Завдання для перевірки знань до §§ 15–21

Зміст

РОЗВ’ЯЖІТЬ ЗАДАЧІ ТА ВИКОНАЙТЕ ВПРАВИ

📋 Швидка навігація по вправах:

№ 1 № 2 № 3 № 4 № 5 № 6 № 7 № 8 № 9 № 10 № 11 № 12

№ 1. Послідовність задано формулою $x_{n} = 4 n + 5$ . Знайдіть:
1) $x_{10}$ ;
2) $x_{25}$ .

Розв’язання:

1) Підставимо $n = 10$ у формулу послідовності:
$x_{10} = 4 \cdot 10 + 5 = 40 + 5 = 45$

2) Підставимо $n = 25$ у формулу послідовності:
$x_{25} = 4 \cdot 25 + 5 = 100 + 5 = 105$

Відповідь: 1) 45; 2) 105.

№ 2. Які з послідовностей є арифметичними прогресіями:
1) $3$ , $1$ , $2$ ;
2) $4$ , $2$ , $0$ ;
3) $1$ , $3$ , $9$ ;
4) $1$ , $11$ , $21$ .

Розв’язання:

Послідовність є арифметичною прогресією, якщо різниця між кожним наступним і попереднім її членами є сталою: $d = a_{n + 1} - a_{n}$ .

1) $1 - 3 = - 2$
$2 - 1 = 1$
$- 2 \neq = 1$ — послідовність не є арифметичною прогресією.

2) $2 - 4 = - 2$
$0 - 2 = - 2$
Різниця стала ( $d = - 2$ ) — послідовність є арифметичною прогресією.

3) $3 - 1 = 2$
$9 - 3 = 6$
$2 \neq = 6$ — послідовність не є арифметичною прогресією.

4) $11 - 1 = 10$
$21 - 11 = 10$
Різниця стала ( $d = 10$ ) — послідовність є арифметичною прогресією.

Відповідь: 2), 4).

№ 3. Які з послідовностей є геометричними прогресіями:
1) $7$ , $- 14$ , $28$ ;
2) $5$ , $6$ , $7$ ;
3) $4$ , $2$ , $1$ ;
4) $3$ , $1$ , $0$ .

Розв’язання:

Послідовність $(b_{n})$ є геометричною прогресією, якщо частка від ділення кожного її члена, починаючи з другого, на попередній є одним і тим самим числом ( $q = \frac{b _{n + 1}}{b _{n}}$ ):

1) $\frac{- 14}{7} = - 2$
$\frac{28}{- 14} = - 2$
$- 2 = - 2$
Послідовність є геометричною прогресією ( $q = - 2$ ).

2) $\frac{6}{5} = 1, 2$
$\frac{7}{6} = 1 \frac{1}{6}$
$1, 2 \neq = 1 \frac{1}{6}$
Послідовність не є геометричною прогресією.

3) $\frac{2}{4} = 0, 5$
$\frac{1}{2} = 0, 5$
$0, 5 = 0, 5$
Послідовність є геометричною прогресією ( $q = 0, 5$ ).

4) $\frac{1}{3}$
$\frac{0}{1} = 0$
$\frac{1}{3} \neq = 0$
Послідовність не є геометричною прогресією.

Відповідь: геометричними прогресіями є послідовності 1) та 3).

№ 4. Знайдіть сьомий член і суму дванадцяти перших членів арифметичної прогресії $(a_{n})$ , якщо $a_{1} = 5$ , $a_{2} = 8$ .

Розв’язання:

Знайдемо різницю арифметичної прогресії:
$d = a_{2} - a_{1} = 8 - 5 = 3$

Знайдемо сьомий член прогресії:
$a_{7} = a_{1} + 6 d$
$a_{7} = 5 + 6 \cdot 3 = 5 + 18 = 23$

Знайдемо суму дванадцяти перших членів:
$S_{12} = \frac{2 a _{1} + 11 d}{2} \cdot 12$
$S_{12} = (2 a_{1} + 11 d) \cdot 6$
$S_{12} = (2 \cdot 5 + 11 \cdot 3) \cdot 6$
$S_{12} = (10 + 33) \cdot 6$
$S_{12} = 43 \cdot 6 = 258$

Відповідь: $a_{7} = 23$ ; $S_{12} = 258$ .

№ 5. Знайдіть шостий член і суму восьми перших членів геометричної прогресії $(b_{n})$ , якщо $b_{1} = - 1$ , $q = 2$ .

Розв’язання:

За формулою $n$ -го члена геометричної прогресії:
$b_{n} = b_{1} \cdot q^{n - 1}$
$b_{6} = b_{1} \cdot q^{5}$
$b_{6} = - 1 \cdot 2^{5}$
$b_{6} = - 1 \cdot 32$
$b_{6} = - 32$

За формулою суми перших $n$ членів геометричної прогресії:
$S_{n} = \frac{b _{1} ( q ^{n} - 1 )}{q - 1}$
$S_{8} = \frac{- 1 \cdot ( 2 ^{8} - 1 )}{2 - 1}$
$S_{8} = \frac{- 1 \cdot ( 256 - 1 )}{1}$
$S_{8} = - 1 \cdot 255$
$S_{8} = - 255$

Відповідь: $b_{6} = - 32$ , $S_{8} = - 255$ .

№ 6. Знайдіть суму нескінченної геометричної прогресії: $12$ , $- 6$ , $3$ , …

Розв’язання:
Перший член прогресії:
$b_{1} = 12$

Знайдемо знаменник прогресії:
$q = \frac{b _{2}}{b _{1}} = \frac{- 6}{12} = - 0, 5$

Оскільки $∣ q ∣ = ∣ - 0, 5∣ = 0, 5 < 1$ , дана прогресія є нескінченно спадною геометричною прогресією.

Обчислимо її суму за формулою $S = \frac{b _{1}}{1 - q}$ :
$S = \frac{12}{1 - ( - 0 , 5 )} = \frac{12}{1 + 0 , 5} = \frac{12}{1 , 5} = 8$

Відповідь: 8.

№ 7. Послідовність $(a_{n})$ — арифметична прогресія, $a_{1} = 18, 5$ , $d = - 1, 5$ . Чи є членом цієї прогресії число:
1) $2, 5$ ;
2) $5$ ?

Розв’язання:

За формулою $n$ -го члена арифметичної прогресії:
$a_{n} = a_{1} + (n - 1) d$
$a_{n} = 18, 5 + (n - 1) \cdot (- 1, 5)$
$a_{n} = 18, 5 - 1, 5 n + 1, 5$
$a_{n} = 20 - 1, 5 n$

1) Перевіримо число $2, 5$ :
$20 - 1, 5 n = 2, 5$
$1, 5 n = 20 - 2, 5$
$1, 5 n = 17, 5$
$n = \frac{17 , 5}{1 , 5}$
$n = \frac{175}{15}$
$n = 11 \frac{2}{3} \in / N$

Оскільки $n$ не є натуральним числом, то число $2, 5$ не є членом прогресії.

2) Перевіримо число $5$ :
$20 - 1, 5 n = 5$
$1, 5 n = 20 - 5$
$1, 5 n = 15$
$n = \frac{15}{1 , 5}$
$n = 10 \in N$

Оскільки $n$ — натуральне число, то число $5$ є членом прогресії ( $a_{10} = 5$ ).

Відповідь: 1) ні; 2) так ( $a_{10} = 5$ ).

№ 8. Знайдіть суму всіх натуральних чисел, які кратні числу 6 і не перевищують числа 540.

Розв’язання:
Натуральні числа, кратні числу 6, утворюють арифметичну прогресію $(a_{n})$ , де:
$a_{1} = 6$
$d = 6$
$a_{n} = 6 n$

Знайдемо кількість членів цієї прогресії, які не перевищують 540:
$6 n \leq 540$
$n \leq 90$

Отже, прогресія містить 90 членів, де $a_{90} = 540$ .

Обчислимо суму цих чисел за формулою суми перших $n$ членів арифметичної прогресії:

$S_{90} = \frac{a _{1} + a _{90}}{2} \cdot 90$

$S_{90} = \frac{6 + 540}{2} \cdot 90$

$S_{90} = \frac{546}{2} \cdot 90$

$S_{90} = 273 \cdot 90$

$S_{90} = 24570$

Відповідь: 24570.

№ 9. За яких значень $x$ числа $x - 1$ , $x + 2$ і $5 x + 6$ є послідовними членами геометричної прогресії? Знайдіть ці числа.

Розв’язання:
За властивістю геометричної прогресії квадрат будь-якого її члена, починаючи з другого, дорівнює добутку двох сусідніх з ним членів:
$(x + 2)^{2} = (x - 1) (5 x + 6)$
$x^{2} + 4 x + 4 = 5 x^{2} + 6 x - 5 x - 6$
$x^{2} + 4 x + 4 = 5 x^{2} + x - 6$
$4 x^{2} - 3 x - 10 = 0$
$D = (- 3)^{2} - 4 \cdot 4 \cdot (- 10) = 9 + 160 = 169$

x_{1} = \frac{3 + 13}{2 \cdot 4} = \frac{16}{8} = 2 x_{2} = \frac{3 - 13}{2 \cdot 4} = - \frac{10}{8} = - \frac{5}{4}

1) Якщо $x = 2$ , то:
$x - 1 = 2 - 1 = 1$
$x + 2 = 2 + 2 = 4$
$5 x + 6 = 5 \cdot 2 + 6 = 16$
Отримуємо числа: $1$ ; $4$ ; $16$ .

2) Якщо $x = - \frac{5}{4}$ , то:
$x - 1 = - \frac{5}{4} - 1 = - \frac{9}{4}$
$x + 2 = - \frac{5}{4} + 2 = \frac{3}{4}$
$5 x + 6 = 5 \cdot (- \frac{5}{4}) + 6 = - \frac{25}{4} + \frac{24}{4} = - \frac{1}{4}$
Отримуємо числа: $- \frac{9}{4}$ ; $\frac{3}{4}$ ; $- \frac{1}{4}$ .

Відповідь: при $x = 2$ числа $1$ ; $4$ ; $16$ ; при $x = - \frac{5}{4}$ числа $- \frac{9}{4}$ ; $\frac{3}{4}$ ; $- \frac{1}{4}$ .

№ 10. Вкладниця відкрила в банку депозитний рахунок на 100 000 грн під 10 % річних.
1) Якою буде сума на рахунку через 2 роки?
2) Скільки відсоткових коштів отримає вкладниця за 2 роки?

Розв’язання:

1) За формулою складних відсотків:
$A_{n} = A_{0} (1 + \frac{p}{100})^{n}$

де $A_{0} = 100000 грн$ , $p = 10 %$ , $n = 2 роки$ .

$A_{2} = 100000 \cdot (1 + \frac{10}{100})^{2}$
$A_{2} = 100000 \cdot 1, 1^{2}$
$A_{2} = 100000 \cdot 1, 21$
$A_{2} = 121000 (грн)$

2) Знайдемо відсоткові кошти, отримані за 2 роки:
$121000 - 100000 = 21000 (грн)$

Відповідь: 1) $121000 грн$ ; 2) $21000 грн$ .

№ 11. Знайдіть найбільший член послідовності $y_{n} = - n^{2} + 4 n - 5$ .

Розв’язання:
Послідовність задано формулою $y_{n} = - n^{2} + 4 n - 5$ , де $n \in N$ .

Виділимо повний квадрат у формулі загального члена:
$y_{n} = - (n^{2} - 4 n) - 5$
$y_{n} = - (n^{2} - 4 n + 4 - 4) - 5$
$y_{n} = - (n - 2)^{2} + 4 - 5$
$y_{n} = - (n - 2)^{2} - 1$

Оскільки для будь-якого $n$ виконується нерівність $- (n - 2)^{2} \leq 0$ , то:
$y_{n} \leq - 1$

Найбільшого значення послідовність досягає, коли:
$n - 2 = 0$
$n = 2 \in N$

Обчислимо найбільший член послідовності:
$y_{2} = - (2 - 2)^{2} - 1 = - 1$

Відповідь: -1.

№ 12. Послідовність $(a_{n})$ — арифметична прогресія. Знайдіть $a_{15}$ , якщо $a_{8} + a_{22} = 7$ .

Розв’язання:
За формулою $n$ -го члена арифметичної прогресії:
$a_{n} = a_{1} + d (n - 1)$

Виразимо $a_{8}$ та $a_{22}$ :
$a_{8} = a_{1} + 7 d$
$a_{22} = a_{1} + 21 d$

Запишемо їхню суму:
$a_{8} + a_{22} = (a_{1} + 7 d) + (a_{1} + 21 d)$
$a_{8} + a_{22} = 2 a_{1} + 28 d$
$a_{8} + a_{22} = 2 (a_{1} + 14 d)$

Оскільки за формулою $n$ -го члена $a_{15} = a_{1} + 14 d$ , отримуємо:
$a_{8} + a_{22} = 2 a_{15}$

Підставимо значення суми за умовою:
$2 a_{15} = 7$
$a_{15} = \frac{7}{2}$
$a_{15} = 3, 5$

Відповідь: $3, 5$ .

Завдання для перевірки знань до §§ 15–21

Теги статті:

До уроку