Завдання для перевірки знань до §§ 22–26

Зміст

РОЗВ’ЯЖІТЬ ЗАДАЧІ ТА ВИКОНАЙТЕ ВПРАВИ

📋 Швидка навігація по вправах:

№ 1 № 2 № 3 № 4 № 5 № 6 № 7 № 8 № 9 № 10 № 11 № 12

№ 1. На полиці стоїть 7 збірок віршів і 3 збірки оповідань. Скількома способами з полиці можна взяти:

1) будь-яку збірку;

2) збірку віршів і збірку оповідань?

Розв’язання:

1) За правилом додавання:
$7 + 3 = 10$

2) За правилом множення:
$7 \cdot 3 = 21$

Відповідь: 1) 10; 2) 21.

№ 2. Які з подій є випадковими:
1) під час підкидання грального кубика випаде 5 очок;
2) площа круга, радіус якого дорівнює $8 см$ , дорівнюватиме $64 π см^{2}$ ;
3) наступним днем після 31 грудня буде 1 січня;
4) придбаний лотерейний квиток виявиться виграшним?

Розв’язання:

1) Випадіння 5 очок під час підкидання грального кубика може відбутися, а може й не відбутися — подія є випадковою.

2) Площа круга за формулою:
$S = π r^{2}$
$S = π \cdot 8^{2} = 64 π (см^{2})$
Подія обов’язково відбудеться за даних умов — подія є вірогідною (достовірною).

3) За григоріанським календарем наступним днем після 31 грудня завжди настає 1 січня — подія є вірогідною (достовірною).

4) Лотерейний квиток може виявитися як виграшним, так і без виграшу — подія є випадковою.

Відповідь: випадковими є події 1) та 4).

№ 3. Виміряли (у см) зріст п’яти дев’ятикласників і отримали такі дані: $160$ , $164$ , $158$ , $161$ , $162$ . Знайдіть для цієї вибірки:
1) розмах;
2) середнє значення.

Розв’язання:

Впорядкуємо ряд даних за зростанням:
$158, 160, 161, 162, 164$

1) Найбільше значення вибірки дорівнює $164$ , а найменше — $158$ .
Знайдемо розмах вибірки:
$R = 164 - 158 = 6$

2) Знайдемо середнє значення вибірки:
$\overline{x} = \frac{160 + 164 + 158 + 161 + 162}{5}$
$\overline{x} = \frac{805}{5}$
$\overline{x} = 161$

Відповідь: 1) 6; 2) 161.

№ 4. Було виконано п’ять серій по 100 підкидань монети в кожній. Результати досліду занесено в таблицю. Перемалюйте її в зошит та обчисліть відносну частоту події $A$ в кожній із серій.

Серія	1	2	3	4	5
Випадіння аверсу (подія $A$ )	47	51	50	48	53
Відносна частота події $A$

Розв’язання:

Відносна частота події $A$ обчислюється за формулою:
$W (A) = \frac{m}{n}$
де $n = 100$ — загальна кількість випробувань у кожній серії, $m$ — кількість сприятливих результатів (випадінь аверсу).

1) $W_{1} (A) = \frac{47}{100} = 0, 47$

2) $W_{2} (A) = \frac{51}{100} = 0, 51$

3) $W_{3} (A) = \frac{50}{100} = 0, 5$

4) $W_{4} (A) = \frac{48}{100} = 0, 48$

5) $W_{5} (A) = \frac{53}{100} = 0, 53$

Заповнена таблиця:

Серія	1	2	3	4	5
Випадіння аверсу (подія $A$ )	47	51	50	48	53
Відносна частота події $A$	$0, 47$	$0, 51$	$0, 5$	$0, 48$	$0, 53$

Відповідь: $0, 47$ ; $0, 51$ ; $0, 5$ ; $0, 48$ ; $0, 53$ .

**№ 5. У ящику 11 білих, 4 чорні і 5 зелених кульок. Навмання виймають одну з них. Яка ймовірність того, що вона виявиться:

1) білою;

2) не зеленою?**

Розв’язання:

Загальна кількість кульок у ящику (кількість усіх можливих наслідків):
$n = 11 + 4 + 5 = 20$

1) Подія $A$ — вийнято білу кульку.
Кількість сприятливих наслідків:
$m = 11$
Ймовірність події:
$P (A) = \frac{m}{n} = \frac{11}{20}$

2) Подія $B$ — вийнято не зелену кульку (тобто білу або чорну).
Кількість сприятливих наслідків:
$m = 11 + 4 = 15$
Ймовірність події:
$P (B) = \frac{m}{n} = \frac{15}{20} = \frac{3}{4}$

Відповідь: 1) $\frac{11}{20}$ ; 2) $\frac{3}{4}$ .

№ 6. У таблиці записано місця, які посідала футбольна команда «Пролісок» протягом п’яти останніх чемпіонатів області з футболу. За даними таблиці побудуйте графік.

Рік	2021	2022	2023	2024	2025
Місце	7	3	7	10	5

Розв’язання:

Позначимо на осі абсцис роки, а на осі ординат — місця, які посідала команда.

Опорні точки для побудови полігона частот (лінійного графіка):
$(2021; 7)$ , $(2022; 3)$ , $(2023; 7)$ , $(2024; 10)$ , $(2025; 5)$ .

Відповідь: графік побудовано.

№ 7. У секції плавання тренується 7 спортсменок. Скількома способами між ними можна розподілити етапи естафети 4 по 100 м вільним стилем (тобто кожна із чотирьох плавчинь, що бере участь в естафеті, пливе свій етап: перший, або другий, або третій, або четвертий)?

Розв’язання:

Оскільки порядок розподілу спортсменок по етапах має значення, кількість способів дорівнює числу розміщень з 7 елементів по 4:

$A_{7}^{4} = \frac{7 !}{( 7 - 4 )!} = \frac{7 !}{3 !} = 7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4 = 840$

Відповідь: 840 способів.

№ 8. Вибірка, середнє значення якої дорівнює $8, 8$ , складається із чисел $4$ , $a$ , $7$ , $3 a$ , $9$ . Знайдіть:
1) $a$ ;
2) медіану цієї вибірки.

Розв’язання:

1) За означенням середнього арифметичного:

$\frac{4 + a + 7 + 3 a + 9}{5} = 8, 8$

$\frac{4 a + 20}{5} = 8, 8$
$4 a + 20 = 8, 8 \cdot 5$
$4 a + 20 = 44$
$4 a = 44 - 20$
$4 a = 24$
$a = 6$

2) Підставимо знайдене значення $a = 6$ у початкову вибірку:
$4$ , $6$ , $7$ , $3 \cdot 6$ , $9$ , тобто $4$ , $6$ , $7$ , $18$ , $9$ .

Запишемо утворену вибірку у порядку зростання (ранжований ряд даних):
$4$ , $6$ , $7$ , $9$ , $18$ .

Кількість елементів у вибірці дорівнює $5$ (непарне число), тому медіаною є число, розташоване посередині ранжованого ряду:
$M e = 7$ .

Відповідь: 1) $6$ ; 2) $7$ .

№ 9. У шафі лежить 10 зелених, кілька чорних і кілька сірих пар шкарпеток. Скільки чорних і скільки сірих пар шкарпеток у шафі, якщо ймовірність навмання взяти пару чорних шкарпеток дорівнює 0,3, а сірих — 0,2?

Розв’язання:
Нехай $n$ — загальна кількість пар шкарпеток у шафі.

Оскільки навмання взята пара може бути зеленою, чорною або сірою, сума ймовірностей цих несумісних подій дорівнює $1$ .

Знайдемо ймовірність навмання взяти пару зелених шкарпеток:
$P = 1 - (0, 3 + 0, 2) = 1 - 0, 5 = 0, 5$

За класичним означенням ймовірності:
$\frac{10}{n} = 0, 5$
$n = \frac{10}{0 , 5}$
$n = 20$

Отже, усього в шафі лежить 20 пар шкарпеток.

Знайдемо кількість чорних пар шкарпеток:
$20 \cdot 0, 3 = 6$

Знайдемо кількість сірих пар шкарпеток:
$20 \cdot 0, 2 = 4$

Відповідь: 6 чорних пар і 4 сірі пари.

№ 10. Було перевірено 500 деталей, з яких 2 виявилися бракованими.
1) Скільки приблизно бракованих деталей буде в партії з 1500 деталей?
2) Скільки приблизно було деталей у партії, якщо серед них виявилося 8 бракованих?

Розв’язання:

Частота виявлення бракованої деталі становить:
$\frac{2}{500} = \frac{1}{250}$

1) Нехай $x$ — кількість бракованих деталей у партії з 1500 деталей. Складемо пропорцію:
$\frac{500}{1500} = \frac{2}{x}$
$x = \frac{2 \cdot 1500}{500}$
$x = 6$ (деталей)

2) Нехай $y$ — кількість деталей у партії, серед яких 8 бракованих. Складемо пропорцію:
$\frac{500}{y} = \frac{2}{8}$
$y = \frac{500 \cdot 8}{2}$
$y = 2000$ (деталей)

Відповідь: 1) 6; 2) 2000.

№ 11. Скільки різних п’ятицифрових чисел можна скласти із цифр 0, 1, 3, 7, 9, якщо цифри в числі не повторюються?

Розв’язання:
Першою цифрою п’ятицифрового числа може бути будь-яка з 4 цифр: 1, 3, 7 або 9 (оскільки число не може починатися з цифри 0).
Другою цифрою може бути будь-яка з 4 цифр, що залишилися (включаючи 0).
Третьою цифрою — будь-яка з 3 цифр, що залишилися.
Четвертою цифрою — будь-яка з 2 цифр, що залишилися.
П’ятою цифрою — 1 остання цифра, що залишилася.

За комбінаторним правилом добутку:
$N = 4 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 = 96$

Відповідь: 96.

№ 12. Відомо, що баскетболістка влучає в кошик зі штрафного кидка з ймовірністю, більшою за $0, 7$ , але меншою, ніж $0, 75$ . Скільки приблизно штрафних кидків виконала вона під час тренування, якщо відбулося $12$ влучень у кошик?

Розв’язання:

Нехай $n$ — загальна кількість штрафних кидків ( $n \in N$ ).

Ймовірність (відносна частота) влучення в кошик становить:
$p = \frac{12}{n}$

За умовою:
$0, 7 < \frac{12}{n} < 0, 75$

Оскільки $n > 0$ , маємо систему нерівностей:

⎩ ⎨ ⎧ \frac{12}{n} > 0, 7 \frac{12}{n} < 0, 75

Розв’яжемо кожну нерівність системи:

1) $\frac{12}{n} > 0, 7$
$n < \frac{12}{0 , 7}$
$n < \frac{120}{7}$
$n < 17 \frac{1}{7}$

2) $\frac{12}{n} < 0, 75$
$n > \frac{12}{0 , 75}$
$n > 16$

Звідси:
$16 < n < 17 \frac{1}{7}$

Оскільки кількість кидків $n$ має бути натуральним числом, то $n = 17$ .

Відповідь: 17 кидків.

Завдання для перевірки знань до §§ 22–26

Теги статті:

До уроку