ВПРАВИ ДЛЯ ПОВТОРЕННЯ РОЗДІЛУ 1

Зміст

ДО § 1

1. Відомо, що $m < n$ . Чи може різниця $m - n$ дорівнювати:

1) $2, 7$ ;

2) $π$ ;

3) 0;

4) $- 3, 8$ ?

Розв’язання:

За означенням числових нерівностей, якщо $m < n$ , то різниця $m - n$ обов’язково є від’ємним числом ( $m - n < 0$ ).

1) $2, 7 > 0$ , тому різниця не може дорівнювати $2, 7$ .

2) $π \approx 3, 14 > 0$ , тому різниця не може дорівнювати $π$ .

3) Число 0 відповідає рівності $m = n$ , тому різниця не може дорівнювати 0.

4) $- 3, 8 < 0$ , тому різниця може дорівнювати $- 3, 8$ .

Відповідь: 1) ні; 2) ні; 3) ні; 4) так.

2. Доведіть нерівність:

1) $5 (m - 3) > 5 m - 16$ ;

2) $x (x + 10) + 2 > 10 x$ ;

3) $(a - 7) (a + 10) < (a + 4) (a - 1)$ ;

4) $p (p - 6) < (p - 3)^{2}$ ;

5) $(m - 2)^{2} > - 4 m$ ;

6) $p + 1 \leq \frac{( p + 2 ) ^{2}}{4}$ .

Розв’язання:

1) Знайдемо різницю лівої та правої частин:
$5 (m - 3) - (5 m - 16) = 5 m - 15 - 5 m + 16 = 1$
Оскільки $1 > 0$ , то $5 (m - 3) > 5 m - 16$ . Нерівність доведено.

2) Знайдемо різницю частин:
$x (x + 10) + 2 - 10 x = x^{2} + 10 x + 2 - 10 x = x^{2} + 2$
Оскільки $x^{2} \geq 0$ при всіх дійсних x, то $x^{2} + 2 > 0$ . Отже, $x (x + 10) + 2 > 10 x$ . Нерівність доведено.

3) Знайдемо різницю частин:
$(a - 7) (a + 10) - (a + 4) (a - 1) = a^{2} + 3 a - 70 - (a^{2} + 3 a - 4) = a^{2} + 3 a - 70 - a^{2} - 3 a + 4 = - 66$
Оскільки $- 66 < 0$ , то $(a - 7) (a + 10) < (a + 4) (a - 1)$ . Нерівність доведено.

4) Знайдемо різницю частин:
$p (p - 6) - (p - 3)^{2} = p^{2} - 6 p - (p^{2} - 6 p + 9) = p^{2} - 6 p - p^{2} + 6 p - 9 = - 9$
Оскільки $- 9 < 0$ , то $p (p - 6) < (p - 3)^{2}$ . Нерівність доведено.

5) Знайдемо різницю частин:
$(m - 2)^{2} - (- 4 m) = m^{2} - 4 m + 4 + 4 m = m^{2} + 4$
Оскільки $m^{2} \geq 0$ , то $m^{2} + 4 > 0$ . Отже, $(m - 2)^{2} > - 4 m$ . Нерівність доведено.

6) Знайдемо різницю частин:
$(p + 1) - \frac{( p + 2 ) ^{2}}{4} = \frac{4 ( p + 1 ) - ( p ^{2} + 4 p + 4 )}{4} = \frac{4 p + 4 - p ^{2} - 4 p - 4}{4} = - \frac{p ^{2}}{4}$
Оскільки $p^{2} \geq 0$ , то $- \frac{p ^{2}}{4} \leq 0$ . Отже, $p + 1 \leq \frac{( p + 2 ) ^{2}}{4}$ . Нерівність доведено.

Відповідь: нерівності доведено.

3. Які з нерівностей є правильними за будь-якого значення $a$ :

1) $(2 a + 3) (2 a - 3) < 4 a^{2} + 2 a$ ;

2) $(3 a - 2) (3 a + 2) < 49 a^{2} + 0, 6$ ;

3) $(3 a - 1)^{2} > 3 a (3 a - 2)$ ;

4) $7 > (3 - a) (3 + a)$ ?

Розв’язання:

1) Знайдемо різницю лівої та правої частин:
$(2 a + 3) (2 a - 3) - (4 a^{2} + 2 a) = 4 a^{2} - 9 - 4 a^{2} - 2 a = - 2 a - 9$
Знак виразу $- 2 a - 9$ залежить від значення $a$ (наприклад, при $a = - 10$ маємо $11 > 0$ ). Тому нерівність не є правильною для будь-якого $a$ .

2) Знайдемо різницю частин:
$(3 a - 2) (3 a + 2) - (49 a^{2} + 0, 6) = 9 a^{2} - 4 - 49 a^{2} - 0, 6 = - 40 a^{2} - 4, 6$
Оскільки $a^{2} \geq 0$ , то $- 40 a^{2} \leq 0$ , звідки $- 40 a^{2} - 4, 6 \leq - 4, 6 < 0$ . Різниця завжди від’ємна, тому нерівність є правильною за будь-якого $a$ .

3) Знайдемо різницю частин:
$(3 a - 1)^{2} - 3 a (3 a - 2) = 9 a^{2} - 6 a + 1 - 9 a^{2} + 6 a = 1$
Оскільки $1 > 0$ при будь-якому $a$ , нерівність є правильною за будь-якого значення $a$ .

4) Знайдемо різницю частин:
$7 - (3 - a) (3 + a) = 7 - (9 - a^{2}) = a^{2} - 2$
Знак виразу $a^{2} - 2$ залежить від $a$ (наприклад, при $a = 0$ маємо $- 2 < 0$ ). Тому нерівність не є правильною за будь-якого значення $a$ .

Відповідь: правильними є нерівності 2) та 3).

4. Доведіть нерівність:

1) $(m + 1)^{2} \geq 4 m$ ;

2) $(4 b - 1)^{2} > - 8 b$ ;

3) $\frac{a ^{2} + 1}{2} \geq a$ ;

4) $\frac{m}{m ^{2} + 1} \leq \frac{1}{2}$ .

Розв’язання:

1) Знайдемо різницю частин:
$(m + 1)^{2} - 4 m = m^{2} + 2 m + 1 - 4 m = m^{2} - 2 m + 1 = (m - 1)^{2}$
Оскільки $(m - 1)^{2} \geq 0$ при будь-якому значенні m, нерівність доведено.

2) Знайдемо різницю частин:
$(4 b - 1)^{2} - (- 8 b) = 16 b^{2} - 8 b + 1 + 8 b = 16 b^{2} + 1$
Оскільки $b^{2} \geq 0$ , то $16 b^{2} + 1 \geq 1 > 0$ . Різниця строго додатна, нерівність доведено.

3) Знайдемо різницю частин:
$\frac{a ^{2} + 1}{2} - a = \frac{a ^{2} - 2 a + 1}{2} = \frac{( a - 1 ) ^{2}}{2}$
Оскільки $(a - 1)^{2} \geq 0$ , то $\frac{( a - 1 ) ^{2}}{2} \geq 0$ . Нерівність доведено.

4) Знайдемо різницю частин:
$\frac{m}{m ^{2} + 1} - \frac{1}{2} = \frac{2 m - m ^{2} - 1}{2 ( m ^{2} + 1 )} = - \frac{m ^{2} - 2 m + 1}{2 ( m ^{2} + 1 )} = - \frac{( m - 1 ) ^{2}}{2 ( m ^{2} + 1 )}$
Чисельник $(m - 1)^{2} \geq 0$ , знаменник $2 (m^{2} + 1) > 0$ , тому весь вираз $- \frac{( m - 1 ) ^{2}}{2 ( m ^{2} + 1 )} \leq 0$ . Нерівність доведено.

Відповідь: нерівності доведено.

5. Порівняйте число m з нулем, якщо:

1) $2 m < 3 m$ ;

2) $m > 5 m$ ;

3) $- m < - 3 m$ ;

4) $- 4 m > - 5 m$ .

Розв’язання:

1) Віднімемо $2 m$ від обох частин:
$0 < m$
$m > 0$

2) Віднімемо $5 m$ від обох частин:
$- 4 m > 0$
Поділимо обидві частини на $- 4$ і змінимо знак нерівності:
$m < 0$

3) Додамо $3 m$ до обох частин:
$2 m < 0$
$m < 0$

4) Додамо $5 m$ до обох частин:
$m > 0$

Відповідь: 1) $m > 0$ ; 2) $m < 0$ ; 3) $m < 0$ ; 4) $m > 0$ .

6. Доведіть нерівність:

1) $m^{2} + n^{2} - 2 m - 4 n + 5 \geq 0$ ;

2) $2 x^{2} - 10 x y + 25 y^{2} \geq 0$ .

Розв’язання:

1) Подамо число 5 як $1 + 4$ та виділимо повні квадрати:
$m^{2} - 2 m + 1 + n^{2} - 4 n + 4 = (m - 1)^{2} + (n - 2)^{2}$
Оскільки $(m - 1)^{2} \geq 0$ та $(n - 2)^{2} \geq 0$ , сума квадратів є невід’ємною. Нерівність доведено.

2) Запишемо $2 x^{2}$ як $x^{2} + x^{2}$ та згрупуємо:
$x^{2} + (x^{2} - 10 x y + 25 y^{2}) = x^{2} + (x - 5 y)^{2}$
Квадрати будь-яких дійсних чисел невід’ємні: $x^{2} \geq 0$ та $(x - 5 y)^{2} \geq 0$ , тому їх сума більша або дорівнює нулю. Нерівність доведено.

Відповідь: нерівності доведено.

7. Порівняйте вирази:

1) $a^{3} - b^{3}$ і $ab (b - a)$ , якщо $a \geq b$ ;

2) $m^{2} + n^{2}$ і $\frac{1}{2}$ , якщо $m + n = 1$ .

Розв’язання:

1) Знайдемо різницю виразів:
$(a^{3} - b^{3}) - ab (b - a) = (a - b) (a^{2} + ab + b^{2}) + ab (a - b) = (a - b) (a^{2} + 2 ab + b^{2}) = (a - b) (a + b)^{2}$
За умовою $a \geq b$ , тому $a - b \geq 0$ . Оскільки $(a + b)^{2} \geq 0$ , то добуток є невід’ємним:
$(a - b) (a + b)^{2} \geq 0$
Отже, $a^{3} - b^{3} \geq ab (b - a)$ .

2) Виразимо $n = 1 - m$ і підставимо у вираз $m^{2} + n^{2}$ :
$m^{2} + (1 - m)^{2} = m^{2} + 1 - 2 m + m^{2} = 2 m^{2} - 2 m + 1$
Знайдемо різницю з числом $\frac{1}{2}$ :
$2 m^{2} - 2 m + 1 - \frac{1}{2} = 2 m^{2} - 2 m + \frac{1}{2} = 2 (m^{2} - m + \frac{1}{4}) = 2 (m - \frac{1}{2})^{2}$
Оскільки $(m - \frac{1}{2})^{2} \geq 0$ , то вираз більший або дорівнює нулю. Отже, $m^{2} + n^{2} \geq \frac{1}{2}$ .

Відповідь: 1) $a^{3} - b^{3} \geq ab (b - a)$ ; 2) $m^{2} + n^{2} \geq \frac{1}{2}$ .

8. Відстань від села до міста становить 20 км. Одна з велосипедисток проїхала із села в місто й повернулася назад зі сталою швидкістю. Друга велосипедистка їхала із села в місто зі швидкістю, на 1 км/год більшою за швидкість першої, а поверталася назад зі швидкістю, на 1 км/год меншою від швидкості першої. Котра з велосипедисток витратила менше часу на дорогу?

Розв’язання:

Нехай швидкість першої велосипедистки дорівнює $v км / год$ ( $v > 1$ ). Тоді її час на весь шлях становить:
$t_{1} = \frac{20}{v} + \frac{20}{v} = \frac{40}{v} (год)$

Друга велосипедистка їхала туди зі швидкістю $(v + 1) км / год$ , а поверталася зі швидкістю $(v - 1) км / год$ . Її час становить:
$t_{2} = \frac{20}{v + 1} + \frac{20}{v - 1} = \frac{20 ( v - 1 ) + 20 ( v + 1 )}{( v + 1 ) ( v - 1 )} = \frac{40 v}{v ^{2} - 1} (год)$

Порівняємо $t_{2}$ та $t_{1}$ , знайшовши їх різницю:
$t_{2} - t_{1} = \frac{40 v}{v ^{2} - 1} - \frac{40}{v} = \frac{40 v ^{2} - 40 ( v ^{2} - 1 )}{v ( v ^{2} - 1 )} = \frac{40}{v ( v ^{2} - 1 )}$
Оскільки $v > 1$ , то $v (v^{2} - 1) > 0$ , тому різниця додатна: $t_{2} - t_{1} > 0$ , звідки $t_{2} > t_{1}$ .

Отже, перша велосипедистка витратила менше часу на дорогу.

Відповідь: перша велосипедистка.

9. Порівняйте площу квадрата, сторона якого дорівнює 6 см, із площею довільного прямокутника, що має такий самий периметр, як у квадрата.

Розв’язання:

Периметр квадрата:
$P = 4 \cdot 6 = 24 (см)$
Площа квадрата:
$S_{кв} = 6^{2} = 36 (см^{2})$

Нехай сторони прямокутника дорівнюють $a см$ і $b см$ . Оскільки периметр прямокутника дорівнює $24 см$ , маємо півпериметр:
$a + b = 12 ⟹ b = 12 - a$
Площа прямокутника:
$S_{пр} = a (12 - a) = 12 a - a^{2}$

Знайдемо різницю площ:
$S_{кв} - S_{пр} = 36 - (12 a - a^{2}) = a^{2} - 12 a + 36 = (a - 6)^{2}$
Оскільки $(a - 6)^{2} \geq 0$ , то $S_{кв} \geq S_{пр}$ . Якщо прямокутник не є квадратом ( $a \neq = 6$ ), то різниця строго додатна: $S_{кв} > S_{пр}$ .

Відповідь: площа квадрата більша за площу будь-якого прямокутника того самого периметра (якщо прямокутник не є квадратом).

ДО § 2

10. У яких нерівностях правильно перенесено доданок з однієї частини у другу:

1) $m + 2 > 5, m > 5 + 2$ ;

2) $p - 7 \leq 2, p \leq 2 + 7$ ;

3) $9 > t - 7, 9 + 7 > t$ ;

4) $10 \leq a + 5, 10 - 5 \leq a$ ?

Розв’язання:

За властивістю числових нерівностей під час перенесення доданка з однієї частини нерівності в іншу його знак змінюють на протилежний.

1) Доданок $+ 2$ мали перенести як $- 2$ , тому запис неправильний.

2) Доданок $- 7$ перенесли як $+ 7$ , тому запис правильний.

3) Доданок $- 7$ перенесли як $+ 7$ , тому запис правильний.

4) Доданок $+ 5$ перенесли як $- 5$ , тому запис правильний.

Відповідь: у нерівностях 2), 3), 4).

11. Замініть «зірочку» знаком $>$ чи $<$ так, щоб твердження було правильним:

1) якщо $p > - 2$ , то $- 2 * p$ ;

2) якщо $2 < a, a < b$ , то $2 * b$ .

Розв’язання:

1) Якщо $p > - 2$ , то за симетрією $- 2 < p$ .

2) Якщо $2 < a$ та $a < b$ , то за властивістю транзитивності $2 < b$ .

Відповідь: 1) $- 2 < p$ ; 2) $2 < b$ .

12. Порівняйте числа:

1) $x + 5$ і $y + 5$ , якщо $x < y$ ;

2) $m - 2$ і $p - 2$ , якщо $p > m$ ;

3) $- m$ і $- n$ , якщо $m > n$ ;

4) $12 a$ і $12 b$ , якщо $a \geq b$ ;

5) $- 3 k$ і $- 3 p$ , якщо $p < k$ ;

6) $\frac{c}{5}$ і $\frac{d}{5}$ , якщо $d \geq c$ .

Розв’язання:

1) До обох частин нерівності $x < y$ додамо 5:
$x + 5 < y + 5$

2) Оскільки $p > m$ , тобто $m < p$ , віднімемо від обох частин число 2:
$m - 2 < p - 2$

3) Помножимо обидві частини нерівності $m > n$ на $- 1$ і змінимо знак:
$- m < - n$

4) Помножимо обидві частини нерівності $a \geq b$ на додатне число 12:
$12 a \geq 12 b$

5) Оскільки $p < k$ , помножимо нерівність на від’ємне число $- 3$ і змінимо знак:
$- 3 p > - 3 k$
$- 3 k < - 3 p$

6) З нерівності $c \leq d$ поділимо обидві частини на додатне число 5:
$\frac{c}{5} \leq \frac{d}{5}$

Відповідь: 1) $x + 5 < y + 5$ ; 2) $m - 2 < p - 2$ ; 3) $- m < - n$ ; 4) $12 a \geq 12 b$ ; 5) $- 3 k < - 3 p$ ; 6) $\frac{c}{5} \leq \frac{d}{5}$ .

13. Відомо, що $a > b$ . Розмістіть у порядку зростання числа: $a + 3$ , $b - 3$ , $a + 1$ , $a$ , $b - 1$ , $b$ .

Розв’язання:

З умови $a > b$ випливає, що $b < a$ .
Для числа $b$ маємо: $b - 3 < b - 1 < b$ .
Для числа $a$ маємо: $a < a + 1 < a + 3$ .
З’єднавши ці ланцюжки за властивістю транзитивності, одержуємо:
$b - 3 < b - 1 < b < a < a + 1 < a + 3$

Відповідь: $b - 3$ , $b - 1$ , $b$ , $a$ , $a + 1$ , $a + 3$ .

14. Відомо, що $x > y > 0$ . Порівняйте:

1) $8 x$ і $5 y$ ;

2) $3 x$ і $y$ ;

3) $- 3 x$ і $- y$ ;

4) $- 5 x$ і $- 2 y$ .

Розв’язання:

1) Оскільки $x > y > 0$ , помножимо $x > y$ на 5: $5 x > 5 y$ . Оскільки $x > 0$ , маємо $8 x > 5 x$ . Звідси $8 x > 5 y$ .

2) Оскільки $x > y$ , маємо $3 x > x > y$ , отже, $3 x > y$ .

3) Оскільки $3 x > y$ , помножимо на $- 1$ і змінимо знак нерівності: $- 3 x < - y$ .

4) Маємо $5 x > 5 y > 2 y$ , тобто $5 x > 2 y$ . Помножимо на $- 1$ зі зміною знака: $- 5 x < - 2 y$ .

Відповідь: 1) $8 x > 5 y$ ; 2) $3 x > y$ ; 3) $- 3 x < - y$ ; 4) $- 5 x < - 2 y$ .

15. Оцініть значення виразу, якщо $1, 7 < 3 < 1, 8$ :

1) $- 23$ ;

2) $3 + 3$ ;

3) $4 - 53$ ;

4) $\frac{3}{2} - \frac{1}{2}$ .

Розв’язання:

1) Помножимо нерівність на $- 2$ зі зміною знаків:
$- 2 \cdot 1, 8 < - 23 < - 2 \cdot 1, 7$
$- 3, 6 < - 23 < - 3, 4$

2) Додамо 3 до всіх частин:
$3 + 1, 7 < 3 + 3 < 3 + 1, 8$
$4, 7 < 3 + 3 < 4, 8$

3) Помножимо на $- 5$ :
$- 5 \cdot 1, 8 < - 53 < - 5 \cdot 1, 7$
$- 9 < - 53 < - 8, 5$
Додамо 4:
$4 - 9 < 4 - 53 < 4 - 8, 5$
$- 5 < 4 - 53 < - 4, 5$

4) Поділимо на 2:
$0, 85 < \frac{3}{2} < 0, 9$
Віднімемо $0, 5$ :
$0, 35 < \frac{3}{2} - \frac{1}{2} < 0, 4$

Відповідь: 1) $- 3, 6 < - 23 < - 3, 4$ ; 2) $4, 7 < 3 + 3 < 4, 8$ ; 3) $- 5 < 4 - 53 < - 4, 5$ ; 4) $0, 35 < \frac{3}{2} - \frac{1}{2} < 0, 4$ .

16. Відомо, що $a > 5$ . Порівняйте з нулем значення виразу:

1) $2 a - 10$ ;

2) $35 - 7 a$ .

Розв’язання:

1) Помножимо $a > 5$ на 2:
$2 a > 10$
$2 a - 10 > 0$

2) Помножимо $a > 5$ на $- 7$ :
$- 7 a < - 35$
Додамо 35:
$35 - 7 a < 0$

Відповідь: 1) $2 a - 10 > 0$ ; 2) $35 - 7 a < 0$ .

17. Оцініть значення виразу $∣ x ∣$ , якщо:

1) $- 3 < x < - 1$ ;

2) $- 7 < x < 1$ .

Розв’язання:

1) Усі значення x від’ємні, тому $∣ x ∣ = - x$ . Помножимо подвійну нерівність на $- 1$ :
$1 < - x < 3$
$1 < ∣ x ∣ < 3$

2) Проміжок містить число 0, тому найменше значення $∣ x ∣$ дорівнює 0. Модулі меж: $∣ - 7∣ = 7$ , $∣1∣ = 1$ . Оскільки $x > - 7$ , модуль не перевищує 7. Отже:
$0 \leq ∣ x ∣ < 7$

Відповідь: 1) $1 < ∣ x ∣ < 3$ ; 2) $0 \leq ∣ x ∣ < 7$ .

ДО § 3

18. Виконайте почленне додавання нерівностей:

1) $x < 3$ і $y < - 3$ ;

2) $a > 5$ і $b > 7$ .

Розв’язання:

1) Додамо ліві та праві частини:
$x + y < 3 + (- 3)$
$x + y < 0$

2) Додамо ліві та праві частини:
$a + b > 5 + 7$
$a + b > 12$

Відповідь: 1) $x + y < 0$ ; 2) $a + b > 12$ .

19. Виконайте почленне множення нерівностей:

1) $m > 2$ і $n > 1$ ;

2) $0 < p < 3$ і $0 < q < 5$ .

Розв’язання:

1) Оскільки члени нерівностей додатні, перемножимо їх:
$m \cdot n > 2 \cdot 1$
$mn > 2$

2) Оскільки всі числа додатні, перемножимо відповідні частини:
$0 \cdot 0 < p \cdot q < 3 \cdot 5$
$0 < pq < 15$

Відповідь: 1) $mn > 2$ ; 2) $0 < pq < 15$ .

20. Оцініть значення виразу:

1) $ab + 2$ , якщо $1 < a < 5$ і $2 < b < 7$ ;

2) $p^{2} - 3$ , якщо $2 < p < 4$ .

Розв’язання:

1) Перемножимо почленно подвійні нерівності:
$1 \cdot 2 < ab < 5 \cdot 7$
$2 < ab < 35$
Додамо 2:
$4 < ab + 2 < 37$

2) Піднесемо до квадрата всі частини:
$4 < p^{2} < 16$
Віднімемо 3:
$1 < p^{2} - 3 < 13$

Відповідь: 1) $4 < ab + 2 < 37$ ; 2) $1 < p^{2} - 3 < 13$ .

21. Чи правильне твердження:

1) якщо $x > 2$ , то $x^{2} > 4$ ;

2) якщо $x < 2$ , то $x^{2} < 4$ ;

3) якщо $x > 2$ , то $\frac{1}{x} < \frac{1}{2}$ ;

4) якщо $x < 2$ , то $\frac{1}{x} > \frac{1}{2}$ ?

Розв’язання:

1) Так, правильне. Обидві частини нерівності $x > 2$ додатні, тому при піднесенні до квадрата одержуємо $x^{2} > 4$ .

2) Ні, неправильне. Наприклад, якщо $x = - 3 < 2$ , то $(- 3)^{2} = 9 > 4$ .

3) Так, правильне. Числа одного знака (додатні), тому при переході до обернених чисел знак нерівності змінюється на протилежний.

4) Ні, неправильне. Наприклад, якщо $x = - 1 < 2$ , то $\frac{1}{- 1} = - 1 < \frac{1}{2}$ . Крім того, при $x = 0$ вираз не має змісту.

Відповідь: 1) так; 2) ні; 3) так; 4) ні.

22. Оцініть площу $S$ квадрата з периметром $P см$ , якщо $36 < P < 40$ .

Розв’язання:

Сторона квадрата дорівнює $a = \frac{P}{4}$ . Поділимо подвійну нерівність на 4:
$\frac{36}{4} < a < \frac{40}{4}$
$9 < a < 10$

Площа квадрата дорівнює $S = a^{2}$ . Піднесемо до квадрата:
$81 < S < 100$

Відповідь: $81 < S < 100 см^{2}$ .

23. Порівняйте, якщо можливо:

1) $3 m + 2 n$ і 12, якщо $m > 3, n > 2$ ;

2) $b - 3 a$ і 0, якщо $a > 8, b < 6$ ;

3) $x - 3 y$ і 1, якщо $x < 8, y < 0$ ;

4) $p - 4 q$ і 9, якщо $p < 8, q > 1$ .

Розв’язання:

1) Помножимо $m > 3$ на 3, а $n > 2$ на 2:
$3 m > 9$
$2 n > 4$
Додамо нерівності:
$3 m + 2 n > 13$
Оскільки $13 > 12$ , то $3 m + 2 n > 12$ .

2) Помножимо $a > 8$ на $- 3$ :
$- 3 a < - 24$
Додамо нерівність $b < 6$ :
$b - 3 a < - 18$
Оскільки $- 18 < 0$ , то $b - 3 a < 0$ .

3) Помножимо $y < 0$ на $- 3$ :
$- 3 y > 0$
Маємо $x < 8$ і $- 3 y > 0$ . Додавання нерівностей різних знаків виконати не можна, тому порівняти вираз $x - 3 y$ із числом 1 неможливо.

4) Помножимо $q > 1$ на $- 4$ :
$- 4 q < - 4$
Додамо нерівність $p < 8$ :
$p - 4 q < 4$
Оскільки $4 < 9$ , то $p - 4 q < 9$ .

Відповідь: 1) $3 m + 2 n > 12$ ; 2) $b - 3 a < 0$ ; 3) порівняти неможливо; 4) $p - 4 q < 9$ .

24. Оцініть значення виразу:

1) $a^{2} + 2 a + 5$ , якщо $0 < a < 1$ ;

2) $x^{2} - 4 x$ , якщо $1 < x < 2$ ;

3) $\frac{1}{a} + \frac{1}{b}$ , якщо $10 < a < 20, 5 < b < 10$ ;

4) $\frac{1}{mn} - 7$ , якщо $1 < m < 2, 0, 3 < n < 0, 5$ .

Розв’язання:

1) Виділимо повний квадрат:
$a^{2} + 2 a + 5 = (a + 1)^{2} + 4$
Оскільки $0 < a < 1$ , то:
$1 < a + 1 < 2$
$1 < (a + 1)^{2} < 4$
$5 < (a + 1)^{2} + 4 < 8$
$5 < a^{2} + 2 a + 5 < 8$

2) Виділимо повний квадрат:
$x^{2} - 4 x = (x - 2)^{2} - 4$
Оскільки $1 < x < 2$ , віднімемо 2:
$- 1 < x - 2 < 0$
Піднесемо до квадрата:
$0 < (x - 2)^{2} < 1$
Віднімемо 4:
$- 4 < (x - 2)^{2} - 4 < - 3$
$- 4 < x^{2} - 4 x < - 3$

3) Оцінимо обернені дроби:
$\frac{1}{20} < \frac{1}{a} < \frac{1}{10}$
$\frac{1}{10} < \frac{1}{b} < \frac{1}{5}$
Додамо почленно:
$\frac{1}{20} + \frac{1}{10} < \frac{1}{a} + \frac{1}{b} < \frac{1}{10} + \frac{1}{5}$
$\frac{3}{20} < \frac{1}{a} + \frac{1}{b} < \frac{3}{10}$

4) Перемножимо $1 < m < 2$ та $0, 3 < n < 0, 5$ :
$0, 3 < mn < 1$
Оцінимо обернене значення:
$1 < \frac{1}{mn} < \frac{10}{3}$
Віднімемо 7:
$1 - 7 < \frac{1}{mn} - 7 < \frac{10}{3} - 7$
$- 6 < \frac{1}{mn} - 7 < - 3 \frac{2}{3}$

Відповідь: 1) $5 < a^{2} + 2 a + 5 < 8$ ; 2) $- 4 < x^{2} - 4 x < - 3$ ; 3) $\frac{3}{20} < \frac{1}{a} + \frac{1}{b} < \frac{3}{10}$ ; 4) $- 6 < \frac{1}{mn} - 7 < - 3 \frac{2}{3}$ .

25. Порівняйте x та $y$ , якщо $x > a^{2} + b^{2}, y < 2 ab$ .

Розв’язання:

З нерівності $y < 2 ab$ випливає, що $- y > - 2 ab$ .
Додамо нерівності однакового знака:
$x + (- y) > a^{2} + b^{2} - 2 ab$
$x - y > (a - b)^{2}$
Оскільки $(a - b)^{2} \geq 0$ , то $x - y > 0$ , звідки $x > y$ .

Відповідь: $x > y$ .

26. Оцініть площу $S$ прямокутника з периметром $P см$ і стороною $a см$ , якщо $20 < P < 30, 5 < a < 6$ .

Розв’язання:

Нехай друга сторона прямокутника дорівнює $b см$ . Оскільки $P = 2 (a + b)$ , то $b = \frac{P}{2} - a$ .
Оцінимо $\frac{P}{2}$ :
$10 < \frac{P}{2} < 15$
Помножимо $5 < a < 6$ на $- 1$ :
$- 6 < - a < - 5$
Додамо нерівності:
$4 < b < 10$
Оцінимо площу $S = ab$ , перемноживши додатні межі:
$5 \cdot 4 < S < 6 \cdot 10$
$20 < S < 60$

Відповідь: $20 < S < 60 см^{2}$ .

27. Доведіть нерівність:

1) $(x + 2 y) (\frac{1}{2 x} + \frac{1}{y}) \geq 4$ , якщо $x > 0, y > 0$ ;

2) $(\frac{1}{m ^{2}} + p n) (\frac{4}{p ^{2}} + mn) (\frac{9}{n ^{2}} + p m) \geq 48$ , якщо $m > 0, n > 0, p > 0$ .

Розв’язання:

1) Розкриємо дужки в лівій частині:
$(x + 2 y) (\frac{1}{2 x} + \frac{1}{y}) = \frac{1}{2} + \frac{x}{y} + \frac{2 y}{2 x} + 2 = 2, 5 + (\frac{x}{y} + \frac{y}{x})$
За нерівністю Коші для додатних взаємно обернених виразів $\frac{x}{y} + \frac{y}{x} \geq 2$ , тому:
$2, 5 + (\frac{x}{y} + \frac{y}{x}) \geq 2, 5 + 2 = 4, 5$
Оскільки $4, 5 \geq 4$ , нерівність доведено.

2) Застосуємо нерівність Коші ( $a + b \geq 2 ab$ ) до кожного множника:
$\frac{1}{m ^{2}} + p n \geq 2 \frac{p n}{m ^{2}} = \frac{2 p n}{m}$
$\frac{4}{p ^{2}} + mn \geq 2 \frac{4 mn}{p ^{2}} = \frac{4 mn}{p}$
$\frac{9}{n ^{2}} + p m \geq 2 \frac{9 p m}{n ^{2}} = \frac{6 p m}{n}$
Перемножимо ці три нерівності для додатних чисел:
$(\frac{1}{m ^{2}} + p n) (\frac{4}{p ^{2}} + mn) (\frac{9}{n ^{2}} + p m) \geq \frac{2 \cdot 4 \cdot 6 \cdot p n \cdot mn \cdot p m}{m \cdot p \cdot n} = \frac{48 \cdot mn p}{mn p} = 48$
Нерівність доведено.

Відповідь: нерівності 1), 2) доведено.

ДО § 4

28. Які із чисел $- 2; - 1; 0; 1; 2$ є розв’язками нерівності:

1) $x < 1$ ;

2) $x \leq 1$ ;

3) $x > 1$ ;

4) $x \geq 1$ ?

Розв’язання:

1) Підставимо числа в нерівність $x < 1$ :
$- 2 < 1$ (так), $- 1 < 1$ (так), $0 < 1$ (так), $1 < 1$ (ні), $2 < 1$ (ні).
Розв’язки: $- 2; - 1; 0$ .

2) Підставимо числа в нерівність $x \leq 1$ :
$- 2 \leq 1$ (так), $- 1 \leq 1$ (так), $0 \leq 1$ (так), $1 \leq 1$ (так), $2 \leq 1$ (ні).
Розв’язки: $- 2; - 1; 0; 1$ .

3) Підставимо числа в нерівність $x > 1$ :
Лише $2 > 1$ .
Розв’язок: 2.

4) Підставимо числа в нерівність $x \geq 1$ :
$1 \geq 1$ (так), $2 \geq 1$ (так).
Розв’язки: $1; 2$ .

Відповідь: 1) $- 2; - 1; 0$ ; 2) $- 2; - 1; 0; 1$ ; 3) 2; 4) $1; 2$ .

29. Запишіть три числа, які є розв’язками і нерівності $x \leq 5$ , і нерівності $x > 3$ .

Розв’язання:

Числа мають одночасно задовольняти обидві нерівності, тобто належати проміжку $(3; 5]$ .
Обравши три числа з цього інтервалу, отримаємо: $3, 5$ ; 4; 5.

Відповідь: $3, 5; 4; 5$ (або будь-які інші з проміжку $(3; 5]$ ).

30. Які із чисел $- 1; 0; 3; 5; 7$ задовольняють нерівність:

1) $\frac{1}{x} + x > 2$ ;

2) $x + 2 < 3$ ?

Розв’язання:

1) ОДЗ: $x \neq = 0$ . Значення 0 не підходить.
Для $x = - 1$ : $- 1 - 1 = - 2 > 2$ (неправильно).
Для $x = 3$ : $\frac{1}{3} + 3 = 3 \frac{1}{3} > 2$ (правильно).
Для $x = 5$ : $5 \frac{1}{5} > 2$ (правильно).
Для $x = 7$ : $7 \frac{1}{7} > 2$ (правильно).
Розв’язки: $3; 5; 7$ .

2) ОДЗ: $x \geq - 2$ .
Для $x = - 1$ : $1 = 1 < 3$ (правильно).
Для $x = 0$ : $2 \approx 1, 41 < 3$ (правильно).
Для $x = 3$ : $5 \approx 2, 24 < 3$ (правильно).
Для $x = 5$ : $7 \approx 2, 65 < 3$ (правильно).
Для $x = 7$ : $9 = 3 < 3$ (неправильно, бо $3 = 3$ ).
Розв’язки: $- 1; 0; 3; 5$ .

Відповідь: 1) $3; 5; 7$ ; 2) $- 1; 0; 3; 5$ .

31. Знайдіть усі натуральні розв’язки нерівності $1 < \frac{10}{x} \leq 5$ .

Розв’язання:

Оскільки розв’язки шукаємо серед натуральних чисел, то $x > 0$ .
Помножимо всі частини подвійної нерівності на x:
$x < 10 \leq 5 x$
Розв’яжемо систему:

{x < 10 5 x \geq 10

{x < 10 x \geq 2

Отримуємо проміжок $[2; 10)$ . Випишемо всі натуральні числа з цього проміжку: $2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9$ .

Відповідь: $2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9$ .

32. Які з розв’язків рівняння $x^{3} + 2 x^{2} - x - 2 = 0$ є розв’язками нерівності $x^{2} + 4 x + 3 \leq 0$ ?

Розв’язання:

Розкладемо ліву частину рівняння на множники способом групування:
$x^{2} (x + 2) - (x + 2) = 0$
$(x + 2) (x^{2} - 1) = 0$
$(x + 2) (x - 1) (x + 1) = 0$
Корені рівняння: $x_{1} = - 2$ , $x_{2} = 1$ , $x_{3} = - 1$ .

Перевіримо ці числа в нерівності $x^{2} + 4 x + 3 \leq 0$ :
Для $x = - 2$ : $(- 2)^{2} + 4 (- 2) + 3 = 4 - 8 + 3 = - 1 \leq 0$ (правильно).
Для $x = 1$ : $1^{2} + 4 (1) + 3 = 8 \leq 0$ (неправильно).
Для $x = - 1$ : $(- 1)^{2} + 4 (- 1) + 3 = 1 - 4 + 3 = 0 \leq 0$ (правильно).

Відповідь: $- 2; - 1$ .

ДО § 5

33. Запишіть будь-які три числа, що належать проміжку:

1) $(- 4; 5)$ ;

2) $[- 2; 7)$ ;

3) $[3; + \infty)$ ;

4) $(- \infty; 7)$ ;

5) $[1; 17]$ ;

6) $(- \infty; - 1)$ ;

7) $(4; 9]$ ;

8) $(5; + \infty)$ ;

9) $[- 10; - 9]$ .

Розв’язання:

1) Для $(- 4; 5)$ : $0; 1; 2$ .

2) Для $[- 2; 7)$ : $- 2; 0; 5$ .

3) Для $[3; + \infty)$ : $3; 5; 10$ .

4) Для $(- \infty; 7)$ : $- 5; 0; 6$ .

5) Для $[1; 17]$ : $1; 5; 17$ .

6) Для $(- \infty; - 1)$ : $- 10; - 5; - 2$ .

7) Для $(4; 9]$ : $5; 7; 9$ .

8) Для $(5; + \infty)$ : $6; 10; 20$ .

9) Для $[- 10; - 9]$ : $- 10; - 9, 5; - 9$ .

Відповідь: 1) $0; 1; 2$ ; 2) $- 2; 0; 5$ ; 3) $3; 5; 10$ ; 4) $- 5; 0; 6$ ; 5) $1; 5; 17$ ; 6) $- 10; - 5; - 2$ ; 7) $5; 7; 9$ ; 8) $6; 10; 20$ ; 9) $- 10; - 9, 5; - 9$ .

34. Знайдіть найменше і найбільше цілі числа, що належать проміжку:

1) $(- 7; 8)$ ;

2) $[- 2; 3, 8)$ ;

3) $(- 0, 2; 4]$ ;

4) $(- 2, 99; 1, 98)$ .

Розв’язання:

1) Цілі числа: $- 6, - 5, \dots, 7$ . Найменше: $- 6$ , найбільше: 7.

2) Цілі числа: $- 2, - 1, 0, 1, 2, 3$ . Найменше: $- 2$ , найбільше: 3.

3) Цілі числа: $0, 1, 2, 3, 4$ . Найменше: 0, найбільше: 4.

4) Цілі числа: $- 2, - 1, 0, 1$ . Найменше: $- 2$ , найбільше: 1.

Відповідь: 1) $- 6$ і 7; 2) $- 2$ і 3; 3) 0 і 4; 4) $- 2$ і 1.

35. Запишіть три числа проміжку $[- \frac{2}{7}; - \frac{1}{7}]$ .

Розв’язання:

Зведемо дроби до спільного знаменника 28:
$- \frac{2}{7} = - \frac{8}{28}$
$- \frac{1}{7} = - \frac{4}{28}$
Проміжок має вигляд $[- \frac{8}{28}; - \frac{4}{28}]$ .
Виберемо три числа: $- \frac{7}{28} = - \frac{1}{4}$ , $- \frac{6}{28} = - \frac{3}{14}$ , $- \frac{5}{28}$ .

Відповідь: $- \frac{1}{4}; - \frac{3}{14}; - \frac{5}{28}$ .

36. Чи можна знайти найменше і найбільше числа, що належали б проміжку $[1, 6; 1, 8)$ ?

Розв’язання:

Ліва межа належить проміжку, тому найменше число існує і дорівнює $1, 6$ .
Права межа не належить проміжку, тому найбільшого числа не існує, оскільки до числа $1, 8$ можна наближатися як завгодно близько.

Відповідь: найменше число дорівнює $1, 6$ ; найбільшого числа знайти неможливо.

ДО § 6

37. Розв’яжіть нерівність:

1) $x - 3 \geq 0$ ;

2) $x + 5 < 0$ ;

3) $x + 2 > 0$ ;

4) $x - 6 < 0$ .

Розв’язання:

1) $x - 3 \geq 0$
$x \geq 3$
$x \in [3; + \infty)$

2) $x + 5 < 0$
$x < - 5$
$x \in (- \infty; - 5)$

3) $x + 2 > 0$
$x > - 2$
$x \in (- 2; + \infty)$

4) $x - 6 < 0$
$x < 6$
$x \in (- \infty; 6)$

Відповідь: 1) $[3; + \infty)$ ; 2) $(- \infty; - 5)$ ; 3) $(- 2; + \infty)$ ; 4) $(- \infty; 6)$ .

38. Розв’яжіть нерівність і вкажіть два будь-яких цілих числа, що є її розв’язками:

1) $- 4 x > 12$ ;

2) $3 x < 0$ ;

3) $- 5 x \leq - 15$ ;

4) $2 x \geq - 7$ .

Розв’язання:

1) $- 4 x > 12$
$x < - 3$
Розв’язок: $(- \infty; - 3)$ . Цілі розв’язки: $- 4, - 5$ .

2) $3 x < 0$
$x < 0$
Розв’язок: $(- \infty; 0)$ . Цілі розв’язки: $- 1, - 2$ .

3) $- 5 x \leq - 15$
$x \geq 3$
Розв’язок: $[3; + \infty)$ . Цілі розв’язки: $3, 4$ .

4) $2 x \geq - 7$
$x \geq - 3, 5$
Розв’язок: $[- 3, 5; + \infty)$ . Цілі розв’язки: $0, 1$ .

Відповідь: 1) $x < - 3$ ; наприклад, $- 4, - 5$ ; 2) $x < 0$ ; наприклад, $- 1, - 2$ ; 3) $x \geq 3$ ; наприклад, $3, 4$ ; 4) $x \geq - 3, 5$ ; наприклад, $0, 1$ .

39. Знайдіть множину розв’язків нерівності:

1) $1 + 8 x < 9$ ;

2) $4 x - 7 > 0$ ;

3) $2 + 6 x \leq 5 + 7 x$ ;

4) $4 x + 7 \geq 6 x + 1$ ;

5) $3 x \geq 5 x + 1$ ;

6) $4 + 11 x < 5 + 12 x$ .

Розв’язання:

1) $8 x < 8$
$x < 1$
$x \in (- \infty; 1)$

2) $4 x > 7$
$x > 1, 75$
$x \in (1, 75; + \infty)$

3) $6 x - 7 x \leq 5 - 2$
$- x \leq 3$
$x \geq - 3$
$x \in [- 3; + \infty)$

4) $4 x - 6 x \geq 1 - 7$
$- 2 x \geq - 6$
$x \leq 3$
$x \in (- \infty; 3]$

5) $3 x - 5 x \geq 1$
$- 2 x \geq 1$
$x \leq - 0, 5$
$x \in (- \infty; - 0, 5]$

6) $11 x - 12 x < 5 - 4$
$- x < 1$
$x > - 1$
$x \in (- 1; + \infty)$

Відповідь: 1) $(- \infty; 1)$ ; 2) $(1, 75; + \infty)$ ; 3) $[- 3; + \infty)$ ; 4) $(- \infty; 3]$ ; 5) $(- \infty; - 0, 5]$ ; 6) $(- 1; + \infty)$ .

40. Розв’яжіть нерівність:

1) $\frac{2 x}{5} < 1$ ;

2) $\frac{x}{7} \geq 0$ ;

3) $\frac{4 x}{3} > 2$ ;

4) $\frac{5 x}{8} \leq 0$ ;

5) $\frac{x + 2}{20} \geq 1$ ;

6) $\frac{3 - x}{2} \leq 1$ .

Розв’язання:

1) $2 x < 5$
$x < 2, 5$
$x \in (- \infty; 2, 5)$

2) $x \geq 0$
$x \in [0; + \infty)$

3) $4 x > 6$
$x > 1, 5$
$x \in (1, 5; + \infty)$

4) $5 x \leq 0$
$x \leq 0$
$x \in (- \infty; 0]$

5) $x + 2 \geq 20$
$x \geq 18$
$x \in [18; + \infty)$

6) $3 - x \leq 2$
$- x \leq - 1$
$x \geq 1$
$x \in [1; + \infty)$

Відповідь: 1) $(- \infty; 2, 5)$ ; 2) $[0; + \infty)$ ; 3) $(1, 5; + \infty)$ ; 4) $(- \infty; 0]$ ; 5) $[18; + \infty)$ ; 6) $[1; + \infty)$ .

41. За яких значень x значення виразу $2 x + 3$ менше від відповідного значення виразу $4 x - 7$ ?

Розв’язання:

Складемо нерівність:
$2 x + 3 < 4 x - 7$
$2 x - 4 x < - 7 - 3$
$- 2 x < - 10$
$x > 5$

Відповідь: $x > 5$ (або $x \in (5; + \infty)$ ).

42. За яких значень $y$ сума дробів $\frac{y}{2}$ і $\frac{y}{3}$ більша за 10?

Розв’язання:

Складемо нерівність:
$\frac{y}{2} + \frac{y}{3} > 10$
Помножимо обидві частини на 6:
$3 y + 2 y > 60$
$5 y > 60$
$y > 12$

Відповідь: $y > 12$ (або $y \in (12; + \infty)$ ).

43. Розв’яжіть нерівність:

1) $6 x^{2} \geq 48 + 3 x (2 x + 4)$ ;

2) $(x + 6) (3 x - 8) > 20 + 3 (x^{2} - 1)$ ;

3) $\frac{x - 2}{4} + \frac{x + 1}{3} \leq \frac{5 x}{12}$ ;

4) $x - 1 < \frac{3 x - 1}{3} + \frac{x + 1}{2}$ .

Розв’язання:

1) $6 x^{2} \geq 48 + 6 x^{2} + 12 x$
$- 12 x \geq 48$
$x \leq - 4$
$x \in (- \infty; - 4]$

2) $3 x^{2} + 10 x - 48 > 20 + 3 x^{2} - 3$
$10 x - 48 > 17$
$10 x > 65$
$x > 6, 5$
$x \in (6, 5; + \infty)$

3) Помножимо обидві частини на 12:
$3 (x - 2) + 4 (x + 1) \leq 5 x$
$3 x - 6 + 4 x + 4 \leq 5 x$
$7 x - 2 \leq 5 x$
$2 x \leq 2$
$x \leq 1$
$x \in (- \infty; 1]$

4) Помножимо обидві частини на 6:
$6 (x - 1) < 2 (3 x - 1) + 3 (x + 1)$
$6 x - 6 < 6 x - 2 + 3 x + 3$
$6 x - 6 < 9 x + 1$
$- 3 x < 7$
$x > - \frac{7}{3}$
$x > - 2 \frac{1}{3}$
$x \in (- 2 \frac{1}{3}; + \infty)$

Відповідь: 1) $(- \infty; - 4]$ ; 2) $(6, 5; + \infty)$ ; 3) $(- \infty; 1]$ ; 4) $(- 2 \frac{1}{3}; + \infty)$ .

44. Знайдіть найменше ціле значення x, за якого значення дробу $\frac{3 x + 5}{2}$ менше від значення дробу $\frac{5 x - 7}{3}$ .

Розв’язання:

Складемо нерівність:
$\frac{3 x + 5}{2} < \frac{5 x - 7}{3}$
Помножимо обидві частини на 6:
$3 (3 x + 5) < 2 (5 x - 7)$
$9 x + 15 < 10 x - 14$
$- x < - 29$
$x > 29$
Множина розв’язків: $(29; + \infty)$ . Найменшим цілим числом є 30.

Відповідь: 30.

45. Знайдіть область визначення функції:

1) $y = \frac{2}{3} (x + 1) - 8$ ;

2) $y = \frac{x - 5}{x - 7}$ .

Розв’язання:

1) Підкореневий вираз має бути невід’ємним:
$\frac{2}{3} (x + 1) - 8 \geq 0$
$\frac{2}{3} (x + 1) \geq 8$
$x + 1 \geq 12$
$x \geq 11$
$D (y) = [11; + \infty)$

2) Підкореневий вираз має бути невід’ємним, а знаменник не дорівнювати нулю:

{x - 5 \geq 0 x - 7 \neq = 0

{x \geq 5 x \neq = 7

$D (y) = [5; 7) \cup (7; + \infty)$

Відповідь: 1) $[11; + \infty)$ ; 2) $[5; 7) \cup (7; + \infty)$ .

46. Довжина однієї сторони прямокутника дорівнює 6 см. Якою має бути довжина другої сторони, щоб периметр прямокутника був більшим за 30 см?

Розв’язання:

Нехай довжина другої сторони прямокутника дорівнює $x см$ ( $x > 0$ ).
Периметр дорівнює $2 (6 + x) см$ . За умовою:
$2 (6 + x) > 30$
$6 + x > 15$
$x > 9$
Отже, довжина другої сторони має бути більшою за $9 см$ .

Відповідь: більшою за $9 см$ .

47. Спортсмен-паралімпієць зробив 10 пострілів по мішені. За кожен влучний постріл йому нараховують 3 очки, а в разі промаху віднімають від результату 1 очко. Відомо, що паралімпієць набрав більше ніж 17 очок. Якою може бути кількість його влучних пострілів?

Розв’язання:

Нехай x — кількість влучних пострілів ( $x \in {0, 1, \dots, 10}$ ), тоді $(10 - x)$ — кількість промахів.
За влучні постріли нараховано $3 x$ очок, за промахи віднято $1 \cdot (10 - x)$ очок.
Складемо нерівність:
$3 x - (10 - x) > 17$
$3 x - 10 + x > 17$
$4 x > 27$
$x > 6, 75$
Оскільки x є цілим числом і не перевищує 10, значеннями x можуть бути $7, 8, 9, 10$ .

Відповідь: $7, 8, 9$ або 10 пострілів.

48. За яких значень $a$ рівняння:

1) $a x^{2} + 2 (a + 1) x + (a + 3) = 0$ не має коренів;

2) $a x^{2} - (2 a + 1) x + (a + 2) = 0$ має два різних корені?

Розв’язання:

1) Якщо $a = 0$ , рівняння є лінійним:
$2 x + 3 = 0 ⟹ x = - 1, 5$ (має корінь, не підходить).
Якщо $a \neq = 0$ , квадратне рівняння не має коренів, коли дискримінант від’ємний:
$D = [2 (a + 1)]^{2} - 4 a (a + 3) = 4 (a^{2} + 2 a + 1) - 4 a^{2} - 12 a = 4 a^{2} + 8 a + 4 - 4 a^{2} - 12 a = 4 - 4 a$
$4 - 4 a < 0$
$- 4 a < - 4$
$a > 1$
Умова $a \neq = 0$ виконується автоматично.

2) Якщо $a = 0$ , рівняння є лінійним:
$- x + 2 = 0 ⟹ x = 2$ (один корінь, не підходить).
Якщо $a \neq = 0$ , рівняння має два різних корені, коли дискримінант додатний:
$D = [- (2 a + 1)]^{2} - 4 a (a + 2) = 4 a^{2} + 4 a + 1 - 4 a^{2} - 8 a = 1 - 4 a$
$1 - 4 a > 0$
$- 4 a > - 1$
$a < \frac{1}{4}$
Враховуючи $a \neq = 0$ , маємо $a \in (- \infty; 0) \cup (0; \frac{1}{4})$ .

Відповідь: 1) $a > 1$ ; 2) $a < \frac{1}{4}$ , де $a \neq = 0$ .

49. Розв’яжіть нерівність для всіх значень $a$ :

1) $5 + a x \geq a - 3 x$ ;

2) $3 (a - x) < 9 - a x$ ;

3) $(a + 1) x > a^{2} - 1$ ;

4) $(a^{2} - 4) x \leq a - 2$ .

Розв’язання:

1) Згрупуємо доданки:
$a x + 3 x \geq a - 5$
$(a + 3) x \geq a - 5$

Якщо $a + 3 > 0$ ( $a > - 3$ ), то $x \geq \frac{a - 5}{a + 3}$ ;
Якщо $a + 3 < 0$ ( $a < - 3$ ), то $x \leq \frac{a - 5}{a + 3}$ ;
Якщо $a + 3 = 0$ ( $a = - 3$ ), то $0 \cdot x \geq - 8$ , нерівність правильна для будь-якого $x \in R$ .

2) Розкриємо дужки:
$3 a - 3 x < 9 - a x$
$a x - 3 x < 9 - 3 a$
$(a - 3) x < - 3 (a - 3)$

Якщо $a > 3$ , то $x < - 3$ ;
Якщо $a < 3$ , то $x > - 3$ ;
Якщо $a = 3$ , то $0 \cdot x < 0$ , розв’язків немає.

3) Розкладемо праву частину на множники:
$(a + 1) x > (a - 1) (a + 1)$

Якщо $a > - 1$ , то $x > a - 1$ ;
Якщо $a < - 1$ , то $x < a - 1$ ;
Якщо $a = - 1$ , то $0 \cdot x > 0$ , розв’язків немає.

4) Розкладемо на множники:
$(a - 2) (a + 2) x \leq a - 2$

Якщо $a < - 2$ або $a > 2$ , то $(a^{2} - 4) > 0$ , звідси $x \leq \frac{a - 2}{( a - 2 ) ( a + 2 )} = \frac{1}{a + 2}$ ;
Якщо $- 2 < a < 2$ , то $(a^{2} - 4) < 0$ , звідси $x \geq \frac{1}{a + 2}$ ;
Якщо $a = 2$ , то $0 \cdot x \leq 0$ , розв’язком є будь-яке число ( $x \in R$ );
Якщо $a = - 2$ , то $0 \cdot x \leq - 4$ , розв’язків немає.

Відповідь:

1) якщо $a > - 3$ , то $x \geq \frac{a - 5}{a + 3}$ ; якщо $a < - 3$ , то $x \leq \frac{a - 5}{a + 3}$ ; якщо $a = - 3$ , то $x \in R$ ;

2) якщо $a > 3$ , то $x < - 3$ ; якщо $a < 3$ , то $x > - 3$ ; якщо $a = 3$ , то розв’язків немає;

3) якщо $a > - 1$ , то $x > a - 1$ ; якщо $a < - 1$ , то $x < a - 1$ ; якщо $a = - 1$ , то розв’язків немає;

4) якщо $a < - 2$ або $a > 2$ , то $x \leq \frac{1}{a + 2}$ ; якщо $- 2 < a < 2$ , то $x \geq \frac{1}{a + 2}$ ; якщо $a = 2$ , то $x \in R$ ; якщо $a = - 2$ , то розв’язків немає.

ДО § 7

50. Чи є розв’язком системи нерівностей ${2 x > 4, 3 x < 12$ число:

1) 3;

2) $2, 7$ ;

3) $1, 7$ ;

4) $- 1, 8$ ;

5) $3, 9$ ;

6) 4?

Розв’язання:

Розв’яжемо систему:

{x > 2 x < 4 ⟹ x \in (2; 4)

Перевіримо належність чисел інтервалу $(2; 4)$ :

1) $3 \in (2; 4)$ — так;

2) $2, 7 \in (2; 4)$ — так;

3) $1, 7 \in / (2; 4)$ — ні;

4) $- 1, 8 \in / (2; 4)$ — ні;

5) $3, 9 \in (2; 4)$ — так;

6) $4 \in / (2; 4)$ — ні.

Відповідь: 1) так; 2) так; 3) ні; 4) ні; 5) так; 6) ні.

51. Знайдіть множину розв’язків системи нерівностей:

1) ${x - 3 \geq 0, x + 5 \geq 0;$

2) ${x - 7 < 0, x + 8 > 0;$

3) ${4 x \geq - 4, 2 x < 6;$

4) $⎩ ⎨ ⎧ \frac{1}{8} x > 1, \frac{1}{7} x \leq 1.$

Розв’язання:

{x \geq 3 x \geq - 5 ⟹ x \geq 3 ⟹ x \in [3; + \infty)

{x < 7 x > - 8 ⟹ - 8 < x < 7 ⟹ x \in (- 8; 7)

{x \geq - 1 x < 3 ⟹ - 1 \leq x < 3 ⟹ x \in [- 1; 3)

{x > 8 x \leq 7

Проміжки не перетинаються, тому спільних розв’язків немає.

Відповідь: 1) $[3; + \infty)$ ; 2) $(- 8; 7)$ ; 3) $[- 1; 3)$ ; 4) розв’язків немає ( $\emptyset$ ).

52. Розв’яжіть систему нерівностей та вкажіть три числа, які є її розв’язками:

1) ${3 x + 2 > x + 4, \frac{x}{3} < - 1;$

2) ${2 x + 2 \geq x - 1, 3 x - 1 < 1 - 2 x;$

3) $⎩ ⎨ ⎧ \frac{2 x - 1}{2} \leq 5, \frac{x}{7} < 1.$

Розв’язання:

{2 x > 2 x < - 3 ⟹ {x > 1 x < - 3

Розв’язків немає, тому числа вказати неможливо.

{x \geq - 3 5 x < 2 ⟹ {x \geq - 3 x < 0, 4 ⟹ x \in [- 3; 0, 4)

Три розв’язки: $- 2; - 1; 0$ .

{2 x - 1 \leq 10 x < 7 ⟹ {2 x \leq 11 x < 7 ⟹ {x \leq 5, 5 x < 7 ⟹ x \leq 5, 5 ⟹ x \in (- \infty; 5, 5]

Три розв’язки: $0; 1; 5$ .

Відповідь: 1) розв’язків немає; 2) $[- 3; 0, 4)$ , наприклад: $- 2; - 1; 0$ ; 3) $(- \infty; 5, 5]$ , наприклад: $0; 1; 5$ .

53. Розв’яжіть подвійну нерівність:

1) $4 \leq 8 x < 24$ ;

2) $1 \leq \frac{x}{10} < 2$ ;

3) $0, 1 < x + 1 < 1, 1$ ;

4) $7, 9 < x - 2 < 8, 1$ .

Розв’язання:

1) Поділимо всі частини на 8:
$0, 5 \leq x < 3$

2) Помножимо всі частини на 10:
$10 \leq x < 20$

3) Віднімемо 1 від усіх частин:
$- 0, 9 < x < 0, 1$

4) Додамо 2 до усіх частин:
$9, 9 < x < 10, 1$

Відповідь: 1) $[0, 5; 3)$ ; 2) $[10; 20)$ ; 3) $(- 0, 9; 0, 1)$ ; 4) $(9, 9; 10, 1)$ .

54. Знайдіть натуральні розв’язки системи нерівностей:

1) $⎩ ⎨ ⎧ \frac{2 x + 3}{5} > \frac{3 x + 4}{8}, 3 - 2 x > 5 (x - 5);$

2) ${x (x - 1) > (x + 1)^{2}, \frac{x}{4} + \frac{x}{3} > - 7.$

Розв’язання:

1) Помножимо першу нерівність на 40:
$8 (2 x + 3) > 5 (3 x + 4)$
$16 x + 24 > 15 x + 20$
$x > - 4$
Розв’яжемо другу нерівність:
$3 - 2 x > 5 x - 25$
$- 7 x > - 28$
$x < 4$
Отримуємо систему:

{x > - 4 x < 4 ⟹ x \in (- 4; 4)

Натуральні числа: $1, 2, 3$ .

2) Розкриємо дужки у першій нерівності:
$x^{2} - x > x^{2} + 2 x + 1$
$- 3 x > 1$
$x < - \frac{1}{3}$
У другій нерівності помножимо на 12:
$3 x + 4 x > - 84$
$7 x > - 84$
$x > - 12$
Отримуємо $x \in (- 12; - \frac{1}{3})$ .
Усі числа в цьому проміжку від’ємні, тому натуральних розв’язків немає.

Відповідь: 1) $1; 2; 3$ ; 2) немає.

55. За яких значень x:

1) значення двочлена $2 x - 5$ належить проміжку $[- 4; 2)$ ;

2) значення дробу $\frac{1 - 3 x}{2}$ належить проміжку $[0; 4]$ ?

Розв’язання:

1) Складемо подвійну нерівність:
$- 4 \leq 2 x - 5 < 2$
$1 \leq 2 x < 7$
$0, 5 \leq x < 3, 5$

2) Складемо подвійну нерівність:
$0 \leq \frac{1 - 3 x}{2} \leq 4$
$0 \leq 1 - 3 x \leq 8$
$- 1 \leq - 3 x \leq 7$
Поділимо на $- 3$ зі зміною знаків:
$- \frac{7}{3} \leq x \leq \frac{1}{3}$
$- 2 \frac{1}{3} \leq x \leq \frac{1}{3}$

Відповідь: 1) $[0, 5; 3, 5)$ ; 2) $[- 2 \frac{1}{3}; \frac{1}{3}]$ .

56. Розв’яжіть систему нерівностей:

1) ${4 x - 1 < 0, - 2 \leq 2 x \leq 6;$

2) $⎩ ⎨ ⎧ - 9 \leq - x \leq - 5, 5 \leq \frac{2 x - 1}{3} \leq 10.$

Розв’язання:

{4 x < 1 - 1 \leq x \leq 3 ⟹ {x < 0, 25 - 1 \leq x \leq 3 ⟹ - 1 \leq x < 0, 25

З першої нерівності помножимо на $- 1$ :
$5 \leq x \leq 9$
З другої нерівності помножимо на 3:
$15 \leq 2 x - 1 \leq 30$
$16 \leq 2 x \leq 31$
$8 \leq x \leq 15, 5$
Переріз проміжків $[5; 9]$ та $[8; 15, 5]$ :
$8 \leq x \leq 9$

Відповідь: 1) $[- 1; 0, 25)$ ; 2) $[8; 9]$ .

57. Сума натурального числа та подвоєного наступного за ним числа більша за 57. Сума цього самого числа і потроєного попереднього числа менша від 74. Знайдіть це натуральне число.

Розв’язання:

Нехай шукане натуральне число дорівнює $n$ ( $n \in N$ ). Тоді наступне число дорівнює $(n + 1)$ , а попереднє — $(n - 1)$ .
Складемо систему нерівностей:

{n + 2 (n + 1) > 57 n + 3 (n - 1) < 74

{3 n + 2 > 57 4 n - 3 < 74

{3 n > 55 4 n < 77

⎩ ⎨ ⎧ n > 18 \frac{1}{3} n < 19 \frac{1}{4}

Єдиним натуральним числом, що задовольняє нерівність $18 \frac{1}{3} < n < 19 \frac{1}{4}$ , є число 19.

Відповідь: 19.

58. Знайдіть усі розв’язки системи нерівностей:

1) $⎩ ⎨ ⎧ x > 7, x > 8, x \leq 11;$

2) $⎩ ⎨ ⎧ 2 x > 8, 3 x < 36, - x < - 5;$

3) $⎩ ⎨ ⎧ x - 7 > 0, - x > - 8, 2 x - 15 \geq 0.$

Розв’язання:

⎩ ⎨ ⎧ x > 7 x > 8 x \leq 11 ⟹ 8 < x \leq 11 ⟹ x \in (8; 11]

⎩ ⎨ ⎧ x > 4 x < 12 x > 5 ⟹ 5 < x < 12 ⟹ x \in (5; 12)

⎩ ⎨ ⎧ x > 7 x < 8 2 x \geq 15 ⟹ ⎩ ⎨ ⎧ x > 7 x < 8 x \geq 7, 5 ⟹ 7, 5 \leq x < 8 ⟹ x \in [7, 5; 8)

Відповідь: 1) $(8; 11]$ ; 2) $(5; 12)$ ; 3) $[7, 5; 8)$ .

59. За яких значень $a$ система нерівностей має розв’язки:

1) ${3 x > 15, x < a;$

2) ${x + a \geq 0, 3 x \leq - 6 ?$

Розв’язання:

{x > 5 x < a

Система має розв’язки, якщо верхня межа більша за нижню: $a > 5$ .

{x \geq - a x \leq - 2

Система має розв’язки, якщо ліва межа не перевищує праву:
$- a \leq - 2 ⟹ a \geq 2$

Відповідь: 1) $a > 5$ ; 2) $a \geq 2$ .

60. Кількість одиниць деякого двоцифрового числа на 1 більша за кількість його десятків. Знайдіть це число, якщо воно більше за 45, але менше від 66.

Розв’язання:

Нехай кількість десятків дорівнює x ( $x \in {1, 2, \dots, 9}$ ), тоді кількість одиниць дорівнює $(x + 1)$ .
Число має вигляд:
$10 x + (x + 1) = 11 x + 1$
За умовою:
$45 < 11 x + 1 < 66$
$44 < 11 x < 65$
$4 < x < \frac{65}{11}$
$4 < x < 5 \frac{10}{11}$
Оскільки x — ціла цифра, то $x = 5$ .
Тоді кількість одиниць: $5 + 1 = 6$ . Шукане число: 56.

Відповідь: 56.

61. Розв’яжіть систему нерівностей:

1) ${x > 2, x < a;$

2) ${x > 6, x > a .$

Розв’язання:

1) Порівняємо $a$ та 2:

Якщо $a \leq 2$ , інтервали не перетинаються, тому розв’язків немає ( $x \in \emptyset$ );
Якщо $a > 2$ , перерізом є інтервал $(2; a)$ .

2) Порівняємо $a$ та 6:

Якщо $a \leq 6$ , то сильнішою є умова $x > 6$ , тому $x \in (6; + \infty)$ ;
Якщо $a > 6$ , то сильнішою є умова $x > a$ , тому $x \in (a; + \infty)$ .

Відповідь:

1) якщо $a \leq 2$ , розв’язків немає; якщо $a > 2$ , то $x \in (2; a)$ ;

2) якщо $a \leq 6$ , то $x \in (6; + \infty)$ ; якщо $a > 6$ , то $x \in (a; + \infty)$ .

62. Знайдіть значення $a$ , за яких один із коренів рівняння $x^{2} + x + (a - a^{2}) = 0$ менший від нуля, а другий – більший за 0,5.

Розв’язання:

Знайдемо дискримінант квадратного рівняння:
$D = 1^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (a - a^{2}) = 1 - 4 a + 4 a^{2} = (2 a - 1)^{2}$
Корені рівняння:
$x_{1} = \frac{- 1 - ( 2 a - 1 )}{2} = \frac{- 2 a}{2} = - a$
$x_{2} = \frac{- 1 + ( 2 a - 1 )}{2} = \frac{2 a - 2}{2} = a - 1$

Розглянемо два випадки:

1) $x_{1} < 0$ і $x_{2} > 0, 5$ :

{- a < 0 a - 1 > 0, 5 ⟹ {a > 0 a > 1, 5 ⟹ a > 1, 5

2) $x_{2} < 0$ і $x_{1} > 0, 5$ :

{a - 1 < 0 - a > 0, 5 ⟹ {a < 1 a < - 0, 5 ⟹ a < - 0, 5

Об’єднуючи обидва випадки, маємо $a < - 0, 5$ або $a > 1, 5$ .

Відповідь: $a < - 0, 5$ або $a > 1, 5$ (тобто $a \in (- \infty; - 0, 5) \cup (1, 5; + \infty)$ ).

63. Знайдіть, за яких значень $a$ обидва корені квадратного рівняння $6 x^{2} + (5 a + 2) x + (a^{2} + a) = 0$ належать проміжку $[- 4; 0]$ .

Розв’язання:

Знайдемо дискримінант:
$D = (5 a + 2)^{2} - 4 \cdot 6 \cdot (a^{2} + a) = 25 a^{2} + 20 a + 4 - 24 a^{2} - 24 a = a^{2} - 4 a + 4 = (a - 2)^{2}$
Оскільки $(a - 2)^{2} \geq 0$ , корені існують при будь-якому $a$ :
$x_{1} = \frac{- ( 5 a + 2 ) + ( a - 2 )}{12} = \frac{- 4 a - 4}{12} = - \frac{a + 1}{3}$
$x_{2} = \frac{- ( 5 a + 2 ) - ( a - 2 )}{12} = \frac{- 6 a}{12} = - \frac{a}{2}$

Обидва корені мають належати проміжку $[- 4; 0]$ :

⎩ ⎨ ⎧ - 4 \leq - \frac{a + 1}{3} \leq 0 - 4 \leq - \frac{a}{2} \leq 0

Розв’яжемо першу нерівність:
$0 \leq a + 1 \leq 12 ⟹ - 1 \leq a \leq 11$

Розв’яжемо другу нерівність:
$0 \leq a \leq 8$

Переріз проміжків $[- 1; 11]$ та $[0; 8]$ :
$a \in [0; 8]$

Відповідь: $a \in [0; 8]$ .

ВПРАВИ ДЛЯ ПОВТОРЕННЯ РОЗДІЛУ 1

Теги статті:

До уроку