо числові проміжки $(2;5)$ та $(5;+\infty )$.

$D(p)=(2;5)\cup (5;+\infty )$.

7) $\phi (x)=\sqrt{-x^2}$

Підкореневий вираз арифметичного квадратного кореня має бути невід’ємним:

$-x^2\ge 0$

Помножимо обидві частини нерівності на $-1$, змінивши знак нерівності на протилежний:

$x^2\le 0$

Оскільки для будь-якого дійсного числа $x$ виконується нерівність $x^2\ge 0$, то нерівність $x^2\le 0$ можлива лише за умови $x^2=0$, тобто $x=0$.

$D(\phi )=\{0\}$.

8) $f(x)=\sqrt{-x^2-2x-1}$

Підкореневий вираз має бути невід’ємним:

$-x^2-2x-1\ge 0$

Винесемо мінус за дужки та згорнемо за формулою квадрата суми:

$-(x^2+2x+1)\ge 0⟹-(x+1{)}^2\ge 0$

Помножимо на $-1$:

$(x+1{)}^2\le 0$

Оскільки квадрат будь-якого виразу завжди невід’ємний ($(x+1{)}^2\ge 0$), дана нерівність виконується тільки у випадку рівності нулю:

$(x+1{)}^2=0⟹x+1=0⟹x=-1$

$D(f)=\{-1\}$.

9) $g(x)=\sqrt{x}+\sqrt{-x}$

Обидва підкореневі вирази мають бути невід’ємними одночасно. Складемо систему нерівностей:

$\{\begin{array}{l}x\ge 0\\ -x\ge 0\end{array}⟺\{\begin{array}{l}x\ge 0\\ x\le 0\end{array}$

Єдиним значенням змінної, яке задовольняє обом нерівностям одночасно, є $x=0$.

$D(g)=\{0\}$.

Відповідь:

1) $D(f)=(-\infty ;0)\cup (0;+\infty )$;

2) $D(g)=(-\infty ;0)\cup \left(0;\frac{1}{2}\right)\cup \left(\frac{1}{2};+\infty \right)$;

3) $D(\phi )=(-\infty ;-1)\cup (-1;0)\cup (0;+\infty )$;

4) $D(g)=(-\infty ;-1)\cup (-1;0)\cup (0;1)\cup (1;+\infty )$;

5) $D(\psi )=(-\infty ;0)\cup (0;+\infty )$;

6) $D(p)=(2;5)\cup (5;+\infty )$;

7) $D(\phi )=\{0\}$;

8) $D(f)=\{-1\}$;

9) $D(g)=\{0\}$.