Вправи для повторення розділу 4

РОЗВ’ЯЖІТЬ ЗАДАЧІ ТА ВИКОНАЙТЕ ВПРАВИ

📋 Швидка навігація по вправах:

№ 1. У танцювальному клубі займаються 7 юнаків і 9 дівчат. Скількома способами можна вибрати одну танцювальну пару для участі в конкурсі?

Розв’язання:
Юнака для пари можна вибрати 7 способами, а дівчину — 9 способами.
За правилом добутку одну танцювальну пару можна вибрати:
$7 \cdot 9 = 63$

Відповідь: 63.

№ 2. Скількома способами можна вибрати пару з одного голосного і одного приголосного серед звуків слова «стежка»?

Розв’язання:
Звуковий склад слова «стежка»: [с], [т], [е], [ж], [к], [а].
Голосних звуків — 2: [е], [а].
Приголосних звуків — 4: [с], [т], [ж], [к].
За правилом добутку пару з одного голосного та одного приголосного звука можна вибрати:
$2 \cdot 4 = 8$

Відповідь: 8.

№ 3. Скількома способами можна викласти в ряд червону, білу, чорну та зелену кульки?

Розв’язання:
Кількість способів розмістити в ряд 4 різні кульки дорівнює кількості перестановок із 4 елементів:
$P_{4} = 4! = 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 = 24$

Відповідь: 24.

№ 4. З букв розрізної абетки складено слово «учень». Скільки різних послідовностей букв можна отримати, переставляючи букви цього слова?

Розв’язання:
Слово «учень» містить 5 різних букв (у, ч, е, н, ь).
Кількість різних послідовностей букв дорівнює кількості перестановок із 5 елементів:
$P_{5} = 5! = 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 = 120$

Відповідь: 120.

№ 5. Скільки різних трицифрових чисел можна скласти, використовуючи цифри 1 і 2, якщо цифри в числі можуть повторюватися?

Розв’язання:
Трицифрове число має 3 позиції (розряди сотень, десятків та одиниць).
На кожну з трьох позицій можна обрати одну з 2 цифр (1 або 2).
За правилом добутку кількість таких чисел становить:
$2 \cdot 2 \cdot 2 = 2^{3} = 8$

Відповідь: 8.

№ 6. Скільки різних чотирицифрових чисел, у запису яких використовуються лише непарні цифри, можна скласти, якщо цифри в числі можуть повторюватися?

Розв’язання:
Непарні цифри: 1, 3, 5, 7, 9 (усього 5 цифр).
Для кожної з чотирьох позицій чотирицифрового числа є 5 варіантів вибору.
За правилом добутку:
$5 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5 = 625$

Відповідь: 625.

№ 7. Скільки різних двоцифрових чисел можна скласти, використовуючи цифри 1, 2, 3, 4, 5, якщо цифри в числі:

1) можуть повторюватися;

2) не можуть повторюватися?

Розв’язання:

1) На кожну з двох позицій є по 5 варіантів вибору цифри:
$5 \cdot 5 = 25$

2) На першу позицію є 5 варіантів, а на другу — 4 варіанти:
$5 \cdot 4 = 20$

Відповідь: 1) 25; 2) 20.

№ 8. Скількома способами можна вибрати старосту та його заступника в класі, де навчається 28 учнів та учениць?

Розв’язання:
Старосту можна обрати з 28 учнів (28 способів).
Заступника можна обрати з решти 27 учнів (27 способів).
За правилом добутку:
$28 \cdot 27 = 756$

Відповідь: 756.

№ 9. Скількома способами можна пошити двоколірний прапор зі смужок однакової ширини, якщо є шовк восьми різних кольорів?

Розв’язання:
Для першої смуги можна обрати будь-який з 8 кольорів.
Для другої смуги можна обрати будь-який із 7 кольорів, що залишилися.
За правилом добутку:
$8 \cdot 7 = 56$

Відповідь: 56.

№ 10. З букв слова «сокіл» беруть деякі три і викладають у ряд. Скільки різних послідовностей букв при цьому можна отримати?

Розв’язання:
Слово «сокіл» складається з 5 різних букв: с, о, к, і, л.
Оскільки букви не повторюються і порядок їх розташування має значення, шукана кількість послідовностей дорівнює кількості розміщень з 5 елементів по 3:
$A_{5}^{3} = 5 \cdot 4 \cdot 3 = 60$

Відповідь: 60.

№ 11. Скільки різних трицифрових чисел можна скласти, використовуючи цифри 0, 1, 2, 3, 4, якщо цифри в числі не повторюються?

Розв’язання:
Усього дано 5 цифр: $0, 1, 2, 3, 4$ .
Для складання трицифрового числа:

на перше місце (сотні) можна обрати будь-яку з 4 цифр ( $1, 2, 3, 4$ , оскільки число не може починатися з $0$ );
на друге місце (десятки) можна обрати будь-яку з 4 цифр, що залишилися (включаючи $0$ );
на третє місце (одиниці) можна обрати будь-яку з 3 цифр, що залишилися.

За правилом добутку:

$N = 4 \cdot 4 \cdot 3 = 48$

Відповідь: 48.

№ 12. Скільки існує чотирицифрових чисел, усі цифри яких парні й не повторюються?

Розв’язання:
Множина парних цифр: ${0; 2; 4; 6; 8}$ — усього 5 цифр.
Для складання чотирицифрового числа:

на першу позицію є 4 варіанти ( $2, 4, 6, 8$ , оскільки першою цифрою не може бути $0$ );
на другу позицію є 4 варіанти (будь-яка з 4 цифр, що залишилися, разом із $0$ );
на третю позицію є 3 варіанти;
на четверту позицію є 2 варіанти.

За правилом добутку:

$N = 4 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 = 96$

Відповідь: 96.

№ 13. Скільки є різних варіантів складання шифру із чотирьох цифр, якщо цифри у шифрі:

1) можуть повторюватися;

2) не можуть повторюватися?

Розв’язання:
Для складання шифру використовують 10 цифр ( $0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9$ ). На першому місці в шифрі може стояти цифра $0$ .

1) Якщо цифри можуть повторюватися, то на кожну з 4 позицій є по 10 варіантів:
$N = 10 \cdot 10 \cdot 10 \cdot 10 = 10000$

2) Якщо цифри не можуть повторюватися, то кількість варіантів дорівнює кількості розміщень із 10 елементів по 4:
$N = 10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7 = 5040$

Відповідь: 1) $10000$ ; 2) $5040$ .

№ 14. Шкільний розклад на день містить 5 уроків. Визначте кількість різних варіантів розкладів на один день, якщо в класі вивчають 9 предметів і предмети в один день не можуть повторюватися.

Розв’язання:
Кількість способів обрати та впорядкувати 5 різних предметів із 9 дорівнює кількості розміщень із 9 по 5:

$A_{9}^{5} = 9 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5 = 15120$

Відповідь: $15120$ .

№ 15. Під час зустрічі 8 чоловіків обмінялися рукостисканнями. Скільки рукостискань було здійснено?

Розв’язання:
Кожне рукостискання здійснюється парою людей. Кількість рукостискань дорівнює кількості комбінацій із 8 елементів по 2:

$C_{8}^{2} = \frac{8 \cdot 7}{2} = \frac{56}{2} = 28$

Відповідь: 28.

№ 16. Які з даних подій випадкові, вірогідні, неможливі:

1) програти партію в шахи рівному по силі супернику;

2) під час підкидання грального кубика випаде число $11$ ;

3) випаде два аверси під час підкидання двох монет одночасно;

4) дата народження людини, яку зустріли, $1$ вересня;

5) дата народження людини, яку зустріли, $31$ вересня;

6) витягнути олівець із коробки, де лежать $6$ зелених і $5$ червоних олівців;

7) наступним днем після $1$ грудня буде $2$ грудня;

8) наступним днем після $2$ грудня буде $1$ грудня?

Розв’язання:

1) Випадкова подія (партія може завершитися перемогою, нічиєю або поразкою).

2) Неможлива подія (грані грального кубика містять числа від 1 до 6).

3) Випадкова подія (може випасти комбінація аверс-аверс, аверс-реверс, реверс-аверс або реверс-реверс).

4) Випадкова подія (зустрінута людина може народитися в будь-який день року).

5) Неможлива подія (у вересні всього 30 днів).

6) Вірогідна подія (у коробці містяться виключно олівці, тому будь-який витягнутий предмет обов’язково є олівцем).

7) Вірогідна подія (за календарем після 1 грудня завжди настає 2 грудня).

8) Неможлива подія (календарні дні йдуть у порядку зростання).

Відповідь: 1) випадкова; 2) неможлива; 3) випадкова; 4) випадкова; 5) неможлива; 6) вірогідна; 7) вірогідна; 8) неможлива.

№ 17. Перемалюйте таблицю в зошит і для кожного досліду вкажіть приклад вірогідної, неможливої, випадкової події.

Розв’язання:

№ з/п	Дослід	Вірогідна подія	Неможлива подія	Випадкова подія
1	Підкидання двох гральних кубиків одночасно	Сума очок не менша від 2	Сума очок дорівнює 15	Сума очок дорівнює 7
2	Витягування хустинки з коробки, де лежать червоні та зелені хустинки	Витягнуто хустинку	Витягнуто синю хустинку	Витягнуто зелену хустинку
3	Складання трицифрового числа із цифр 1, 2, 3	Складене число менше від 400	Складене число є чотирицифровим	Складене число ділиться на 2
4	Кількість днів навмання обраного місяця року	Кількість днів не перевищує 31	У місяці 35 днів	У місяці 30 днів

Відповідь: таблицю заповнено.

№ 18. Було виконано чотири серії по 100 підкидань монети в кожній. Результати досліду занесено в таблицю. Перемалюйте її в зошит та обчисліть відносну частоту події $A$ в кожній серії.

Серія	1	2	3	4
Випадіння аверсу (подія $A$ )	51	50	47	49
Відносна частота події $A$

Розв’язання:
Відносна частота події $A$ обчислюється за формулою:
$W (A) = \frac{m}{n}$
де $m$ — кількість випробувань, у яких з’явилася подія $A$ , а $n = 100$ — загальна кількість випробувань у серії.

1) Серія 1:
$W_{1} (A) = \frac{51}{100} = 0, 51$

2) Серія 2:
$W_{2} (A) = \frac{50}{100} = 0, 5$

3) Серія 3:
$W_{3} (A) = \frac{47}{100} = 0, 47$

4) Серія 4:
$W_{4} (A) = \frac{49}{100} = 0, 49$

Заповнена таблиця:

Серія	1	2	3	4
Випадіння аверсу (подія $A$ )	51	50	47	49
Відносна частота події $A$	$0, 51$	$0, 5$	$0, 47$	$0, 49$

Відповідь: $0, 51$ ; $0, 5$ ; $0, 47$ ; $0, 49$ .

№ 19. Відомо, що в партії з $10000$ тонометрів $9$ є бракованими. Яка ймовірність того, що навмання вибраний із цієї партії тонометр виявиться бракованим?

Розв’язання:
Нехай подія $A$ — навмання вибраний тонометр є бракованим.

За класичним означенням ймовірності:
$P (A) = \frac{m}{n}$
де $n = 10000$ — загальна кількість тонометрів у партії,
$m = 9$ — кількість сприятливих наслідків (бракованих тонометрів).

$P (A) = \frac{9}{10 000} = 0, 0009$

Відповідь: $0, 0009$ .

№ 20. Щоб з’ясувати, який зріст у чоловіків деякого міста трапляється частіше, а який — рідше, дослідники розійшлися по різних частинах міста й записували зріст чоловіків, яких зустрічали. Результати цього дослідження було занесено в таблицю.

Зріст, см	до 161	161–170	171–180	181–190	вище 190
Кількість опитаних	15	142	241	79	53

Оцініть (із точністю до сотих), що обраний навмання чоловік цього міста має зріст:

1) нижчий від 161 см;

2) від 171 до 180 см;

3) вищий за 180 см;

4) нижчий від 181 см.

Розв’язання:
Знайдемо загальну кількість опитаних чоловіків:
$n = 15 + 142 + 241 + 79 + 53 = 530$

Ймовірність кожної події оцінимо за її відносною частотою:
$P \approx \frac{m}{n}$

1) Подія $A$ — зріст чоловіка нижчий від 161 см ( $m_{1} = 15$ ):
$P (A) \approx \frac{15}{530} \approx 0, 0283 \approx 0, 03$

2) Подія $B$ — зріст чоловіка від 171 до 180 см ( $m_{2} = 241$ ):
$P (B) \approx \frac{241}{530} \approx 0, 4547 \approx 0, 45$

3) Подія $C$ — зріст чоловіка вищий за 180 см ( $m_{3} = 79 + 53 = 132$ ):
$P (C) \approx \frac{132}{530} \approx 0, 2491 \approx 0, 25$

4) Подія $D$ — зріст чоловіка нижчий від 181 см ( $m_{4} = 15 + 142 + 241 = 398$ ):
$P (D) \approx \frac{398}{530} \approx 0, 7509 \approx 0, 75$

Відповідь: 1) $0, 03$ ; 2) $0, 45$ ; 3) $0, 25$ ; 4) $0, 75$ .

№ 21. Проєктна діяльність. Виберіть якийсь текст українською мовою, позначте в ньому будь-які шість рядків поспіль. Обчисліть відносну частоту в цих рядках букви «о» та букви «ц» та порівняйте їх.

Розв’язання:
Для прикладу візьмемо шість рядків з вірша Т. Г. Шевченка:

1) Реве та стогне Дніпро широкий,

2) Сердитий вітер завива,

3) Додолу верби гне високі,

4) Горами хвилю підійма,

5) І блідий місяць на ту пору

6) Із хмари де-де виглядав.

Загальна кількість букв у вибраних рядках (без розділових знаків і пробілів):
$N = 118$

Підрахуємо кількість букв «о»:

«Реве та стогне Дніпро широкий» — 3
«Сердитий вітер завива» — 0
«Додолу верби гне високі» — 3
«Горами хвилю підійма» — 1
«І блідий місяць на ту пору» — 1
«Із хмари де-де виглядав» — 0
Загальна кількість:
$m_{1} = 3 + 0 + 3 + 1 + 1 + 0 = 8$

Підрахуємо кількість букв «ц»:

«Реве та стогне Дніпро широкий» — 0
«Сердитий вітер завива» — 0
«Додолу верби гне високі» — 0
«Горами хвилю підійма» — 0
«І блідий місяць на ту пору» — 1
«Із хмари де-де виглядав» — 0
Загальна кількість:
$m_{2} = 1$

Обчислимо відносну частоту появи букви за формулою $W = \frac{m}{N}$ :

Відносна частота букви «о»:
$W (« о ») = \frac{8}{118} \approx 0, 068$

Відносна частота букви «ц»:
$W (« ц ») = \frac{1}{118} \approx 0, 008$

Порівняємо отримані відносні частоти:
$0, 068 > 0, 008$ , отже, відносна частота букви «о» більша за відносну частоту букви «ц».

Відповідь: $W (« о ») \approx 0, 068$ ; $W (« ц ») \approx 0, 008$ ; відносна частота букви «о» більша за відносну частоту букви «ц».

№ 22. У серії зі 100 пострілів стрілець влучив у ціль 84 рази.

1) Скільки приблизно влучень буде в серії зі 150 пострілів?

2) Скільки приблизно пострілів зробив стрілець, якщо серед них було 189 влучень?

Розв’язання:
Відносна частота влучення в ціль:
$P \approx \frac{84}{100} = 0, 84$

1) Нехай $x$ — очікувана кількість влучень у серії зі 150 пострілів:
$\frac{x}{150} = 0, 84$
$x = 150 \cdot 0, 84$
$x = 126$

2) Нехай $n$ — кількість зроблених пострілів, серед яких було 189 влучень:
$\frac{189}{n} = 0, 84$
$n = \frac{189}{0 , 84}$
$n = 225$

Відповідь: 1) 126; 2) 225.

№ 23. Сергій грає в настільний теніс краще, ніж Василь, а тому виграє партію з імовірністю, більшою за $0, 6$ , але меншою від $0, 7$ . Скільки партій приблизно зіграли хлопці, якщо Сергій виграв $5$ партій?

Розв’язання:
Нехай хлопці зіграли $n$ партій ( $n \in N$ ).
Оскільки Сергій виграв 5 партій, то відносна частота його виграшу становить $\frac{5}{n}$ .

За умовою:
$0, 6 < \frac{5}{n} < 0, 7$

Складемо та розв’яжемо систему нерівностей:

⎩ ⎨ ⎧ \frac{5}{n} > 0, 6 \frac{5}{n} < 0, 7

Оскільки $n > 0$ :

{0, 6 n < 5 0, 7 n > 5

⎩ ⎨ ⎧ n < \frac{5}{0 , 6} n > \frac{5}{0 , 7}

⎩ ⎨ ⎧ n < 8 \frac{1}{3} n > 7 \frac{1}{7}

$7 \frac{1}{7} < n < 8 \frac{1}{3}$

Оскільки $n$ — натуральне число, то єдиним розв’язком є $n = 8$ .

Відповідь: 8.

№ 24.

1) Чи всі рівноймовірні події мають імовірність, що дорівнює $0, 5$ ?

2) Наведіть приклад двох рівноймовірних подій, імовірність яких не дорівнює $0, 5$ .

Розв’язання:

1) Ні, не всі. Події називають рівноймовірними, якщо в даному випробуванні немає підстав вважати, що одна з них відбудеться з більшою ймовірністю, ніж інша. Їхня ймовірність залежить від загальної кількості таких можливих наслідків.

2) Приклад: підкидання однорідного грального кубика.
Подія $A$ — «випаде число 1», $P (A) = \frac{1}{6}$ .
Подія $B$ — «випаде число 6», $P (B) = \frac{1}{6}$ .
Події $A$ і $B$ є рівноймовірними, але ймовірність кожної з них дорівнює $\frac{1}{6} \neq = 0, 5$ .

Відповідь: 1) ні; 2) при одному киданні грального кубика події «випаде 1 очко» та «випаде 6 очок» є рівноймовірними, їхня ймовірність дорівнює $\frac{1}{6}$ .

№ 25. У лотереї з 500 квитків 50 є виграшними. Яка ймовірність виграти в цій лотереї, якщо придбати один квиток?

Розв’язання:
Загальна кількість можливих наслідків випробування (усіх квитків):
$n = 500$

Кількість сприятливих наслідків (виграшних квитків):
$m = 50$

За класичним означенням ймовірності:
$P (A) = \frac{m}{n}$
$P (A) = \frac{50}{500} = \frac{1}{10} = 0, 1$

Відповідь: $0, 1$ .

№ 26. Гральний кубик підкидають один раз. Знайдіть імовірність того, що:

1) випаде число, яке є дільником числа 9;

2) випаде не більше як 2 очки;

3) випаде не менше як 2 очки;

4) випаде число, яке є квадратом натурального числа.

Розв’язання:
Загальна кількість рівноможливих наслідків при підкиданні грального кубика:
$n = 6$ (числа 1, 2, 3, 4, 5, 6).

1) Дільниками числа 9 серед можливих чисел є 1 та 3.
Кількість сприятливих наслідків: $m = 2$ .
$P = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$

2) Не більше як 2 очки — це числа 1 та 2.
Кількість сприятливих наслідків: $m = 2$ .
$P = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$

3) Не менше як 2 очки — це числа 2, 3, 4, 5, 6.
Кількість сприятливих наслідків: $m = 5$ .
$P = \frac{5}{6}$

4) Квадратами натуральних чисел є $1 = 1^{2}$ та $4 = 2^{2}$ .
Кількість сприятливих наслідків: $m = 2$ .
$P = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$

Відповідь: 1) $\frac{1}{3}$ ; 2) $\frac{1}{3}$ ; 3) $\frac{5}{6}$ ; 4) $\frac{1}{3}$ .

№ 27. У ящику $a$ синіх і $b$ червоних кульок. Із нього виймають одну кульку червоного кольору і відкладають. Після цього з ящика беруть ще одну кульку. Яка ймовірність того, що вона також червона?

Розв’язання:
Початкова кількість кульок у ящику: $a + b$ .
Після того як вийняли одну червону кульку:

кількість червоних кульок становить $b - 1$ ;
загальна кількість кульок у ящику дорівнює $a + b - 1$ .

Ймовірність того, що друга навмання вийнята кулька буде червоною:
$P = \frac{b - 1}{a + b - 1}$

Відповідь: $\frac{b - 1}{a + b - 1}$ .

№ 28. Підкидають дві однакові монети. Яка з подій більш імовірна: $A$ — монети випадуть однаковими сторонами чи $B$ — монети випадуть різними сторонами?

Розв’язання:
Усі можливі рівноможливі результати підкидання двох монет (де Г — герб, Ц — цифра):
(Г, Г), (Г, Ц), (Ц, Г), (Ц, Ц).
Загальна кількість наслідків: $n = 4$ .

Для події $A$ (однакові сторони) сприятливими є комбінації (Г, Г) та (Ц, Ц):
$m_{A} = 2$
$P (A) = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$

Для події $B$ (різні сторони) сприятливими є комбінації (Г, Ц) та (Ц, Г):
$m_{B} = 2$
$P (B) = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$

$P (A) = P (B)$ , отже, події $A$ і $B$ є рівноймовірними.

Відповідь: події рівноймовірні.

№ 29. У коробці 25 карток, пронумерованих від 1 до 25. Із коробки навмання виймають одну картку. Яка ймовірність того, що на ній написане число:

1) 1;

2) 26;

3) парне;

4) непарне;

5) кратне числу 5;

6) просте;

7) одноцифрове;

8) двоцифрове;

9) у запису якого є цифра 2;

10) у запису якого немає цифри 1?

Розв’язання:
Загальна кількість карток: $n = 25$ .

1) Число 1: $m = 1$ .
$P = \frac{1}{25} = 0, 04$

2) Число 26: $m = 0$ .
$P = \frac{0}{25} = 0$

3) Парні числа: 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20, 22, 24 ( $m = 12$ ).
$P = \frac{12}{25} = 0, 48$

4) Непарні числа: 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 19, 21, 23, 25 ( $m = 13$ ).
$P = \frac{13}{25} = 0, 52$

5) Числа, кратні числу 5: 5, 10, 15, 20, 25 ( $m = 5$ ).
$P = \frac{5}{25} = \frac{1}{5} = 0, 2$

6) Прості числа: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23 ( $m = 9$ ).
$P = \frac{9}{25} = 0, 36$

7) Одноцифрові числа: від 1 до 9 ( $m = 9$ ).
$P = \frac{9}{25} = 0, 36$

8) Двоцифрові числа: від 10 до 25 ( $m = 25 - 9 = 16$ ).
$P = \frac{16}{25} = 0, 64$

9) Числа, у запису яких є цифра 2: 2, 12, 20, 21, 22, 23, 24, 25 ( $m = 8$ ).
$P = \frac{8}{25} = 0, 32$

10) Числа, у запису яких є цифра 1: 1, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 21 (усього 12 чисел).
Числа без цифри 1: $m = 25 - 12 = 13$ .
$P = \frac{13}{25} = 0, 52$

Відповідь: 1) $0, 04$ ; 2) $0$ ; 3) $0, 48$ ; 4) $0, 52$ ; 5) $0, 2$ ; 6) $0, 36$ ; 7) $0, 36$ ; 8) $0, 64$ ; 9) $0, 32$ ; 10) $0, 52$ .

№ 30. Підкинули два гральних кубики. Яка ймовірність того, що модуль різниці чисел, що випадуть, дорівнюватиме 1?

Розв’язання:
Загальна кількість усіх можливих наслідків при підкиданні двох кубиків:
$n = 6 \cdot 6 = 36$ .

Модуль різниці дорівнює 1 для пар $(x; y)$ , у яких $∣ x - y ∣ = 1$ :

для $x = 1$ : $(1; 2)$ — 1 пара;
для $x = 2$ : $(2; 1)$ , $(2; 3)$ — 2 пари;
для $x = 3$ : $(3; 2)$ , $(3; 4)$ — 2 пари;
для $x = 4$ : $(4; 3)$ , $(4; 5)$ — 2 пари;
для $x = 5$ : $(5; 4)$ , $(5; 6)$ — 2 пари;
для $x = 6$ : $(6; 5)$ — 1 пара.

Сприятливі наслідки:
(1; 2), (2; 1), (2; 3), (3; 2), (3; 4), (4; 3), (4; 5), (5; 4), (5; 6), (6; 5).
Кількість сприятливих наслідків: $m = 10$ .

Ймовірність події:
$P = \frac{10}{36} = \frac{5}{18}$

Відповідь: $\frac{5}{18}$ .

№ 31. На десяти картках записано цифри від 0 до 9. Спочатку навмання беруть одну картку, а потім, не повертаючи її назад, — іншу. Із цих карток утворюють двоцифрове число: на першій картці — десятки цього числа, на другій — одиниці (наприклад, якщо складено число 01 — це означатиме число 1). Знайдіть імовірність того, що складуть число, яке:

1) кратне числу 3;

2) є дільником числа 99;

3) кратне числу 11.

Розв’язання:
Загальна кількість можливих результатів дорівнює добутку кількості способів вибрати першу та другу картки без повернення:
$n = 10 \cdot 9 = 90$

1) Число кратне 3, якщо сума його цифр ділиться на 3.
Оскільки цифри не повторюються, для кожної цифри десятків від 0 до 9 існує рівно по 3 варіанти цифри одиниць:

для 0: 03, 06, 09;
для 1: 12, 15, 18;
для 2: 21, 24, 27;
для 3: 30, 36, 39;
для 4: 42, 45, 48;
для 5: 51, 54, 57;
для 6: 60, 63, 69;
для 7: 72, 75, 78;
для 8: 81, 84, 87;
для 9: 90, 93, 96.
Кількість сприятливих наслідків:
$m = 10 \cdot 3 = 30$
$P = \frac{30}{90} = \frac{1}{3}$

2) Дільниками числа 99 є числа 1, 3, 9, 11, 33, 99.
Числа 11, 33 і 99 скласти неможливо, оскільки картки виймають без повернення (цифри десятків і одиниць мають бути різними).
Числа 1, 3 і 9 відповідають парам карток 01, 03 і 09.
Кількість сприятливих наслідків:
$m = 3$
$P = \frac{3}{90} = \frac{1}{30}$

3) Двоцифрові числа, кратні 11, мають однакові цифри десятків і одиниць: 11, 22, 33, 44, 55, 66, 77, 88, 99.
Оскільки картки вибирають без повернення, скласти число з однаковими цифрами неможливо.
Кількість сприятливих наслідків:
$m = 0$
$P = \frac{0}{90} = 0$

Відповідь: 1) $\frac{1}{3}$ ; 2) $\frac{1}{30}$ ; 3) 0.

№ 32. На п’яти картках записано цифри від 1 до 5. Виймають навмання одну картку, запам’ятовують число, що на ній записано, і картку знов кладуть до інших. Потім ще раз вибирають одну картку. Знайдіть імовірність того, що:

1) обидва рази витягали однакову картку;

2) першого разу витягнули картку з більшим числом, ніж другого разу.

Розв’язання:
Загальна кількість можливих результатів вибору двох карток із поверненням:
$n = 5 \cdot 5 = 25$

1) Події сприяють пари з однаковими числами: $(1; 1)$ , $(2; 2)$ , $(3; 3)$ , $(4; 4)$ , $(5; 5)$ .
Кількість сприятливих наслідків:
$m = 5$
$P = \frac{5}{25} = \frac{1}{5} = 0, 2$

2) Події сприяють пари, у яких перше число більше за друге:
$(2; 1)$ ,
$(3; 1)$ , $(3; 2)$ ,
$(4; 1)$ , $(4; 2)$ , $(4; 3)$ ,
$(5; 1)$ , $(5; 2)$ , $(5; 3)$ , $(5; 4)$ .
Кількість сприятливих наслідків:
$m = 10$
$P = \frac{10}{25} = \frac{2}{5} = 0, 4$

Відповідь: 1) $0, 2$ ; 2) $0, 4$ .

№ 33. У коробці 3 білі, 5 чорних і кілька зелених кульок. Скільки зелених кульок у коробці, якщо ймовірність того, що вибрана навмання кулька є білою, більша за 0,2, а ймовірність того, що вона зелена, більша за 0,4?

Розв’язання:
Нехай $x$ — кількість зелених кульок у коробці ( $x \in N$ ).
Загальна кількість кульок у коробці становить $3 + 5 + x = 8 + x$ .

Ймовірність того, що вибрана кулька є білою:
$P (біла) = \frac{3}{8 + x}$

Ймовірність того, що вибрана кулька є зеленою:
$P (зелена) = \frac{x}{8 + x}$

Складемо систему нерівностей за умовою задачі:
$⎩ ⎨ ⎧ \frac{3}{8 + x} > 0, 2 \frac{x}{8 + x} > 0, 4$

Оскільки $x > 0$ , знаменник $8 + x > 0$ . Помножимо обидві частини нерівностей на $(8 + x)$ :
${3 > 0, 2 (8 + x) x > 0, 4 (8 + x)$

${3 > 1, 6 + 0, 2 x x > 3, 2 + 0, 4 x$

${0, 2 x < 1, 4 0, 6 x > 3, 2$

$⎩ ⎨ ⎧ x < 7 x > \frac{3 , 2}{0 , 6}$

$⎩ ⎨ ⎧ x < 7 x > 5 \frac{1}{3}$

Отримуємо подвійну нерівність:
$5 \frac{1}{3} < x < 7$

Оскільки $x$ — натуральне число, єдиним розв’язком є $x = 6$ .

Відповідь: 6.

№ 34. У таблиці подано інформацію про місця, які посідала футбольна команда «Олександрія» (м. Олександрія Кіровоградської обл.) протягом п’яти останніх чемпіонатів України з футболу.

Рік	2021	2022	2023	2024	2025
Місце	9	6	6	8	2

Яке місце в середньому посідала команда «Олександрія» протягом останніх п’яти чемпіонатів?

Розв’язання:
Знайдемо середнє арифметичне значення місць команди за вказані роки:
$\overline{x} = \frac{9 + 6 + 6 + 8 + 2}{5}$
$\overline{x} = \frac{31}{5}$
$\overline{x} = 6, 2$

Відповідь: $6, 2$ .

№ 35. За даними таблиці попередньої задачі побудуйте графік.

Розв’язання:
Для побудови графіка відкладемо по горизонтальній осі роки, а по вертикальній осі — відповідні місця футбольної команди.

Таблиця опорних точок:

Рік ( $x$ )	2021	2022	2023	2024	2025
Місце ( $y$ )	9	6	6	8	2

Сполучимо послідовно нанесені точки відрізками.

Відповідь: графік побудовано.

№ 36. Проєктна діяльність. Дізнайтеся (із газет чи інтернету) відомості про кількість м’ячів, які забивала команда вашого регіону в останніх десяти матчах чемпіонату України з футболу. Побудуйте гістограму та кругову діаграму за цими даними.

Розв’язання:
Розглянемо результати виступів футбольного клубу «Динамо» (Київ) в останніх 10 матчах чемпіонату України:

№ матчу	Суперник	Кількість забитих м’ячів
1	Олександрія	3
2	Оболонь	2
3	ЛНЗ	1
4	Шахтар	1
5	Металіст 1925	0
6	Карпати	0
7	Зоря	3
8	Кривбас	6
9	Колос	2
10	Полтава	2

Загальна кількість забитих м’ячів:
$3 + 2 + 1 + 1 + 0 + 0 + 3 + 6 + 2 + 2 = 20 (м ’ ячів)$

1) Гістограма кількості забитих м’ячів за матчами:

Графік до вправи № 36 (рис. 1) - Алгебра 9 клас

2) Кругова діаграма розподілу часток забитих м’ячів за матчами:

Графік до вправи № 36 (рис. 2) - Алгебра 9 клас

Відповідь: гістограму та кругову діаграму побудовано.

№ 37. Дано генеральну сукупність 50 об’єктів:

$1$ , $7$ , $13$ , $12$ , $31$ , $15$ , $16$ , $19$ , $21$ , $40$ ;
$3$ , $14$ , $19$ , $21$ , $45$ , $14$ , $19$ , $29$ , $35$ , $47$ ;
$15$ , $17$ , $18$ , $25$ , $23$ , $15$ , $8$ , $9$ , $17$ , $1$ ;
$42$ , $19$ , $15$ , $19$ , $25$ , $27$ , $29$ , $4$ , $9$ , $8$ ;
$3$ , $4$ , $17$ , $48$ , $13$ , $29$ , $32$ , $13$ , $12$ , $5$ .

Створіть вибірку цієї генеральної сукупності:
1) усіх об’єктів, що стоять на парних місцях;
2) усіх об’єктів, що стоять на непарних місцях;
3) десяти об’єктів поспіль, починаючи з п’ятнадцятого;
4) об’єктів, узятих через п’ять, починаючи з першого.

Розв’язання:

1) Об’єкти, що стоять на парних місцях (позиції 2, 4, 6, …, 50):
$7$ , $12$ , $15$ , $19$ , $40$ , $14$ , $21$ , $14$ , $29$ , $47$ , $17$ , $25$ , $15$ , $9$ , $1$ , $19$ , $19$ , $27$ , $4$ , $8$ , $4$ , $48$ , $29$ , $13$ , $5$ .

2) Об’єкти, що стоять на непарних місцях (позиції 1, 3, 5, …, 49):
$1$ , $13$ , $31$ , $16$ , $21$ , $3$ , $19$ , $45$ , $19$ , $35$ , $15$ , $18$ , $23$ , $8$ , $17$ , $42$ , $15$ , $25$ , $29$ , $9$ , $3$ , $17$ , $13$ , $32$ , $12$ .

3) Десять об’єктів поспіль, починаючи з п’ятнадцятого (позиції 15–24):
$45$ , $14$ , $19$ , $29$ , $35$ , $47$ , $15$ , $17$ , $18$ , $25$ .

4) Об’єкти, узяті через п’ять, починаючи з першого (позиції 1, 7, 13, 19, 25, 31, 37, 43, 49):
$1$ , $16$ , $19$ , $35$ , $23$ , $42$ , $29$ , $17$ , $12$ .

Відповідь:

1) $7$ , $12$ , $15$ , $19$ , $40$ , $14$ , $21$ , $14$ , $29$ , $47$ , $17$ , $25$ , $15$ , $9$ , $1$ , $19$ , $19$ , $27$ , $4$ , $8$ , $4$ , $48$ , $29$ , $13$ , $5$ ;

2) $1$ , $13$ , $31$ , $16$ , $21$ , $3$ , $19$ , $45$ , $19$ , $35$ , $15$ , $18$ , $23$ , $8$ , $17$ , $42$ , $15$ , $25$ , $29$ , $9$ , $3$ , $17$ , $13$ , $32$ , $12$ ;

3) $45$ , $14$ , $19$ , $29$ , $35$ , $47$ , $15$ , $17$ , $18$ , $25$ ;

4) $1$ , $16$ , $19$ , $35$ , $23$ , $42$ , $29$ , $17$ , $12$ .

№ 38. Футболіст у п’яти серіях по 5 пенальті в кожній забив таку кількість м’ячів: $5$ , $4$ , $4$ , $3$ , $5$ . Знайдіть для цієї вибірки:
1) розмах;
2) моду;
3) медіану;
4) середнє значення.

Розв’язання:
Упорядкуємо вибірку за зростанням:
$3$ , $4$ , $4$ , $5$ , $5$ .

1) Розмах вибірки ( $R$ ) — різниця між найбільшим і найменшим значеннями:
$R = 5 - 3 = 2$

2) Мода ( $M o$ ) — значення, яке трапляється найчастіше.
Числа $4$ та $5$ трапляються двічі:
$M o = 4$ і $M o = 5$

3) Медіана ( $M e$ ) — елемент, розташований посередині впорядкованого ряду (3-й елемент):
$M e = 4$

4) Середнє значення ( $\overline{x}$ ) — частка від ділення суми всіх значень на їх кількість:
$\overline{x} = \frac{3 + 4 + 4 + 5 + 5}{5} = \frac{21}{5} = 4, 2$

Відповідь:

1) 2;

2) 4 і 5;

3) 4;

4) $4, 2$ .

№ 39. 1) Проведіть ранжування генеральної сукупності об’єктів задачі 37.
2) Знайдіть медіану цієї генеральної сукупності.

Розв’язання:

1) Ранжування полягає у записі всіх 50 чисел сукупності в порядку неспання:
$1$ , $1$ , $3$ , $3$ , $4$ , $4$ , $5$ , $7$ , $8$ , $8$ ,
$9$ , $9$ , $12$ , $12$ , $13$ , $13$ , $13$ , $14$ , $14$ , $15$ ,
$15$ , $15$ , $15$ , $16$ , $17$ , $17$ , $17$ , $18$ , $19$ , $19$ ,
$19$ , $19$ , $19$ , $21$ , $21$ , $23$ , $25$ , $25$ , $27$ , $29$ ,
$29$ , $29$ , $31$ , $32$ , $35$ , $40$ , $42$ , $45$ , $47$ , $48$ .

2) Кількість елементів $n = 50$ є парною, тому медіана дорівнює середньому арифметичному двох елементів, які розташовані посередині (25-го та 26-го):
$x_{25} = 17$
$x_{26} = 17$
$M e = \frac{17 + 17}{2} = 17$

Відповідь:

1) ранжування проведено;

2) 17)

№ 40. 1) Заповніть таблицю за даними задачі 38.

Кількість забитих пенальті в серії	3	4	5
Кількість серій

2) Побудуйте полігон частот.

Розв’язання:

1) Підрахуємо частоту появи кожного значення у вибірці $3$ , $4$ , $4$ , $5$ , $5$ :
число 3 з’явилося 1 раз;
число 4 з’явилося 2 рази;
число 5 з’явилося 2 рази.

Кількість забитих пенальті в серії	3	4	5
Кількість серій	1	2	2

2) Для побудови полігона частот нанесемо на координатну площину точки $(3; 1)$ , $(4; 2)$ , $(5; 2)$ та послідовно з’єднаємо їх відрізками:

Відповідь:

1) таблицю заповнено;

2) полігон частот побудовано.

№ 41. Придумайте вибірку дев’яти елементів, медіаною якої є число 10.

Розв’язання:
Медіаною впорядкованої вибірки з непарної кількості елементів ( $n = 9$ ) є елемент, що стоїть посередині, тобто п’ятий за порядком:

$\frac{9 + 1}{2} = 5$

Складемо впорядковану вибірку з дев’яти чисел, у якій п’ятим числом є $10$ :
$2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18$

Перевіримо:

кількість елементів: $9$ ;
елемент, який стоїть посередині (п’ятий): $10$ .

Отже, медіана даної вибірки дорівнює $10$ .

Відповідь: $2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18$ (відповідь не є єдиною).

№ 42. Розмах даної вибірки дорівнює 15, а найменший елемент 5. Укажіть найбільший елемент вибірки.

Розв’язання:
Розмах вибірки $R$ — це різниця між найбільшим значенням $x_{m a x}$ та найменшим значенням $x_{m i n}$ :

$R = x_{m a x} - x_{m i n}$

За умовою:
$R = 15$
$x_{m i n} = 5$

Підставимо ці значення у формулу:
$x_{m a x} - 5 = 15$
$x_{m a x} = 15 + 5$
$x_{m a x} = 20$

Відповідь: 20.

№ 43. За даними задачі 25.4 побудуйте гістограму кількості бронзових медалей, що здобули українські спортсмени під час літніх Олімпійських ігор.

Розв’язання:
Складемо таблицю розподілу кількості здобутих бронзових медалей за роками проведення Олімпійських ігор:

Рік	1996	2000	2004	2008	2012	2016	2020	2024
Кількість медалей	12	10	9	15	8	4	12	4

Побудуємо гістограму (стовпчасту діаграму), відклавши на горизонтальній осі роки проведення Олімпіад, а на вертикальній — кількість виборених бронзових медалей.

Відповідь: гістограму побудовано.

№ 44. За даними задачі 25.4 побудуйте кругову діаграму кількості золотих медалей, що здобули українські спортсмени під час літніх Олімпійських ігор.

Розв’язання:
Складемо таблицю кількості золотих медалей за роками проведення ігор:

Рік	1996	2000	2004	2008	2012	2016	2020	2024	Разом
Кількість медалей	9	3	9	7	6	2	1	3	40

Усього українські спортсмени здобули $40$ золотих медалей. Повному кругу відповідає кут $36 0^{\circ}$ .
Знайдемо градусну міру сектору, що відповідає одній медалі:

$\frac{36 0 ^{\circ}}{40} = 9^{\circ}$

Обчислимо величину центральних кутів для кожного року:
1996: $9 \cdot 9^{\circ} = 8 1^{\circ}$
2000: $3 \cdot 9^{\circ} = 2 7^{\circ}$
2004: $9 \cdot 9^{\circ} = 8 1^{\circ}$
2008: $7 \cdot 9^{\circ} = 6 3^{\circ}$
2012: $6 \cdot 9^{\circ} = 5 4^{\circ}$
2016: $2 \cdot 9^{\circ} = 1 8^{\circ}$
2020: $1 \cdot 9^{\circ} = 9^{\circ}$
2024: $3 \cdot 9^{\circ} = 2 7^{\circ}$

Відповідь: кругову діаграму побудовано.

№ 45. Придумайте вибірку з одинадцяти елементів, модою якої є число 9, а медіаною — число 5.

Розв’язання:
Нехай вибірка складається з $11$ елементів, розташованих у порядку зростання:
$x_{1} \leq x_{2} \leq x_{3} \leq x_{4} \leq x_{5} \leq x_{6} \leq x_{7} \leq x_{8} \leq x_{9} \leq x_{10} \leq x_{11}$

1) Медіаною впорядкованої вибірки з $11$ чисел є шостий елемент:
$x_{6} = 5$

2) Мода — число, яке трапляється найчастіше. Оскільки мода дорівнює $9$ , це число повинно мати найбільшу частоту появи. Візьмемо його $3$ рази наприкінці вибірки:
$x_{9} = 9$
$x_{10} = 9$
$x_{11} = 9$

3) Решту значень доберемо так, щоб перші п’ять елементів не перевищували $5$ , а жодне інше значення не траплялося частіше за число $9$ .

Приклад упорядкованої вибірки:
$1, 2, 3, 4, 4, 5, 6, 7, 9, 9, 9$

Перевіримо:

кількість елементів: $11$ ;
центральний (шостий) елемент: $5$ (медіана дорівнює $5$ );
число $9$ трапляється 3 рази, число $4$ — 2 рази, інші — по 1 разу (найчастіше трапляється $9$ , отже, мода дорівнює $9$ ).

Відповідь: $1, 2, 3, 4, 4, 5, 6, 7, 9, 9, 9$ (відповідь не є єдиною).

№ 46. Вибірка, середнє значення якої дорівнює $5, 2$ , складається із чисел $3$ , $c$ , $7$ , $4 c$ , $6$ . Знайдіть:

1) $c$ ;

2) медіану цієї вибірки.

Розв’язання:

1) Середнє значення вибірки обчислюється як сума всіх її елементів, поділена на їхню кількість:
$\overset{x}{ˉ} = \frac{3 + c + 7 + 4 c + 6}{5}$
$\frac{16 + 5 c}{5} = 5, 2$
$16 + 5 c = 5, 2 \cdot 5$
$16 + 5 c = 26$
$5 c = 26 - 16$
$5 c = 10$
$c = 2$

2) Підставимо знайдене значення $c = 2$ у вибірку:
$3$ , $2$ , $7$ , $4 \cdot 2$ , $6$ , тобто числа $3$ , $2$ , $7$ , $8$ , $6$ .
Упорядкуємо вибірку за зростанням:
$2$ , $3$ , $6$ , $7$ , $8$ .
Оскільки кількість елементів у вибірці непарна ( $n = 5$ ), медіаною є число, що стоїть посередині (на третьому місці):
$M_{e} = 6$ .

Відповідь: 1) 2; 2) 6.

№ 47. Самостійна робота містила 4 тестових завдання. Складено таблицю відповідності між кількістю допущених помилок $X$ і кількістю учнів / учениць $n$ , які припустилися такої кількості помилок.

Кількість помилок, $X$	0	1	2	3	4
Кількість учнів / учениць, $n$	2	7	6	4	1

Знайдіть для випадкової величини $X$ :

1) середнє значення; 2) моду; 3) медіану.

Розв’язання:

Знайдемо загальну кількість учнів / учениць:
$N = 2 + 7 + 6 + 4 + 1 = 20$

1) Середнє значення $\overset{ˉ}{X}$ обчислюється як середньозважене:
$\overset{ˉ}{X} = \frac{0 \cdot 2 + 1 \cdot 7 + 2 \cdot 6 + 3 \cdot 4 + 4 \cdot 1}{20}$
$\overset{ˉ}{X} = \frac{0 + 7 + 12 + 12 + 4}{20}$
$\overset{ˉ}{X} = \frac{35}{20} = 1, 75$

2) Мода ( $M_{o}$ ) — це значення випадкової величини, що трапляється найчастіше. Найбільша частота дорівнює 7, що відповідає значенню $X = 1$ .
$M_{o} = 1$

3) Оскільки загальна кількість спостережень $N = 20$ є парним числом, медіана ( $M_{e}$ ) дорівнює середньому арифметичному 10-го та 11-го значень упорядкованого ряду.
Розподіл значень за номерами в упорядкованому ряду:
0 помилок — 1-й та 2-й учні;
1 помилка — з 3-го по 9-го учня;
2 помилки — з 10-го по 15-го учня.
Отже, 10-й та 11-й учні припустилися по 2 помилки:
$M_{e} = \frac{2 + 2}{2} = 2$

Відповідь: 1) $1, 75$ ; 2) 1; 3) 2.

Вправи для повторення розділу 4

Теги статті:

До уроку