Завдання для перевірки знань до § 8–11

Зміст

РОЗВ’ЯЖІТЬ ЗАДАЧІ ТА ВИКОНАЙТЕ ВПРАВИ

📋 Швидка навігація по вправах:

№ 1 № 2 № 3 № 4 № 5 № 6 № 7 № 8 № 9 № 10 № 11

№ 1. Для функції $f (x) = x^{2} + x$ знайдіть:
1) $f (0)$ ;
2) $f (- 1)$ ;
3) $f (2)$ ;
4) $f (- 3)$ .

Розв’язання:

1) $f (0) = 0^{2} + 0 = 0$

2) $f (- 1) = (- 1)^{2} + (- 1) = 1 - 1 = 0$

3) $f (2) = 2^{2} + 2 = 4 + 2 = 6$

4) $f (- 3) = (- 3)^{2} + (- 3) = 9 - 3 = 6$

Відповідь: 1) 0; 2) 0; 3) 6; 4) 6.

№ 2. Як із графіка функції $y = x^{2}$ отримати графік функції:
1) $y = x^{2} + 5$ ;
2) $y = (x + 5)^{2}$ ?

Розв’язання:

1) Графік функції $y = x^{2}$ перенести вздовж осі $O y$ на 5 одиниць угору.

2) Графік функції $y = x^{2}$ перенести вздовж осі $O x$ на 5 одиниць уліво.

Відповідь:
1) перенести вздовж осі $O y$ на 5 одиниць угору;
2) перенести вздовж осі $O x$ на 5 одиниць уліво.

№ 3. Які з функцій є квадратичними:
1) $y = x^{2} - 4 x$ ;
2) $y = \frac{1}{x ^{2} - 4 x}$ ;
3) $y = x^{3} + x + 3$ ;
4) $y = x^{2} + x + 3$ ?

Розв’язання:

Функцію називають квадратичною, якщо вона має вигляд $y = a x^{2} + b x + c$ , де $a \neq = 0$ .

1) $y = x^{2} - 4 x$ — квадратична, оскільки має вигляд $y = a x^{2} + b x + c$ , де $a = 1$ , $b = - 4$ , $c = 0$ .

2) $y = \frac{1}{x ^{2} - 4 x}$ — не є квадратичною, оскільки змінна міститься в знаменнику дробу.

3) $y = x^{3} + x + 3$ — не є квадратичною, оскільки містить змінну в третьому степені ( $x^{3}$ ).

4) $y = x^{2} + x + 3$ — квадратична, оскільки має вигляд $y = a x^{2} + b x + c$ , де $a = 1$ , $b = 1$ , $c = 3$ .

Відповідь: квадратичними є функції 1) та 4).

№ 4. Знайдіть нулі функції:
1) $y = - 2 x + 7$ ;
2) $y = x^{2} - 5 x + 6$ .

Розв’язання:

1) Щоб знайти нулі функції, розв’яжемо рівняння $y = 0$ :
$- 2 x + 7 = 0$
$- 2 x = - 7$
$x = \frac{- 7}{- 2}$
$x = 3, 5$

2) Щоб знайти нулі функції, розв’яжемо рівняння $y = 0$ :
$x^{2} - 5 x + 6 = 0$

За теоремою Вієта:

[x_{1} = 2 x_{2} = 3

Відповідь: 1) $3, 5$ ; 2) $2; 3$ .

№ 5. Побудуйте графік функції:

1) $y = x - 3$ ;

2) $y = x - 3$ .

Розв’язання:

1) Область визначення:
$x - 3 \geq 0$
$x \geq 3$
$D (y) = [3; + \infty)$

Графік функції $y = x - 3$ одержуємо з графіка функції $y = x$ шляхом паралельного перенесення вздовж осі $O x$ на $3$ одиниці праворуч.

Складемо таблицю значень:

$x$	$3$	$4$	$7$
$y$	$0$	$1$	$2$

Графік до вправи № 5 (рис. 1) - Алгебра 9 клас

2) Область визначення:
$x \geq 0$
$D (y) = [0; + \infty)$

Графік функції $y = x - 3$ одержуємо з графіка функції $y = x$ шляхом паралельного перенесення вздовж осі $O y$ на $3$ одиниці вниз.

Складемо таблицю значень:

$x$	$0$	$1$	$4$	$9$
$y$	$- 3$	$- 2$	$- 1$	$0$

Графік до вправи № 5 (рис. 2) - Алгебра 9 клас

Відповідь: графіки побудовано.

№ 6. Не виконуючи побудови, знайдіть координати точок перетину графіків функцій $y = - 4 x^{2}$ та $y = 2 x$ .

Розв’язання:
Для знаходження абсцис точок перетину графіків функцій прирівняємо їхні вирази:

$- 4 x^{2} = 2 x$

$4 x^{2} + 2 x = 0$

$2 x (2 x + 1) = 0$

[2 x = 0 2 x + 1 = 0

[x_{1} = 0 x_{2} = - \frac{1}{2}

Знайдемо відповідні значення $y$ :

якщо $x_{1} = 0$ , то $y_{1} = 2 \cdot 0 = 0$ ;
якщо $x_{2} = - \frac{1}{2}$ , то $y_{2} = 2 \cdot (- \frac{1}{2}) = - 1$ .

Точки перетину графіків функцій мають координати $(0; 0)$ та $(- \frac{1}{2}; - 1)$ .

Відповідь: $(0; 0)$ , $(- \frac{1}{2}; - 1)$ .

№ 7. Знайдіть область визначення функції:
1) $f (x) = \frac{15 x}{2 x ^{2} + 3 x - 5}$ ;
2) $g (x) = \frac{1}{8 - 2 x}$ .

Розв’язання:

1) Знаменник дробу не повинен дорівнювати нулю:
$2 x^{2} + 3 x - 5 \neq = 0$

Розв’яжемо рівняння:
$2 x^{2} + 3 x - 5 = 0$
$D = 3^{2} - 4 \cdot 2 \cdot (- 5) = 9 + 40 = 49$
$x_{1} = \frac{- 3 + 49}{2 \cdot 2} = \frac{- 3 + 7}{4} = 1$
$x_{2} = \frac{- 3 - 7}{4} = \frac{- 10}{4} = - 2, 5$

Звідси:
$x \neq = - 2, 5$
$x \neq = 1$

$D (f) = (- \infty; - 2, 5) \cup (- 2, 5; 1) \cup (1; + \infty)$

2) Підкореневий вираз у знаменнику дробу повинен бути строго додатним:
$8 - 2 x > 0$
$- 2 x > - 8$
$x < \frac{- 8}{- 2}$
$x < 4$

$D (g) = (- \infty; 4)$

Відповідь: 1) $(- \infty; - 2, 5) \cup (- 2, 5; 1) \cup (1; + \infty)$ ; 2) $(- \infty; 4)$ .

№ 8. Побудуйте графік функції $y = x^{2} - 2 x - 3$ . За графіком знайдіть:
1) область значень функції;
2) проміжок зростання і проміжок спадання функції.

Розв’язання:

Графіком функції $y = x^{2} - 2 x - 3$ є парабола, вітки якої напрямлені вгору ( $a = 1 > 0$ ).

Знайдемо координати вершини параболи $(x_{0}; y_{0})$ :
$x_{0} = - \frac{b}{2 a} = - \frac{- 2}{2 \cdot 1} = 1$
$y_{0} = 1^{2} - 2 \cdot 1 - 3 = 1 - 2 - 3 = - 4$
Вершина параболи — точка $(1; - 4)$ .

Складемо таблицю значень функції:

$x$	$- 2$	$- 1$	$0$	$1$	$2$	$3$	$4$
$y$	$5$	$0$	$- 3$	$- 4$	$- 3$	$0$	$5$

За графіком функції знаходимо:

1) Область значень функції:
$E (y) = [- 4; + \infty)$

2) Функція спадає на проміжку $(- \infty; 1]$ та зростає на проміжку $[1; + \infty)$ .

Відповідь: графік побудовано; 1) $[- 4; + \infty)$ ; 2) спадає на $(- \infty; 1]$ , зростає на $[1; + \infty)$ .

№ 9. За яких значень $b$ і $c$ точка $A (2; - 1)$ є вершиною параболи $y = 2 x^{2} + b x + c$ ?

Розв’язання:
Для параболи $y = a x^{2} + b x + c$ коефіцієнт $a = 2$ .

Абсциса вершини параболи визначається за формулою:
$x_{в} = - \frac{b}{2 a}$

За умовою $x_{в} = 2$ :
$- \frac{b}{2 \cdot 2} = 2$
$- \frac{b}{4} = 2$
$b = - 8$

Оскільки вершина $A (2; - 1)$ належить параболі, підставимо координати точки $x = 2$ , $y = - 1$ та коефіцієнт $b = - 8$ у рівняння параболи:
$2 \cdot 2^{2} + (- 8) \cdot 2 + c = - 1$
$2 \cdot 4 - 16 + c = - 1$
$8 - 16 + c = - 1$
$- 8 + c = - 1$
$c = - 1 + 8$
$c = 7$

Відповідь: $b = - 8$ , $c = 7$ .

№ 10. Розв’яжіть рівняння $x - 2 = \frac{6}{x} + 1$ графічно.

Розв’язання:
Побудуємо в одній системі координат графіки функцій $y = x - 2$ та $y = \frac{6}{x} + 1$ .

1) Графік функції $y = x - 2$ одержуємо з графіка $y = x$ зсувом на $2$ одиниці праворуч уздовж осі $O x$ ( $x \geq 2$ ).

$x$	$2$	$3$	$6$	$11$
$y$	$0$	$1$	$2$	$3$

2) Графік функції $y = \frac{6}{x} + 1$ — гіпербола, одержана з графіка $y = \frac{6}{x}$ зсувом на $1$ одиницю вгору уздовж осі $O y$ ( $x \neq = 0$ ).

$x$	$- 6$	$- 3$	$- 2$	$- 1$	$1$	$2$	$3$	$6$
$y$	$0$	$- 1$	$- 2$	$- 5$	$7$	$4$	$3$	$2$

Графіки функцій перетинаються в точці з координатами $(6; 2)$ .
Абсциса точки перетину є коренем рівняння: $x = 6$ .

Відповідь: $6$ .

№ 11. Скільки нулів має функція $f (x) = x (x^{2} - 1) ∣ x ∣ - 2$ ?

Розв’язання:

Знайдемо область визначення функції:
$∣ x ∣ - 2 \geq 0$
$∣ x ∣ \geq 2$
$D (f) = (- \infty; - 2] \cup [2; + \infty)$

Знайдемо значення $x$ , при яких $f (x) = 0$ :
$x (x^{2} - 1) ∣ x ∣ - 2 = 0$

x = 0 x^{2} - 1 = 0 ∣ x ∣ - 2 = 0

Розв’яжемо кожне рівняння окремо:

1) $x = 0$

2) $x^{2} - 1 = 0$
$x^{2} = 1$

[x = 1 x = - 1

3) $∣ x ∣ - 2 = 0$
$∣ x ∣ - 2 = 0$
$∣ x ∣ = 2$

[x = 2 x = - 2

Перевіримо належність знайдених значень області визначення $D (f)$ :
$x = 0 \in / D (f)$
$x = 1 \in / D (f)$
$x = - 1 \in / D (f)$
$x = 2 \in D (f)$
$x = - 2 \in D (f)$

Отже, нулями функції є лише значення $x = 2$ та $x = - 2$ .
Функція має 2 нулі.

Відповідь: 2 нулі.

Завдання для перевірки знань до § 8–11

Теги статті:

До уроку