РОЗВ’ЯЖІТЬ ЗАДАЧІ ТА ВИКОНАЙТЕ ВПРАВИ
№ 1. Доведіть нерівність:
1) ;
2) .
Розв’язання:
1) Розглянемо різницю лівої та правої частин нерівності:
Оскільки при будь-яких значеннях та , то:
.
2) Розглянемо різницю лівої та правої частин нерівності:
Оскільки , то при будь-яких значеннях та .
Отже:
.
Відповідь: нерівності 1), 2) доведено.
№ 2. Доведіть нерівність:
1) ;
2) .
Розв’язання:
1) Оскільки , розглянемо різницю лівої та правої частин нерівності:
Оскільки квадрат будь-якого виразу є невід’ємним, то .
Звідси:
.
2) Перетворимо різницю лівої та правої частин, виділивши повний квадрат і врахувавши, що :
Оскільки при будь-яких дійсних значеннях , то:
.
Відповідь: нерівності 1), 2) доведено.
№ 3. Доведіть, що для невід’ємних значень змінних та справджується нерівність:
1) ;
2) .
Розв’язання:
1) Знайдемо різницю лівої та правої частин нерівності за умови , :
Оскільки та , то .
Також для будь-яких і .
Добуток невід’ємних чисел є невід’ємним: .
Отже:
.
2) Знайдемо різницю лівої та правої частин нерівності за умови , :
Оскільки та , то .
Квадрат різниці .
Тоді добуток , а при множенні на від’ємне число маємо:
.
Отже:
.
Відповідь: нерівності 1), 2) доведено.
№ 4. Доведіть, що коли , то:
1) ;
2) .
Розв’язання:
1) Знайдемо різницю лівої та правої частин нерівності за умови :
За умовою , тому .
Сума квадратів для будь-яких дійсних чисел.
Добуток двох невід’ємних виразів є невід’ємним: .
Отже:
.
2) Знайдемо різницю лівої та правої частин нерівності за умови :
Оскільки , різниця .
Сума парних степенів для будь-яких і .
Тоді добуток .
Отже:
.
Відповідь: нерівності 1), 2) доведено.
№ 5. Доведіть, що, коли , , , , справджується нерівність .
Розв’язання:
Оскільки , , , , обидві частини нерівності мають зміст і є невід’ємними:
Порівняємо квадрати обох частин нерівності, розглянувши їхню різницю:
Оскільки для будь-яких невід’ємних значень , , та , то:
Оскільки обидві частини нерівності є невід’ємними, з нерівності їхніх квадратів випливає нерівність самих виразів:
.
Відповідь: нерівність доведено.
№ 6. Доведіть, що:
1) ;
2) .
Розв’язання:
1) Оцінимо значення виразу, починаючи з найглибшого кореня:
Додамо до обох частин нерівності:
Добудемо арифметичний квадратний корінь:
Знову додамо :
Продовжуючи аналогічні дії для довільної скінченної кількості радикалів, на кожному кроці отримуємо підкореневий вираз, менший від , звідки:
Нерівність доведено.
2) Оцінимо значення виразу послідовно з внутрішнього кореня:
Додамо до обох частин нерівності:
Добудемо арифметичний квадратний корінь:
Знову додамо :
Продовжуючи аналогічні дії для довільної скінченної кількості радикалів, на кожному кроці підкореневий вираз є меншим від , звідки:
Нерівність доведено.
Відповідь: нерівності 1), 2) доведено.
№ 7. Доведіть нерівність:
Розв’язання:
Нехай:
Розглянемо добуток:
Доведемо, що для будь-якого натурального числа виконується нерівність .
Знайдемо різницю лівої та правої частин:
Отже, для всіх .
Застосуємо цю нерівність для відповідних множників:
Перемножимо почленно ці нерівності з додатними членами:
Помножимо обидві частини нерівності на :
Обчислимо добуток :
Підставимо отримане значення:
Оскільки :
Нерівність доведено.
Відповідь: нерівність доведено.
№ 8. Відсоток учнів 9-го класу, які володіють трьома іноземними мовами (англійською, французькою і німецькою), лежить у межах від до %. Визначте, яка найменша кількість учнів цього класу може володіти трьома іноземними мовами?
Розв’язання:
Нехай — загальна кількість учнів у класі (), а — кількість учнів цього класу, які володіють трьома іноземними мовами (, ).
Частка учнів, які володіють трьома мовами, у відсотках становить .
За умовою задачі:
Оскільки відсоток строго більший за нуль, кількість учнів . Перевіримо, чи може найменша кількість учнів дорівнювати :
Оскільки , у цьому проміжку є натуральні значення:
або
Отже, умова задачі виконується при (зокрема, за найменшої кількості учнів у класі ).
Відповідь: 1 учень (при найменшій кількості учнів у класі — 33).
№ 9. Чи правильно, що:
1) коли , то ;
2) коли , то ;
3) коли , то ;
4) коли , то ?
Розв’язання:
1) Ні.
Якщо , то при будь-якому значенні .
Наприклад, при і маємо (правильна нерівність), проте .
Також при виконується , але не є строго меншим від нуля.
2) Так.
Оскільки дріб , то та .
При чисельник .
Дріб із додатним чисельником є додатним тоді й тільки тоді, коли знаменник є додатним, тобто .
3) Так.
Оскільки , то та .
При перший множник .
Добуток двох множників є додатним тоді й тільки тоді, коли вони мають однакові знаки. Оскільки , то й .
4) Так.
Оскільки дріб , то та .
При чисельник .
Дріб із додатним чисельником є від’ємним тоді й тільки тоді, коли його знаменник є від’ємним, тобто .
Відповідь: 1) ні; 2) так; 3) так; 4) так.
№ 10. Між числами і знайдіть число, що дорівнює квадрату раціонального числа. Скільки існує таких чисел?
Розв’язання:
Подамо задані дроби зі знаменником, що є точним квадратом:
Знайдемо число, чисельник якого є точним квадратом натурального числа в інтервалі від 112 до 140:
Отримаємо:
Таким числом є .
Оскільки числовий проміжок містить нескінченну кількість раціональних чисел, то й квадратів раціональних чисел між числами і існує безліч.
Відповідь: наприклад, ; безліч.
№ 11. Який дріб ближчий до одиниці: правильний чи обернений йому?
Розв’язання:
Нехай — правильний додатний дріб, тобто .
Тоді обернений до нього дріб є неправильним, причому .
Знайдемо відстань від правильного дробу до одиниці:
Знайдемо відстань від оберненого дробу до одиниці:
Порівняємо знайдені відстані, обчисливши їхню різницю:
Оскільки , то , та .
Звідси:
Отже, відстань від правильного дробу до одиниці є меншою, тобто правильний дріб ближчий до одиниці.
Відповідь: правильний.
№ 12. Розв’яжіть рівняння з трьома змінними:
Розв’язання:
Область допустимих значень:
Для будь-якого за нерівністю Коші про середнє арифметичне та середнє геометричне:
Рівність досягається тоді й лише тоді, коли , тобто .
Оцінимо кожен доданок у лівій частині рівняння:
Додавши ці нерівності, маємо:
Рівність досягається тоді й тільки тоді, коли кожен доданок одночасно дорівнює 2:
Відповідь: , , .
№ 13. Доведіть нерівність:
Розв’язання:
Оскільки , , , застосуємо нерівність Коші між середнім арифметичним і середнім геометричним для кожного множника:
Оскільки обидві частини кожної нерівності додатні, перемножимо їх почленно:
Нерівність доведено.
Відповідь: нерівність доведено.
№ 14. Відомо, що . Знайдіть найменше значення виразу:
1) ;
2) .
Розв’язання:
1) За нерівністю Коші для :
Рівність досягається, коли , тобто , звідки ().
Отже, найменше значення виразу дорівнює 4.
2) Поділимо чисельник почленно на знаменник:
За нерівністю Коші для :
Додамо 15 до обох частин:
Рівність досягається, коли , тобто , звідки ().
Отже, найменше значення виразу дорівнює 27.
Відповідь: 1) 4; 2) 27.
№ 15. Відомо, що . Знайдіть найбільше значення виразу:
1) ;
2) .
Розв’язання:
1) Поділимо чисельник і знаменник на ():
Дріб із постійним додатним чисельником набуває найбільшого значення, коли його знаменник набуває найменшого значення.
За нерівністю Коші для :
Рівність досягається при , тобто , ().
Тоді:
Отже, найбільше значення виразу дорівнює .
2) Поділимо чисельник і знаменник на ():
За нерівністю Коші для додатних доданків та :
Рівність досягається при , тобто , звідки ().
Тоді:
Отже, найбільше значення виразу дорівнює .
Відповідь: 1) ; 2) .
№ 16. Доведіть, що коли і , , , то .
Розв’язання:
Піднесемо суму до квадрата:
За нерівністю Коші між середнім арифметичним і середнім геометричним для невід’ємних чисел маємо:
Додамо ці нерівності почленно:
Оскільки за умовою , отримуємо:
Тоді:
Звідси:
Оскільки , маємо:
Відповідь: нерівність доведено.
№ 17. Знайдіть область визначення функції .
Розв’язання:
Область визначення функції визначається умовою невід’ємності підкореневого виразу:
Розкриємо дужки:
Поділимо обидві частини нерівності на число , змінивши знак нерівності на протилежний:
Позбудемося ірраціональності в знаменнику дробу:
Отже, .
Відповідь: .
№ 18. Для всіх значень параметра розв’яжіть нерівність:
1) ;
2) .
Розв’язання:
1) Розкриємо дужки:
Розглянемо випадки для коефіцієнта при змінній :
- якщо , тобто :
- якщо , тобто :
- якщо , тобто :
Нерівність є правильною при будь-якому дійсному значенні , тобто — будь-яке число.
2) Розкриємо дужки:
Розглянемо випадки для коефіцієнта при змінній :
- якщо , тобто :
- якщо , тобто :
- якщо , тобто :
Нерівність не має розв’язків ().
Відповідь:
1) якщо , то ; якщо , то ; якщо , то — будь-яке число;
2) якщо , то ; якщо , то ; якщо , то розв’язків немає.
№ 19. Чи існує таке значення , щоб розв’язком системи
був проміжок: 1) ; 2) ; 3) ; 4) ?
Розв’язання:
Розв’язком системи є перетин числових проміжків та .
1) Для проміжку :
Нерівність обмежує розв’язки зверху числом . Отримати більшу верхню межу неможливо.
Отже, такого значення не існує.
2) Для проміжку :
Якщо , система набуває вигляду:
Спільним розв’язком є проміжок .
Отже, таке значення існує: .
3) Для проміжку :
Якщо , то проміжок повністю міститься всередині проміжка .
Спільним розв’язком є проміжок .
Отже, таке значення існує: будь-яке число .
4) Для проміжку :
Якщо , система набуває вигляду:
Оскільки , спільним розв’язком є проміжок .
Отже, таке значення існує: .
Відповідь: 1) ні; 2) так, при ; 3) так, при ; 4) так, при .
№ 20. Доведіть, що графік функції за будь-яких значень і має з віссю хоча б одну спільну точку.
Розв’язання:
Спільні точки графіка даної функції з віссю абсцис () визначаються рівнянням :
Розкриємо дужки та зведемо рівняння до стандартного вигляду квадратного рівняння:
Знайдемо дискримінант отриманого квадратного рівняння:
Оскільки та для будь-яких дійсних значень , і , то їх сума завжди невід’ємна:
Оскільки дискримінант при будь-яких дійсних , квадратне рівняння завжди має хоча б один дійсний корінь (два корені, якщо , або один корінь, якщо ).
Отже, графік функції за будь-яких значень і має з віссю хоча б одну спільну точку.
Відповідь: твердження доведено.
№ 21. Побудуйте графік функції:
1) ;
2) .
Розв’язання:
1) Спростимо формулу функції, застосувавши формулу різниці квадратів:
Графіком функції є парабола з вершиною в точці , вітки якої напрямлені вниз.
Таблиця опорних точок:
2) Винесемо спільний множник за дужки:
Графіком функції є парабола, вітки якої напрямлені вгору.
Координати вершини:
Вершина: .
Таблиця опорних точок:
Відповідь: графіки побудовано.
№ 22. Побудуйте графік функції:
1) ;
2) .
Розв’язання:
1) Знайдемо область визначення функції:
Спростимо вираз для :
Графіком є частина параболи для з виколотою точкою .
Вершина параболи: .
Таблиця опорних точок:
| (вик.) | |||||
|---|---|---|---|---|---|
2) Знайдемо область визначення функції:
Спростимо вираз для :
Графіком є частина параболи для з початком у вершині .
Таблиця опорних точок:
Відповідь: графіки побудовано.
№ 23. Віссю симетрії графіка функції є пряма . Побудуйте графік цієї функції.
Розв’язання:
Абсциса вершини параболи є віссю симетрії графіка:
За умовою , де :
Підставимо значення у формулу функції:
Виділимо повний квадрат:
Вершина параболи — точка , вітки напрямлені вгору.
Таблиця опорних точок:
Відповідь: ; графік побудовано.
№ 24. За якого значення множина значень функції збігається з областю визначення функції ?
Розв’язання:
1) Знайдемо множину значень функції .
Виділимо повний квадрат:
Оскільки при будь-якому , найменше значення функції дорівнює .
Множина значень функції:
2) Знайдемо область визначення функції :
Область визначення функції:
3) За умовою збігається з , отже:
Відповідь: .
№ 25. Побудуйте графік функції:
1) ;
2) .
Розв’язання:
1) Будуємо графік функції поетапно шляхом геометричних перетворень:
Етап 1. Будуємо графік параболи з вершиною та нулями .
Етап 2. Будуємо графік : частину графіка , що лежить нижче осі , симетрично відображаємо вгору відносно осі .
Етап 3. Будуємо графік : зміщуємо графік на 3 одиниці вниз уздовж осі .
Етап 4. Будуємо графік : частину графіка , що лежить нижче осі , симетрично відображаємо вгору відносно осі .
2) Знайдемо область визначення функції :
Функція є парною:
Графік симетричний відносно осі .
Для ():
Графіком є гіпербола з асимптотами та .
Таблиця опорних точок для ():
Для отримання повного графіка симетрично відображаємо побудовану частину відносно осі для ().
Відповідь: графіки побудовано.
№ 26. Доведіть, що нерівність рівносильна нерівності , а нерівність рівносильна нерівності .
Розв’язання:
1) Дріб тоді і тільки тоді, коли його чисельник і знаменник мають протилежні знаки. Це рівносильно сукупності двох систем:
Добуток є від’ємним тоді і тільки тоді, коли співмножники мають протилежні знаки, що задається тією самою сукупністю систем:
Оскільки обидві нерівності рівносильні одній і тій самій сукупності систем, вони мають однакові множини розв’язків, а отже, є рівносильними.
2) Дріб тоді і тільки тоді, коли його чисельник і знаменник мають однакові знаки. Це рівносильно сукупності двох систем:
Добуток є додатним тоді і тільки тоді, коли співмножники мають однакові знаки, що задається тією самою сукупністю систем:
Оскільки обидві нерівності рівносильні одній і тій самій сукупності систем, вони мають однакові множини розв’язків, а отже, є рівносильними.
Відповідь: рівносильність нерівностей доведено.
№ 27. Використовуючи результати попередньої задачі, розв’яжіть нерівність:
1) ;
2) ;
3) ;
4) .
Розв’язання:
1) Оскільки знак дробу збігається зі знаком добутку , нерівність рівносильна такій:
2) Оскільки знак дробу збігається зі знаком добутку , нерівність рівносильна такій:
3) Оскільки знак дробу збігається зі знаком добутку , нерівність рівносильна такій:
4) Оскільки знак дробу збігається зі знаком добутку , нерівність рівносильна такій:
Відповідь: 1) ; 2) ; 3) ; 4) .
№ 28. Розв’яжіть нерівність:
1) ;
2) ;
3) ;
4) .
Розв’язання:
1) Нерівність рівносильна сукупності нерівностей:
Розв’яжемо першу нерівність сукупності:
Розв’яжемо другу нерівність сукупності:
Оскільки коефіцієнт при дорівнює і , то вираз для всіх .
Отже, нерівність не має розв’язків ().
Об’єднаємо отримані розв’язки:
.
2) Нерівність рівносильна системі нерівностей:
Розв’яжемо першу нерівність системи:
Розв’яжемо другу нерівність системи:
Оскільки старший коефіцієнт і , нерівність виконується для всіх .
Знайдемо перетин розв’язків системи:
.
3) Нерівність рівносильна системі нерівностей:
Розв’яжемо першу нерівність системи:
Знайдемо корені квадратного тричлена :
Розв’яжемо другу нерівність системи:
Знайдемо корені квадратного тричлена :
Знайдемо спільну частину отриманих проміжків:
.
4) Нерівність рівносильна сукупності нерівностей:
Розв’яжемо першу нерівність сукупності:
Розв’яжемо другу нерівність сукупності:
Знайдемо корені квадратного тричлена :
Оскільки вітки параболи напрямлені вгору ():
Об’єднаємо розв’язки сукупності:
.
Відповідь:
1) ;
2) ;
3) ;
4) .
№ 29. Знайдіть розв’язки нерівності:
Розв’язання:
Перетворимо вираз у дужках:
Нехай . Отримаємо нерівність відносно :
Повернемося до заміни та складемо систему нерівностей:
Розв’яжемо кожну нерівність системи:
1) Нерівність виконується при всіх , оскільки для будь-якого дійсного , отже, .
2) Знайдемо розв’язки другої нерівності:
Спільним розв’язком системи є переріз розв’язків обох нерівностей:
Відповідь: .
№ 30. За яких значень областю визначення функції є множина всіх чисел?
Розв’язання:
Областю визначення функції є множина всіх чисел, якщо нерівність
виконується для всіх .
1) Розглянемо випадок, коли , тобто :
Нерівність виконується не для всіх , отже, значення не задовольняє умову.
2) Розглянемо випадок, коли :
Квадратична нерівність виконується для всіх , якщо коефіцієнт при є додатним, а дискримінант — недодатним:
Знайдемо дискримінант:
Розв’яжемо систему:
Поділимо другу нерівність на , змінивши знак нерівності на протилежний:
Розкладемо ліву частину другої нерівності на множники:
Знайдемо переріз розв’язків на числовій прямій:
Відповідь: .
№ 31. За яких значень квадратний тричлен набуває від’ємних значень для будь-яких значень ?
Розв’язання:
Квадратний тричлен набуває від’ємних значень для будь-якого дійсного значення , якщо вітки відповідної параболи напрямлені вниз (коефіцієнт при від’ємний) і тричлен не має коренів (дискримінант від’ємний):
Знайдемо дискримінант:
Розв’яжемо систему нерівностей:
Відповідь: .
№ 32. За яких значень нерівність справджується для всіх значень ?
Розв’язання:
Дослідимо знаменник дробу :
Оскільки коефіцієнт при додатний і , то знаменник для всіх .
Помножимо обидві частини нерівності на додатний вираз :
Нерівність виконується для всіх , якщо коефіцієнт при додатний () та дискримінант від’ємний ():
Відповідь: .
№ 33. За яких значень подвійна нерівність справджується для будь-якого значення ?
Розв’язання:
Розглянемо знаменник дробу :
Отже, для всіх .
Помножимо всі частини подвійної нерівності на :
Запишемо подвійну нерівність у вигляді системи:
Обидві нерівності виконуються для будь-якого , якщо коефіцієнти при додатні (, ) та дискримінанти обох квадратних тричленів від’ємні:
Знайдемо перетин числових проміжків:
Відповідь: .
№ 34. Скільки розв’язків має система рівнянь залежно від значень :
1)
2)
Розв’язання:
1) З другого рівняння виразимо :
Підставимо у перше рівняння системи:
Кількість розв’язків системи визначається знаком дискримінанта отриманого квадратного рівняння:
Дослідимо кількість коренів:
-
якщо , тобто :
система не має розв’язків; -
якщо , тобто :
система має один розв’язок; -
якщо , тобто :
система має два розв’язки.
2) Перше рівняння описує коло з центром у початку координат і радіусом (при — точку ).
Друге рівняння рівносильне сукупності двох вертикальних прямих:
Ці прямі розташовані на відстані 2 одиниці від осі ординат.
Дослідимо геометрично кількість спільних точок кола та пари прямих залежно від радіуса :
- якщо , то коло не перетинає прямі та , система не має розв’язків;
- якщо , то коло дотикається до обох прямих у точках і , система має два розв’язки;
- якщо , то коло перетинає кожну з двох прямих у двох точках, система має чотири розв’язки.
Відповідь:
1) якщо — розв’язків немає; якщо — один розв’язок; якщо — два розв’язки;
2) якщо — розв’язків немає; якщо — два розв’язки; якщо — чотири розв’язки.
№ 35. Розв’яжіть систему рівнянь
Розв’язання:
Оскільки , то з другого рівняння випливає обмеження на :
Підставимо вираз у перше рівняння системи:
Враховуючи, що , вираз під модулем , тому :
Значення задовольняє умову .
Підставимо у друге рівняння системи:
Отримуємо дві пари розв’язків :
та
Відповідь: , .
№ 36. Розв’яжіть систему рівнянь:
Розв’язання:
Помножимо обидві частини першого рівняння системи на :
Віднімемо від першого рівняння друге:
Підставимо отриманий вираз у перше рівняння початкової системи:
Помножимо обидві частини рівняння на :
Знайдемо дискримінант квадратного рівняння:
Обчислимо корені:
Знайдемо відповідні значення :
Відповідь: , .
№ 37. Розв’яжіть систему рівнянь:
1)
2)
Розв’язання:
1) Заміна змінних:
Виразимо суму квадратів:
Перетворимо друге рівняння:
Підставимо :
За теоремою Вієта: , .
Маємо дві системи:
а)
За теоремою, оберненою до теореми Вієта, та є коренями рівняння:
Дійсних коренів немає.
б)
За теоремою, оберненою до теореми Вієта, та є коренями рівняння:
Дійсних коренів немає.
Перша система розв’язків не має.
2) Згрупуємо доданки у другому рівнянні:
Заміна змінних:
Виразимо суму квадратів:
Підставимо у друге рівняння:
Оскільки :
За теоремою Вієта: , .
Маємо дві системи:
а)
За теоремою Вієта: , .
Якщо :
Якщо :
Отримуємо пари розв’язків: , .
б)
Дійсних коренів немає.
Відповідь: 1) розв’язків немає; 2) , .
№ 38. Знайдіть усі розв’язки системи рівнянь:
1)
2)
Розв’язання:
1) Розкладемо ліву частину першого рівняння на множники за формулою суми кубів:
Підставимо вираз для у перше рівняння:
За теоремою Вієта:
Знайдемо відповідні значення :
Якщо , то .
Якщо , то .
Розв’язками системи є пари чисел: та .
2) Розкладемо ліву частину другого рівняння на множники за формулою різниці кубів:
Підставимо вираз для у друге рівняння:
За теоремою Вієта:
Знайдемо відповідні значення :
Якщо , то .
Якщо , то .
Розв’язками системи є пари чисел: та .
Відповідь: 1) , ; 2) , .
№ 39. Розв’яжіть систему рівнянь:
Розв’язання:
З першого рівняння системи виразимо змінну :
Підставимо отриманий вираз у друге рівняння системи:
Розкриємо дужки за формулою квадрата різниці:
Помножимо обидві частини рівняння на :
Виділимо повні квадрати для змінних та :
Оскільки та для будь-яких дійсних значень та , то сума двох невід’ємних доданків дорівнює нулю тоді й лише тоді, коли кожен із доданків одночасно дорівнює нулю:
Знайдемо значення :
Отже, система рівнянь має єдиний розв’язок: .
Відповідь: .
№ 40. Знайдіть усі розв’язки системи рівнянь:
1)
2)
Розв’язання:
1) Перетворимо ліву частину другого рівняння системи, виділивши повний квадрат:
Отримуємо систему:
Застосуємо метод заміни змінних. Нехай , :
З першого рівняння виразимо :
Підставимо у друге рівняння:
За теоремою Вієта:
Знайдемо відповідні значення :
Повернемося до змінних і :
а)
За теоремою, оберненою до теореми Вієта, і є коренями рівняння:
Рівняння не має дійсних коренів, отже, система розв’язків не має.
б)
За теоремою, оберненою до теореми Вієта, і є коренями рівняння:
Звідси отримуємо розв’язки системи: , .
2) Виділимо повний квадрат у першому рівнянні системи:
Отримуємо систему:
Нехай , :
З другого рівняння виразимо :
Підставимо у перше рівняння:
За теоремою Вієта:
Знайдемо відповідні значення :
Повернемося до змінних і :
а)
За теоремою, оберненою до теореми Вієта, і є коренями рівняння:
Рівняння не має дійсних коренів, отже, система розв’язків не має.
б)
За теоремою, оберненою до теореми Вієта, і є коренями рівняння:
,
Звідси отримуємо розв’язки системи: , .
Відповідь: 1) , ; 2) , .
№ 41. Розв’яжіть систему рівнянь:
1)
2)
Розв’язання:
1) ОДЗ: , , .
Нехай , , тоді .
Отримуємо систему відносно і :
З другого рівняння виразимо :
Підставимо у перше рівняння:
Розглянемо два випадки:
а) Якщо , то :
Якщо , то ; якщо , то .
Отримуємо пари: , .
б) Якщо , то :
Отримуємо пари: , .
2) ОДЗ: , .
Нехай , (). Отримуємо систему:
Поділимо друге рівняння на перше:
Підставимо у перше рівняння:
Розглянемо два випадки:
а) Якщо , то :
Додамо та віднімемо рівняння:
Маємо розв’язки: , , , .
б) Якщо , то :
Додамо та віднімемо рівняння:
Маємо розв’язки:
, , , .
Відповідь:
1) , , , ;
2) , , , , , , , .
№ 42. За допомогою заміни розв’яжіть системи рівнянь, ліві частини яких є однорідними многочленами, тобто многочленами, всі доданки яких одного і того самого степеня:
1)
2)
Розв’язання:
1)
Якщо , то з другого рівняння , що неможливо, тому .
Зробимо заміну :
Поділимо перше рівняння на друге ():
Розглянемо два випадки:
а) Якщо :
Отримуємо пари: , .
б) Якщо :
Отримуємо пари: , .
2)
Якщо , то з першого рівняння , а з другого , що неможливо, тому .
Зробимо заміну :
Поділимо друге рівняння на перше ():
Розглянемо два випадки:
а) Якщо :
(дійсних коренів немає).
б) Якщо :
Отримуємо пари: , .
Відповідь:
1) , , , ;
2) , .
№ 43. Дві точки рухаються по колу. Одна з них здійснює повний оберт на 5 с швидше, ніж друга, і тому встигає зробити за 1 хв на два оберти більше. Скільки обертів за хвилину здійснює кожна з точок?
Розв’язання:
Нехай перша (повільніша) точка робить обертів за хвилину, тоді друга (швидша) точка робить обертів за хвилину (, ).
Час одного повного оберту для першої точки становить , а для другої — .
Оскільки , а друга точка робить за 1 хв на 2 оберти більше, маємо систему рівнянь:
З другого рівняння виразимо :
Підставимо отриманий вираз у перше рівняння:
За теоремою Вієта:
Отже, перша точка здійснює оберти за хвилину.
Знайдемо кількість обертів для другої точки:
Відповідь: 4 і 6.
№ 44. Дорога від пункту до пункту спочатку йде вгору, а потім спускається вниз (мал. 1). Туристи піднімаються зі швидкістю на меншою, ніж спускаються. На шляху від до вони витрачають , а на зворотний — . З якою швидкістю туристи піднімаються вгору і з якою — спускаються, якщо довжина цього шляху від до дорівнює ?
Розв’язання:
Нехай швидкість туристів під час підйому дорівнює (), тоді швидкість під час спуску становить .
Нехай довжина ділянки підйому на шляху від до дорівнює (), тоді довжина ділянки спуску дорівнює .
На шлях від до туристи витратили :
На зворотному шляху (від до ) ділянка, яка була спуском, стає підйомом довжиною , а ділянка, яка була підйомом, стає спуском довжиною .
Час на зворотний шлях становить:
Маємо рівняння:
Складемо систему рівнянь:
Додамо почленно обидва рівняння системи:
Поділимо обидві частини рівняння на :
Помножимо обидві частини на :
Знайдемо дискримінант квадратного рівняння:
Знайдемо корені рівняння:
Отже, швидкість підйому становить .
Знайдемо швидкість спуску:
Відповідь:
№ 45. Два поїзди, довжина яких і , рівномірно рухаються назустріч один одному паралельними коліями. Машиніст першого з них побачив зустрічний поїзд на відстані , після чого через поїзди зустрілися. Визначте швидкість кожного поїзда, якщо перший з них проїжджає повз нерухомого спостерігача на довше, ніж другий.
Розв’язання:
Нехай швидкість першого поїзда становить , а другого — (, ).
| Поїзд | Довжина (шлях повз спостерігача) | Швидкість | Час руху повз спостерігача |
|---|---|---|---|
| I | |||
| II |
Швидкість зближення поїздів дорівнює .
Час до зустрічі поїздів: .
Складемо систему рівнянь:
Поділимо перше рівняння на 28, а друге на 35:
Виразимо з першого рівняння:
Підставимо у друге рівняння:
За теоремою Вієта:
Якщо , то:
Якщо , то:
(не задовольняє умову, оскільки швидкість ).
Отже, швидкість першого поїзда становить , а другого — .
Відповідь: і .
№ 46. З одного місця старту в одному напрямку вирушили одночасно два мотоциклісти: один зі швидкістю 80 км/год, а другий — 60 км/год. Через пів години з того самого місця і в тому самому напрямку вирушив автомобіль, який наздогнав першого мотоцикліста через 1 год 15 хв після того, як наздогнав другого. Визначте швидкість автомобіля.
Розв’язання:
Нехай — швидкість автомобіля (), а — час руху першого мотоцикліста до моменту, коли його наздогнав автомобіль ().
Тоді:
- автомобіль перебував у русі до зустрічі з першим мотоциклістом ;
- другий мотоцикліст до зустрічі з автомобілем рухався ;
- автомобіль до зустрічі з другим мотоциклістом перебував у русі .
Шляхи, подолані учасниками до відповідних моментів зустрічі, рівні. Складемо систему рівнянь:
Розкриємо дужки:
Помножимо перше рівняння на 2, а друге — на 4:
Виразимо добутки зі змінними:
Оскільки , підставимо вираз для у друге рівняння:
Підставимо отриманий вираз для у рівняння :
Поділимо обидві частини рівняння на 4:
Отже, .
Обчислимо швидкість автомобіля:
Відповідь: 100 км/год.
№ 47. Дві автівки вирушили одночасно з міст і назустріч одна одній і після зустрічі продовжили рух у тому самому напрямку. Швидкість однієї автівки була на більшою за швидкість другої, тому вона прибула в пункт через після зустрічі. Друга автівка прибула в пункт через після зустрічі. Знайдіть швидкість кожної автівки.
Розв’язання:
Нехай швидкість другої автівки (що рухалася з міста до міста ) дорівнює (), тоді швидкість першої автівки (що рухалася з міста до міста ) становить .
Нехай — місце зустрічі автівок на шляху між і .
Відстань від до місця зустрічі друга автівка подолала після зустрічі за :
Відстань від місця зустрічі до перша автівка подолала після зустрічі за :
Час руху першої автівки від пункту до зустрічі:
Час руху другої автівки від пункту до зустрічі:
Оскільки автівки вирушили одночасно, час їхнього руху до зустрічі однаковий (). Складемо рівняння:
За основною властивістю пропорції при :
Помножимо обидві частини рівняння на :
Поділимо обидві частини на :
Знайдемо корені квадратного рівняння:
Отже, швидкість другої автівки дорівнює .
Обчислимо швидкість першої автівки:
Відповідь: та .
№ 48. Два пішоходи вийшли одночасно назустріч один одному: перший із пункту , другий — із пункту . Перший пішохід до зустрічі пройшов на більше за другого. Через після зустрічі перший пішохід прийшов у пункт . Другий пішохід прибув у пункт через після зустрічі. Знайдіть відстань від до .
Розв’язання:
Переведемо час у години:
Нехай швидкість першого пішохода дорівнює , а другого — (, ).
Після зустрічі перший пішохід пройшов шлях від місця зустрічі до пункту : , а другий — від місця зустрічі до пункту : .
Отже, до зустрічі перший пройшов , а другий — .
За умовою перший пішохід до зустрічі пройшов на більше:
Час руху пішоходів до зустрічі є однаковим:
Складемо та розв’яжемо систему рівнянь:
Оскільки і :
Підставимо у перше рівняння:
Знайдемо швидкість першого пішохода:
Знайдемо відстань від до :
Відповідь:
№ 49. Андрій, Петро і Сергій, працюючи разом, можуть почистити відерце картоплі за 12 хв, Андрій, Петро і Юрій — за 15 хв, а Сергій і Юрій — за 20 хв. За скільки хвилин почистять картоплю хлопці, працюючи вчотирьох?
Розв’язання:
Приймемо всю роботу (почищене відерце картоплі) за .
Нехай Андрій може почистити відерце картоплі за , Петро — за , Сергій — за , а Юрій — за .
Тоді за хлопці виконують відповідно , , та частину всієї роботи.
За умовою задачі складемо систему рівнянь:
Додамо почленно всі три рівняння системи:
Обчислимо суму дробів у правій частині (спільний знаменник ):
Отже, продуктивність спільної праці чотирьох хлопців становить частину відерця картоплі за .
Знайдемо час, необхідний хлопцям для виконання всієї роботи разом:
Відповідь: 10 хв.
№ 50. Тому Соєру доручили пофарбувати паркан. Якщо він робитиме це самостійно, то закінчить фарбувати на 8 год пізніше, ніж робив би це з другом Геком. Якщо фарбуватиме тільки Гек, то виконає роботу на 4,5 год пізніше, ніж це зробили б обидва хлопці разом. За який час пофарбують паркан обидва хлопці, працюючи разом?
Розв’язання:
Нехай хлопці, працюючи разом, можуть пофарбувати паркан за ().
Тоді Том Соєр, працюючи самостійно, виконає всю роботу за , а Гек — за .
Приймемо всю виконану роботу за .
За Том виконує частину паркана, Гек — частину паркана, а разом вони виконують частину паркана.
Складемо рівняння:
Помножимо обидві частини рівняння на спільний знаменник :
Отже, працюючи разом, Том Соєр і Гек пофарбують паркан за .
Відповідь:
№ 51. Сплавили два сорти чавуну з різним відсотковим умістом хрому. Якщо одного сорту взяти в 5 разів більше, ніж другого, то відсотковий уміст хрому в сплаві буде вдвічі більший, ніж відсотковий уміст хрому в меншій із частин, що сплавляються. Якщо узяти однакову кількість обох сортів, то сплав міститиме 8% хрому. Визначте відсотковий уміст хрому в кожному із цих двох сортів чавуну.
Розв’язання:
Нехай уміст хрому в першому сорті чавуну становить , а в другому — .
Нехай для першого випадку взяли першого сорту і другого сорту (менша за масою частина, що сплавляється).
Загальна маса сплаву дорівнює:
Маса чистого хрому в сплаві дорівнює:
Відсотковий уміст хрому в утвореному сплаві становить:
За умовою цей уміст удвічі більший за відсотковий уміст хрому в меншій частині ():
Якщо взяти однакову масу обох сортів, то відсотковий уміст хрому в новому сплаві дорівнюватиме:
Складемо та розв’яжемо систему рівнянь:
Підставимо вираз для у перше рівняння:
Знайдемо значення :
Отже, відсотковий уміст хрому в одному сорті чавуну становить , а в другому — .
Відповідь: і .
№ 52. О 17 год зі свого будинку до стадіону на велосипеді виїхав уболівальник Сергій, який рухався із запланованою швидкістю і розраховував приїхати на футбольний матч о 18 год 30 хв, за пів години до його початку. О 17 год 20 хв брат Сергія Петро побачив, що Сергій забув квиток, і зателефонував йому на мобільний. Тоді Сергій миттєво розвернув велосипед і, збільшивши швидкість на 3 км/год, поїхав додому, а Петро зі швидкістю 5 км/год вийшов назустріч Сергію. Під час зустрічі Петро віддав Сергію квиток, і той з тією самою швидкістю вирушив на стадіон. У результаті Сергій приїхав на стадіон за 20 хв до початку матчу. Яка відстань від будинку Сергія до стадіону і з якою швидкістю він планував рухатися?
Розв’язання:
Нехай — запланована швидкість Сергія (), а — відстань від будинку до стадіону ().
Запланований час руху Сергія:
з 17:00 до 18:30, тобто .
Тоді відстань:
Початок матчу:
о 18:30 + 30 хв = 19:00.
Сергій прибув на стадіон за 20 хв до початку матчу, тобто о 18:40.
Фактичний час усього руху Сергія:
з 17:00 до 18:40, тобто .
Розглянемо етапи фактичного руху:
1) До телефонного дзвінка Сергій їхав 20 хв = зі швидкістю і подолав відстань .
2) О 17:20 Сергій розвернувся і поїхав назустріч Петру зі швидкістю , а Петро пішов йому назустріч зі швидкістю .
Швидкість зближення:
Час до зустрічі з братом:
3) Відстань від будинку до місця зустрічі дорівнює шляху, який пройшов Петро:
4) Від місця зустрічі до стадіону Сергій подолав відстань зі швидкістю .
Час на цю ділянку:
Складемо рівняння загального фактичного часу руху:
Підставимо :
Зведемо перші два доданки до спільного знаменника:
Помножимо обидві частини рівняння на :
Розкриємо дужки:
Помножимо обидві частини рівняння на 2:
Знайдемо дискримінант:
Обчислимо корені рівняння:
(не задовольняє умову )
Отже, запланована швидкість Сергія становить .
Відповідь: .
№ 53. Послідовність називають зростаючою, якщо кожен її член, починаючи з другого, більший за попередній. Які з послідовностей є зростаючими:
1) ;
2) ;
3) ;
4) ;
5) ;
6) ;
7) ;
8) ;
9) ?
Розв’язання:
Послідовність є зростаючою, якщо для будь-якого виконується нерівність , тобто .
1)
Оскільки різниця додатна для будь-якого , послідовність є зростаючою.
2)
Оскільки різниця від’ємна, послідовність не є зростаючою (вона є спадною).
3) Знайдемо перші члени послідовності:
Оскільки (), послідовність не є зростаючою.
4)
при будь-якому
Послідовність не є зростаючою (вона є спадною).
5)
при будь-якому
Послідовність є зростаючою.
6)
Оскільки , то для будь-якого .
Послідовність є зростаючою.
7)
при будь-якому
Послідовність є зростаючою.
8)
При :
()
Послідовність не є зростаючою.
9)
Оскільки , то для будь-якого .
№ 54. Послідовність називають спадною, якщо кожен її член, починаючи з другого, менший від попереднього. Які з послідовностей є спадними:
1) ;
2) ;
3) ;
4) ;
5) ;
6) ;
7) ;
8) ;
9) ?
Розв’язання:
За означенням, послідовність є спадною, якщо для будь-якого виконується нерівність , тобто .
1)
Оскільки різниця більша за нуль, послідовність не є спадною.
2)
Оскільки для всіх , послідовність є спадною.
3)
Обчислимо перші три члени послідовності:
Оскільки , але , послідовність не є спадною.
4)
Оскільки , то , звідки .
Отже, для всіх , послідовність є спадною.
5)
Оскільки , то .
Різниця більша за нуль, тому послідовність не є спадною.
6)
Оскільки , то , звідки .
Отже, для всіх , послідовність є спадною.
7)
Для будь-якого справджується , тому .
Звідси .
Отже, для всіх , послідовність є спадною.
8)
Обчислимо перші два члени послідовності:
Оскільки , послідовність не є спадною.
9)
Для будь-якого справджується , отже, .
Оскільки обидві частини нерівності додатні, то:
Отже, послідовність є спадною.
Відповідь: спадними є послідовності 2), 4), 6), 7), 9).
№ 55. Знайдіть суму перших членів послідовності , якщо .
Розв’язання:
Запишемо загальний член послідовності у вигляді різниці двох дробів:
Знайдемо суму :
Розкриємо дужки:
Відповідь: .
№ 56. Послідовність — арифметична прогресія з додатними членами. Доведіть, що сума перших членів послідовності , де , дорівнює .
Розв’язання:
Нехай — різниця арифметичної прогресії .
Розглянемо випадок, коли .
Позбудемося ірраціональності в знаменнику загального члена :
Оскільки , маємо:
Знайдемо суму :
Помножимо чисельник і знаменник на :
За формулою різниці членів арифметичної прогресії:
Підставимо у вираз для суми:
Якщо , то всі члени прогресії рівні між собою: . Тоді:
Рівність доведено для будь-якої арифметичної прогресії з додатними членами.
Відповідь: доведено.
№ 57. Між числами і вставлено таких чисел, що вони разом з даними утворюють арифметичну прогресію. За якого значення різниця цієї прогресії належить області визначення функції ?
Розв’язання:
Нехай утворена арифметична прогресія має вигляд:
, де , .
Загальна кількість членів прогресії дорівнює .
За формулою -го члена арифметичної прогресії:
Оскільки , то , звідки , отже, .
Знайдемо область визначення функції :
Оскільки :
За умовою різниця прогресії належить області визначення функції. Враховуючи, що :
Складемо та розв’яжемо подвійну нерівність:
Оскільки — кількість вставлених чисел, то .
Отже, .
Відповідь: .
№ 58. Доведіть, що коли — три послідовних члени арифметичної прогресії, то числа , і в зазначеному порядку також утворюють арифметичну прогресію.
Розв’язання:
Оскільки — послідовні члени арифметичної прогресії з різницею , то:
Виразимо кожне з трьох чисел через і :
1) Перше число:
2) Друге число:
3) Третє число:
Знайдемо різницю між другим і першим числами:
Знайдемо різницю між третім і другим числами:
Оскільки різниці між сусідніми членами однакові (), дані числа утворюють арифметичну прогресію.
Відповідь: доведено.
№ 59. Доведіть, що коли сторони прямокутного трикутника утворюють арифметичну прогресію, то її різниця дорівнює радіусу кола, вписаного в цей трикутник.
Розв’язання:
Нехай сторони прямокутного трикутника утворюють арифметичну прогресію з різницею .
Катети трикутника дорівнюють та , а гіпотенуза (як найбільша сторона) — , де .
За теоремою Піфагора:
Розв’яжемо рівняння відносно :
Оскільки і , значення не задовольняє геометричний зміст задачі.
Отже:
Радіус вписаного в прямокутний трикутник кола обчислюється за формулою:
Підставимо вирази сторін:
Підставимо :
Отримали, що , отже, різниця арифметичної прогресії дорівнює радіусу кола, вписаного в цей трикутник.
Відповідь: твердження доведено.
№ 60. Нехай дано послідовність концентричних кіл (тобто кіл, що мають спільний центр) із центром у точці таких, що радіуси цих кіл утворюють арифметичну прогресію з першим членом і різницею . Чи існує в цій послідовності коло, що проходить через початок координат? Якщо існує, то який його номер?
Розв’язання:
Рівняння кола з центром у точці і радіусом має вигляд:
Якщо коло проходить через початок координат , то координати точки задовольняють його рівняння:
(оскільки )
За умовою, радіуси кіл утворюють арифметичну прогресію, де , . Запишемо формулу -го члена прогресії:
Оскільки є натуральним числом, таке коло існує в заданій послідовності.
Відповідь: існує, номер 22.
№ 61. Послідовність — арифметична прогресія. Відомо, що . Доведіть, що .
Розв’язання:
За формулою -го члена арифметичної прогресії :
За умовою , тому:
Оскільки за формулою -го члена:
Отримуємо:
Відповідь: доведено.
№ 62. В арифметичній прогресії , . Доведіть, що .
Розв’язання:
За формулою суми перших членів арифметичної прогресії:
За умовою :
Оскільки , то . Поділимо обидві частини рівності на :
Запишемо формулу для суми :
Відповідь: доведено.
№ 63. Відомо, що за будь-якого значення сума перших членів деякої числової послідовності обчислюється за формулою . Доведіть, що ця послідовність є арифметичною прогресією, та знайдіть її різницю.
Розв’язання:
Знайдемо перший член послідовності:
Для будь-якого виразимо -й член послідовності через формулу суми:
Запишемо вираз для :
Знайдемо :
Перевіримо виконання цієї формули при :
Отже, формула -го члена послідовності для будь-якого :
Знайдемо наступний член послідовності:
Знайдемо різницю між наступним і попереднім членами послідовності:
Оскільки різниця є сталим числом, що не залежить від , то за означенням ця послідовність є арифметичною прогресією з різницею .
Відповідь: послідовність є арифметичною прогресією; .
№ 64. Послідовність чисел , , , , … має властивість: різниці двох сусідніх чисел (наступного й попереднього) утворюють арифметичну прогресію , , , …. Знайдіть номер члена послідовності, що дорівнює .
Розв’язання:
Нехай — задана послідовність чисел:
…
Додамо почленно ці рівності:
За формулою суми перших членів арифметичної прогресії:
Тоді формула -го члена послідовності має вигляд:
Знайдемо номер , для якого :
Знайдемо корені рівняння через дискримінант:
Отже, шуканий номер члена послідовності дорівнює .
Відповідь: 101.
№ 65. У зростаючій арифметичній прогресії , що складається із цілих чисел, найбільший член дорівнює сумі квадратів решти членів. Знайдіть цю прогресію.
Розв’язання:
Оскільки прогресія є зростаючою і складається із цілих чисел, її різниця та .
Найбільшим членом прогресії є .
За формулою -го члена арифметичної прогресії:
За умовою:
Розглянемо це рівняння як квадратне відносно :
Рівняння має дійсні корені, якщо :
Знайдемо корені квадратного тричлена:
Оскільки :
Враховуючи, що та , єдиним можливим значенням є:
Підставимо у дискримінант:
Обчислимо корені для :
Оскільки члени прогресії є цілими числами, .
Знайдемо всі члени прогресії:
Відповідь: -1; 0; 1; 2.
№ 66. Доведіть, що коли сторони трикутника утворюють геометричну прогресію, то його висоти також утворюють геометричну прогресію.
Розв’язання:
Нехай сторони трикутника утворюють геометричну прогресію:
, де , .
Площа трикутника обчислюється за формулою:
, звідки .
Виразимо висоти, проведені до відповідних сторін:
Знайдемо відношення послідовних висот:
Оскільки , послідовність висот є геометричною прогресією з першим членом та знаменником .
Відповідь: доведено.
№ 67. Послідовність — скінченна геометрична прогресія. Доведіть, що .
Розв’язання:
За означенням суми перших членів послідовності:
Знайдемо чисельник дробу:
Знайдемо знаменник дробу:
Оскільки — геометрична прогресія зі знаменником , то для кожного :
Знайдемо відношення:
Тотожність доведено.
Відповідь: тотожність доведено.
№ 68. — послідовні члени геометричної прогресії. Доведіть, що .
Розв’язання:
Нехай — знаменник геометричної прогресії. Оскільки — послідовні члени прогресії, то:
Перетворимо ліву частину рівності:
Перетворимо праву частину рівності:
Значення лівої та правої частин збігаються:
Отже, .
Відповідь: тотожність доведено.
№ 69. Дві геометричні прогресії складаються з однакової кількості членів. Перший член і знаменник першої прогресії дорівнюють відповідно і , а перший член і знаменник другої відповідно дорівнюють і . Якщо перемножити члени цих прогресій з однаковими номерами, то сума всіх добутків дорівнюватиме . Знайдіть, скільки членів у цих прогресіях.
Розв’язання:
Нехай задано геометричні прогресії та , які складаються з членів:
,
,
Розглянемо послідовність добутків :
Послідовність є геометричною прогресією зі знаменником:
Сума членів цієї прогресії обчислюється за формулою:
За умовою задачі . Складемо та розв’яжемо рівняння:
Відповідь: 7.
№ 70. У зростаючій геометричній прогресії сума першого і останнього членів дорівнює 257, а добуток другого і передостаннього членів дорівнює 256. Знайдіть кількість членів прогресії, якщо їх сума дорівнює 511.
Розв’язання:
Нехай — задана геометрична прогресія зі знаменником .
За формулою -го члена геометричної прогресії:
За властивістю членів геометричної прогресії:
Оскільки за умовою , маємо:
Складемо систему рівнянь для та :
За теоремою, оберненою до теореми Вієта, та є коренями квадратного рівняння:
Оскільки прогресія є зростаючою, то , звідки:
Скористаємося формулою суми перших членів геометричної прогресії:
Підставимо відомі значення:
Використовуючи формулу -го члена , знайдемо кількість членів :
Відповідь: 9.
№ 71. Знайдіть усі прогресії, які є одночасно й арифметичними, і геометричними.
Розв’язання:
За означенням геометричної прогресії всі її члени є відмінними від нуля ().
Нехай — послідовність, яка є одночасно арифметичною прогресією з різницею і геометричною прогресією зі знаменником .
Для будь-яких трьох послідовних членів прогресії виконуються характеристичні властивості:
— для арифметичної прогресії
— для геометричної прогресії
Підставимо вираз для у характеристичну властивість геометричної прогресії:
Знайдемо середній член :
Оскільки , то всі члени послідовності рівні між собою:
Отже, шуканими прогресіями є стаціонарні послідовності однакових, відмінних від нуля, чисел: , де .
Відповідь: послідовності однакових, відмінних від нуля, чисел вигляду , де .
№ 72. Сума трьох послідовних членів зростаючої арифметичної прогресії дорівнює 15. Якщо від перших двох її членів відняти по 1, а до третього додати 1, то три отриманих числа утворять геометричну прогресію. Знайдіть три початкових числа.
Розв’язання:
Нехай три послідовні члени зростаючої арифметичної прогресії дорівнюють:
, де .
За умовою:
Отже, члени арифметичної прогресії мають вигляд:
Віднімемо від перших двох членів по 1, а до третього додамо 1:
Числа утворюють геометричну прогресію, тому за характеристичною властивістю:
За теоремою Вієта:
Отже, різниця прогресії .
Знайдемо початкові числа:
Відповідь: 3; 5; 7.
№ 73. Сума трьох чисел, що утворюють геометричну прогресію, дорівнює 91. Якщо до цих чисел додати відповідно 25, 27 і 1, то отримаємо три числа, що утворять арифметичну прогресію. Знайдіть сьомий член геометричної прогресії.
Розв’язання:
Нехай , , — перші три члени геометричної прогресії зі знаменником .
Тоді:
За умовою їхня сума дорівнює 91:
Після додавання чисел 25, 27 і 1 утворюються члени арифметичної прогресії:
За характеристичною властивістю арифметичної прогресії:
Підставимо :
Оскільки , маємо:
Підставимо значення у рівність :
Поділимо обидві частини на 7:
Розглянемо два випадки:
1) Якщо :
2) Якщо :
Відповідь: або .
№ 74. Три числа утворюють геометричну прогресію. Якщо до другого числа додати 2, то вони утворять арифметичну прогресію. Якщо після цього до третього числа додати 16, то прогресія знову стане геометричною. Знайдіть три початкових числа.
Розв’язання:
Нехай шукані числа дорівнюють , , , де , .
1) Числа , , утворюють арифметичну прогресію.
За характеристичною властивістю арифметичної прогресії:
2) Числа , , утворюють геометричну прогресію.
За характеристичною властивістю геометричної прогресії:
Складемо та розв’яжемо систему рівнянь:
З другого рівняння виразимо :
, де
Підставимо в перше рівняння:
За теоремою Вієта:
Знайдемо числа для кожного значення :
1) Якщо :
2) Якщо :
Відповідь: 1; 3; 9 або ; ; .
№ 75. Підприємство два роки поспіль збільшувало обсяг своєї продукції на однаковий відсоток і за два роки збільшило виробництво вдвічі. Знайдіть відсоток, на який щорічно збільшувався обсяг продукції.
Розв’язання:
Нехай — початковий обсяг продукції підприємства, а — щорічний відсоток збільшення продукції ().
Через два роки обсяг продукції підприємства становитиме:
За умовою задачі виробництво за два роки збільшилося вдвічі, тобто :
Оскільки , поділимо обидві частини на :
Оскільки :
Обчислимо наближене значення ():
Відповідь: .
№ 76. На полиці стоять підряд 50 книжок, частина — з фізики, частина — з математики. Відомо, що жодна книжка з фізики не стоїть поряд з іншою книжкою з фізики, а кожна книжка з математики обов’язково стоїть поряд з іншою книжкою з математики. Якою може бути найбільша кількість книжок з фізики?
Розв’язання:
Позначимо книжку з фізики як , а книжку з математики — як .
Оскільки жодні дві книжки з фізики не стоять поруч, кожна книжка стоїть окремо.
Оскільки кожна книжка з математики обов’язково стоїть поряд з іншою книжкою з математики, будь-яка неперервна група книжок повинна містити щонайменше книжки (, тощо).
Між будь-якими двома книжками з фізики має стояти принаймні дві книжки з математики.
Щоб кількість книжок з фізики була найбільшою, кількість книжок з математики між ними має бути найменшою, а ряд повинен починатися і закінчуватися книжкою з фізики:
Якщо на полиці стоїть книжок з фізики, то між ними розташовано щонайменше група книжок з математики, кожна з яких містить не менше ніж книжки.
Загальна кількість книжок за такої розстановки:
Оскільки всього на полиці 50 книжок:
Найбільше ціле значення становить .
Для мінімальна необхідна кількість книжок:
Додавши ще одну книжку до будь-якої з груп книжок з математики, отримаємо коректну розстановку для 50 книжок:
У цій розстановці 17 книжок з фізики та 33 книжки з математики, і всі умови задачі виконуються.
Відповідь: 17.
№ 77. У квадраті зафарбовано всі клітини по обох діагоналях. Навмання вибирають одну клітину. Яка ймовірність того, що вона не зафарбована?
Розв’язання:
Загальна кількість клітинок у квадраті:
Оскільки квадрат має непарний розмір , обидві його діагоналі перетинаються в одній спільній центральній клітинці.
Кількість зафарбованих клітинок:
Знайдемо кількість незафарбованих клітинок :
За класичним означенням ймовірності:
Відповідь: .
№ 78. Телефонний номер Миколи складається із семи різних цифр. Наталя хоче йому зателефонувати, пам’ятаючи, що всі цифри його номера різні, але забула дві останні цифри. Яка ймовірність того, що, набираючи телефонний номер навмання, Наталя з першої спроби додзвониться до Миколи?
Розв’язання:
Загальна кількість десяткових цифр дорівнює 10.
Оскільки перші 5 цифр номера відомі і всі 7 цифр мають бути різними, для двох останніх позицій залишається:
Кількість усіх можливих способів обрати дві останні цифри з урахуванням порядку (розміщення з 5 по 2):
Кількість сприятливих наслідків:
За класичним означенням ймовірності:
Відповідь: .
№ 79. З відрізків завдовжки , , , і вибирають навмання три. З якою ймовірністю із цих трьох відрізків можна побудувати трикутник?
Розв’язання:
Загальна кількість способів вибрати відрізки з наявних дорівнює кількості комбінацій:
Усі можливі комбінації трійок відрізків:
, , , , , , , , , .
За нерівністю трикутника, трикутник існує тоді й тільки тоді, коли сума двох менших сторін більша за третю сторону. Перевіримо можливі трійки:
— утворює трикутник
— утворює трикутник
— утворює трикутник
Сприятливими є комбінації: , і , отже, .
Знайдемо шукану ймовірність:
Відповідь: .
№ 80. Яка ймовірність того, що в січні вибраного навмання року буде п’ять субот?
Розв’язання:
У січні 31 день.
Подамо кількість днів у січні через повні тижні та залишок:
Отже, у січні завжди є 4 повні тижні (кожен день тижня повторюється щонайменше 4 рази) та 3 додаткові дні (1-ше, 2-ге та 3-тє січня), які повторяться уп’яте.
У січні буде п’ять субот тоді й тільки тоді, коли субота припадає на один із трьох перших днів місяця:
- 1 січня — субота;
- 2 січня — субота (тоді 1 січня — п’ятниця);
- 3 січня — субота (тоді 1 січня — четвер).
Тобто 1 січня має припадати на один із трьох днів тижня: четвер, п’ятницю або суботу.
Загальна кількість рівноможливих наслідків (днів тижня, на які може припадати 1 січня):
Кількість сприятливих наслідків:
За класичним означенням ймовірності:
Відповідь:
№ 81. У шаховому турнірі брало участь 10 гросмейстерів, двоє з яких — українці. Кожен із гросмейстерів зіграв по одній партії з кожним зі своїх суперників. Любитель шахів Олександр Семенович вирішив переглянути одну з партій турніру, вибравши її навмання. Яка ймовірність того, що в цій партії гратимуть:
1) двоє українців;
2) український гросмейстер з іноземним?
Розв’язання:
Загальна кількість партій у турнірі дорівнює числу пар, які можна утворити з 10 учасників:
1) Нехай подія — у партії грають двоє українців.
Оскільки українських гросмейстерів двоє, то партія між ними лише одна:
2) Нехай подія — у партії грають український гросмейстер з іноземним.
Кількість іноземних гросмейстерів:
Кількість можливих пар «українець — іноземець»:
Відповідь: 1) ; 2) .
№ 82. Учениця навмання вибирає одне із чисел від 1930 до 2029. Яка ймовірність того, що це число можна записати у вигляді , де і — натуральні числа?
Розв’язання:
Загальна кількість можливих наслідків випробування (кількість чисел від 1930 до 2029 включно):
Знайдемо кількість сприятливих наслідків , тобто чисел виду , де (), які належать проміжку .
Оскільки :
- якщо , то ;
- якщо , то ;
- якщо , то , тоді:
Цю нерівність задовольняють значення степеня та :
Отже, кількість сприятливих наслідків:
Знайдемо шукану ймовірність:
Відповідь: .
№ 83. Усі грані куба з ребром 1 м пофарбовано. Куб розпилено на 1000 кубиків з ребром 10 см. Із цих кубиків один вибирають навмання. Яка ймовірність того, що в нього:
1) пофарбовано 3 грані;
2) пофарбовано 2 грані;
3) пофарбовано 1 грань;
4) жодну з граней не пофарбовано?
Розв’язання:
Загальна кількість рівноможливих наслідків вибору кубика:
Уздовж кожного ребра початкового куба укладається маленьких кубиків.
1) Кубики, в яких пофарбовано 3 грані, розміщені у вершинах куба.
Оскільки у куба 8 вершин, кількість сприятливих наслідків:
2) Кубики, в яких пофарбовано 2 грані, розміщені на ребрах куба, за винятком вершинних.
На кожному з 12 ребер таких кубиків:
Кількість сприятливих наслідків:
3) Кубики, в яких пофарбовано 1 грань, розміщені на гранях куба, за винятком реберних і вершинних.
На кожній із 6 граней таких кубиків:
Кількість сприятливих наслідків:
4) Кубики, в яких жодну з граней не пофарбовано, утворюють внутрішній шар куба розміром :
Відповідь: 1) ; 2) ; 3) ; 4) .