Вправи для повторення розділу 3

Зміст

РОЗВ’ЯЖІТЬ ЗАДАЧІ ТА ВИКОНАЙТЕ ВПРАВИ

📋 Швидка навігація по вправах:

№ 1. Послідовність задано формулою $a_{n} = 7 n - 19$ . Знайдіть:

1) $a_{1}$ ;

2) $a_{5}$ ;

3) $a_{100}$ ;

4) $a_{1000}$ .

Розв’язання:

1) $a_{1} = 7 \cdot 1 - 19 = 7 - 19 = - 12$

2) $a_{5} = 7 \cdot 5 - 19 = 35 - 19 = 16$

3) $a_{100} = 7 \cdot 100 - 19 = 700 - 19 = 681$

4) $a_{1000} = 7 \cdot 1000 - 19 = 7000 - 19 = 6981$

Відповідь: 1) $- 12$ ; 2) $16$ ; 3) $681$ ; 4) $6981$ .

№ 2. Запишіть п’ять перших членів послідовності натуральних двоцифрових чисел, які:

1) при діленні на 7 дають в остачі 1;

2) при діленні на 6 дають в остачі 5.

Розв’язання:

1) Формула чисел, які при діленні на 7 дають в остачі 1: $7 n + 1$ , де $n \in N$ .
Найменше двоцифрове число одержуємо при $n = 2$ :
$n = 2$ : $7 \cdot 2 + 1 = 15$
$n = 3$ : $7 \cdot 3 + 1 = 22$
$n = 4$ : $7 \cdot 4 + 1 = 29$
$n = 5$ : $7 \cdot 5 + 1 = 36$
$n = 6$ : $7 \cdot 6 + 1 = 43$

2) Формула чисел, які при діленні на 6 дають в остачі 5: $6 n + 5$ , де $n \in N \cup {0}$ .
Найменше двоцифрове число одержуємо при $n = 1$ :
$n = 1$ : $6 \cdot 1 + 5 = 11$
$n = 2$ : $6 \cdot 2 + 5 = 17$
$n = 3$ : $6 \cdot 3 + 5 = 23$
$n = 4$ : $6 \cdot 4 + 5 = 29$
$n = 5$ : $6 \cdot 5 + 5 = 35$

Відповідь: 1) $15; 22; 29; 36; 43$ ; 2) $11; 17; 23; 29; 35$ .

№ 3. Знайдіть кількість додатних членів послідовності $a_{n} = 15 - 2 n$ .

Розв’язання:
Розв’яжемо нерівність $a_{n} > 0$ :

$15 - 2 n > 0$
$- 2 n > - 15$
$n < 7, 5$

Оскільки номер члена послідовності $n \in N$ , то $n \in {1; 2; 3; 4; 5; 6; 7}$ .

Отже, послідовність містить 7 додатних членів.

Відповідь: 7.

№ 4. Знайдіть перший від’ємний член послідовності $x_{n} = 7 - \frac{1}{3} n$ .

Розв’язання:
Розв’яжемо нерівність $x_{n} < 0$ :

$7 - \frac{1}{3} n < 0$
$- \frac{1}{3} n < - 7$
$n > 21$

Найменшим натуральним числом, що задовольняє нерівність, є $n = 22$ .

Знайдемо двадцять другий член:

$x_{22} = 7 - \frac{1}{3} \cdot 22 = 7 - 7 \frac{1}{3} = - \frac{1}{3}$

Відповідь: $- \frac{1}{3}$ .

№ 5. Знайдіть найменший член послідовності $b_{n} = 4 n - 5$ .

Розв’язання:
Послідовність є зростаючою, оскільки різниця $b_{n + 1} - b_{n} = 4 (n + 1) - 5 - (4 n - 5) = 4 > 0$ .

Тому свого найменшого значення послідовність досягає при найменшому значенні $n = 1$ :

$b_{1} = 4 \cdot 1 - 5 = - 1$

Відповідь: $- 1$ .

№ 6. Підберіть одну з можливих формул $n$ -го члена послідовності:

1) $1; 3; 5; 7; 9; \dots$ ;

2) $\frac{1}{2}; \frac{2}{3}; \frac{3}{4}; \frac{4}{5}; \frac{5}{6}; \dots$ ;

3) $1; 4; 9; 16; 25; \dots$ ;

4) $2; 4; 8; 16; 32; \dots$ ;

5) $- 1; 1; - 1; 1; - 1; \dots$ ;

6) $1; 3; 1; 3; 1; \dots$

Розв’язання:

1) Послідовність послідовних непарних чисел: $a_{n} = 2 n - 1$ .

2) Дроби, у яких чисельник дорівнює номеру $n$ , а знаменник на 1 більший за чисельник: $a_{n} = \frac{n}{n + 1}$ .

3) Квадрати натуральних чисел: $a_{n} = n^{2}$ .

4) Степені числа 2 з натуральними показниками: $a_{n} = 2^{n}$ .

5) Знакопереміжна послідовність з першим від’ємним членом: $a_{n} = (- 1)^{n}$ .

6) Послідовність, члени якої чергуються навколо числа 2: $a_{n} = 2 + (- 1)^{n}$ .

Відповідь: 1) $a_{n} = 2 n - 1$ ; 2) $a_{n} = \frac{n}{n + 1}$ ; 3) $a_{n} = n^{2}$ ; 4) $a_{n} = 2^{n}$ ; 5) $a_{n} = (- 1)^{n}$ ; 6) $a_{n} = 2 + (- 1)^{n}$ .

№ 7. Послідовність задано формулою $a_{n} = n^{2} - 4 n - 7$ . Скільки членів, що не перевищують числа $- 2$ , містить ця послідовність?

Розв’язання:
Складемо та розв’яжемо нерівність:

$n^{2} - 4 n - 7 \leq - 2$
$n^{2} - 4 n - 5 \leq 0$

Знайдемо корені квадратного тричлена $n^{2} - 4 n - 5 = 0$ :
За теоремою Вієта: $n_{1} = - 1$ , $n_{2} = 5$ .

Розв’язком нерівності є:
$- 1 \leq n \leq 5$

Оскільки номер члена $n \in N$ , то нерівність задовольняють значення:
$n \in {1; 2; 3; 4; 5}$

Отже, послідовність містить 5 таких членів.

Відповідь: 5.

№ 8. Чи є арифметичною прогресією послідовність натуральних чисел, кратних числу 5?

Розв’язання:
Послідовність натуральних чисел, кратних числу 5, задається формулою:
$a_{n} = 5 n$ , де $n \in N$ .
Тобто: $5; 10; 15; 20; \dots$

Перевіримо різницю між будь-яким наступним і попереднім членами:
$a_{n + 1} - a_{n} = 5 (n + 1) - 5 n = 5 n + 5 - 5 n = 5 = const$

Оскільки різниця є сталою для всіх $n$ , ця послідовність є арифметичною прогресією з першим членом $a_{1} = 5$ та різницею $d = 5$ .

Відповідь: так, є.

№ 9. Знайдіть різницю та шостий член арифметичної прогресії:
$2, 7; 2, 4; 2, 1; \dots$

Розв’язання:
Знайдемо різницю прогресії $d$ :
$d = a_{2} - a_{1} = 2, 4 - 2, 7 = - 0, 3$

Знайдемо шостий член за формулою $a_{n} = a_{1} + (n - 1) d$ :
$a_{6} = a_{1} + 5 d$
$a_{6} = 2, 7 + 5 \cdot (- 0, 3) = 2, 7 - 1, 5 = 1, 2$

Відповідь: $d = - 0, 3$ ; $a_{6} = 1, 2$ .

№ 10. Послідовність $(x_{n})$ — арифметична прогресія. Знайдіть:

1) $x_{1}$ , якщо $x_{12} = - 8$ , $d = - 3$ ;

2) $d$ , якщо $x_{1} = 0$ , $x_{9} = - 28$ .

Розв’язання:

1) За формулою $n$ -го члена $x_{12} = x_{1} + 11 d$ :
$x_{1} = x_{12} - 11 d$
$x_{1} = - 8 - 11 \cdot (- 3) = - 8 + 33 = 25$

2) За формулою $n$ -го члена $x_{9} = x_{1} + 8 d$ :
$8 d = x_{9} - x_{1}$
$d = \frac{x _{9} - x _{1}}{8}$
$d = \frac{- 28 - 0}{8} = - \frac{28}{8} = - 3, 5$

Відповідь: 1) $x_{1} = 25$ ; 2) $d = - 3, 5$ .

№ 11. Знайдіть формулу $n$ -го члена арифметичної прогресії:

1) $- 5; - 2; 1; \dots$ ;

2) $7; 7 \frac{1}{4}; 7 \frac{1}{2}; \dots$

Розв’язання:

1) $a_{1} = - 5$
$d = a_{2} - a_{1} = - 2 - (- 5) = 3$
$a_{n} = a_{1} + (n - 1) d = - 5 + (n - 1) \cdot 3 = - 5 + 3 n - 3 = 3 n - 8$

2) $a_{1} = 7$
$d = a_{2} - a_{1} = 7 \frac{1}{4} - 7 = \frac{1}{4}$
$a_{n} = a_{1} + (n - 1) d = 7 + (n - 1) \cdot \frac{1}{4} = \frac{28 + n - 1}{4} = \frac{n + 27}{4}$

Відповідь: 1) $a_{n} = 3 n - 8$ ; 2) $a_{n} = \frac{n + 27}{4}$ .

№ 12. Ламана складається з восьми ланок. Довжина першої ланки дорівнює 12 см, а кожна наступна на 0,5 см коротша від попередньої. Знайдіть довжину третьої ланки; восьмої ланки.

Розв’язання:
Довжини ланок утворюють арифметичну прогресію $(a_{n})$ , де $a_{1} = 12 см$ , $d = - 0, 5 см$ .

Знайдемо довжину третьої ланки:
$a_{3} = a_{1} + 2 d = 12 + 2 \cdot (- 0, 5) = 12 - 1 = 11 (см)$

Знайдемо довжину восьмої ланки:
$a_{8} = a_{1} + 7 d = 12 + 7 \cdot (- 0, 5) = 12 - 3, 5 = 8, 5 (см)$

Відповідь: $11 см$ ; $8, 5 см$ .

№ 13. Послідовність $(a_{n})$ — арифметична прогресія. Доведіть, що:

1) $a_{10} = a_{3} + 7 d$ ;

2) $a_{7} + a_{3} = a_{1} + a_{9}$ .

Розв’язання:

1) Виразимо $a_{10}$ та $a_{3}$ через $a_{1}$ і $d$ :
$a_{10} = a_{1} + 9 d$
$a_{3} + 7 d = (a_{1} + 2 d) + 7 d = a_{1} + 9 d$
Оскільки ліва і права частини рівні, рівність $a_{10} = a_{3} + 7 d$ доведено.

2) Виразимо всі члени через $a_{1}$ і $d$ :
Ліва частина:
$a_{7} + a_{3} = (a_{1} + 6 d) + (a_{1} + 2 d) = 2 a_{1} + 8 d$
Права частина:
$a_{1} + a_{9} = a_{1} + (a_{1} + 8 d) = 2 a_{1} + 8 d$
Оскільки ліва і права частини рівні, рівність $a_{7} + a_{3} = a_{1} + a_{9}$ доведено.

Відповідь: нерівності 1), 2) доведено.

№ 14. Послідовність $(a_{n})$ — арифметична прогресія. Знайдіть:

1) $a_{10}$ , якщо $a_{1} = 8$ , $a_{5} = 2$ ;

2) $a_{100}$ , якщо $a_{40} = - 20$ , $d = - 3$ .

Розв’язання:

1) $a_{5} = a_{1} + 4 d$
$4 d = a_{5} - a_{1} = 2 - 8 = - 6$
$d = \frac{- 6}{4} = - 1, 5$
$a_{10} = a_{1} + 9 d = 8 + 9 \cdot (- 1, 5) = 8 - 13, 5 = - 5, 5$

2) $a_{40} = a_{1} + 39 d$
$a_{1} = a_{40} - 39 d = - 20 - 39 \cdot (- 3) = - 20 + 117 = 97$
$a_{100} = a_{1} + 99 d = 97 + 99 \cdot (- 3) = 97 - 297 = - 200$

Відповідь: 1) $- 5, 5$ ; 2) $- 200$ .

№ 15. Скільки додатних членів містить арифметична прогресія:
$8; 7, 7; 7, 4; \dots$ ?

Розв’язання:
$a_{1} = 8$
$d = 7, 7 - 8 = - 0, 3$

Запишемо формулу $n$ -го члена:
$a_{n} = a_{1} + (n - 1) d = 8 + (n - 1) \cdot (- 0, 3) = 8, 3 - 0, 3 n$

Розв’яжемо нерівність $a_{n} > 0$ :
$8, 3 - 0, 3 n > 0$
$- 0, 3 n > - 8, 3$
$n < \frac{83}{3}$
$n < 27 \frac{2}{3}$

Оскільки $n \in N$ , найбільшим значенням є $n = 27$ .
Отже, прогресія містить 27 додатних членів.

Відповідь: 27.

№ 16. Знайдіть найбільший від’ємний член арифметичної прогресії $(a_{n})$ , у якої $a_{1} = - 8, 9$ , $d = 0, 2$ .

Розв’язання:
Запишемо формулу $n$ -го члена:
$a_{n} = a_{1} + (n - 1) d = - 8, 9 + (n - 1) \cdot 0, 2 = 0, 2 n - 9, 1$

Розв’яжемо нерівність $a_{n} < 0$ :
$0, 2 n - 9, 1 < 0$
$0, 2 n < 9, 1$
$n < 45, 5$

Найбільшим натуральним номером є $n = 45$ .
Обчислимо сорок п’ятий член:
$a_{45} = - 8, 9 + 44 \cdot 0, 2 = - 8, 9 + 8, 8 = - 0, 1$

Відповідь: $- 0, 1$ .

№ 17. Периметр трикутника дорівнює 39 см, причому довжини його сторін утворюють арифметичну прогресію. Чи можна знайти довжину хоча б однієї з них?

Розв’язання:
Нехай довжини сторін трикутника дорівнюють $a_{1}$ , $a_{1} + d$ , $a_{1} + 2 d$ .
За умовою периметр дорівнює 39 см:

$a_{1} + (a_{1} + d) + (a_{1} + 2 d) = 39$
$3 a_{1} + 3 d = 39$
$3 (a_{1} + d) = 39$
$a_{1} + d = 13$

Вираз $a_{1} + d$ є довжиною другої (середньої) сторони трикутника.

Відповідь: так, середня сторона дорівнює $13 см$ .

№ 18. Кути деякого трикутника утворюють арифметичну прогресію. Доведіть, що один з них дорівнює $6 0^{\circ}$ .

Розв’язання:
Позначимо градусні міри кутів трикутника як $α_{1}$ , $α_{1} + d$ , $α_{1} + 2 d$ .
Оскільки сума кутів трикутника дорівнює $18 0^{\circ}$ , маємо:

$α_{1} + (α_{1} + d) + (α_{1} + 2 d) = 18 0^{\circ}$
$3 α_{1} + 3 d = 18 0^{\circ}$
$3(\alpha_1 + d)

№ 19. Перший член арифметичної прогресії дорівнює 7. Знайдіть другий і третій її члени, якщо вони є квадратами двох послідовних натуральних чисел.

Розв’язання:
Нехай $a_{1} = 7$ . Оскільки другий і третій члени прогресії є квадратами двох послідовних натуральних чисел, розглянемо два можливі випадки:

1) Прогресія є зростаючою: $a_{2} = n^{2}$ , $a_{3} = (n + 1)^{2}$ , де $n \in N$ .
За характеристичною властивістю арифметичної прогресії:
$a_{2} = \frac{a _{1} + a _{3}}{2}$
$n^{2} = \frac{7 + ( n + 1 ) ^{2}}{2}$
$2 n^{2} = 7 + n^{2} + 2 n + 1$
$n^{2} - 2 n - 8 = 0$
За теоремою Вієта:

[n = 4 n = - 2 \in / N

Отже, $n = 4$ .
Обчислимо члени прогресії:
$a_{2} = 4^{2} = 16$
$a_{3} = (4 + 1)^{2} = 25$

2) Прогресія є спадною: $a_{2} = (n + 1)^{2}$ , $a_{3} = n^{2}$ , де $n \in N$ .
За характеристичною властивістю арифметичної прогресії:
$a_{2} = \frac{a _{1} + a _{3}}{2}$
$(n + 1)^{2} = \frac{7 + n ^{2}}{2}$
$2 (n^{2} + 2 n + 1) = 7 + n^{2}$
$2 n^{2} + 4 n + 2 = 7 + n^{2}$
$n^{2} + 4 n - 5 = 0$
За теоремою Вієта:

[n = 1 n = - 5 \in / N

Отже, $n = 1$ .
Обчислимо члени прогресії:
$a_{2} = (1 + 1)^{2} = 4$
$a_{3} = 1^{2} = 1$

Відповідь: 16 і 25 або 4 і 1.

№ 20. Доведіть, що коли $a$ , $b$ і $c$ — три послідовних члени арифметичної прогресії, то:

1) $c^{2} = (a + 2 b)^{2} - 8 ab$ ;

2) $(\frac{a - c}{2})^{2} = b^{2} - a c$ .

Розв’язання:
Нехай $d$ — різниця даної арифметичної прогресії.
Тоді:
$b = a + d$
$c = a + 2 d$

1) Перетворимо праву частину рівності, підставивши вираз для $b$ :
$(a + 2 b)^{2} - 8 ab =$
$= (a + 2 (a + d))^{2} - 8 a (a + d) =$
$= (a + 2 a + 2 d)^{2} - 8 a^{2} - 8 a d =$
$= (3 a + 2 d)^{2} - 8 a^{2} - 8 a d =$
$= 9 a^{2} + 12 a d + 4 d^{2} - 8 a^{2} - 8 a d =$
$= a^{2} + 4 a d + 4 d^{2} =$
$= (a + 2 d)^{2}$

Оскільки $c = a + 2 d$ , то $(a + 2 d)^{2} = c^{2}$ .
Отримали:
$c^{2} = (a + 2 b)^{2} - 8 ab$ , що й треба було довести.

2) Обчислимо окремо ліву та праву частини рівності:
Ліва частина:
$(\frac{a - c}{2})^{2} = (\frac{a - ( a + 2 d )}{2})^{2} =$
$= (\frac{a - a - 2 d}{2})^{2} =$
$= (\frac{- 2 d}{2})^{2} =$
$= (- d)^{2} = d^{2}$

Права частина:
$b^{2} - a c = (a + d)^{2} - a (a + 2 d) =$
$= a^{2} + 2 a d + d^{2} - a^{2} - 2 a d =$
$= d^{2}$

Оскільки ліва і права частини дорівнюють $d^{2}$ , рівність $(\frac{a - c}{2})^{2} = b^{2} - a c$ доведено.

Відповідь: рівності 1), 2) доведено.

№ 21. Знайдіть $S_{100}$ — суму ста перших членів арифметичної прогресії, якщо $a_{1} = 2$ , $a_{100} = 198$ .

Розв’язання:
За формулою суми $n$ перших членів арифметичної прогресії:

$S_{n} = \frac{a _{1} + a _{n}}{2} \cdot n$

Підставимо значення $a_{1} = 2$ , $a_{100} = 198$ , $n = 100$ :

$S_{100} = \frac{2 + 198}{2} \cdot 100$

$S_{100} = \frac{200}{2} \cdot 100$

$S_{100} = 100 \cdot 100 = 10000$

Відповідь: 10 000.

№ 22. Знайдіть суму п’ятдесяти перших членів арифметичної прогресії $(a_{n})$ , якщо $a_{1} = 5$ , $a_{2} = 7, 5$ .

Розв’язання:
Знайдемо різницю арифметичної прогресії:
$d = a_{2} - a_{1}$
$d = 7, 5 - 5 = 2, 5$

За формулою суми $n$ перших членів арифметичної прогресії:

$S_{n} = \frac{2 a _{1} + d ( n - 1 )}{2} \cdot n$

Підставимо значення $a_{1} = 5$ , $d = 2, 5$ , $n = 50$ :

$S_{50} = \frac{2 \cdot 5 + 2 , 5 \cdot 49}{2} \cdot 50$

$S_{50} = \frac{10 + 122 , 5}{2} \cdot 50$

$S_{50} = 132, 5 \cdot 25 = 3312, 5$

Відповідь: $3312, 5$ .

№ 23. Знайдіть суму всіх цілих від’ємних чисел від $- 20$ до $- 1$ .

Розв’язання:
Цілі від’ємні числа від $- 20$ до $- 1$ утворюють арифметичну прогресію $(a_{n})$ :
$- 20, - 19, - 18, \dots, - 1$

У цій прогресії:
$a_{1} = - 20$
$a_{n} = - 1$
$d = 1$
$n = 20$

Обчислимо суму за формулою:

$S_{n} = \frac{a _{1} + a _{n}}{2} \cdot n$

$S_{20} = \frac{- 20 + ( - 1 )}{2} \cdot 20$

$S_{20} = \frac{- 21}{2} \cdot 20$

$S_{20} = - 21 \cdot 10 = - 210$

Відповідь: -210.

№ 24. Довжини сторін шестикутника утворюють арифметичну прогресію. Знайдіть периметр шестикутника, якщо найкоротша його сторона дорівнює $10$ см, а найдовша — $20$ см.

Розв’язання:
Довжини сторін шестикутника є членами скінченної арифметичної прогресії $(a_{n})$ , де:
$n = 6$
$a_{1} = 10 см$
$a_{6} = 20 см$

Периметр шестикутника дорівнює сумі довжин усіх його шести сторін:

$P = S_{6} = \frac{a _{1} + a _{6}}{2} \cdot 6$

$P = \frac{10 + 20}{2} \cdot 6$

$P = \frac{30}{2} \cdot 6$

$P = 15 \cdot 6 = 90 (см)$

Відповідь: $90 см$ .

№ 25. Знайдіть суму перших тридцяти членів арифметичної прогресії $(y_{n})$ з різницею $d$ , якщо:

1) $y_{30} = 15$ , $d = 2$ ;

2) $y_{7} = 5$ , $d = - 3$ .

Розв’язання:

1) Виразимо перший член прогресії за формулою $n$ -го члена:
$y_{30} = y_{1} + 29 d$
$y_{1} = y_{30} - 29 d$
$y_{1} = 15 - 29 \cdot 2$
$y_{1} = 15 - 58 = - 43$

Знайдемо суму перших 30 членів:

$S_{30} = \frac{y _{1} + y _{30}}{2} \cdot 30$

$S_{30} = \frac{- 43 + 15}{2} \cdot 30$

$S_{30} = \frac{- 28}{2} \cdot 30$

$S_{30} = - 14 \cdot 30 = - 420$

2) Знайдемо перший член прогресії:
$y_{7} = y_{1} + 6 d$
$y_{1} = y_{7} - 6 d$
$y_{1} = 5 - 6 \cdot (- 3)$
$y_{1} = 5 + 18 = 23$

Знайдемо суму перших 30 членів за формулою:

$S_{30} = \frac{2 y _{1} + 29 d}{2} \cdot 30$

$S_{30} = \frac{2 \cdot 23 + 29 \cdot ( - 3 )}{2} \cdot 30$

$S_{30} = \frac{46 - 87}{2} \cdot 30$

$S_{30} = \frac{- 41}{2} \cdot 30$

$S_{30} = - 41 \cdot 15 = - 615$

Відповідь: 1) -420; 2) -615.

№ 26. Різниця арифметичної прогресії $(a_{n})$ дорівнює $d$ . Знайдіть:
1) $d$ , якщо $a_{1} = 4$ , $S_{10} = 175$ ;
2) $a_{1}$ , якщо $d = 5$ , $S_{8} = 196$ .

Розв’язання:

За формулою суми перших $n$ членів арифметичної прогресії:
$S_{n} = \frac{2 a _{1} + ( n - 1 ) d}{2} \cdot n$

1) Підставимо відомі значення для $n = 10$ :
$S_{10} = \frac{2 a _{1} + 9 d}{2} \cdot 10$
$175 = (2 \cdot 4 + 9 d) \cdot 5$
$175 = (8 + 9 d) \cdot 5$
$8 + 9 d = 35$
$9 d = 27$
$d = 3$

2) Підставимо відомі значення для $n = 8$ :
$S_{8} = \frac{2 a _{1} + 7 d}{2} \cdot 8$
$196 = (2 a_{1} + 7 \cdot 5) \cdot 4$
$196 = (2 a_{1} + 35) \cdot 4$
$2 a_{1} + 35 = 49$
$2 a_{1} = 14$
$a_{1} = 7$

Відповідь: 1) 3; 2) 7.

№ 27. Яся взяла в бібліотеці роман обсягом 324 сторінки. Першого дня вона прочитала 20 сторінок, а кожного наступного дня читала на 4 сторінки більше, ніж попереднього. За скільки днів Яся прочитала роман?

Розв’язання:

Кількість прочитаних за день сторінок утворює арифметичну прогресію $(a_{n})$ , у якій:
$a_{1} = 20$
$d = 4$
$S_{n} = 324$
$n$ — шукана кількість днів ( $n \in N$ ).

Формула суми перших $n$ членів арифметичної прогресії:

$S_{n} = \frac{2 a _{1} + ( n - 1 ) d}{2} \cdot n$

Складемо рівняння:

$\frac{2 \cdot 20 + ( n - 1 ) \cdot 4}{2} \cdot n = 324$

$\frac{40 + 4 n - 4}{2} \cdot n = 324$

$\frac{4 n + 36}{2} \cdot n = 324$

$(2 n + 18) \cdot n = 324$

$2 n^{2} + 18 n - 324 = 0$

Поділимо обидві частини рівняння на $2$ :

$n^{2} + 9 n - 162 = 0$

За теоремою Вієта:

[n_{1} = 9 n_{2} = - 18 (не задовольняє умову, оскільки n \in N)

Отже, Яся прочитала роман за 9 днів.

Відповідь: за 9 днів.

№ 28. Знайдіть перший член і різницю арифметичної прогресії, якщо сума перших десяти її членів дорівнює 170, а сума перших двадцяти її членів — 540.

Розв’язання:

За формулою суми перших $n$ членів арифметичної прогресії:
$S_{n} = \frac{2 a _{1} + d ( n - 1 )}{2} \cdot n$

За умовою задачі складемо систему рівнянь:

{S_{10} = 170 S_{20} = 540

⎩ ⎨ ⎧ \frac{2 a _{1} + 9 d}{2} \cdot 10 = 170 \frac{2 a _{1} + 19 d}{2} \cdot 20 = 540

{(2 a_{1} + 9 d) \cdot 5 = 170 (2 a_{1} + 19 d) \cdot 10 = 540

Поділимо перше рівняння на $5$ , а друге — на $10$ :

{2 a_{1} + 9 d = 34 2 a_{1} + 19 d = 54

Віднімемо від другого рівняння системи перше:
$10 d = 20$
$d = 2$

Підставимо значення $d = 2$ у перше рівняння:
$2 a_{1} + 9 \cdot 2 = 34$
$2 a_{1} + 18 = 34$
$2 a_{1} = 34 - 18$
$2 a_{1} = 16$
$a_{1} = 8$

Відповідь: $a_{1} = 8$ , $d = 2$ .

№ 29. В арифметичній прогресії $(a_{n})$ :
1) $a_{3} + a_{7} = 18$ . Знайдіть $S_{9}$ ;
2) $a_{11} = 5$ . Знайдіть $S_{21}$ .

Розв’язання:

1) Виразимо $a_{3}$ та $a_{7}$ через перший член $a_{1}$ і різницю прогресії $d$ :
$a_{3} = a_{1} + 2 d$
$a_{7} = a_{1} + 6 d$
$a_{3} + a_{7} = a_{1} + 2 d + a_{1} + 6 d = 2 a_{1} + 8 d$
За умовою:
$2 a_{1} + 8 d = 18$

За формулою суми перших $n$ членів арифметичної прогресії:
$S_{n} = \frac{2 a _{1} + ( n - 1 ) d}{2} \cdot n$
$S_{9} = \frac{2 a _{1} + 8 d}{2} \cdot 9$
$S_{9} = \frac{18}{2} \cdot 9$
$S_{9} = 9 \cdot 9$
$S_{9} = 81$

2) Виразимо $a_{11}$ через $a_{1}$ і $d$ :
$a_{11} = a_{1} + 10 d = 5$

Знайдемо суму перших $21$ члена прогресії:
$S_{21} = \frac{2 a _{1} + 20 d}{2} \cdot 21$
$S_{21} = \frac{2 ( a _{1} + 10 d )}{2} \cdot 21$
$S_{21} = (a_{1} + 10 d) \cdot 21$
$S_{21} = 5 \cdot 21$
$S_{21} = 105$

Відповідь: 1) 81; 2) 105.

№ 30. Знайдіть суму всіх натуральних чисел, менших від числа 100 і не кратних числу 4.

Розв’язання:

1) Натуральні числа, менші від 100, утворюють арифметичну прогресію $1, 2, \dots, 99$ , де $a_{1} = 1$ , $a_{99} = 99$ , кількість членів $n = 99$ .
Знайдемо їхню суму:
$S_{99} = \frac{1 + 99}{2} \cdot 99$
$S_{99} = 50 \cdot 99 = 4950$

2) Натуральні числа, менші від 100, що кратні 4, мають вигляд $a_{n} = 4 n$ :
$4 n < 100$
$n < 25$
Отже, таких чисел є $n = 24$ .
Перше число: $a_{1} = 4$
Останнє число: $a_{24} = 4 \cdot 24 = 96$
Знайдемо суму цих чисел:
$S_{24} = \frac{4 + 96}{2} \cdot 24$
$S_{24} = 50 \cdot 24 = 1200$

3) Знайдемо суму натуральних чисел, менших від 100 і не кратних 4:
$S = S_{99} - S_{24}$
$S = 4950 - 1200 = 3750$

Відповідь: 3750.

№ 31. Спростіть вираз:

1) $\frac{p \cdot p ^{2} \cdot \dots \cdot p ^{n}}{p \cdot p ^{3} \cdot \dots \cdot p ^{2 n - 1}}$

2) $\frac{c ^{2} \cdot c ^{4} \cdot c ^{6} \cdot \dots \cdot c ^{2 n}}{c \cdot c ^{2} \cdot c ^{3} \cdot \dots \cdot c ^{n}}$

Розв’язання:

1) Застосуємо властивість степеня з однаковою основою та формулу суми перших $n$ членів арифметичної прогресії.

Для показника в чисельнику:
$1 + 2 + \dots + n = \frac{1 + n}{2} \cdot n = \frac{n ( n + 1 )}{2}$

Для показника в знаменнику:
$1 + 3 + \dots + (2 n - 1) = \frac{1 + 2 n - 1}{2} \cdot n = \frac{2 n}{2} \cdot n = n^{2}$

Спростимо вираз:
$\frac{p \cdot p ^{2} \cdot \dots \cdot p ^{n}}{p \cdot p ^{3} \cdot \dots \cdot p ^{2 n - 1}} = \frac{p ^{\frac{n ( n + 1 )}{2}}}{p ^{n^{2}}} = p^{\frac{n ^{2} + n}{2} - n^{2}} = p^{\frac{n - n ^{2}}{2}}$

2) Обчислимо суми в показниках степенів.

Для показника в чисельнику:
$2 + 4 + 6 + \dots + 2 n = \frac{2 + 2 n}{2} \cdot n = (1 + n) n = n (n + 1)$

Для показника в знаменнику:
$1 + 2 + 3 + \dots + n = \frac{1 + n}{2} \cdot n = \frac{n ( n + 1 )}{2}$

Спростимо вираз:
$\frac{c ^{2} \cdot c ^{4} \cdot c ^{6} \cdot \dots \cdot c ^{2 n}}{c \cdot c ^{2} \cdot c ^{3} \cdot \dots \cdot c ^{n}} = \frac{c ^{n (n + 1)}}{c ^{\frac{n ( n + 1 )}{2}}} = c^{n (n + 1) - \frac{n ( n + 1 )}{2}} = c^{\frac{n ( n + 1 )}{2}}$

Відповідь: 1) $p^{\frac{n - n ^{2}}{2}}$ ; 2) $c^{\frac{n ( n + 1 )}{2}}$ .

№ 32. Чи є геометричною прогресією послідовність натуральних степенів числа $a$ ( $a \neq = 0$ ): $a^{1}, a^{2}, a^{3}, a^{4}, \dots$ ?

Розв’язання:

Нехай $b_{n} = a^{n}$ , де $n \in N$ та $a \neq = 0$ .

Знайдемо відношення будь-якого члена послідовності до попереднього:
$\frac{b _{n + 1}}{b _{n}} = \frac{a ^{n + 1}}{a ^{n}} = a$

Оскільки відношення будь-якого члена послідовності, починаючи з другого, до попереднього є сталим числом $a \neq = 0$ , дана послідовність є геометричною прогресією зі знаменником $q = a$ .

Відповідь: так, є геометричною прогресією зі знаменником $q = a$ .

№ 33. Відомо два перших члени геометричної прогресії: $0, 5$ і $1, 5$ . Знайдіть наступні за ними чотири члени.

Розв’язання:

За умовою $b_{1} = 0, 5$ , $b_{2} = 1, 5$ .

Знайдемо знаменник геометричної прогресії:
$q = \frac{b _{2}}{b _{1}} = \frac{1 , 5}{0 , 5} = 3$

Обчислимо наступні чотири члени:
$b_{3} = b_{2} \cdot q = 1, 5 \cdot 3 = 4, 5$
$b_{4} = b_{3} \cdot q = 4, 5 \cdot 3 = 13, 5$
$b_{5} = b_{4} \cdot q = 13, 5 \cdot 3 = 40, 5$
$b_{6} = b_{5} \cdot q = 40, 5 \cdot 3 = 121, 5$

Відповідь: $4, 5$ ; $13, 5$ ; $40, 5$ ; $121, 5$ .

№ 34. Знайдіть знаменник геометричної прогресії $(b_{n})$ , якщо:

1) $b_{3} = 8$ , $b_{4} = 32$ ;

2) $b_{4} = 2$ , $b_{6} = 18$ і $q > 0$ .

Розв’язання:

1) За означенням знаменника геометричної прогресії:
$q = \frac{b _{4}}{b _{3}}$
$q = \frac{32}{8} = 4$

2) За формулою зв’язку між членами геометричної прогресії:
$b_{6} = b_{4} \cdot q^{6 - 4}$
$18 = 2 \cdot q^{2}$
$q^{2} = 9$
$q = 3$ або $q = - 3$
Оскільки за умовою $q > 0$ , маємо $q = 3$ .

Відповідь: 1) $4$ ; 2) $3$ .

№ 35. Довжини трьох відрізків утворюють геометричну прогресію. Знайдіть середній за розміром відрізок, якщо менший із відрізків дорівнює $1 см$ , а більший — $9 см$ .

Розв’язання:

Нехай довжини трьох відрізків утворюють геометричну прогресію $(b_{n})$ , де:
$b_{1} = 1 см$ — менший відрізок,
$b_{3} = 9 см$ — більший відрізок,
$b_{2}$ — середній за розміром відрізок ( $b_{2} > 0$ ).

За характеристичною властивістю геометричної прогресії:
$b_{2}^{2} = b_{1} \cdot b_{3}$
$b_{2}^{2} = 1 \cdot 9 = 9$
Оскільки довжина відрізка може бути тільки додатним числом:
$b_{2} = 9 = 3 (см)$

Відповідь: $3 см .$

№ 36. Запишіть перші п’ять членів геометричної прогресії, у якої третій і четвертий члени відповідно дорівнюють $8$ і $- 16$ .

Розв’язання:
За умовою $b_{3} = 8$ , $b_{4} = - 16$ .

Знайдемо знаменник геометричної прогресії:
$q = \frac{b _{4}}{b _{3}} = \frac{- 16}{8} = - 2$

Виразимо та знайдемо перший член прогресії:
$b_{3} = b_{1} \cdot q^{2}$
$8 = b_{1} \cdot (- 2)^{2}$
$8 = b_{1} \cdot 4$
$b_{1} = \frac{8}{4}$
$b_{1} = 2$

Обчислимо другий і п’ятий члени прогресії:
$b_{2} = b_{1} \cdot q = 2 \cdot (- 2) = - 4$
$b_{5} = b_{4} \cdot q = - 16 \cdot (- 2) = 32$

Отже, перші п’ять членів прогресії: $2; - 4; 8; - 16; 32$ .

Відповідь: $2; - 4; 8; - 16; 32$ .

№ 37. Серед членів геометричної прогресії $(b_{n})$ є і додатні, і від’ємні члени, $b_{2} = 8$ , $b_{4} = 72$ . Знайдіть $b_{1}$ .

Розв’язання:
За формулою $n$ -го члена геометричної прогресії:
$b_{4} = b_{2} \cdot q^{2}$
$72 = 8 \cdot q^{2}$
$q^{2} = \frac{72}{8}$
$q^{2} = 9$
$q = \pm 3$

Оскільки в прогресії є і додатні, і від’ємні члени, то знаки членів чергуються, отже, знаменник є від’ємним: $q = - 3$ .

Знайдемо перший член:
$b_{1} = \frac{b _{2}}{q}$
$b_{1} = \frac{8}{- 3} = - \frac{8}{3} = - 2 \frac{2}{3}$

Відповідь: $- 2 \frac{2}{3}$ .

№ 38. Членами геометричної прогресії $(c_{n})$ є лише додатні числа, $c_{4} = 125$ , $c_{6} = 5$ . Знайдіть $c_{8}$ і $c_{9}$ .

Розв’язання:
За формулою зв’язку між членами геометричної прогресії:
$c_{6} = c_{4} \cdot q^{2}$
$5 = 125 \cdot q^{2}$
$q^{2} = \frac{5}{125}$
$q^{2} = \frac{1}{25}$

Оскільки всі члени прогресії додатні, то $q > 0$ :
$q = \frac{1}{5}$

Знайдемо $c_{8}$ :
$c_{8} = c_{6} \cdot q^{2}$
$c_{8} = 5 \cdot (\frac{1}{5})^{2}$
$c_{8} = 5 \cdot \frac{1}{25} = \frac{1}{5}$

Знайдемо $c_{9}$ :
$c_{9} = c_{8} \cdot q$
$c_{9} = \frac{1}{5} \cdot \frac{1}{5} = \frac{1}{25}$

Відповідь: $c_{8} = \frac{1}{5}$ ; $c_{9} = \frac{1}{25}$ .

№ 39. Між числами 27 і 12 уставте таке від’ємне число, щоб воно разом із ними утворювало геометричну прогресію.

Розв’язання:
Нехай шукане від’ємне число дорівнює $x$ , де $x < 0$ .
Числа $27$ , $x$ , $12$ є послідовними членами геометричної прогресії.

За характеристичною властивістю геометричної прогресії:
$x^{2} = 27 \cdot 12$
$x^{2} = 324$
$x = \pm 324$
$x = \pm 18$

Оскільки шукане число за умовою має бути від’ємним, то $x = - 18$ .

Відповідь: $- 18$ .

№ 40. Число $768$ є членом геометричної прогресії: $3$ , $6$ , $12$ , … Знайдіть його номер.

Розв’язання:
У заданій геометричній прогресії:
$b_{1} = 3$
$b_{2} = 6$

Знайдемо знаменник прогресії:
$q = \frac{b _{2}}{b _{1}} = \frac{6}{3} = 2$

Формула $n$ -го члена геометричної прогресії:
$b_{n} = b_{1} \cdot q^{n - 1}$

Підставимо відомі значення ( $b_{n} = 768$ ):
$768 = 3 \cdot 2^{n - 1}$
$2^{n - 1} = \frac{768}{3}$
$2^{n - 1} = 256$
$2^{n - 1} = 2^{8}$
$n - 1 = 8$
$n = 9$

Відповідь: 9.

№ 41. За якого значення $x$ числа $x - 1$ , $3 - 3 x$ і $4 x + 1$ є послідовними членами геометричної прогресії? Знайдіть ці числа.

Розв’язання:
За характеристичною властивістю геометричної прогресії квадрат середнього члена дорівнює добутку двох крайніх:
$(3 - 3 x)^{2} = (x - 1) (4 x + 1)$
$9 - 18 x + 9 x^{2} = 4 x^{2} + x - 4 x - 1$
$9 - 18 x + 9 x^{2} = 4 x^{2} - 3 x - 1$
$5 x^{2} - 15 x + 10 = 0$
$x^{2} - 3 x + 2 = 0$

За теоремою Вієта:

[x_{1} = 1 x_{2} = 2

Перевіримо знайдені значення $x$ :

1) Якщо $x = 1$ , отримаємо числа:
$1 - 1 = 0$
$3 - 3 \cdot 1 = 0$
$4 \cdot 1 + 1 = 5$
Числа $0$ , $0$ , $5$ не є геометричною прогресією, оскільки члени геометричної прогресії мають бути відмінними від нуля.

2) Якщо $x = 2$ , отримаємо числа:
$2 - 1 = 1$
$3 - 3 \cdot 2 = - 3$
$4 \cdot 2 + 1 = 9$
Числа $1$ , $- 3$ , $9$ утворюють геометричну прогресію зі знаменником $q = - 3$ .

Відповідь: при $x = 2$ ; числа: $1$ ; $- 3$ ; $9$ .

№ 42. Знайдіть перший член і знаменник геометричної прогресії $(b_{n})$ , якщо:
1) $b_{1} + b_{3} = 6$ , $b_{2} + b_{4} = 12$ ;
2) $b_{4} - b_{2} = 18$ , $b_{5} - b_{3} = 36$ .

Розв’язання:

1) Виразимо члени прогресії через $b_{1}$ і $q$ :

{b_{1} + b_{1} q^{2} = 6 b_{1} q + b_{1} q^{3} = 12

{b_{1} (1 + q^{2}) = 6 b_{1} q (1 + q^{2}) = 12

Поділимо друге рівняння системи на перше:
$\frac{b _{1} q ( 1 + q ^{2} )}{b _{1} ( 1 + q ^{2} )} = \frac{12}{6}$
$q = 2$

Підставимо значення $q$ у перше рівняння:
$b_{1} (1 + 2^{2}) = 6$
$5 b_{1} = 6$
$b_{1} = 1, 2$

2) Виразимо члени прогресії через $b_{1}$ і $q$ :

{b_{1} q^{3} - b_{1} q = 18 b_{1} q^{4} - b_{1} q^{2} = 36

{b_{1} q (q^{2} - 1) = 18 b_{1} q^{2} (q^{2} - 1) = 36

Поділимо друге рівняння системи на перше:
$\frac{b _{1} q ^{2} ( q ^{2} - 1 )}{b _{1} q ( q ^{2} - 1 )} = \frac{36}{18}$
$q = 2$

Підставимо значення $q$ у перше рівняння:
$b_{1} \cdot 2 (2^{2} - 1) = 18$
$b_{1} \cdot 2 \cdot 3 = 18$
$6 b_{1} = 18$
$b_{1} = 3$

Відповідь: 1) $b_{1} = 1, 2$ ; $q = 2$ ; 2) $b_{1} = 3$ ; $q = 2$ .

№ 43. Чи можуть довжини сторін прямокутного трикутника утворювати геометричну прогресію? Якщо так, укажіть знаменник такої прогресії.

Розв’язання:
Нехай довжини сторін прямокутного трикутника утворюють геометричну прогресію: $a$ , $a q$ , $a q^{2}$ , де $a > 0$ і $q > 0$ .

1) Якщо $q > 1$ , то довжини сторін зростають, отже найбільша сторона $a q^{2}$ є гіпотенузою.
За теоремою Піфагора:
$a^{2} + (a q)^{2} = (a q^{2})^{2}$
$a^{2} + a^{2} q^{2} = a^{2} q^{4}$
Поділимо обидві частини на $a^{2} > 0$ :
$1 + q^{2} = q^{4}$
$q^{4} - q^{2} - 1 = 0$

Зробимо заміну $q^{2} = t$ , де $t > 0$ :
$t^{2} - t - 1 = 0$
$D = (- 1)^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 1) = 5$
$t = \frac{1 \pm 5}{2}$
Оскільки $t > 0$ , маємо:
$t = \frac{1 + 5}{2}$
$q^{2} = \frac{5 + 1}{2}$
$q = \frac{5 + 1}{2}$

2) Якщо $0 < q < 1$ , то довжини сторін спадають, отже найбільша сторона $a$ є гіпотенузою.
За теоремою Піфагора:
$(a q^{2})^{2} + (a q)^{2} = a^{2}$
$a^{2} q^{4} + a^{2} q^{2} = a^{2}$
Поділимо обидві частини на $a^{2} > 0$ :
$q^{4} + q^{2} - 1 = 0$

Зробимо заміну $q^{2} = t$ , де $t > 0$ :
$t^{2} + t - 1 = 0$
$D = 1^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 1) = 5$
$t = \frac{- 1 \pm 5}{2}$
Оскільки $t > 0$ , маємо:
$t = \frac{5 - 1}{2}$
$q^{2} = \frac{5 - 1}{2}$
$q = \frac{5 - 1}{2}$

Відповідь: можуть, $q = \frac{5 + 1}{2}$ або $q = \frac{5 - 1}{2}$ .

№ 44. Вкладниця відкрила в банку депозитний рахунок на $150000 грн$ під $14 %$ .
1) Скільки коштів буде на цьому рахунку через $2 роки$ ; через $4 роки$ ? (Відповідь округліть до десятків гривень.)
2) Скільки відсоткових коштів матиме вкладниця через $2 роки$ ; через $4 роки$ ? (Відповідь округліть до десятків гривень.)

Розв’язання:
За формулою складних відсотків нарощена сума вкладу дорівнює:
$S_{n} = S_{0} \cdot (1 + \frac{p}{100})^{n}$ , де $S_{0} = 150000 грн$ , $p = 14 %$ .
$1 + \frac{14}{100} = 1, 14$

1) Сума коштів на рахунку:
Через $2 роки$ :
$S_{2} = 150000 \cdot 1, 1 4^{2}$
$S_{2} = 150000 \cdot 1, 2996 = 194940 (грн)$

Через $4 роки$ :
$S_{4} = 150000 \cdot 1, 1 4^{4}$
$1, 1 4^{4} = (1, 1 4^{2})^{2} = 1, 299 6^{2} = 1, 68896016$
$S_{4} = 150000 \cdot 1, 68896016 = 253344, 024 грн \approx 253340 (грн)$

2) Відсоткові кошти ( $S_{n} - S_{0}$ ):
Через $2 роки$ :
$194940 - 150000 = 44940 (грн)$

Через $4 роки$ :
$253344, 024 - 150000 = 103344, 024 грн \approx 103340 (грн)$

Відповідь: 1) через $2 роки$ — $194940 грн$ ; через $4 роки$ — $\approx 253340 грн$ ; 2) через $2 роки$ — $44940 грн$ ; через $4 роки$ — $\approx 103340 грн$ .

№ 45. Яку мінімальну суму коштів треба покласти в банк під $10 %$ , щоб через три роки мати $15000 грн$ відсоткових коштів? (Відповідь округліть до десятків гривень.)

Розв’язання:
Нехай початкова сума вкладу становить $S_{0} грн$ .
За формулою складних відсотків загальна сума на рахунку через $3 роки$ дорівнює:
$S_{3} = S_{0} \cdot (1 + \frac{10}{100})^{3}$
$S_{3} = S_{0} \cdot 1, 1^{3} = 1, 331 S_{0}$

Сума відсоткових коштів визначається як різниця між нарощеною сумою та початковим вкладом:
$S_{3} - S_{0} = 1, 331 S_{0} - S_{0} = 0, 331 S_{0}$

За умовою ця сума має дорівнювати $15000 грн$ :
$0, 331 S_{0} = 15000$
$S_{0} = \frac{15 000}{0 , 331}$
$S_{0} \approx 45317, 22 (грн)$

Округлимо знайдену суму до десятків гривень:
$45317, 22 \approx 45320 (грн)$

Відповідь: $\approx 45320 грн$ .

№ 46. У перший день пандемії у місті захворіло $10000$ осіб. А потім щотижня кількість хворих зменшувалася на $10 %$ . Скільки було хворих через:

1) $3$ тижні?

2) $5$ тижнів?

Розв’язання:
Початкова кількість хворих становить $N_{0} = 10000$ .
Оскільки щотижня кількість хворих зменшується на $10 %$ , то вона становить:
$100 % - 10 % = 90 % = 0, 9$ від кількості хворих попереднього тижня.
Через $n$ тижнів кількість хворих визначається формулою:
$N = N_{0} \cdot 0, 9^{n}$

1) Через 3 тижні ( $n = 3$ ):
$N = 10000 \cdot 0, 9^{3}$
$N = 10000 \cdot 0, 729$
$N = 7290$

2) Через 5 тижнів ( $n = 5$ ):
$N = 10000 \cdot 0, 9^{5}$
$N = 10000 \cdot 0, 59049$
$N = 5904, 9 \approx 5905$

Відповідь: 1) 7 290 осіб; 2) 5 905 осіб.

№ 47. Знайдіть суму трьох перших членів геометричної прогресії $(b_{n})$ , якщо $b_{1} = 8$ , $q = - 2$ .

Розв’язання:
Застосуємо формулу суми $n$ перших членів геометричної прогресії:
$S_{n} = \frac{b _{1} ( 1 - q ^{n} )}{1 - q}$

При $n = 3$ :
$S_{3} = \frac{8 \cdot ( 1 - ( - 2 ) ^{3} )}{1 - ( - 2 )}$
$S_{3} = \frac{8 \cdot ( 1 - ( - 8 ))}{1 + 2}$
$S_{3} = \frac{8 \cdot 9}{3}$
$S_{3} = 8 \cdot 3$
$S_{3} = 24$

Відповідь: 24.

№ 48. Послідовність $(b_{n})$ — геометрична прогресія. Знайдіть:

1) $S_{4}$ , якщо $b_{1} = - 2$ , $q = 10$ ;

2) $S_{5}$ , якщо $b_{1} = - 60$ , $q = 2$ ;

3) $S_{6}$ , якщо $b_{1} = 0, 1$ , $q = - 3$ ;

4) $S_{7}$ , якщо $b_{1} = \frac{1}{2}$ , $q = 4$ .

Розв’язання:
Використаємо формулу суми $n$ перших членів геометричної прогресії:
$S_{n} = \frac{b _{1} ( 1 - q ^{n} )}{1 - q}$

1) $S_{4} = \frac{- 2 \cdot ( 1 - 1 0 ^{4} )}{1 - 10}$
$S_{4} = \frac{- 2 \cdot ( 1 - 10 000 )}{- 9}$
$S_{4} = \frac{- 2 \cdot ( - 9 999 )}{- 9}$
$S_{4} = - 2222$

2) $S_{5} = \frac{- 60 \cdot ( 1 - 2 ^{5} )}{1 - 2}$
$S_{5} = \frac{- 60 \cdot ( 1 - 32 )}{- 1}$
$S_{5} = \frac{- 60 \cdot ( - 31 )}{- 1}$
$S_{5} = - 1860$

3) $S_{6} = \frac{0 , 1 \cdot ( 1 - ( - 3 ) ^{6} )}{1 - ( - 3 )}$
$S_{6} = \frac{0 , 1 \cdot ( 1 - 729 )}{1 + 3}$
$S_{6} = \frac{0 , 1 \cdot ( - 728 )}{4}$
$S_{6} = 0, 1 \cdot (- 182)$
$S_{6} = - 18, 2$

4) $S_{7} = \frac{\frac{1}{2} \cdot ( 1 - 4 ^{7} )}{1 - 4}$
$S_{7} = \frac{\frac{1}{2} \cdot ( 1 - 16 384 )}{- 3}$
$S_{7} = \frac{\frac{1}{2} \cdot ( - 16 383 )}{- 3}$
$S_{7} = \frac{- 16 383}{- 6}$
$S_{7} = 2730, 5$

Відповідь: 1) -2 222; 2) -1 860; 3) $- 18, 2$ ; 4) $2730, 5$ .

№ 49. Використовуючи формулу суми геометричної прогресії $S_{n} = \frac{b _{n} q - b _{1}}{q - 1}$ , подайте у вигляді дробу вираз:

1) $1 + p + p^{2} + \dots + p^{8}$ , де $p \neq = 1$ ;

2) $c^{8} + c^{7} + \dots + c^{3}$ , де $c \neq = 1$ .

Розв’язання:

1) Вираз $1 + p + p^{2} + \dots + p^{8}$ є сумою $9$ членів геометричної прогресії, у якій:
$b_{1} = 1$
$q = p$
$b_{9} = p^{8}$
Обчислимо суму за заданою формулою:
$S_{9} = \frac{p ^{8} \cdot p - 1}{p - 1}$
$S_{9} = \frac{p ^{9} - 1}{p - 1}$

2) Запишемо вираз у порядку зростання степенів:
$c^{3} + c^{4} + \dots + c^{8}$
Це сума членів геометричної прогресії, де:
$b_{1} = c^{3}$
$q = c$
$b_{n} = c^{8}$
Кількість членів: $n = 8 - 3 + 1 = 6$ .
Обчислимо суму за формулою:
$S_{6} = \frac{c ^{8} \cdot c - c ^{3}}{c - 1}$
$S_{6} = \frac{c ^{9} - c ^{3}}{c - 1}$

Відповідь: 1) $\frac{p ^{9} - 1}{p - 1}$ ; 2) $\frac{c ^{9} - c ^{3}}{c - 1}$ .

№ 50. На площині побудовано п’ять квадратів. Сторона першого дорівнює 3 см, а сторона кожного наступного вдвічі більша за сторону попереднього. Знайдіть суму площ цих квадратів.

Розв’язання:
Сторони квадратів утворюють геометричну прогресію:
$a_{1} = 3 см$
$q_{a} = 2$
Площа квадрата зі стороною $a$ обчислюється за формулою $S = a^{2}$ .
Тоді послідовність площ цих квадратів є геометричною прогресією $(b_{n})$ , у якій:
$b_{1} = a_{1}^{2} = 3^{2} = 9 см^{2}$
$q = q_{a}^{2} = 2^{2} = 4$
Кількість квадратів: $n = 5$ .

Обчислимо суму площ $S_{5}$ :
$S_{5} = \frac{b _{1} ( q ^{5} - 1 )}{q - 1}$
$S_{5} = \frac{9 \cdot ( 4 ^{5} - 1 )}{4 - 1}$
$S_{5} = \frac{9 \cdot ( 1 024 - 1 )}{3}$
$S_{5} = 3 \cdot 1023$
$S_{5} = 3069 см^{2}$

Відповідь: $3069 см^{2}$ .

№ 51. Доведіть, що послідовність $(x_{n})$ , яку задано формулою $x_{n} = 0, 2 \cdot 5^{n - 1}$ , є геометричною прогресією. Знайдіть суму шести перших членів цієї прогресії.

Розв’язання:
Знайдемо відношення $(n + 1)$ -го члена послідовності до її $n$ -го члена:
$x_{n} = 0, 2 \cdot 5^{n - 1}$
$x_{n + 1} = 0, 2 \cdot 5^{n}$
$\frac{x _{n + 1}}{x _{n}} = \frac{0 , 2 \cdot 5 ^{n}}{0 , 2 \cdot 5 ^{n - 1}} = 5$

Оскільки відношення $\frac{x _{n + 1}}{x _{n}} = 5$ є сталим для будь-якого натурального $n$ , за означенням послідовність $(x_{n})$ є геометричною прогресією зі знаменником $q = 5$ .

Знайдемо перший член прогресії:
$x_{1} = 0, 2 \cdot 5^{1 - 1} = 0, 2 \cdot 1 = 0, 2$

Обчислимо суму шести перших членів прогресії:
$S_{n} = \frac{x _{1} ( q ^{n} - 1 )}{q - 1}$
$S_{6} = \frac{0 , 2 \cdot ( 5 ^{6} - 1 )}{5 - 1}$
$5^{6} = 15625$
$S_{6} = \frac{0 , 2 \cdot ( 15625 - 1 )}{4}$
$S_{6} = \frac{0 , 2 \cdot 15624}{4}$
$S_{6} = 0, 2 \cdot 3906$
$S_{6} = 781, 2$

Відповідь: $781, 2$ .

№ 52. Знайдіть суму п’яти перших членів геометричної прогресії, перший член якої дорівнює 1, а п’ятий — дорівнює 81, якщо відомо, що її члени з парними номерами — від’ємні.

Розв’язання:
За умовою:
$b_{1} = 1$
$b_{5} = 81$

Виразимо $b_{5}$ через $b_{1}$ і знаменник $q$ :
$b_{5} = b_{1} \cdot q^{4}$
$1 \cdot q^{4} = 81$
$q^{4} = 81$
$q = \pm 3$

За умовою члени прогресії з парними номерами є від’ємними ( $b_{2} = b_{1} \cdot q < 0$ ). Оскільки $b_{1} = 1 > 0$ , то $q < 0$ , отже:
$q = - 3$

Знайдемо суму п’яти перших членів прогресії:
$S_{5} = \frac{b _{1} ( 1 - q ^{5} )}{1 - q}$
$S_{5} = \frac{1 \cdot ( 1 - ( - 3 ) ^{5} )}{1 - ( - 3 )}$
$(- 3)^{5} = - 243$
$S_{5} = \frac{1 - ( - 243 )}{4}$
$S_{5} = \frac{244}{4}$
$S_{5} = 61$

Відповідь: 61.

№ 53. Послідовність $(b_{n})$ — геометрична прогресія, у якої $b_{5} + b_{4} = 72$ , $b_{4} - b_{2} = 18$ . Знайдіть $S_{8}$ .

Розв’язання:
Складемо систему рівнянь за формулою $n$ -го члена $b_{n} = b_{1} \cdot q^{n - 1}$ :
${b_{1} q^{4} + b_{1} q^{3} = 72 b_{1} q^{3} - b_{1} q = 18$

Винесемо спільні множники за дужки:
${b_{1} q^{3} (q + 1) = 72 b_{1} q (q^{2} - 1) = 18$

${b_{1} q^{3} (q + 1) = 72 b_{1} q (q - 1) (q + 1) = 18$

Поділимо перше рівняння системи на друге:
$\frac{b _{1} q ^{3} ( q + 1 )}{b _{1} q ( q - 1 ) ( q + 1 )} = \frac{72}{18}$
$\frac{q ^{2}}{q - 1} = 4$
$q^{2} = 4 (q - 1)$
$q^{2} - 4 q + 4 = 0$
$(q - 2)^{2} = 0$
$q = 2$

Знайдемо перший член $b_{1}$ :
$b_{1} \cdot 2 \cdot (2^{2} - 1) = 18$
$b_{1} \cdot 2 \cdot 3 = 18$
$6 b_{1} = 18$
$b_{1} = 3$

Обчислимо суму восьми перших членів:
$S_{8} = \frac{b _{1} ( q ^{8} - 1 )}{q - 1}$
$S_{8} = \frac{3 \cdot ( 2 ^{8} - 1 )}{2 - 1}$
$2^{8} = 256$
$S_{8} = 3 \cdot (256 - 1)$
$S_{8} = 3 \cdot 255$
$S_{8} = 765$

Відповідь: 765.

№ 54. Сума трьох перших членів геометричної прогресії дорівнює 14, а сума їхніх квадратів дорівнює 84. Знайдіть суму восьми перших членів цієї прогресії.

Розв’язання:
За умовою задачі:
${b_{1} + b_{1} q + b_{1} q^{2} = 14 b_{1}^{2} + (b_{1} q)^{2} + (b_{1} q^{2})^{2} = 84$

${b_{1} (1 + q + q^{2}) = 14 b_{1}^{2} (1 + q^{2} + q^{4}) = 84$

Розкладемо на множники вираз:
$1 + q^{2} + q^{4} = (1 + 2 q^{2} + q^{4}) - q^{2} = (1 + q^{2})^{2} - q^{2} = (1 + q + q^{2}) (1 - q + q^{2})$

Піднесемо обидві частини першого рівняння системи до квадрата:
$b_{1}^{2} (1 + q + q^{2})^{2} = 1 4^{2}$
$b_{1}^{2} (1 + q + q^{2})^{2} = 196$

Поділимо друге рівняння системи на отриманий квадрат першого рівняння:
$\frac{b _{1}^{2} ( 1 + q + q ^{2} ) ( 1 - q + q ^{2} )}{b _{1}^{2} ( 1 + q + q ^{2} ) ^{2}} = \frac{84}{196}$
$\frac{1 - q + q ^{2}}{1 + q + q ^{2}} = \frac{3}{7}$
$7 (1 - q + q^{2}) = 3 (1 + q + q^{2})$
$7 - 7 q + 7 q^{2} = 3 + 3 q + 3 q^{2}$
$4 q^{2} - 10 q + 4 = 0$
$2 q^{2} - 5 q + 2 = 0$
$D = (- 5)^{2} - 4 \cdot 2 \cdot 2 = 25 - 16 = 9$
$q_{1} = \frac{5 - 3}{4} = 0, 5$
$q_{2} = \frac{5 + 3}{4} = 2$

1) Якщо $q = 2$ :
$b_{1} (1 + 2 + 2^{2}) = 14$
$7 b_{1} = 14$
$b_{1} = 2$
$S_{8} = \frac{b _{1} ( q ^{8} - 1 )}{q - 1}$
$S_{8} = \frac{2 ( 2 ^{8} - 1 )}{2 - 1}$
$S_{8} = 2 (256 - 1) = 2 \cdot 255 = 510$

2) Якщо $q = 0, 5$ :
$b_{1} (1 + 0, 5 + 0, 25) = 14$
$1, 75 b_{1} = 14$
$b_{1} = 8$
$S_{8} = \frac{b _{1} ( 1 - q ^{8} )}{1 - q}$
$S_{8} = \frac{8 ( 1 - ( \frac{1}{2} ) ^{8} )}{1 - 0 , 5}$
$S_{8} = \frac{8 ( 1 - \frac{1}{256} )}{0 , 5}$
$S_{8} = 16 \cdot \frac{255}{256} = \frac{255}{16} = 15 \frac{15}{16}$

Відповідь: $510$ або $15 \frac{15}{16}$ .

№ 55. Знайдіть перший член, знаменник і кількість членів геометричної прогресії $(b_{n})$ , якщо $b_{5} - b_{1} = 45$ , $b_{3} + b_{1} = 15$ , $S_{n} = - 63$ .

Розв’язання:
Складемо систему рівнянь за формулою $n$ -го члена $b_{n} = b_{1} \cdot q^{n - 1}$ :
${b_{1} q^{4} - b_{1} = 45 b_{1} q^{2} + b_{1} = 15$

${b_{1} (q^{4} - 1) = 45 b_{1} (q^{2} + 1) = 15$

Поділимо перше рівняння на друге:
$\frac{b _{1} ( q ^{2} - 1 ) ( q ^{2} + 1 )}{b _{1} ( q ^{2} + 1 )} = \frac{45}{15}$
$q^{2} - 1 = 3$
$q^{2} = 4$
$q = \pm 2$

Знайдемо перший член $b_{1}$ :
$b_{1} ((\pm 2)^{2} + 1) = 15$
$5 b_{1} = 15$
$b_{1} = 3$

Знайдемо кількість членів $n$ з формули суми $S_{n} = \frac{b _{1} ( q ^{n} - 1 )}{q - 1}$ :

1) Якщо $q = 2$ :
$\frac{3 ( 2 ^{n} - 1 )}{2 - 1} = - 63$
$3 (2^{n} - 1) = - 63$
$2^{n} - 1 = - 21$
$2^{n} = - 20$
Рівняння не має розв’язків, оскільки $2^{n} > 0$ при будь-яких дійсних $n$ .

2) Якщо $q = - 2$ :
$\frac{3 (( - 2 ) ^{n} - 1 )}{- 2 - 1} = - 63$
$\frac{3 (( - 2 ) ^{n} - 1 )}{- 3} = - 63$
$- ((- 2)^{n} - 1) = - 63$
$(- 2)^{n} - 1 = 63$
$(- 2)^{n} = 64$
$(- 2)^{n} = (- 2)^{6}$
$n = 6$

Відповідь: $b_{1} = 3$ ; $q = - 2$ ; $n = 6$ .

№ 56. Знайдіть геометричну прогресію, яка складається із шести членів, якщо сума її членів з непарними номерами дорівнює 273, а сума членів з парними номерами — 1092.

Розв’язання:

Нехай $(b_{n})$ — геометрична прогресія зі знаменником $q$ .
За формулою $n$ -го члена $b_{n} = b_{1} \cdot q^{n - 1}$ .

Сума членів з непарними номерами:
$b_{1} + b_{3} + b_{5} = 273$
$b_{1} + b_{1} \cdot q^{2} + b_{1} \cdot q^{4} = 273$
$b_{1} (1 + q^{2} + q^{4}) = 273$

Сума членів з парними номерами:
$b_{2} + b_{4} + b_{6} = 1092$
$b_{1} \cdot q + b_{1} \cdot q^{3} + b_{1} \cdot q^{5} = 1092$
$b_{1} \cdot q (1 + q^{2} + q^{4}) = 1092$

Складемо та розв’яжемо систему рівнянь:
${b_{1} (1 + q^{2} + q^{4}) = 273 b_{1} \cdot q (1 + q^{2} + q^{4}) = 1092$

Поділимо друге рівняння системи на перше:
$\frac{b _{1} \cdot q ( 1 + q ^{2} + q ^{4} )}{b _{1} ( 1 + q ^{2} + q ^{4} )} = \frac{1092}{273}$
$q = 4$

Підставимо значення $q = 4$ у перше рівняння:
$b_{1} (1 + 4^{2} + 4^{4}) = 273$
$b_{1} (1 + 16 + 256) = 273$
$b_{1} \cdot 273 = 273$
$b_{1} = 1$

Знайдемо члени геометричної прогресії:
$b_{1} = 1$
$b_{2} = 1 \cdot 4 = 4$
$b_{3} = 4 \cdot 4 = 16$
$b_{4} = 16 \cdot 4 = 64$
$b_{5} = 64 \cdot 4 = 256$
$b_{6} = 256 \cdot 4 = 1024$

Відповідь: $1; 4; 16; 64; 256; 1024$ .

№ 57. (Задача про поширення чуток із книжки Я. І. Перельмана «Жива математика», 1967 р.) У невелике містечко, населення якого становить 50 тисяч осіб, о 8 годині ранку прибув мешканець столиці й привіз цікаву новину. О 8 год 15 хв він розповів цю новину трьом своїм знайомим, після чого ще через 15 хв кожен з них розповів новину трьом тим своїм знайомим, котрі про неї не знали. Після цього кожен з дев’яти мешканців міста, що дізналися про цю новину, розповів її трьом своїм знайомим і так само далі. О котрій годині (приблизно) про цю новину дізнаються всі мешканці міста?

Розв’язання:

Кількість мешканців містечка, які дізнаються про новину за кожен наступний проміжок часу тривалістю $15 хв$ (починаючи з 8 год 15 хв), утворює геометричну прогресію $(b_{n})$ :
$3; 9; 27; \dots$ , де $b_{1} = 3$ , $q = 3$ .

Загальна кількість мешканців міста, які дізнаються про новину протягом $n$ таких проміжків часу, дорівнює сумі перших $n$ членів цієї прогресії:

$S_{n} = \frac{b _{1} ( q ^{n} - 1 )}{q - 1}$

$S_{n} = \frac{3 ( 3 ^{n} - 1 )}{3 - 1} = \frac{3 ^{n + 1} - 3}{2}$

За умовою новину мають дізнатися всі мешканці містечка, тобто $S_{n} \geq 50000$ :

$\frac{3 ^{n + 1} - 3}{2} \geq 50000$

$3^{n + 1} - 3 \geq 100000$

$3^{n + 1} \geq 100003$

Оскільки:
$3^{10} = 59049$
$3^{11} = 177147$
$59049 < 100003 < 177147$ ,

найменшим цілим розв’язком нерівності є:
$n + 1 = 11$
$n = 10$

Отже, знадобиться 10 проміжків по $15 хв$ :
$10 \cdot 15 хв = 150 хв = 2 год 30 хв$

Знайдемо час, о котрій це відбудеться:
$8 год + 2 год 30 хв = 10 год 30 хв$

Відповідь: о 10 год 30 хв.

№ 58. Знайдіть суму нескінченної геометричної прогресії $(x_{n})$ , якщо:
1) $x_{1} = 1$ , $q = \frac{1}{8}$ ;
2) $x_{1} = 4$ , $q = \frac{5}{6}$ .

Розв’язання:

Сума нескінченної геометричної прогресії при $∣ q ∣ < 1$ обчислюється за формулою:
$S = \frac{x _{1}}{1 - q}$

1) Оскільки $∣ q ∣ = \frac{1}{8} < 1$ :
$S = \frac{1}{1 - \frac{1}{8}}$
$S = \frac{1}{\frac{7}{8}}$
$S = \frac{8}{7} = 1 \frac{1}{7}$

2) Оскільки $∣ q ∣ = \frac{5}{6} < 1$ :
$S = \frac{4}{1 - \frac{5}{6}}$
$S = \frac{4}{\frac{1}{6}}$
$S = 4 \cdot 6$
$S = 24$

Відповідь: 1) $1 \frac{1}{7}$ ; 2) 24.

№ 59. Знайдіть суму нескінченної геометричної прогресії $(b_{n})$ , якщо:
1) $b_{1} = 8$ , $b_{2} = 1$ ;
2) $b_{1} = - 1$ , $b_{2} = - \frac{1}{3}$ ;
3) $b_{1} = 4$ , $b_{2} = - 2$ ;
4) $b_{1} = - 4$ , $b_{2} = 1$ .

Розв’язання:

Сума нескінченної геометричної прогресії зі знаменником $∣ q ∣ < 1$ обчислюється за формулою:
$S = \frac{b _{1}}{1 - q}$
де $q = \frac{b _{2}}{b _{1}}$ .

1) Знайдемо знаменник прогресії:
$q = \frac{1}{8}$
$∣ q ∣ < 1$

Обчислимо суму:
$S = \frac{8}{1 - \frac{1}{8}}$
$S = \frac{8}{\frac{7}{8}}$
$S = \frac{64}{7} = 9 \frac{1}{7}$

2) Знайдемо знаменник прогресії:
$q = \frac{- \frac{1}{3}}{- 1} = \frac{1}{3}$
$∣ q ∣ < 1$

Обчислимо суму:
$S = \frac{- 1}{1 - \frac{1}{3}}$
$S = \frac{- 1}{\frac{2}{3}}$
$S = - \frac{3}{2} = - 1, 5$

3) Знайдемо знаменник прогресії:
$q = \frac{- 2}{4} = - \frac{1}{2} = - 0, 5$
$∣ q ∣ < 1$

Обчислимо суму:
$S = \frac{4}{1 - ( - 0 , 5 )}$
$S = \frac{4}{1 , 5}$
$S = \frac{4}{\frac{3}{2}}$
$S = \frac{8}{3} = 2 \frac{2}{3}$

4) Знайдемо знаменник прогресії:
$q = \frac{1}{- 4} = - 0, 25$
$∣ q ∣ < 1$

Обчислимо суму:
$S = \frac{- 4}{1 - ( - 0 , 25 )}$
$S = \frac{- 4}{1 , 25}$
$S = \frac{- 4}{\frac{5}{4}}$
$S = - \frac{16}{5} = - 3, 2$

Відповідь: 1) $9 \frac{1}{7}$ ; 2) $- 1, 5$ ; 3) $2 \frac{2}{3}$ ; 4) $- 3, 2$ .

№ 60. Послідовність $(b_{n})$ — нескінченна геометрична прогресія, у якої $∣ q ∣ < 1$ . Знайдіть:
1) $b_{1}$ , якщо $S = 7$ , $q = - \frac{1}{7}$ ;
2) $q$ , якщо $S = 12$ , $b_{1} = 8$ .

Розв’язання:

Сума нескінченної геометричної прогресії обчислюється за формулою:
$S = \frac{b _{1}}{1 - q}$

1) Підставимо відомі значення $S = 7$ та $q = - \frac{1}{7}$ :
$7 = \frac{b _{1}}{1 - ( - \frac{1}{7} )}$
$7 = \frac{b _{1}}{1 + \frac{1}{7}}$
$7 = \frac{b _{1}}{\frac{8}{7}}$
$b_{1} = 7 \cdot \frac{8}{7}$
$b_{1} = 8$

2) Підставимо відомі значення $S = 12$ та $b_{1} = 8$ :
$12 = \frac{8}{1 - q}$
$12 (1 - q) = 8$
$1 - q = \frac{8}{12}$
$1 - q = \frac{2}{3}$
$q = 1 - \frac{2}{3}$
$q = \frac{1}{3}$

Відповідь: 1) $b_{1} = 8$ ; 2) $q = \frac{1}{3}$ .

№ 61. Тіло проходить за першу секунду 100 м, а за кожну наступну — чверть попередньої відстані. Чи зможе тіло подолати відстань 130 м, якщо рух триватиме нескінченно довго?

Розв’язання:
Відстані, які проходить тіло щосекунди, утворюють нескінченну спадну геометричну прогресію:
$b_{1} = 100 м$
$q = \frac{1}{4}$ ( $∣ q ∣ < 1$ )
Загальний шлях, що подолає тіло, дорівнює сумі нескінченної геометричної прогресії:
$S = \frac{b _{1}}{1 - q}$
$S = \frac{100}{1 - \frac{1}{4}}$
$S = \frac{100}{\frac{3}{4}}$
$S = 100 \cdot \frac{4}{3}$
$S = \frac{400}{3} = 133 \frac{1}{3} (м)$
Порівняємо отриману відстань із заданою:
$133 \frac{1}{3} > 130$
Отже, тіло зможе подолати відстань $130 м$ .

Відповідь: так, зможе.

№ 62. (Задача П. Ферма.) Доведіть, що $\frac{1}{2} + \frac{3}{8} + \frac{1}{4} + \frac{3}{16} + \frac{1}{8} + \frac{3}{32} + \dots = \frac{7}{4}$ .

Розв’язання:
Згрупуємо доданки ряду у дві суми нескінченних геометричних прогресій:
$S = (\frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{8} + \dots) + (\frac{3}{8} + \frac{3}{16} + \frac{3}{32} + \dots)$
Для першої прогресії: $b_{1} = \frac{1}{2}$ , $q = \frac{1}{2}$ ( $∣ q ∣ < 1$ ):
$S_{1} = \frac{\frac{1}{2}}{1 - \frac{1}{2}}$
$S_{1} = \frac{\frac{1}{2}}{\frac{1}{2}} = 1$
Для другої прогресії: $c_{1} = \frac{3}{8}$ , $q = \frac{1}{2}$ ( $∣ q ∣ < 1$ ):
$S_{2} = \frac{\frac{3}{8}}{1 - \frac{1}{2}}$
$S_{2} = \frac{\frac{3}{8}}{\frac{1}{2}} = \frac{3}{8} \cdot 2 = \frac{3}{4}$
Обчислимо суму всього ряду:
$S = S_{1} + S_{2}$
$S = 1 + \frac{3}{4} = \frac{7}{4}$
Рівність доведено.

Відповідь: доведено.

№ 63. Чи може сума нескінченної геометричної прогресії зі знаменником $q$ , де $∣ q ∣ < 1$ , бути меншою від її першого члена?

Розв’язання:
Сума нескінченної геометричної прогресії виражається формулою:
$S = \frac{b _{1}}{1 - q}$
За умовою потрібно з’ясувати, чи можлива нерівність $S < b_{1}$ :
$\frac{b _{1}}{1 - q} < b_{1}$
$\frac{b _{1}}{1 - q} - b_{1} < 0$
$b_{1} (\frac{1}{1 - q} - 1) < 0$
$b_{1} \cdot \frac{1 - ( 1 - q )}{1 - q} < 0$
$b_{1} \cdot \frac{q}{1 - q} < 0$
Оскільки $∣ q ∣ < 1$ , знаменник завжди додатний: $1 - q > 0$ .
Отже, нерівність зводиться до умови:
$b_{1} \cdot q < 0$
Добуток $b_{1} \cdot q$ від’ємний у двох випадках:

1) $b_{1} > 0$ і $q < 0$

2) $b_{1} < 0$ і $q > 0$
У цих випадках сума прогресії дійсно менша від її першого члена.

Відповідь: так, якщо $b_{1} > 0$ і $q < 0$ або $b_{1} < 0$ і $q > 0$ .

№ 64. Знайдіть суму нескінченної геометричної прогресії $(b_{n})$ зі знаменником $q$ , де $∣ q ∣ < 1$ , якщо $b_{3} = 8$ , $b_{4} = - 4$ .

Розв’язання:
Знайдемо знаменник геометричної прогресії:
$q = \frac{b _{4}}{b _{3}}$
$q = \frac{- 4}{8} = - 0, 5$
Оскільки $∣ - 0, 5∣ < 1$ , прогресія є нескінченно спадною.
Знайдемо перший член прогресії за формулою $n$ -го члена:
$b_{3} = b_{1} \cdot q^{2}$
$8 = b_{1} \cdot (- 0, 5)^{2}$
$8 = b_{1} \cdot 0, 25$
$b_{1} = \frac{8}{0 , 25} = 32$
Обчислимо суму нескінченної геометричної прогресії:
$S = \frac{b _{1}}{1 - q}$
$S = \frac{32}{1 - ( - 0 , 5 )}$
$S = \frac{32}{1 , 5}$
$S = \frac{32}{\frac{3}{2}}$
$S = \frac{64}{3} = 21 \frac{1}{3}$

Відповідь: $21 \frac{1}{3}$ .

№ 65. Запишіть у вигляді звичайного дробу число:
1) $0, (57)$ ;
2) $0, 2 (4)$ ;
3) $4, (17)$ ;
4) $5, 1 (3)$ .

Розв’язання:

1) Подамо періодичний дріб у вигляді суми:
$0, (57) = 0, 57 + 0, 0057 + 0, 000057 + \dots$
Це сума нескінченної геометричної прогресії, де $b_{1} = 0, 57$ , $q = 0, 01$ :
$S = \frac{0 , 57}{1 - 0 , 01}$
$S = \frac{0 , 57}{0 , 99} = \frac{57}{99} = \frac{19}{33}$
$0, (57) = \frac{19}{33}$

2) Подамо дріб у вигляді суми:
$0, 2 (4) = 0, 2 + 0, 04 + 0, 004 + \dots$
Знайдемо суму прогресії для періоду, де $b_{1} = 0, 04$ , $q = 0, 1$ :
$S = \frac{0 , 04}{1 - 0 , 1}$
$S = \frac{0 , 04}{0 , 9} = \frac{4}{90} = \frac{2}{45}$
Обчислимо загальну суму:
$0, 2 (4) = \frac{2}{10} + \frac{2}{45}$
$0, 2 (4) = \frac{1}{5} + \frac{2}{45} = \frac{9}{45} + \frac{2}{45} = \frac{11}{45}$

3) Виділимо цілу частину:
$4, (17) = 4 + 0, (17)$
Для $0, (17)$ маємо $b_{1} = 0, 17$ , $q = 0, 01$ :
$S = \frac{0 , 17}{1 - 0 , 01}$
$S = \frac{0 , 17}{0 , 99} = \frac{17}{99}$
$4, (17) = 4 \frac{17}{99}$

4) Виділимо сталу та періодичну частини:
$5, 1 (3) = 5, 1 + 0, 03 + 0, 003 + \dots$
Для періоду $b_{1} = 0, 03$ , $q = 0, 1$ :
$S = \frac{0 , 03}{1 - 0 , 1}$
$S = \frac{0 , 03}{0 , 9} = \frac{3}{90} = \frac{1}{30}$
Обчислимо загальну суму:
$5, 1 (3) = 5 \frac{1}{10} + \frac{1}{30}$
$5, 1 (3) = 5 + \frac{3}{30} + \frac{1}{30} = 5 \frac{4}{30} = 5 \frac{2}{15}$

Відповідь: 1) $\frac{19}{33}$ ; 2) $\frac{11}{45}$ ; 3) $4 \frac{17}{99}$ ; 4) $5 \frac{2}{15}$ .

№ 66. Послідовність $(b_{n})$ — нескінченна геометрична прогресія, $b_{1} = 9$ , $q = \frac{1}{3}$ . Знайдіть суму її членів:
1) з непарними номерами;
2) з парними номерами.

Розв’язання:

1) Члени з непарними номерами утворюють послідовність $b_{1}, b_{3}, b_{5}, \dots$
Вона є нескінченною геометричною прогресією з першим членом:
$b_{1}^{'} = b_{1} = 9$
Знаменник цієї прогресії дорівнює:
$q_{1} = q^{2} = (\frac{1}{3})^{2} = \frac{1}{9}$
Оскільки $∣ q_{1} ∣ < 1$ , знайдемо її суму за формулою $S = \frac{b _{1}^{'}}{1 - q _{1}}$ :
$S_{1} = \frac{9}{1 - \frac{1}{9}} = \frac{9}{\frac{8}{9}} = 9 \cdot \frac{9}{8} = \frac{81}{8} = 10 \frac{1}{8} = 10, 125$

2) Члени з парними номерами утворюють послідовність $b_{2}, b_{4}, b_{6}, \dots$
Перший член цієї прогресії:
$b_{2} = b_{1} \cdot q = 9 \cdot \frac{1}{3} = 3$
Знаменник цієї прогресії дорівнює:
$q_{2} = q^{2} = (\frac{1}{3})^{2} = \frac{1}{9}$
Оскільки $∣ q_{2} ∣ < 1$ , знайдемо її суму за формулою $S = \frac{b _{2}}{1 - q _{2}}$ :
$S_{2} = \frac{3}{1 - \frac{1}{9}} = \frac{3}{\frac{8}{9}} = 3 \cdot \frac{9}{8} = \frac{27}{8} = 3 \frac{3}{8} = 3, 375$

Відповідь: 1) $10, 125$ ; 2) $3, 375$ .

№ 67. У нескінченній геометричній прогресії перший член дорівнює $15$ , а знаменник дорівнює $\frac{1}{4}$ . Знайдіть суму квадратів усіх її членів.

Розв’язання:

Нехай задано нескінченну геометричну прогресію $(b_{n})$ , де:
$b_{1} = 15$
$q = \frac{1}{4}$

Послідовність квадратів членів цієї прогресії $b_{1}^{2}, b_{2}^{2}, b_{3}^{2}, \dots$ також утворює нескінченну геометричну прогресію $(c_{n})$ , у якої:
перший член $c_{1} = b_{1}^{2} = 1 5^{2} = 225$
знаменник $q_{1} = q^{2} = (\frac{1}{4})^{2} = \frac{1}{16}$

Оскільки $∣ q_{1} ∣ = \frac{1}{16} < 1$ , прогресія є нескінченно спадною, і її сума обчислюється за формулою:

$S = \frac{c _{1}}{1 - q _{1}}$

Обчислимо значення суми:

$S = \frac{225}{1 - \frac{1}{16}}$

$S = \frac{225}{\frac{15}{16}}$

$S = 225 \cdot \frac{16}{15}$

$S = 15 \cdot 16$

$S = 240$

Відповідь: 240.

№ 68. Знайдіть суму нескінченної геометричної прогресії $(b_{n})$ , у якої $∣ q ∣ < 1$ , якщо:
1) $b_{2} = 36$ , $b_{4} = 4$ ;
2) $b_{4} b_{6} = 1$ , $b_{3} + b_{5} = 17$ .

Розв’язання:

Сума нескінченної геометричної прогресії зі знаменником $∣ q ∣ < 1$ обчислюється за формулою:
$S = \frac{b _{1}}{1 - q}$

1) За формулою $n$ -го члена геометричної прогресії:
$b_{2} = b_{1} q = 36$
$b_{4} = b_{1} q^{3} = 4$

Поділимо друге рівняння на перше:
$\frac{b _{1} q ^{3}}{b _{1} q} = \frac{4}{36}$
$q^{2} = \frac{1}{9}$

q = \frac{1}{3} q = - \frac{1}{3}

Обидва значення задовольняють умову $∣ q ∣ < 1$ .

Якщо $q = \frac{1}{3}$ :
$b_{1} = \frac{36}{q} = \frac{36}{\frac{1}{3}} = 108$
$S = \frac{108}{1 - \frac{1}{3}} = \frac{108}{\frac{2}{3}} = 108 \cdot \frac{3}{2} = 162$

Якщо $q = - \frac{1}{3}$ :
$b_{1} = \frac{36}{q} = \frac{36}{- \frac{1}{3}} = - 108$
$S = \frac{- 108}{1 - ( - \frac{1}{3} )} = \frac{- 108}{\frac{4}{3}} = - 108 \cdot \frac{3}{4} = - 81$

2) За характеристичною властивістю геометричної прогресії $b_{4} \cdot b_{6} = b_{5}^{2}$ :
$b_{5}^{2} = 1$

[b_{5} = 1 b_{5} = - 1

Розглянемо кожен випадок:

Якщо $b_{5} = - 1$ , то з рівняння $b_{3} + b_{5} = 17$ :
$b_{3} - 1 = 17$
$b_{3} = 18$
$q^{2} = \frac{b _{5}}{b _{3}} = - \frac{1}{18} < 0$ — рівняння не має дійсних розв’язків.

Якщо $b_{5} = 1$ , то:
$b_{3} + 1 = 17$
$b_{3} = 16$
$q^{2} = \frac{b _{5}}{b _{3}} = \frac{1}{16}$

q = \frac{1}{4} q = - \frac{1}{4}

Обидва значення задовольняють умову $∣ q ∣ < 1$ .

Оскільки $b_{5} = b_{1} q^{4} = 1$ :
$b_{1} \cdot (\pm \frac{1}{4})^{4} = 1$
$b_{1} \cdot \frac{1}{256} = 1$
$b_{1} = 256$

При $q = \frac{1}{4}$ :
$S = \frac{256}{1 - \frac{1}{4}} = \frac{256}{\frac{3}{4}} = \frac{1024}{3} = 341 \frac{1}{3}$

При $q = - \frac{1}{4}$ :
$S = \frac{256}{1 - ( - \frac{1}{4} )} = \frac{256}{\frac{5}{4}} = \frac{1024}{5} = 204, 8$

Відповідь: 1) 162 або -81; 2) $341 \frac{1}{3}$ або $204, 8$ .

№ 69. Сума нескінченної геометричної прогресії зі знаменником $q$ , де $∣ q ∣ < 1$ , дорівнює $9$ , а сума квадратів її членів — $40, 5$ . Знайдіть перший член і знаменник прогресії.

Розв’язання:
Нехай $b_{1}$ — перший член геометричної прогресії, $q$ — її знаменник ( $∣ q ∣ < 1$ ).

Сума нескінченної геометричної прогресії:

$S = \frac{b _{1}}{1 - q} = 9$

Звідси:

$b_{1} = 9 (1 - q)$

Послідовність квадратів членів даної прогресії $b_{1}^{2}, b_{1}^{2} q^{2}, b_{1}^{2} q^{4}, \dots$ також є нескінченною геометричною прогресією з першим членом $b_{1}^{2}$ та знаменником $q^{2}$ ( $∣ q^{2} ∣ < 1$ ).

Її сума дорівнює:

$S_{2} = \frac{b _{1}^{2}}{1 - q ^{2}} = 40, 5$

Підставимо вираз для $b_{1}$ у формулу суми квадратів:

$\frac{( 9 ( 1 - q ) ) ^{2}}{1 - q ^{2}} = 40, 5$

$\frac{81 ( 1 - q ) ^{2}}{( 1 - q ) ( 1 + q )} = 40, 5$

Оскільки $∣ q ∣ < 1$ , то $1 - q \neq = 0$ . Скоротимо дріб на $(1 - q)$ :

$\frac{81 ( 1 - q )}{1 + q} = 40, 5$

$81 (1 - q) = 40, 5 (1 + q)$

$81 - 81 q = 40, 5 + 40, 5 q$

$- 81 q - 40, 5 q = 40, 5 - 81$

$- 121, 5 q = - 40, 5$

$q = \frac{- 40 , 5}{- 121 , 5}$

$q = \frac{1}{3}$

Знайдемо перший член прогресії $b_{1}$ :

$b_{1} = 9 (1 - \frac{1}{3}) = 9 \cdot \frac{2}{3} = 6$

Відповідь: $b_{1} = 6$ ; $q = \frac{1}{3}$ .

№ 70. Задача П. Ферма. $S$ — сума нескінченної геометричної прогресії $(b_{n})$ зі знаменником $q$ , де $∣ q ∣ < 1$ . Доведіть, що $\frac{S}{S - b _{1}} = \frac{b _{1}}{b _{2}}$ .

Розв’язання:

Сума нескінченної геометричної прогресії зі знаменником $∣ q ∣ < 1$ обчислюється за формулою:
$S = \frac{b _{1}}{1 - q}$

Знайдемо різницю $S - b_{1}$ :
$S - b_{1} = \frac{b _{1}}{1 - q} - b_{1}$
$S - b_{1} = \frac{b _{1} - b _{1} ( 1 - q )}{1 - q}$
$S - b_{1} = \frac{b _{1} - b _{1} + b _{1} q}{1 - q}$
$S - b_{1} = \frac{b _{1} q}{1 - q}$

Обчислимо значення лівої частини рівності $\frac{S}{S - b _{1}}$ :
$\frac{S}{S - b _{1}} = \frac{\frac{b _{1}}{1 - q}}{\frac{b _{1} q}{1 - q}}$
$\frac{S}{S - b _{1}} = \frac{b _{1}}{1 - q} \cdot \frac{1 - q}{b _{1} q}$
$\frac{S}{S - b _{1}} = \frac{1}{q}$

За означенням геометричної прогресії:
$b_{2} = b_{1} \cdot q$

Обчислимо значення правої частини рівності $\frac{b _{1}}{b _{2}}$ :
$\frac{b _{1}}{b _{2}} = \frac{b _{1}}{b _{1} q} = \frac{1}{q}$

Оскільки ліва і права частини рівні:
$\frac{S}{S - b _{1}} = \frac{b _{1}}{b _{2}} = \frac{1}{q}$

Тотожність доведено.

Відповідь: доведено.

Вправи для повторення розділу 3

Теги статті:

До уроку