ВПРАВИ ДЛЯ ПОВТОРЕННЯ РОЗДІЛУ 2

Зміст

ДО § 8

№ 1. Знайдіть:

1) $f (1)$ , $f (2)$ , $f (- 4)$ , якщо $f (x) = x^{2} - 1$ ;

Розв’язання:

$f (1) = 1^{2} - 1 = 1 - 1 = 0$
$f (2) = 2^{2} - 1 = 4 - 1 = 3$
$f (- 4) = (- 4)^{2} - 1 = 16 - 1 = 15$

Відповідь: $f (1) = 0$ , $f (2) = 3$ , $f (- 4) = 15$ .

2) $g (- 2)$ , $g (0)$ , $g (1)$ , якщо $g (x) = x^{3} + 8$ .

Розв’язання:

$g (- 2) = (- 2)^{3} + 8 = - 8 + 8 = 0$
$g (0) = 0^{3} + 8 = 0 + 8 = 8$
$g (1) = 1^{3} + 8 = 1 + 8 = 9$

Відповідь: $g (- 2) = 0$ , $g (0) = 8$ , $g (1) = 9$ .

№ 2. Укажіть таке значення $x$ (якщо воно існує), за якого значення функції $g (x) = \frac{6}{x}$ дорівнює:

1) $6$ ;

Розв’язання:

$\frac{6}{x} = 6 ⟹ x = \frac{6}{6} ⟹ x = 1$

Відповідь: $x = 1$ .

2) $1$ ;

Розв’язання:

$\frac{6}{x} = 1 ⟹ x = 6$

Відповідь: $x = 6$ .

3) $0$ ;

Розв’язання:

$\frac{6}{x} = 0$

Оскільки чисельник даного дробу дорівнює $6$ ( $6 \neq = 0$ ), дріб не може дорівнювати нулю за жодного значення $x$ .

Відповідь: такого значення $x$ не існує.

4) $- 100$ .

Розв’язання:

$\frac{6}{x} = - 100 ⟹ x = - \frac{6}{100} ⟹ x = - 0, 06$

Відповідь: $x = - 0, 06$ .

№ 3. Чи належить графіку функції $y = 5 x - 7$ точка:

1) $A (5; - 18)$ ;

Розв’язання:

Підставимо координати точки $A (x = 5; y = - 18)$ у рівняння функції:

$y = 5 \cdot 5 - 7 = 25 - 7 = 18$

Оскільки $18 \neq = - 18$ , точка $A$ не належить графіку функції.

Відповідь: точка $A$ не належить графіку функції.

2) $B (0; - 7)$ ;

Розв’язання:

Підставимо координати точки $B (x = 0; y = - 7)$ у рівняння функції:

$y = 5 \cdot 0 - 7 = 0 - 7 = - 7$

Рівність $- 7 = - 7$ є правильною, тому точка $B$ належить графіку функції.

Відповідь: точка $B$ належить графіку функції.

3) $C (- 1; - 12)$ ;

Розв’язання:

Підставимо координати точки $C (x = - 1; y = - 12)$ у рівняння функції:

$y = 5 \cdot (- 1) - 7 = - 5 - 7 = - 12$

Рівність $- 12 = - 12$ є правильною, тому точка $C$ належить графіку функції.

Відповідь: точка $C$ належить графіку функції.

4) $D (1; 2)$ ?

Розв’язання:

Підставимо координати точки $D (x = 1; y = 2)$ у рівняння функції:

$y = 5 \cdot 1 - 7 = 5 - 7 = - 2$

Оскільки $- 2 \neq = 2$ , точка $D$ не належить графіку функції.

Відповідь: точка $D$ не належить графіку функції.

№ 4. Побудуйте графік функції $y = \frac{10}{x ^{2} + 1}$ , де $- 3 \leq x \leq 3$ , попередньо заповнивши в зошиті таблицю значень:

Розв’язання:

Обчислимо значення $y$ для кожного значення $x$ :

При $x = - 3$ : $y = \frac{10}{( - 3 ) ^{2} + 1} = \frac{10}{9 + 1} = 1$
При $x = - 2$ : $y = \frac{10}{( - 2 ) ^{2} + 1} = \frac{10}{4 + 1} = 2$
При $x = - 1$ : $y = \frac{10}{( - 1 ) ^{2} + 1} = \frac{10}{1 + 1} = 5$
При $x = 0$ : $y = \frac{10}{0 ^{2} + 1} = \frac{10}{1} = 10$
При $x = 1$ : $y = \frac{10}{1 ^{2} + 1} = \frac{10}{1 + 1} = 5$
При $x = 2$ : $y = \frac{10}{2 ^{2} + 1} = \frac{10}{4 + 1} = 2$
При $x = 3$ : $y = \frac{10}{3 ^{2} + 1} = \frac{10}{9 + 1} = 1$

Таблиця значень:

$x$	$- 3$	$- 2$	$- 1$	$0$	$1$	$2$	$3$
$y$	$1$	$2$	$5$	$10$	$5$	$2$	$1$

Опис побудови:

1) Позначити на координатній площині точки: $(- 3; 1)$ , $(- 2; 2)$ , $(- 1; 5)$ , $(0; 10)$ , $(1; 5)$ , $(2; 2)$ , $(3; 1)$ .

2) З’єднати позначені точки плавною лінією на проміжку $[- 3; 3]$ .

Відповідь: таблицю заповнено; для побудови графіка точки $(- 3; 1)$ , $(- 2; 2)$ , $(- 1; 5)$ , $(0; 10)$ , $(1; 5)$ , $(2; 2)$ , $(3; 1)$ з’єднують плавною лінією.

№ 5. Наведіть приклад функції, областю визначення якої є:

1) множина всіх чисел;

Розв’язання:

Областю визначення є $D (y) = (- \infty; + \infty)$ . Прикладом такої функції є будь-яка лінійна або квадратична функція, наприклад $y = 2 x - 3$ .

Відповідь: $y = 2 x - 3$ .

2) множина всіх чисел, крім числа $3$ ;

Розв’язання:

Областю визначення є $D (y) = (- \infty; 3) \cup (3; + \infty)$ . У знаменнику дробу вираз має перетворюватися на нуль при $x = 3$ . Прикладом є функція $y = \frac{1}{x - 3}$ .

Відповідь: $y = \frac{1}{x - 3}$ .

3) множина всіх чисел, крім чисел $2$ і $9$ ;

Розв’язання:

Областю визначення є $D (y) = (- \infty; 2) \cup (2; 9) \cup (9; + \infty)$ . Знаменник має дорівнювати нулю при $x = 2$ та $x = 9$ , тобто $(x - 2) (x - 9) = 0$ . Прикладом є функція $y = \frac{1}{( x - 2 ) ( x - 9 )}$ .

Відповідь: $y = \frac{1}{( x - 2 ) ( x - 9 )}$ .

4) множина всіх чисел, не менших від числа $5$ .

Розв’язання:

Областю визначення є проміжок $D (y) = [5; + \infty)$ , тобто $x \geq 5$ . Вираз під знаком арифметичного квадратного кореня має бути невід’ємним: $x - 5 \geq 0$ . Прикладом є функція $y = x - 5$ .

Відповідь: $y = x - 5$ .

№ 6. Тіло рухалося прямолінійно. Залежність відстані $s$ (у км), яку воно подолало, від часу $t$ (у год) задано так:

$s (t) = ⎩ ⎨ ⎧ 4 t, 8, 3 t - 1, якщо 0 \leq t \leq 2; якщо 2 < t < 3; якщо 3 \leq t \leq 4.$

Знайдіть $s (1)$ , $s (2)$ , $s (2, 5)$ , $s (3)$ , $s (4)$ .

Розв’язання:

1) Для $t = 1$ : значення $t$ належить проміжку $0 \leq t \leq 2$ , тому використовуємо формулу $s (t) = 4 t$ :

$s (1) = 4 \cdot 1 = 4 (км)$

2) Для $t = 2$ : значення $t$ належить проміжку $0 \leq t \leq 2$ , тому використовуємо формулу $s (t) = 4 t$ :

$s (2) = 4 \cdot 2 = 8 (км)$

3) Для $t = 2, 5$ : значення $t$ належить проміжку $2 < t < 3$ , тому використовуємо формулу $s (t) = 8$ :

$s (2, 5) = 8 (км)$

4) Для $t = 3$ : значення $t$ належить проміжку $3 \leq t \leq 4$ , тому використовуємо формулу $s (t) = 3 t - 1$ :

$s (3) = 3 \cdot 3 - 1 = 9 - 1 = 8 (км)$

5) Для $t = 4$ : значення $t$ належить проміжку $3 \leq t \leq 4$ , тому використовуємо формулу $s (t) = 3 t - 1$ :

$s (4) = 3 \cdot 4 - 1 = 12 - 1 = 11 (км)$

Відповідь: $s (1) = 4 км$ ; $s (2) = 8 км$ ; $s (2, 5) = 8 км$ ; $s (3) = 8 км$ ; $s (4) = 11 км$ .

№ 7. Чи належить області значень функції $y = x^{2} + 2 x$ число:

1) $0$ ;

2) $- 3$ ;

3) $- 1$ ;

4) $8$ ?

Розв’язання:

Знайдемо область значень квадратичної функції $y = x^{2} + 2 x$ .

Графіком функції є парабола, вітки якої напрямлені вгору ( $a = 1 > 0$ ).

Знайдемо координати вершини параболи:

$x_{0} = - \frac{b}{2 a} = - \frac{2}{2 \cdot 1} = - 1$

$y_{0} = y (- 1) = (- 1)^{2} + 2 \cdot (- 1) = 1 - 2 = - 1$

Найменше значення функції дорівнює $- 1$ , а вітки спрямовані вгору, тому область значень функції:

$E (y) = [- 1; + \infty)$

Перевіримо належність кожного із чисел області значень $[- 1; + \infty)$ :

1) $0 \in [- 1; + \infty)$ — число $0$ належить області значень.

2) $- 3 \in / [- 1; + \infty)$ — число $- 3$ не належить області значень.

3) $- 1 \in [- 1; + \infty)$ — число $- 1$ належить області значень.

4) $8 \in [- 1; + \infty)$ — число $8$ належить області значень.

Відповідь: 1) належить; 2) не належить; 3) належить; 4) належить.

№ 8. Знайдіть область визначення функції:

1) $f (x) = \frac{3}{2∣ x ∣ + x ^{2}}$ ;

Розв’язання:

Знаменник дробу не дорівнює нулю:

$2∣ x ∣ + x^{2} \neq = 0$

Оскільки $∣ x ∣ \geq 0$ та $x^{2} \geq 0$ для всіх $x \in R$ , їхня сума дорівнює нулю тільки за умови $x = 0$ . Отже, $x \neq = 0$ .

Відповідь: $D (f) = (- \infty; 0) \cup (0; + \infty)$ .

2) $g (x) = \frac{7 x}{2 - \frac{1}{x}}$ ;

Розв’язання:

Усі знаменники дробових виразів мають бути відмінними від нуля:

1) $x \neq = 0$ (знаменник внутрішнього дробу);

2) $2 - \frac{1}{x} \neq = 0 ⟹ \frac{1}{x} \neq = 2 ⟹ x \neq = \frac{1}{2}$ .

Відповідь: $D (g) = (- \infty; 0) \cup (0; \frac{1}{2}) \cup (\frac{1}{2}; + \infty)$ .

3) $φ (x) = \frac{1}{1 + \frac{1}{x}}$ ;

Розв’язання:

Визначимо обмеження для знаменників:

1) $x \neq = 0$ ;

2) $1 + \frac{1}{x} \neq = 0 ⟹ \frac{1}{x} \neq = - 1 ⟹ x \neq = - 1$ .

Відповідь: $D (φ) = (- \infty; - 1) \cup (- 1; 0) \cup (0; + \infty)$ .

4) $g (x) = \frac{7}{1 - \frac{1}{∣ x ∣}}$ ;

Розв’язання:

Визначимо обмеження для знаменників:

1) $∣ x ∣ \neq = 0 ⟹ x \neq = 0$ ;

2) $1 - \frac{1}{∣ x ∣} \neq = 0 ⟹ \frac{1}{∣ x ∣} \neq = 1 ⟹ ∣ x ∣ \neq = 1 ⟹ x \neq = 1 та x \neq = - 1$ .

Відповідь: $D (g) = (- \infty; - 1) \cup (- 1; 0) \cup (0; 1) \cup (1; + \infty)$ .

5) $ψ (x) = \frac{3}{1 + \frac{1}{∣ x ∣}}$ ;

Розв’язання:

1) $∣ x ∣ \neq = 0 ⟹ x \neq = 0$ ;

2) $1 + \frac{1}{∣ x ∣} \neq = 0 ⟹ \frac{1}{∣ x ∣} \neq = - 1$ . Оскільки $∣ x ∣ > 0$ для всіх $x \neq = 0$ , вираз $\frac{1}{∣ x ∣} > 0$ , тому дана рівність не справджується за жодних дійсних $x$ .

Відповідь: $D (ψ) = (- \infty; 0) \cup (0; + \infty)$ .

6) $p (x) = \frac{1}{x - 2} + \frac{1}{x - 5}$ ;

Розв’язання:

Складемо систему умов:

${x - 2 > 0 x - 5 \neq = 0 ⟺ {x > 2 x \neq = 5$

Відповідь: $D (p) = (2; 5) \cup (5; + \infty)$ .

7) $φ (x) = - x^{2}$ ;

Розв’язання:

Підкореневий вираз має бути невід’ємним:

$- x^{2} \geq 0 ⟺ x^{2} \leq 0$

Оскільки квадрат будь-якого дійсного числа є невід’ємним ( $x^{2} \geq 0$ ), нерівність $x^{2} \leq 0$ має єдиний розв’язок $x = 0$ .

Відповідь: $D (φ) = {0}$ .

8) $f (x) = - x^{2} - 2 x - 1$ ;

Розв’язання:

Підкореневий вираз має бути невід’ємним:

$- x^{2} - 2 x - 1 \geq 0 ⟺ - (x^{2} + 2 x + 1) \geq 0 ⟺ - (x + 1)^{2} \geq 0 ⟺ (x + 1)^{2} \leq 0$

Квадрат виразу не може бути від’ємним, тому єдиним розв’язком є випадок рівності нулю:

$(x + 1)^{2} = 0 ⟹ x + 1 = 0 ⟹ x = - 1$

Відповідь: $D (f) = {- 1}$ .

9) $g (x) = x + - x$ .

Розв’язання:

Обидва підкореневі вирази мають бути невід’ємними:

${x \geq 0 - x \geq 0 ⟺ {x \geq 0 x \leq 0 ⟺ x = 0$

Відповідь: $D (g) = {0}$ .

№ 9. Знайдіть область значень функції:

1) $f (x) = x - 1 + 1 - x$ ;

Розв’язання:

Знайдемо область визначення функції $D (f)$ :

${x - 1 \geq 0 1 - x \geq 0 ⟺ {x \geq 1 x \leq 1 ⟺ x = 1$

Оскільки область визначення складається з єдиного числа $x = 1$ , обчислимо значення функції у цій точці:

$f (1) = 1 - 1 + 1 - 1 = 0 + 0 = 0$

Відповідь: $E (f) = {0}$ .

2) $g (x) = - (x - 1)^{2}$ ;

Розв’язання:

Знайдемо область визначення функції $D (g)$ :

$- (x - 1)^{2} \geq 0 ⟺ (x - 1)^{2} \leq 0 ⟺ x - 1 = 0 ⟺ x = 1$

Обчислимо значення функції при $x = 1$ :

$g (1) = - (1 - 1)^{2} = 0$

Відповідь: $E (g) = {0}$ .

3) $φ (x) = 4 - x^{2}$ ;

Розв’язання:

Знайдемо область визначення: $4 - x^{2} \geq 0 ⟺ x^{2} \leq 4 ⟺ x \in [- 2; 2]$ .

Для $x \in [- 2; 2]$ виконується оцінка значень $x^{2}$ :

$0 \leq x^{2} \leq 4 ⟹ - 4 \leq - x^{2} \leq 0 ⟹ 0 \leq 4 - x^{2} \leq 4 ⟹ 0 \leq 4 - x^{2} \leq 2$

Відповідь: $E (φ) = [0; 2]$ .

4) $g (x) = \frac{1}{x ^{2} + 1}$ ;

Розв’язання:

Для всіх $x \in R$ виконується $x^{2} \geq 0$ , звідси $x^{2} + 1 \geq 1$ .

Оскільки знаменник дробу додатний і більший або дорівнює $1$ , то значення дробу обмежені:

$0 < \frac{1}{x ^{2} + 1} \leq 1$

Найбільше значення $g (0) = 1$ досягається при $x = 0$ .

Відповідь: $E (g) = (0; 1]$ .

5) $t (x) = x^{2} + 9 - 5$ ;

Розв’язання:

Оскільки $x^{2} \geq 0$ для всіх $x \in R$ , то $x^{2} + 9 \geq 9$ .

Тоді $x^{2} + 9 \geq 9 = 3$ .

Звідси:

$t (x) = x^{2} + 9 - 5 \geq 3 - 5 = - 2$

Найменше значення функції дорівнює $- 2$ при $x = 0$ , а при $x \to \pm \infty$ значення необмежено зростають.

Відповідь: $E (t) = [- 2; + \infty)$ .

6) $f (x) = \frac{1}{x ^{2} + 2 x + 5}$ .

Розв’язання:

Виділимо повний квадрат у знаменнику:

$x^{2} + 2 x + 5 = (x^{2} + 2 x + 1) + 4 = (x + 1)^{2} + 4$

Оскільки $(x + 1)^{2} \geq 0$ , маємо $(x + 1)^{2} + 4 \geq 4$ .

Тоді для дробу справджується нерівність:

$0 < \frac{1}{( x + 1 ) ^{2} + 4} \leq \frac{1}{4}$

Найбільше значення $f (- 1) = \frac{1}{4} = 0, 25$ .

Відповідь: $E (f) = (0; 0, 25]$ .

№ 10. Знайдіть область визначення функції та побудуйте її графік:

1) $f (x) = \frac{x ^{3} + 3 x ^{2} - x - 3}{2 x ^{2} - 2}$ ;

Розв’язання:

1) Знайдемо область визначення $D (f)$ :

$2 x^{2} - 2 \neq = 0 ⟺ 2 (x^{2} - 1) \neq = 0 ⟺ 2 (x - 1) (x + 1) \neq = 0 ⟺ x \neq = 1 та x \neq = - 1$

$D (f) = (- \infty; - 1) \cup (- 1; 1) \cup (1; + \infty)$

2) Спростимо вираз функції $f (x)$ на області її визначення.

Розкладемо чисельник на множники методом групування:

$x^{3} + 3 x^{2} - x - 3 = x^{2} (x + 3) - (x + 3) = (x + 3) (x^{2} - 1) = (x + 3) (x - 1) (x + 1)$

Розкладемо знаменник на множники:

$2 x^{2} - 2 = 2 (x^{2} - 1) = 2 (x - 1) (x + 1)$

При $x \neq = \pm 1$ скоротимо дріб на $(x^{2} - 1)$ :

$f (x) = \frac{( x + 3 ) ( x ^{2} - 1 )}{2 ( x ^{2} - 1 )} = \frac{x + 3}{2} = 0, 5 x + 1, 5$

Графіком функції є пряма $y = 0, 5 x + 1, 5$ з виколотими точками при $x = - 1$ та $x = 1$ .

3) Складемо таблицю значень для побудови прямої та обчислення виколотих точок:

При $x = - 1$ : $y = 0, 5 \cdot (- 1) + 1, 5 = 1 ⟹ (- 1; 1)$ — виколота точка.
При $x = 1$ : $y = 0, 5 \cdot 1 + 1, 5 = 2 ⟹ (1; 2)$ — виколота точка.

$x$	$- 3$	$- 2$	$- 1$ (виколота)	$0$	$1$ (виколота)	$3$
$y$	$0$	$0, 5$	$1$	$1, 5$	$2$	$3$

4) Опис побудови:

На координатній площині побудувати пряму $y = 0, 5 x + 1, 5$ , що проходить через точки $(- 3; 0)$ , $(- 2; 0, 5)$ , $(0; 1, 5)$ , $(3; 3)$ , та позначити на ній виколотими (порожніми) кружечками точки $(- 1; 1)$ і $(1; 2)$ .

Відповідь: $D (f) = (- \infty; - 1) \cup (- 1; 1) \cup (1; + \infty)$ ; графік — пряма $y = 0, 5 x + 1, 5$ з виколотими точками $(- 1; 1)$ та $(1; 2)$ .

2) $g (x) = \frac{x - 2}{x - 2}$ .

Розв’язання:

1) Знайдемо область визначення $D (g)$ :

Підкореневий вираз у знаменнику має бути строго додатним:

$x - 2 > 0 ⟺ x > 2$

$D (g) = (2; + \infty)$

2) Спростимо вираз для $x \in (2; + \infty)$ :

$g (x) = 1$

Графіком функції є частина прямої $y = 1$ для $x > 2$ (промінь, паралельний осі $O x$ , з виколотим початком у точці $(2; 1)$ ).

3) Складемо таблицю значень:

$x$	$2$ (виколота)	$3$	$4$	$5$	$6$
$y$	$1$	$1$	$1$	$1$	$1$

4) Опис побудови:

На координатній площині позначити виколоту точку $(2; 1)$ і провести від неї праворуч горизонтальний промінь $y = 1$ .

Відповідь: $D (g) = (2; + \infty)$ ; графік — промінь $y = 1$ для $x > 2$ з виколотим початком у точці $(2; 1)$ .

№ 11. Зростаючою чи спадною на кожному з проміжків $(- \infty; 0)$ і $(0; + \infty)$ є функція:

1) $y = \frac{8}{x}$ ;

Розв’язання:

Графіком функції $y = \frac{k}{x}$ є гіпербола. Оскільки коефіцієнт $k = 8 > 0$ , то функція є спадною на кожному з проміжків $(- \infty; 0)$ і $(0; + \infty)$ .

Відповідь: спадною.

2) $y = - \frac{6}{x}$ ;

Розв’язання:

Оскільки коефіцієнт $k = - 6 < 0$ , то функція є зростаючою на кожному з проміжків $(- \infty; 0)$ і $(0; + \infty)$ .

Відповідь: зростаючою.

3) $y = \frac{0 , 01}{x}$ ;

Розв’язання:

Оскільки коефіцієнт $k = 0, 01 > 0$ , то функція є спадною на кожному з проміжків $(- \infty; 0)$ і $(0; + \infty)$ .

Відповідь: спадною.

4) $y = \frac{7 , 51}{x}$ ;

Розв’язання:

Оскільки коефіцієнт $k = 7, 51 > 0$ , то функція є спадною на кожному з проміжків $(- \infty; 0)$ і $(0; + \infty)$ .

Відповідь: спадною.

№ 12. Знайдіть, не виконуючи побудови, точки перетину графіка функції з осями координат:

1) $f (x) = 2 x - 4$ ;

Розв’язання:

1) З віссю $O y$ ( $x = 0$ ):

$y = 2 \cdot 0 - 4 = - 4 ⟹ (0; - 4)$

2) З віссю $O x$ ( $y = 0$ ):

$2 x - 4 = 0 ⟹ 2 x = 4 ⟹ x = 2 ⟹ (2; 0)$

Відповідь: з віссю $O y$ : $(0; - 4)$ ; з віссю $O x$ : $(2; 0)$ .

2) $g (x) = \frac{1}{3} x - 6$ ;

Розв’язання:

1) З віссю $O y$ ( $x = 0$ ):

$y = \frac{1}{3} \cdot 0 - 6 = - 6 ⟹ (0; - 6)$

2) З віссю $O x$ ( $y = 0$ ):

$\frac{1}{3} x - 6 = 0 ⟹ \frac{1}{3} x = 6 ⟹ x = 18 ⟹ (18; 0)$

Відповідь: з віссю $O y$ : $(0; - 6)$ ; з віссю $O x$ : $(18; 0)$ .

3) $φ (x) = x^{2} - 2 x - 3$ ;

Розв’язання:

1) З віссю $O y$ ( $x = 0$ ):

$y = 0^{2} - 2 \cdot 0 - 3 = - 3 ⟹ (0; - 3)$

2) З віссю $O x$ ( $y = 0$ ):

$x^{2} - 2 x - 3 = 0$

За теоремою Вієта:

${x_{1} + x_{2} = 2 x_{1} \cdot x_{2} = - 3 ⟹ [x = - 1 x = 3$

Отже, точки перетину з віссю $O x$ : $(- 1; 0)$ та $(3; 0)$ .

Відповідь: з віссю $O y$ : $(0; - 3)$ ; з віссю $O x$ : $(- 1; 0)$ та $(3; 0)$ .

4) $ψ (x) = \frac{x - 1}{x + 2}$ ;

Розв’язання:

1) З віссю $O y$ ( $x = 0$ ):

$y = \frac{0 - 1}{0 + 2} = - \frac{1}{2} = - 0, 5 ⟹ (0; - 0, 5)$

2) З віссю $O x$ ( $y = 0$ ):

$\frac{x - 1}{x + 2} = 0 ⟹ {x - 1 = 0 x + 2 \neq = 0 ⟹ x = 1 ⟹ (1; 0)$

Відповідь: з віссю $O y$ : $(0; - 0, 5)$ ; з віссю $O x$ : $(1; 0)$ .

№ 13. Знайдіть нулі функції (якщо вони існують):

1) $y = \frac{x - 1}{x ^{2} + 2 x - 3}$ ;

Розв’язання:

1) Знайдемо область визначення функції:

$x^{2} + 2 x - 3 \neq = 0 ⟹ (x + 3) (x - 1) \neq = 0 ⟹ x \neq = - 3 та x \neq = 1$

$D (y) = (- \infty; - 3) \cup (- 3; 1) \cup (1; + \infty)$

2) Прирівняємо функцію до нуля:

$\frac{x - 1}{x ^{2} + 2 x - 3} = 0 ⟹ x - 1 = 0 ⟹ x = 1$

3) Оскільки $x = 1 \in / D (y)$ , то функція не має нулів.

Відповідь: нулів немає.

2) $y = \frac{1}{x} + \frac{1}{x - 2}$ ;

Розв’язання:

1) Область визначення функції: $D (y) = (- \infty; 0) \cup (0; 2) \cup (2; + \infty)$ , тобто $x \neq = 0$ і $x \neq = 2$ .

2) Прирівняємо функцію до нуля:

$\frac{1}{x} + \frac{1}{x - 2} = 0 ⟹ \frac{x - 2 + x}{x ( x - 2 )} = 0 ⟹ \frac{2 x - 2}{x ( x - 2 )} = 0$

$2 x - 2 = 0 ⟹ 2 x = 2 ⟹ x = 1$

3) Значення $x = 1$ належить області визначення $D (y)$ .

Відповідь: $x = 1$ .

3) $y = x x - 10$ ;

Розв’язання:

1) Область визначення функції визначена підкореневим виразом:

$x - 10 \geq 0 ⟹ x \geq 10 ⟹ D (y) = [10; + \infty)$

2) Прирівняємо функцію до нуля:

$x x - 10 = 0 ⟹ [x = 0 x - 10 = 0 ⟹ [x = 0 x = 10$

3) Число $x = 0$ не належить $D (y)$ , оскільки $0 < 10$ . Число $x = 10$ належить $D (y)$ .

Відповідь: $x = 10$ .

№ 14. Знайдіть проміжок, на якому функція $f (x) = 3 x + 6$ набуває:

1) додатних значень;

Розв’язання:

Функція набуває додатних значень при $f (x) > 0$ :

$3 x + 6 > 0 ⟹ 3 x > - 6 ⟹ x > - 2 ⟹ x \in (- 2; + \infty)$

Відповідь: $(- 2; + \infty)$ .

2) від’ємних значень.

Розв’язання:

Функція набуває від’ємних значень при $f (x) < 0$ :

$3 x + 6 < 0 ⟹ 3 x < - 6 ⟹ x < - 2 ⟹ x \in (- \infty; - 2)$

Відповідь: $(- \infty; - 2)$ .

№ 15. Побудуйте графік функції та вкажіть її властивості:

1) $g (x) = \frac{8}{∣ x ∣}$ ;

Розв’язання:

1) Область визначення: $D (g) = (- \infty; 0) \cup (0; + \infty)$ , тобто $x \neq = 0$ .

2) Оскільки $g (- x) = \frac{8}{∣ - x ∣} = \frac{8}{∣ x ∣} = g (x)$ , функція є парною, а її графік симетричний відносно осі $O y$ .

3) Складемо таблицю значень для побудови графіка:

$x$	$- 8$	$- 4$	$- 2$	$- 1$	$1$	$2$	$4$	$8$
$y$	$1$	$2$	$4$	$8$	$8$	$4$	$2$	$1$

4) Властивості функції $g (x) = \frac{8}{∣ x ∣}$ :

Область визначення: $D (g) = (- \infty; 0) \cup (0; + \infty)$ .
Область значень: $E (g) = (0; + \infty)$ .
Нулі функції: відсутні.
Проміжки знакосталості: $g (x) > 0$ для всіх $x \in D (g)$ .
Проміжки монотонності: функція зростає на проміжку $(- \infty; 0)$ і спадає на проміжку $(0; + \infty)$ .
Парність: функція є парною.

Відповідь: властивості вказано; графік побудовано за точками з таблиці.

2) $f (x) = 2∣ x ∣ - 6$ .

Розв’язання:

1) Область визначення: $D (f) = (- \infty; + \infty)$ .

2) Оскільки $f (- x) = 2∣ - x ∣ - 6 = 2∣ x ∣ - 6 = f (x)$ , функція є парною, а її графік симетричний відносно осі $O y$ .

3) Складемо таблицю значень для побудови графіка:

$x$	$- 4$	$- 3$	$- 2$	$- 1$	$0$	$1$	$2$	$3$	$4$
$y$	$2$	$0$	$- 2$	$- 4$	$- 6$	$- 4$	$- 2$	$0$	$2$

4) Властивості функції $f (x) = 2∣ x ∣ - 6$ :

Область визначення: $D (f) = (- \infty; + \infty)$ .
Область значень: $E (f) = [- 6; + \infty)$ .
Нулі функції: $x = - 3$ та $x = 3$ .
Проміжки знакосталості: $f (x) > 0$ при $x \in (- \infty; - 3) \cup (3; + \infty)$ ; $f (x) < 0$ при $x \in (- 3; 3)$ .
Проміжки монотонності: функція спадає на проміжку $(- \infty; 0]$ і зростає на проміжку $[0; + \infty)$ .
Найменше значення функції: $y_{m i n} = - 6$ при $x = 0$ ; найбільшого значення не існує.
Парність: функція є парною.

Відповідь: властивості вказано; графік побудовано за точками з таблиці.

№ 16. Як із графіка функції $y = ∣ x ∣$ отримати графік функції:

1) $y = ∣ x ∣ + 4$ ;

Відповідь: паралельним перенесенням графіка $y = ∣ x ∣$ на $4$ одиниці вгору вздовж осі $O y$ .

2) $y = ∣ x ∣ - 3$ ;

Відповідь: паралельним перенесенням графіка $y = ∣ x ∣$ на $3$ одиниці вниз вздовж осі $O y$ .

3) $y = ∣ x + 2∣$ ;

Відповідь: паралельним перенесенням графіка $y = ∣ x ∣$ на $2$ одиниці ліворуч вздовж осі $O x$ .

4) $y = ∣ x - 3∣$ ;

Відповідь: паралельним перенесенням графіка $y = ∣ x ∣$ на $3$ одиниці праворуч вздовж осі $O x$ .

5) $y = - ∣ x ∣$ ;

Відповідь: симетричним відображенням графіка $y = ∣ x ∣$ відносно осі $O x$ .

6) $y = 3∣ x ∣$ ;

Відповідь: розтягом графіка $y = ∣ x ∣$ від осі $O x$ вздовж осі $O y$ у $3$ рази.

№ 17. Побудуйте в одній системі координат графіки функцій:

1) $y = 2 x$ , $y = 2 x - 3$ , $y = 2 x + 3$ ;

Розв’язання:

Графіками цих функцій є паралельні прямі. Складемо таблиці значень для кожної функції.

Таблиця значень для $y = 2 x$ :

$x$	$- 2$	$0$	$2$
$y$	$- 4$	$0$	$4$

Таблиця значень для $y = 2 x - 3$ :

$x$	$- 1$	$0$	$2$
$y$	$- 5$	$- 3$	$1$

Таблиця значень для $y = 2 x + 3$ :

$x$	$- 2$	$0$	$1$
$y$	$- 1$	$3$	$5$

2) $y = x^{2}$ , $y = (x - 2)^{2}$ , $y = (x + 2)^{2}$ ;

Розв’язання:

Графіками цих функцій є параболи. Складемо таблиці значень для їх побудови.

Таблиця значень для $y = x^{2}$ (вершина у точці $(0; 0)$ ):

$x$	$- 2$	$- 1$	$0$	$1$	$2$
$y$	$4$	$1$	$0$	$1$	$4$

Таблиця значень для $y = (x - 2)^{2}$ (вершина у точці $(2; 0)$ ):

$x$	$0$	$1$	$2$	$3$	$4$
$y$	$4$	$1$	$0$	$1$	$4$

Таблиця значень для $y = (x + 2)^{2}$ (вершина у точці $(- 2; 0)$ ):

$x$	$- 4$	$- 3$	$- 2$	$- 1$	$0$
$y$	$4$	$1$	$0$	$1$	$4$

Відповідь: графіки та таблиці значень побудовано.

№ 18. Побудуйте графіки функцій:

1) $y = ∣ x - 1∣ + 2$ ;

Розв’язання:

Вершина розташована в точці $(1; 2)$ .

$x$	$- 1$	$0$	$1$	$2$	$3$
$y$	$4$	$3$	$2$	$3$	$4$

2) $y = 3 - ∣ x ∣$ ;

Розв’язання:

Вершина розташована в точці $(0; 3)$ .

$x$	$- 3$	$- 1$	$0$	$1$	$3$
$y$	$0$	$2$	$3$	$2$	$0$

3) $y = ∣ x + 2∣ - 1$ ;

Розв’язання:

Вершина розташована в точці $(- 2; - 1)$ .

$x$	$- 4$	$- 3$	$- 2$	$- 1$	$0$
$y$	$1$	$0$	$- 1$	$0$	$1$

4) $y = - ∣ x ∣ - 1$ ;

Розв’язання:

Вершина розташована в точці $(0; - 1)$ .

$x$	$- 2$	$- 1$	$0$	$1$	$2$
$y$	$- 3$	$- 2$	$- 1$	$- 2$	$- 3$

5) $y = - 4 + ∣ x - 2∣$ ;

Розв’язання:

Вершина розташована в точці $(2; - 4)$ .

$x$	$0$	$1$	$2$	$3$	$4$
$y$	$- 2$	$- 3$	$- 4$	$- 3$	$- 2$

6) $y = ∣ x + 1∣ + 3$ ;

Розв’язання:

Вершина розташована в точці $(- 1; 3)$ .

$x$	$- 3$	$- 2$	$- 1$	$0$	$1$
$y$	$5$	$4$	$3$	$4$	$5$

Відповідь: графіки та таблиці значень побудовано.

№ 19. Побудуйте графіки функцій:

1) $y = 3 x$ ;

Розв’язання:

Область визначення: $D (y) = [0; + \infty)$ .

$x$	$0$	$1$	$4$	$9$
$y$	$0$	$3$	$6$	$9$

2) $y = \frac{1}{2} x$ ;

Розв’язання:

Область визначення: $D (y) = [0; + \infty)$ .

$x$	$0$	$1$	$4$	$9$	$16$
$y$	$0$	$0, 5$	$1$	$1, 5$	$2$

3) $y = - 3 x$ ;

Розв’язання:

Область визначення: $D (y) = [0; + \infty)$ .

$x$	$0$	$1$	$4$	$9$
$y$	$0$	$- 3$	$- 6$	$- 9$

4) $y = - \frac{1}{2} x$ ;

Розв’язання:

Область визначення: $D (y) = [0; + \infty)$ .

$x$	$0$	$1$	$4$	$9$	$16$
$y$	$0$	$- 0, 5$	$- 1$	$- 1, 5$	$- 2$

Відповідь: графіки та таблиці значень побудовано.

№ 20. Побудуйте графік функції $y = \frac{12}{x + 3} - 4$ . За графіком знайдіть:

Розв’язання:

Область визначення функції: $D (y) = (- \infty; - 3) \cup (- 3; + \infty)$ .

Таблиця значень для побудови графіка:

$x$	$- 9$	$- 7$	$- 6$	$- 5$	$- 4$	$- 2$	$- 1$	$0$	$1$	$3$
$y$	$- 6$	$- 7$	$- 8$	$- 10$	$- 16$	$8$	$2$	$0$	$- 1$	$- 2$

1) Область значень функції:

$E (y) = (- \infty; - 4) \cup (- 4; + \infty)$

2) Нулі функції:

$\frac{12}{x + 3} - 4 = 0 ⟹ \frac{12}{x + 3} = 4 ⟹ x + 3 = 3 ⟹ x = 0$

3) Проміжки зростання функції: відсутні.

4) Проміжки спадання функції: $(- \infty; - 3)$ та $(- 3; + \infty)$ .

5) Значення $x$ , за яких функція набуває додатних значень:

$x \in (- 3; 0)$

6) Значення $x$ , за яких функція набуває від’ємних значень:

$x \in (- \infty; - 3) \cup (0; + \infty)$

Відповідь: 1) $E (y) = (- \infty; - 4) \cup (- 4; + \infty)$ ; 2) $x = 0$ ; 3) проміжки зростання відсутні; 4) спадає на $(- \infty; - 3)$ та $(- 3; + \infty)$ ; 5) $y > 0$ при $x \in (- 3; 0)$ ; 6) $y < 0$ при $x \in (- \infty; - 3) \cup (0; + \infty)$ .

№ 21.

1) Побудуйте графік функції $y = ∣∣ x - 1∣ - 2∣$ .

2) Використовуючи графік, знайдіть такі значення $a$ , за яких рівняння $∣∣ x - 1∣ - 2∣ = a$ має рівно три корені.

3) За допомогою програми для побудови графіків перевірте правильність розв’язування.

Розв’язання:

1) Складемо таблицю значень функції $y = ∣∣ x - 1∣ - 2∣$ :

$x$	$- 3$	$- 2$	$- 1$	$0$	$1$	$2$	$3$	$4$	$5$
$y$	$2$	$1$	$0$	$1$	$2$	$1$	$0$	$1$	$2$

2) Кількість коренів рівняння $∣∣ x - 1∣ - 2∣ = a$ дорівнює кількості точок перетину графіка функції з горизонтальною прямою $y = a$ :

Якщо $a < 0$ , прямої перетину немає ( $0$ коренів);
Якщо $a = 0$ , $2$ корені ( $x = - 1, x = 3$ );
Якщо $0 < a < 2$ , $4$ корені;
Якщо $a = 2$ , пряма перетинає графік рівно у $3$ точках: $(- 3; 2)$ , $(1; 2)$ , $(5; 2)$ ;
Якщо $a > 2$ , $2$ корені.

Отже, рівняння має рівно три корені при $a = 2$ .

3) У програмі для побудови графіків введемо формулу функції $f (x) = abs (abs (x - 1) - 2)$ та побудуємо пряму $y = 2$ . Графік підтверджує три точки перетину.

Відповідь: 1) графік побудовано; 2) $a = 2$ ; 3) перевірено за допомогою програми.

ДО § 11

№ 22. Угору чи вниз спрямовані гілки параболи:

1) $y = 3 x^{2} - 2 x + 7$ ;

Розв’язання:

Коефіцієнт $a = 3 > 0$ , тому гілки параболи спрямовані вгору.

Відповідь: вгору.

2) $y = - x^{2} + 5 x + 9$ ;

Розв’язання:

Коефіцієнт $a = - 1 < 0$ , тому гілки параболи спрямовані вниз.

Відповідь: вниз.

3) $y = - 5 x^{2}$ ;

Розв’язання:

Коефіцієнт $a = - 5 < 0$ , тому гілки параболи спрямовані вниз.

Відповідь: вниз.

4) $y = 0, 01 x^{2} + 5$ ?

Розв’язання:

Коефіцієнт $a = 0, 01 > 0$ , тому гілки параболи спрямовані вгору.

Відповідь: вгору.

№ 23. Чи належить графіку функції $y = 20 x^{2}$ точка:

1) $A (2; 40)$ ;

Розв’язання:

$y = 20 \cdot (2)^{2} = 20 \cdot 2 = 40$

$40 = 40 ⟹$ точка $A$ належить графіку функції.

Відповідь: належить.

2) $B (- 0, 1; 2)$ ;

Розв’язання:

$y = 20 \cdot (- 0, 1)^{2} = 20 \cdot 0, 01 = 0, 2 \neq = 2$

Відповідь: не належить.

3) $C (- 5; - 100)$ ;

Розв’язання:

$y = 20 \cdot (- 5)^{2} = 20 \cdot 5 = 100 \neq = - 100$

Відповідь: не належить.

4) $D (\frac{1}{2}; 5)$ ?

Розв’язання:

$y = 20 \cdot (\frac{1}{2})^{2} = 20 \cdot \frac{1}{4} = 5$

$5 = 5 ⟹$ точка $D$ належить графіку функції.

Відповідь: належить.

№ 24. Знайдіть координати вершини параболи:

1) $y = x^{2} + 2 x - 7$ ;

Розв’язання:

$x_{0} = - \frac{b}{2 a} = - \frac{2}{2 \cdot 1} = - 1$

$y_{0} = (- 1)^{2} + 2 \cdot (- 1) - 7 = 1 - 2 - 7 = - 8$

Відповідь: $(- 1; - 8)$ .

2) $y = - 3 x^{2} + 9 x + 4$ .

Розв’язання:

$x_{0} = - \frac{b}{2 a} = - \frac{9}{2 \cdot ( - 3 )} = \frac{9}{6} = 1, 5$

$y_{0} = - 3 \cdot (1, 5)^{2} + 9 \cdot 1, 5 + 4 = - 3 \cdot 2, 25 + 13, 5 + 4 = 10, 75$

Відповідь: $(1, 5; 10, 75)$ .

№ 25. Знайдіть нулі квадратичної функції:

1) $y = x^{2} + 4 x + 3$ ;

Розв’язання:

$x^{2} + 4 x + 3 = 0$

$D = 4^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 3 = 16 - 12 = 4 > 0$

$x_{1} = \frac{- 4 + 2}{2} = - 1, x_{2} = \frac{- 4 - 2}{2} = - 3$

Відповідь: $- 3; - 1$ .

2) $y = - 2 x^{2} - 3 x - 1$ ;

Розв’язання:

$2 x^{2} + 3 x + 1 = 0$

$D = 3^{2} - 4 \cdot 2 \cdot 1 = 9 - 8 = 1 > 0$

$x_{1} = \frac{- 3 + 1}{4} = - 0, 5, x_{2} = \frac{- 3 - 1}{4} = - 1$

Відповідь: $- 1; - 0, 5$ .

3) $y = x^{2} + 2 x - 8$ ;

Розв’язання:

$x^{2} + 2 x - 8 = 0$

$D = 2^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 8) = 4 + 32 = 36 > 0$

$x_{1} = \frac{- 2 + 6}{2} = 2, x_{2} = \frac{- 2 - 6}{2} = - 4$

Відповідь: $- 4; 2$ .

4) $y = x^{2} - \frac{4}{3} x + \frac{1}{3}$ .

Розв’язання:

$3 x^{2} - 4 x + 1 = 0$

$D = (- 4)^{2} - 4 \cdot 3 \cdot 1 = 16 - 12 = 4 > 0$

$x_{1} = \frac{4 + 2}{6} = 1, x_{2} = \frac{4 - 2}{6} = \frac{1}{3}$

Відповідь: $\frac{1}{3}; 1$ .

№ 26. Побудуйте графік функції:

1) $y = x^{2} - 4 x$ ;

Розв’язання:

Вершина: $x_{0} = 2$ , $y_{0} = - 4 ⟹ (2; - 4)$ .

$x$	$- 1$	$0$	$1$	$2$ (вершина)	$3$	$4$	$5$
$y$	$5$	$0$	$- 3$	$- 4$	$- 3$	$0$	$5$

2) $y = 2 x - x^{2}$ ;

Розв’язання:

Вершина: $x_{0} = 1$ , $y_{0} = 1 ⟹ (1; 1)$ .

$x$	$- 1$	$0$	$1$ (вершина)	$2$	$3$
$y$	$- 3$	$0$	$1$	$0$	$- 3$

3) $y = x^{2} - 2 x + 3$ ;

Розв’язання:

Вершина: $x_{0} = 1$ , $y_{0} = 2 ⟹ (1; 2)$ .

$x$	$- 1$	$0$	$1$ (вершина)	$2$	$3$
$y$	$6$	$3$	$2$	$3$	$6$

4) $y = - x^{2} + 6 x - 8$ .

Розв’язання:

Вершина: $x_{0} = 3$ , $y_{0} = 1 ⟹ (3; 1)$ .

$x$	$1$	$2$	$3$ (вершина)	$4$	$5$
$y$	$- 3$	$0$	$1$	$0$	$- 3$

Відповідь: графіки функцій побудовано.

№ 27. Побудуйте графік функції $f (x) = 2 x^{2} + 4 x$ . За графіком знайдіть:

Розв’язання:

Вершина параболи: $x_{0} = - 1$ , $y_{0} = - 2 ⟹ (- 1; - 2)$ .

$x$	$- 3$	$- 2, 5$	$- 2$	$- 1, 5$	$- 1$ (вершина)	$- 0, 5$	$0$	$1$
$y$	$6$	$2, 5$	$0$	$- 1, 5$	$- 2$	$- 1, 5$	$0$	$6$

1) $f (1) = 6$ ; $f (- 0, 5) = - 1, 5$ ; $f (- 2, 5) = 2, 5$ .

2) Значення $x$ , за яких:

$f (x) = 6 ⟹ x = 1$ або $x = - 3$ ;
$f (x) = - 2 ⟹ x = - 1$ ;
$f (x) = 2 ⟹ x = - 1 \pm 2$ .

3) Нулі функції: $x = 0$ та $x = - 2$ .

4) Розв’язки нерівностей:

$f (x) < 0$ при $x \in (- 2; 0)$ ;
$f (x) > 0$ при $x \in (- \infty; - 2) \cup (0; + \infty)$ .

5) Найменше значення: $y_{m i n} = - 2$ при $x = - 1$ ; найбільшого значення не існує.

6) Область значень: $E (f) = [- 2; + \infty)$ .

7) Проміжки монотонності: спадає на $(- \infty; - 1]$ , зростає на $[- 1; + \infty)$ .

Відповідь: 1) $6; - 1, 5; 2, 5$ ; 2) $x = 1, x = - 3$ ; $x = - 1$ ; $x = - 1 \pm 2$ ; 3) $x = - 2, x = 0$ ; 4) $x \in (- 2; 0)$ та $x \in (- \infty; - 2) \cup (0; + \infty)$ ; 5) $y_{m i n} = - 2$ , найбільшого не існує; 6) $[- 2; + \infty)$ ; 7) спадає на $(- \infty; - 1]$ , зростає на $[- 1; + \infty)$ .

№ 28. Графіку функції $y = - 2 x^{2} + 3 x + c$ належить точка $A (- 1; 4)$ . Знайдіть коефіцієнт $c$ .

Розв’язання:

Підставимо координати точки $A (- 1; 4)$ у рівняння функції:

$4 = - 2 \cdot (- 1)^{2} + 3 \cdot (- 1) + c$

$4 = - 2 - 3 + c ⟹ 4 = - 5 + c ⟹ c = 9$

Відповідь: $c = 9$ .

№ 29. За якого значення $a$ вісь симетрії параболи $y = a x^{2} + 8 x + 1$ проходить через точку $A (2; - 3)$ ?

Розв’язання:

Рівняння осі симетрії параболи: $x = x_{0} = - \frac{b}{2 a}$ .

Оскільки вісь симетрії проходить через точку $A (2; - 3)$ , маємо $x_{0} = 2$ :

$2 = - \frac{8}{2 a} ⟹ 2 = - \frac{4}{a} ⟹ 2 a = - 4 ⟹ a = - 2$

Відповідь: $a = - 2$ .

№ 30. Знайдіть область значень функції:

1) $y = \frac{1}{2} x^{2}$ , якщо $x \in [- 2; 4]$ ;

Розв’язання:

Вершина у точці $x = 0 \in [- 2; 4]$ , $y (0) = 0$ .

Значення на кінцях відрізка:

$y (- 2) = \frac{1}{2} \cdot (- 2)^{2} = 2$

$y (4) = \frac{1}{2} \cdot 4^{2} = 8$

Отже, $E (y) = [0; 8]$ .

Відповідь: $[0; 8]$ .

2) $y = - \frac{1}{3} x^{2}$ , якщо $x \in [- 9; 3]$ .

Розв’язання:

Вершина у точці $x = 0 \in [- 9; 3]$ , $y (0) = 0$ .

Значення на кінцях відрізка:

$y (- 9) = - \frac{1}{3} \cdot (- 9)^{2} = - 27$

$y (3) = - \frac{1}{3} \cdot 3^{2} = - 3$

Отже, $E (y) = [- 27; 0]$ .

Відповідь: $[- 27; 0]$ .

№ 31. На параболі $y = x^{2} - 3 x$ знайдіть такі точки, у яких різниця ординати й абсциси дорівнює 5.

Розв’язання:

Нехай $M (x; y)$ — шукана точка на параболі.

$y - x = 5 ⟹ y = x + 5$

Підставимо у рівняння параболи:

$x^{2} - 3 x = x + 5$

$x^{2} - 4 x - 5 = 0$

За теоремою Вієта:

$x_{1} = 5, x_{2} = - 1$

Обчислимо ординати:

1) Якщо $x_{1} = 5$ , то $y_{1} = 5 + 5 = 10 ⟹ (5; 10)$ .

2) Якщо $x_{2} = - 1$ , то $y_{2} = - 1 + 5 = 4 ⟹ (- 1; 4)$ .

Відповідь: $(- 1; 4)$ та $(5; 10)$ .

№ 32. За яких $p$ і $q$ графік функції $y = x^{2} + p x + q$ проходить через точки $A (- 2; 22)$ і $B (1; 4)$ ?

Розв’язання:

Підставимо координати точок:

${(- 2)^{2} + p \cdot (- 2) + q = 22 1^{2} + p \cdot 1 + q = 4 ⟺ {- 2 p + q = 18 p + q = 3$

Віднімемо перше рівняння від другого:

$3 p = - 15 ⟹ p = - 5$

$q = 3 - p = 3 - (- 5) = 8$

Відповідь: $p = - 5$ , $q = 8$ .

№ 33. Побудуйте графік функції:

1) $y = ⎩ ⎨ ⎧ - x^{2}, 2 x, x^{2}, якщо x < - 2; якщо - 2 \leq x \leq 2; якщо x > 2;$

Розв’язання:

Побудуємо графік за трьома частинами:

При $x < - 2$ : частина параболи $y = - x^{2}$ ;
При $- 2 \leq x \leq 2$ : відрізок прямої $y = 2 x$ від $(- 2; - 4)$ до $(2; 4)$ ;
При $x > 2$ : частина параболи $y = x^{2}$ .

2) $y = \frac{x ^{3} + 3 x ^{2} - 4 x}{x}$ .

Розв’язання:

Область визначення: $x \neq = 0$ .

При $x \neq = 0$ :

$y = \frac{x ( x ^{2} + 3 x - 4 )}{x} = x^{2} + 3 x - 4$

Графіком є парабола $y = x^{2} + 3 x - 4$ з виколотою точкою $(0; - 4)$ .

Вершина: $x_{0} = - 1, 5$ , $y_{0} = - 6, 25 ⟹ (- 1, 5; - 6, 25)$ .

Відповідь: графіки функцій побудовано.

№ 34. Розв’яжіть графічно рівняння $x^{2} - 4 x + 3 = \frac{12}{x}$ . За допомогою програми для побудови графіків перевірте правильність розв’язування.

Розв’язання:

Побудуємо в одній системі координат графіки функцій $y = x^{2} - 4 x + 3$ (парабола з вершиною $(2; - 1)$ ) та $y = \frac{12}{x}$ (гіпербола).

Графіки перетинаються в єдиній точці з абсцисою $x = 4$ .

Перевірка аналітично:

$x (x^{2} - 4 x + 3) = 12 ⟹ x^{3} - 4 x^{2} + 3 x - 12 = 0 ⟹ (x - 4) (x^{2} + 3) = 0 ⟹ x = 4$

Відповідь: $x = 4$ .

№ 35. Знайдіть найбільше значення функції $y = - 2 x^{2} + 6 x - 5$ , областю визначення якої є проміжок:

1) $[0; 2]$ ;

Розв’язання:

Вершина: $x_{0} = - \frac{6}{2 \cdot ( - 2 )} = 1, 5 \in [0; 2]$ .

$y (1, 5) = - 2 \cdot (1, 5)^{2} + 6 \cdot 1, 5 - 5 = - 4, 5 + 9 - 5 = - 0, 5$

Відповідь: $- 0, 5$ .

2) $[2; 4]$ .

Розв’язання:

Оскільки $x_{0} = 1, 5 < 2$ , а для $x \geq 1, 5$ квадратична функція спадає, найбільше значення досягається при $x = 2$ :

$y (2) = - 2 \cdot 2^{2} + 6 \cdot 2 - 5 = - 8 + 12 - 5 = - 1$

Відповідь: $- 1$ .

№ 36. На малюнку зображено графік функції $y = a x^{2} + b x + c$ . Для кожного з випадків (1–4) укажіть знаки коефіцієнтів $a$ , $b$ , $c$ та дискримінанта $D$ квадратного тричлена $a x^{2} + b x + c$ .

1) $a > 0$ , $b < 0$ , $c > 0$ , $D > 0$ .

2) $a < 0$ , $b < 0$ , $c < 0$ , $D > 0$ .

3) $a > 0$ , $b < 0$ , $c > 0$ , $D < 0$ .

4) $a < 0$ , $b > 0$ , $c < 0$ , $D < 0$ .

Відповідь: 1) $a > 0$ , $b < 0$ , $c > 0$ , $D > 0$ ; 2) $a < 0$ , $b < 0$ , $c < 0$ , $D > 0$ ; 3) $a > 0$ , $b < 0$ , $c > 0$ , $D < 0$ ; 4) $a < 0$ , $b > 0$ , $c < 0$ , $D < 0$ .

№ 37. $D$ — дискримінант квадратного тричлена $a x^{2} + b x + c$ . Зобразіть схематично графік функції $y = a x^{2} + b x + c$ , якщо:

1) $a > 0, b > 0, c > 0, D > 0$ ;

2) $a < 0, c = 0, - \frac{b}{2 a} > 0, D > 0$ ;

3) $a < 0, - \frac{b}{2 a} < 0, D = 0$ ;

4) $a > 0, b < 0, D < 0$ .

Відповідь: графіки схематично описано та зображено.

№ 38. За яких значень $a$ функція $y = (a - 1) x^{2} + 2 x + 7$ набуває додатних значень для будь-якого значення $x$ ?

Розв’язання:

Функція набуває лише додатних значень на $R$ , якщо:

${a - 1 > 0 D < 0$

$D = 2^{2} - 4 \cdot (a - 1) \cdot 7 = 4 - 28 (a - 1) = 32 - 28 a$

${a > 1 32 - 28 a < 0 ⟺ ⎩ ⎨ ⎧ a > 1 a > \frac{32}{28} ⟺ a > 1 \frac{1}{7}$

Відповідь: $a \in (1 \frac{1}{7}; + \infty)$ .

ДО § 12

№ 39. За графіком функції $y = x^{2} - 4$ запишіть розв’язки нерівності:

1) $x^{2} - 4 > 0$ ;

Відповідь: $(- \infty; - 2) \cup (2; + \infty)$ .

2) $x^{2} - 4 \geq 0$ ;

Відповідь: $(- \infty; - 2] \cup [2; + \infty)$ .

3) $x^{2} - 4 < 0$ ;

Відповідь: $(- 2; 2)$ .

4) $x^{2} - 4 \leq 0$ .

Відповідь: $[- 2; 2]$ .

№ 40. Розв’яжіть нерівність:

1) $x^{2} + 7 x > 0$ ;

Розв’язання:

$x (x + 7) > 0 ⟹ x \in (- \infty; - 7) \cup (0; + \infty)$

Відповідь: $(- \infty; - 7) \cup (0; + \infty)$ .

2) $- x^{2} - 5 x \leq 0$ ;

Розв’язання:

$x^{2} + 5 x \geq 0 ⟹ x (x + 5) \geq 0 ⟹ x \in (- \infty; - 5] \cup [0; + \infty)$

Відповідь: $(- \infty; - 5] \cup [0; + \infty)$ .

3) $x^{2} - 1 < 0$ ;

Розв’язання:

$(x - 1) (x + 1) < 0 ⟹ x \in (- 1; 1)$

Відповідь: $(- 1; 1)$ .

4) $- x^{2} + 16 \geq 0$ .

Розв’язання:

$x^{2} - 16 \leq 0 ⟹ (x - 4) (x + 4) \leq 0 ⟹ x \in [- 4; 4]$

Відповідь: $[- 4; 4]$ .

№ 41. Знайдіть множину розв’язків нерівності:

1) $2 x^{2} + 3 x - 5 > 0$ ;

Розв’язання:

$2 x^{2} + 3 x - 5 = 0 ⟹ D = 9 + 40 = 49$

$x_{1} = 1, x_{2} = - 2, 5$

Відповідь: $(- \infty; - 2, 5) \cup (1; + \infty)$ .

2) $3 x^{2} - 7 x - 10 \leq 0$ .

Розв’язання:

$3 x^{2} - 7 x - 10 = 0 ⟹ D = 49 + 120 = 169$

$x_{1} = - 1, x_{2} = 3 \frac{1}{3}$

Відповідь: $[- 1; 3 \frac{1}{3}]$ .

№ 42. Розв’яжіть нерівність:

1) $x^{2} > 0, 04$ ;

Розв’язання:

$x^{2} - 0, 04 > 0 ⟹ (x - 0, 2) (x + 0, 2) > 0$

Відповідь: $(- \infty; - 0, 2) \cup (0, 2; + \infty)$ .

2) $- x^{2} \leq - \frac{9}{25}$ ;

Розв’язання:

$x^{2} \geq \frac{9}{25} ⟹ x \leq - 0, 6 або x \geq 0, 6$

Відповідь: $(- \infty; - 0, 6] \cup [0, 6; + \infty)$ .

3) $3 x^{2} \geq x$ ;

Розв’язання:

$x (3 x - 1) \geq 0 ⟹ x \leq 0 або x \geq \frac{1}{3}$

Відповідь: $(- \infty; 0] \cup [\frac{1}{3}; + \infty)$ .

4) $- 5 x^{2} < 2 x$ .

Розв’язання:

$5 x^{2} + 2 x > 0 ⟹ x (5 x + 2) > 0$

Відповідь: $(- \infty; - 0, 4) \cup (0; + \infty)$ .

№ 43. Знайдіть множину розв’язків нерівності:

1) $x^{2} - 2 x - 9 \geq 0$ ;

Розв’язання:

$x^{2} - 2 x - 9 = 0 ⟹ D = 4 + 36 = 40$

$x_{1, 2} = 1 \pm 10$

Відповідь: $(- \infty; 1 - 10] \cup [1 + 10; + \infty)$ .

2) $x^{2} - 11 + 4 x < 0$ ;

Розв’язання:

$x^{2} + 4 x - 11 = 0 ⟹ D = 16 + 44 = 60$

$x_{1, 2} = - 2 \pm 15$

Відповідь: $(- 2 - 15; - 2 + 15)$ .

3) $\frac{1}{4} x^{2} - x + 1 > 0$ ;

Розв’язання:

$x^{2} - 4 x + 4 > 0 ⟺ (x - 2)^{2} > 0 ⟺ x \neq = 2$

Відповідь: $(- \infty; 2) \cup (2; + \infty)$ .

4) $6 x + x^{2} + 9 \geq 0$ ;

Розв’язання:

$(x + 3)^{2} \geq 0 ⟹ x \in (- \infty; + \infty)$

Відповідь: $(- \infty; + \infty)$ .

5) $- x^{2} - 8 x - 16 < 0$ ;

Розв’язання:

$(x + 4)^{2} > 0 ⟹ x \neq = - 4$

Відповідь: $(- \infty; - 4) \cup (- 4; + \infty)$ .

6) $x^{2} + x + 9 \geq 0$ .

Розв’язання:

$D = 1 - 36 = - 35 < 0, a = 1 > 0 ⟹ x \in (- \infty; + \infty)$

Відповідь: $(- \infty; + \infty)$ .

№ 44. Розв’яжіть нерівність:

1) $\frac{x ^{2} - 1}{4} > 5 + x$ ;

Розв’язання:

$x^{2} - 1 > 20 + 4 x ⟹ x^{2} - 4 x - 21 > 0$

$(x - 7) (x + 3) > 0$

Відповідь: $(- \infty; - 3) \cup (7; + \infty)$ .

2) $(x - 4) (x - 5) \leq 2$ ;

Розв’язання:

$x^{2} - 9 x + 20 \leq 2 ⟹ x^{2} - 9 x + 18 \leq 0 ⟹ (x - 3) (x - 6) \leq 0$

Відповідь: $[3; 6]$ .

3) $6 x^{2} - 14 x + 12 \geq (x - 3)^{2}$ ;

Розв’язання:

$6 x^{2} - 14 x + 12 \geq x^{2} - 6 x + 9 ⟹ 5 x^{2} - 8 x + 3 \geq 0$

$x_{1} = 0, 6, x_{2} = 1$

Відповідь: $(- \infty; 0, 6] \cup [1; + \infty)$ .

4) $\frac{x ^{2} - 4}{3} < \frac{x - 2}{2}$ .

Розв’язання:

$2 (x^{2} - 4) < 3 (x - 2) ⟹ 2 x^{2} - 3 x - 2 < 0$

$x_{1} = - 0, 5, x_{2} = 2$

Відповідь: $(- 0, 5; 2)$ .

№ 45. Одна сторона прямокутника на 2 см менша від другої. Якої довжини може бути ця сторона, якщо площа прямокутника менша від 35 см²?

Розв’язання:

Нехай довжина шуканої сторони дорівнює $x см$ ( $x > 0$ ). Тоді друга сторона дорівнює $(x + 2) см$ .

$x (x + 2) < 35 ⟹ x^{2} + 2 x - 35 < 0 ⟹ (x + 7) (x - 5) < 0$

$- 7 < x < 5$

Враховуючи $x > 0$ , маємо $0 < x < 5$ .

Відповідь: більшою за $0 см$ , але меншою від $5 см$ (тобто $x \in (0; 5) см$ ).

№ 46. За яких додатних значень $x$ справджується нерівність $x^{2} \leq 4 x + 21$ ?

Розв’язання:

$x^{2} - 4 x - 21 \leq 0 ⟹ (x - 7) (x + 3) \leq 0 ⟹ x \in [- 3; 7]$

Враховуючи умову $x > 0$ , маємо $x \in (0; 7]$ .

Відповідь: $x \in (0; 7]$ .

№ 47. Знайдіть розв’язки нерівності $0, 8 x^{2} + x - 0, 3 \leq 0$ , що належать проміжку $[- 2; - \frac{4}{3}]$ .

Розв’язання:

$8 x^{2} + 10 x - 3 \leq 0 ⟹ D = 100 + 96 = 196 = 1 4^{2}$

$x_{1} = - 1, 5, x_{2} = 0, 25 ⟹ x \in [- 1, 5; 0, 25]$

Переріз із проміжком $[- 2; - \frac{4}{3}]$ :

$x \in [- 1, 5; - \frac{4}{3}] = [- \frac{3}{2}; - \frac{4}{3}]$

Відповідь: $x \in [- \frac{3}{2}; - \frac{4}{3}]$ .

№ 48. За яких значень $c$ множиною розв’язків нерівності $x^{2} - 10 x + c < 0$ є проміжок:

1) $(2; 8)$ ;

Розв’язання:

За теоремою Вієта: $c = x_{1} \cdot x_{2} = 2 \cdot 8 = 16$ .

Відповідь: $c = 16$ .

2) $(1; 9)$ ?

Розв’язання:

За теоремою Вієта: $c = x_{1} \cdot x_{2} = 1 \cdot 9 = 9$ .

Відповідь: $c = 9$ .

№ 49. Запишіть подвійну нерівність у вигляді системи нерівностей і розв’яжіть її:

1) $1 < x^{2} \leq 4$ ;

Розв’язання:

${x^{2} > 1 x^{2} \leq 4 ⟺ {x \in (- \infty; - 1) \cup (1; + \infty) x \in [- 2; 2] ⟹ x \in [- 2; - 1) \cup (1; 2]$

Відповідь: $x \in [- 2; - 1) \cup (1; 2]$ .

2) $0 < x^{2} + x \leq 6$ .

Розв’язання:

${x (x + 1) > 0 x^{2} + x - 6 \leq 0 ⟺ {x \in (- \infty; - 1) \cup (0; + \infty) x \in [- 3; 2] ⟹ x \in [- 3; - 1) \cup (0; 2]$

Відповідь: $x \in [- 3; - 1) \cup (0; 2]$ .

№ 50. За яких значень $a$ розв’язком нерівності $x^{2} - (a^{2} - 2 a - 3) x + a^{2} + 2 < 0$ є проміжок $(2; 3)$ ?

Розв’язання:

За теоремою Вієта:

${a^{2} - 2 a - 3 = 2 + 3 = 5 a^{2} + 2 = 2 \cdot 3 = 6 ⟹ {a^{2} - 2 a - 8 = 0 a^{2} = 4$

При $a = 2$ : $2^{2} - 2 \cdot 2 - 8 = - 8 \neq = 0$ .

При $a = - 2$ : $(- 2)^{2} - 2 \cdot (- 2) - 8 = 0$ .

Відповідь: $a = - 2$ .

№ 51. За яких значень $m$ графіки функцій $y = m x^{2} - x$ та $y = m x + 1 - 2 m$ не мають спільних точок?

Розв’язання:

$m x^{2} - (m + 1) x + (2 m - 1) = 0$

1) Якщо $m = 0$ : $- x - 1 = 0 ⟹ x = - 1$ (є 1 спільна точка).

2) Якщо $m \neq = 0$ , рівняння не має коренів при $D < 0$ :

$D = (m + 1)^{2} - 4 m (2 m - 1) = - 7 m^{2} + 6 m + 1 < 0$

$m_{1} = - \frac{1}{7}, m_{2} = 1 ⟹ m \in (- \infty; - \frac{1}{7}) \cup (1; + \infty)$

Відповідь: $m \in (- \infty; - \frac{1}{7}) \cup (1; + \infty)$ .

№ 52. Розв’яжіть рівняння $x^{2} - 2 (a - 1) x - (9 a + 5) = 0$ відносно змінної $x$ .

Розв’язання:

$D_{1} = (a - 1)^{2} + (9 a + 5) = a^{2} + 7 a + 6 = (a + 6) (a + 1)$

1) Якщо $a \in (- 6; - 1)$ , то $D_{1} < 0 ⟹$ коренів немає ( $x \in \emptyset$ ).

2) Якщо $a = - 6$ , то $x = - 7$ . Якщо $a = - 1$ , то $x = - 2$ .

3) Якщо $a \in (- \infty; - 6) \cup (- 1; + \infty)$ , то $x_{1, 2} = (a - 1) \pm a^{2} + 7 a + 6$ .

Відповідь: якщо $a \in (- 6; - 1)$ , то коренів немає; якщо $a = - 6$ , то $x = - 7$ ; якщо $a = - 1$ , то $x = - 2$ ; якщо $a \in (- \infty; - 6) \cup (- 1; + \infty)$ , то $x_{1, 2} = a - 1 \pm a^{2} + 7 a + 6$ .

№ 53. Для кожного значення $a$ розв’яжіть нерівність (де $x$ — змінна):

1) $x^{2} + x (2 + a) + 2 a < 0$ ;

Розв’язання:

$(x + 2) (x + a) < 0$

Корені: $- 2$ та $- a$ .

Відповідь: якщо $a < 2$ , то $x \in (- 2; - a)$ ; якщо $a = 2$ , то коренів немає ( $x \in \emptyset$ ); якщо $a > 2$ , то $x \in (- a; - 2)$ .

2) $x^{2} - x (a - 3) - (2 a^{2} + 6 a) \geq 0$ .

Розв’язання:

$(x - 2 a) (x + a + 3) \geq 0$

Відповідь: якщо $a < - 1$ , то $x \in (- \infty; 2 a] \cup [- a - 3; + \infty)$ ; якщо $a = - 1$ , то $x \in R$ ; якщо $a > - 1$ , то $x \in (- \infty; - a - 3] \cup [2 a; + \infty)$ .

№ 54. Для кожного значення $m$ розв’яжіть систему нерівностей, де $x$ — змінна:

1) ${x^{2} - x - 6 \geq 0 x < m$

Розв’язання:

$x^{2} - x - 6 \geq 0 ⟹ x \in (- \infty; - 2] \cup [3; + \infty)$ .

Відповідь: якщо $m \leq - 2$ , то $x \in (- \infty; m)$ ; якщо $- 2 < m \leq 3$ , то $x \in (- \infty; - 2]$ ; якщо $m > 3$ , то $x \in (- \infty; - 2] \cup [3; m)$ .

2) ${x^{2} + 2 x - 8 < 0 x \geq m$

Розв’язання:

$x^{2} + 2 x - 8 < 0 ⟹ x \in (- 4; 2)$ .

Відповідь: якщо $m \leq - 4$ , то $x \in (- 4; 2)$ ; якщо $- 4 < m < 2$ , то $x \in [m; 2)$ ; якщо $m \geq 2$ , то коренів немає ( $x \in \emptyset$ ).

№ 55. Чи є розв’язком системи ${x - y = 3 x^{2} + y^{2} = 17$ пара чисел:

1) $(3; 0)$ ;

Розв’язання:

$3^{2} + 0^{2} = 9 \neq = 17$ .

Відповідь: Ні.

2) $(4; 1)$ ;

Розв’язання:

$4 - 1 = 3$ і $4^{2} + 1^{2} = 17$ .

Відповідь: Так.

3) $(- 4; - 1)$ ;

Розв’язання:

$- 4 - (- 1) = - 3 \neq = 3$ .

Відповідь: Ні.

4) $(- 1; - 4)$ ?

Розв’язання:

$- 1 - (- 4) = 3$ і $(- 1)^{2} + (- 4)^{2} = 17$ .

Відповідь: Так.

№ 56. Розв’яжіть графічно систему рівнянь:

1) ${y = x^{2} y = 3 x$

Відповідь: $(0; 0)$ , $(3; 9)$ .

2) ${y = - x^{2} x - y = 2$

Відповідь: розв’язків немає.

3) ${x^{2} + y^{2} = 25 x = 3$

Відповідь: $(3; 4)$ , $(3; - 4)$ .

№ 57. Розв’яжіть способом підстановки систему рівнянь:

1) ${y = 3 x - 2 x^{2} + y - 2 = 0$

Розв’язання:

$x^{2} + 3 x - 4 = 0 ⟹ x_{1} = 1, x_{2} = - 4$

$y_{1} = 1, y_{2} = - 14$

Відповідь: $(1; 1)$ , $(- 4; - 14)$ .

2) ${x + y = 8 x y = 7$

Розв’язання:

$x (8 - x) = 7 ⟹ x^{2} - 8 x + 7 = 0 ⟹ x_{1} = 1, x_{2} = 7$

Відповідь: $(1; 7)$ , $(7; 1)$ .

3) ${y - 2 x = 5 x y = 18$

Розв’язання:

$x (2 x + 5) = 18 ⟹ 2 x^{2} + 5 x - 18 = 0 ⟹ x_{1} = 2, x_{2} = - 4, 5$

$y_{1} = 9, y_{2} = - 4$

Відповідь: $(2; 9)$ , $(- 4, 5; - 4)$ .

№ 58. Розв’яжіть графічно систему рівнянь:

1) ${y = 2 (x - 1)^{2} + 3 x y = 10$

Відповідь: $(2; 5)$ .

2) ${(x + 3)^{2} + (y + 3)^{2} = 4 y = - x^{2} + 6 x - 8$

Відповідь: розв’язків немає.

№ 59. Розв’яжіть систему рівнянь:

1) ${x + y = 8 x^{2} - 2 x y + y^{2} = 16$

Розв’язання:

$(x - y)^{2} = 16 ⟹ x - y = 4 або x - y = - 4$

Відповідь: $(6; 2)$ , $(2; 6)$ .

2) ${x^{2} + y^{2} = 25 x y = - 12$

Розв’язання:

$(x + y)^{2} = 1 ⟹ x + y = \pm 1$

$(x - y)^{2} = 49 ⟹ x - y = \pm 7$

Відповідь: $(4; - 3)$ , $(- 3; 4)$ , $(3; - 4)$ , $(- 4; 3)$ .

№ 60. Знайдіть усі розв’язки системи рівнянь:

1) ${5 y^{2} + x^{2} = 29 2 y^{2} + x^{2} = 17$

Розв’язання:

$3 y^{2} = 12 ⟹ y^{2} = 4 ⟹ y = \pm 2, x^{2} = 9 ⟹ x = \pm 3$

Відповідь: $(3; 2)$ , $(3; - 2)$ , $(- 3; 2)$ , $(- 3; - 2)$ .

2) ${x^{2} + 2 y = 5 5 x^{2} + 3 y = 39$

Розв’язання:

$x^{2} = 5 - 2 y ⟹ 5 (5 - 2 y) + 3 y = 39 ⟹ - 7 y = 14 ⟹ y = - 2, x = \pm 3$

Відповідь: $(3; - 2)$ , $(- 3; - 2)$ .

3) ${3 x^{2} + x y = 10 2 x^{2} + 5 x y = - 2$

Розв’язання:

$13 x^{2} = 52 ⟹ x = \pm 2$

Якщо $x = 2$ , то $y = - 1$ . Якщо $x = - 2$ , то $y = 1$ .

Відповідь: $(2; - 1)$ , $(- 2; 1)$ .

4) $⎩ ⎨ ⎧ \frac{3}{x} + \frac{5}{y} = 1 \frac{3}{x} - \frac{5}{y} = 0$

Розв’язання:

$\frac{6}{x} = 1 ⟹ x = 6, \frac{10}{y} = 1 ⟹ y = 10$

Відповідь: $(6; 10)$ .

№ 61. Розв’яжіть графічно систему рівнянь:

1) $⎩ ⎨ ⎧ y = ∣ x - 3∣ \frac{1}{4} x y - 1 = 0$

Відповідь: $(4; 1)$ .

2) ${y = ∣ x ∣ - 1 y - x^{2} + 1 = 0$

Відповідь: $(- 1; 0)$ , $(0; - 1)$ , $(1; 0)$ .

№ 62. Знайдіть усі розв’язки системи рівнянь:

1) ${x y - x - 2 y = 7 3 x y - x - 3 y = 13$

Розв’язання:

$2 x y - y = 6 ⟹ y = \frac{6}{2 x - 1}$

$2 x + 3 y = - 8 ⟹ 2 x^{2} + 7 x + 5 = 0 ⟹ x_{1} = - 2, 5, x_{2} = - 1$

$y_{1} = - 1, y_{2} = - 2$

Відповідь: $(- 2, 5; - 1)$ , $(- 1; - 2)$ .

2) ${x^{2} - x y = 6 y^{2} - x y = - 2$

Розв’язання:

$(x - y)^{2} = 4 ⟹ x - y = \pm 2$

Відповідь: $(3; 1)$ , $(- 3; - 1)$ .

№ 63. Розв’яжіть систему рівнянь:

1) $⎩ ⎨ ⎧ x + y + \frac{x}{y} = 11 \frac{x}{y} (x + y) = 24$

Розв’язання:

Заміна $u = x + y$ , $v = \frac{x}{y}$ .

$t^{2} - 11 t + 24 = 0 ⟹ t_{1} = 3, t_{2} = 8$

Відповідь: $(6; 2)$ , $(2 \frac{2}{3}; \frac{1}{3})$ .

2) $⎩ ⎨ ⎧ \frac{x + 3 y}{x - y} - \frac{x - y}{x + 3 y} = \frac{24}{5} 5 x + 8 y = 18$

Розв’язання:

Заміна $t = \frac{x + 3 y}{x - y} ⟹ 5 t^{2} - 24 t - 5 = 0 ⟹ t_{1} = 5, t_{2} = - \frac{1}{5}$ .

Відповідь: $(2; 1)$ , $(11 \frac{5}{11}; - 4 \frac{10}{11})$ .

№ 64. Різниця двох чисел дорівнює 3, а добуток дорівнює 10. Знайдіть ці числа.

Розв’язання:

${x - y = 3 x y = 10 ⟹ y (y + 3) = 10 ⟹ y^{2} + 3 y - 10 = 0$

$y_{1} = 2 ⟹ x_{1} = 5$

$y_{2} = - 5 ⟹ x_{2} = - 2$

Відповідь: $5$ і $2$ або $- 2$ і $- 5$ .

№ 65. Сума двох чисел дорівнює 12, а різниця їх квадратів – 24. Знайдіть ці числа.

Розв’язання:

${x + y = 12 (x - y) (x + y) = 24 ⟹ {x + y = 12 x - y = 2 ⟹ x = 7, y = 5$

Відповідь: $7$ і $5$ .

№ 66. Знайдіть катети прямокутного трикутника, якщо їх сума дорівнює 12 см, а площа трикутника дорівнює 16 см².

Розв’язання:

$⎩ ⎨ ⎧ x + y = 12 \frac{1}{2} x y = 16 ⟹ {x + y = 12 x y = 32 ⟹ x^{2} - 12 x + 32 = 0 ⟹ x_{1} = 4, x_{2} = 8$

Відповідь: $4 см$ і $8 см$ .

№ 67. Добуток двох чисел дорівнює 20, а сума першого числа і потроєного другого дорівнює 19. Знайдіть ці числа.

Розв’язання:

${x y = 20 x + 3 y = 19 ⟹ (19 - 3 y) y = 20 ⟹ 3 y^{2} - 19 y + 20 = 0$

$y_{1} = 5 ⟹ x_{1} = 4$

$y_{2} = 1 \frac{1}{3} ⟹ x_{2} = 15$

Відповідь: $4$ і $5$ або $15$ і $1 \frac{1}{3}$ .

№ 68. Діагональ прямокутника дорівнює 15 см, а його площа – 108 см². Знайдіть сторони прямокутника.

Розв’язання:

${x^{2} + y^{2} = 225 x y = 108 ⟹ (x + y)^{2} = 225 + 216 = 441 ⟹ x + y = 21$

$x^{2} - 21 x + 108 = 0 ⟹ x_{1} = 9, x_{2} = 12$

Відповідь: $9 см$ і $12 см$ .

№ 69. Сума площ квадратів, побудованих на катетах прямокутного трикутника, дорівнює 41 см², а площа трикутника – 10 см². Знайдіть катети трикутника.

Розв’язання:

$⎩ ⎨ ⎧ a^{2} + b^{2} = 41 \frac{1}{2} ab = 10 ⟹ (a + b)^{2} = 41 + 40 = 81 ⟹ a + b = 9$

$a^{2} - 9 a + 20 = 0 ⟹ a_{1} = 4, a_{2} = 5$

Відповідь: $4 см$ і $5 см$ .

№ 70. Сума квадратів цифр двоцифрового числа дорівнює 34. Якщо до цього числа додати 18, то отримаємо число, що записано тими самими цифрами, але у зворотному порядку. Знайдіть це число.

Розв’язання:

${x^{2} + y^{2} = 34 10 x + y + 18 = 10 y + x ⟹ y = x + 2$

$x^{2} + (x + 2)^{2} = 34 ⟹ 2 x^{2} + 4 x - 30 = 0 ⟹ x^{2} + 2 x - 15 = 0 ⟹ x = 3, y = 5$

Відповідь: $35$ .

№ 71. Площа прямокутника дорівнює 40 см². Якщо одну з його сторін збільшити на 2 см, а другу – на 1 см, то матимемо прямокутник із площею 60 см². Знайдіть периметр початкового прямокутника.

Розв’язання:

${x y = 40 (x + 2) (y + 1) = 60 ⟹ x + 2 y = 18 ⟹ x = 18 - 2 y$

$(18 - 2 y) y = 40 ⟹ y^{2} - 9 y + 20 = 0 ⟹ y_{1} = 4, y_{2} = 5$

Сторони прямокутника дорівнюють $8 см$ і $10 см$ .

$P = 2 (8 + 10) = 36 (см)$

Відповідь: $36 см$ .

№ 72. З міста A до міста B, відстань між якими 240 км, одночасно виїхали дві автівки. Через 2 год виявилося, що перша проїхала на 20 км більше, ніж друга. Знайдіть швидкість кожної автівки, якщо на весь шлях перша витрачає на 20 хв менше, ніж друга.

Розв’язання:

$2 x - 2 y = 20 ⟹ x = y + 10$

$\frac{240}{y} - \frac{240}{y + 10} = \frac{1}{3}$

$y^{2} + 10 y - 7200 = 0 ⟹ y = 80 (км / год), x = 90 (км / год)$

Відповідь: $90 км / год$ і $80 км / год$ .

№ 73. У кілька однакових кошиків розклали порівну 24 кг малини. Якби в кожен кошик поклали на 1 кг малини більше, то 2 кошики виявилися б зайвими. Скільки було кошиків?

Розв’язання:

$(x - 2) (\frac{24}{x} + 1) = 24 ⟹ x^{2} - 2 x - 48 = 0 ⟹ x = 8$

Відповідь: $8$ кошиків.

№ 74. (Задача Маклорена.) Кілька осіб пообідали разом і мали заплатити за обід 175 шилінгів. З’ясувалося, що у двох не було із собою коштів, тому інші заплатили на 10 шилінгів більше, ніж мали заплатити. Скільки осіб пообідало разом?

Розв’язання:

$(x - 2) (\frac{175}{x} + 10) = 175 ⟹ x^{2} - 2 x - 35 = 0 ⟹ x = 7$

Відповідь: $7$ осіб.

№ 75. Яке двоцифрове число на 4 менше від суми квадратів його цифр і на 5 більше за їх подвоєний добуток?

Розв’язання:

${10 a + b = a^{2} + b^{2} - 4 10 a + b = 2 ab + 5 ⟹ (a - b)^{2} = 9 ⟹ a - b = \pm 3$

1) Якщо $a - b = 3 ⟹ a = 8, b = 5 ⟹ 85$ .

2) Якщо $a - b = - 3 ⟹ a = 2, b = 5 ⟹ 25$ .

Відповідь: $25$ або $85$ .

ДО § 14

№ 76. Периметр ділянки прямокутної форми дорівнює 360 м. Якщо довжину ділянки зменшити на 20 м, а ширину – на 30 м, то площа ділянки зменшиться вдвічі. Знайдіть розміри ділянки, якщо її довжина більша за ширину.

Розв’язання:

Нехай довжина дорівнює $x м$ , тоді ширина $y = (180 - x) м$ .

$x (180 - x) = 2 (x - 20) (150 - x)$

$x^{2} - 160 x + 6000 = 0 ⟹ x_{1} = 100, x_{2} = 60$

Оскільки $x > y$ , маємо $x = 100 м$ , $y = 80 м$ .

Відповідь: $100 м$ і $80 м$ .

№ 77. Дві бригади, працюючи разом, можуть виконати певне завдання за 12 год. Якщо спочатку половину роботи виконає перша бригада, а потім друга її завершить, то всю роботу буде виконано за 25 год. За скільки годин може виконати завдання кожна бригада, працюючи самостійно?

Розв’язання:

$⎩ ⎨ ⎧ \frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{1}{12} x + y = 50 ⟹ x^{2} - 50 x + 600 = 0 ⟹ x_{1} = 20, x_{2} = 30$

Відповідь: за $20 год$ і $30 год$ .

№ 78. Майстриня-склодув мала виготовити 200 скляних новорічних іграшок. Перші два дні вона виконувала денну норму, а потім щодня виготовляла на 4 іграшки більше, ніж передбачено нормою. Тому вже за день до кінця терміну виготовила 208 скляних іграшок. Скільки іграшок щодня мала виготовляти майстриня за нормою?

Розв’язання:

$2 x + (x + 4) (\frac{200}{x} - 3) = 208$

$x^{2} + 20 x - 800 = 0 ⟹ x = 20$

Відповідь: $20$ іграшок.

ВПРАВИ ДЛЯ ПОВТОРЕННЯ РОЗДІЛУ 2

Теги статті:

До уроку