Вправи для повторення розділу 2

РОЗВ’ЯЖІТЬ ЗАДАЧІ ТА ВИКОНАЙТЕ ВПРАВИ

📋 Швидка навігація по вправах:

№ 1 № 2 № 3 № 4 № 5 № 6 № 7 № 8 № 9 № 10 № 11 № 12 № 13 № 14 № 15 № 16 № 17 № 18 № 19 № 20 № 21 № 22 № 23 № 24 № 25 № 26 № 27 № 28 № 29 № 30 № 31 № 32 № 33 № 34 № 35 № 36 № 37 № 38 № 39 № 40 № 41 № 42 № 43 № 44 № 45 № 46 № 47 № 48 № 49 № 50 № 51 № 52 № 53 № 54 № 55 № 56 № 57 № 58 № 59 № 60 № 61 № 62 № 63 № 64 № 65 № 66 № 67 № 68 № 69 № 70 № 71 № 72 № 73 № 74 № 75 № 76 № 77 № 78

№ 1. Знайдіть:

1) $f (1)$ , $f (2)$ , $f (- 4)$ , якщо $f (x) = x^{2} - 1$ ;

2) $g (- 2)$ , $g (0)$ , $g (1)$ , якщо $g (x) = x^{3} + 8$ .

Розв’язання:

1) $f (x) = x^{2} - 1$

$f (1) = 1^{2} - 1 = 1 - 1 = 0$

$f (2) = 2^{2} - 1 = 4 - 1 = 3$

$f (- 4) = (- 4)^{2} - 1 = 16 - 1 = 15$

2) $g (x) = x^{3} + 8$

$g (- 2) = (- 2)^{3} + 8 = - 8 + 8 = 0$

$g (0) = 0^{3} + 8 = 0 + 8 = 8$

$g (1) = 1^{3} + 8 = 1 + 8 = 9$

Відповідь: 1) $f (1) = 0$ ; $f (2) = 3$ ; $f (- 4) = 15$ ; 2) $g (- 2) = 0$ ; $g (0) = 8$ ; $g (1) = 9$ .

№ 2. Укажіть таке значення $x$ (якщо воно існує), за якого значення функції $g (x) = \frac{6}{x}$ дорівнює:
1) 6;
2) 1;
3) 0;
4) -100.

Розв’язання:

1) $\frac{6}{x} = 6$
$x = \frac{6}{6}$
$x = 1$

2) $\frac{6}{x} = 1$
$x = \frac{6}{1}$
$x = 6$

3) $\frac{6}{x} = 0$
Оскільки чисельник $6 \neq = 0$ , дріб $\frac{6}{x} \neq = 0$ при всіх допустимих значеннях $x$ .
Отже, такого значення $x$ не існує.

4) $\frac{6}{x} = - 100$
$x = \frac{6}{- 100}$
$x = - 0, 06$

Відповідь: 1) $x = 1$ ; 2) $x = 6$ ; 3) такого значення не існує; 4) $x = - 0, 06$ .

№ 3. Чи належить графіку функції $y = 5 x - 7$ точка:

1) $A (5; - 18)$ ;

2) $B (0; - 7)$ ;

3) $C (- 1; - 12)$ ;

4) $D (1; 2)$ ?

Розв’язання:

Підставимо координати точок у формулу функції:

1) Для точки $A (5; - 18)$ :
$y = 5 \cdot 5 - 7 = 25 - 7 = 18 \neq = - 18$
Точка $A$ не належить графіку функції.

2) Для точки $B (0; - 7)$ :
$y = 5 \cdot 0 - 7 = 0 - 7 = - 7$
$- 7 = - 7$
Точка $B$ належить графіку функції.

3) Для точки $C (- 1; - 12)$ :
$y = 5 \cdot (- 1) - 7 = - 5 - 7 = - 12$
$- 12 = - 12$
Точка $C$ належить графіку функції.

4) Для точки $D (1; 2)$ :
$y = 5 \cdot 1 - 7 = 5 - 7 = - 2 \neq = 2$
Точка $D$ не належить графіку функції.

Відповідь: 1) ні; 2) так; 3) так; 4) ні.

№ 4. Побудуйте графік функції $y = \frac{10}{x ^{2} + 1}$ , де $- 3 \leq x \leq 3$ , попередньо заповнивши в зошиті таблицю значень.

Розв’язання:

Обчислимо значення функції для кожного значення аргументу:

Якщо $x = - 3$ , то $y = \frac{10}{( - 3 ) ^{2} + 1} = \frac{10}{10} = 1$ ;

Якщо $x = - 2$ , то $y = \frac{10}{( - 2 ) ^{2} + 1} = \frac{10}{5} = 2$ ;

Якщо $x = - 1$ , то $y = \frac{10}{( - 1 ) ^{2} + 1} = \frac{10}{2} = 5$ ;

Якщо $x = 0$ , то $y = \frac{10}{0 ^{2} + 1} = \frac{10}{1} = 10$ ;

Якщо $x = 1$ , то $y = \frac{10}{1 ^{2} + 1} = \frac{10}{2} = 5$ ;

Якщо $x = 2$ , то $y = \frac{10}{2 ^{2} + 1} = \frac{10}{5} = 2$ ;

Якщо $x = 3$ , то $y = \frac{10}{3 ^{2} + 1} = \frac{10}{10} = 1$ .

Заповнена таблиця значень:

$x$	$- 3$	$- 2$	$- 1$	$0$	$1$	$2$	$3$
$y$	$1$	$2$	$5$	$10$	$5$	$2$	$1$

№ 5. Наведіть приклад функції, областю визначення якої є:
1) множина всіх чисел;
2) множина всіх чисел, крім числа $3$ ;
3) множина всіх чисел, крім чисел $2$ і $9$ ;
4) множина всіх чисел, не менших від числа $5$ .

Розв’язання:

1) Областю визначення будь-якого многочлена є множина всіх дійсних чисел:
$y = x^{2} + 3 x + 2$
$D (y) = (- \infty; + \infty)$

2) Знаменник дробу не може дорівнювати нулю:
$y = \frac{1}{x - 3}$
$x - 3 \neq = 0$
$x \neq = 3$
$D (y) = (- \infty; 3) \cup (3; + \infty)$

3) Знаменник дробу перетворюється на нуль при $x = 2$ та $x = 9$ :
$y = \frac{1}{( x - 2 ) ( x - 9 )}$
$(x - 2) (x - 9) \neq = 0$
$x \neq = 2$ і $x \neq = 9$
$D (y) = (- \infty; 2) \cup (2; 9) \cup (9; + \infty)$

4) Підкореневий вираз арифметичного квадратного кореня має бути невід’ємним:
$y = x - 5$
$x - 5 \geq 0$
$x \geq 5$
$D (y) = [5; + \infty)$

Відповідь: 1) $y = x^{2} + 3 x + 2$ ; 2) $y = \frac{1}{x - 3}$ ; 3) $y = \frac{1}{( x - 2 ) ( x - 9 )}$ ; 4) $y = x - 5$ .

№ 6. Тіло рухалося прямолінійно. Залежність відстані $s$ (у км), яку воно подолало, від часу $t$ (у год) задано так:
$s (t) = ⎩ ⎨ ⎧ 4 t, якщо 0 \leq t \leq 2; 8, якщо 2 < t < 3; 3 t - 1, якщо 3 \leq t \leq 4.$
Знайдіть $s (1)$ , $s (2)$ , $s (2, 5)$ , $s (3)$ , $s (4)$ .

Розв’язання:

Визначимо, якому із зазначених проміжків належить кожне зі значень часу $t$ , та обчислимо відповідне значення відстані:

1) Для $t = 1$ : оскільки $0 \leq 1 \leq 2$ , то:
$s (1) = 4 \cdot 1 = 4$

2) Для $t = 2$ : оскільки $0 \leq 2 \leq 2$ , то:
$s (2) = 4 \cdot 2 = 8$

3) Для $t = 2, 5$ : оскільки $2 < 2, 5 < 3$ , то:
$s (2, 5) = 8$

4) Для $t = 3$ : оскільки $3 \leq 3 \leq 4$ , то:
$s (3) = 3 \cdot 3 - 1 = 9 - 1 = 8$

5) Для $t = 4$ : оскільки $3 \leq 4 \leq 4$ , то:
$s (4) = 3 \cdot 4 - 1 = 12 - 1 = 11$

Відповідь: $s (1) = 4$ ; $s (2) = 8$ ; $s (2, 5) = 8$ ; $s (3) = 8$ ; $s (4) = 11$ .

№ 7. Чи належить області значень функції $y = x^{2} + 2 x$ число:
1) 0;
2) -3;
3) -1;
4) 8?

Розв’язання:

Знайдемо область значень заданої функції, виділивши повний квадрат:

$y = x^{2} + 2 x = x^{2} + 2 x + 1 - 1 = (x + 1)^{2} - 1$

Оскільки $(x + 1)^{2} \geq 0$ при будь-якому дійсному $x$ , то:

$(x + 1)^{2} - 1 \geq - 1$

$y \geq - 1$

Отже, область значень функції: $E (y) = [- 1; + \infty)$ .

Перевіримо належність кожного числа проміжку $[- 1; + \infty)$ :

1) $0 \geq - 1$ — належить (так).

2) $- 3 < - 1$ — не належить (ні).

3) $- 1 \geq - 1$ — належить (так).

4) $8 \geq - 1$ — належить (так).

Відповідь: 1) так; 2) ні; 3) так; 4) так.

№ 8. Знайдіть область визначення функції:

1) $f (x) = \frac{3}{2∣ x ∣ + x ^{2}}$

2) $g (x) = \frac{7 x}{2 - \frac{1}{x}}$

3) $ϕ (x) = \frac{1}{1 + \frac{1}{x}}$

4) $g (x) = \frac{7}{1 - \frac{1}{∣ x ∣}}$

5) $ψ (x) = \frac{3}{1 + \frac{1}{∣ x ∣}}$

6) $p (x) = \frac{1}{x - 2} + \frac{1}{x - 5}$

7) $ϕ (x) = - x^{2}$

8) $f (x) = - x^{2} - 2 x - 1$

9) $g (x) = x + - x$

Розв’язання:

1) Знаменник дробу не повинен дорівнювати нулю:
$2∣ x ∣ + x^{2} \neq = 0$
$∣ x ∣ (∣ x ∣ + 2) \neq = 0$
Оскільки $∣ x ∣ \geq 0$ , то $∣ x ∣ + 2 \geq 2 > 0$ при будь-якому значенні $x$ .
Звідси:
$∣ x ∣ \neq = 0$
$x \neq = 0$
$D (f) = (- \infty; 0) \cup (0; + \infty)$

2) Знаменники дробів не повинні дорівнювати нулю:
$⎩ ⎨ ⎧ x \neq = 0 2 - \frac{1}{x} \neq = 0$
$\frac{1}{x} \neq = 2$
$x \neq = \frac{1}{2}$
$x \neq = 0, 5$
$D (g) = (- \infty; 0) \cup (0; 0, 5) \cup (0, 5; + \infty)$

3) Знаменники дробів не повинні дорівнювати нулю:
$⎩ ⎨ ⎧ x \neq = 0 1 + \frac{1}{x} \neq = 0$
$\frac{1}{x} \neq = - 1$
$x \neq = - 1$
$D (ϕ) = (- \infty; - 1) \cup (- 1; 0) \cup (0; + \infty)$

4) Знаменники дробів не повинні дорівнювати нулю:
$⎩ ⎨ ⎧ ∣ x ∣ \neq = 0 1 - \frac{1}{∣ x ∣} \neq = 0$
$x \neq = 0$
$\frac{1}{∣ x ∣} \neq = 1$
$∣ x ∣ \neq = 1$
$x \neq = 1$
$x \neq = - 1$
$D (g) = (- \infty; - 1) \cup (- 1; 0) \cup (0; 1) \cup (1; + \infty)$

5) Знаменники дробів не повинні дорівнювати нулю:
$⎩ ⎨ ⎧ ∣ x ∣ \neq = 0 1 + \frac{1}{∣ x ∣} \neq = 0$
Оскільки при $x \neq = 0$ вираз $∣ x ∣ > 0$ , то $\frac{1}{∣ x ∣} > 0$ , тому $1 + \frac{1}{∣ x ∣} > 1 \neq = 0$ для всіх допустимих значень $x$ .
Отже, єдиною умовою є:
$x \neq = 0$
$D (ψ) = (- \infty; 0) \cup (0; + \infty)$

6) Підкореневий вираз у знаменнику має бути строго додатним, а знаменник другого дробу — не дорівнювати нулю:
${x - 2 > 0 x - 5 \neq = 0$
${x > 2 x \neq = 5$
$D (p) = (2; 5) \cup (5; + \infty)$

7) Підкореневий вираз має бути невід’ємним:
$- x^{2} \geq 0$
$x^{2} \leq 0$
Оскільки $x^{2} \geq 0$ для будь-якого дійсного $x$ , нерівність можлива лише за умови:
$x^{2} = 0$
$x = 0$
$D (ϕ) = {0}$

8) Підкореневий вираз має бути невід’ємним:
$- x^{2} - 2 x - 1 \geq 0$
$- (x^{2} + 2 x + 1) \geq 0$
$- (x + 1)^{2} \geq 0$
$(x + 1)^{2} \leq 0$
Оскільки квадрат будь-якого виразу є невід’ємним, нерівність виконується лише при:
$(x + 1)^{2} = 0$
$x + 1 = 0$
$x = - 1$
$D (f) = {- 1}$

9) Обидва підкореневі вирази мають бути невід’ємними:
${x \geq 0 - x \geq 0$
${x \geq 0 x \leq 0$
$x = 0$
$D (g) = {0}$

Відповідь:

1) $(- \infty; 0) \cup (0; + \infty)$ ;

2) $(- \infty; 0) \cup (0; 0, 5) \cup (0, 5; + \infty)$ ;

3) $(- \infty; - 1) \cup (- 1; 0) \cup (0; + \infty)$ ;

4) $(- \infty; - 1) \cup (- 1; 0) \cup (0; 1) \cup (1; + \infty)$ ;

5) $(- \infty; 0) \cup (0; + \infty)$ ;

6) $(2; 5) \cup (5; + \infty)$ ;

7) ${0}$ ;

8) ${- 1}$ ;

9) ${0}$ .

№ 9. Знайдіть область значень функції:

1) $f (x) = x - 1 + 1 - x$

2) $g (x) = - (x - 1)^{2}$

3) $φ (x) = 4 - x^{2}$

4) $g (x) = \frac{1}{x ^{2} + 1}$

5) $t (x) = x^{2} + 9 - 5$

6) $f (x) = \frac{1}{x ^{2} + 2 x + 5}$

Розв’язання:

1) Область визначення функції знайдемо із системи:
${x - 1 \geq 0 1 - x \geq 0$

${x \geq 1 x \leq 1$

$x = 1$

Область визначення складається з єдиного значення: $D (f) = {1}$ .
Обчислимо значення функції при $x = 1$ :
$f (1) = 1 - 1 + 1 - 1 = 0$

$E (f) = {0}$

2) Підкореневий вираз має бути невід’ємним:
$- (x - 1)^{2} \geq 0$

Оскільки $(x - 1)^{2} \geq 0$ для всіх $x \in R$ , то $- (x - 1)^{2} \leq 0$ .
Нерівність $- (x - 1)^{2} \geq 0$ виконується лише тоді, коли:
$- (x - 1)^{2} = 0$

$x = 1$

Функція визначена лише при $x = 1$ :
$g (1) = - (1 - 1)^{2} = 0$

$E (g) = {0}$

3) Вираз під знаком кореня повинен задовольняти умову:
$4 - x^{2} \geq 0$

Оскільки $x^{2} \geq 0$ , найбільше значення виразу $4 - x^{2}$ дорівнює $4$ (при $x = 0$ ), а найменше допустиме значення дорівнює $0$ :
$0 \leq 4 - x^{2} \leq 4$

$0 \leq 4 - x^{2} \leq 2$

$E (φ) = [0; 2]$

4) Оскільки для будь-якого дійсного $x$ :
$x^{2} \geq 0$

$x^{2} + 1 \geq 1$

Знаменник набуває значень від $1$ до $+ \infty$ . Отже:
$0 < \frac{1}{x ^{2} + 1} \leq 1$

$E (g) = (0; 1]$

5) Для будь-якого $x$ :
$x^{2} \geq 0$

$x^{2} + 9 \geq 9$

$x^{2} + 9 \geq 3$

$x^{2} + 9 - 5 \geq 3 - 5$

$t (x) \geq - 2$

$E (t) = [- 2; + \infty)$

6) Виділимо повний квадрат у знаменнику:
$x^{2} + 2 x + 5 = (x^{2} + 2 x + 1) + 4 = (x + 1)^{2} + 4$

Оскільки $(x + 1)^{2} \geq 0$ , то:
$(x + 1)^{2} + 4 \geq 4$

Знаменник набуває значень від $4$ до $+ \infty$ . Отже:
$0 < \frac{1}{( x + 1 ) ^{2} + 4} \leq \frac{1}{4}$

$E (f) = (0; \frac{1}{4}]$

Відповідь: 1) ${0}$ ; 2) ${0}$ ; 3) $[0; 2]$ ; 4) $(0; 1]$ ; 5) $[- 2; + \infty)$ ; 6) $(0; \frac{1}{4}]$ .

№ 10. Знайдіть область визначення функції та побудуйте її графік:

1) $f (x) = \frac{x ^{3} + 3 x ^{2} - x - 3}{2 x ^{2} - 2}$ ;

2) $g (x) = \frac{x - 2}{x - 2}$ .

Розв’язання:

1) Знайдемо область визначення функції $f (x)$ :
$2 x^{2} - 2 \neq = 0$
$2 (x^{2} - 1) \neq = 0$
$x^{2} \neq = 1$
$x \neq = \pm 1$
$D (f) = (- \infty; - 1) \cup (- 1; 1) \cup (1; + \infty)$

Спростимо формулу функції, розклавши чисельник на множники способом групування:
$x^{3} + 3 x^{2} - x - 3 = x^{2} (x + 3) - (x + 3) = (x^{2} - 1) (x + 3)$
$f (x) = \frac{( x ^{2} - 1 ) ( x + 3 )}{2 ( x ^{2} - 1 )} = \frac{x + 3}{2} = 0, 5 x + 1, 5 при x \neq = \pm 1$

Графіком функції є пряма $y = 0, 5 x + 1, 5$ без точок з абсцисами $x = - 1$ та $x = 1$ .
Знайдемо ординати виколотих точок:
якщо $x = - 1$ , то $y = 0, 5 \cdot (- 1) + 1, 5 = 1$ , отже, маємо виколоту точку $(- 1; 1)$ ;
якщо $x = 1$ , то $y = 0, 5 \cdot 1 + 1, 5 = 2$ , отже, маємо виколоту точку $(1; 2)$ .

Таблиця опорних точок для прямої:

$x$	$- 3$	$3$
$y$	$0$	$3$

Графік до вправи № 10 (рис. 1) - Алгебра 9 клас

2) Знайдемо область визначення функції $g (x) = \frac{x - 2}{x - 2}$ :
${x \geq 0 x - 2 \neq = 0$
${x \geq 0 x \neq = 2$
${x \geq 0 x \neq = 4$
$D (g) = [0; 4) \cup (4; + \infty)$

Числовий проміжок до вправи № 10 (рис. 2) - Алгебра 9 клас

Спростимо формулу функції для всіх $x \in D (g)$ :
$g (x) = 1 при x \in [0; 4) \cup (4; + \infty)$

Графіком функції є частина прямої $y = 1$ (горизонтальний промінь, що виходить із зафарбованої точки $(0; 1)$ праворуч) без точки з абсцисою $x = 4$ , тобто з виколотою точкою $(4; 1)$ .

Графік до вправи № 10 (рис. 3) - Алгебра 9 клас

Відповідь:

1) $D (f) = (- \infty; - 1) \cup (- 1; 1) \cup (1; + \infty)$ ;

2) $D (g) = [0; 4) \cup (4; + \infty)$ .

№ 11. Зростаючою чи спадною на кожному з проміжків $(- \infty; 0)$ і $(0; + \infty)$ є функція:
1) $y = \frac{8}{x}$
2) $y = - \frac{6}{x}$
3) $y = - \frac{0 , 01}{x}$
4) $y = \frac{7 , 51}{x}$

Розв’язання:
Для функції $y = \frac{k}{x}$ :

якщо $k > 0$ , то функція є спадною на кожному з проміжків $(- \infty; 0)$ і $(0; + \infty)$ ;
якщо $k < 0$ , то функція є зростаючою на кожному з проміжків $(- \infty; 0)$ і $(0; + \infty)$ .

1) $y = \frac{8}{x}$
$k = 8 > 0$ , тому функція є спадною на кожному з проміжків $(- \infty; 0)$ і $(0; + \infty)$ .

2) $y = - \frac{6}{x}$
$k = - 6 < 0$ , тому функція є зростаючою на кожному з проміжків $(- \infty; 0)$ і $(0; + \infty)$ .

3) $y = - \frac{0 , 01}{x}$
$k = - 0, 01 < 0$ , тому функція є зростаючою на кожному з проміжків $(- \infty; 0)$ і $(0; + \infty)$ .

4) $y = \frac{7 , 51}{x}$
$k = 7, 51 > 0$ , тому функція є спадною на кожному з проміжків $(- \infty; 0)$ і $(0; + \infty)$ .

Відповідь: 1) спадна; 2) зростаюча; 3) зростаюча; 4) спадна.

№ 12. Знайдіть, не виконуючи побудови, точки перетину графіка функції з осями координат:

1) $f (x) = 2 x - 4$

2) $g (x) = \frac{1}{3} x - 6$

3) $φ (x) = x^{2} - 2 x - 3$

4) $ψ (x) = \frac{x - 1}{x + 2}$

Розв’язання:

1) $f (x) = 2 x - 4$

З віссю $O x$ ( $y = 0$ ):
$2 x - 4 = 0$
$2 x = 4$
$x = 2$
Точка $(2; 0)$ .

З віссю $O y$ ( $x = 0$ ):
$y = f (0) = 2 \cdot 0 - 4 = - 4$
Точка $(0; - 4)$ .

2) $g (x) = \frac{1}{3} x - 6$

З віссю $O x$ ( $y = 0$ ):
$\frac{1}{3} x - 6 = 0$
$\frac{1}{3} x = 6$
$x = 18$
Точка $(18; 0)$ .

З віссю $O y$ ( $x = 0$ ):
$y = g (0) = \frac{1}{3} \cdot 0 - 6 = - 6$
Точка $(0; - 6)$ .

3) $φ (x) = x^{2} - 2 x - 3$

З віссю $O x$ ( $y = 0$ ):
$x^{2} - 2 x - 3 = 0$
За теоремою Вієта:
$x_{1} = 3, x_{2} = - 1$
Точки $(3; 0)$ та $(- 1; 0)$ .

З віссю $O y$ ( $x = 0$ ):
$y = φ (0) = 0^{2} - 2 \cdot 0 - 3 = - 3$
Точка $(0; - 3)$ .

4) $ψ (x) = \frac{x - 1}{x + 2}$

Область визначення: $x \neq = - 2$ .

З віссю $O x$ ( $y = 0$ ):
$\frac{x - 1}{x + 2} = 0$
$x - 1 = 0$
$x = 1$
Точка $(1; 0)$ .

З віссю $O y$ ( $x = 0$ ):
$y = ψ (0) = \frac{0 - 1}{0 + 2} = - \frac{1}{2} = - 0, 5$
Точка $(0; - 0, 5)$ .

Відповідь: 1) $(2; 0)$ та $(0; - 4)$ ; 2) $(18; 0)$ та $(0; - 6)$ ; 3) $(3; 0)$ , $(- 1; 0)$ та $(0; - 3)$ ; 4) $(1; 0)$ та $(0; - 0, 5)$ .

№ 13. Знайдіть нулі функції (якщо вони існують):

1) $y = \frac{x - 1}{x ^{2} + 2 x - 3}$

2) $y = \frac{1}{x} + \frac{1}{x - 2}$

3) $y = x x - 10$

Розв’язання:

1) Знайдемо область визначення функції:
$x^{2} + 2 x - 3 \neq = 0$
$x \neq = 1$ та $x \neq = - 3$

Знайдемо значення $x$ , для яких $y = 0$ :
$\frac{x - 1}{x ^{2} + 2 x - 3} = 0$
$x - 1 = 0$
$x = 1$

Оскільки $x = 1$ не належить області визначення функції ( $x \neq = 1$ ), то ця функція не має нулів.

2) Знайдемо область визначення функції:
${x \neq = 0 x - 2 \neq = 0$
${x \neq = 0 x \neq = 2$

Знайдемо нулі функції:
$\frac{1}{x} + \frac{1}{x - 2} = 0$

$\frac{x - 2 + x}{x ( x - 2 )} = 0$

$\frac{2 x - 2}{x ( x - 2 )} = 0$

$2 x - 2 = 0$
$2 x = 2$
$x = 1$

Число $x = 1$ належить області визначення функції.

3) Знайдемо область визначення функції:
$x - 10 \geq 0$
$x \geq 10$

Знайдемо нулі функції:
$x x - 10 = 0$
$x = 0, x - 10 = 0$
$x = 0$ (не належить області визначення, оскільки $x \geq 10$ )
$x - 10 = 0$
$x = 10$

Число $x = 10$ належить області визначення функції.

Відповідь: 1) нулів немає; 2) $x = 1$ ; 3) $x = 10$ .

№ 14. Знайдіть проміжок, на якому функція $f (x) = 3 x + 6$ набуває:
1) додатних значень;
2) від’ємних значень.

Розв’язання:

1) Функція набуває додатних значень, коли $f (x) > 0$ :
$3 x + 6 > 0$
$3 x > - 6$
$x > - 2$
$x \in (- 2; + \infty)$

2) Функція набуває від’ємних значень, коли $f (x) < 0$ :
$3 x + 6 < 0$
$3 x < - 6$
$x < - 2$
$x \in (- \infty; - 2)$

Відповідь: 1) $(- 2; + \infty)$ ; 2) $(- \infty; - 2)$ .

№ 15. Побудуйте графік функції та вкажіть її властивості:
1) $g (x) = \frac{8}{∣ x ∣}$ ;
2) $f (x) = 2∣ x ∣ - 6$ .

Розв’язання:

1) $g (x) = \frac{8}{∣ x ∣}$

Розкриємо знак модуля:
$g (x) = ⎩ ⎨ ⎧ \frac{8}{x}, - \frac{8}{x}, якщо x > 0 якщо x < 0$

Таблиця значень для $x > 0$ :

$x$	$1$	$2$	$4$	$8$
$y$	$8$	$4$	$2$	$1$

Таблиця значень для $x < 0$ :

$x$	$- 8$	$- 4$	$- 2$	$- 1$
$y$	$1$	$2$	$4$	$8$

Графік до вправи № 15 (рис. 1) - Алгебра 9 клас

Властивості функції $g (x) = \frac{8}{∣ x ∣}$ :

1) Область визначення: $D (g) = (- \infty; 0) \cup (0; + \infty)$ .

2) Область значень: $E (g) = (0; + \infty)$ .

3) Нулів функції немає.

4) $g (x) > 0$ при $x \in (- \infty; 0) \cup (0; + \infty)$ .

5) Функція зростає на $(- \infty; 0)$ і спадає на $(0; + \infty)$ .

6) Функція парна (графік симетричний відносно осі ординат).

2) $f (x) = 2∣ x ∣ - 6$

Розкриємо знак модуля:
$f (x) = {2 x - 6, - 2 x - 6, якщо x \geq 0 якщо x < 0$

Таблиця значень:

$x$	$- 4$	$- 3$	$0$	$3$	$4$
$y$	$2$	$0$	$- 6$	$0$	$2$

Графік до вправи № 15 (рис. 2) - Алгебра 9 клас

Властивості функції $f (x) = 2∣ x ∣ - 6$ :

1) Область визначення: $D (f) = (- \infty; + \infty)$ .

2) Область значень: $E (f) = [- 6; + \infty)$ .

3) Нулі функції: $x = - 3$ та $x = 3$ .

4) $f (x) > 0$ при $x \in (- \infty; - 3) \cup (3; + \infty)$ ; $f (x) < 0$ при $x \in (- 3; 3)$ .

5) Функція спадає на $(- \infty; 0]$ і зростає на $[0; + \infty)$ .

6) Функція парна (графік симетричний відносно осі ординат).

Відповідь: графіки побудовано, властивості функцій вказано.

№ 16. Як із графіка функції $y = ∣ x ∣$ отримати графік функції:
1) $y = ∣ x ∣ + 4$ ;
2) $y = ∣ x ∣ - 3$ ;
3) $y = ∣ x + 2∣$ ;
4) $y = ∣ x - 3∣$ ;
5) $y = - ∣ x ∣$ ;
6) $y = 3∣ x ∣$ ?

Розв’язання:

1) Графік функції $y = ∣ x ∣ + 4$ отримують за допомогою паралельного перенесення графіка функції $y = ∣ x ∣$ уздовж осі $O y$ на 4 одиниці вгору.

2) Графік функції $y = ∣ x ∣ - 3$ отримують за допомогою паралельного перенесення графіка функції $y = ∣ x ∣$ уздовж осі $O y$ на 3 одиниці вниз.

3) Графік функції $y = ∣ x + 2∣$ отримують за допомогою паралельного перенесення графіка функції $y = ∣ x ∣$ уздовж осі $O x$ на 2 одиниці вліво.

4) Графік функції $y = ∣ x - 3∣$ отримують за допомогою паралельного перенесення графіка функції $y = ∣ x ∣$ уздовж осі $O x$ на 3 одиниці вправо.

5) Графік функції $y = - ∣ x ∣$ отримують за допомогою симетричного відображення графіка функції $y = ∣ x ∣$ відносно осі $O x$ .

6) Графік функції $y = 3∣ x ∣$ отримують за допомогою розтягнення графіка функції $y = ∣ x ∣$ від осі $O x$ у 3 рази.

Відповідь:

1) паралельним перенесенням уздовж осі $O y$ на 4 одиниці вгору;

2) паралельним перенесенням уздовж осі $O y$ на 3 одиниці вниз;

3) паралельним перенесенням уздовж осі $O x$ на 2 одиниці вліво;

4) паралельним перенесенням уздовж осі $O x$ на 3 одиниці вправо;

5) симетрією відносно осі $O x$ ;

6) розтягненням від осі $O x$ у 3 рази.

№ 17. Побудуйте в одній системі координат графіки функцій:

1) $y = 2 x$ , $y = 2 x - 3$ , $y = 2 x + 3$ ;

2) $y = x^{2}$ , $y = (x - 2)^{2}$ , $y = (x + 2)^{2}$ .

Розв’язання:

1) Графіками функцій $y = 2 x$ , $y = 2 x - 3$ та $y = 2 x + 3$ є паралельні прямі з кутовим коефіцієнтом $k = 2$ .

Таблиці опорних точок для побудови прямих:

Для $y = 2 x$ :

$x$	$0$	$1$
$y$	$0$	$2$

Для $y = 2 x - 3$ :

$x$	$0$	$2$
$y$	$- 3$	$1$

Для $y = 2 x + 3$ :

$x$	$0$	$- 1$
$y$	$3$	$1$

Графік до вправи № 17 (рис. 1) - Алгебра 9 клас

2) Графіками є параболи, вітки яких напрямлені вгору:

$y = x^{2}$ — базова парабола з вершиною в точці $(0; 0)$ ;
$y = (x - 2)^{2}$ — парабола, отримана паралельним перенесенням графіка $y = x^{2}$ уздовж осі $O x$ на 2 одиниці праворуч (вершина в точці $(2; 0)$ );
$y = (x + 2)^{2}$ — парабола, отримана паралельним перенесенням графіка $y = x^{2}$ уздовж осі $O x$ на 2 одиниці ліворуч (вершина в точці $(- 2; 0)$ ).

Таблиця значень для базової параболи $y = x^{2}$ :

$x$	$- 2$	$- 1$	$0$	$1$	$2$
$y$	$4$	$1$	$0$	$1$	$4$

Графік до вправи № 17 (рис. 2) - Алгебра 9 клас

Відповідь: графіки побудовано.

№ 18. Побудуйте графіки функцій:
1) $y = ∣ x - 1∣ + 2$ ;
2) $y = 3 - ∣ x ∣$ ;
3) $y = ∣ x + 2∣ - 1$ ;
4) $y = - ∣ x ∣ - 1$ ;
5) $y = - 4 + ∣ x - 2∣$ ;
6) $y = ∣ x + 1∣ + 3$ .

Розв’язання:

Графіком кожної з функцій є кут (графік модуля), отриманий паралельним перенесенням графіка базової функції $y = ∣ x ∣$ або $y = - ∣ x ∣$ .

1) $y = ∣ x - 1∣ + 2$
Графік функції $y = ∣ x ∣$ перенесено на 1 одиницю праворуч уздовж осі $O x$ та на 2 одиниці вгору уздовж осі $O y$ . Вершина кута в точці $(1; 2)$ , вітки спрямовані вгору.

Таблиця опорних точок:

$x$	$- 1$	$0$	$1$	$2$	$3$
$y$	$4$	$3$	$2$	$3$	$4$

Графік до вправи № 18 (рис. 1) - Алгебра 9 клас

2) $y = 3 - ∣ x ∣ = - ∣ x ∣ + 3$
Графік функції $y = - ∣ x ∣$ перенесено на 3 одиниці вгору уздовж осі $O y$ . Вершина кута в точці $(0; 3)$ , вітки спрямовані вниз.

Таблиця опорних точок:

$x$	$- 2$	$- 1$	$0$	$1$	$2$
$y$	$1$	$2$	$3$	$2$	$1$

Графік до вправи № 18 (рис. 2) - Алгебра 9 клас

3) $y = ∣ x + 2∣ - 1$
Графік функції $y = ∣ x ∣$ перенесено на 2 одиниці ліворуч уздовж осі $O x$ та на 1 одиницю вниз уздовж осі $O y$ . Вершина кута в точці $(- 2; - 1)$ , вітки спрямовані вгору.

Таблиця опорних точок:

$x$	$- 4$	$- 3$	$- 2$	$- 1$	$0$
$y$	$1$	$0$	$- 1$	$0$	$1$

Графік до вправи № 18 (рис. 3) - Алгебра 9 клас

4) $y = - ∣ x ∣ - 1$
Графік функції $y = - ∣ x ∣$ перенесено на 1 одиницю вниз уздовж осі $O y$ . Вершина кута в точці $(0; - 1)$ , вітки спрямовані вниз.

Таблиця опорних точок:

$x$	$- 2$	$- 1$	$0$	$1$	$2$
$y$	$- 3$	$- 2$	$- 1$	$- 2$	$- 3$

Графік до вправи № 18 (рис. 4) - Алгебра 9 клас

5) $y = - 4 + ∣ x - 2∣ = ∣ x - 2∣ - 4$
Графік функції $y = ∣ x ∣$ перенесено на 2 одиниці праворуч уздовж осі $O x$ та на 4 одиниці вниз уздовж осі $O y$ . Вершина кута в точці $(2; - 4)$ , вітки спрямовані вгору.

Таблиця опорних точок:

$x$	$0$	$1$	$2$	$3$	$4$
$y$	$- 2$	$- 3$	$- 4$	$- 3$	$- 2$

Графік до вправи № 18 (рис. 5) - Алгебра 9 клас

6) $y = ∣ x + 1∣ + 3$
Графік функції $y = ∣ x ∣$ перенесено на 1 одиницю ліворуч уздовж осі $O x$ та на 3 одиниці вгору уздовж осі $O y$ . Вершина кута в точці $(- 1; 3)$ , вітки спрямовані вгору.

Таблиця опорних точок:

$x$	$- 3$	$- 2$	$- 1$	$0$	$1$
$y$	$5$	$4$	$3$	$4$	$5$

Графік до вправи № 18 (рис. 6) - Алгебра 9 клас

Відповідь: графіки побудовано.

№ 19. Побудуйте графіки функцій:

1) $y = 3 x$ ;
2) $y = \frac{1}{2} x$ ;
3) $y = - 3 x$ ;
4) $y = - \frac{1}{2} x$ .

Розв’язання:

1) $y = 3 x$
Область визначення: $x \geq 0$ .
Таблиця опорних точок:

$x$	$0$	$1$	$4$	$9$
$y$	$0$	$3$	$6$	$9$

Графік до вправи № 19 (рис. 1) - Алгебра 9 клас

2) $y = \frac{1}{2} x = 0, 5 x$
Область визначення: $x \geq 0$ .
Таблиця опорних точок:

$x$	$0$	$1$	$4$	$9$
$y$	$0$	$0, 5$	$1$	$1, 5$

Графік до вправи № 19 (рис. 2) - Алгебра 9 клас

3) $y = - 3 x$
Область визначення: $x \geq 0$ .
Таблиця опорних точок:

$x$	$0$	$1$	$4$	$9$
$y$	$0$	$- 3$	$- 6$	$- 9$

Графік до вправи № 19 (рис. 3) - Алгебра 9 клас

4) $y = - \frac{1}{2} x = - 0, 5 x$
Область визначення: $x \geq 0$ .
Таблиця опорних точок:

$x$	$0$	$1$	$4$	$9$
$y$	$0$	$- 0, 5$	$- 1$	$- 1, 5$

Графік до вправи № 19 (рис. 4) - Алгебра 9 клас

Відповідь: графіки побудовано.

№ 20. Побудуйте графік функції $y = \frac{12}{x + 3} - 4$ . За графіком знайдіть:
1) область значень функції;
2) нулі функції;
3) проміжки зростання функції;
4) проміжки спадання функції;
5) значення $x$ , за яких функція набуває додатних значень;
6) значення $x$ , за яких функція набуває від’ємних значень;
7) за допомогою програми для побудови графіків переконайтеся в правильності визначених властивостей функції.

Розв’язання:

Графіком функції $y = \frac{12}{x + 3} - 4$ є гіпербола, отримана з графіка функції $y = \frac{12}{x}$ паралельним перенесенням на $3$ одиниці вліво вздовж осі $O x$ та на $4$ одиниці вниз уздовж осі $O y$ .

Асимптоти графіка: $x = - 3$ та $y = - 4$ .

Таблиця опорних точок:

$x$	$- 9$	$- 7$	$- 6$	$- 5$	$- 2$	$- 1$	$0$	$1$	$3$
$y$	$- 6$	$- 7$	$- 8$	$- 10$	$8$	$2$	$0$	$- 1$	$- 2$

За графіком:

1) Область значень функції:
$E (y) = (- \infty; - 4) \cup (- 4; + \infty)$

2) Нулі функції (значення $x$ , при яких $y = 0$ ):
$\frac{12}{x + 3} - 4 = 0$
$\frac{12}{x + 3} = 4$
$x + 3 = 3$
$x = 0$

3) Проміжків зростання функції немає.

4) Проміжки спадання функції:
функція спадає на кожному з проміжків $(- \infty; - 3)$ та $(- 3; + \infty)$ .

5) Функція набуває додатних значень ( $y > 0$ ), якщо:
$x \in (- 3; 0)$

6) Функція набуває від’ємних значень ( $y < 0$ ), якщо:
$x \in (- \infty; - 3) \cup (0; + \infty)$

7) Перевірку побудови та визначених властивостей у програмі для побудови графіків виконано.

Відповідь: 1) $E (y) = (- \infty; - 4) \cup (- 4; + \infty)$ ; 2) $x = 0$ ; 3) таких проміжків немає; 4) спадає на $(- \infty; - 3)$ та $(- 3; + \infty)$ ; 5) $x \in (- 3; 0)$ ; 6) $x \in (- \infty; - 3) \cup (0; + \infty)$ ; 7) перевірено.

№ 21. 1) Побудуйте графік функції $y = ∣∣ x - 1∣ - 2∣$ .
2) Використовуючи графік, знайдіть такі значення $a$ , за яких рівняння $∣∣ x - 1∣ - 2∣ = a$ має рівно три корені.
3) За допомогою програми для побудови графіків перевірте правильність розв’язування.

Розв’язання:

1) Складемо таблицю значень для побудови графіка функції $y = ∣∣ x - 1∣ - 2∣$ :

$x$	$- 3$	$- 2$	$- 1$	$0$	$1$	$2$	$3$	$4$	$5$
$y$	$2$	$1$	$0$	$1$	$2$	$1$	$0$	$1$	$2$

2) Кількість коренів рівняння $∣∣ x - 1∣ - 2∣ = a$ дорівнює кількості точок перетину графіка функції $y = ∣∣ x - 1∣ - 2∣$ із горизонтальною прямою $y = a$ :

при $a < 0$ — $0$ коренів;
при $a = 0$ — $2$ корені ( $x = - 1$ та $x = 3$ );
при $0 < a < 2$ — $4$ корені;
при $a = 2$ — рівно $3$ корені ( $x = - 3$ , $x = 1$ , $x = 5$ );
при $a > 2$ — $2$ корені.

Отже, рівняння має рівно три корені при $a = 2$ .

3) Перевірку виконано за допомогою графічної програми.

Відповідь: 2) $a = 2$ .

№ 22. Угору чи вниз спрямовані гілки параболи:
1) $y = 3 x^{2} - 2 x + 7$ ;
2) $y = - x^{2} + 5 x + 9$ ;
3) $y = - 5 x^{2}$ ;
4) $y = 0, 01 x^{2} + 5$ ?

Розв’язання:

Напрямок гілок параболи $y = a x^{2} + b x + c$ визначається знаком коефіцієнта $a$ :

1) $a = 3 > 0$ , тому гілки параболи спрямовані вгору.

2) $a = - 1 < 0$ , тому гілки параболи спрямовані вниз.

3) $a = - 5 < 0$ , тому гілки параболи спрямовані вниз.

4) $a = 0, 01 > 0$ , тому гілки параболи спрямовані вгору.

Відповідь: 1) вгору; 2) вниз; 3) вниз; 4) вгору.

№ 23. Чи належить графіку функції $y = 20 x^{2}$ точка:
1) $A (2; 40)$ ;
2) $B (- 0, 1; 2)$ ;
3) $C (- 5; - 100)$ ;
4) $D (\frac{1}{2}; 5)$ ?

Розв’язання:

Підставимо координати кожної точки у формулу функції $y = 20 x^{2}$ :

1) $y = 20 \cdot (2)^{2} = 20 \cdot 2 = 40$
$40 = 40$ — рівність правильна, точка $A$ належить графіку.

2) $y = 20 \cdot (- 0, 1)^{2} = 20 \cdot 0, 01 = 0, 2$
$0, 2 \neq = 2$ — рівність неправильна, точка $B$ не належить графіку.

3) $y = 20 \cdot (- 5)^{2} = 20 \cdot 5 = 100$
$100 \neq = - 100$ — рівність неправильна, точка $C$ не належить графіку.

4) $y = 20 \cdot (\frac{1}{2})^{2} = 20 \cdot \frac{1}{4} = 5$
$5 = 5$ — рівність правильна, точка $D$ належить графіку.

Відповідь: 1) так; 2) ні; 3) ні; 4) так.

№ 24. Знайдіть координати вершини параболи:
1) $y = x^{2} + 2 x - 7$ ;
2) $y = - 3 x^{2} + 9 x + 4$ .

Розв’язання:

1) Для параболи $y = x^{2} + 2 x - 7$ ( $a = 1$ , $b = 2$ , $c = - 7$ ):
$x_{в} = - \frac{b}{2 a} = - \frac{2}{2 \cdot 1} = - 1$
$y_{в} = (- 1)^{2} + 2 \cdot (- 1) - 7 = 1 - 2 - 7 = - 8$
Координати вершини: $(- 1; - 8)$ .

2) Для параболи $y = - 3 x^{2} + 9 x + 4$ ( $a = - 3$ , $b = 9$ , $c = 4$ ):
$x_{в} = - \frac{b}{2 a} = - \frac{9}{2 \cdot ( - 3 )} = \frac{9}{6} = 1, 5$
$y_{в} = - 3 \cdot 1, 5^{2} + 9 \cdot 1, 5 + 4 = - 3 \cdot 2, 25 + 13, 5 + 4 = - 6, 75 + 17, 5 = 10, 75 = 10 \frac{3}{4}$
Координати вершини: $(1, 5; 10 \frac{3}{4})$ .

Відповідь: 1) $(- 1; - 8)$ ; 2) $(1, 5; 10 \frac{3}{4})$ .

№ 25. Знайдіть нулі квадратичної функції:
1) $y = x^{2} + 4 x + 3$ ;
2) $y = - 2 x^{2} - 3 x - 1$ ;
3) $y = x^{2} + 2 x - 8$ ;
4) $y = x^{2} - \frac{4}{3} x + \frac{1}{3}$ .

Розв’язання:

Нулями функції є значення змінної $x$ , при яких $y = 0$ :

1) $x^{2} + 4 x + 3 = 0$
За теоремою Вієта:
$x_{1} = - 3$
$x_{2} = - 1$

2) $- 2 x^{2} - 3 x - 1 = 0$
Помножимо обидві частини на $- 1$ :
$2 x^{2} + 3 x + 1 = 0$
$D = 3^{2} - 4 \cdot 2 \cdot 1 = 9 - 8 = 1$
$x_{1} = \frac{- 3 - 1}{2 \cdot 2} = \frac{- 4}{4} = - 1$
$x_{2} = \frac{- 3 + 1}{2 \cdot 2} = \frac{- 2}{4} = - 0, 5$

3) $x^{2} + 2 x - 8 = 0$
За теоремою Вієта:
$x_{1} = - 4$
$x_{2} = 2$

4) $x^{2} - \frac{4}{3} x + \frac{1}{3} = 0$
Помножимо обидві частини на $3$ :
$3 x^{2} - 4 x + 1 = 0$
$D = (- 4)^{2} - 4 \cdot 3 \cdot 1 = 16 - 12 = 4$
$x_{1} = \frac{4 - 2}{2 \cdot 3} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$
$x_{2} = \frac{4 + 2}{2 \cdot 3} = \frac{6}{6} = 1$

Відповідь: 1) $- 3; - 1$ ; 2) $- 1; - 0, 5$ ; 3) $- 4; 2$ ; 4) $\frac{1}{3}; 1$ .

№ 26. Побудуйте графік функції:

1) $y = x^{2} - 4 x$ ;

2) $y = 2 x - x^{2}$ ;

3) $y = x^{2} - 2 x + 3$ ;

4) $y = - x^{2} + 6 x - 8$ .

Розв’язання:

1) Графіком функції $y = x^{2} - 4 x$ є парабола, вітки якої напрямлені вгору ( $a = 1 > 0$ ).
Координати вершини:
$x_{в} = - \frac{- 4}{2 \cdot 1} = 2$
$y_{в} = 2^{2} - 4 \cdot 2 = - 4$
Вершина: $(2; - 4)$ .

$x$	$0$	$1$	$2$	$3$	$4$
$y$	$0$	$- 3$	$- 4$	$- 3$	$0$

Графік до вправи № 26 (рис. 1) - Алгебра 9 клас

2) Графіком функції $y = - x^{2} + 2 x$ є парабола, вітки якої напрямлені вниз ( $a = - 1 < 0$ ).
Координати вершини:
$x_{в} = - \frac{2}{2 \cdot ( - 1 )} = 1$
$y_{в} = 2 \cdot 1 - 1^{2} = 1$
Вершина: $(1; 1)$ .

$x$	$- 1$	$0$	$1$	$2$	$3$
$y$	$- 3$	$0$	$1$	$0$	$- 3$

Графік до вправи № 26 (рис. 2) - Алгебра 9 клас

3) Графіком функції $y = x^{2} - 2 x + 3$ є парабола, вітки якої напрямлені вгору ( $a = 1 > 0$ ).
Координати вершини:
$x_{в} = - \frac{- 2}{2 \cdot 1} = 1$
$y_{в} = 1^{2} - 2 \cdot 1 + 3 = 2$
Вершина: $(1; 2)$ .

$x$	$- 1$	$0$	$1$	$2$	$3$
$y$	$6$	$3$	$2$	$3$	$6$

Графік до вправи № 26 (рис. 3) - Алгебра 9 клас

4) Графіком функції $y = - x^{2} + 6 x - 8$ є парабола, вітки якої напрямлені вниз ( $a = - 1 < 0$ ).
Координати вершини:
$x_{в} = - \frac{6}{2 \cdot ( - 1 )} = 3$
$y_{в} = - 3^{2} + 6 \cdot 3 - 8 = 1$
Вершина: $(3; 1)$ .

$x$	$1$	$2$	$3$	$4$	$5$
$y$	$- 3$	$0$	$1$	$0$	$- 3$

Графік до вправи № 26 (рис. 4) - Алгебра 9 клас

Відповідь: графіки побудовано.

№ 27. Побудуйте графік функції $f (x) = 2 x^{2} + 4 x$ . За графіком знайдіть:

1) $f (1)$ , $f (- 0, 5)$ , $f (- 2, 5)$ ;

2) значення $x$ , за яких $f (x) = 6$ , $f (x) = - 2$ , $f (x) = 2$ ;

3) нулі функції;

4) розв’язки нерівностей $f (x) < 0$ і $f (x) > 0$ ;

5) найбільше і найменше значення функції;

6) область значень функції;

7) проміжок зростання і проміжок спадання функції.

Розв’язання:

Графіком функції є парабола, вітки якої напрямлені вгору ( $a = 2 > 0$ ).
Координати вершини:
$x_{в} = - \frac{4}{2 \cdot 2} = - 1$
$y_{в} = 2 \cdot (- 1)^{2} + 4 \cdot (- 1) = - 2$
Вершина: $(- 1; - 2)$ .

$x$	$- 3$	$- 2$	$- 1$	$0$	$1$
$f (x)$	$6$	$0$	$- 2$	$0$	$6$

За побудованим графіком знаходимо:

1) $f (1) = 6$
$f (- 0, 5) = - 1, 5$
$f (- 2, 5) = 2, 5$

2) $f (x) = 6$ при $x = - 3$ або $x = 1$
$f (x) = - 2$ при $x = - 1$
$f (x) = 2$ при $x \approx - 2, 4$ або $x \approx 0, 4$

3) Нулі функції (точки перетину графіка з віссю $O x$ ):
$x_{1} = - 2$ , $x_{2} = 0$

4) $f (x) < 0$ при $x \in (- 2; 0)$
$f (x) > 0$ при $x \in (- \infty; - 2) \cup (0; + \infty)$

5) Найбільшого значення функція не має
Найменше значення функції: $y_{m i n} = - 2$ (при $x = - 1$ )

6) Область значень функції:
$E (f) = [- 2; + \infty)$

7) Функція спадає на проміжку $(- \infty; - 1]$
Функція зростає на проміжку $[- 1; + \infty)$

Відповідь: 1) $f (1) = 6$ ; $f (- 0, 5) = - 1, 5$ ; $f (- 2, 5) = 2, 5$ ; 2) $f (x) = 6$ при $x = - 3$ та $x = 1$ ; $f (x) = - 2$ при $x = - 1$ ; $f (x) = 2$ при $x \approx - 2, 4$ та $x \approx 0, 4$ ; 3) $- 2$ ; $0$ ; 4) $f (x) < 0$ при $x \in (- 2; 0)$ ; $f (x) > 0$ при $x \in (- \infty; - 2) \cup (0; + \infty)$ ; 5) найбільшого немає; найменше дорівнює $- 2$ ; 6) $[- 2; + \infty)$ ; 7) спадає на $(- \infty; - 1]$ , зростає на $[- 1; + \infty)$ .

№ 28. Графіку функції $y = - 2 x^{2} + 3 x + c$ належить точка $A (- 1; 4)$ . Знайдіть коефіцієнт $c$ .

Розв’язання:

Підставимо координати точки $A (- 1; 4)$ у формулу функції:
$4 = - 2 \cdot (- 1)^{2} + 3 \cdot (- 1) + c$
$4 = - 2 \cdot 1 - 3 + c$
$4 = - 5 + c$
$c = 4 + 5$
$c = 9$

Відповідь: $9$ .

№ 29. За якого значення $a$ вісь симетрії параболи $y = a x^{2} + 8 x + 1$ проходить через точку $A (2; - 3)$ ?

Розв’язання:

Вісь симетрії параболи задається рівнянням $x = x_{в}$ , де $x_{в}$ — абсциса вершини:
$x_{в} = - \frac{b}{2 a} = - \frac{8}{2 a} = - \frac{4}{a}$

Оскільки вісь симетрії проходить через точку $A (2; - 3)$ , її рівнянням є вертикальна пряма $x = 2$ .
Складемо рівняння:
$- \frac{4}{a} = 2$
$2 a = - 4$
$a = - 2$

Відповідь: $- 2$ .

№ 30. Знайдіть область значень функції:

1) $y = \frac{1}{2} x^{2}$ , якщо $x \in [- 2; 4]$ ;

2) $y = - \frac{1}{3} x^{2}$ , якщо $x \in [- 9; 3]$ .

Розв’язання:

1) Графіком функції $y = \frac{1}{2} x^{2}$ є парабола з вершиною в точці $(0; 0)$ , вітки якої напрямлені вгору.
Оскільки точка $x = 0$ належить проміжку $[- 2; 4]$ , то найменшого значення функція набуває у вершині:
$y (0) = \frac{1}{2} \cdot 0^{2} = 0$

Знайдемо значення функції на кінцях проміжку:
$y (- 2) = \frac{1}{2} \cdot (- 2)^{2} = \frac{1}{2} \cdot 4 = 2$
$y (4) = \frac{1}{2} \cdot 4^{2} = \frac{1}{2} \cdot 16 = 8$

Найбільше значення функції на проміжку дорівнює $8$ .
Отже, область значень: $[0; 8]$ .

2) Графіком функції $y = - \frac{1}{3} x^{2}$ є парабола з вершиною в точці $(0; 0)$ , вітки якої напрямлені вниз.
Оскільки точка $x = 0$ належить проміжку $[- 9; 3]$ , то найбільшого значення функція набуває у вершині:
$y (0) = - \frac{1}{3} \cdot 0^{2} = 0$

Знайдемо значення функції на кінцях проміжку:
$y (- 9) = - \frac{1}{3} \cdot (- 9)^{2} = - \frac{1}{3} \cdot 81 = - 27$
$y (3) = - \frac{1}{3} \cdot 3^{2} = - \frac{1}{3} \cdot 9 = - 3$

Найменше значення функції на проміжку дорівнює $- 27$ .
Отже, область значень: $[- 27; 0]$ .

Відповідь: 1) $[0; 8]$ ; 2) $[- 27; 0]$ .

№ 31. На параболі $y = x^{2} - 3 x$ знайдіть такі точки, у яких різниця ординати й абсциси дорівнює $5$ .

Розв’язання:
За умовою різниця ординати й абсциси дорівнює $5$ , тобто $y - x = 5$ , звідки $y = x + 5$ .

Складемо та розв’яжемо систему рівнянь:

{y = x^{2} - 3 x y = x + 5

Прирівняємо вирази для $y$ :
$x^{2} - 3 x = x + 5$
$x^{2} - 4 x - 5 = 0$

За теоремою Вієта:
$x_{1} = 5, x_{2} = - 1$

Знайдемо відповідні значення ординат:

1) Якщо $x = 5$ , то $y = 5 + 5 = 10$ . Маємо точку $(5; 10)$ .

2) Якщо $x = - 1$ , то $y = - 1 + 5 = 4$ . Маємо точку $(- 1; 4)$ .

Відповідь: $(5; 10)$ , $(- 1; 4)$ .

№ 32. За яких $p$ і $q$ графік функції $y = x^{2} + p x + q$ проходить через точки $A (- 2; 22)$ і $B (1; 4)$ ?

Розв’язання:

Оскільки графік функції проходить через точки $A (- 2; 22)$ і $B (1; 4)$ , їхні координати задовольняють рівняння функції. Складемо систему рівнянь:

{(- 2)^{2} + p \cdot (- 2) + q = 22 1^{2} + p \cdot 1 + q = 4

{4 - 2 p + q = 22 1 + p + q = 4

{- 2 p + q = 18 p + q = 3

Віднімемо друге рівняння від першого:

$(- 2 p - p) + (q - q) = 18 - 3$
$- 3 p = 15$
$p = \frac{15}{- 3}$
$p = - 5$

Підставимо значення $p = - 5$ у друге рівняння:

$- 5 + q = 3$
$q = 3 + 5$
$q = 8$

Відповідь: $p = - 5$ ; $q = 8$ .

№ 33. Побудуйте графік функції:

1) $y = ⎩ ⎨ ⎧ - x^{2}, якщо x < - 2, 2 x, якщо - 2 \leq x \leq 2, x^{2}, якщо x > 2;$

2) $y = \frac{x ^{3} + 3 x ^{2} - 4 x}{x}$ .

Розв’язання:

1) Графік функції кусково-заданий і складається з трьох частин:

при $x < - 2$ — вітка параболи $y = - x^{2}$ ;
при $- 2 \leq x \leq 2$ — відрізок прямої $y = 2 x$ ;
при $x > 2$ — вітка параболи $y = x^{2}$ .

Знайдемо значення функції на стиках проміжків:

при $x = - 2$ : $- (- 2)^{2} = - 4$ та $2 \cdot (- 2) = - 4$ (точки стику збігаються);
при $x = 2$ : $2 \cdot 2 = 4$ та $2^{2} = 4$ (точки стику збігаються).

Складемо таблиці значень:

Для $y = - x^{2}$ при $x \leq - 2$ :

$x$	$- 4$	$- 3$	$- 2$
$y$	$- 16$	$- 9$	$- 4$

Для $y = 2 x$ при $- 2 \leq x \leq 2$ :

$x$	$- 2$	$0$	$2$
$y$	$- 4$	$0$	$4$

Для $y = x^{2}$ при $x \geq 2$ :

$x$	$2$	$3$	$4$
$y$	$4$	$9$	$16$

Графік до вправи № 33 (рис. 1) - Алгебра 9 клас

2) Знайдемо область визначення функції $y = \frac{x ^{3} + 3 x ^{2} - 4 x}{x}$ :
$x \neq = 0$
$D (y) = (- \infty; 0) \cup (0; + \infty)$

Спростимо вираз функції при $x \neq = 0$ :
$y = \frac{x ( x ^{2} + 3 x - 4 )}{x}$
$y = x^{2} + 3 x - 4$

Графіком є парабола $y = x^{2} + 3 x - 4$ із виколотою точкою при $x = 0$ .

Координати вершини параболи:
$x_{в} = - \frac{b}{2 a} = - \frac{3}{2 \cdot 1} = - 1, 5$
$y_{в} = (- 1, 5)^{2} + 3 \cdot (- 1, 5) - 4 = 2, 25 - 4, 5 - 4 = - 6, 25$
Вершина: $(- 1, 5; - 6, 25)$ .

Виколота точка:
при $x = 0$ : $y = 0^{2} + 3 \cdot 0 - 4 = - 4$
$(0; - 4)$ — виколота точка.

Нулі функції ( $y = 0$ ):
$x^{2} + 3 x - 4 = 0$
За теоремою Вієта:
$x_{1} = - 4, x_{2} = 1$

Таблиця опорних точок:

$x$	$- 4$	$- 3$	$- 2$	$- 1, 5$	$- 1$	$0$ (виколота)	$1$	$2$
$y$	$0$	$- 4$	$- 6$	$- 6, 25$	$- 6$	$- 4$	$0$	$6$

Графік до вправи № 33 (рис. 2) - Алгебра 9 клас

Відповідь: графіки побудовано.

№ 34. Розв’яжіть графічно рівняння $x^{2} - 4 x + 3 = \frac{12}{x}$ . За допомогою програми для побудови графіків перевірте правильність розв’язування.

Розв’язання:

Побудуємо в одній системі координат графіки функцій $y = x^{2} - 4 x + 3$ та $y = \frac{12}{x}$ .

1) Графіком функції $y = x^{2} - 4 x + 3$ є парабола, вітки якої напрямлені вгору.
Координати вершини параболи:
$x_{в} = - \frac{- 4}{2 \cdot 1} = 2$
$y_{в} = 2^{2} - 4 \cdot 2 + 3 = - 1$
Вершина — точка $(2; - 1)$ .

Таблиця значень для побудови параболи:

$x$	$- 1$	$0$	$1$	$2$	$3$	$4$	$5$
$y$	$8$	$3$	$0$	$- 1$	$0$	$3$	$8$

2) Графіком функції $y = \frac{12}{x}$ є гіпербола, вітки якої розміщені в I та III координатних чвертях ( $x \neq = 0$ ).

Таблиця значень для побудови гіперболи:

$x$	$- 6$	$- 4$	$- 3$	$- 2$	$2$	$3$	$4$	$6$
$y$	$- 2$	$- 3$	$- 4$	$- 6$	$6$	$4$	$3$	$2$

Графіки перетинаються в одній точці з координатами $(4; 3)$ .
Абсциса цієї точки є розв’язком рівняння:
$x = 4$

Відповідь: $4$ .

№ 35. Знайдіть найбільше значення функції $y = - 2 x^{2} + 6 x - 5$ , областю визначення якої є проміжок:
1) $[0; 2]$ ;
2) $[2; 4]$ .

Розв’язання:

Графіком квадратичної функції $y = - 2 x^{2} + 6 x - 5$ є парабола, вітки якої напрямлені вниз ( $a = - 2 < 0$ ).

Знайдемо абсцису вершини параболи:
$x_{0} = - \frac{b}{2 a}$
$x_{0} = - \frac{6}{2 \cdot ( - 2 )} = \frac{6}{4} = 1, 5$

1) Оскільки $1, 5 \in [0; 2]$ , то найбільшого значення на цьому проміжку функція набуває у вершині параболи:
$y_{найб} = y (1, 5)$
$y (1, 5) = - 2 \cdot (1, 5)^{2} + 6 \cdot 1, 5 - 5$
$y (1, 5) = - 2 \cdot 2, 25 + 9 - 5$
$y (1, 5) = - 4, 5 + 4 = - 0, 5$

2) Оскільки $x_{0} = 1, 5 < 2$ , то на проміжку $[2; 4]$ функція спадає.
Отже, найбільшого значення функція набуває на лівому кінці проміжку, тобто при $x = 2$ :
$y_{найб} = y (2)$
$y (2) = - 2 \cdot 2^{2} + 6 \cdot 2 - 5$
$y (2) = - 2 \cdot 4 + 12 - 5$
$y (2) = - 8 + 7 = - 1$

Відповідь: 1) $- 0, 5$ ; 2) $- 1$ .

№ 36. На малюнку 1 зображено графік функції $y = a x^{2} + b x + c$ . Використовуючи малюнок, для кожного з випадків 1)–4) укажіть знаки коефіцієнтів $a, b, c$ та дискримінанта $D$ квадратного тричлена $a x^{2} + b x + c$ .

Розв’язання:

Знак коефіцієнта $a$ визначається напрямком віток параболи.
Знак коефіцієнта $c$ визначається точкою перетину параболи з віссю $O y$ (при $x = 0$ маємо $y = c$ ).
Абсциса вершини параболи дорівнює $x_{в} = - \frac{b}{2 a}$ , звідки знак $b$ залежить від знаків $x_{в}$ та $a$ .
Знак дискримінанта $D$ визначається кількістю точок перетину графіка з віссю $O x$ .

1) Вітки напрямлені вгору: $a > 0$ .
Парабола дотикається до осі $O x$ в одній точці: $D = 0$ .
Вершина лежить праворуч від осі $O y$ : $x_{в} > 0$ .
Оскільки $a > 0$ , то $- \frac{b}{2 a} > 0$ , звідки $b < 0$ .
Точка перетину з віссю $O y$ лежить вище осі $O x$ : $c > 0$ .
Отже: $a > 0$ , $b < 0$ , $c > 0$ , $D = 0$ .

2) Вітки напрямлені вниз: $a < 0$ .
Парабола перетинає вісь $O x$ у двох точках: $D > 0$ .
Вершина лежить ліворуч від осі $O y$ : $x_{в} < 0$ .
Оскільки $a < 0$ , то $- \frac{b}{2 a} < 0$ , тобто $\frac{b}{2 a} > 0$ , звідки $b < 0$ .
Точка перетину з віссю $O y$ лежить нижче осі $O x$ : $c < 0$ .
Отже: $a < 0$ , $b < 0$ , $c < 0$ , $D > 0$ .

3) Вітки напрямлені вгору: $a > 0$ .
Парабола не перетинає вісь $O x$ : $D < 0$ .
Вершина лежить ліворуч від осі $O y$ : $x_{в} < 0$ .
Оскільки $a > 0$ , то $- \frac{b}{2 a} < 0$ , звідки $b > 0$ .
Точка перетину з віссю $O y$ лежить вище осі $O x$ : $c > 0$ .
Отже: $a > 0$ , $b > 0$ , $c > 0$ , $D < 0$ .

4) Вітки напрямлені вниз: $a < 0$ .
Парабола перетинає вісь $O x$ у двох точках: $D > 0$ .
Вершина лежить праворуч від осі $O y$ : $x_{в} > 0$ .
Оскільки $a < 0$ , то $- \frac{b}{2 a} > 0$ , тобто $\frac{b}{2 a} < 0$ , звідки $b > 0$ .
Точка перетину з віссю $O y$ лежить нижче осі $O x$ : $c < 0$ .
Отже: $a < 0$ , $b > 0$ , $c < 0$ , $D > 0$ .

Відповідь: 1) $a > 0$ , $b < 0$ , $c > 0$ , $D = 0$ ; 2) $a < 0$ , $b < 0$ , $c < 0$ , $D > 0$ ; 3) $a > 0$ , $b > 0$ , $c > 0$ , $D < 0$ ; 4) $a < 0$ , $b > 0$ , $c < 0$ , $D > 0$ .

№ 37. $D$ — дискримінант квадратного тричлена $a x^{2} + b x + c$ . Зобразіть схематично графік функції $y = a x^{2} + b x + c$ , якщо:

1) $a > 0$ , $b > 0$ , $c > 0$ , $D > 0$ ;

2) $a < 0$ , $c = 0$ , $- \frac{b}{2 a} > 0$ , $D > 0$ ;

3) $a < 0$ , $- \frac{b}{2 a} < 0$ , $D = 0$ ;

4) $a > 0$ , $b < 0$ , $D < 0$ .

Розв’язання:

1) $a > 0$ : вітки параболи напрямлені вгору.
$D > 0$ : парабола перетинає вісь $O x$ у двох точках.
$c > 0$ : графік перетинає вісь $O y$ вище початку координат.
$x_{в} = - \frac{b}{2 a} < 0$ (оскільки $a > 0, b > 0$ ): вершина лежить у другій координатній чверті.

Графік до вправи № 37 (рис. 1) - Алгебра 9 клас

2) $a < 0$ : вітки параболи напрямлені вниз.
$c = 0$ : парабола проходить через початок координат $(0; 0)$ .
$x_{в} = - \frac{b}{2 a} > 0$ : вершина лежить у першій координатній чверті.
$D > 0$ : парабола перетинає вісь $O x$ у двох точках, одна з яких $x = 0$ .

Графік до вправи № 37 (рис. 2) - Алгебра 9 клас

3) $a < 0$ : вітки параболи напрямлені вниз.
$D = 0$ : парабола має одну спільну точку з віссю $O x$ (дотикається до неї вершиною).
$x_{в} = - \frac{b}{2 a} < 0$ : вершина лежить на від’ємній півосі $O x$ .

Графік до вправи № 37 (рис. 3) - Алгебра 9 клас

4) $a > 0$ : вітки параболи напрямлені вгору.
$D < 0$ : графік не перетинає вісь $O x$ і повністю лежить вище неї.
$x_{в} = - \frac{b}{2 a} > 0$ (оскільки $a > 0, b < 0$ ): вершина лежить у першій координатній чверті.
$c > 0$ : графік перетинає вісь $O y$ вище нуля.

Графік до вправи № 37 (рис. 4) - Алгебра 9 клас

Відповідь: графіки зображено схематично.

№ 38. За яких значень $a$ функція $y = (a - 1) x^{2} + 2 x + 7$ набуває додатних значень для будь-якого значення $x$ ?

Розв’язання:

Розглянемо два випадки:

1) Якщо коефіцієнт при $x^{2}$ дорівнює нулю, тобто $a - 1 = 0$
$a = 1$ :
Функція набуває вигляду:
$y = 0 \cdot x^{2} + 2 x + 7$
$y = 2 x + 7$
Це лінійна функція, яка набуває як додатних, так і від’ємних значень на множині дійсних чисел. Отже, значення $a = 1$ не задовольняє умову задачі.

2) Якщо $a - 1 \neq = 0$ , тобто $a \neq = 1$ :
Функція є квадратичною. Вона набуває лише додатних значень ( $y > 0$ ) для будь-якого дійсного $x$ тоді й тільки тоді, коли вітки параболи напрямлені вгору ( $a - 1 > 0$ ), а дискримінант квадратного тричлена від’ємний ( $D < 0$ ):

${a - 1 > 0 D < 0$

Обчислимо дискримінант:
$D = 2^{2} - 4 \cdot (a - 1) \cdot 7$
$D = 4 - 28 (a - 1)$
$D = 4 - 28 a + 28$
$D = 32 - 28 a$

Складемо та розв’яжемо систему нерівностей:
${a > 1 32 - 28 a < 0$
${a > 1 - 28 a < - 32$
$⎩ ⎨ ⎧ a > 1 a > \frac{32}{28}$
$⎩ ⎨ ⎧ a > 1 a > \frac{8}{7}$
$a > \frac{8}{7}$

Відповідь: $a > \frac{8}{7}$ (або $a \in (\frac{8}{7}; + \infty)$ ).

№ 39. На малюнку 2 схематично зображено графік функції $y = x^{2} - 4$ . Використовуючи малюнок, запишіть розв’язки нерівності:

1) $x^{2} - 4 > 0$ ;

2) $x^{2} - 4 \geq 0$ ;

3) $x^{2} - 4 < 0$ ;

4) $x^{2} - 4 \leq 0$ .

Розв’язання:

Знайдемо нулі функції $y = x^{2} - 4$ :
$x^{2} - 4 = 0$
$x^{2} = 4$
$x = \pm 2$

Графіком функції є парабола, вітки якої напрямлені вгору, а точками перетину з віссю абсцис є $x = - 2$ та $x = 2$ .

1) Нерівність $x^{2} - 4 > 0$ виконується для тих значень $x$ , при яких графік лежить вище осі $O x$ :
$x \in (- \infty; - 2) \cup (2; + \infty)$

2) Нерівність $x^{2} - 4 \geq 0$ виконується для тих значень $x$ , при яких графік лежить вище осі $O x$ або перетинає її:
$x \in (- \infty; - 2] \cup [2; + \infty)$

3) Нерівність $x^{2} - 4 < 0$ виконується для тих значень $x$ , при яких графік лежить нижче осі $O x$ :
$x \in (- 2; 2)$

4) Нерівність $x^{2} - 4 \leq 0$ виконується для тих значень $x$ , при яких графік лежить нижче осі $O x$ або перетинає її:
$x \in [- 2; 2]$

Відповідь: 1) $(- \infty; - 2) \cup (2; + \infty)$ ; 2) $(- \infty; - 2] \cup [2; + \infty)$ ; 3) $(- 2; 2)$ ; 4) $[- 2; 2]$ .

№ 40. Розв’яжіть нерівність:

1) $x^{2} + 7 x > 0$ ;

2) $- x^{2} - 5 x \leq 0$ ;

3) $x^{2} - 1 < 0$ ;

4) $- x^{2} + 16 \geq 0$ .

Розв’язання:

1) $x^{2} + 7 x > 0$
Розглянемо функцію $y = x^{2} + 7 x$ . Вітки параболи напрямлені вгору ( $a = 1 > 0$ ).
Знайдемо нулі функції:
$x^{2} + 7 x = 0$
$x (x + 7) = 0$
$x = 0, x = - 7$

Графік до вправи № 40 (рис. 1) - Алгебра 9 клас

Нерівність строга, отже точки $- 7$ і $0$ не належать розв’язку.
$x \in (- \infty; - 7) \cup (0; + \infty)$

2) $- x^{2} - 5 x \leq 0$
Помножимо обидві частини нерівності на $- 1$ , змінивши знак нерівності:
$x^{2} + 5 x \geq 0$
Розглянемо функцію $y = x^{2} + 5 x$ . Вітки параболи напрямлені вгору ( $a = 1 > 0$ ).
Знайдемо нулі функції:
$x^{2} + 5 x = 0$
$x (x + 5) = 0$
$x = 0, x = - 5$

Графік до вправи № 40 (рис. 2) - Алгебра 9 клас

Нерівність нестрога, отже точки $- 5$ і $0$ входять до проміжків розв’язку.
$x \in (- \infty; - 5] \cup [0; + \infty)$

3) $x^{2} - 1 < 0$
Розглянемо функцію $y = x^{2} - 1$ . Вітки параболи напрямлені вгору ( $a = 1 > 0$ ).
Знайдемо нулі функції:
$x^{2} - 1 = 0$
$x^{2} = 1$
$x = 1, x = - 1$

Графік до вправи № 40 (рис. 3) - Алгебра 9 клас

Нерівність строга, функція набуває від’ємних значень між нулями.
$x \in (- 1; 1)$

4) $- x^{2} + 16 \geq 0$
Помножимо обидві частини нерівності на $- 1$ , змінивши знак нерівності:
$x^{2} - 16 \leq 0$
Розглянемо функ

Графік до вправи № 40 (рис. 4) - Алгебра 9 клас

№ 41. Знайдіть множину розв’язків нерівності:

1) $2 x^{2} + 3 x - 5 > 0$ ;

2) $3 x^{2} - 7 x - 10 \leq 0$ .

Розв’язання:

1) $2 x^{2} + 3 x - 5 > 0$
Розглянемо функцію $y = 2 x^{2} + 3 x - 5$ .
Знайдемо нулі функції:
$2 x^{2} + 3 x - 5 = 0$
$D = 3^{2} - 4 \cdot 2 \cdot (- 5) = 9 + 40 = 49$
$x_{1} = \frac{- 3 + 7}{2 \cdot 2} = \frac{4}{4} = 1$
$x_{2} = \frac{- 3 - 7}{2 \cdot 2} = - \frac{10}{4} = - 2, 5$
Вітки параболи напрямлені вгору ( $a = 2 > 0$ ).

Графік до вправи № 41 (рис. 1) - Алгебра 9 клас

$x \in (- \infty; - 2, 5) \cup (1; + \infty)$

2) $3 x^{2} - 7 x - 10 \leq 0$
Розглянемо функцію $y = 3 x^{2} - 7 x - 10$ .
Знайдемо нулі функції:
$3 x^{2} - 7 x - 10 = 0$
$D = (- 7)^{2} - 4 \cdot 3 \cdot (- 10) = 49 + 120 = 169$
$x_{1} = \frac{7 + 13}{2 \cdot 3} = \frac{20}{6} = 3 \frac{1}{3}$
$x_{2} = \frac{7 - 13}{2 \cdot 3} = - \frac{6}{6} = - 1$
Вітки параболи напрямлені вгору ( $a = 3 > 0$ ).

Графік до вправи № 41 (рис. 2) - Алгебра 9 клас

$x \in [- 1; 3 \frac{1}{3}]$

Відповідь: 1) $(- \infty; - 2, 5) \cup (1; + \infty)$ ; 2) $[- 1; 3 \frac{1}{3}]$ .

№ 42. Розв’яжіть нерівність:

1) $x^{2} > 0, 04$ ;

2) $- x^{2} \leq - \frac{9}{25}$ ;

3) $3 x^{2} \geq x$ ;

4) $- 5 x^{2} < 2 x$ .

Розв’язання:

1) $x^{2} > 0, 04$
$x^{2} - 0, 04 > 0$
$x^{2} - 0, 04 = 0$
$x_{1} = - 0, 2$
$x_{2} = 0, 2$

Графік до вправи № 42 (рис. 1) - Алгебра 9 клас

$x \in (- \infty; - 0, 2) \cup (0, 2; + \infty)$

2) $- x^{2} \leq - \frac{9}{25}$
$x^{2} \geq \frac{9}{25}$
$x^{2} - \frac{9}{25} \geq 0$
$x^{2} - \frac{9}{25} = 0$
$x_{1} = - \frac{3}{5}$
$x_{2} = \frac{3}{5}$

Графік до вправи № 42 (рис. 2) - Алгебра 9 клас

$x \in (- \infty; - \frac{3}{5}] \cup [\frac{3}{5}; + \infty)$

3) $3 x^{2} \geq x$
$3 x^{2} - x \geq 0$
$x (3 x - 1) = 0$
$x_{1} = 0$
$x_{2} = \frac{1}{3}$
$x \in (- \infty; 0] \cup [\frac{1}{3}; + \infty)$

4) $- 5 x^{2} < 2 x$
$5 x^{2} + 2 x > 0$
$x (5 x + 2) = 0$
$x_{1} = - 0, 4$
$x_{2} = 0$
$x \in (- \infty; - 0, 4) \cup (0; + \infty)$

Відповідь:

1) $x \in (- \infty; - 0, 2) \cup (0, 2; + \infty)$ ;

2) $x \in (- \infty; - \frac{3}{5}] \cup [\frac{3}{5}; + \infty)$ ;

3) $x \in (- \infty; 0] \cup [\frac{1}{3}; + \infty)$ ;

4) $x \in (- \infty; - 0, 4) \cup (0; + \infty)$ .

№ 43. Знайдіть множину розв’язків нерівності:
1) $x^{2} - 2 x - 9 \geq 0$
2) $x^{2} - 11 + 4 x < 0$
3) $\frac{1}{4} x^{2} - x + 1 > 0$
4) $6 x + x^{2} + 9 \geq 0$
5) $- x^{2} - 8 x - 16 < 0$
6) $x^{2} + x + 9 \geq 0$

Розв’язання:

1) $x^{2} - 2 x - 9 \geq 0$
Розглянемо квадратне рівняння:
$x^{2} - 2 x - 9 = 0$
$D = (- 2)^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 9) = 4 + 36 = 40$
$x_{1} = \frac{2 - 40}{2} = \frac{2 - 2 10}{2} = 1 - 10$
$x_{2} = \frac{2 + 40}{2} = \frac{2 + 2 10}{2} = 1 + 10$
Оскільки вітки параболи напрямлені вгору ( $a = 1 > 0$ ):
$x \in (- \infty; 1 - 10] \cup [1 + 10; + \infty)$

Графік до вправи № 43 (рис. 1) - Алгебра 9 клас

2) $x^{2} - 11 + 4 x < 0$
Запишемо у стандартному вигляді:
$x^{2} + 4 x - 11 < 0$
Знайдемо корені квадратного рівняння:
$x^{2} + 4 x - 11 = 0$
$D = 4^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 11) = 16 + 44 = 60$
$x_{1} = \frac{- 4 - 60}{2} = \frac{- 4 - 2 15}{2} = - 2 - 15$
$x_{2} = \frac{- 4 + 60}{2} = \frac{- 4 + 2 15}{2} = - 2 + 15$
Оскільки вітки параболи напрямлені вгору ( $a = 1 > 0$ ):
$x \in (- 2 - 15; - 2 + 15)$

Графік до вправи № 43 (рис. 2) - Алгебра 9 клас

3) $\frac{1}{4} x^{2} - x + 1 > 0$
Помножимо обидві частини нерівності на 4:
$x^{2} - 4 x + 4 > 0$
$(x - 2)^{2} > 0$
Квадрат виразу є строго додатним при всіх значеннях $x$ , крім кореня:
$x - 2 \neq = 0$
$x \neq = 2$
$x \in (- \infty; 2) \cup (2; + \infty)$

Графік до вправи № 43 (рис. 3) - Алгебра 9 клас

4) $6 x + x^{2} + 9 \geq 0$
Запишемо у стандартному вигляді:
$x^{2} + 6 x + 9 \geq 0$
$(x + 3)^{2} \geq 0$
Оскільки квадрат будь-якого дійсного числа є невід’ємним, нерівність виконується для будь-якого значення $x$ :
$x \in (- \infty; + \infty)$

Графік до вправи № 43 (рис. 4) - Алгебра 9 клас

5) $- x^{2} - 8 x - 16 < 0$
Помножимо обидві частини нерівності на $- 1$ , змінивши знак нерівності:
$x^{2} + 8 x + 16 > 0$
$(x + 4)^{2} > 0$
Квадрат виразу строго більший за нуль при всіх значеннях $x$ , крім кореня:
$x + 4 \neq = 0$
$x \neq = - 4$
$x \in (- \infty; - 4) \cup (- 4; + \infty)$

Графік до вправи № 43 (рис. 5) - Алгебра 9 клас

6) $x^{2} + x + 9 \geq 0$
Розглянемо квадратне рівняння:
$x^{2} + x + 9 = 0$
$D = 1^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 9 = 1 - 36 = - 35$
Оскільки $D < 0$ та коефіцієнт $a = 1 > 0$ , вітки параболи напрямлені вгору і графік повністю лежить вище осі $O x$ . Нерівність виконується при всіх дійсних значеннях $x$ :
$x \in (- \infty; + \infty)$

Графік до вправи № 43 (рис. 6) - Алгебра 9 клас

Відповідь:

1) $(- \infty; 1 - 10] \cup [1 + 10; + \infty)$ ;

2) $(- 2 - 15; - 2 + 15)$ ;

3) $(- \infty; 2) \cup (2; + \infty)$ ;

4) $(- \infty; + \infty)$ ;

5) $(- \infty; - 4) \cup (- 4; + \infty)$ ;

6) $(- \infty; + \infty)$ .

№ 44. Розв’яжіть нерівність:
1) $\frac{x ^{2} - 1}{4} > 5 + x$
2) $(x - 4) (x - 5) \leq 2$
3) $6 x^{2} - 14 x + 12 \geq (x - 3)^{2}$
4) $\frac{x ^{2} - 4}{3} < \frac{x - 2}{2}$

Розв’язання:

1) $\frac{x ^{2} - 1}{4} > 5 + x$
$x^{2} - 1 > 4 (5 + x)$
$x^{2} - 1 > 20 + 4 x$
$x^{2} - 4 x - 21 > 0$

Знайдемо нулі функції $y = x^{2} - 4 x - 21$ :
$x^{2} - 4 x - 21 = 0$
За теоремою Вієта:
$x_{1} = - 3, x_{2} = 7$

Вітки параболи напрямлені вгору.

Графік до вправи № 44 (рис. 1) - Алгебра 9 клас

$x \in (- \infty; - 3) \cup (7; + \infty)$

2) $(x - 4) (x - 5) \leq 2$
$x^{2} - 5 x - 4 x + 20 \leq 2$
$x^{2} - 9 x + 18 \leq 0$

Знайдемо нулі функції $y = x^{2} - 9 x + 18$ :
$x^{2} - 9 x + 18 = 0$
За теоремою Вієта:
$x_{1} = 3, x_{2} = 6$

Вітки параболи напрямлені вгору.

Графік до вправи № 44 (рис. 2) - Алгебра 9 клас

$x \in [3; 6]$

3) $6 x^{2} - 14 x + 12 \geq (x - 3)^{2}$
$6 x^{2} - 14 x + 12 \geq x^{2} - 6 x + 9$
$6 x^{2} - 14 x + 12 - x^{2} + 6 x - 9 \geq 0$
$5 x^{2} - 8 x + 3 \geq 0$

Знайдемо нулі функції $y = 5 x^{2} - 8 x + 3$ :
$5 x^{2} - 8 x + 3 = 0$
$D = (- 8)^{2} - 4 \cdot 5 \cdot 3 = 64 - 60 = 4$
$x_{1} = \frac{8 - 2}{2 \cdot 5} = \frac{6}{10} = 0, 6$
$x_{2} = \frac{8 + 2}{2 \cdot 5} = \frac{10}{10} = 1$

Вітки параболи напрямлені вгору.

Графік до вправи № 44 (рис. 3) - Алгебра 9 клас

$x \in (- \infty; 0, 6] \cup [1; + \infty)$

4) $\frac{x ^{2} - 4}{3} < \frac{x - 2}{2}$
Помножимо обидві частини нерівності на $6$ :
$2 (x^{2} - 4) < 3 (x - 2)$
$2 x^{2} - 8 < 3 x - 6$
$2 x^{2} - 3 x - 2 < 0$

Знайдемо нулі функції $y = 2 x^{2} - 3 x - 2$ :
$2 x^{2} - 3 x - 2 = 0$
$D = (- 3)^{2} - 4 \cdot 2 \cdot (- 2) = 9 + 16 = 25$
$x_{1} = \frac{3 - 5}{2 \cdot 2} = - \frac{2}{4} = - 0, 5$
$x_{2} = \frac{3 + 5}{2 \cdot 2} = \frac{8}{4} = 2$

Вітки параболи напрямлені вгору.

Графік до вправи № 44 (рис. 4) - Алгебра 9 клас

$x \in (- 0, 5; 2)$

Відповідь: 1) $x \in (- \infty; - 3) \cup (7; + \infty)$ ; 2) $x \in [3; 6]$ ; 3) $x \in (- \infty; 0, 6] \cup [1; + \infty)$ ; 4) $x \in (- 0, 5; 2)$ .

№ 45. Одна сторона прямокутника на 2 см менша від другої. Якої довжини може бути ця сторона, якщо площа прямокутника менша від 35 см $^{2}$ ?

Розв’язання:
Нехай довжина шуканої (меншої) сторони прямокутника дорівнює $x см$ , причому $x > 0$ .
Тоді довжина більшої сторони дорівнює $(x + 2) см$ .

Площа прямокутника дорівнює:
$S = x (x + 2) см^{2}$

За умовою площа менша від $35 см^{2}$ . Складемо нерівність:
$x (x + 2) < 35$
$x^{2} + 2 x - 35 < 0$

Знайдемо корені квадратного тричлена $x^{2} + 2 x - 35$ :
$x^{2} + 2 x - 35 = 0$
За теоремою Вієта:
$x_{1} = - 7, x_{2} = 5$

Розв’яжемо нерівність $x^{2} + 2 x - 35 < 0$ :
$- 7 < x < 5$

Враховуючи геометричний зміст довжини сторони ( $x > 0$ ), отримуємо систему:

{- 7 < x < 5 x > 0

$0 < x < 5$

Отже, довжина цієї сторони має бути більшою за $0 см$ , але меншою від $5 см$ .

Відповідь: більшою за $0 см$ , але меншою від $5 см$ (меншою від $5 см$ ).

№ 46. За яких додатних значень $x$ справджується нерівність $x^{2} \leq 4 x + 21$ ?

Розв’язання:
Перенесемо всі доданки в ліву частину:
$x^{2} - 4 x - 21 \leq 0$

Знайдемо корені квадратного тричлена $x^{2} - 4 x - 21 = 0$ :
За теоремою Вієта:
$x_{1} = 7, x_{2} = - 3$

Розв’язком нерівності $x^{2} - 4 x - 21 \leq 0$ є числовий проміжок:
$x \in [- 3; 7]$

За умовою шукані значення $x$ мають бути додатними, тобто $x > 0$ .
Знайдемо перетин проміжків $[- 3; 7]$ та $(0; + \infty)$ :
$x \in (0; 7]$

Відповідь: $x \in (0; 7]$ .

№ 47. Знайдіть розв’язки нерівності $0, 8 x^{2} + x - 0, 3 \leq 0$ , що належать проміжку $[- 2; - \frac{4}{3}]$ .

Розв’язання:
Помножимо обидві частини нерівності на 10:
$8 x^{2} + 10 x - 3 \leq 0$

Знайдемо корені рівняння $8 x^{2} + 10 x - 3 = 0$ :
$D = 1 0^{2} - 4 \cdot 8 \cdot (- 3) = 100 + 96 = 196 = 1 4^{2}$
$x_{1} = \frac{- 10 + 14}{2 \cdot 8} = \frac{4}{16} = 0, 25$
$x_{2} = \frac{- 10 - 14}{2 \cdot 8} = \frac{- 24}{16} = - 1, 5$

Розв’язком нерівності є числовий відрізок:
$x \in [- 1, 5; 0, 25]$

Знайдемо розв’язки, які належать проміжку $[- 2; - \frac{4}{3}]$ :
$[- 1, 5; 0, 25] \cap [- 2; - \frac{4}{3}] = [- 1, 5; - \frac{4}{3}]$

Відповідь: $[- 1, 5; - \frac{4}{3}]$ .

№ 48. За яких значень $c$ множиною розв’язків нерівності $x^{2} - 10 x + c < 0$ є проміжок: 1) $(2; 8)$ ; 2) $(1; 9)$ ?

Розв’язання:

1) Оскільки коефіцієнт при $x^{2}$ дорівнює $1 > 0$ , нерівність $x^{2} - 10 x + c < 0$ має розв’язком інтервал $(2; 8)$ тоді й тільки тоді, коли числа $2$ та $8$ є коренями квадратного рівняння $x^{2} - 10 x + c = 0$ .
За теоремою Вієта:
$c = x_{1} \cdot x_{2}$
$c = 2 \cdot 8 = 16$

2) Множиною розв’язків нерівності $x^{2} - 10 x + c < 0$ є інтервал $(1; 9)$ , якщо числа $1$ та $9$ є коренями відповідного рівняння $x^{2} - 10 x + c = 0$ .
За теоремою Вієта:
$c = x_{1} \cdot x_{2}$
$c = 1 \cdot 9 = 9$

Відповідь: 1) $c = 16$ ; 2) $c = 9$ .

№ 49. Запишіть подвійну нерівність у вигляді системи нерівностей і розв’яжіть її: 1) $1 < x^{2} \leq 4$ ; 2) $0 < x^{2} + x \leq 6$ .

Розв’язання:

1) Запишемо подвійну нерівність у вигляді системи:
${x^{2} > 1 x^{2} \leq 4$

Розв’яжемо першу нерівність системи:
$x^{2} - 1 > 0$
$(x - 1) (x + 1) > 0$
$x \in (- \infty; - 1) \cup (1; + \infty)$

Графік до вправи № 49 (рис. 1) - Алгебра 9 клас

Розв’яжемо другу нерівність системи:
$x^{2} - 4 \leq 0$
$(x - 2) (x + 2) \leq 0$
$x \in [- 2; 2]$

Графік до вправи № 49 (рис. 2) - Алгебра 9 клас

Знайдемо перетин розв’язків обох нерівностей:
$x \in [- 2; - 1) \cup (1; 2]$

2) Запишемо подвійну нерівність у вигляді системи:
${x^{2} + x > 0 x^{2} + x \leq 6$

Розв’яжемо першу нерівність системи:
$x (x + 1) > 0$
$x \in (- \infty; - 1) \cup (0; + \infty)$

Графік до вправи № 49 (рис. 3) - Алгебра 9 клас

Розв’яжемо другу нерівність системи:
$x^{2} + x - 6 \leq 0$
$(x + 3) (x - 2) \leq 0$
$x \in [- 3; 2]$

Графік до вправи № 49 (рис. 4) - Алгебра 9 клас

Знайдемо перетин розв’язків обох нерівностей:
$x \in [- 3; - 1) \cup (0; 2]$

Відповідь: 1) $x \in [- 2; - 1) \cup (1; 2]$ ; 2) $x \in [- 3; - 1) \cup (0; 2]$ .

№ 50. За яких значень $a$ розв’язком нерівності $x^{2} - (a^{2} - 2 a - 3) x + a^{2} + 2 < 0$ є проміжок $(2; 3)$ ?

Розв’язання:
Оскільки коефіцієнт при $x^{2}$ дорівнює $1 > 0$ , розв’язком нерівності є інтервал $(2; 3)$ тоді й тільки тоді, коли числа $2$ та $3$ є коренями квадратного рівняння $x^{2} - (a^{2} - 2 a - 3) x + a^{2} + 2 = 0$ .

За теоремою Вієта:
${x_{1} + x_{2} = a^{2} - 2 a - 3 x_{1} \cdot x_{2} = a^{2} + 2$

Оскільки $x_{1} = 2$ та $x_{2} = 3$ :
${2 + 3 = a^{2} - 2 a - 3 2 \cdot 3 = a^{2} + 2$

${a^{2} - 2 a - 8 = 0 a^{2} = 4$

З другого рівняння системи:
$a = 2, a = - 2$

Перевіримо знайдені значення підстановкою в перше рівняння:
При $a = 2$ :
$2^{2} - 2 \cdot 2 - 8 = 4 - 4 - 8 = - 8 \neq = 0$

При $a = - 2$ :
$(- 2)^{2} - 2 \cdot (- 2) - 8 = 4 + 4 - 8 = 0$

Отже, умову задовольняє лише значення $a = - 2$ .

Відповідь: $a = - 2$ .

№ 51. За яких значень $m$ графіки функцій $y = m x^{2} - x$ та $y = m x + 1 - 2 m$ не мають спільних точок?

Розв’язання:
Спільні точки графіків є розв’язками рівняння:
$m x^{2} - x = m x + 1 - 2 m$
$m x^{2} - (m + 1) x + (2 m - 1) = 0$

1) Якщо $m = 0$ , рівняння набуває вигляду:
$- (0 + 1) x + (2 \cdot 0 - 1) = 0$
$- x - 1 = 0$
$x = - 1$
При $m = 0$ графіки мають одну спільну точку, тому значення $m = 0$ не задовольняє умову задачі.

2) Якщо $m \neq = 0$ , рівняння є квадратним і не має коренів за умови, що його дискримінант від’ємний ( $D < 0$ ):
$D = (- (m + 1))^{2} - 4 \cdot m \cdot (2 m - 1)$
$D = m^{2} + 2 m + 1 - 8 m^{2} + 4 m$
$D = - 7 m^{2} + 6 m + 1$

Розв’яжемо нерівність:
$- 7 m^{2} + 6 m + 1 < 0$
$7 m^{2} - 6 m - 1 > 0$

Знайдемо корені квадратного тричлена $7 m^{2} - 6 m - 1 = 0$ :
$D_{1} = (- 3)^{2} - 7 \cdot (- 1) = 9 + 7 = 16 = 4^{2}$
$m_{1} = \frac{3 - 4}{7} = - \frac{1}{7}$
$m_{2} = \frac{3 + 4}{7} = 1$

Оскільки коефіцієнт при $m^{2}$ дорівнює $7 > 0$ , нерівність $7 m^{2} - 6 m - 1 > 0$ виконується при:
$m \in (- \infty; - \frac{1}{7}) \cup (1; + \infty)$

Значення $m = 0$ не входить у знайдені проміжки.

Відповідь: $m \in (- \infty; - \frac{1}{7}) \cup (1; + \infty)$ .

№ 52. Розв’яжіть рівняння $x^{2} - 2 (a - 1) x - (9 a + 5) = 0$ відносно змінної $x$ .

Розв’язання:

Рівняння є квадратним відносно $x$ при будь-яких значеннях параметра $a$ . Знайдемо його дискримінант:

$D = (- 2 (a - 1))^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- (9 a + 5))$
$D = 4 (a^{2} - 2 a + 1) + 4 (9 a + 5)$
$D = 4 (a^{2} - 2 a + 1 + 9 a + 5)$
$D = 4 (a^{2} + 7 a + 6)$

Знайдемо нулі тричлена $a^{2} + 7 a + 6$ :

$a^{2} + 7 a + 6 = 0$
За теоремою Вієта:
$a_{1} = - 6, a_{2} = - 1$

Дослідимо кількість коренів залежно від знака дискримінанта:

1) Якщо $D < 0$ , тобто $a^{2} + 7 a + 6 < 0$ :
$a \in (- 6; - 1)$ ,
рівняння не має розв’язків.

2) Якщо $D \geq 0$ , тобто $a \in (- \infty; - 6] \cup [- 1; + \infty)$ :
$x_{1, 2} = \frac{2 ( a - 1 ) \pm 4 ( a ^{2} + 7 a + 6 )}{2}$
$x_{1, 2} = \frac{2 ( a - 1 ) \pm 2 a ^{2} + 7 a + 6}{2}$
$x_{1, 2} = a - 1 \pm a^{2} + 7 a + 6$

Відповідь: якщо $a \leq - 6$ або $a \geq - 1$ , то $x_{1, 2} = a - 1 \pm a^{2} + 7 a + 6$ ; якщо $- 6 < a < - 1$ , то розв’язків немає.

№ 53. Для кожного значення $a$ розв’яжіть нерівність (де $x$ — змінна):
1) $x^{2} + x (2 + a) + 2 a < 0$ ;
2) $x^{2} - x (a - 3) - (2 a^{2} + 6 a) \geq 0$ .

Розв’язання:

1) Розглянемо відповідне квадратне рівняння:
$x^{2} + (a + 2) x + 2 a = 0$

Знайдемо дискримінант:
$D = (a + 2)^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 2 a$
$D = a^{2} + 4 a + 4 - 8 a$
$D = a^{2} - 4 a + 4$
$D = (a - 2)^{2}$

Знайдемо корені рівняння:
$x_{1} = \frac{- ( a + 2 ) - ( a - 2 )}{2} = \frac{- a - 2 - a + 2}{2} = \frac{- 2 a}{2} = - a$
$x_{2} = \frac{- ( a + 2 ) + ( a - 2 )}{2} = \frac{- a - 2 + a - 2}{2} = \frac{- 4}{2} = - 2$

Порівняємо корені $- a$ та $- 2$ :
$- a = - 2$
$a = 2$

Якщо $a < 2$ , то $- a > - 2$ , тобто $- 2 < - a$ :
$x \in (- 2; - a)$

Якщо $a = 2$ , то $- a = - 2$ , нерівність набуває вигляду:
$(x + 2)^{2} < 0$
розв’язків немає: $x \in \emptyset$

Якщо $a > 2$ , то $- a < - 2$ :
$x \in (- a; - 2)$

2) Розглянемо відповідне квадратне рівняння:
$x^{2} - (a - 3) x - (2 a^{2} + 6 a) = 0$
$x^{2} - (a - 3) x - 2 a (a + 3) = 0$

Знайдемо дискримінант:
$D = (a - 3)^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 2 a (a + 3))$
$D = a^{2} - 6 a + 9 + 8 a^{2} + 24 a$
$D = 9 a^{2} + 18 a + 9$
$D = 9 (a + 1)^{2} = (3 (a + 1))^{2}$

Знайдемо корені рівняння:
$x_{1} = \frac{( a - 3 ) - 3 ( a + 1 )}{2} = \frac{a - 3 - 3 a - 3}{2} = \frac{- 2 a - 6}{2} = - a - 3$
$x_{2} = \frac{( a - 3 ) + 3 ( a + 1 )}{2} = \frac{a - 3 + 3 a + 3}{2} = \frac{4 a}{2} = 2 a$

Порівняємо корені $- a - 3$ та $2 a$ :
$- a - 3 = 2 a$
$3 a = - 3$
$a = - 1$

Якщо $a < - 1$ , то $- a - 3 > 2 a$ :
$x \leq 2 a$ або $x \geq - a - 3$ , тобто $x \in (- \infty; 2 a] \cup [- a - 3; + \infty)$

Якщо $a = - 1$ , то $- a - 3 = 2 a = - 2$ , нерівність набуває вигляду:
$(x + 2)^{2} \geq 0$
$x$ — будь-яке число, тобто $x \in (- \infty; + \infty)$

Якщо $a > - 1$ , то $- a - 3 < 2 a$ :
$x \leq - a - 3$ або $x \geq 2 a$ , тобто $x \in (- \infty; - a - 3] \cup [2 a; + \infty)$

Відповідь:
1) якщо $a < 2$ , то $x \in (- 2; - a)$ ; якщо $a = 2$ , то розв’язків немає; якщо $a > 2$ , то $x \in (- a; - 2)$ ;
2) якщо $a < - 1$ , то $x \in (- \infty; 2 a] \cup [- a - 3; + \infty)$ ; якщо $a = - 1$ , то $x \in (- \infty; + \infty)$ ; якщо $a > - 1$ , то $x \in (- \infty; - a - 3] \cup [2 a; + \infty)$ .

№ 54. Для кожного значення $m$ розв’яжіть систему нерівностей, де $x$ — змінна:

1) ${x^{2} - x - 6 \geq 0 x < m$

2) ${x^{2} + 2 x - 8 < 0 x \geq m$

Розв’язання:

1) Розв’яжемо першу нерівність системи:
$x^{2} - x - 6 \geq 0$
Знайдемо корені квадратного тричлена:
$x^{2} - x - 6 = 0$
За теоремою Вієта:
$x_{1} = - 2, x_{2} = 3$
$(x + 2) (x - 3) \geq 0$
$x \in (- \infty; - 2] \cup [3; + \infty)$

Отримаємо систему:

{x \in (- \infty; - 2] \cup [3; + \infty) x < m

Порівняємо $m$ із граничними точками $- 2$ та $3$ :

Якщо $m \leq - 2$ , то $x < m$ (або $x \in (- \infty; m)$ );
Якщо $- 2 < m \leq 3$ , то $x \leq - 2$ (або $x \in (- \infty; - 2]$ );
Якщо $m > 3$ , то $x \in (- \infty; - 2] \cup [3; m)$ .

2) Розв’яжемо першу нерівність системи:
$x^{2} + 2 x - 8 < 0$
Знайдемо корені квадратного тричлена:
$x^{2} + 2 x - 8 = 0$
За теоремою Вієта:
$x_{1} = - 4, x_{2} = 2$
$(x + 4) (x - 2) < 0$
$x \in (- 4; 2)$

Отримаємо систему:

{x \in (- 4; 2) x \geq m

Порівняємо $m$ із граничними точками $- 4$ та $2$ :

Якщо $m \leq - 4$ , то $x \in (- 4; 2)$ ;
Якщо $- 4 < m < 2$ , то $x \in [m; 2)$ ;
Якщо $m \geq 2$ , то розв’язків немає ( $x \in \emptyset$ ).

Відповідь: 1) якщо $m \leq - 2$ , то $x < m$ ; якщо $- 2 < m \leq 3$ , то $x \leq - 2$ ; якщо $m > 3$ , то $x \in (- \infty; - 2] \cup [3; m)$ ; 2) якщо $m \leq - 4$ , то $x \in (- 4; 2)$ ; якщо $- 4 < m < 2$ , то $x \in [m; 2)$ ; якщо $m \geq 2$ , то розв’язків немає.

№ 55. Чи є розв’язком системи ${x - y = 3, x^{2} + y^{2} = 17$ пара чисел:
1) $(3; 0)$ ;
2) $(4; 1)$ ;
3) $(- 4; - 1)$ ;
4) $(- 1; - 4)$ ?

Розв’язання:

Підставимо значення кожної пари чисел $(x; y)$ у рівняння системи:

1) $(3; 0)$ :
$3 - 0 = 3$ — правильна рівність
$3^{2} + 0^{2} = 9 + 0 = 9 \neq = 17$ — неправильна рівність
Пара чисел $(3; 0)$ не є розв’язком системи.

2) $(4; 1)$ :
$4 - 1 = 3$ — правильна рівність
$4^{2} + 1^{2} = 16 + 1 = 17$ — правильна рівність
Пара чисел $(4; 1)$ є розв’язком системи.

3) $(- 4; - 1)$ :
$- 4 - (- 1) = - 4 + 1 = - 3 \neq = 3$ — неправильна рівність
Пара чисел $(- 4; - 1)$ не є розв’язком системи.

4) $(- 1; - 4)$ :
$- 1 - (- 4) = - 1 + 4 = 3$ — правильна рівність
$(- 1)^{2} + (- 4)^{2} = 1 + 16 = 17$ — правильна рівність
Пара чисел $(- 1; - 4)$ є розв’язком системи.

Відповідь: 1) ні; 2) так; 3) ні; 4) так.

№ 56. Розв’яжіть графічно систему рівнянь:

1) ${y = x^{2}, y = 3 x;$

2) ${y = - x^{2}, x - y = 2;$

3) ${x^{2} + y^{2} = 25, x = 3.$

За допомогою програми для побудови графіків перевірте правильність розв’язування однієї із систем.

Розв’язання:

1) ${y = x^{2}, y = 3 x$

Графіком рівняння $y = x^{2}$ є парабола з вершиною в точці $(0; 0)$ , вітки якої напрямлені вгору.

Складемо таблицю значень:

$x$	$- 2$	$- 1$	$0$	$1$	$2$	$3$
$y$	$4$	$1$	$0$	$1$	$4$	$9$

Графіком рівняння $y = 3 x$ є пряма, що проходить через початок координат.

Складемо таблицю значень:

$x$	$0$	$2$
$y$	$0$	$6$

Графік до вправи № 56 (рис. 1) - Алгебра 9 клас

Графіки перетинаються в точках $(0; 0)$ та $(3; 9)$ .
Отже, розв’язками системи є пари чисел $(0; 0)$ та $(3; 9)$ .

2) ${y = - x^{2}, x - y = 2$

Графіком рівняння $y = - x^{2}$ є парабола з вершиною в точці $(0; 0)$ , вітки якої напрямлені вниз.

Складемо таблицю значень:

$x$	$- 2$	$- 1$	$0$	$1$	$2$
$y$	$- 4$	$- 1$	$0$	$- 1$	$- 4$

Друге рівняння запишемо у вигляді:
$y = x - 2$
Його графіком є пряма.

Складемо таблицю значень:

$x$	$0$	$2$
$y$	$- 2$	$0$

Графік до вправи № 56 (рис. 2) - Алгебра 9 клас

Графіки перетинаються в точках $(- 2; - 4)$ та $(1; - 1)$ .
Отже, розв’язками системи є пари чисел $(- 2; - 4)$ та $(1; - 1)$ .

3) ${x^{2} + y^{2} = 25, x = 3$

Графіком рівняння $x^{2} + y^{2} = 25$ є коло із центром у точці $(0; 0)$ і радіусом $R = 25 = 5$ .
Графіком рівняння $x = 3$ є пряма, паралельна осі $O y$ , що проходить через точку $(3; 0)$ .

Графік до вправи № 56 (рис. 3) - Алгебра 9 клас

Графіки перетинаються в точках $(3; 4)$ та $(3; - 4)$ .
Отже, розв’язками системи є пари чисел $(3; 4)$ та $(3; - 4)$ .

Відповідь: 1) $(0; 0)$ , $(3; 9)$ ; 2) $(- 2; - 4)$ , $(1; - 1)$ ; 3) $(3; 4)$ , $(3; - 4)$ .

№ 57. Розв’яжіть способом підстановки систему рівнянь:
1) ${y = 3 x - 2 x^{2} + y - 2 = 0$
2) ${x + y = 8 x y = 7$
3) ${y - 2 x = 5 x y = 18$

Розв’язання:

1) ${y = 3 x - 2 x^{2} + y - 2 = 0$

Підставимо вираз для $y$ у друге рівняння:
$x^{2} + (3 x - 2) - 2 = 0$
$x^{2} + 3 x - 4 = 0$

За теоремою Вієта:
$x_{1} = 1, x_{2} = - 4$

Знайдемо відповідні значення $y$ :
якщо $x_{1} = 1$ , то $y_{1} = 3 \cdot 1 - 2 = 1$ ;
якщо $x_{2} = - 4$ , то $y_{2} = 3 \cdot (- 4) - 2 = - 14$ .

Розв’язками системи є пари чисел: $(1; 1)$ , $(- 4; - 14)$ .

2) ${x + y = 8 x y = 7$

Виразимо $y$ через $x$ з першого рівняння:
$y = 8 - x$

Підставимо отриманий вираз у друге рівняння:
$x (8 - x) = 7$
$8 x - x^{2} = 7$
$x^{2} - 8 x + 7 = 0$

За теоремою Вієта:
$x_{1} = 1, x_{2} = 7$

Знайдемо відповідні значення $y$ :
якщо $x_{1} = 1$ , то $y_{1} = 8 - 1 = 7$ ;
якщо $x_{2} = 7$ , то $y_{2} = 8 - 7 = 1$ .

Розв’язками системи є пари чисел: $(1; 7)$ , $(7; 1)$ .

3) ${y - 2 x = 5 x y = 18$

Виразимо $y$ через $x$ з першого рівняння:
$y = 2 x + 5$

Підставимо отриманий вираз у друге рівняння:
$x (2 x + 5) = 18$
$2 x^{2} + 5 x - 18 = 0$

Знайдемо дискримінант:
$D = 5^{2} - 4 \cdot 2 \cdot (- 18) = 25 + 144 = 169$

Обчислимо корені рівняння:
$x_{1} = \frac{- 5 + 13}{2 \cdot 2} = \frac{8}{4} = 2$
$x_{2} = \frac{- 5 - 13}{2 \cdot 2} = \frac{- 18}{4} = - 4, 5$

Знайдемо відповідні значення $y$ :
якщо $x_{1} = 2$ , то $y_{1} = 2 \cdot 2 + 5 = 9$ ;
якщо $x_{2} = - 4, 5$ , то $y_{2} = 2 \cdot (- 4, 5) + 5 = - 4$ .

Розв’язками системи є пари чисел: $(2; 9)$ , $(- 4, 5; - 4)$ .

Відповідь: 1) $(1; 1)$ , $(- 4; - 14)$ ; 2) $(1; 7)$ , $(7; 1)$ ; 3) $(2; 9)$ , $(- 4, 5; - 4)$ .

№ 58. Розв’яжіть графічно систему рівнянь:

1) ${y = 2 (x - 1)^{2} + 3, x y = 10;$

2) ${(x + 3)^{2} + (y + 3)^{2} = 4, y = - x^{2} + 6 x - 8.$

За допомогою програми для побудови графіків перевірте правильність розв’язування однієї із систем.

Розв’язання:

1) Графіком першого рівняння $y = 2 (x - 1)^{2} + 3$ є парабола з вершиною в точці $(1; 3)$ , гілки якої напрямлені вгору.

Складемо таблицю значень:

$x$	$- 1$	$0$	$1$	$2$	$3$
$y$	$11$	$5$	$3$	$5$	$11$

Графіком другого рівняння $x y = 10$ , тобто $y = \frac{10}{x}$ , є гіпербола, вітки якої розміщені в I та III координатних чвертях.

Складемо таблицю значень:

$x$	$- 5$	$- 2$	$- 1$	$1$	$2$	$5$
$y$	$- 2$	$- 5$	$- 10$	$10$	$5$	$2$

Графік до вправи № 58 (рис. 1) - Алгебра 9 клас

Графіки перетинаються в одній точці з координатами $(2; 5)$ .

2) Графіком першого рівняння $(x + 3)^{2} + (y + 3)^{2} = 4$ є коло з центром у точці $(- 3; - 3)$ і радіусом $R = 2$ .

Графіком другого рівняння $y = - x^{2} + 6 x - 8$ є парабола, гілки якої напрямлені вниз.

Знайдемо координати вершини параболи:
$x_{в} = - \frac{b}{2 a} = - \frac{6}{2 \cdot ( - 1 )} = 3$
$y_{в} = - (3)^{2} + 6 \cdot 3 - 8 = - 9 + 18 - 8 = 1$
Вершина параболи — точка $(3; 1)$ .

Складемо таблицю значень:

$x$	$1$	$2$	$3$	$4$	$5$
$y$	$- 3$	$0$	$1$	$0$	$- 3$

Графік до вправи № 58 (рис. 2) - Алгебра 9 клас

Графіки не мають спільних точок, отже, система рівнянь розв’язків не має.

Відповідь: 1) $(2; 5)$ ; 2) розв’язків немає.

№ 59. Розв’яжіть систему рівнянь:

1) ${x + y = 8 x^{2} - 2 x y + y^{2} = 16$

2) ${x^{2} + y^{2} = 25 x y = - 12$

Розв’язання:

1) ${x + y = 8 x^{2} - 2 x y + y^{2} = 16$

Згорнемо ліву частину другого рівняння за формулою квадрата різниці:
$(x - y)^{2} = 16$

Звідси маємо:
$x - y = 4$ або $x - y = - 4$

Отримуємо сукупність двох лінійних систем:

\begin{cases} x + y = 8 \\ x - y = 4 \end{cases} $$ або $$ \begin{cases} x + y = 8 \\ x - y = -4 \end{cases}

Розв’яжемо першу систему способом додавання:
$2 x = 12$
$x = 6$
$y = 8 - 6 = 2$

Розв’яжемо другу систему способом додавання:
$2 x = 4$
$x = 2$
$y = 8 - 2 = 6$

Розв’язками системи є пари чисел $(6; 2)$ та $(2; 6)$ .

2) ${x^{2} + y^{2} = 25 x y = - 12$

Виразимо $y$ через $x$ із другого рівняння системи ( $x \neq = 0$ ):
$y = - \frac{12}{x}$

Підставимо отриманий вираз у перше рівняння:
$x^{2} + (- \frac{12}{x})^{2} = 25$
$x^{2} + \frac{144}{x ^{2}} = 25$

Помножимо обидві частини рівняння на $x^{2} \neq = 0$ :
$x^{4} - 25 x^{2} + 144 = 0$

Нехай $x^{2} = t$ , де $t > 0$ . Отримуємо квадратне рівняння:
$t^{2} - 25 t + 144 = 0$

За теоремою Вієта:
$t_{1} = 16, t_{2} = 9$

Повернемося до змінної $x$ :

1) Якщо $x^{2} = 16$ , то:
$x = 4, x = - 4$

Знайдемо відповідні значення $y$ :
якщо $x = 4$ , то $y = - \frac{12}{4} = - 3$ ;
якщо $x = - 4$ , то $y = - \frac{12}{- 4} = 3$ .

2) Якщо $x^{2} = 9$ , то:
$x = 3, x = - 3$

Знайдемо відповідні значення $y$ :
якщо $x = 3$ , то $y = - \frac{12}{3} = - 4$ ;
якщо $x = - 3$ , то $y = - \frac{12}{- 3} = 4$ .

Розв’язками системи є пари чисел $(4; - 3)$ , $(- 4; 3)$ , $(3; - 4)$ , $(- 3; 4)$ .

Відповідь: 1) $(6; 2); (2; 6)$ ; 2) $(4; - 3); (- 4; 3); (3; - 4); (- 3; 4)$ .

№ 60. Знайдіть усі розв’язки системи рівнянь:

1) ${5 y^{2} + x^{2} = 29 2 y^{2} + x^{2} = 17$

2) ${x^{2} + 2 y = 5 5 x^{2} + 3 y = 39$

3) ${3 x^{2} + x y = 10 2 x^{2} + 5 x y = - 2$

4) $⎩ ⎨ ⎧ \frac{3}{x} + \frac{5}{y} = 1 \frac{3}{x} - \frac{5}{y} = 0$

Розв’язання:

1) Віднімемо від першого рівняння друге:
$(5 y^{2} + x^{2}) - (2 y^{2} + x^{2}) = 29 - 17$
$3 y^{2} = 12$
$y^{2} = 4$
$y_{1} = 2, y_{2} = - 2$
З другого рівняння системи виразимо $x^{2}$ :
$x^{2} = 17 - 2 y^{2}$
При $y = \pm 2$ :
$x^{2} = 17 - 2 \cdot 4$
$x^{2} = 9$
$x_{1} = 3, x_{2} = - 3$
Розв’язками системи є пари чисел: $(3; 2)$ , $(- 3; 2)$ , $(3; - 2)$ , $(- 3; - 2)$ .

2) Помножимо перше рівняння системи на $- 5$ :
${- 5 x^{2} - 10 y = - 25 5 x^{2} + 3 y = 39$
Додамо почленно обидва рівняння:
$- 7 y = 14$
$y = - 2$
Підставимо $y = - 2$ у перше рівняння:
$x^{2} + 2 \cdot (- 2) = 5$
$x^{2} - 4 = 5$
$x^{2} = 9$
$x_{1} = 3, x_{2} = - 3$
Розв’язками системи є пари чисел: $(3; - 2)$ , $(- 3; - 2)$ .

3) Помножимо перше рівняння системи на $- 5$ :
${- 15 x^{2} - 5 x y = - 50 2 x^{2} + 5 x y = - 2$
Додамо почленно обидва рівняння:
$- 13 x^{2} = - 52$
$x^{2} = 4$
$x_{1} = 2, x_{2} = - 2$
З першого рівняння виразимо $y$ :
$x y = 10 - 3 x^{2}$
$y = \frac{10 - 3 x ^{2}}{x}$
Якщо $x = 2$ :
$y = \frac{10 - 3 \cdot 4}{2} = \frac{10 - 12}{2} = - 1$
Якщо $x = - 2$ :
$y = \frac{10 - 3 \cdot 4}{- 2} = \frac{10 - 12}{- 2} = 1$
Розв’язками системи є пари чисел: $(2; - 1)$ , $(- 2; 1)$ .

4) Область допустимих значень: $x \neq = 0$ , $y \neq = 0$ .
Додамо почленно обидва рівняння системи:
$\frac{6}{x} = 1$
$x = 6$
Віднімемо від першого рівняння друге:
$\frac{10}{y} = 1$
$y = 10$
Обидва значення задовольняють ОДЗ.
Розв’язком системи є пара чисел: $(6; 10)$ .

Відповідь: 1) $(3; 2)$ , $(- 3; 2)$ , $(3; - 2)$ , $(- 3; - 2)$ ; 2) $(3; - 2)$ , $(- 3; - 2)$ ; 3) $(2; - 1)$ , $(- 2; 1)$ ; 4) $(6; 10)$ .

№ 61. Розв’яжіть графічно систему рівнянь:

1) $⎩ ⎨ ⎧ y = ∣ x - 3∣ \frac{1}{4} x y - 1 = 0$

2) ${y = ∣ x ∣ - 1 y - x^{2} + 1 = 0$
За допомогою програми для побудови графіків перевірте правильність розв’язування однієї із систем.

Розв’язання:

1) Виразимо $y$ через $x$ у другому рівнянні:
$\frac{1}{4} x y = 1$
$x y = 4$
$y = \frac{4}{x}$

Побудуємо графіки функцій $y = ∣ x - 3∣$ та $y = \frac{4}{x}$ .

Графік $y = ∣ x - 3∣$ — куточок з вершиною в точці $(3; 0)$ :

$x$	$1$	$2$	$3$	$4$	$5$
$y$	$2$	$1$	$0$	$1$	$2$

Графік $y = \frac{4}{x}$ — гіпербола:

$x$	$- 4$	$- 2$	$- 1$	$1$	$2$	$4$
$y$	$- 1$	$- 2$	$- 4$	$4$	$2$	$1$

Графік до вправи № 61 (рис. 1) - Алгебра 9 клас

Графіки перетинаються в одній точці $(4; 1)$ .

2) Виразимо $y$ через $x$ у другому рівнянні:
$y = x^{2} - 1$

Побудуємо графіки функцій $y = ∣ x ∣ - 1$ та $y = x^{2} - 1$ .

Графік $y = ∣ x ∣ - 1$ :

$x$	$- 2$	$- 1$	$0$	$1$	$2$
$y$	$1$	$0$	$- 1$	$0$	$1$

Графік $y = x^{2} - 1$ — парабола з вершиною $(0; - 1)$ :

$x$	$- 2$	$- 1$	$0$	$1$	$2$
$y$	$3$	$0$	$- 1$	$0$	$3$

Графік до вправи № 61 (рис. 2) - Алгебра 9 клас

Графіки перетинаються в трьох точках: $(0; - 1)$ , $(- 1; 0)$ , $(1; 0)$ .

Відповідь: 1) $(4; 1)$ ; 2) $(0; - 1)$ , $(- 1; 0)$ , $(1; 0)$ .

№ 62. Знайдіть усі розв’язки системи рівнянь:

1) ${x y - x - 2 y = 7 3 x y - x - 3 y = 13$

2) ${x^{2} - x y = 6 y^{2} - x y = - 2$

Розв’язання:

1) ${x y - x - 2 y = 7 3 x y - x - 3 y = 13$

Віднімемо від другого рівняння перше:
$(3 x y - x - 3 y) - (x y - x - 2 y) = 13 - 7$
$2 x y - y = 6$
$y (2 x - 1) = 6$
$y = \frac{6}{2 x - 1}$

Підставимо вираз для $y$ у перше рівняння:
$x \cdot \frac{6}{2 x - 1} - x - 2 \cdot \frac{6}{2 x - 1} = 7$
$\frac{6 x - 12}{2 x - 1} - x = 7$
$6 x - 12 - x (2 x - 1) = 7 (2 x - 1)$
$6 x - 12 - 2 x^{2} + x = 14 x - 7$
$- 2 x^{2} + 7 x - 12 = 14 x - 7$
$2 x^{2} + 7 x + 5 = 0$
$D = 7^{2} - 4 \cdot 2 \cdot 5 = 49 - 40 = 9$
$x_{1} = \frac{- 7 - 3}{4} = - 2, 5$
$x_{2} = \frac{- 7 + 3}{4} = - 1$

Знайдемо відповідні значення $y$ :
Якщо $x = - 2, 5$ , то $y = \frac{6}{2 \cdot ( - 2 , 5 ) - 1} = \frac{6}{- 6} = - 1$ .
Якщо $x = - 1$ , то $y = \frac{6}{2 \cdot ( - 1 ) - 1} = \frac{6}{- 3} = - 2$ .

2) ${x^{2} - x y = 6 y^{2} - x y = - 2$

Запишемо систему у вигляді:
${x (x - y) = 6 - y (x - y) = - 2$

Поділимо перше рівняння на друге ( $x \neq = y$ , $y \neq = 0$ ):
$\frac{x ( x - y )}{- y ( x - y )} = \frac{6}{- 2}$
$- \frac{x}{y} = - 3$
$x = 3 y$

Підставимо $x = 3 y$ у перше рівняння:
$(3 y)^{2} - (3 y) \cdot y = 6$
$9 y^{2} - 3 y^{2} = 6$
$6 y^{2} = 6$
$y^{2} = 1$
$y_{1} = 1, y_{2} = - 1$

Знайдемо відповідні значення $x$ :
Якщо $y = 1$ , то $x = 3 \cdot 1 = 3$ .
Якщо $y = - 1$ , то $x = 3 \cdot (- 1) = - 3$ .

Відповідь: 1) $(- 2, 5; - 1)$ , $(- 1; - 2)$ ; 2) $(3; 1)$ , $(- 3; - 1)$ .

№ 63. Розв’яжіть систему рівнянь:

1) $⎩ ⎨ ⎧ x + y + \frac{x}{y} = 11 \frac{x}{y} (x + y) = 24$

2) $⎩ ⎨ ⎧ \frac{x + 3 y}{x - y} - \frac{x - y}{x + 3 y} = \frac{24}{5} 5 x + 8 y = 18$

Розв’язання:

1) Нехай $x + y = u$ , $\frac{x}{y} = v$ . Маємо систему:
${u + v = 11 uv = 24$

За теоремою Вієта $u$ та $v$ є коренями квадратного рівняння:
$t^{2} - 11 t + 24 = 0$

{u = 8 v = 3

або

{u = 3 v = 8

Повернемося до змінних $x$ і $y$ :
Перший випадок:
$⎩ ⎨ ⎧ x + y = 8 \frac{x}{y} = 3$
$x = 3 y$
$3 y + y = 8$
$4 y = 8$
$y = 2$
$x = 3 \cdot 2 = 6$

Другий випадок:
$⎩ ⎨ ⎧ x + y = 3 \frac{x}{y} = 8$
$x = 8 y$
$8 y + y = 3$
$9 y = 3$
$y = \frac{1}{3}$
$x = 8 \cdot \frac{1}{3} = 2 \frac{2}{3}$

2) Нехай $\frac{x + 3 y}{x - y} = t$ , тоді $\frac{x - y}{x + 3 y} = \frac{1}{t}$ .
Перше рівняння набуває вигляду:
$t - \frac{1}{t} = \frac{24}{5}$
$\frac{t ^{2} - 1}{t} = \frac{24}{5}$
$5 t^{2} - 24 t - 5 = 0$
$D = (- 24)^{2} - 4 \cdot 5 \cdot (- 5) = 576 + 100 = 676 = 2 6^{2}$
$t_{1} = \frac{24 + 26}{10} = 5$
$t_{2} = \frac{24 - 26}{10} = - \frac{1}{5}$

Перший випадок ( $t = 5$ ):
$\frac{x + 3 y}{x - y} = 5$
$x + 3 y = 5 (x - y)$
$x + 3 y = 5 x - 5 y$
$4 x = 8 y$
$x = 2 y$

Підставимо у друге рівняння:
$5 (2 y) + 8 y = 18$
$18 y = 18$
$y = 1$
$x = 2 \cdot 1 = 2$

Другий випадок ( $t = - \frac{1}{5}$ ):
$\frac{x + 3 y}{x - y} = - \frac{1}{5}$
$5 (x + 3 y) = - (x - y)$
$5 x + 15 y = - x + y$
$6 x = - 14 y$
$x = - \frac{7}{3} y$

Підставимо у друге рівняння:
$5 \cdot (- \frac{7}{3} y) + 8 y = 18$
$- \frac{35}{3} y + \frac{24}{3} y = 18$
$- \frac{11}{3} y = 18$
$y = - \frac{54}{11} = - 4 \frac{10}{11}$
$x = - \frac{7}{3} \cdot (- \frac{54}{11}) = \frac{126}{11} = 11 \frac{5}{11}$

Відповідь: 1) $(6; 2)$ , $(2 \frac{2}{3}; \frac{1}{3})$ ; 2) $(2; 1)$ , $(11 \frac{5}{11}; - 4 \frac{10}{11})$ .

№ 64. Різниця двох чисел дорівнює 3, а добуток дорівнює 10. Знайдіть ці числа.

Розв’язання:
Нехай шукані числа дорівнюють $x$ та $y$ .
Складемо систему рівнянь за умовою задачі:
${x - y = 3 x y = 10$

Виразимо $x$ через $y$ :
$x = y + 3$

Підставимо у друге рівняння:
$(y + 3) y = 10$
$y^{2} + 3 y - 10 = 0$

За теоремою Вієта:
$y_{1} = 2, y_{2} = - 5$

Знайдемо відповідні значення $x$ :
Якщо $y = 2$ , то $x = 2 + 3 = 5$ .
Якщо $y = - 5$ , то $x = - 5 + 3 = - 2$ .

Відповідь: $5$ і $2$ або $- 2$ і $- 5$ .

№ 65. Сума двох чисел дорівнює 12, а різниця їх квадратів — 24. Знайдіть ці числа.

Розв’язання:
Нехай перше число дорівнює $x$ , а друге — $y$ .
Складемо систему рівнянь за умовою задачі:
${x + y = 12 x^{2} - y^{2} = 24$

Розкладемо різницю квадратів на множники:
${x + y = 12 (x - y) (x + y) = 24$

Підставимо значення $x + y = 12$ у друге рівняння:
$(x - y) \cdot 12 = 24$
$x - y = 2$

Складемо систему лінійних рівнянь:
${x + y = 12 x - y = 2$

Додамо рівняння системи:
$2 x = 14$
$x = 7$

Знайдемо $y$ :
$7 + y = 12$
$y = 5$

Відповідь: $7$ і $5$ .

№ 66. Знайдіть катети прямокутного трикутника, якщо їх сума дорівнює $12 см$ , а площа трикутника дорівнює $16 см^{2}$ .

Розв’язання:
Нехай $x см$ та $y см$ — катети прямокутного трикутника ( $x > 0$ , $y > 0$ ).

Площа прямокутного трикутника дорівнює половині добутку його катетів: $S = \frac{1}{2} x y$ .

Складемо систему рівнянь за умовою задачі:

⎩ ⎨ ⎧ x + y = 12 \frac{1}{2} x y = 16

{y = 12 - x x y = 32

Підставимо вираз для $y$ у друге рівняння:

$x (12 - x) = 32$
$12 x - x^{2} = 32$
$x^{2} - 12 x + 32 = 0$

За теоремою Вієта:

$x_{1} = 4, x_{2} = 8$

Знайдемо відповідні значення $y$ :
Якщо $x = 4$ , то $y = 12 - 4 = 8$ .
Якщо $x = 8$ , то $y = 12 - 8 = 4$ .

Обидва значення задовольняють умову задачі. Отже, катети трикутника дорівнюють $4 см$ і $8 см$ .

Відповідь: $4 см, 8 см .$

№ 67. Добуток двох чисел дорівнює 20, а сума першого числа і потрійного другого дорівнює 19. Знайдіть ці числа.

Розв’язання:
Нехай перший множник дорівнює $x$ , а другий — $y$ .

Складемо систему рівнянь за умовою задачі:

{x \cdot y = 20 x + 3 y = 19

Виразимо $x$ через $y$ з другого рівняння:

$x = 19 - 3 y$

Підставимо отриманий вираз у перше рівняння:

$(19 - 3 y) y = 20$
$19 y - 3 y^{2} = 20$
$3 y^{2} - 19 y + 20 = 0$

Знайдемо дискримінант квадратного рівняння:

$D = (- 19)^{2} - 4 \cdot 3 \cdot 20$
$D = 361 - 240 = 121 = 1 1^{2}$

Обчислимо корені рівняння:

$y_{1} = \frac{19 + 11}{2 \cdot 3} = \frac{30}{6} = 5$
$y_{2} = \frac{19 - 11}{2 \cdot 3} = \frac{8}{6} = \frac{4}{3} = 1 \frac{1}{3}$

Знайдемо відповідні значення $x$ :
Якщо $y = 5$ , то $x = 19 - 3 \cdot 5 = 19 - 15 = 4$ .
Якщо $y = 1 \frac{1}{3} = \frac{4}{3}$ , то $x = 19 - 3 \cdot \frac{4}{3} = 19 - 4 = 15$ .

Відповідь: $4$ і $5$ або $15$ і $1 \frac{1}{3} .$

№ 68. Діагональ прямокутника дорівнює $15 см$ , а його площа — $108 см^{2}$ . Знайдіть сторони прямокутника.

Розв’язання:
Нехай сторони прямокутника дорівнюють $x см$ та $y см$ ( $x > 0$ , $y > 0$ ).

За теоремою Піфагора квадрат діагоналі дорівнює сумі квадратів сторін: $x^{2} + y^{2} = 1 5^{2} = 225$ .
Площа прямокутника становить: $x y = 108$ .

Складемо систему рівнянь:

{x^{2} + y^{2} = 225 x y = 108

Виразимо $y$ через $x$ :

$y = \frac{108}{x}$

Підставимо у перше рівняння:

$x^{2} + (\frac{108}{x})^{2} = 225$
$x^{2} + \frac{11664}{x ^{2}} = 225$
$x^{4} - 225 x^{2} + 11664 = 0$

Нехай $x^{2} = t$ , де $t > 0$ :

$t^{2} - 225 t + 11664 = 0$
$D = (- 225)^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 11664$
$D = 50625 - 46656 = 3969 = 6 3^{2}$

$t_{1} = \frac{225 - 63}{2} = \frac{162}{2} = 81$
$t_{2} = \frac{225 + 63}{2} = \frac{288}{2} = 144$

Повернемося до змінної $x$ :

1) $x^{2} = 81$
$x = 9$ ( $x = - 9$ не задовольняє умову $x > 0$ )
$y = \frac{108}{9} = 12$

2) $x^{2} = 144$
$x = 12$ ( $x = - 12$ не задовольняє умову $x > 0$ )
$y = \frac{108}{12} = 9$

Отже, сторони прямокутника дорівнюють $9 см$ та $12 см$ .

Відповідь: $9 см$ і $12 см .$

№ 69. Сума площ квадратів, побудованих на катетах прямокутного трикутника, дорівнює $41 см^{2}$ , а площа трикутника — $10 см^{2}$ . Знайдіть катети трикутника.

Розв’язання:
Нехай катети прямокутного трикутника дорівнюють $x см$ та $y см$ ( $x > 0$ , $y > 0$ ).

Площі квадратів, побудованих на катетах, дорівнюють $x^{2}$ та $y^{2}$ , а площа прямокутного трикутника — $\frac{1}{2} x y$ .

Складемо систему рівнянь:

⎩ ⎨ ⎧ x^{2} + y^{2} = 41 \frac{1}{2} x y = 10

{x^{2} + y^{2} = 41 x y = 20

Виразимо $y$ через $x$ :

$y = \frac{20}{x}$

Підставимо у перше рівняння:

$x^{2} + (\frac{20}{x})^{2} = 41$
$x^{2} + \frac{400}{x ^{2}} = 41$
$x^{4} - 41 x^{2} + 400 = 0$

Нехай $x^{2} = t$ , де $t > 0$ :

$t^{2} - 41 t + 400 = 0$

За теоремою Вієта:

$t_{1} = 16, t_{2} = 25$

Повернемося до змінної $x$ :

1) $x^{2} = 16$
$x = 4$ ( $x = - 4$ не задовольняє умову $x > 0$ )
$y = \frac{20}{4} = 5$

2) $x^{2} = 25$
$x = 5$ ( $x = - 5$ не задовольняє умову $x > 0$ )
$y = \frac{20}{5} = 4$

Отже, катети трикутника дорівнюють $4 см$ і $5 см$ .

Відповідь: $4 см, 5 см .$

№ 70. Сума квадратів цифр двоцифрового числа дорівнює 34. Якщо до цього числа додати 18, то отримаємо число, що записано тими самими цифрами, але у зворотному порядку. Знайдіть це число.

Розв’язання:
Нехай $a$ — цифра десятків ( $a \in {1, 2, \dots, 9}$ ), а $b$ — цифра одиниць ( $b \in {0, 1, \dots, 9}$ ) шуканого двоцифрового числа.

Шукане двоцифрове число має вигляд $10 a + b$ , а число із записаними у зворотному порядку цифрами — $10 b + a$ .

Складемо систему рівнянь за умовою задачі:

{a^{2} + b^{2} = 34 10 a + b + 18 = 10 b + a

Спростимо друге рівняння:

$10 b + a - 10 a - b = 18$
$9 b - 9 a = 18$
$b - a = 2$
$b = a + 2$

Підставимо вираз $b = a + 2$ у перше рівняння:

$a^{2} + (a + 2)^{2} = 34$
$a^{2} + a^{2} + 4 a + 4 = 34$
$2 a^{2} + 4 a + 4 - 34 = 0$
$2 a^{2} + 4 a - 30 = 0$
$a^{2} + 2 a - 15 = 0$

За теоремою Вієта:

$a_{1} = - 5$ (не задовольняє умову, оскільки цифра $a > 0$ )
$a_{2} = 3$

Якщо $a = 3$ , то:

$b = 3 + 2 = 5$

Шукане двоцифрове число:

$10 \cdot 3 + 5 = 35$

Відповідь: 35.

№ 71. Площа прямокутника дорівнює $40 см^{2}$ . Якщо одну з його сторін збільшити на $2 см$ , а другу — на $1 см$ , то матимемо прямокутник із площею $60 см^{2}$ . Знайдіть периметр початкового прямокутника.

Розв’язання:
Нехай довжини сторін початкового прямокутника дорівнюють $x см$ та $y см$ ( $x > 0$ , $y > 0$ ).
За умовою задачі складемо систему рівнянь:

{x y = 40 (x + 2) (y + 1) = 60

Розкриємо дужки в другому рівнянні:
$x y + x + 2 y + 2 = 60$

Підставимо значення $x y = 40$ :
$40 + x + 2 y + 2 = 60$
$x + 2 y + 42 = 60$
$x + 2 y = 18$
$x = 18 - 2 y$

Підставимо вираз для $x$ у перше рівняння:
$(18 - 2 y) y = 40$
$18 y - 2 y^{2} = 40$
$2 y^{2} - 18 y + 40 = 0$
$y^{2} - 9 y + 20 = 0$

За теоремою Вієта:
$y_{1} = 4, y_{2} = 5$

Знайдемо відповідні значення $x$ та периметр $P = 2 (x + y)$ :

1) Якщо $y = 4$ , то:
$x = 18 - 2 \cdot 4 = 10$
$P = 2 (10 + 4) = 2 \cdot 14 = 28 (см)$

2) Якщо $y = 5$ , то:
$x = 18 - 2 \cdot 5 = 8$
$P = 2 (8 + 5) = 2 \cdot 13 = 26 (см)$

Відповідь: $26 см$ або $28 см$ .

№ 72. З міста $A$ до міста $B$ , відстань між якими $240 км$ , одночасно виїхали дві автівки. Через $2 год$ виявилося, що перша проїхала на $20 км$ більше, ніж друга. Знайдіть швидкість кожної автівки, якщо на весь шлях перша витрачає на $20 хв$ менше, ніж друга.

Розв’язання:
Нехай швидкість першої автівки дорівнює $v_{1} км / год$ , а другої — $v_{2} км / год$ ( $v_{1} > 0$ , $v_{2} > 0$ ).
За $2 год$ перша автівка проїхала $2 v_{1} км$ , а друга — $2 v_{2} км$ .
За умовою:
$2 v_{1} - 2 v_{2} = 20$
$v_{1} - v_{2} = 10$
$v_{1} = v_{2} + 10$

Час руху першої автівки становить $\frac{240}{v _{1}} год$ , а другої — $\frac{240}{v _{2}} год$ .
Оскільки $20 хв = \frac{20}{60} год = \frac{1}{3} год$ , маємо рівняння:
$\frac{240}{v _{2}} - \frac{240}{v _{1}} = \frac{1}{3}$

Підставимо $v_{1} = v_{2} + 10$ :
$\frac{240}{v _{2}} - \frac{240}{v _{2} + 10} = \frac{1}{3}$

$\frac{240 ( v _{2} + 10 ) - 240 v _{2}}{v _{2} ( v _{2} + 10 )} = \frac{1}{3}$

$\frac{2400}{v _{2}^{2} + 10 v _{2}} = \frac{1}{3}$

$v_{2}^{2} + 10 v_{2} = 7200$

$v_{2}^{2} + 10 v_{2} - 7200 = 0$

$D = 1 0^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 7200) = 100 + 28800 = 28900 = 17 0^{2}$

$v_{2} = \frac{- 10 + 170}{2} = 80$
$v_{2} = \frac{- 10 - 170}{2} = - 90$ (не задовольняє умову $v_{2} > 0$ )

Отже, швидкість другої автівки дорівнює $80 км / год$ .
Знайдемо швидкість першої автівки:
$v_{1} = 80 + 10 = 90 (км / год)$

Відповідь: $90 км / год$ , $80 км / год$ .

№ 73. У кілька однакових кошиків розклали порівну $24 кг$ малини. Якби в кожен кошик поклали на $1 кг$ малини більше, то $2$ кошики виявилися б зайвими. Скільки було кошиків?

Розв’язання:
Нехай спочатку в кожен кошик клали $x кг$ малини ( $x > 0$ ).
Тоді початкова кількість кошиків становила $\frac{24}{x}$ .

Якби в кожен кошик поклали $(x + 1) кг$ , то знадобилося б $\frac{24}{x + 1}$ кошиків.
За умовою задачі кількість кошиків зменшилася б на $2$ :
$\frac{24}{x} - \frac{24}{x + 1} = 2$

Поділимо обидві частини рівняння на $2$ :
$\frac{12}{x} - \frac{12}{x + 1} = 1$

Помножимо обидві частини на $x (x + 1) \neq = 0$ :
$12 (x + 1) - 12 x = x (x + 1)$
$12 x + 12 - 12 x = x^{2} + x$
$x^{2} + x - 12 = 0$

За теоремою Вієта:
$x_{1} = 3$
$x_{2} = - 4$ (не задовольняє умову $x > 0$ )

Отже, у кожен кошик клали по $3 кг$ малини.
Знайдемо початкову кількість кошиків:
$\frac{24}{3} = 8$

Відповідь: $8$ кошиків.

№ 74. (Задача Маклорена.) Кілька осіб пообідали разом і мали заплатити за обід $175$ шилінгів. З’ясувалося, що у двох не було із собою коштів, тому інші заплатили на $10$ шилінгів більше, ніж мали заплатити. Скільки осіб пообідало разом?

Розв’язання:
Нехай разом пообідало $x$ осіб ( $x > 2$ , $x \in N$ ).
Тоді частка кожної особи мала становити $\frac{175}{x}$ шилінгів.

Оскільки заплатило $(x - 2)$ осіб, кожен із них заплатив по $\frac{175}{x - 2}$ шилінгів.
За умовою задачі кожен заплатив на $10$ шилінгів більше:
$\frac{175}{x - 2} - \frac{175}{x} = 10$

Поділимо обидві частини рівняння на $5$ :
$\frac{35}{x - 2} - \frac{35}{x} = 2$

Помножимо на $x (x - 2) \neq = 0$ :
$35 x - 35 (x - 2) = 2 x (x - 2)$
$35 x - 35 x + 70 = 2 x^{2} - 4 x$
$2 x^{2} - 4 x - 70 = 0$
$x^{2} - 2 x - 35 = 0$

За теоремою Вієта:
$x_{1} = 7$
$x_{2} = - 5$ (не задовольняє умову $x > 2$ )

Отже, пообідало разом $7$ осіб.

Відповідь: $7$ осіб.

№ 75. Яке двоцифрове число на $4$ менше від суми квадратів його цифр і на $5$ більше за їх подвоєний добуток?

Розв’язання:
Нехай число має вигляд $10 a + b$ , де $a \in {1, 2, \dots, 9}$ — цифра десятків, $b \in {0, 1, \dots, 9}$ — цифра одиниць.
За умовою задачі складемо систему рівнянь:

{10 a + b = a^{2} + b^{2} - 4 10 a + b = 2 ab + 5

Віднімемо від першого рівняння друге:
$(a^{2} + b^{2} - 4) - (2 ab + 5) = 0$
$a^{2} - 2 ab + b^{2} - 9 = 0$
$(a - b)^{2} = 9$

$a - b = 3, a - b = - 3$

Розглянемо два випадки:

1) $a = b + 3$
Підставимо в друге рівняння системи:
$10 (b + 3) + b = 2 (b + 3) b + 5$
$10 b + 30 + b = 2 b^{2} + 6 b + 5$
$11 b + 30 = 2 b^{2} + 6 b + 5$
$2 b^{2} - 5 b - 25 = 0$
$D = (- 5)^{2} - 4 \cdot 2 \cdot (- 25) = 25 + 200 = 225 = 1 5^{2}$
$b = \frac{5 + 15}{4} = 5$
$b = \frac{5 - 15}{4} = - 2, 5$ (не є цифрою)
Якщо $b = 5$ , то $a = 5 + 3 = 8$ .
Отримуємо число $85$ .

2) $a = b - 3$
Підставимо в друге рівняння системи:
$10 (b - 3) + b = 2 (b - 3) b + 5$
$10 b - 30 + b = 2 b^{2} - 6 b + 5$
$11 b - 30 = 2 b^{2} - 6 b + 5$
$2 b^{2} - 17 b + 35 = 0$
$D = (- 17)^{2} - 4 \cdot 2 \cdot 35 = 289 - 280 = 9 = 3^{2}$
$b = \frac{17 + 3}{4} = 5$
$b = \frac{17 - 3}{4} = 3, 5$ (не є цифрою)
Якщо $b = 5$ , то $a = 5 - 3 = 2$ .
Отримуємо число $25$ .

Відповідь: $25$ або $85$ .

№ 76. Периметр ділянки прямокутної форми дорівнює $360 м$ . Якщо довжину ділянки зменшити на $20 м$ , а ширину — на $30 м$ , то площа ділянки зменшиться вдвічі. Знайдіть розміри ділянки, якщо її довжина більша за ширину.

Розв’язання:
Нехай довжина ділянки дорівнює $a м$ , а ширина — $b м$ , де $a > b > 0$ .
Периметр прямокутної ділянки:
$2 (a + b) = 360$
$a + b = 180$
$a = 180 - b$

Початкова площа ділянки: $S_{1} = a \cdot b$ .
Після зменшення довжина становить $(a - 20) м$ , ширина — $(b - 30) м$ , а площа: $S_{2} = (a - 20) (b - 30)$ .

За умовою початкова площа вдвічі більша за нову:
$a \cdot b = 2 (a - 20) (b - 30)$

Підставимо вираз $a = 180 - b$ :
$(180 - b) b = 2 (180 - b - 20) (b - 30)$
$180 b - b^{2} = 2 (160 - b) (b - 30)$
$180 b - b^{2} = 2 (160 b - 4800 - b^{2} + 30 b)$
$180 b - b^{2} = 2 (- b^{2} + 190 b - 4800)$
$180 b - b^{2} = - 2 b^{2} + 380 b - 9600$
$b^{2} - 200 b + 9600 = 0$

За теоремою Вієта:
$b_{1} = 80, b_{2} = 120$

Якщо $b = 80$ , то $a = 180 - 80 = 100$ (задовольняє умову $a > b$ , оскільки $100 > 80$ ).
Якщо $b = 120$ , то $a = 180 - 120 = 60$ (не задовольняє умову $a > b$ , оскільки $60 < 120$ ).

Отже, довжина ділянки дорівнює $100 м$ , а ширина — $80 м$ .

Відповідь: $100 м$ ; $80 м$ .

№ 77. Дві бригади, працюючи разом, можуть виконати певне завдання за 12 год. Якщо спочатку половину роботи виконає перша бригада, а потім друга її завершить, то всю роботу буде виконано за 25 год. За скільки годин може виконати завдання кожна бригада, працюючи самостійно?

Розв’язання:
Нехай перша бригада може самостійно виконати завдання за $x год$ , а друга — за $y год$ ( $x > 0$ , $y > 0$ ).
Продуктивність першої бригади становить $\frac{1}{x}$ роботи за годину, а другої — $\frac{1}{y}$ роботи за годину.
Працюючи разом, бригади виконують за 1 годину $\frac{1}{12}$ частину завдання:
$\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{1}{12}$

Половину всієї роботи перша бригада виконує за $\frac{x}{2} год$ , а другу половину друга бригада виконує за $\frac{y}{2} год$ .
За умовою на всю роботу витрачено $25 год$ :
$\frac{x}{2} + \frac{y}{2} = 25$
$x + y = 50$
$y = 50 - x$

Складемо систему рівнянь:

⎩ ⎨ ⎧ \frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{1}{12} y = 50 - x

Підставимо $y = 50 - x$ у перше рівняння:
$\frac{1}{x} + \frac{1}{50 - x} = \frac{1}{12}$
$\frac{50 - x + x}{x ( 50 - x )} = \frac{1}{12}$
$\frac{50}{50 x - x ^{2}} = \frac{1}{12}$
$50 x - x^{2} = 600$
$x^{2} - 50 x + 600 = 0$

За теоремою Вієта:
$x_{1} = 20, x_{2} = 30$

Якщо $x = 20$ , то $y = 50 - 20 = 30$ .
Якщо $x = 30$ , то $y = 50 - 30 = 20$ .

Відповідь: $20 год$ і $30 год$ .

№ 78. Майстриня-склодув мала виготовити 200 скляних новорічних іграшок. Перші два дні вона виконувала денну норму, а потім щодня виготовляла на 4 іграшки більше, ніж передбачено нормою. Тому вже за день до кінця терміну виготовила 208 скляних іграшок. Скільки іграшок щодня мала виготовляти майстриня за нормою?

Розв’язання:
Нехай денна норма за планом становить $x$ іграшок ( $x > 0$ ).
Тоді плановий час роботи дорівнює $\frac{200}{x} днів$ .

За перші 2 дні майстриня виготовила $2 x$ іграшок.
Надалі щоденна продуктивність становила $(x + 4)$ іграшки.
Уся робота була виконана на 1 день раніше запланованого строку, тобто за $(\frac{200}{x} - 1) днів$ .
Час роботи з підвищеною продуктивністю:
$(\frac{200}{x} - 1) - 2 = \frac{200}{x} - 3 (дні)$

Кількість виготовлених іграшок за цей період: $(x + 4) (\frac{200}{x} - 3)$ .
Усього було виготовлено 208 іграшок. Складемо рівняння:
$2 x + (x + 4) (\frac{200}{x} - 3) = 208$
$2 x + 200 - 3 x + \frac{800}{x} - 12 = 208$
$- x + 188 + \frac{800}{x} = 208$
$- x + \frac{800}{x} - 20 = 0$

Помножимо обидві частини рівняння на $- x$ ( $x \neq = 0$ ):
$x^{2} + 20 x - 800 = 0$

За теоремою Вієта:
$x_{1} = 20$
$x_{2} = - 40$ (не задовольняє умову, оскільки $x > 0$ )

Отже, денна норма становила 20 іграшок.

Відповідь: 20 іграшок.

Вправи для повторення розділу 2

Теги статті:

До уроку