Завдання для перевірки знань до § 12–14

РОЗВ’ЯЖІТЬ ЗАДАЧІ ТА ВИКОНАЙТЕ ВПРАВИ

📋 Швидка навігація по вправах:

№ 1 № 2 № 3 № 4 № 5 № 6 № 7 № 8 № 9 № 10 № 11

№ 1. Які з нерівностей є квадратними:
1) $x^{2} + x^{3} - 3 \geq 0$ ;
2) $x^{2} + 3 x - 3 \geq 0$ ;
3) $4 x - x^{2} < 0$ ;
4) $\frac{1}{4 x - x ^{2}} < 0$ ?

Розв’язання:
Квадратною називають нерівність виду $a x^{2} + b x + c > 0$ (або $< 0$ , $\geq 0$ , $\leq 0$ ), де $x$ — змінна, $a$ , $b$ , $c$ — числа, причому $a \neq = 0$ .

1) $x^{2} + x^{3} - 3 \geq 0$ — не є квадратною, оскільки містить змінну у третьому степені ( $x^{3}$ ).

2) $x^{2} + 3 x - 3 \geq 0$ — є квадратною ( $a = 1$ , $b = 3$ , $c = - 3$ ).

3) $4 x - x^{2} < 0$ — є квадратною ( $- x^{2} + 4 x < 0$ , де $a = - 1$ , $b = 4$ , $c = 0$ ).

4) $\frac{1}{4 x - x ^{2}} < 0$ — не є квадратною, оскільки змінна міститься в знаменнику дробу (дробово-раціональна нерівність).

Відповідь: 2); 3).

№ 2. Які із чисел $- 1$ ; $0$ ; $1$ ; $2$ ; $3$ є розв’язками нерівності $x^{2} - x - 2 \geq 0$ ?

Розв’язання:
Знайдемо нулі функції $f (x) = x^{2} - x - 2$ :
$x^{2} - x - 2 = 0$

За теоремою Вієта:
$x_{1} = - 1$ , $x_{2} = 2$

Вітки параболи напрямлені вгору ( $a = 1 > 0$ ). Розв’язком нерівності $x^{2} - x - 2 \geq 0$ є:
$x \in (- \infty; - 1] \cup [2; + \infty)$

Перевіримо належність заданих чисел цьому об’єднанню проміжків:

При $x = - 1$ : $- 1 \in (- \infty; - 1] \cup [2; + \infty)$ — є розв’язком
При $x = 0$ : $0 \in / (- \infty; - 1] \cup [2; + \infty)$ — не є розв’язком
При $x = 1$ : $1 \in / (- \infty; - 1] \cup [2; + \infty)$ — не є розв’язком
При $x = 2$ : $2 \in (- \infty; - 1] \cup [2; + \infty)$ — є розв’язком
При $x = 3$ : $3 \in (- \infty; - 1] \cup [2; + \infty)$ — є розв’язком

Відповідь: $- 1$ ; $2$ ; $3$ .

№ 3. Чи є розв’язком системи рівнянь

{x + y = 4 x^{2} + y^{2} = 10

пара чисел:
1) $(4; 0)$ ;
2) $(1; 3)$ ?

Розв’язання:

1) Підставимо значення $x = 4$ та $y = 0$ у систему рівнянь:

{4 + 0 = 4 4^{2} + 0^{2} = 10

{4 = 4 16 = 10 — неправильна рівність

Друге рівняння системи не перетворюється на правильну числову рівність, тому пара чисел $(4; 0)$ не є розв’язком системи рівнянь.

2) Підставимо значення $x = 1$ та $y = 3$ у систему рівнянь:

{1 + 3 = 4 1^{2} + 3^{2} = 10

{4 = 4 1 + 9 = 10

{4 = 4 10 = 10 — обидві рівності правильні

Обидва рівняння системи перетворюються на правильні числові рівності, тому пара чисел $(1; 3)$ є розв’язком системи рівнянь.

Відповідь: 1) ні; 2) так.

№ 4. Розв’яжіть нерівність:

1) $x^{2} - 3 x < 0$ ;

2) $x^{2} - 7 x - 30 \geq 0$ .

Розв’язання:

1) Знайдемо нулі функції $y = x^{2} - 3 x$ :
$x^{2} - 3 x = 0$
$x (x - 3) = 0$
$x_{1} = 0$ , $x_{2} = 3$

Вітки параболи $y = x^{2} - 3 x$ напрямлені вгору ( $a = 1 > 0$ ).
Нерівність $x^{2} - 3 x < 0$ виконується для значень $x$ , де парабола лежить нижче від осі $O x$ .

Графік до вправи № 4 (рис. 1) - Алгебра 9 клас

$x \in (0; 3)$

2) Знайдемо нулі функції $y = x^{2} - 7 x - 30$ :
$x^{2} - 7 x - 30 = 0$
За теоремою Вієта:
$x_{1} = - 3$ , $x_{2} = 10$

Вітки параболи $y = x^{2} - 7 x - 30$ напрямлені вгору ( $a = 1 > 0$ ).
Нерівність $x^{2} - 7 x - 30 \geq 0$ виконується для значень $x$ , де парабола лежить вище від осі $O x$ або перетинає її.

Графік до вправи № 4 (рис. 2) - Алгебра 9 клас

$x \in (- \infty; - 3] \cup [10; + \infty)$

Відповідь: 1) $x \in (0; 3)$ ; 2) $x \in (- \infty; - 3] \cup [10; + \infty)$ .

№ 5. Розв’яжіть систему рівнянь:

${x - y = 1 x^{2} + y^{2} = 25$

Розв’язання:

Розв’яжемо систему графічно.

1) Графіком рівняння $x^{2} + y^{2} = 25$ є коло із центром у початку координат $O (0; 0)$ і радіусом $R = 25 = 5$ .

2) Виразимо змінну $y$ з першого рівняння:
$x - y = 1$
$y = x - 1$

Графіком функції $y = x - 1$ є пряма. Складемо таблицю значень:

$x$	$0$	$4$
$y$	$- 1$	$3$

Побудуємо коло та пряму в одній системі координат:

Графіки перетинаються у двох точках із координатами $(4; 3)$ та $(- 3; - 4)$ .

Перевірка:

1) Для точки $(4; 3)$ :
$4 - 3 = 1$ — правильно;
$4^{2} + 3^{2} = 16 + 9 = 25$ — правильно.

2) Для точки $(- 3; - 4)$ :
$- 3 - (- 4) = - 3 + 4 = 1$ — правильно;
$(- 3)^{2} + (- 4)^{2} = 9 + 16 = 25$ — правильно.

Відповідь: $(4; 3); (- 3; - 4)$ .

№ 6. Периметр прямокутника дорівнює $24 см$ , а його площа — $35 см^{2}$ . Знайдіть сторони прямокутника.

Дано:

$P = 24 см$
$S = 35 см^{2}$

Знайти:

сторони прямокутника

Розв’язання:
Нехай сторони прямокутника дорівнюють $x см$ та $y см$ ( $x > 0$ , $y > 0$ ).

Периметр прямокутника дорівнює $2 (x + y) = 24 см$ , а його площа — $x \cdot y = 35 см^{2}$ .

Складемо та розв’яжемо систему рівнянь:

{2 (x + y) = 24 x \cdot y = 35

{x + y = 12 x \cdot y = 35

{y = 12 - x x (12 - x) = 35

Розв’яжемо друге рівняння системи:

$12 x - x^{2} = 35$

$x^{2} - 12 x + 35 = 0$

За теоремою Вієта:
$x_{1} = 5$ , $x_{2} = 7$

Знайдемо відповідні значення $y$ :

1) Якщо $x = 5$ , то $y = 12 - 5 = 7$ ;

2) Якщо $x = 7$ , то $y = 12 - 7 = 5$ .

В обох випадках сторони прямокутника дорівнюють $5 см$ і $7 см$ .

Відповідь: $5 см$ і $7 см$ .

№ 7. Знайдіть область визначення функції $y = \frac{8 - x ^{2} + 2 x}{x - 1}$ .

Розв’язання:
Область визначення функції задається системою нерівностей:

{8 - x^{2} + 2 x \geq 0 x - 1 \neq = 0

Розв’яжемо першу нерівність системи:
$- x^{2} + 2 x + 8 \geq 0$
$x^{2} - 2 x - 8 \leq 0$

Знайдемо нулі функції:
$x^{2} - 2 x - 8 = 0$
За теоремою Вієта:
$x_{1} = 4$ , $x_{2} = - 2$

Отже, розв’язком квадратної нерівності є:
$x \in [- 2; 4]$

З другої умови системи маємо:
$x \neq = 1$

Знайдемо переріз отриманих проміжків:

$x \in [- 2; 1) \cup (1; 4]$

Відповідь: $[- 2; 1) \cup (1; 4]$ .

№ 8. Із двох пунктів, відстань між якими 24 км, вирушили одночасно назустріч одне одному велосипедистка і пішохід та зустрілися через 2 год. Знайдіть швидкість кожного з них, якщо велосипедистка витратила на весь шлях на 3 год менше, ніж пішохід.

Розв’язання:
Нехай швидкість велосипедистки дорівнює $x км / год$ , а швидкість пішохода — $y км / год$ ( $x > 0$ , $y > 0$ ).

Оскільки вони рухалися назустріч одне одному й зустрілися через $2 год$ , разом вони подолали $24 км$ :
$2 x + 2 y = 24$
$x + y = 12$
$x = 12 - y$

Час, витрачений велосипедисткою на весь шлях, становить $\frac{24}{x} год$ , а пішоходом — $\frac{24}{y} год$ .

Оскільки велосипедистка витратила на весь шлях на $3 год$ менше, ніж пішохід, маємо рівняння:
$\frac{24}{y} - \frac{24}{x} = 3$

Складемо систему рівнянь:

⎩ ⎨ ⎧ x = 12 - y \frac{24}{y} - \frac{24}{x} = 3

Підставимо вираз для $x$ у друге рівняння:
$\frac{24}{y} - \frac{24}{12 - y} = 3$

Поділимо обидві частини рівняння на $3$ :
$\frac{8}{y} - \frac{8}{12 - y} = 1$

Помножимо обидві частини рівняння на $y (12 - y) \neq = 0$ :
$8 (12 - y) - 8 y = y (12 - y)$
$96 - 8 y - 8 y = 12 y - y^{2}$
$96 - 16 y = 12 y - y^{2}$
$y^{2} - 28 y + 96 = 0$

За теоремою Вієта:
$y_{1} = 4$ , $y_{2} = 24$

Якщо $y = 24$ , то:
$x = 12 - 24 = - 12 < 0$ (не задовольняє умову задачі).

Якщо $y = 4$ , то:
$x = 12 - 4 = 8$

Отже, швидкість велосипедистки дорівнює $8 км / год$ , а швидкість пішохода — $4 км / год$ .

Відповідь: $8 км / год$ , $4 км / год$ .

№ 9. Розв’яжіть систему рівнянь:
${3 x y - x = 5 3 x y - y = 4$

Розв’язання:
Віднімемо від першого рівняння системи друге:
$(3 x y - x) - (3 x y - y) = 5 - 4$
$3 x y - x - 3 x y + y = 1$
$- x + y = 1$
$y = x + 1$

Підставимо вираз $y = x + 1$ у друге рівняння системи:
$3 x (x + 1) - (x + 1) = 4$
$3 x^{2} + 3 x - x - 1 - 4 = 0$
$3 x^{2} + 2 x - 5 = 0$

Знайдемо дискримінант та корені квадратного рівняння:
$D = 2^{2} - 4 \cdot 3 \cdot (- 5) = 4 + 60 = 64$
$x_{1} = \frac{- 2 + 8}{2 \cdot 3} = \frac{6}{6} = 1$
$x_{2} = \frac{- 2 - 8}{2 \cdot 3} = \frac{- 10}{6} = - \frac{5}{3} = - 1 \frac{2}{3}$

Знайдемо відповідні значення $y$ :
Якщо $x_{1} = 1$ , то:
$y_{1} = 1 + 1 = 2$

Якщо $x_{2} = - \frac{5}{3}$ , то:
$y_{2} = - \frac{5}{3} + 1 = - \frac{2}{3}$

Відповідь: $(1; 2)$ , $(- 1 \frac{2}{3}; - \frac{2}{3})$ .

№ 10. Знайдіть, за яких значень $a$ не має коренів рівняння $x^{2} + (a - 3) x + 4 = 0$ .

Розв’язання:
Квадратне рівняння не має коренів тоді й тільки тоді, коли його дискримінант від’ємний ( $D < 0$ ).

$D = (a - 3)^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 4$
$D = a^{2} - 6 a + 9 - 16$
$D = a^{2} - 6 a - 7$

Складемо нерівність:
$a^{2} - 6 a - 7 < 0$

Знайдемо нулі функції $f (a) = a^{2} - 6 a - 7$ :
$a^{2} - 6 a - 7 = 0$

За теоремою Вієта:
$a_{1} = - 1$ , $a_{2} = 7$

Оскільки коефіцієнт при $a^{2}$ додатний ( $1 > 0$ ), вітки параболи напрямлені вгору, отже, вираз набуває від’ємних значень на проміжку між його нулями:

$a \in (- 1; 7), тобто - 1 < a < 7$

Відповідь: $- 1 < a < 7$ .

№ 11. Два робітники, працюючи разом, можуть виконати завдання за 12 год. За скільки годин може виконати завдання кожен робітник, працюючи окремо, якщо одному з них для виконання чверті завдання потрібно на 5 год менше, ніж другому для виконання третини завдання?

Розв’язання:

Нехай перший робітник, працюючи окремо, може виконати завдання за $x год$ , а другий — за $y год$ , де $x > 0$ , $y > 0$ .

За $1 год$ перший робітник виконує $\frac{1}{x}$ частину завдання, другий — $\frac{1}{y}$ частину завдання, а разом за $1 год$ вони виконують $\frac{1}{12}$ частину завдання. Маємо рівняння:
$\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{1}{12}$

Для виконання чверті завдання першому робітникові потрібно $\frac{x}{4} год$ , а другому для виконання третини завдання — $\frac{y}{3} год$ . Оскільки першому потрібно на $5 год$ менше, ніж другому, маємо друге рівняння:
$\frac{y}{3} - \frac{x}{4} = 5$

Складемо та розв’яжемо систему рівнянь:
$⎩ ⎨ ⎧ \frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{1}{12} \frac{y}{3} - \frac{x}{4} = 5$

Помножимо обидві частини другого рівняння на 12:
$4 y - 3 x = 60$
$3 x = 4 y - 60$
$x = \frac{4 y - 60}{3}$

Підставимо вираз для $x$ у перше рівняння:
$\frac{1}{\frac{4 y - 60}{3}} + \frac{1}{y} = \frac{1}{12}$
$\frac{3}{4 y - 60} + \frac{1}{y} = \frac{1}{12}$

Помножимо обидві частини рівняння на $12 y (4 y - 60) \neq = 0$ :
$36 y + 12 (4 y - 60) = y (4 y - 60)$
$36 y + 48 y - 720 = 4 y^{2} - 60 y$
$84 y - 720 = 4 y^{2} - 60 y$
$4 y^{2} - 144 y + 720 = 0$

Поділимо обидві частини рівняння на 4:
$y^{2} - 36 y + 180 = 0$

За теоремою Вієта:
$y_{1} = 30$ , $y_{2} = 6$

Знайдемо відповідні значення $x$ :

1) Якщо $y = 30$ , то:
$x = \frac{4 \cdot 30 - 60}{3} = \frac{60}{3} = 20 > 0$

2) Якщо $y = 6$ , то:
$x = \frac{4 \cdot 6 - 60}{3} = \frac{24 - 60}{3} = - 12 < 0$ — не задовольняє умову задачі ( $x > 0$ ).

Отже, перший робітник може виконати завдання за $20 год$ , а другий — за $30 год$ .

Відповідь: $20 год$ і $30 год$ .

Завдання для перевірки знань до § 12–14

Теги статті:

До уроку