До § 1

№ 1. Відомо, що $m < n$ . Чи може різниця $m - n$ дорівнювати:

1) $2, 7$ ;

2) $π$ ;

3) $0$ ;

4) $- 3, 8$ ?

Розв’язання:

За означенням поняття нерівності чисел, якщо $m < n$ , то різниця $m - n$ має бути від’ємним числом ( $m - n < 0$ ).

1) $2, 7 > 0$ (додатне число), тому різниця $m - n$ не може дорівнювати $2, 7$ .

2) $π \approx 3, 14 > 0$ (додатне число), тому різниця $m - n$ не може дорівнювати $π$ .

3) $0$ відповідає випадку $m = n$ , тому різниця $m - n$ не може дорівнювати $0$ .

4) $- 3, 8 < 0$ (від’ємне число), тому різниця $m - n$ може дорівнювати $- 3, 8$ .

Відповідь: 1) ні; 2) ні; 3) ні; 4) так.

№ 2. Доведіть нерівність:

1) $5 (m - 3) > 5 m - 16$

Розв’язання:

Знайдемо різницю між лівою та правою частинами нерівності:

$L - R = 5 (m - 3) - (5 m - 16) = 5 m - 15 - 5 m + 16 = 1$

Оскільки різниця $1 > 0$ є додатною при будь-якому значенні $m$ , то ліва частина завжди більша за праву: $5 (m - 3) > 5 m - 16$ .

Відповідь: нерівність доведено.

2) $x (x + 10) + 2 > 10 x$

Розв’язання:

Знайдемо різницю між лівою та правою частинами нерівності:

$L - R = x (x + 10) + 2 - 10 x = x^{2} + 10 x + 2 - 10 x = x^{2} + 2$

Оскільки $x^{2} \geq 0$ для будь-якого дійсного $x$ , то $x^{2} + 2 \geq 2 > 0$ . Різниця строго додатна, отже, $x (x + 10) + 2 > 10 x$ .

Відповідь: нерівність доведено.

3) $(a - 7) (a + 10) < (a + 4) (a - 1)$

Розв’язання:

Розкриємо дужки у лівій та правій частинах нерівності:

$L = (a - 7) (a + 10) = a^{2} + 10 a - 7 a - 70 = a^{2} + 3 a - 70$

$R = (a + 4) (a - 1) = a^{2} - a + 4 a - 4 = a^{2} + 3 a - 4$

Знайдемо різницю частин:

$L - R = (a^{2} + 3 a - 70) - (a^{2} + 3 a - 4) = a^{2} + 3 a - 70 - a^{2} - 3 a + 4 = - 66$

Оскільки $- 66 < 0$ , різниця є від’ємною, що доводить нерівність $(a - 7) (a + 10) < (a + 4) (a - 1)$ .

Відповідь: нерівність доведено.

4) $p (p - 6) < (p - 3)^{2}$

Розв’язання:

Знайдемо різницю між лівою та правою частинами:

$L - R = p (p - 6) - (p - 3)^{2} = (p^{2} - 6 p) - (p^{2} - 6 p + 9) = p^{2} - 6 p - p^{2} + 6 p - 9 = - 9$

Оскільки $- 9 < 0$ , різниця від’ємна при будь-яких значеннях $p$ , отже, $p (p - 6) < (p - 3)^{2}$ .

Відповідь: нерівність доведено.

5) $(m - 2)^{2} > - 4 m$

Розв’язання:

Знайдемо різницю між лівою та правою частинами:

$L - R = (m - 2)^{2} - (- 4 m) = m^{2} - 4 m + 4 + 4 m = m^{2} + 4$

Оскільки квадрат будь-якого числа невід’ємний ( $m^{2} \geq 0$ ), вираз $m^{2} + 4 \geq 4 > 0$ завжди додатний. Отже, $(m - 2)^{2} > - 4 m$ .

Відповідь: нерівність доведено.

6) $p + 1 \leq \frac{( p + 2 ) ^{2}}{4}$

Розв’язання:

Знайдемо різницю між лівою та правою частинами:

$L - R = (p + 1) - \frac{( p + 2 ) ^{2}}{4} = \frac{4 ( p + 1 ) - ( p ^{2} + 4 p + 4 )}{4} = \frac{4 p + 4 - p ^{2} - 4 p - 4}{4} = \frac{- p ^{2}}{4} = - \frac{p ^{2}}{4}$

Оскільки $p^{2} \geq 0$ для всіх $p$ , то значення $- \frac{p ^{2}}{4} \leq 0$ завжди не перевищує нуль. Звідси випливає, що $p + 1 \leq \frac{( p + 2 ) ^{2}}{4}$ .

Відповідь: нерівність доведено.

ВПРАВИ ДЛЯ ПОВТОРЕННЯ РОЗДІЛУ 1. ДО § 1

№ 3. Які з нерівностей є правильними за будь-якого значення $a$ :

1) $(2 a + 3) (2 a - 3) < 4 a^{2} + 2 a$ ;

Розв’язання:

Розкриємо дужки у лівій частині нерівності за формулою різниці квадратів:

$(2 a + 3) (2 a - 3) = 4 a^{2} - 9$

Знайдемо різницю лівої та правої частин нерівності:

$(4 a^{2} - 9) - (4 a^{2} + 2 a) = 4 a^{2} - 9 - 4 a^{2} - 2 a = - 2 a - 9$

Знак виразу $- 2 a - 9$ залежить від значення $a$ (наприклад, при $a = 0$ вираз дорівнює $- 9 < 0$ , а при $a = - 5$ вираз дорівнює $1 > 0$ ). Отже, різниця не завжди від’ємна, тому нерівність є неправильною за будь-якого значення $a$ .

Відповідь: нерівність є неправильною за будь-якого значення $a$ .

2) $(3 a - 2) (3 a + 2) < 49 a^{2} + 0, 6$ ;

Розв’язання:

Розглянемо різницю лівої та правої частин нерівності:

$(3 a - 2) (3 a + 2) - (49 a^{2} + 0, 6) = 9 a^{2} - 4 - 49 a^{2} - 0, 6 = - 40 a^{2} - 4, 6$

Оскільки $a^{2} \geq 0$ для будь-якого $a \in R$ , то $- 40 a^{2} \leq 0$ , з чого випливає:

$- 40 a^{2} - 4, 6 \leq - 4, 6 < 0$

Оскільки різниця лівої та правої частин завжди від’ємна, нерівність є правильною за будь-якого значення $a$ .

Відповідь: нерівність є правильною за будь-якого значення $a$ .

3) $(3 a - 1)^{2} > 3 a (3 a - 2)$ ;

Розв’язання:

Розглянемо різницю лівої та правої частин нерівності:

$(3 a - 1)^{2} - 3 a (3 a - 2) = (9 a^{2} - 6 a + 1) - (9 a^{2} - 6 a) = 9 a^{2} - 6 a + 1 - 9 a^{2} + 6 a = 1$

Оскільки отримане число $1 > 0$ за будь-якого значення $a$ , різниця частин завжди додатна, а отже, нерівність є правильною за будь-якого значення $a$ .

Відповідь: нерівність є правильною за будь-якого значення $a$ .

4) $7 > (3 - a) (3 + a)$ ?

Розв’язання:

Знайдемо різницю лівої та правої частин нерівності:

$7 - (3 - a) (3 + a) = 7 - (9 - a^{2}) = 7 - 9 + a^{2} = a^{2} - 2$

Знак виразу $a^{2} - 2$ залежить від значення $a$ (наприклад, при $a = 0$ маємо $- 2 < 0$ , а при $a = 3$ маємо $7 > 0$ ). Оскільки різниця частин не завжди є додатною, нерівність є неправильною за будь-якого значення $a$ .

Відповідь: нерівність є неправильною за будь-якого значення $a$ .

№ 4. Доведіть нерівність:

1) $(m + 1)^{2} \geq 4 m$ ;

Розв’язання:

Розглянемо різницю лівої та правої частин нерівності:

$(m + 1)^{2} - 4 m = m^{2} + 2 m + 1 - 4 m = m^{2} - 2 m + 1 = (m - 1)^{2}$

Оскільки квадрат будь-якого дійсного числа є невід’ємним, тобто $(m - 1)^{2} \geq 0$ для всіх $m \in R$ , то різниця частин нерівності є невід’ємною.

Отже, нерівність $(m + 1)^{2} \geq 4 m$ доведено.

Відповідь: нерівність доведено.

2) $(4 b - 1)^{2} > - 8 b$ ;

Розв’язання:

Знайдемо різницю лівої та правої частин нерівності:

$(4 b - 1)^{2} - (- 8 b) = 16 b^{2} - 8 b + 1 + 8 b = 16 b^{2} + 1$

Оскільки $b^{2} \geq 0$ для всіх $b \in R$ , то $16 b^{2} \geq 0$ , звідси $16 b^{2} + 1 \geq 1 > 0$ .

Різниця лівої та правої частин є строго додатною, тому нерівність $(4 b - 1)^{2} > - 8 b$ доведено.

Відповідь: нерівність доведено.

3) $\frac{a ^{2} + 1}{2} \geq a$ ;

Розв’язання:

Розглянемо різницю лівої та правої частин нерівності:

$\frac{a ^{2} + 1}{2} - a = \frac{a ^{2} + 1 - 2 a}{2} = \frac{( a - 1 ) ^{2}}{2}$

Оскільки $(a - 1)^{2} \geq 0$ для будь-якого $a \in R$ , то дріб $\frac{( a - 1 ) ^{2}}{2} \geq 0$ .

Оскільки різниця частин є невід’ємною, нерівність $\frac{a ^{2} + 1}{2} \geq a$ доведено.

Відповідь: нерівність доведено.

4) $\frac{m}{m ^{2} + 1} \leq \frac{1}{2}$ .

Розв’язання:

Розглянемо різницю лівої та правої частин нерівності:

$\frac{m}{m ^{2} + 1} - \frac{1}{2} = \frac{2 m - ( m ^{2} + 1 )}{2 ( m ^{2} + 1 )} = \frac{2 m - m ^{2} - 1}{2 ( m ^{2} + 1 )} = \frac{- ( m ^{2} - 2 m + 1 )}{2 ( m ^{2} + 1 )} = - \frac{( m - 1 ) ^{2}}{2 ( m ^{2} + 1 )}$

Проаналізуємо знак отриманого дробу:

Чисельник $(m - 1)^{2} \geq 0$ , відповідно $- (m - 1)^{2} \leq 0$ .

Знаменник $2 (m^{2} + 1) > 0$ , оскільки $m^{2} + 1 \geq 1 > 0$ при будь-яких дійсних $m$ .

Оскільки чисельник недодатний, а знаменник строго додатний, то цілий дріб є невід’ємним зі знаком «мінус», тобто $- \frac{( m - 1 ) ^{2}}{2 ( m ^{2} + 1 )} \leq 0$ .

Отже, нерівність $\frac{m}{m ^{2} + 1} \leq \frac{1}{2}$ доведено.

Відповідь: нерівність доведено.

№ 5. Порівняйте число $m$ з нулем, якщо:

1) $2 m < 3 m$ ;

Розв’язання:

Перенесемо доданок $2 m$ у праву частину нерівності, змінивши знак на протилежний:

$0 < 3 m - 2 m ⟹ 0 < m ⟹ m > 0$

Відповідь: $m > 0$ .

2) $m > 5 m$ ;

Розв’язання:

Перенесемо доданок $5 m$ у ліву частину нерівності:

$m - 5 m > 0 ⟹ - 4 m > 0$

Поділимо обидві частини нерівності на від’ємне число $- 4$ та змінимо знак нерівності на протилежний:

$m < 0$

Відповідь: $m < 0$ .

3) $- m < - 3 m$ ;

Розв’язання:

Перенесемо доданок $- 3 m$ у ліву частину нерівності:

$- m + 3 m < 0 ⟹ 2 m < 0$

Поділимо обидві частини на додатне число $2$ :

$m < 0$

Відповідь: $m < 0$ .

4) $- 4 m > - 5 m$ .

Розв’язання:

Перенесемо доданок $- 5 m$ у ліву частину нерівності:

$- 4 m + 5 m > 0 ⟹ m > 0$

Відповідь: $m > 0$ .

№ 6. Доведіть нерівність:

1) $m^{2} + n^{2} - 2 m - 4 n + 5 \geq 0$ ;

Розв’язання:

Подамо число $5$ у вигляді суми $1 + 4$ та виділимо повні квадрати двочленів:

$m^{2} + n^{2} - 2 m - 4 n + 5 = (m^{2} - 2 m + 1) + (n^{2} - 4 n + 4) = (m - 1)^{2} + (n - 2)^{2}$

Оскільки квадрати дійсних чисел завжди є невід’ємними ( $(m - 1)^{2} \geq 0$ та $(n - 2)^{2} \geq 0$ ), сума двох невід’ємних чисел також завжди є невід’ємною:

$(m - 1)^{2} + (n - 2)^{2} \geq 0$

Отже, нерівність $m^{2} + n^{2} - 2 m - 4 n + 5 \geq 0$ доведено.

Відповідь: нерівність доведено.

2) $2 x^{2} - 10 x y + 25 y^{2} \geq 0$ .

Розв’язання:

Запишемо доданок $2 x^{2}$ як $x^{2} + x^{2}$ та виділимо повний квадрат:

$2 x^{2} - 10 x y + 25 y^{2} = x^{2} + (x^{2} - 10 x y + 25 y^{2}) = x^{2} + (x - 5 y)^{2}$

Оскільки $x^{2} \geq 0$ та $(x - 5 y)^{2} \geq 0$ для будь-яких $x, y \in R$ , їхня сума завжди невід’ємна:

$x^{2} + (x - 5 y)^{2} \geq 0$

Отже, нерівність $2 x^{2} - 10 x y + 25 y^{2} \geq 0$ доведено.

Відповідь: нерівність доведено.

№ 7. Порівняйте вирази:

1) $a^{3} - b^{3}$ і $ab (b - a)$ , якщо $a \geq b$ ;

Розв’язання:

Знайдемо різницю першого та другого виразів:

$(a^{3} - b^{3}) - ab (b - a)$

Застосуємо формулу різниці кубів $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + ab + b^{2})$ та винесемо знак «мінус» із дужок другого доданка:

$(a - b) (a^{2} + ab + b^{2}) + ab (a - b)$

Винесемо спільний множник $(a - b)$ за дужки:

$(a - b) (a^{2} + ab + b^{2} + ab) = (a - b) (a^{2} + 2 ab + b^{2}) = (a - b) (a + b)^{2}$

За умовою $a \geq b$ , тому $a - b \geq 0$ . Оскільки $(a + b)^{2} \geq 0$ , то добуток двох невід’ємних виразів є невід’ємним:

$(a - b) (a + b)^{2} \geq 0$

Оскільки різниця виразів є невід’ємною, випливає, що $a^{3} - b^{3} \geq ab (b - a)$ .

Відповідь: $a^{3} - b^{3} \geq ab (b - a)$ .

2) $m^{2} + n^{2}$ і $\frac{1}{2}$ , якщо $m + n = 1$ .

Розв’язання:

Виразимо $n$ із рівності $m + n = 1$ :

$n = 1 - m$

Підставимо отримане значення $n$ у вираз $m^{2} + n^{2}$ :

$m^{2} + n^{2} = m^{2} + (1 - m)^{2} = m^{2} + 1 - 2 m + m^{2} = 2 m^{2} - 2 m + 1$

Розглянемо різницю першого виразу та числа $\frac{1}{2}$ :

$(2 m^{2} - 2 m + 1) - \frac{1}{2} = 2 m^{2} - 2 m + \frac{1}{2} = 2 (m^{2} - m + \frac{1}{4}) = 2 (m - \frac{1}{2})^{2}$

Оскільки $(m - \frac{1}{2})^{2} \geq 0$ при всіх дійсних $m$ , а $2 > 0$ , вираз $2 (m - \frac{1}{2})^{2} \geq 0$ .

Оскільки різниця виразів є невід’ємною, отримаємо, що $m^{2} + n^{2} \geq \frac{1}{2}$ .

Відповідь: $m^{2} + n^{2} \geq \frac{1}{2}$ .

ВПРАВИ ДЛЯ ПОВТОРЕННЯ РОЗДІЛУ 1. ДО § 1

№ 8. Відстань від села до міста становить 20 км. Одна з велосипедисток проїхала із села в місто й повернулася назад зі сталою швидкістю. Друга велосипедистка їхала із села в місто зі швидкістю, на 1 км/год більшою за швидкість першої, а поверталася назад зі швидкістю, на 1 км/год меншою від швидкості першої. Котра з велосипедисток витратила менше часу на дорогу?

Розв’язання:

1) Нехай швидкість першої велосипедистки дорівнює $v км / год$ , де $v > 1$ . Шлях в один бік дорівнює $20 км$ .

2) Знайдемо час, який витратила перша велосипедистка на шлях туди й назад:

$t_{1} = \frac{20}{v} + \frac{20}{v} = \frac{40}{v} (год)$

3) Знайдемо час, який витратила друга велосипедистка:

Швидкість туди: $(v + 1) км / год$ ;
Швидкість назад: $(v - 1) км / год$ .

$t_{2} = \frac{20}{v + 1} + \frac{20}{v - 1} = 20 \cdot (\frac{1}{v + 1} + \frac{1}{v - 1}) = 20 \cdot \frac{v - 1 + v + 1}{( v + 1 ) ( v - 1 )} = \frac{40 v}{v ^{2} - 1} (год)$

4) Порівняємо час $t_{1}$ та $t_{2}$ , знайшовши їхню різницю:

$t_{2} - t_{1} = \frac{40 v}{v ^{2} - 1} - \frac{40}{v} = 40 \cdot (\frac{v}{v ^{2} - 1} - \frac{1}{v}) = 40 \cdot \frac{v ^{2} - ( v ^{2} - 1 )}{v ( v ^{2} - 1 )} = \frac{40}{v ( v ^{2} - 1 )}$

Оскільки за умовою $v > 1$ , то $v > 0$ і $v^{2} - 1 > 0$ , звідси $\frac{40}{v ( v ^{2} - 1 )} > 0$ .

Отже, $t_{2} - t_{1} > 0 ⟹ t_{2} > t_{1}$ .

Це означає, що перша велосипедистка витратила менше часу на дорогу.

Відповідь: перша велосипедистка витратила менше часу.

№ 9. Порівняйте площу квадрата, сторона якого дорівнює 6 см, із площею довільного прямокутника, що має такий самий периметр, як у квадрата.

Розв’язання:

1) Обчислимо периметр та площу квадрата зі стороною $a = 6 см$ :

Периметр квадрата: $P = 4 a = 4 \cdot 6 = 24 см$ .
Площа квадрата: $S_{кв} = a^{2} = 6^{2} = 36 см^{2}$ .

2) Розглянемо довільний прямокутник із таким самим периметром $P = 24 см$ . Сума двох суміжних сторін прямокутника дорівнює півпериметру: $x + y = 12 см$ . Нехай одна зі сторін прямокутника дорівнює $x см$ ( $0 < x < 12$ ), тоді друга сторона дорівнює $(12 - x) см$ .

3) Площа прямокутника:

$S_{пр} = x (12 - x) = 12 x - x^{2} (см^{2})$

4) Знайдемо різницю площ квадрата та прямокутника:

$S_{кв} - S_{пр} = 36 - (12 x - x^{2}) = x^{2} - 12 x + 36 = (x - 6)^{2}$

Оскільки $(x - 6)^{2} \geq 0$ для будь-якого $x$ , то $S_{кв} - S_{пр} \geq 0 ⟹ S_{кв} \geq S_{пр}$ .

Якщо прямокутник не є квадратом ( $x \neq = 6$ ), то $(x - 6)^{2} > 0$ , звідси $S_{кв} > S_{пр}$ .

Відповідь: площа квадрата більша за площу довільного прямокутника (що не є квадратом), який має такий самий периметр.

До § 2

№ 10. У яких нерівностях правильно перенесено доданок з однієї частини у другу:

1) $m + 2 > 5, m > 5 + 2$ ;

2) $p - 7 \leq 2, p \leq 2 + 7$ ;

3) $9 > t - 7, 9 + 7 > t$ ;

4) $10 \leq a + 5, 10 - 5 \leq a$ ?

Розв’язання:

Згідно з властивістю нерівностей, якщо доданок перенести з однієї частини нерівності в іншу, змінивши його знак на протилежний, то одержимо правильну нерівність.

1) $m + 2 > 5 ⟹ m > 5 - 2$ . У пункті 1) знак доданка $2$ не змінили, тому перенесення неправильне.

2) $p - 7 \leq 2 ⟹ p \leq 2 + 7$ . Знак доданка $- 7$ змінили на $+ 7$ , перенесення правильне.

3) $9 > t - 7 ⟹ 9 + 7 > t$ . Знак доданка $- 7$ змінили на $+ 7$ , перенесення правильне.

4) $10 \leq a + 5 ⟹ 10 - 5 \leq a$ . Знак доданка $+ 5$ змінили на $- 5$ , перенесення правильне.

Відповідь: у нерівностях 2), 3), 4).

№ 11. Замініть «зірочку» знаком $>$ чи $<$ так, щоб твердження було правильним:

1) якщо $p > - 2$ , то $- 2 * p$ ;

2) якщо $2 < a, a < b$ , то $2 * b$ .

Розв’язання:

1) Якщо $p > - 2$ , то за властивістю симетричності числової нерівності $- 2 < p$ . Замінюємо «зірочку» знаком $<$ .

2) За властивістю транзитивності нерівностей: якщо $2 < a$ та $a < b$ , то $2 < b$ . Замінюємо «зірочку» знаком $<$ .

Відповідь: 1) $- 2 < p$ ; 2) $2 < b$ .

№ 12. Порівняйте числа:

1) $x + 5$ і $y + 5$ , якщо $x < y$ ;

2) $m - 2$ і $p - 2$ , якщо $p > m$ ;

3) $- m$ і $- n$ , якщо $m > n$ ;

4) $12 a$ і $12 b$ , якщо $a \geq b$ ;

5) $- 3 k$ і $- 3 p$ , якщо $p < k$ ;

6) $\frac{c}{5}$ і $\frac{d}{5}$ , якщо $d \geq c$ .

Розв’язання:

1) Оскільки $x < y$ , додамо до обох частин нерівності число $5$ :

$x + 5 < y + 5$

2) Оскільки $p > m$ , то $m < p$ . Віднімаємо від обох частин нерівності число $2$ :

$m - 2 < p - 2$

3) Оскільки $m > n$ , помножимо обидві частини нерівності на від’ємне число $- 1$ і змінимо знак нерівності на протилежний:

$- m < - n$

4) Оскільки $a \geq b$ , помножимо обидві частини нерівності на додатне число $12$ :

$12 a \geq 12 b$

5) Оскільки $p < k$ , помножимо обидві частини нерівності на від’ємне число $- 3$ і змінимо знак нерівності на протилежний:

$- 3 p > - 3 k ⟹ - 3 k < - 3 p$

6) Оскільки $d \geq c$ , тобто $c \leq d$ , поділимо обидві частини нерівності на додатне число $5$ :

$\frac{c}{5} \leq \frac{d}{5}$

Відповідь:

1) $x + 5 < y + 5$ ;

2) $m - 2 < p - 2$ ;

3) $- m < - n$ ;

4) $12 a \geq 12 b$ ;

5) $- 3 k < - 3 p$ ;

6) $\frac{c}{5} \leq \frac{d}{5}$ .

ДО § 2

№ 13. Відомо, що $a > b$ . Розмістіть у порядку зростання числа: $a + 3$ , $b - 3$ , $a + 1$ , $a$ , $b - 1$ , $b$ .

Розв’язання:

Оскільки $a > b$ , то за властивостями числових нерівностей:

1) Додавання або віднімання одного й того самого числа від обох частин нерівності зберігає її знак:

Для числа $b$ : $b - 3 < b - 1 < b$ .
Для числа $a$ : $a < a + 1 < a + 3$ .

2) З умови $a > b$ випливає, що $b < a$ .

Об’єднуючи ці нерівності в один ланцюжок, отримуємо:

$b - 3 < b - 1 < b < a < a + 1 < a + 3$

Відповідь: $b - 3$ , $b - 1$ , $b$ , $a$ , $a + 1$ , $a + 3$ .

№ 14. Відомо, що $x > y > 0$ . Порівняйте:

1) $8 x$ і $5 y$ ;

Розв’язання:

Оскільки $x > y$ і $x > 0, y > 0$ , помножимо нерівність $x > y$ на $5 > 0$ :

$5 x > 5 y$

Оскільки $x > 0$ , маємо $8 x > 5 x$ .

За властивістю транзитивності: $8 x > 5 x > 5 y ⟹ 8 x > 5 y$ .

Відповідь: $8 x > 5 y$ .

2) $3 x$ і $y$ ;

Розв’язання:

Оскільки $x > y > 0$ , то $3 x > x$ . З огляду на те, що $x > y$ , за властивістю транзитивності отримуємо:

$3 x > x > y ⟹ 3 x > y$

Відповідь: $3 x > y$ .

3) $- 3 x$ і $- y$ ;

Розв’язання:

З пункту 2) відомо, що $3 x > y$ .

Помножимо обидві частини нерівності $3 x > y$ на $- 1 < 0$ , при цьому знак нерівності змінюється на протилежний:

$- 3 x < - y$

Відповідь: $- 3 x < - y$ .

4) $- 5 x$ і $- 2 y$ .

Розв’язання:

Оскільки $x > y > 0$ , то $5 x > 5 y$ . Оскільки $y > 0$ , маємо $5 y > 2 y$ .

Отже, $5 x > 2 y$ .

Помножимо нерівність $5 x > 2 y$ на $- 1 < 0$ , змінюючи знак нерівності на протилежний:

$- 5 x < - 2 y$

Відповідь: $- 5 x < - 2 y$ .

№ 15. Оцініть значення виразу, якщо $1, 7 < 3 < 1, 8$ :

1) $- 23$ ;

Розв’язання:

Помножимо всі частини подвійної нерівності $1, 7 < 3 < 1, 8$ на $- 2 < 0$ , змінюючи знаки нерівності на протилежні:

$1, 7 \cdot (- 2) > - 23 > 1, 8 \cdot (- 2)$

$- 3, 4 > - 23 > - 3, 6$

Запишемо у звичайному порядку від найменшого числа до найбільшого:

$- 3, 6 < - 23 < - 3, 4$

Відповідь: $- 3, 6 < - 23 < - 3, 4$ .

2) $3 + 3$ ;

Розв’язання:

Додамо число $3$ до всіх частин нерівності $1, 7 < 3 < 1, 8$ :

$1, 7 + 3 < 3 + 3 < 1, 8 + 3$

$4, 7 < 3 + 3 < 4, 8$

Відповідь: $4, 7 < 3 + 3 < 4, 8$ .

3) $4 - 53$ ;

Розв’язання:

Спочатку оцінимо $- 53$ , помноживши нерівність $1, 7 < 3 < 1, 8$ на $- 5 < 0$ :

$1, 7 \cdot (- 5) > - 53 > 1, 8 \cdot (- 5)$

$- 8, 5 > - 53 > - 9 ⟹ - 9 < - 53 < - 8, 5$

Тепер додамо $4$ до всіх частин нерівності:

$4 - 9 < 4 - 53 < 4 - 8, 5$

$- 5 < 4 - 53 < - 4, 5$

Відповідь: $- 5 < 4 - 53 < - 4, 5$ .

4) $\frac{3}{2} - \frac{1}{2}$ .

Розв’язання:

Поділимо нерівність $1, 7 < 3 < 1, 8$ на $2 > 0$ :

$\frac{1 , 7}{2} < \frac{3}{2} < \frac{1 , 8}{2}$

$0, 85 < \frac{3}{2} < 0, 9$

Віднімемо $\frac{1}{2} = 0, 5$ від усіх частин:

$0, 85 - 0, 5 < \frac{3}{2} - \frac{1}{2} < 0, 9 - 0, 5$

$0, 35 < \frac{3}{2} - \frac{1}{2} < 0, 4$

Відповідь: $0, 35 < \frac{3}{2} - \frac{1}{2} < 0, 4$ .

№ 16. Відомо, що $a > 5$ . Порівняйте з нулем значення виразу:

1) $2 a - 10$ ;

Розв’язання:

Помножимо нерівність $a > 5$ на $2 > 0$ :

$2 a > 10$

Віднімемо $10$ від обох частин:

$2 a - 10 > 0$

Відповідь: $2 a - 10 > 0$ (вираз більший за нуль).

2) $35 - 7 a$ .

Розв’язання:

Помножимо нерівність $a > 5$ на $- 7 < 0$ , змінивши знак нерівності на протилежний:

$- 7 a < - 35$

Додамо $35$ до обох частин:

$35 - 7 a < 0$

Відповідь: $35 - 7 a < 0$ (вираз менший від нуля).

№ 17. Оцініть значення виразу $∣ x ∣$ , якщо:

1) $- 3 < x < - 1$ ;

Розв’язання:

Усі значення $x$ з даного проміжку є від’ємними ( $x < 0$ ), тому за означенням модуля $∣ x ∣ = - x$ .

Помножимо подвійну нерівність $- 3 < x < - 1$ на $- 1 < 0$ , змінюючи знаки нерівності на протилежні:

$(- 3) \cdot (- 1) > - x > (- 1) \cdot (- 1)$

$3 > ∣ x ∣ > 1 ⟹ 1 < ∣ x ∣ < 3$

Відповідь: $1 < ∣ x ∣ < 3$ .

2) $- 7 < x < 1$ .

Розв’язання:

Проміжок $(- 7; 1)$ містить число $0$ . Оскільки модуль будь-якого числа невід’ємний ( $∣ x ∣ \geq 0$ ), то найменше можливе значення виразу $∣ x ∣$ дорівнює $0$ (при $x = 0$ ).

Найбільше значення модуля визначається межею з більшим абсолютним значенням: $∣ - 7∣ = 7$ , а $∣1∣ = 1$ . Оскільки $x > - 7$ , то $∣ x ∣ < 7$ .

Отже, значення $∣ x ∣$ належать проміжку $[0; 7)$ :

$0 \leq ∣ x ∣ < 7$

Відповідь: $0 \leq ∣ x ∣ < 7$ .

ДО § 3

№ 18. Виконайте почленне додавання нерівностей:

1) $x < 3$ і $y < - 3$ ;

Розв’язання:

Додамо відповідно ліві та праві частини нерівностей одного знака:

$x + y < 3 + (- 3)$

$x + y < 0$

Відповідь: $x + y < 0$ .

2) $a > 5$ і $b > 7$ .

Розв’язання:

Додамо відповідно ліві та праві частини нерівностей одного знака:

$a + b > 5 + 7$

$a + b > 12$

Відповідь: $a + b > 12$ .

№ 19. Виконайте почленне множення нерівностей:

1) $m > 2$ і $n > 1$ ;

Розв’язання:

Оскільки обидві частини кожної з нерівностей є додатними числами, перемножимо відповідно їхні ліві та праві частини:

$m \cdot n > 2 \cdot 1$

$mn > 2$

Відповідь: $mn > 2$ .

2) $0 < p < 3$ і $0 < q < 5$ .

Розв’язання:

Оскільки всі члени подвійних нерівностей додатні, виконаємо їх почленне множення:

$0 \cdot 0 < p \cdot q < 3 \cdot 5$

$0 < pq < 15$

Відповідь: $0 < pq < 15$ .

№ 20. Оцініть значення виразу:

1) $ab + 2$ , якщо $1 < a < 5$ і $2 < b < 7$ ;

Розв’язання:

Перемножимо подвійні нерівності $1 < a < 5$ та $2 < b < 7$ , усі члени яких є додатними числами:

$1 \cdot 2 < a \cdot b < 5 \cdot 7$

$2 < ab < 35$

Додамо число $2$ до кожної частини отриманої подвійної нерівності:

$2 + 2 < ab + 2 < 35 + 2$

$4 < ab + 2 < 37$

Відповідь: $4 < ab + 2 < 37$ .

2) $p^{2} - 3$ , якщо $2 < p < 4$ .

Розв’язання:

Піднесемо кожну частину подвійної нерівності $2 < p < 4$ до квадрата (оскільки всі частини додатні):

$2^{2} < p^{2} < 4^{2}$

$4 < p^{2} < 16$

Віднімемо число $3$ від кожної частини нерівності:

$4 - 3 < p^{2} - 3 < 16 - 3$

$1 < p^{2} - 3 < 13$

Відповідь: $1 < p^{2} - 3 < 13$ .

№ 21. Чи правильне твердження:

1) якщо $x > 2$ , то $x^{2} > 4$ ;

Розв’язання:

Оскільки $x > 2 > 0$ , обидві частини нерівності є додатними числами. За властивістю числових нерівностей, підносячи обидві частини нерівності до квадрата, одержуємо правильну нерівність $x^{2} > 2^{2}$ , тобто $x^{2} > 4$ .

Відповідь: так, твердження правильне.

2) якщо $x < 2$ , то $x^{2} < 4$ ;

Розв’язання:

Спростуємо це твердження за допомогою контрприкладу. Нехай $x = - 5$ . Число $- 5 < 2$ , проте $(- 5)^{2} = 25$ , а $25 > 4$ . Отже, нерівність $x^{2} < 4$ виконується не для всіх $x < 2$ .

Відповідь: ні, твердження неправильне.

3) якщо $x > 2$ , то $\frac{1}{x} < \frac{1}{2}$ ;

Розв’язання:

Оскільки $x > 2$ , числа $x$ та $2$ мають однаковий знак (обидва додатні). За наслідком із властивостей числових нерівностей, якщо $a > b > 0$ , то $\frac{1}{a} < \frac{1}{b}$ . Отже, $\frac{1}{x} < \frac{1}{2}$ .

Відповідь: так, твердження правильне.

4) якщо $x < 2$ , то $\frac{1}{x} > \frac{1}{2}$ ?

Розв’язання:

Спростуємо це твердження за допомогою контрприкладу. Якщо обрати $x = - 1$ , то $- 1 < 2$ . Проте $\frac{1}{- 1} = - 1$ , а $- 1 < \frac{1}{2}$ . Крім того, при $x = 0$ вираз $\frac{1}{x}$ взагалі не має змісту.

Відповідь: ні, твердження неправильне.

№ 22. Оцініть площу $S$ квадрата з периметром $P см$ , якщо $36 < P < 40$ .

Розв’язання:

Периметр квадрата зі стороною $a см$ обчислюється за формулою $P = 4 a$ , звідки сторона квадрата дорівнює $a = \frac{P}{4} см$ .

Поділимо всі частини нерівності $36 < P < 40$ на $4$ :

$\frac{36}{4} < \frac{P}{4} < \frac{40}{4}$

$9 < a < 10$

Площа квадрата обчислюється за формулою $S = a^{2} см^{2}$ . Оскільки $a > 0$ , піднесемо кожну частину нерівності до квадрата:

$9^{2} < a^{2} < 1 0^{2}$

$81 < S < 100$

Відповідь: $81 < S < 100 см^{2}$ .

До § 3

№ 23. Порівняйте, якщо можливо:

1) $3 m + 2 n$ і $12$ , якщо $m > 3, n > 2$ ;

Розв’язання:

Помножимо нерівність $m > 3$ на $3 > 0$ :

$3 m > 9$

Помножимо нерівність $n > 2$ на $2 > 0$ :

$2 n > 4$

Додамо одержані нерівності одного знака:

$3 m + 2 n > 9 + 4 ⟹ 3 m + 2 n > 13$

Оскільки $3 m + 2 n > 13$ , а $13 > 12$ , за властивістю транзитивності числових нерівностей отримуємо:

$3 m + 2 n > 12$

Відповідь: $3 m + 2 n > 12$ .

2) $b - 3 a$ і $0$ , якщо $a > 8, b < 6$ ;

Розв’язання:

Помножимо нерівність $a > 8$ на від’ємне число $- 3$ , змінивши знак нерівності на протилежний:

$- 3 a < - 24$

Додамо нерівності одного знака $b < 6$ та $- 3 a < - 24$ :

$b + (- 3 a) < 6 + (- 24) ⟹ b - 3 a < - 18$

Оскільки $- 18 < 0$ , за транзитивністю маємо:

$b - 3 a < 0$

Відповідь: $b - 3 a < 0$ .

3) $x - 3 y$ і $1$ , якщо $x < 8, y < 0$ ;

Розв’язання:

Помножимо нерівність $y < 0$ на $- 3$ , змінивши знак нерівності:

$- 3 y > 0$

Маємо доданок $x < 8$ та доданок $- 3 y > 0$ . Оцінити суму $x + (- 3 y)$ порівняно з числом $1$ неможливо, оскільки значення $x$ обмежене зверху, а значення $- 3 y$ обмежене знизу.

Відповідь: порівняти неможливо.

4) $p - 4 q$ і $9$ , якщо $p < 8, q > 1$ .

Розв’язання:

Помножимо нерівність $q > 1$ на $- 4$ , змінивши знак нерівності:

$- 4 q < - 4$

Додамо нерівності одного знака $p < 8$ та $- 4 q < - 4$ :

$p + (- 4 q) < 8 + (- 4) ⟹ p - 4 q < 4$

Оскільки $4 < 9$ , за транзитивністю маємо:

$p - 4 q < 9$

Відповідь: $p - 4 q < 9$ .

№ 24. Оцініть значення виразу:

1) $a^{2} + 2 a + 5$ , якщо $0 < a < 1$ ;

Розв’язання:

Перетворимо вираз, виділивши повний квадрат:

$a^{2} + 2 a + 5 = (a^{2} + 2 a + 1) + 4 = (a + 1)^{2} + 4$

Виконаємо оцінювання послідовно:

1) Додамо $1$ до усіх частин нерівності $0 < a < 1$ :

$0 + 1 < a + 1 < 1 + 1 ⟹ 1 < a + 1 < 2$

2) Піднесемо до квадрата всі частини нерівності (оскільки вони додатні):

$1^{2} < (a + 1)^{2} < 2^{2} ⟹ 1 < (a + 1)^{2} < 4$

3) Додамо $4$ до усіх частин нерівності:

$1 + 4 < (a + 1)^{2} + 4 < 4 + 4 ⟹ 5 < a^{2} + 2 a + 5 < 8$

Відповідь: $5 < a^{2} + 2 a + 5 < 8$ .

2) $x^{2} - 4 x$ , якщо $1 < x < 2$ ;

Розв’язання:

Виділимо повний квадрат у виразі:

$x^{2} - 4 x = (x^{2} - 4 x + 4) - 4 = (x - 2)^{2} - 4$

Виконаємо оцінювання послідовно:

1) Віднімемо $2$ від усіх частин нерівності $1 < x < 2$ :

$1 - 2 < x - 2 < 2 - 2 ⟹ - 1 < x - 2 < 0$

2) Піднесемо до квадрата. Оскільки значення $(x - 2)$ є від’ємними, при піднесенні до квадрата знаки нерівності змінюються на протилежні для модулів чисел:

$0^{2} < (x - 2)^{2} < (- 1)^{2} ⟹ 0 < (x - 2)^{2} < 1$

3) Віднімемо $4$ від усіх частин нерівності:

$0 - 4 < (x - 2)^{2} - 4 < 1 - 4 ⟹ - 4 < x^{2} - 4 x < - 3$

Відповідь: $- 4 < x^{2} - 4 x < - 3$ .

3) $\frac{1}{a} + \frac{1}{b}$ , якщо $10 < a < 20, 5 < b < 10$ ;

Розв’язання:

За властивістю числових нерівностей для додатних чисел, якщо $x < y$ , то $\frac{1}{x} > \frac{1}{y}$ :

1) Оцінимо $\frac{1}{a}$ для $10 < a < 20$ :

$\frac{1}{20} < \frac{1}{a} < \frac{1}{10}$

2) Оцінимо $\frac{1}{b}$ для $5 < b < 10$ :

$\frac{1}{10} < \frac{1}{b} < \frac{1}{5}$

3) Додамо почленно отримані нерівності одного знака:

$\frac{1}{20} + \frac{1}{10} < \frac{1}{a} + \frac{1}{b} < \frac{1}{10} + \frac{1}{5}$

Зведемо дроби до спільного знаменника:

$\frac{3}{20} < \frac{1}{a} + \frac{1}{b} < \frac{3}{10}$

Відповідь: $\frac{3}{20} < \frac{1}{a} + \frac{1}{b} < \frac{3}{10}$ .

4) $\frac{1}{mn} - 7$ , якщо $1 < m < 2, 0, 3 < n < 0, 5$ .

Розв’язання:

1) Перемножимо почленно нерівності для додатних чисел $1 < m < 2$ та $0, 3 < n < 0, 5$ :

$1 \cdot 0, 3 < mn < 2 \cdot 0, 5 ⟹ 0, 3 < mn < 1$

2) Знайдемо значення оберненого виразу $\frac{1}{mn}$ :

$\frac{1}{1} < \frac{1}{mn} < \frac{1}{0 , 3} ⟹ 1 < \frac{1}{mn} < \frac{10}{3}$

3) Віднімемо $7$ від усіх частин нерівності:

$1 - 7 < \frac{1}{mn} - 7 < \frac{10}{3} - 7$

$- 6 < \frac{1}{mn} - 7 < - \frac{11}{3} ⟹ - 6 < \frac{1}{mn} - 7 < - 3 \frac{2}{3}$

Відповідь: $- 6 < \frac{1}{mn} - 7 < - 3 \frac{2}{3}$ .

№ 25. Порівняйте $x$ та $y$ , якщо $x > a^{2} + b^{2}, y < 2 ab$ .

Розв’язання:

За умовою маємо:

1) $x > a^{2} + b^{2}$

2) $y < 2 ab ⟹ - 2 ab < - y$

Додамо ці нерівності або розглянемо їх різницю:

$x - y > a^{2} + b^{2} - 2 ab ⟹ x - y > (a - b)^{2}$

Оскільки квадрат будь-якого дійсного числа є невід’ємним, тобто $(a - b)^{2} \geq 0$ , то:

$x - y > 0 ⟹ x > y$

Відповідь: $x > y$ .

№ 26. Оцініть площу $S$ прямокутника з периметром $P см$ і стороною $a см$ , якщо $20 < P < 30, 5 < a < 6$ .

Розв’язання:

1) Нехай сусідня сторона прямокутника дорівнює $b см$ . Периметр прямокутника дорівнює $P = 2 (a + b)$ , звідки:

$a + b = \frac{P}{2} ⟹ b = \frac{P}{2} - a$

2) Оцінимо значення другої сторони $b$ :

З нерівності $20 < P < 30$ поділимо всі частини на $2$ :

$10 < \frac{P}{2} < 15$

Помножимо нерівність $5 < a < 6$ на $- 1$ :

$- 6 < - a < - 5$

Додамо ці нерівності:

$10 + (- 6) < \frac{P}{2} - a < 15 + (- 5) ⟹ 4 < b < 10$

3) Оцінимо площу прямокутника $S = a \cdot b$ . Почленно перемножимо нерівності для додатних сторін $5 < a < 6$ та $4 < b < 10$ :

$5 \cdot 4 < a \cdot b < 6 \cdot 10 ⟹ 20 < S < 60$

Відповідь: $20 < S < 60 см^{2}$ .

№ 27. Доведіть нерівність:

1) $(x + 2 y) (\frac{1}{2 x} + \frac{1}{y}) \geq 4$ , якщо $x > 0, y > 0$ ;

Розв’язання:

Розкриємо дужки в лівій частині нерівності:

$(x + 2 y) (\frac{1}{2 x} + \frac{1}{y}) = x \cdot \frac{1}{2 x} + x \cdot \frac{1}{y} + 2 y \cdot \frac{1}{2 x} + 2 y \cdot \frac{1}{y} = \frac{1}{2} + \frac{x}{y} + \frac{y}{x} + 2 = 2, 5 + (\frac{x}{y} + \frac{y}{x})$

За нерівністю Коші про суму двох взаємно обернених додатних чисел ( $\frac{x}{y} > 0$ і $\frac{y}{x} > 0$ ):

$\frac{x}{y} + \frac{y}{x} \geq 2 \frac{x}{y} \cdot \frac{y}{x} = 2$

Додамо $2, 5$ до обох частин нерівності:

$2, 5 + (\frac{x}{y} + \frac{y}{x}) \geq 2, 5 + 2 = 4, 5$

Оскільки $4, 5 \geq 4$ , вихідне твердження доведено:

$(x + 2 y) (\frac{1}{2 x} + \frac{1}{y}) \geq 4$

Відповідь: нерівність доведено.

2) $(\frac{1}{m ^{2}} + p n) (\frac{4}{p ^{2}} + mn) (\frac{9}{n ^{2}} + p m) \geq 48$ , якщо $m > 0, n > 0, p > 0$ .

Розв’язання:

Застосуємо нерівність Коші ( $a + b \geq 2 ab$ при $a \geq 0, b \geq 0$ ) до кожної з трьох дужок:

1) Для першої дужки:

$\frac{1}{m ^{2}} + p n \geq 2 \frac{1}{m ^{2}} \cdot p n = \frac{2 p n}{m}$

2) Для другої дужки:

$\frac{4}{p ^{2}} + mn \geq 2 \frac{4}{p ^{2}} \cdot mn = \frac{4 mn}{p}$

3) Для третьої дужки:

$\frac{9}{n ^{2}} + p m \geq 2 \frac{9}{n ^{2}} \cdot p m = \frac{6 p m}{n}$

Перемножимо почленно одержані нерівності (оскільки всі їх частини додатні):

$(\frac{1}{m ^{2}} + p n) (\frac{4}{p ^{2}} + mn) (\frac{9}{n ^{2}} + p m) \geq \frac{2 p n}{m} \cdot \frac{4 mn}{p} \cdot \frac{6 p m}{n}$

Спростимо праву частину:

$\frac{2 \cdot 4 \cdot 6 \cdot p n \cdot mn \cdot p m}{m \cdot p \cdot n} = \frac{48 \cdot m ^{2} n ^{2} p ^{2}}{mn p} = \frac{48 mn p}{mn p} = 48$

Отже, маємо:

$(\frac{1}{m ^{2}} + p n) (\frac{4}{p ^{2}} + mn) (\frac{9}{n ^{2}} + p m) \geq 48$

Відповідь: нерівність доведено.

Вправи для повторення розділу 1. До § 4

№ 28. Які із чисел $- 2; - 1; 0; 1; 2$ є розв’язками нерівності:

1) $x < 1$ ;

Розв’язання:

Підставимо кожне із чисел $- 2; - 1; 0; 1; 2$ у нерівність $x < 1$ :

Для $x = - 2$ : $- 2 < 1$ — правильна числова нерівність.
Для $x = - 1$ : $- 1 < 1$ — правильна числова нерівність.
Для $x = 0$ : $0 < 1$ — правильна числова нерівність.
Для $x = 1$ : $1 < 1$ — неправильна числова нерівність.
Для $x = 2$ : $2 < 1$ — неправильна числова нерівність.

Відповідь: $- 2; - 1; 0$ .

2) $x \leq 1$ ;

Розв’язання:

Підставимо кожне із чисел $- 2; - 1; 0; 1; 2$ у нерівність $x \leq 1$ :

Для $x = - 2$ : $- 2 \leq 1$ — правильна числова нерівність.
Для $x = - 1$ : $- 1 \leq 1$ — правильна числова нерівність.
Для $x = 0$ : $0 \leq 1$ — правильна числова нерівність.
Для $x = 1$ : $1 \leq 1$ — правильна числова нерівність.
Для $x = 2$ : $2 \leq 1$ — неправильна числова нерівність.

Відповідь: $- 2; - 1; 0; 1$ .

3) $x > 1$ ;

Розв’язання:

Підставимо кожне із чисел $- 2; - 1; 0; 1; 2$ у нерівність $x > 1$ :

Для $x = - 2$ : $- 2 > 1$ — неправильна числова нерівність.
Для $x = - 1$ : $- 1 > 1$ — неправильна числова нерівність.
Для $x = 0$ : $0 > 1$ — неправильна числова нерівність.
Для $x = 1$ : $1 > 1$ — неправильна числова нерівність.
Для $x = 2$ : $2 > 1$ — правильна числова нерівність.

Відповідь: $2$ .

4) $x \geq 1$ ?

Розв’язання:

Підставимо кожне із чисел $- 2; - 1; 0; 1; 2$ у нерівність $x \geq 1$ :

Для $x = - 2$ : $- 2 \geq 1$ — неправильна числова нерівність.
Для $x = - 1$ : $- 1 \geq 1$ — неправильна числова нерівність.
Для $x = 0$ : $0 \geq 1$ — неправильна числова нерівність.
Для $x = 1$ : $1 \geq 1$ — правильна числова нерівність.
Для $x = 2$ : $2 \geq 1$ — правильна числова нерівність.

Відповідь: $1; 2$ .

№ 29. Запишіть три числа, які є розв’язками і нерівності $x \leq 5$ , і нерівності $x > 3$ .

Розв’язання:

Нерівності $x \leq 5$ та $x > 3$ мають виконуватися одночасно, що задається системою нерівностей:

{x \leq 5 x > 3

Спільним розв’язком цієї системи є числове значення $x \in (3; 5]$ .

Виберемо три числа з цього проміжку: $3, 5$ ; $4$ ; $5$ .

Перевіримо обрані числа:

Для $x = 3, 5$ : $3, 5 \leq 5$ та $3, 5 > 3$ (правильно).
Для $x = 4$ : $4 \leq 5$ та $4 > 3$ (правильно).
Для $x = 5$ : $5 \leq 5$ та $5 > 3$ (правильно).

Відповідь: $3, 5; 4; 5$ .

№ 30. Які із чисел $- 1; 0; 3; 5; 7$ задовольняють нерівність:

1) $\frac{1}{x} + x > 2$ ;

Розв’язання:

Область допустимих значень ( $ОДЗ$ ): $x \neq = 0$ . Значення $x = 0$ не належить $ОДЗ$ , оскільки ділення на нуль неможливе.

Перевіримо інші числа шляхом підстановки:

Для $x = - 1$ : $\frac{1}{- 1} + (- 1) = - 1 - 1 = - 2 > 2$ — неправильно.
Для $x = 0$ : вираз не має змісту.
Для $x = 3$ : $\frac{1}{3} + 3 = 3 \frac{1}{3} > 2$ — правильно.
Для $x = 5$ : $\frac{1}{5} + 5 = 5 \frac{1}{5} > 2$ — правильно.
Для $x = 7$ : $\frac{1}{7} + 7 = 7 \frac{1}{7} > 2$ — правильно.

Відповідь: $3; 5; 7$ .

2) $x + 2 < 3$ ?

Розв’язання:

Область допустимих значень ( $ОДЗ$ ): $x + 2 \geq 0 ⟹ x \geq - 2$ . Усі задані числа належать $ОДЗ$ .

Перевіримо кожне число шляхом підстановки:

Для $x = - 1$ : $- 1 + 2 = 1 = 1 < 3$ — правильно.
Для $x = 0$ : $0 + 2 = 2 \approx 1, 41 < 3$ — правильно.
Для $x = 3$ : $3 + 2 = 5 \approx 2, 24 < 3$ — правильно.
Для $x = 5$ : $5 + 2 = 7 \approx 2, 65 < 3$ — правильно.
Для $x = 7$ : $7 + 2 = 9 = 3 < 3$ — неправильно (оскільки $3 = 3$ ).

Відповідь: $- 1; 0; 3; 5$ .

№ 31. Знайдіть усі натуральні розв’язки нерівності $1 < \frac{10}{x} \leq 5$ .

Розв’язання:

Оскільки за умовою шукані розв’язки мають бути натуральними числами ( $x \in N$ ), то $x > 0$ .

Помножимо всі частини подвійної нерівності на $x > 0$ :

$1 \cdot x < 10 \leq 5 \cdot x$

Запишемо отриманий результат у вигляді системи двох нерівностей:

{x < 10 5 x \geq 10

Розв’яжемо другу нерівність системи:

$5 x \geq 10 ⟹ x \geq 2$

Отже, значення $x$ задовольняють подвійну нерівність:

$2 \leq x < 10$

Оскільки $x \in N$ , випишемо всі цілі додатні числа з проміжку $[2; 10)$ : $2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9$ .

Відповідь: $2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9$ .

№ 32. Які з розв’язків рівняння $x^{3} + 2 x^{2} - x - 2 = 0$ є розв’язками нерівності $x^{2} + 4 x + 3 \leq 0$ ?

Розв’язання:

1) Знайдемо корені рівняння $x^{3} + 2 x^{2} - x - 2 = 0$ методом групування:

$x^{2} (x + 2) - 1 (x + 2) = 0$

$(x + 2) (x^{2} - 1) = 0$

$(x + 2) (x - 1) (x + 1) = 0$

Прирівняємо кожен множник до нуля:

$x + 2 = 0 ⟹ x_{1} = - 2$
$x - 1 = 0 ⟹ x_{2} = 1$
$x + 1 = 0 ⟹ x_{3} = - 1$

2) Перевіримо, які з отриманих коренів задовольняють нерівність $x^{2} + 4 x + 3 \leq 0$ :

Для $x_{1} = - 2$ :

$(- 2)^{2} + 4 \cdot (- 2) + 3 = 4 - 8 + 3 = - 1 \leq 0 (правильно)$

Отже, $x = - 2$ є розв’язком нерівності.

Для $x_{2} = 1$ :

$1^{2} + 4 \cdot 1 + 3 = 1 + 4 + 3 = 8 \leq 0 (неправильно)$

Отже, $x = 1$ не є розв’язком нерівності.

Для $x_{3} = - 1$ :

$(- 1)^{2} + 4 \cdot (- 1) + 3 = 1 - 4 + 3 = 0 \leq 0 (правильно)$

Отже, $x = - 1$ є розв’язком нерівності.

Відповідь: $- 2; - 1$ .

До § 5 – § 6. Числові проміжки та нерівності з однією змінною

№ 33. Запишіть будь-які три числа, що належать проміжку:

1) $(- 4; 5)$

Розв’язання:

Числовий проміжок $(- 4; 5)$ містить усі дійсні числа, більші за $- 4$ та менші від $5$ . Оберемо три довільних числа з цього проміжку, наприклад, $0$ , $1$ та $2, 5$ .

Відповідь: $0; 1; 2, 5$ .

2) $[- 2; 7)$

Розв’язання:

Числовий проміжок $[- 2; 7)$ містить усі дійсні числа від $- 2$ (включно) до $7$ (не включаючи $7$ ). Оберемо три довільних числа з цього проміжку, наприклад, $- 2$ , $0$ та $5$ .

Відповідь: $- 2; 0; 5$ .

3) $[3; + \infty)$

Розв’язання:

Числовий проміжок $[3; + \infty)$ містить усі дійсні числа, більші або рівні $3$ . Оберемо три довільних числа з цього проміжку, наприклад, $3$ , $4$ та $10$ .

Відповідь: $3; 4; 10$ .

4) $(- \infty; 7)$

Розв’язання:

Числовий проміжок $(- \infty; 7)$ містить усі дійсні числа, менші від $7$ . Оберемо три довільних числа з цього проміжку, наприклад, $- 10$ , $0$ та $6$ .

Відповідь: $- 10; 0; 6$ .

5) $[1; 17]$

Розв’язання:

Числовий проміжок $[1; 17]$ містить усі дійсні числа від $1$ до $17$ включно. Оберемо три довільних числа з цього проміжку, наприклад, $1$ , $5$ та $17$ .

Відповідь: $1; 5; 17$ .

6) $(- \infty; - 1)$

Розв’язання:

Числовий проміжок $(- \infty; - 1)$ містить усі дійсні числа, менші від $- 1$ . Оберемо три довільних числа з цього проміжку, наприклад, $- 10$ , $- 5$ та $- 2$ .

Відповідь: $- 10; - 5; - 2$ .

7) $(4; 9]$

Розв’язання:

Числовий проміжок $(4; 9]$ містить усі дійсні числа, більші за $4$ та менші або рівні $9$ . Оберемо три довільних числа з цього проміжку, наприклад, $5$ , $7$ та $9$ .

Відповідь: $5; 7; 9$ .

8) $(5; + \infty)$

Розв’язання:

Числовий проміжок $(5; + \infty)$ містить усі дійсні числа, більші за $5$ . Оберемо три довільних числа з цього проміжку, наприклад, $6$ , $10$ та $100$ .

Відповідь: $6; 10; 100$ .

9) $[- 10; - 9]$

Розв’язання:

Числовий проміжок $[- 10; - 9]$ містить усі дійсні числа від $- 10$ до $- 9$ включно. Оберемо три довільних числа з цього проміжку, наприклад, $- 10$ , $- 9, 5$ та $- 9$ .

Відповідь: $- 10$ ; $- 9, 5$ ; $- 9$ .

№ 34. Знайдіть найменше і найбільше цілі числа, що належать проміжку:

1) $(- 7; 8)$

Розв’язання:

Проміжок $(- 7; 8)$ є відкритим, тобто числа $- 7$ та $8$ не належать проміжку.

Цілі числа, що належать проміжку: $- 6, - 5, - 4, - 3, - 2, - 1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7$ .

Найменше ціле число дорівнює $- 6$ , а найбільше ціле число дорівнює $7$ .

Відповідь: найменше ціле число $- 6$ , найбільше ціле число $7$ .

2) $[- 2; 3, 8)$

Розв’язання:

Проміжок $[- 2; 3, 8)$ містить числа, які задовольняють умову $- 2 \leq x < 3, 8$ .

Цілі числа з цього проміжку: $- 2, - 1, 0, 1, 2, 3$ .

Найменше ціле число дорівнює $- 2$ , найбільше ціле число дорівнює $3$ .

Відповідь: найменше ціле число $- 2$ , найбільше ціле число $3$ .

3) $(- 0, 2; 4]$

Розв’язання:

Проміжок $(- 0, 2; 4]$ містить числа, що задовольняють умову $- 0, 2 < x \leq 4$ .

Цілі числа з цього проміжку: $0, 1, 2, 3, 4$ .

Найменше ціле число дорівнює $0$ , найбільше ціле число дорівнює $4$ .

Відповідь: найменше ціле число $0$ , найбільше ціле число $4$ .

4) $(- 2, 99; 1, 98)$

Розв’язання:

Проміжок $(- 2, 99; 1, 98)$ містить числа, що задовольняють умову $- 2, 99 < x < 1, 98$ .

Цілі числа з цього проміжку: $- 2, - 1, 0, 1$ .

Найменше ціле число дорівнює $- 2$ , найбільше ціле число дорівнює $1$ .

Відповідь: найменше ціле число $- 2$ , найбільше ціле число $1$ .

№ 35. Запишіть три числа проміжку $[- \frac{2}{7}; - \frac{1}{7}]$ .

Розв’язання:

Зведемо дроби до спільного знаменника, помноживши чисельник і знаменник на $4$ :

$- \frac{2}{7} = - \frac{8}{28}$

$- \frac{1}{7} = - \frac{4}{28}$

Проміжок набуває вигляду $[- \frac{8}{28}; - \frac{4}{28}]$ .

Оберемо три числа, що належать цьому проміжку:

$- \frac{7}{28} = - \frac{1}{4}$

$- \frac{6}{28} = - \frac{3}{14}$

$- \frac{5}{28}$

Відповідь: $- \frac{1}{4}$ , $- \frac{3}{14}$ , $- \frac{5}{28}$ .

№ 36. Чи можна знайти найменше і найбільше числа, що належали б проміжку $[1, 6; 1, 8)$ ?

Розв’язання:

1) Ліва межа проміжку є закритою ( $x \geq 1, 6$ ), тому найменше число даного проміжку існує і воно дорівнює $1, 6$ .

2) Права межа проміжку є відкритою ( $x < 1, 8$ ). Серед дійсних чисел, менших від $1, 8$ , не існує найбільшого числа, оскільки для будь-якого $x < 1, 8$ можна вказати таке число $y$ , що $x < y < 1, 8$ (наприклад, середнє арифметичне $y = \frac{x + 1 , 8}{2}$ ).

Отже, найменше число знайти можна (це $1, 6$ ), а найбільше число знайти неможливо.

Відповідь: найменше число знайти можна, воно дорівнює $1, 6$ ; найбільше число знайти неможливо.

№ 37. Розв’яжіть нерівність:

1) $x - 3 \geq 0$

Розв’язання:

Перенесемо доданок $- 3$ у праву частину нерівності, змінивши його знак на протилежний:

$x \geq 3$

Множиною розв’язків є числове значення $x \in [3; + \infty)$ .

Відповідь: $x \in [3; + \infty)$ .

2) $x + 5 < 0$

Розв’язання:

Перенесемо доданок $5$ у праву частину нерівності, змінивши його знак на протилежний:

$x < - 5$

Множиною розв’язків є числове значення $x \in (- \infty; - 5)$ .

Відповідь: $x \in (- \infty; - 5)$ .

3) $x + 2 > 0$

Розв’язання:

Перенесемо доданок $2$ у праву частину нерівності, змінивши його знак на протилежний:

$x > - 2$

Множиною розв’язків є числове значення $x \in (- 2; + \infty)$ .

Відповідь: $x \in (- 2; + \infty)$ .

4) $x - 6 < 0$

Розв’язання:

Перенесемо доданок $- 6$ у праву частину нерівності, змінивши його знак на протилежний:

$x < 6$

Множиною розв’язків є числове значення $x \in (- \infty; 6)$ .

Відповідь: $x \in (- \infty; 6)$ .

До § 6. Лінійні нерівності з однією змінною

№ 38. Розв’яжіть нерівність і вкажіть два будь-яких цілих числа, що є її розв’язками:

1) $- 4 x > 12$ ;

Розв’язання:

Поділимо обидві частини нерівності на $- 4$ . Оскільки ділимо на від’ємне число, змінюємо знак нерівності на протилежний:

$x < \frac{12}{- 4}$

$x < - 3$

Множина розв’язків: $x \in (- \infty; - 3)$ .

Два цілих числа, що належать цьому проміжку: $- 4$ та $- 5$ .

Відповідь: $x \in (- \infty; - 3)$ ; цілі розв’язки: $- 4, - 5$ .

2) $3 x < 0$ ;

Розв’язання:

Поділимо обидві частини нерівності на $3$ :

$x < 0$

Множина розв’язків: $x \in (- \infty; 0)$ .

Два цілих числа, що належать цьому проміжку: $- 1$ та $- 2$ .

Відповідь: $x \in (- \infty; 0)$ ; цілі розв’язки: $- 1, - 2$ .

3) $- 5 x \leq - 15$ ;

Розв’язання:

Поділимо обидві частини нерівності на $- 5$ , змінивши знак нерівності на протилежний:

$x \geq \frac{- 15}{- 5}$

$x \geq 3$

Множина розв’язків: $x \in [3; + \infty)$ .

Два цілих числа, що належать цьому проміжку: $3$ та $4$ .

Відповідь: $x \in [3; + \infty)$ ; цілі розв’язки: $3, 4$ .

4) $2 x \geq - 7$ ;

Розв’язання:

Поділимо обидві частини нерівності на $2$ :

$x \geq - \frac{7}{2}$

$x \geq - 3, 5$

Множина розв’язків: $x \in [- 3, 5; + \infty)$ .

Два цілих числа, що належать цьому проміжку: $0$ та $1$ .

Відповідь: $x \in [- 3, 5; + \infty)$ ; цілі розв’язки: $0, 1$ .

№ 39. Знайдіть множину розв’язків нерівності:

1) $1 + 8 x < 9$ ;

Розв’язання:

Перенесемо $1$ у праву частину нерівності зі зміною знака:

$8 x < 9 - 1$

$8 x < 8$

Поділимо обидві частини на $8$ :

$x < 1$

Відповідь: $x \in (- \infty; 1)$ .

2) $4 x - 7 > 0$ ;

Розв’язання:

Перенесемо $- 7$ у праву частину нерівності зі зміною знака:

$4 x > 7$

Поділимо обидві частини на $4$ :

$x > \frac{7}{4}$

$x > 1, 75$

Відповідь: $x \in (1, 75; + \infty)$ .

3) $2 + 6 x \leq 5 + 7 x$ ;

Розв’язання:

Перенесемо доданки зі змінною в ліву частину, а числа — у праву:

$6 x - 7 x \leq 5 - 2$

$- x \leq 3$

Поділимо обидві частини на $- 1$ , змінивши знак нерівності:

$x \geq - 3$

Відповідь: $x \in [- 3; + \infty)$ .

4) $4 x + 7 \geq 6 x + 1$ ;

Розв’язання:

Перенесемо доданки зі змінною в ліву частину, а числа — у праву:

$4 x - 6 x \geq 1 - 7$

$- 2 x \geq - 6$

Поділимо обидві частини на $- 2$ , змінивши знак нерівності:

$x \leq \frac{- 6}{- 2}$

$x \leq 3$

Відповідь: $x \in (- \infty; 3]$ .

5) $3 x \geq 5 x + 1$ ;

Розв’язання:

Перенесемо $5 x$ у ліву частину:

$3 x - 5 x \geq 1$

$- 2 x \geq 1$

Поділимо обидві частини на $- 2$ , змінивши знак нерівності:

$x \leq - \frac{1}{2}$

$x \leq - 0, 5$

Відповідь: $x \in (- \infty; - 0, 5]$ .

6) $4 + 11 x < 5 + 12 x$ ;

Розв’язання:

Перенесемо доданки зі змінною в ліву частину, а числа — у праву:

$11 x - 12 x < 5 - 4$

$- x < 1$

Поділимо обидві частини на $- 1$ , змінивши знак нерівності:

$x > - 1$

Відповідь: $x \in (- 1; + \infty)$ .

№ 40. Розв’яжіть нерівність:

1) $\frac{2 x}{5} < 1$ ;

Розв’язання:

Помножимо обидві частини нерівності на $5$ :

$2 x < 5$

Поділимо на $2$ :

$x < \frac{5}{2}$

$x < 2, 5$

Відповідь: $x \in (- \infty; 2, 5)$ .

2) $\frac{x}{7} \geq 0$ ;

Розв’язання:

Помножимо обидві частини нерівності на $7$ :

$x \geq 0$

Відповідь: $x \in [0; + \infty)$ .

3) $\frac{4 x}{3} > 2$ ;

Розв’язання:

Помножимо обидві частини нерівності на $3$ :

$4 x > 6$

Поділимо на $4$ :

$x > \frac{6}{4}$

$x > 1, 5$

Відповідь: $x \in (1, 5; + \infty)$ .

4) $\frac{5 x}{8} \leq 0$ ;

Розв’язання:

Помножимо обидві частини нерівності на $8$ :

$5 x \leq 0$

Поділимо на $5$ :

$x \leq 0$

Відповідь: $x \in (- \infty; 0]$ .

5) $\frac{x + 2}{20} \geq 1$ ;

Розв’язання:

Помножимо обидві частини нерівності на $20$ :

$x + 2 \geq 20$

Перенесемо $2$ у праву частину:

$x \geq 20 - 2$

$x \geq 18$

Відповідь: $x \in [18; + \infty)$ .

6) $\frac{3 - x}{2} \leq 1$ ;

Розв’язання:

Помножимо обидві частини нерівності на $2$ :

$3 - x \leq 2$

Перенесемо $3$ у праву частину:

$- x \leq 2 - 3$

$- x \leq - 1$

Поділимо обидві частини на $- 1$ , змінивши знак нерівності:

$x \geq 1$

Відповідь: $x \in [1; + \infty)$ .

№ 41. За яких значень $x$ значення виразу $2 x + 3$ менше від відповідного значення виразу $4 x - 7$ ?

Розв’язання:

Складемо та розв’яжемо нерівність за умовою задачі:

$2 x + 3 < 4 x - 7$

Перенесемо доданки зі змінною $x$ у ліву частину, а числа — у праву:

$2 x - 4 x < - 7 - 3$

$- 2 x < - 10$

Поділимо обидві частини нерівності на від’ємне число $- 2$ , змінивши знак нерівності на протилежний:

$x > \frac{- 10}{- 2}$

$x > 5$

Отже, значення виразу $2 x + 3$ менше від відповідного значення виразу $4 x - 7$ при $x > 5$ .

Відповідь: $x \in (5; + \infty)$ або при $x > 5$ .

№ 42. За яких значень $y$ сума дробів $\frac{y}{2}$ і $\frac{y}{3}$ більша за $10$ ?

Розв’язання:

Складемо та розв’яжемо нерівність за умовою задачі:

$\frac{y}{2} + \frac{y}{3} > 10$

Помножимо обидві частини нерівності на найменший спільний знаменник $6$ :

$6 \cdot \frac{y}{2} + 6 \cdot \frac{y}{3} > 6 \cdot 10$

$3 y + 2 y > 60$

Зведемо подібні доданки:

$5 y > 60$

Поділимо обидві частини нерівності на $5$ :

$y > \frac{60}{5}$

$y > 12$

Отже, сума дробів $\frac{y}{2}$ і $\frac{y}{3}$ більша за $10$ при $y > 12$ .

Відповідь: $y \in (12; + \infty)$ або при $y > 12$ .

Вправи для повторення розділу 1

№ 43. Розв’яжіть нерівність:

1) $6 x^{2} \geq 48 + 3 x (2 x + 4)$ ;

Розв’язання:

Розкриємо дужки у правій частині нерівності:

$6 x^{2} \geq 48 + 6 x^{2} + 12 x$

Перенесемо доданки зі змінною $x$ вліво, а числа залишимо в правій частині:

$6 x^{2} - 6 x^{2} - 12 x \geq 48$

$- 12 x \geq 48$

Поділимо обидві частини на $- 12$ . Знак нерівності змінюється на протилежний, оскільки ділення здійснюється на від’ємне число:

$x \leq \frac{48}{- 12}$

$x \leq - 4$

Запишемо розв’язок у вигляді числового проміжку: $x \in (- \infty; - 4]$ .

Відповідь: $(- \infty; - 4]$ .

2) $(x + 6) (3 x - 8) > 20 + 3 (x^{2} - 1)$ ;

Розв’язання:

Розкриємо дужки в лівій та правій частинах нерівності:

$3 x^{2} - 8 x + 18 x - 48 > 20 + 3 x^{2} - 3$

$3 x^{2} + 10 x - 48 > 3 x^{2} + 17$

Зведемо подібні доданки та перенесемо доданок $- 48$ у праву частину:

$3 x^{2} - 3 x^{2} + 10 x > 17 + 48$

$10 x > 65$

Поділимо обидві частини нерівності на $10$ :

$x > 6, 5$

Запишемо розв’язок у вигляді числового проміжку: $x \in (6, 5; + \infty)$ .

Відповідь: $(6, 5; + \infty)$ .

3) $\frac{x - 2}{4} + \frac{x + 1}{3} \leq \frac{5 x}{12}$ ;

Розв’язання:

Помножимо обидві частини нерівності на найменший спільний знаменник $12 > 0$ :

$3 (x - 2) + 4 (x + 1) \leq 5 x$

Розкриємо дужки та зведемо подібні доданки:

$3 x - 6 + 4 x + 4 \leq 5 x$

$7 x - 2 \leq 5 x$

Перенесемо $5 x$ у ліву частину, а $- 2$ — у праву зі зміною знаків:

$7 x - 5 x \leq 2$

$2 x \leq 2$

Поділимо обидві частини нерівності на $2$ :

$x \leq 1$

Запишемо розв’язок у вигляді числового проміжку: $x \in (- \infty; 1]$ .

Відповідь: $(- \infty; 1]$ .

4) $x - 1 < \frac{3 x - 1}{3} + \frac{x + 1}{2}$ .

Розв’язання:

Помножимо обидві частини нерівності на найменший спільний знаменник $6 > 0$ :

$6 (x - 1) < 2 (3 x - 1) + 3 (x + 1)$

Розкриємо дужки:

$6 x - 6 < 6 x - 2 + 3 x + 3$

$6 x - 6 < 9 x + 1$

Перенесемо доданки зі змінною $x$ вліво, а числа вправо:

$6 x - 9 x < 1 + 6$

$- 3 x < 7$

Поділимо обидві частини на $- 3$ та змінимо знак нерівності на протилежний:

$x > - \frac{7}{3}$

$x > - 2 \frac{1}{3}$

Запишемо розв’язок у вигляді числового проміжку: $x \in (- 2 \frac{1}{3}; + \infty)$ .

Відповідь: $(- 2 \frac{1}{3}; + \infty)$ .

№ 44. Знайдіть найменше ціле значення $x$ , за якого значення дробу $\frac{3 x + 5}{2}$ менше від значення дробу $\frac{5 x - 7}{3}$ .

Розв’язання:

Складемо нерівність за умовою задачі:

$\frac{3 x + 5}{2} < \frac{5 x - 7}{3}$

Помножимо обидві частини нерівності на найменший спільний знаменник $6 > 0$ :

$3 (3 x + 5) < 2 (5 x - 7)$

Розкриємо дужки:

$9 x + 15 < 10 x - 14$

Перенесемо доданки зі змінною $x$ у ліву частину, а числові доданки — у праву:

$9 x - 10 x < - 14 - 15$

$- x < - 29$

Поділимо обидві частини на $- 1$ та змінимо знак нерівності на протилежний:

$x > 29$

Множиною розв’язків є числове значення $x \in (29; + \infty)$ .

Найменшим цілим числом, що належить цьому проміжку, є число $30$ .

Відповідь: $30$ .

№ 45. Знайдіть область визначення функції:

1) $y = \frac{2}{3} (x + 1) - 8$ ;

Розв’язання:

Область визначення функції з арифметичним квадратним коренем вимагає, щоб підкореневий вираз був невід’ємним:

$\frac{2}{3} (x + 1) - 8 \geq 0$

Перенесемо $- 8$ у праву частину нерівності зі зміною знака:

$\frac{2}{3} (x + 1) \geq 8$

Помножимо обидві частини на $\frac{3}{2}$ :

$x + 1 \geq 8 \cdot \frac{3}{2}$

$x + 1 \geq 12$

Віднімемо $1$ від обох частин:

$x \geq 11$

Область визначення функції: $D (y) = [11; + \infty)$ .

Відповідь: $D (y) = [11; + \infty)$ .

2) $y = \frac{x - 5}{x - 7}$ .

Розв’язання:

Область визначення цієї функції визначається двома умовами: підкореневий вираз у чисельнику має бути невід’ємним, а знаменник дробу не повинен дорівнювати нулю. Складемо та розв’яжемо систему:

{x - 5 \geq 0 x - 7 \neq = 0

{x \geq 5 x \neq = 7

На числовій прямій проміжок $[5; + \infty)$ з виключеною точкою $x = 7$ є об’єднанням двох проміжків: $[5; 7) \cup (7; + \infty)$ .

Відповідь: $D (y) = [5; 7) \cup (7; + \infty)$ .

№ 46. Довжина однієї сторони прямокутника дорівнює $6 см$ . Якою має бути довжина другої сторони, щоб периметр прямокутника був більшим за $30 см$ ?

Розв’язання:

1) Нехай довжина другої сторони прямокутника дорівнює $x см$ (де $x > 0$ ).

2) Периметр прямокутника зі сторонами $a = 6 см$ і $b = x см$ обчислюється за формулою:

$P = 2 (6 + x)$

За умовою задачі периметр має бути більшим за $30 см$ :

$2 (6 + x) > 30$

3) Поділимо обидві частини нерівності на $2$ :

$6 + x > 15$

Віднімемо $6$ від обох частин:

$x > 9$

4) Довжина другої сторони прямокутника має бути більшою за $9 см$ .

Відповідь: більшою за $9 см$ .

№ 47. Спортсмен-паралімпієць зробив $10$ пострілів по мішені. За кожен влучний постріл йому нараховують $3$ очки, а в разі промаху віднімають від результату $1$ очко. Відомо, що паралімпієць набрав більше ніж $17$ очок. Якою може бути кількість його влучних пострілів?

Розв’язання:

1) Нехай кількість влучних пострілів спортсмена дорівнює $x$ . Оскільки всього було зроблено $10$ пострілів, кількість промахів становить $(10 - x)$ . Змінна $x$ може набувати лише цілих значень від $0$ до $10$ включно ( $x \in {0, 1, 2, \dots, 10}$ ).

2) За влучні постріли спортсмен отримав $3 x$ очок, а за промахи у нього відняли $1 \cdot (10 - x)$ очок. Загальна кількість набраних очок дорівнює:

$3 x - (10 - x)$

За умовою результативна сума перевищує $17$ очок:

$3 x - (10 - x) > 17$

3) Розкриємо дужки:

$3 x - 10 + x > 17$

$4 x - 10 > 17$

Перенесемо $- 10$ у праву частину нерівності зі зміною знака:

$4 x > 27$

Поділимо обидві частини на $4$ :

$x > 6, 75$

4) Оскільки $x$ є цілим числом у межах від $0$ до $10$ і задовольняє умову $x > 6, 75$ , можливими значеннями кількості влучних пострілів є $7$ , $8$ , $9$ або $10$ .

Відповідь: $7$ , $8$ , $9$ або $10$ влучних пострілів.

Вправи для повторення розділу 1

№ 48. За яких значень $a$ рівняння:

1) $a x^{2} + 2 (a + 1) x + (a + 3) = 0$ не має коренів;

Розв’язання:

1) Розглянемо випадок, коли $a = 0$ . Тоді рівняння стає лінійним:

$0 \cdot x^{2} + 2 (0 + 1) x + (0 + 3) = 0$

$2 x + 3 = 0 ⟹ 2 x = - 3 ⟹ x = - 1, 5$

Оскільки при $a = 0$ рівняння має один корінь $x = - 1, 5$ , значення $a = 0$ умову задачі не задовольняє.

2) Якщо $a \neq = 0$ , рівняння є квадратним. Квадратне рівняння не має коренів тоді і тільки тоді, коли його дискримінант від’ємний ( $D < 0$ ).

Знайдемо дискримінант $D$ :

$D = b^{2} - 4 a c = [2 (a + 1)]^{2} - 4 \cdot a \cdot (a + 3) = 4 (a^{2} + 2 a + 1) - 4 (a^{2} + 3 a) = 4 a^{2} + 8 a + 4 - 4 a^{2} - 12 a = - 4 a + 4$

Встановимо умову відсутності коренів ( $D < 0$ ):

$- 4 a + 4 < 0 ⟹ - 4 a < - 4 ⟹ a > 1$

Оскільки при $a > 1$ умова $a \neq = 0$ виконується автоматично, то рівняння не має коренів при $a \in (1; + \infty)$ .

Відповідь: $a \in (1; + \infty)$ (або $a > 1$ ).

2) $a x^{2} - (2 a + 1) x + (a + 2) = 0$ має два різних корені?

Розв’язання:

1) Якщо $a = 0$ , рівняння перетворюється на лінійне:

$- (2 \cdot 0 + 1) x + (0 + 2) = 0 ⟹ - x + 2 = 0 ⟹ x = 2$

Рівняння має лише один корінь, тому $a = 0$ не підходить.

2) Якщо $a \neq = 0$ , рівняння є квадратним і має два різних корені тоді і тільки тоді, коли дискримінант строго більший за нуль ( $D > 0$ ).

Обчислимо дискримінант $D$ :

$D = b^{2} - 4 a c = (- (2 a + 1))^{2} - 4 \cdot a \cdot (a + 2) = (4 a^{2} + 4 a + 1) - (4 a^{2} + 8 a) = 4 a^{2} + 4 a + 1 - 4 a^{2} - 8 a = - 4 a + 1$

Складемо та розв’яжемо систему умов:

{a \neq = 0 D > 0 ⟹ {a \neq = 0 - 4 a + 1 > 0 ⟹ {a \neq = 0 - 4 a > - 1 ⟹ ⎩ ⎨ ⎧ a \neq = 0 a < \frac{1}{4}

Об’єднання цих умов дає множину $a \in (- \infty; 0) \cup (0; \frac{1}{4})$ .

Відповідь: $a \in (- \infty; 0) \cup (0; \frac{1}{4})$ (або $a < \frac{1}{4}$ та $a \neq = 0$ ).

№ 49. Розв’яжіть нерівність для всіх значень $a$ :

1) $5 + a x \geq a - 3 x$ ;

Розв’язання:

Перенесемо доданки зі змінною $x$ у ліву частину нерівності, а сталі числа — у праву:

$a x + 3 x \geq a - 5$

$(a + 3) x \geq a - 5$

Дослідимо розв’язки залежно від знака коефіцієнта $(a + 3)$ :

1) Якщо $a + 3 > 0 ⟹ a > - 3$ :

Поділимо обидві частини на додатне число $(a + 3)$ , зберігаючи знак нерівності:

$x \geq \frac{a - 5}{a + 3} ⟹ x \in [\frac{a - 5}{a + 3}; + \infty)$

2) Якщо $a + 3 < 0 ⟹ a < - 3$ :

Поділимо обидві частини на від’ємне число $(a + 3)$ , змінивши знак нерівності на протилежний:

$x \leq \frac{a - 5}{a + 3} ⟹ x \in (- \infty; \frac{a - 5}{a + 3}]$

3) Якщо $a + 3 = 0 ⟹ a = - 3$ :

Підставимо $a = - 3$ у нерівність:

$0 \cdot x \geq - 3 - 5 ⟹ 0 \geq - 8$

Нерівність є правильною при будь-якому значенні $x$ , тому $x \in R$ .

Відповідь: якщо $a > - 3$ , то $x \geq \frac{a - 5}{a + 3}$ ; якщо $a < - 3$ , то $x \leq \frac{a - 5}{a + 3}$ ; якщо $a = - 3$ , то $x \in R$ .

2) $3 (a - x) < 9 - a x$ ;

Розв’язання:

Розкриємо дужки в лівій частині:

$3 a - 3 x < 9 - a x$

Перенесемо доданки з $x$ вліво, інші — вправо:

$a x - 3 x < 9 - 3 a$

Винесемо спільні множники:

$(a - 3) x < 3 (3 - a) ⟹ (a - 3) x < - 3 (a - 3)$

Дослідимо випадок для коефіцієнта $(a - 3)$ :

1) Якщо $a - 3 > 0 ⟹ a > 3$ :

Поділимо обидві частини на $(a - 3) > 0$ :

$x < \frac{- 3 ( a - 3 )}{a - 3} ⟹ x < - 3 ⟹ x \in (- \infty; - 3)$

2) Якщо $a - 3 < 0 ⟹ a < 3$ :

Поділимо обидві частини на $(a - 3) < 0$ , змінивши знак нерівності:

$x > \frac{- 3 ( a - 3 )}{a - 3} ⟹ x > - 3 ⟹ x \in (- 3; + \infty)$

3) Якщо $a - 3 = 0 ⟹ a = 3$ :

Підставимо $a = 3$ :

$0 \cdot x < 0 ⟹ 0 < 0$

Твердження є хибним, отже, розв’язків немає ( $x \in \emptyset$ ).

Відповідь: якщо $a > 3$ , то $x < - 3$ ; якщо $a < 3$ , то $x > - 3$ ; якщо $a = 3$ , то розв’язків немає ( $x \in \emptyset$ ).

3) $(a + 1) x > a^{2} - 1$ ;

Розв’язання:

Розкладемо праву частину за формулою різниці квадратів:

$(a + 1) x > (a - 1) (a + 1)$

Дослідимо залежність від коефіцієнта $(a + 1)$ :

1) Якщо $a + 1 > 0 ⟹ a > - 1$ :

Поділимо на $(a + 1) > 0$ :

$x > a - 1 ⟹ x \in (a - 1; + \infty)$

2) Якщо $a + 1 < 0 ⟹ a < - 1$ :

Поділимо на $(a + 1) < 0$ , змінюючи знак нерівності:

$x < a - 1 ⟹ x \in (- \infty; a - 1)$

3) Якщо $a + 1 = 0 ⟹ a = - 1$ :

Підставимо $a = - 1$ :

$0 \cdot x > (- 1)^{2} - 1 ⟹ 0 \cdot x > 0 ⟹ 0 > 0$

Твердження хибне, тому розв’язків немає ( $x \in \emptyset$ ).

Відповідь: якщо $a > - 1$ , то $x > a - 1$ ; якщо $a < - 1$ , то $x < a - 1$ ; якщо $a = - 1$ , то розв’язків немає ( $x \in \emptyset$ ).

4) $(a^{2} - 4) x \leq a - 2$ .

Розв’язання:

Розкладемо ліву частину на множники:

$(a - 2) (a + 2) x \leq a - 2$

Дослідимо значення виразу $(a^{2} - 4)$ :

1) Якщо $a^{2} - 4 > 0 ⟹ a \in (- \infty; - 2) \cup (2; + \infty)$ :

Поділимо на $(a^{2} - 4) > 0$ :

$x \leq \frac{a - 2}{( a - 2 ) ( a + 2 )} ⟹ x \leq \frac{1}{a + 2} ⟹ x \in (- \infty; \frac{1}{a + 2}]$

2) Якщо $a^{2} - 4 < 0 ⟹ a \in (- 2; 2)$ :

Поділимо на $(a^{2} - 4) < 0$ , змінивши знак нерівності:

$x \geq \frac{a - 2}{( a - 2 ) ( a + 2 )} ⟹ x \geq \frac{1}{a + 2} ⟹ x \in [\frac{1}{a + 2}; + \infty)$

3) Якщо $a = 2$ :

Підставимо $a = 2$ :

$(2^{2} - 4) x \leq 2 - 2 ⟹ 0 \cdot x \leq 0 ⟹ 0 \leq 0$

Нерівність правильна для всіх $x$ , тобто $x \in R$ .

4) Якщо $a = - 2$ :

Підставимо $a = - 2$ :

$((- 2)^{2} - 4) x \leq - 2 - 2 ⟹ 0 \cdot x \leq - 4 ⟹ 0 \leq - 4$

Нерівність є хибною, тому розв’язків немає ( $x \in \emptyset$ ).

Відповідь: якщо $a < - 2$ або $a > 2$ , то $x \leq \frac{1}{a + 2}$ ; якщо $- 2 < a < 2$ , то $x \geq \frac{1}{a + 2}$ ; якщо $a = 2$ , то $x \in R$ ; якщо $a = - 2$ , то розв’язків немає ( $x \in \emptyset$ ).

ДО § 7

№ 50. Чи є розв’язком системи нерівностей ${2 x > 4 3 x < 12$ число:

1) $3$ ; 2) $2, 7$ ; 3) $1, 7$ ; 4) $- 1, 8$ ; 5) $3, 9$ ; 6) $4$ ?

Розв’язання:

Знайдемо множину розв’язків заданої системи нерівностей:

{2 x > 4 3 x < 12 ⟹ {x > 2 x < 4 ⟹ x \in (2; 4)

Перевіримо належність кожного числа числовому проміжку $(2; 4)$ :

1) $3 \in (2; 4)$ — число $3$ є розв’язком системи.

2) $2, 7 \in (2; 4)$ — число $2, 7$ є розв’язком системи.

3) $1, 7 \in / (2; 4)$ — число $1, 7$ не є розв’язком системи.

4) $- 1, 8 \in / (2; 4)$ — число $- 1, 8$ не є розв’язком системи.

5) $3, 9 \in (2; 4)$ — число $3, 9$ є розв’язком системи.

6) $4 \in / (2; 4)$ — число $4$ не є розв’язком системи (оскільки дужка кругла).

Відповідь: 1) так; 2) так; 3) ні; 4) ні; 5) так; 6) ні.

№ 51. Знайдіть множину розв’язків системи нерівностей:

1) ${x - 3 \geq 0 x + 5 \geq 0$

Розв’язання:

{x \geq 3 x \geq - 5

Знайдемо переріз двох проміжків $[3; + \infty)$ та $[- 5; + \infty)$ :

$x \in [3; + \infty)$

Відповідь: $[3; + \infty)$ .

2) ${x - 7 < 0 x + 8 > 0$

Розв’язання:

{x < 7 x > - 8 ⟹ - 8 < x < 7

Множиною розв’язків є відкритий інтервал $(- 8; 7)$ .

Відповідь: $(- 8; 7)$ .

3) ${4 x \geq - 4 2 x < 6$

Розв’язання:

⎩ ⎨ ⎧ x \geq \frac{- 4}{4} x < \frac{6}{2} ⟹ {x \geq - 1 x < 3 ⟹ - 1 \leq x < 3

Перерізом є півінтервал $[- 1; 3)$ .

Відповідь: $[- 1; 3)$ .

4) $⎩ ⎨ ⎧ \frac{1}{8} x > 1 \frac{1}{7} x \leq 1$

Розв’язання:

Помножимо першу нерівність на $8$ , а другу — на $7$ :

{x > 8 x \leq 7

Оскільки проміжки $(8; + \infty)$ та $(- \infty; 7]$ не мають спільних точок, переріз є порожньою множиною.

Відповідь: $\emptyset$ (розв’язків немає).

№ 52. Розв’яжіть систему нерівностей та вкажіть три числа, які є її розв’язками:

1) ${3 x + 2 > x + 4 \frac{x}{3} < - 1$

Розв’язання:

1) Розв’яжемо першу нерівність:

$3 x - x > 4 - 2 ⟹ 2 x > 2 ⟹ x > 1$

2) Розв’яжемо другу нерівність:

$\frac{x}{3} < - 1 ⟹ x < - 3$

3) Складемо систему отриманих нерівностей:

{x > 1 x < - 3

Не існує чисел, які одночасно більші за $1$ і менші за $- 3$ . Отже, система не має розв’язків. Оскільки розв’язків немає, вказати три числа неможливо.

Відповідь: розв’язків немає ( $x \in \emptyset$ ).

2) ${2 x + 2 \geq x - 1 3 x - 1 < 1 - 2 x$

Розв’язання:

1) Розв’яжемо першу нерівність:

$2 x - x \geq - 1 - 2 ⟹ x \geq - 3$

2) Розв’яжемо другу нерівність:

$3 x + 2 x < 1 + 1 ⟹ 5 x < 2 ⟹ x < 0, 4$

3) Знайдемо переріз отриманих проміжків:

{x \geq - 3 x < 0, 4 ⟹ x \in [- 3; 0, 4)

Оберемо три довільних числа із півінтервалу $[- 3; 0, 4)$ , наприклад: $- 2$ , $- 1$ , $0$ .

Відповідь: $x \in [- 3; 0, 4)$ ; три числа, що є розв’язками: $- 2$ , $- 1$ , $0$ .

3) $⎩ ⎨ ⎧ \frac{2 x - 1}{2} \leq 5 \frac{x}{7} < 1$

Розв’язання:

1) Помножимо першу нерівність на $2$ :

$2 x - 1 \leq 10 ⟹ 2 x \leq 11 ⟹ x \leq 5, 5$

2) Помножимо другу нерівність на $7$ :

$x < 7$

3) Знайдемо спільну частину двох проміжків:

{x \leq 5, 5 x < 7 ⟹ x \leq 5, 5 ⟹ x \in (- \infty; 5, 5]

Оберемо три довільних числа з проміжку $(- \infty; 5, 5]$ , наприклад: $0$ , $1$ , $5$ .

Відповідь: $x \in (- \infty; 5, 5]$ ; три числа, що є розв’язками: $0$ , $1$ , $5$ .

Вправи для повторення розділу 1 (До § 7)

№ 53. Розв’яжіть подвійну нерівність:

1) $4 \leq 8 x < 24$ ;

Розв’язання:

Поділимо всі частини нерівності на $8 > 0$ :

$\frac{4}{8} \leq x < \frac{24}{8}$

$0, 5 \leq x < 3$

Відповідь: $[0, 5; 3)$ .

2) $1 \leq \frac{x}{10} < 2$ ;

Розв’язання:

Помножимо всі частини нерівності на $10 > 0$ :

$1 \cdot 10 \leq x < 2 \cdot 10$

$10 \leq x < 20$

Відповідь: $[10; 20)$ .

3) $0, 1 < x + 1 < 1, 1$ ;

Розв’язання:

Віднімемо $1$ від усіх частин нерівності:

$0, 1 - 1 < x < 1, 1 - 1$

$- 0, 9 < x < 0, 1$

Відповідь: $(- 0, 9; 0, 1)$ .

4) $7, 9 < x - 2 < 8, 1$ .

Розв’язання:

Додамо $2$ до усіх частин нерівності:

$7, 9 + 2 < x < 8, 1 + 2$

$9, 9 < x < 10, 1$

Відповідь: $(9, 9; 10, 1)$ .

№ 54. Знайдіть натуральні розв’язки системи нерівностей:

1) $⎩ ⎨ ⎧ \frac{2 x + 3}{5} > \frac{3 x + 4}{8} 3 - 2 x > 5 (x - 5)$ ;

Розв’язання:

Розв’яжемо першу нерівність системи, помноживши її обидві частини на найменший спільний знаменник $40 > 0$ :

$8 (2 x + 3) > 5 (3 x + 4)$

$16 x + 24 > 15 x + 20$

$16 x - 15 x > 20 - 24$

$x > - 4$

Розв’яжемо другу нерівність системи:

$3 - 2 x > 5 x - 25$

$- 2 x - 5 x > - 25 - 3$

$- 7 x > - 28$

Поділимо обидві частини на $- 7 < 0$ , змінюючи знак нерівності на протилежний:

$x < 4$

Об’єднаємо отримані розв’язки в систему:

{x > - 4 x < 4 ⟹ x \in (- 4; 4)

Виберемо натуральні числа ( $x \in N$ ), які належать проміжку $(- 4; 4)$ :

$x_{1} = 1, x_{2} = 2, x_{3} = 3$

Відповідь: $1; 2; 3$ .

2) ${x (x - 1) > (x + 1)^{2} \frac{x}{4} + \frac{x}{3} > - 7$ .

Розв’язання:

Розв’яжемо першу нерівність системи:

$x^{2} - x > x^{2} + 2 x + 1$

$x^{2} - x - x^{2} - 2 x > 1$

$- 3 x > 1$

Поділимо на $- 3 < 0$ :

$x < - \frac{1}{3}$

Розв’яжемо другу нерівність системи, помноживши її обидві частини на $12 > 0$ :

$3 x + 4 x > - 7 \cdot 12$

$7 x > - 84$

$x > - 12$

Об’єднаємо отримані розв’язки в систему:

⎩ ⎨ ⎧ x < - \frac{1}{3} x > - 12 ⟹ x \in (- 12; - \frac{1}{3})

Оскільки на проміжку $(- 12; - \frac{1}{3})$ містяться лише від’ємні числа, натуральних розв’язків система не має.

Відповідь: натуральних розв’язків немає.

№ 55. За яких значень $x$ :

1) значення двочлена $2 x - 5$ належить проміжку $[- 4; 2)$ ;

Розв’язання:

Умова належності значення виразу проміжку $[- 4; 2)$ записується у вигляді подвійної нерівності:

$- 4 \leq 2 x - 5 < 2$

Додамо $5$ до всіх частин нерівності:

$- 4 + 5 \leq 2 x < 2 + 5$

$1 \leq 2 x < 7$

Поділимо всі частини на $2 > 0$ :

$0, 5 \leq x < 3, 5$

Відповідь: $x \in [0, 5; 3, 5)$ .

2) значення дробу $\frac{1 - 3 x}{2}$ належить проміжку $[0; 4]$ ?

Розв’язання:

Умова належності значення виразу проміжку $[0; 4]$ записується у вигляді подвійної нерівності:

$0 \leq \frac{1 - 3 x}{2} \leq 4$

Помножимо всі частини нерівності на $2 > 0$ :

$0 \leq 1 - 3 x \leq 8$

Віднімемо $1$ від усіх частин нерівності:

$- 1 \leq - 3 x \leq 7$

Поділимо всі частини на $- 3 < 0$ , змінюючи знаки нерівності на протилежні:

$\frac{- 1}{- 3} \geq x \geq \frac{7}{- 3}$

$- \frac{7}{3} \leq x \leq \frac{1}{3}$

$- 2 \frac{1}{3} \leq x \leq \frac{1}{3}$

Відповідь: $x \in [- 2 \frac{1}{3}; \frac{1}{3}]$ .

№ 56. Розв’яжіть систему нерівностей:

1) ${4 x - 1 < 0 - 2 \leq 2 x \leq 6$ ;

Розв’язання:

Розв’яжемо першу нерівність:

$4 x < 1 ⟹ x < \frac{1}{4}$

Розв’яжемо другу подвійну нерівність, поділивши всі її частини на $2 > 0$ :

$- 1 \leq x \leq 3$

Знайдемо переріз розв’язків:

{x < 0, 25 - 1 \leq x \leq 3 ⟹ x \in [- 1; 0, 25)

Відповідь: $[- 1; \frac{1}{4})$ .

2) $⎩ ⎨ ⎧ - 9 \leq - x \leq - 5 5 \leq \frac{2 x - 1}{3} \leq 10$ .

Розв’язання:

Розв’яжемо першу подвійну нерівність, помноживши її частини на $- 1 < 0$ :

$9 \geq x \geq 5 ⟹ 5 \leq x \leq 9$

Розв’яжемо другу подвійну нерівність:

Помножимо всі частини на $3 > 0$ :

$15 \leq 2 x - 1 \leq 30$

Додамо $1$ до всіх частин:

$16 \leq 2 x \leq 31$

Поділимо всі частини на $2 > 0$ :

$8 \leq x \leq 15, 5$

Знайдемо переріз проміжків $[5; 9]$ та $[8; 15, 5]$ :

{5 \leq x \leq 9 8 \leq x \leq 15, 5 ⟹ x \in [8; 9]

Відповідь: $[8; 9]$ .

№ 57. Сума натурального числа та подвоєного наступного за ним числа більша за 57. Сума цього самого числа і потроєного попереднього числа менша від 74. Знайдіть це натуральне число.

Розв’язання:

1) Нехай шукане натуральне число дорівнює $n$ , де $n \in N$ . Тоді наступне за ним число дорівнює $(n + 1)$ , а попереднє число дорівнює $(n - 1)$ .

2) Складемо математичну модель:

Сума числа $n$ та подвоєного наступного числа $2 (n + 1)$ більша за 57:

$n + 2 (n + 1) > 57$

Сума числа $n$ і потроєного попереднього числа $3 (n - 1)$ менша від 74:

$n + 3 (n - 1) < 74$

Складаємо систему нерівностей:

{n + 2 (n + 1) > 57 n + 3 (n - 1) < 74

3) Розв’яжемо першу нерівність:

$n + 2 n + 2 > 57$

$3 n > 55$

$n > \frac{55}{3} ⟹ n > 18 \frac{1}{3}$

Розв’яжемо другу нерівність:

$n + 3 n - 3 < 74$

$4 n < 77$

$n < \frac{77}{4} ⟹ n < 19 \frac{1}{4}$

Отримуємо подвійну нерівність для $n$ :

$18 \frac{1}{3} < n < 19 \frac{1}{4}$

4) Оскільки $n \in N$ , єдиним натуральним числом у проміжку $(18 \frac{1}{3}; 19 \frac{1}{4})$ є $n = 19$ .

Відповідь: $19$ .

Вправи для повторення розділу 1 (До § 7)

№ 58. Знайдіть усі розв’язки системи нерівностей:

1) $⎩ ⎨ ⎧ x > 7 x > 8 x \leq 11$

Розв’язання:

Порівнюючи перші дві нерівності $x > 7$ та $x > 8$ , бачимо, що їхнім спільним розв’язком є $x > 8$ .
Об’єднуючи з третьою нерівністю $x \leq 11$ , отримуємо подвійну нерівність $8 < x \leq 11$ .
У вигляді числового проміжку це записується як $x \in (8; 11]$ .

Відповідь: $(8; 11]$ .

2) $⎩ ⎨ ⎧ 2 x > 8 3 x < 36 - x < - 5$

Розв’язання:

З першої нерівності: $2 x > 8 ⟹ x > 4$ .
З другої нерівності: $3 x < 36 ⟹ x < 12$ .
З третьої нерівності: поділимо обидві частини на $- 1$ і змінимо знак нерівності на протилежний: $- x < - 5 ⟹ x > 5$ .

Отримуємо систему:

⎩ ⎨ ⎧ x > 4 x > 5 x < 12

З нерівностей $x > 4$ та $x > 5$ спільним є $x > 5$ .
Враховуючи $x < 12$ , маємо $5 < x < 12$ , тобто $x \in (5; 12)$ .

Відповідь: $(5; 12)$ .

3) $⎩ ⎨ ⎧ x - 7 > 0 - x > - 8 2 x - 15 \geq 0$

Розв’язання:

З першої нерівності: $x - 7 > 0 ⟹ x > 7$ .
З другої нерівності: поділимо на $- 1$ , змінивши знак нерівності: $- x > - 8 ⟹ x < 8$ .
З третьої нерівності: $2 x - 15 \geq 0 ⟹ 2 x \geq 15 ⟹ x \geq 7, 5$ .

Отримуємо систему:

⎩ ⎨ ⎧ x > 7 x \geq 7, 5 x < 8

З нерівностей $x > 7$ та $x \geq 7, 5$ спільним є $x \geq 7, 5$ .
Враховуючи $x < 8$ , маємо $7, 5 \leq x < 8$ , тобто $x \in [7, 5; 8)$ .

Відповідь: $[7, 5; 8)$ .

№ 59. За яких значень $a$ система нерівностей має розв’язки:

1) ${3 x > 15 x < a$

Розв’язання:

1) Знайдемо розв’язок першої нерівності:

$3 x > 15 ⟹ x > 5$

2) Запишемо систему у вигляді:

{x > 5 x < a

3) Система має розв’язки тоді і тільки тоді, коли переріз проміжків $(5; + \infty)$ та $(- \infty; a)$ є непорожньою множиною. Це можливо за умови, що верхня межа $a$ строго більша за нижню межу $5$ , тобто $a > 5$ .

Відповідь: при $a > 5$ .

2) ${x + a \geq 0 3 x \leq - 6$

Розв’язання:

1) Перетворимо нерівності системи:

З першої нерівності: $x + a \geq 0 ⟹ x \geq - a$ .
З другої нерівності: $3 x \leq - 6 ⟹ x \leq - 2$ .

2) Отримуємо систему:

{x \geq - a x \leq - 2

3) Дана система має розв’язки, якщо ліва межа проміжку не перевищує праву межу, тобто:

$- a \leq - 2$

Помножимо обидві частини на $- 1$ і змінимо знак нерівності на протилежний:

$a \geq 2$

Відповідь: при $a \geq 2$ .

№ 60. Кількість одиниць деякого двоцифрового числа на 1 більша за кількість його десятків. Знайдіть це число, якщо воно більше за 45, але менше від 66.

Розв’язання:

1) Нехай кількість десятків шуканого двоцифрового числа дорівнює $x$ , де $x \in {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}$ .

2) За умовою, кількість одиниць на $1$ більша за кількість десятків, тому кількість одиниць дорівнює $x + 1$ .

3) Запишемо наше двоцифрове число у вигляді виразу:

$10 \cdot x + (x + 1) = 11 x + 1$

4) За умовою задачі це число більше за 45, але менше від 66. Складемо подвійну нерівність:

$45 < 11 x + 1 < 66$

5) Розв’яжемо подвійну нерівність:

Віднімемо $1$ від усіх частин нерівності:

$44 < 11 x < 65$

Поділимо всі частини нерівності на $11$ :

$4 < x < \frac{65}{11}$

$4 < x < 5 \frac{10}{11}$

6) Оскільки $x$ — це цифра десятків (ціле число), єдиним цілим значенням $x$ , що задовольняє цю нерівність, є $x = 5$ .

7) Обчислимо цифру одиниць та саме число:

Цифра одиниць: $x + 1 = 5 + 1 = 6$ .
Шукане число: $10 \cdot 5 + 6 = 56$ .

Відповідь: $56$ .

№ 61. Розв’яжіть систему нерівностей:

1) ${x > 2 x < a$

Розв’язання:

Проаналізуємо взаємне розташування чисел $2$ та $a$ на числовій прямій:

Якщо $a \leq 2$ , то проміжки $(2; + \infty)$ та $(- \infty; a)$ не мають спільних точок, отже, система не має розв’язків ( $x \in \emptyset$ ).
Якщо $a > 2$ , то перерізом проміжків є числовий інтервал $(2; a)$ , тобто $2 < x < a$ .

Відповідь: якщо $a \leq 2$ , то розв’язків немає ( $x \in \emptyset$ ); якщо $a > 2$ , то $x \in (2; a)$ .

2) ${x > 6 x > a$

Розв’язання:

Порівняємо значення параметрів $a$ та $6$ :

Якщо $a \leq 6$ , то умова $x > 6$ є сильнішою за умову $x > a$ (оскільки з $x > 6$ автоматично випливає $x > a$ ). Отже, розв’язком системи є $x > 6$ , тобто $x \in (6; + \infty)$ .
Якщо $a > 6$ , то умова $x > a$ є сильнішою за умову $x > 6$ . Отже, розв’язком системи є $x > a$ , тобто $x \in (a; + \infty)$ .

Відповідь: якщо $a \leq 6$ , то $x \in (6; + \infty)$ ; якщо $a > 6$ , то $x \in (a; + \infty)$ .

№ 62. Знайдіть значення $a$ , за яких один із коренів рівняння $x^{2} + x + (a - a^{2}) = 0$ менший від нуля, а другий – більший за $0, 5$ .

Розв’язання:

1) Знайдемо корені квадратного рівняння $x^{2} + x + (a - a^{2}) = 0$ через дискримінант $D$ :

$D = b^{2} - 4 a c = 1^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (a - a^{2}) = 1 - 4 a + 4 a^{2} = (2 a - 1)^{2}$

2) Оскільки $(2 a - 1)^{2} \geq 0$ , корені рівняння дорівнюють:

$x_{1} = \frac{- 1 - ( 2 a - 1 )}{2} = \frac{- 2 a}{2} = - a$

$x_{2} = \frac{- 1 + ( 2 a - 1 )}{2} = \frac{2 a - 2}{2} = a - 1$

3) За умовою задачі, один з коренів має бути меншим від $0$ , а другий — більшим за $0, 5$ . Розглянемо два можливі випадки:

Випадок 1: $x_{1} < 0$ та $x_{2} > 0, 5$ :

{- a < 0 a - 1 > 0, 5 ⟺ {a > 0 a > 1, 5 ⟺ a > 1, 5

Випадок 2: $x_{2} < 0$ та $x_{1} > 0, 5$ :

{a - 1 < 0 - a > 0, 5 ⟺ {a < 1 a < - 0, 5 ⟺ a < - 0, 5

4) Об’єднуючи отримані значення $a$ , маємо $a < - 0, 5$ або $a > 1, 5$ .

Відповідь: $a < - 0, 5$ або $a > 1, 5$ (тобто $a \in (- \infty; - 0, 5) \cup (1, 5; + \infty)$ ).

Вправи для повторення розділу 1

№ 63. Знайдіть, за яких значень $a$ обидва корені квадратного рівняння $6 x^{2} + (5 a + 2) x + (a^{2} + a) = 0$ належать проміжку $[- 4; 0]$ .

Розв’язання:

1) Знайдемо дискримінант квадратного рівняння $6 x^{2} + (5 a + 2) x + (a^{2} + a) = 0$ :

$D = b^{2} - 4 a c = (5 a + 2)^{2} - 4 \cdot 6 \cdot (a^{2} + a)$

$D = 25 a^{2} + 20 a + 4 - 24 a^{2} - 24 a = a^{2} - 4 a + 4 = (a - 2)^{2}$

Оскільки $D = (a - 2)^{2} \geq 0$ при будь-якому значенні $a \in R$ , рівняння завжди має дійсні корені.

2) Виразимо корені рівняння через параметр $a$ :

$x_{1} = \frac{- ( 5 a + 2 ) + ( a - 2 )}{2 \cdot 6} = \frac{- 5 a - 2 + a - 2}{12} = \frac{- 4 a - 4}{12} = - \frac{a + 1}{3}$

$x_{2} = \frac{- ( 5 a + 2 ) - ( a - 2 )}{2 \cdot 6} = \frac{- 5 a - 2 - a + 2}{12} = \frac{- 6 a}{12} = - \frac{a}{2}$

3) За умовою задачі обидва корені $x_{1}$ та $x_{2}$ належать проміжку $[- 4; 0]$ , тобто задовольняють подвійні нерівності $- 4 \leq x_{1} \leq 0$ та $- 4 \leq x_{2} \leq 0$ . Складемо відповідну систему нерівностей:

⎩ ⎨ ⎧ - 4 \leq - \frac{a + 1}{3} \leq 0 - 4 \leq - \frac{a}{2} \leq 0

Розв’яжемо першу подвійну нерівність системи:

$- 4 \leq - \frac{a + 1}{3} \leq 0$

Помножимо всі частини нерівності на $- 3$ , змінивши знаки нерівностей на протилежні:

$0 \leq a + 1 \leq 12$

Віднімемо $1$ від усіх частин нерівності:

$- 1 \leq a \leq 11 ⟹ a \in [- 1; 11]$

Розв’яжемо другу подвійну нерівність системи:

$- 4 \leq - \frac{a}{2} \leq 0$

Помножимо всі частини нерівності на $- 2$ , змінивши знаки нерівностей на протилежні:

$0 \leq a \leq 8 ⟹ a \in [0; 8]$

4) Знаходимо переріз одержаних числових проміжків для змінної $a$ :

$a \in [- 1; 11] \cap [0; 8] = [0; 8]$

Відповідь: $a \in [0; 8]$ .

ВПРАВИ ДЛЯ ПОВТОРЕННЯ РОЗДІЛУ 1

До § 1

ВПРАВИ ДЛЯ ПОВТОРЕННЯ РОЗДІЛУ 1. ДО § 1

ВПРАВИ ДЛЯ ПОВТОРЕННЯ РОЗДІЛУ 1. ДО § 1

До § 2

ДО § 2

ДО § 3

До § 3

Вправи для повторення розділу 1. До § 4

До § 5 – § 6. Числові проміжки та нерівності з однією змінною

До § 6. Лінійні нерівності з однією змінною

Вправи для повторення розділу 1

Вправи для повторення розділу 1

ДО § 7

Вправи для повторення розділу 1 (До § 7)

Вправи для повторення розділу 1 (До § 7)

Вправи для повторення розділу 1

Теги статті:

До уроку