Зміст

13. Установіть відповідність між нерівністю (1–3) та множиною всіх її розв’язків (А–Г).

1) $x(x+2)-x^2>4x-8$

Розкриємо дужки у лівій частині нерівності:

$x^2+2x-x^2>4x-8$

$2x>4x-8$

Перенесемо доданок зі змінною в ліву частину:

$2x-4x>-8$

$-2x>-8$

Поділимо обидві частини нерівності на $-2$, змінивши знак нерівності на протилежний:

$x<4$

Множина всіх розв’язків нерівності: $(-\infty ;4)$, що відповідає варіанту Б.

2) $\frac{x+2}{6}-\frac{x}{4}<0$

Помножимо обидві частини нерівності на найменший спільний знаменник $12>0$:

$12\cdot \left(\frac{x+2}{6}-\frac{x}{4}\right)<12\cdot 0$

$2(x+2)-3x<0$

$2x+4-3x<0$

$-x+4<0$

$-x<-4$

Поділимо обидві частини на $-1$, змінивши знак нерівності на протилежний:

$x>4$

Множина всіх розв’язків нерівності: $(4;+\infty )$, що відповідає варіанту Г.

3) $2(x+3)-x>x$

Розкриємо дужки у лівій частині нерівності:

$2x+6-x>x$

$x+6>x$

Перенесемо змінні в ліву частину, а числа в праву:

$x-x>-6$

$0\cdot x>-6$

Нерівність $0>-6$ є правильною при будь-якому дійсному значенні $x$.

Множина всіх розв’язків нерівності: $(-\infty ;+\infty )$, що відповідає варіанту А.

Відповідь: 1 — Б, 2 — Г, 3 — А.

ЗАВДАННЯ ДЛЯ ПЕРЕВІРКИ ЗНАНЬ ДО §§ 1–7

1. Чи є розв’язком нерівності $x+2>7$ число:

1) 6; 2) –2; 3) 0; 4) 10?

Розв’язання:

Підставимо кожне з поданих чисел замість змінної $x$ у нерівність $x+2>7$:

1) Для $x=6$:

$6+2>7$

$8>7\text{(правильна числова нерівність)}$

Отже, число $6$ є розв’язком нерівності.

2) Для $x=-2$:

$-2+2>7$

$0>7\text{(неправильна числова нерівність)}$

Отже, число $-2$ не є розв’язком нерівності.

3) Для $x=0$:

$0+2>7$

$2>7\text{(неправильна числова нерівність)}$

Отже, число $0$ не є розв’язком нерівності.

4) Для $x=10$:

$10+2>7$

$12>7\text{(правильна числова нерівність)}$

Отже, число $10$ є розв’язком нерівності.

Відповідь: 1) так; 2) ні; 3) ні; 4) так.

2. Запишіть проміжки, зображені на малюнках 1–4:

Розв’язання:

1) Мал. 1: точка $-1$ є виколотою (не належить проміжку), точка $7$ є зафарбованою (належить проміжку). Штриховка розташована між ними: $(-1;7]$.

2) Мал. 2: точка $-3$ є зафарбованою (належить проміжку). Штриховка спрямована вліво до $-\infty$: $(-\infty ;-3]$.

3) Мал. 3: точка $5$ є виколотою (не належить проміжку). Штриховка спрямована вліво до $-\infty$: $(-\infty ;5)$.

4) Мал. 4: точки $2$ та $9$ є зафарбованими (належать проміжкам). Штриховка розташована вліво від точки $2$ та вправо від точки $9$: $(-\infty ;2]\cup [9;+\infty )$.

Відповідь: 1) $(-1;7]$; 2) $(-\infty ;-3]$; 3) $(-\infty ;5)$; 4) $(-\infty ;2]\cup [9;+\infty )$.

3. Які з нерівностей є лінійними з однією змінною:

1) $-2x^2>6$; 2) $-2x>6$; 3) $2+3<6$; 4) $\frac{1}{-2x}>6$?

Розв’язання:

Лінійною нерівністю з однією змінною називають нерівність виду $ax>b$ (або $ax<b$, $ax\ge b$, $ax\le b$), де $x$ — змінна, $a$ і $b$ — числа.

Проаналізуємо кожен пункт:

1) $-2x^2>6$ — містить $x^2$, тобто є нерівністю другого степеня (квадратичною), а не лінійною;

2) $-2x>6$ — має вигляд $ax>b$ (де $a=-2$, $b=6$), тому є лінійною нерівністю з однією змінною;

3) $2+3<6$ — не містить змінної, є числовою нерівністю;

4) $\frac{1}{-2x}>6$ — містить змінну в знаменнику дробу, тобто є дробово-раціональною нерівністю.

Відповідь: 2).

4. Відомо, що $x>y$. Порівняйте:

1) $x+2$ і $y+2$; 2) $2x$ і $2y$;

3) $-x$ і $-y$; 4) $-4x$ і $-4y$.

Розв’язання:

Застосуємо властивості числових нерівностей:

1) Якщо до обох частин правильної нерівності $x>y$ додати одне й те саме число $2$, то одержимо правильну нерівність того самого знака:

$x+2>y+2$

2) Якщо обидві частини правильної нерівності $x>y$ помножити на одне й те саме додатне число $2$, то одержимо правильну нерівність того самого знака:

$2x>2y$

3) Якщо обидві частини правильної нерівності $x>y$ помножити на від’ємне число $-1$, то одержимо правильну нерівність протилежного знака:

$-x<-y$

4) Якщо обидві частини правильної нерівності $x>y$ помножити на від’ємне число $-4$, то одержимо правильну нерівність протилежного знака:

$-4x<-4y$

Відповідь: 1) $x+2>y+2$; 2) $2x>2y$; 3) $-x<-y$; 4) $-4x<-4y$.

№ 5. Розв’яжіть нерівність:

1) $-2x\ge 8$;

Розв’язання:

Поділимо обидві частини нерівності на $-2$. Оскільки коефіцієнт при змінній від’ємний, змінюємо знак нерівності на протилежний:

$x\le \frac{8}{-2}$

$x\le -4$

Множиною розв’язків є $x\in (-\infty ;-4]$.

Відповідь: $(-\infty ;-4]$.

2) $3x-4>x+8$.

Розв’язання:

Перенесемо доданки зі змінною в ліву частину нерівності, а сталі числа — у праву частину, змінивши їхні знаки на протилежні:

$3x-x>8+4$

$2x>12$

Поділимо обидві частини нерівності на $2$:

$x>6$

Множиною розв’язків є $x\in (6;+\infty )$.

Відповідь: $(6;+\infty )$.

№ 6. Розв’яжіть систему нерівностей:

$\{\begin{array}{l}x+3<5,\\ 4x\ge -4.\end{array}$

Розв’язання:

1) Розв’яжемо першу нерівність системи:

$x+3<5$

$x<5-3$

$x<2$

2) Розв’яжемо другу нерівність системи:

$4x\ge -4$

$x\ge \frac{-4}{4}$

$x\ge -1$

3) Запишемо отримані нерівності у вигляді системи та знайдемо їх спільний розв’язок:

$\{\begin{array}{l}x<2,\\ x\ge -1\end{array}⟹-1\le x<2$

Спільній частині відповідає півінтервал $x\in [-1;2)$.

Відповідь: $[-1;2)$.

№ 7. Дано: $5<a<10$ і $2<b<4$. Оцініть значення виразу:

1) $3a-b$;

Розв’язання:

Оцінимо вираз $3a$. Для цього помножимо всі частини нерівності $5<a<10$ на $3$:

$3\cdot 5<3\cdot a<3\cdot 10$

$15<3a<30$

Оцінимо вираз $-b$. Помножимо всі частини нерівності $2<b<4$ на $-1$ і змінимо знаки нерівності на протилежні:

$-4<-b<-2$

Додамо почленно отримані нерівності $15<3a<30$ та $-4<-b<-2$:

$15+(-4)<3a+(-b)<30+(-2)$

$11<3a-b<28$

Відповідь: $11<3a-b<28$.

2) $\frac{a}{b}$.

Розв’язання:

Запишемо вираз у вигляді добутку: $\frac{a}{b}=a\cdot \frac{1}{b}$.

Оцінимо вираз $\frac{1}{b}$. Оскільки $2<b<4$ і всі частини нерівності є додатними числами, то запишемо обернені величини:

$\frac{1}{4}<\frac{1}{b}<\frac{1}{2}$

Перемножимо почленно подвійні нерівності з додатними членами $5<a<10$ та $\frac{1}{4}<\frac{1}{b}<\frac{1}{2}$:

$5\cdot \frac{1}{4}<a\cdot \frac{1}{b}<10\cdot \frac{1}{2}$

$\frac{5}{4}<\frac{a}{b}<5$

$1,25<\frac{a}{b}<5$

Відповідь: $1,25<\frac{a}{b}<5$ (або $\frac{5}{4}<\frac{a}{b}<5$).

№ 8. Доведіть нерівність: $a^2+6a+10>0$.

Розв’язання:

Перетворимо тричлен у лівій частині нерівності, виділивши квадрат двочлена:

$a^2+6a+10=a^2+2\cdot 3\cdot a+3^2+1=(a+3{)}^2+1$

Оскільки квадрат будь-якого дійсного числа є невід’ємною величиною, тобто $(a+3{)}^2\ge 0$ для всіх $a\in \mathbb{R}$, додамо $1$ до обох частин нерівності:

$(a+3{)}^2+1\ge 0+1$

$(a+3{)}^2+1\ge 1$

Оскільки $1>0$, то $(a+3{)}^2+1>0$, а отже, і $a^2+6a+10>0$ при будь-яких дійсних значеннях $a$, що й треба було довести.

Відповідь: нерівність доведено.

№ 9. Знайдіть область визначення функції: $y=\sqrt{x-1}+\frac{1}{\sqrt{7-x}}+\frac{1}{x^2-4}$.

Розв’язання:

Область визначення функції $D(y)$ задається сукупністю обмежень:

1) Вираз під знаком квадратного кореня має бути невід’ємним:

$x-1\ge 0⟹x\ge 1$

2) Вираз під знаком квадратного кореня в знаменнику дробу має бути строго додатним:

$7-x>0⟹x<7$

3) Знаменник дробу не повинен дорівнювати нулю:

$x^2-4\ne 0⟹(x-2)(x+2)\ne 0⟹x\ne 2\text{ та }x\ne -2$

Складемо та розв’яжемо систему нерівностей та обмежень:

$\{\begin{array}{l}x\ge 1,\\ x<7,\\ x\ne 2,\\ x\ne -2\end{array}$

Переріз проміжків $x\ge 1$ та $x<7$ дає півінтервал $[1;7)$.

Виключаючи точку $x=2$ з цього півінтервалу (точка $x=-2$ знаходиться поза межами даного проміжку), одержуємо:

$x\in [1;2)\cup (2;7)$

Відповідь: $[1;2)\cup (2;7)$.

ДОДАТКОВІ ЗАВДАННЯ

10. Доведіть нерівність $(a+1)(b+4)(a+b)\ge 16ab$, якщо $a\ge 0,b\ge 0$.

Розв’язання:

За умовою $a\ge 0,b\ge 0$.

Застосуємо нерівність Коші про середнє арифметичне та середнє геометричне двох невід’ємних чисел ($\frac{x+y}{2}\ge \sqrt{xy}⟹x+y\ge 2\sqrt{xy}$) до кожного з трьох множників у лівій частині:

1) Для чисел $a$ та $1$:

$a+1\ge 2\sqrt{a\cdot 1}=2\sqrt{a}$

2) Для чисел $b$ та $4$:

$b+4\ge 2\sqrt{b\cdot 4}=2\cdot 2\sqrt{b}=4\sqrt{b}$

3) Для чисел $a$ та $b$:

$a+b\ge 2\sqrt{ab}$

Оскільки всі три вирази $a+1$, $b+4$, $a+b$ є невід’ємними при $a\ge 0$ та $b\ge 0$, почленно перемножимо ці три нерівності:

$(a+1)(b+4)(a+b)\ge (2\sqrt{a})\cdot (4\sqrt{b})\cdot (2\sqrt{ab})$

Перемножимо числові коефіцієнти та підкореневі вирази у правій частині:

$(2\cdot 4\cdot 2)\cdot \sqrt{a}\cdot \sqrt{b}\cdot \sqrt{ab}=16\cdot \sqrt{a\cdot b\cdot ab}=16\cdot \sqrt{a^2{b}^2}=16ab$

Отримали $(a+1)(b+4)(a+b)\ge 16ab$, що й треба було довести.

Відповідь: доведено.

11. За яких значень $a$ рівняння $a{x}^2-2x-8=0$ не має коренів?

Розв’язання:

Розглянемо рівняння $a{x}^2-2x-8=0$:

1) Якщо $a=0$, то рівняння стає лінійним:

$0\cdot x^2-2x-8=0⟹-2x-8=0⟹-2x=8⟹x=-4$

У цьому випадку рівняння має один корінь $x=-4$, отже, значення $a=0$ не задовольняє умову.

2) Якщо $a\ne 0$, то рівняння є квадратним. Квадратне рівняння не має коренів тоді й тільки тоді, коли його дискримінант строго від’ємний ($D<0$).

Знайдемо дискримінант рівняння:

$D=(-2{)}^2-4\cdot a\cdot (-8)=4+32a$

Складемо та розв’яжемо нерівність $D<0$:

$4+32a<0$

$32a<-4$

$a<-\frac{4}{32}$

$a<-\frac{1}{8}$

Оскільки число $0$ не входить у проміжок $\left(-\infty ;-\frac{1}{8}\right)$, то за всіх $a<-\frac{1}{8}$ рівняння залишається квадратним із від’ємним дискримінантом і не має дійсних коренів.

Відповідь: $a<-\frac{1}{8}$ (або $a\in \left(-\infty ;-\frac{1}{8}\right)$).

ВПРАВИ ДЛЯ ПОВТОРЕННЯ РОЗДІЛУ 1

До § 1

1. Відомо, що $m<n$. Чи може різниця $m-n$ дорівнювати:

1) $2,7$; 2) $\pi$; 3) $0$; 4) $-3,8$?

Розв’язання:

За означенням співвідношення «менше», якщо $m<n$, то різниця $m-n$ є строго від’ємним числом, тобто $m-n<0$.

1) $2,7>0$ — додатне число, тому різниця $m-n$ не може дорівнювати $2,7$.

2) $\pi \approx 3,14>0$ — додатне число, тому різниця $m-n$ не може дорівнювати $\pi$.

3) $0$ — не є від’ємним числом (різниця $m-n=0$ можлива лише при $m=n$), тому різниця $m-n$ не може дорівнювати $0$.

4) $-3,8<0$ — від’ємне число, тому різниця $m-n$ може дорівнювати $-3,8$.

Відповідь: 1) ні; 2) ні; 3) ні; 4) так.

2. Доведіть нерівність:

1) $5(m-3)>5m-16$;

2) $x(x+10)+2>10x$;

3) $(a-7)(a+10)<(a+4)(a-1)$;

4) $p(p-6)<(p-3{)}^2$;

5) $(m-2{)}^2>-4m$;

6) $p+1\le \frac{(p+2{)}^2}{4}$.

Розв’язання:

Для доведення кожної нерівності складемо різницю між її лівою та правою частинами ($L-R$) і визначимо її знак.

1) $5(m-3)>5m-16$

$L-R=5(m-3)-(5m-16)=5m-15-5m+16=1$

Оскільки $1>0$, то $L-R>0$, отже, $5(m-3)>5m-16$ для будь-якого значення $m$.

2) $x(x+10)+2>10x$

$L-R=x(x+10)+2-10x=x^2+10x+2-10x=x^2+2$

Оскільки $x^2\ge 0$ при всіх $x\in \mathbb{R}$, то $x^2+2\ge 2>0$.

Оскільки $L-R>0$, то $x(x+10)+2>10x$ для будь-якого значення $x$.

3) $(a-7)(a+10)<(a+4)(a-1)$

$L-R=(a-7)(a+10)-(a+4)(a-1)$

Розкриємо дужки:

$(a-7)(a+10)=a^2+10a-7a-70=a^2+3a-70$

$(a+4)(a-1)=a^2-a+4a-4=a^2+3a-4$

Підставимо вирази:

$L-R=(a^2+3a-70)-(a^2+3a-4)=a^2+3a-70-a^2-3a+4=-66$

Оскільки $-66<0$, то $L-R<0$, отже, $(a-7)(a+10)<(a+4)(a-1)$ для будь-якого значення $a$.

4) $p(p-6)<(p-3{)}^2$

$L-R=p(p-6)-(p-3{)}^2=p^2-6p-(p^2-6p+9)=p^2-6p-p^2+6p-9=-9$

Оскільки $-9<0$, то $L-R<0$, отже, $p(p-6)<(p-3{)}^2$ для будь-якого значення $p$.

5) $(m-2{)}^2>-4m$

$L-R=(m-2{)}^2-(-4m)=m^2-4m+4+4m=m^2+4$

Оскільки $m^2\ge 0$ при всіх $m\in \mathbb{R}$, то $m^2+4\ge 4>0$.

Оскільки $L-R>0$, то $(m-2{)}^2>-4m$ для будь-якого значення $m$.

6) $p+1\le \frac{(p+2{)}^2}{4}$

$L-R=(p+1)-\frac{(p+2{)}^2}{4}=\frac{4(p+1)-(p^2+4p+4)}{4}=\frac{4p+4-p^2-4p-4}{4}=\frac{-p^2}{4}$

Оскільки $p^2\ge 0$ для будь-якого $p\in \mathbb{R}$, то $-p^2\le 0$ та $\frac{-p^2}{4}\le 0$.

Оскільки $L-R\le 0$, то $p+1\le \frac{(p+2{)}^2}{4}$ для будь-якого значення $p$.

Відповідь: нерівності 1)–6) доведено.

3. Які з нерівностей є правильними за будь-якого значення $a$:

1) $(2a+3)(2a-3)<4a^2+2a$;

2) $(3a-2)(3a+2)<49a^2+0,6$;

3) $(3a-1{)}^2>3a(3a-2)$;

4) $7>(3-a)(3+a)$?

Розв’язання:

Дослідимо виконання кожної нерівності при всіх дійсних значеннях $a$:

1) $(2a+3)(2a-3)<4a^2+2a$

Застосуємо формулу різниці квадратів до лівої частини:

$4a^2-9<4a^2+2a⟹-9<2a⟹a>-4,5$

Нерівність виконується лише при $a>-4,5$. Отже, нерівність 1) не є правильною за будь-якого значення $a$.

2) $(3a-2)(3a+2)<49a^2+0,6$

Спростимо вираз:

$9a^2-4<49a^2+0,6⟹9a^2-4-49a^2-0,6<0⟹-40a^2-4,6<0$

Помножимо на $-1$:

$40a^2+4,6>0$

Оскільки $a^2\ge 0$ при будь-якому $a\in \mathbb{R}$, то $40a^2+4,6\ge 4,6>0$. Отже, нерівність 2) є правильною за будь-якого значення $a$.

3) $(3a-1{)}^2>3a(3a-2)$

Розкриємо дужки в обох частинах:

$9a^2-6a+1>9a^2-6a⟹1>0$

Отримано нерівність $1>0$, яка є завжди правильною і не залежить від $a$. Отже, нерівність 3) є правильною за будь-якого значення $a$.

4) $7>(3-a)(3+a)$

Спростимо праву частину за формулою різниці квадратів:

$7>9-a^2⟹a^2>2$

Нерівність виконується лише при $a\in (-\infty ;-\sqrt{2})\cup (\sqrt{2};+\infty )$ і є хибною, наприклад, при $a=0$ ($7>9$ — хибно). Отже, нерівність 4) не є правильною за будь-якого значення $a$.

Відповідь: правильними за будь-якого значення $a$ є нерівності 2) та 3).

№ 4. Доведіть нерівність:

1) $(m+1{)}^2\ge 4m$;

Розв’язання:

Розглянемо різницю лівої та правої частин нерівності:

$(m+1{)}^2-4m=m^2+2m+1-4m=m^2-2m+1=(m-1{)}^2$

Оскільки квадрат будь-якого дійсного числа є невід’ємним, тобто $(m-1{)}^2\ge 0$ для будь-якого $m\in \mathbb{R}$, різниця лівої та правої частин є невід’ємною.

Отже, $(m+1{)}^2\ge 4m$. Нерівність доведено.

2) $(4b-1{)}^2>-8b$;

Розв’язання:

Розглянемо різницю лівої та правої частин нерівності:

$(4b-1{)}^2-(-8b)=16b^2-8b+1+8b=16b^2+1$

Оскільки $16b^2\ge 0$ для будь-якого $b\in \mathbb{R}$, то $16b^2+1\ge 1>0$.

Оскільки різниця лівої та правої частин строго додатна для будь-якого $b\in \mathbb{R}$, нерівність $(4b-1{)}^2>-8b$ доведено.

3) $\frac{a^2+1}{2}\ge a$;

Розв’язання:

Розглянемо різницю лівої та правої частин нерівності:

$\frac{a^2+1}{2}-a=\frac{a^2+1-2a}{2}=\frac{(a-1{)}^2}{2}$

Оскільки $(a-1{)}^2\ge 0$ для будь-якого $a\in \mathbb{R}$, то $\frac{(a-1{)}^2}{2}\ge 0$.

Отже, $\frac{a^2+1}{2}\ge a$. Нерівність доведено.

4) $\frac{m}{m^2+1}\le \frac{1}{2}$.

Розв’язання:

Розглянемо різницю правої та лівої частин нерівності:

$\frac{1}{2}-\frac{m}{m^2+1}=\frac{m^2+1-2m}{2(m^2+1)}=\frac{(m-1{)}^2}{2(m^2+1)}$

Знаменник $2(m^2+1)>0$ для будь-якого $m\in \mathbb{R}$, а чисельник $(m-1{)}^2\ge 0$.

Тому дріб $\frac{(m-1{)}^2}{2(m^2+1)}\ge 0$.

Отже, $\frac{m}{m^2+1}\le \frac{1}{2}$. Нерівність доведено.

Відповідь: нерівності 1)–4) доведено.

№ 5. Порівняйте число $m$ з нулем, якщо:

1) $2m<3m$;

Розв’язання:

Перенесемо доданок $2m$ у праву частину нерівності:

$3m-2m>0⟹m>0$

Відповідь: $m>0$.

2) $m>5m$;

Розв’язання:

Перенесемо доданок $m$ у праву частину нерівності:

$5m-m<0⟹4m<0⟹m<0$

Відповідь: $m<0$.

3) $-m<-3m$;

Розв’язання:

Перенесемо доданок $-3m$ у ліву частину нерівності:

$-m+3m<0⟹2m<0⟹m<0$

Відповідь: $m<0$.

4) $-4m>-5m$.

Розв’язання:

Перенесемо доданок $-5m$ у ліву частину нерівності:

$-4m+5m>0⟹m>0$

Відповідь: $m>0$.

№ 6. Доведіть нерівність:

1) $m^2+n^2-2m-4n+5\ge 0$;

Розв’язання:

Виділимо повні квадрати у лівій частині нерівності:

$m^2-2m+1+n^2-4n+4=(m-1{)}^2+(n-2{)}^2$

Оскільки $(m-1{)}^2\ge 0$ та $(n-2{)}^2\ge 0$ для будь-яких $m,n\in \mathbb{R}$, сума невід’ємних чисел є невід’ємною:

$(m-1{)}^2+(n-2{)}^2\ge 0$

Отже, $m^2+n^2-2m-4n+5\ge 0$. Нерівність доведено.

2) $2x^2-10xy+25y^2\ge 0$.

Розв’язання:

Подамо $2x^2$ у вигляді суми $x^2+x^2$ та виділимо повний квадрат:

$x^2+(x^2-10xy+25y^2)=x^2+(x-5y{)}^2$

Оскільки $x^2\ge 0$ та $(x-5y{)}^2\ge 0$ для будь-яких $x,y\in \mathbb{R}$, сума двох невід’ємних виразів є невід’ємною:

$x^2+(x-5y{)}^2\ge 0$

Отже, $2x^2-10xy+25y^2\ge 0$. Нерівність доведено.

Відповідь: нерівності 1), 2) доведено.

№ 7. Порівняйте вирази:

1) $a^3-b^3$ і $ab(b-a)$, якщо $a\ge b$;

Розв’язання:

Знайдемо різницю між першим і другим виразами:

$(a^3-b^3)-ab(b-a)=(a-b)(a^2+ab+b^2)+ab(a-b)=(a-b)(a^2+2ab+b^2)=(a-b)(a+b{)}^2$

За умовою $a\ge b$, тому $a-b\ge 0$. Квадрат суми $(a+b{)}^2\ge 0$ для будь-яких $a$ і $b$.

Добуток двох невід’ємних виразів є невід’ємним:

$(a-b)(a+b{)}^2\ge 0$

Оскільки різниця виразів є невід’ємною, перший вираз більший або дорівнює другому.

Відповідь: $a^3-b^3\ge ab(b-a)$.

2) $m^2+n^2$ і $\frac{1}{2}$, якщо $m+n=1$.

Розв’язання:

З умови $m+n=1$ виразимо $n$:

$n=1-m$

Підставимо це значення у вираз $m^2+n^2$:

$m^2+n^2=m^2+(1-m{)}^2=m^2+1-2m+m^2=2m^2-2m+1$

Знайдемо різницю виразу $2m^2-2m+1$ та числа $\frac{1}{2}$:

$2m^2-2m+1-\frac{1}{2}=2m^2-2m+\frac{1}{2}=2\cdot \left(m^2-m+\frac{1}{4}\right)=2\cdot {\left(m-\frac{1}{2}\right)}^2$

Оскільки $2\cdot {\left(m-\frac{1}{2}\right)}^2\ge 0$ для будь-якого $m\in \mathbb{R}$, різниця є невід’ємною.

Відповідь: $m^2+n^2\ge \frac{1}{2}$.

№ 8. Відстань від села до міста становить 20 км. Одна з велосипедисток проїхала із села в місто й повернулася назад зі сталою швидкістю. Друга велосипедистка їхала із села в місто зі швидкістю, на 1 км/год більшою за швидкість першої, а поверталася назад зі швидкістю, на 1 км/год меншою від швидкості першої. Котра з велосипедисток витратила менше часу на дорогу?

Розв’язання:

1) Нехай $v\text{ км/год}$ ($v>1$) — стала швидкість першої велосипедистки.

Відстань від села до міста дорівнює $S=20\text{ км}$, а загальний шлях туди й назад — $20+20=40\text{ км}$.

2) Перша велосипедистка витратила на весь шлях час:

$t_1=\frac{40}{v}\text{ (год)}$

3) Друга велосипедистка їхала із села в місто зі швидкістю $(v+1)\text{ км/год}$, а поверталася зі швидкістю $(v-1)\text{ км/год}$.

Загальний час другої велосипедистки:

$t_2=\frac{20}{v+1}+\frac{20}{v-1}=20\cdot \left(\frac{1}{v+1}+\frac{1}{v-1}\right)=20\cdot \frac{v-1+v+1}{(v+1)(v-1)}=\frac{40v}{v^2-1}\text{ (год)}$

4) Порівняємо час $t_1$ та $t_2$. Перепишемо $t_1$ у вигляді дробу з чисельником $40v$:

$t_1=\frac{40}{v}=\frac{40v}{v^2}$

Порівняємо дроби $\frac{40v}{v^2}$ та $\frac{40v}{v^2-1}$. Оскільки $v>1$, то $v^2-1<v^2$.

Чисельники дробів однакові та додатні, а знаменник другого дробу менший за знаменник першого дробу. З двох додатних дробів із рівними чисельниками більшим є той, у якого знаменник менший:

$\frac{40v}{v^2-1}>\frac{40v}{v^2}⟹t_2>t_1$

Отже, $t_1<t_2$, тобто перша велосипедистка витратила менше часу.

Відповідь: перша велосипедистка витратила менше часу на дорогу.