1. Яка з нерівностей є квадратною?

Квадратною нерівністю називають нерівність виду $a x^{2} + b x + c > 0$ (або $< 0, \geq 0, \leq 0$ ), де $x$ — змінна, $a, b, c$ — числа, причому $a \neq = 0$ .

Проаналізуємо подані варіанти:

А. $2 x^{2} - 3 x^{3} \geq 0$ — містить доданок $x^{3}$ , тому є нерівністю третього степеня.

Б. $7 x^{2} - 9 x + 12 \leq 0$ — відповідає вигляду $a x^{2} + b x + c \leq 0$ , де $a = 7 \neq = 0, b = - 9, c = 12$ , тому є квадратною нерівністю.

В. $\frac{1}{3 x ^{2} - 2 x + 7} < 0$ — є дробово-раціональною нерівністю.

Г. $2 x - 9 > 0$ — є лінійною нерівністю.

Відповідь: Б.

2. Укажіть число, що є розв’язком нерівності $x^{2} - 2 x - 3 < 0$ .

Знайдемо нулі квадратичної функції $f (x) = x^{2} - 2 x - 3$ , розв’язавши квадратне рівняння:

$x^{2} - 2 x - 3 = 0$

За теоремою Вієта:

${x_{1} + x_{2} = 2 x_{1} \cdot x_{2} = - 3 ⟹ x_{1} = 3, x_{2} = - 1$

Оскільки старший коефіцієнт $a = 1 > 0$ , вітки параболи напрямлені вгору. Функція набуває від’ємних значень на проміжку $(- 1; 3)$ .

Перевіримо запропоновані числа на належність проміжку $(- 1; 3)$ :

А. $- 2 \in / (- 1; 3)$

Б. $2 \in (- 1; 3)$

В. $4 \in / (- 1; 3)$

Г. $- 1 \in / (- 1; 3)$ (оскільки нерівність строга)

Відповідь: Б.

3. Укажіть розв’язок системи рівнянь ${x + y = 5 x^{2} - y^{2} = 15$

Розкладемо ліву частину другого рівняння системи на множники за формулою різниці квадратів:

$x^{2} - y^{2} = (x - y) (x + y)$

Підставимо значення $x + y = 5$ у друге рівняння:

$(x - y) \cdot 5 = 15 ⟹ x - y = 3$

Складемо еквівалентну лінійну систему рівнянь:

${x + y = 5 x - y = 3$

Додамо почленно два рівняння системи:

$2 x = 8 ⟹ x = 4$

Знайдемо значення $y$ , підставивши $x = 4$ у перше рівняння:

$4 + y = 5 ⟹ y = 1$

Розв’язком системи є пара чисел $(4; 1)$ .

Відповідь: Г.

4. Розв’яжіть нерівність $x^{2} + 2 x \leq 0$ .

Знайдемо нулі функції $f (x) = x^{2} + 2 x$ :

$x^{2} + 2 x = 0$

$x (x + 2) = 0 ⟹ x_{1} = 0, x_{2} = - 2$

Графіком функції є парабола з вітками, напрямленими вгору ( $a = 1 > 0$ ). Значення функції є недодатними ( $f (x) \leq 0$ ) між її нулями, тобто на закритому проміжку $[- 2; 0]$ .

Отже, $x \in [- 2; 0]$ .

Відповідь: А.

5. Розв’яжіть систему рівнянь ${x - y = 2 x^{2} + y^{2} = 10$

Виразимо змінну $x$ через $y$ з першого рівняння системи:

$x = y + 2$

Підставимо отриманий вираз у друге рівняння:

$(y + 2)^{2} + y^{2} = 10$

Застосуємо формулу квадрата суми та зведемо подібні доданки:

$y^{2} + 4 y + 4 + y^{2} = 10$

$2 y^{2} + 4 y - 6 = 0$

Поділимо обидві частини рівняння на $2$ :

$y^{2} + 2 y - 3 = 0$

За теоремою Вієта знаходимо корені квадратного рівняння:

${y_{1} + y_{2} = - 2 y_{1} \cdot y_{2} = - 3 ⟹ y_{1} = 1, y_{2} = - 3$

Обчислимо відповідні значення $x$ :

1) Якщо $y_{1} = 1$ , то $x_{1} = 1 + 2 = 3$ . Перший розв’язок: $(3; 1)$ .

2) Якщо $y_{2} = - 3$ , то $x_{2} = - 3 + 2 = - 1$ . Другий розв’язок: $(- 1; - 3)$ .

Система має два розв’язки: $(3; 1)$ та $(- 1; - 3)$ .

Відповідь: В.

6. Сума катетів прямокутного трикутника дорівнює $21 см$ , а його площа — $54 см^{2}$ . Знайдіть менший катет трикутника.

Розв’язання:

1) Позначимо катети прямокутного трикутника через $a см$ та $b см$ , де $a > 0$ і $b > 0$ .

2) За умовою задачі складемо систему рівнянь:

$⎩ ⎨ ⎧ a + b = 21 \frac{1}{2} ab = 54 ⟹ {a + b = 21 ab = 108$

3) Виразимо $b$ через $a$ з першого рівняння:

$b = 21 - a$

4) Підставимо вираз у друге рівняння:

$a (21 - a) = 108$

$21 a - a^{2} = 108$

$a^{2} - 21 a + 108 = 0$

5) Знайдемо корені квадратного рівняння через дискримінант:

$D = (- 21)^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 108 = 441 - 432 = 9$

$a_{1} = \frac{21 + 9}{2 \cdot 1} = \frac{21 + 3}{2} = 12$

$a_{2} = \frac{21 - 9}{2 \cdot 1} = \frac{21 - 3}{2} = 9$

Якщо $a = 12 см$ , то $b = 21 - 12 = 9 см$ .

Якщо $a = 9 см$ , то $b = 21 - 9 = 12 см$ .

Отже, катети трикутника дорівнюють $9 см$ і $12 см$ . Меншим катетом є $9 см$ .

Відповідь: Г ( $9 см$ ).

7. Знайдіть область визначення функції $y = \frac{6 - x - x ^{2}}{x + 1}$ .

Розв’язання:

1) Область визначення даної функції визначається двома умовами:

Підкореневий вираз у чисельнику має бути невід’ємним: $6 - x - x^{2} \geq 0$ .
Знаменник дробу не повинен дорівнювати нулю: $x + 1 \neq = 0$ .

Складемо систему:

${6 - x - x^{2} \geq 0 x + 1 \neq = 0$

2) Розв’яжемо першу нерівність $6 - x - x^{2} \geq 0$ :

Помножимо обидві частини на $- 1$ (змінивши знак нерівності):

$x^{2} + x - 6 \leq 0$

Знайдемо нулі квадратичної функції $f (x) = x^{2} + x - 6$ :

$x^{2} + x - 6 = 0$

$D = 1^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 6) = 1 + 24 = 25$

$x_{1} = \frac{- 1 - 5}{2} = - 3, x_{2} = \frac{- 1 + 5}{2} = 2$

Оскільки графіком є парабола, вітки якої спрямовані вгору, розв’язком нерівності $x^{2} + x - 6 \leq 0$ є проміжок $[- 3; 2]$ .

3) З другої умови $x + 1 \neq = 0$ маємо: $x \neq = - 1$ .

4) Об’єднуючи отримані обмеження, виключаємо точку $x = - 1$ з проміжку $[- 3; 2]$ :

$x \in [- 3; - 1) \cup (- 1; 2]$

Відповідь: А ( $[- 3; - 1) \cup (- 1; 2]$ ).

8. Із двох пунктів, відстань між якими $6 км$ , одночасно назустріч один одному вирушили два пішоходи і зустрілися через $1 год 12 хв$ . Знайдіть швидкість того пішохода, котрий ішов швидше, якщо на весь шлях він витратив на $1 год$ менше, ніж другий.

Розв’язання:

1) Переведемо час зустрічі в години:

$1 год 12 хв = 1 + \frac{12}{60} = 1 + \frac{1}{5} = 1, 2 год = \frac{6}{5} год$

2) Нехай швидкість першого (швидшого) пішохода дорівнює $v_{1} км / год$ , а швидкість другого — $v_{2} км / год$ .

Оскільки вони рухалися назустріч один одному і подолали $6 км$ за $1, 2 год$ , їхня швидкість зближення дорівнює:

$v_{1} + v_{2} = \frac{6}{1 , 2} = 5 ⟹ v_{2} = 5 - v_{1}$

3) Час, витрачений кожним пішоходом на весь шлях у $6 км$ :

Перший пішохід: $t_{1} = \frac{6}{v _{1}} год$ .
Другий пішохід: $t_{2} = \frac{6}{v _{2}} = \frac{6}{5 - v _{1}} год$ .

За умовою перший пішохід витратив на $1 год$ менше, ніж другий:

$t_{2} - t_{1} = 1 ⟹ \frac{6}{5 - v _{1}} - \frac{6}{v _{1}} = 1$

Область допустимих значень (ОДЗ): $v_{1} > 0$ та $v_{1} < 5$ .

4) Зведемо рівняння до спільного знаменника $v_{1} (5 - v_{1})$ :

$6 v_{1} - 6 (5 - v_{1}) = v_{1} (5 - v_{1})$

$6 v_{1} - 30 + 6 v_{1} = 5 v_{1} - v_{1}^{2}$

$12 v_{1} - 30 = 5 v_{1} - v_{1}^{2}$

$v_{1}^{2} + 7 v_{1} - 30 = 0$

5) Розв’яжемо квадратне рівняння:

$D = 7^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 30) = 49 + 120 = 169$

$v_{1} = \frac{- 7 + 169}{2 \cdot 1} = \frac{- 7 + 13}{2} = 3 (км / год)$

$v_{1} = \frac{- 7 - 13}{2} = - 10 (сторонній корінь, оскільки v_{1} > 0)$

Отже, швидкість пішохода, який ішов швидше, дорівнює $3 км / год$ .

Відповідь: В ( $3 км / год$ ).

9. Не виконуючи побудови, знайдіть усі точки перетину прямої $x + y = 3$ і параболи $y = x^{2} + 1$ .

Розв’язання:

1) Для знаходження точок перетину складемо та розв’яжемо систему рівнянь:

${x + y = 3 y = x^{2} + 1$

2) Виразимо $y$ з першого рівняння:

$y = 3 - x$

3) Прирівняємо праві частини виразів для $y$ :

$3 - x = x^{2} + 1$

$x^{2} + x - 2 = 0$

4) Знайдемо корені квадратного рівняння:

$D = 1^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 2) = 1 + 8 = 9$

$x_{1} = \frac{- 1 - 3}{2} = - 2$

$x_{2} = \frac{- 1 + 3}{2} = 1$

5) Обчислимо відповідні значення ординат $y$ , використовуючи формулу $y = 3 - x$ :

Якщо $x_{1} = - 2$ , то $y_{1} = 3 - (- 2) = 5$ . Точка перетину: $(- 2; 5)$ .
Якщо $x_{2} = 1$ , то $y_{2} = 3 - 1 = 2$ . Точка перетину: $(1; 2)$ .

Таким чином, точки перетину мають координати $(1; 2)$ та $(- 2; 5)$ .

Відповідь: Б ( $(1; 2), (- 2; 5)$ ).

10. Укажіть усі розв’язки системи рівнянь

${x - 2 x y = 6 y - 2 x y = 3$

Розв’язання:

1) Запишемо початкову систему рівнянь:

${x - 2 x y = 6 y - 2 x y = 3$

2) Віднімемо від першого рівняння друге рівняння:

$(x - 2 x y) - (y - 2 x y) = 6 - 3$

$x - y = 3 ⟹ x = y + 3$

3) Підставимо вираз $x = y + 3$ у друге рівняння системи:

$y - 2 (y + 3) y = 3$

$y - 2 y^{2} - 6 y = 3$

$- 2 y^{2} - 5 y - 3 = 0$

Помножимо всі члени на $- 1$ :

$2 y^{2} + 5 y + 3 = 0$

4) Знайдемо значення $y$ через дискримінант:

$D = 5^{2} - 4 \cdot 2 \cdot 3 = 25 - 24 = 1$

$y_{1} = \frac{- 5 + 1}{4} = \frac{- 4}{4} = - 1$

$y_{2} = \frac{- 5 - 1}{4} = \frac{- 6}{4} = - 1, 5$

5) Знайдемо відповідні значення $x$ , застосовуючи рівність $x = y + 3$ :

Якщо $y_{1} = - 1$ , то $x_{1} = - 1 + 3 = 2$ . Пара розв’язків: $(2; - 1)$ .
Якщо $y_{2} = - 1, 5$ , то $x_{2} = - 1, 5 + 3 = 1, 5$ . Пара розв’язків: $(1, 5; - 1, 5)$ .

Отже, система рівнянь має два розв’язки: $(2; - 1)$ та $(1, 5; - 1, 5)$ .

Відповідь: А ( $(2; - 1), (1, 5; - 1, 5)$ ).

11. Знайдіть усі значення $a$ , за яких рівняння $x^{2} + (2 - a) x + 9 = 0$ має два різних корені.

Квадратне рівняння $x^{2} + (2 - a) x + 9 = 0$ має два різних корені тоді і тільки тоді, коли його дискримінант $D > 0$ .

Обчислимо дискримінант рівняння:

$D = b^{2} - 4 a c = (2 - a)^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 9 = (2 - a)^{2} - 36$

Розв’яжемо нерівність $D > 0$ :

$(2 - a)^{2} - 36 > 0$

$((2 - a) - 6) ((2 - a) + 6) > 0$

$(- a - 4) (- a + 8) > 0$

Помножимо обидві дужки на $- 1$ :

$(a + 4) (a - 8) > 0$

Знайдемо нулі функції $f (a) = (a + 4) (a - 8)$ :

$a_{1} = - 4, a_{2} = 8$

За методом інтервалів визначимо знаки виразу на отриманих проміжках:

На проміжках $(- \infty; - 4)$ та $(8; + \infty)$ вираз набуває додатних значень.

Отже, $a \in (- \infty; - 4) \cup (8; + \infty)$ .

Відповідь: Г ( $(- \infty; - 4) \cup (8; + \infty)$ ).

12. Майстер і учень, працюючи разом, виконують деяку роботу за $6 год$ . Працюючи самостійно, майстер виконує $\frac{1}{5}$ частини роботи на $3 год$ швидше, ніж учень $\frac{1}{3}$ частину роботи. За скільки годин виконає роботу учень, якщо працюватиме самостійно?

Розв’язання:

1) Нехай майстер, працюючи самостійно, може виконати всю роботу за $x год$ , а учень — за $y год$ (де $x > 0, y > 0$ ).

Тоді продуктивність праці майстра за $1 год$ становить $\frac{1}{x}$ частини роботи, а учня — $\frac{1}{y}$ частини роботи.

2) Працюючи разом, за $6 год$ вони виконують всю роботу ( $1$ ):

$6 \cdot (\frac{1}{x} + \frac{1}{y}) = 1 ⟹ \frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{1}{6}$

3) Майстер виконує $\frac{1}{5}$ частини роботи за $\frac{1}{5} x год$ , а учень виконує $\frac{1}{3}$ частини роботи за $\frac{1}{3} y год$ .

За умовою задачі різниця між цими проміжками часу дорівнює $3 год$ :

$\frac{1}{3} y - \frac{1}{5} x = 3$

4) Складемо та розв’яжемо систему рівнянь:

$⎩ ⎨ ⎧ \frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{1}{6} \frac{1}{3} y - \frac{1}{5} x = 3$

Виразимо $x$ з другого рівняння:

$\frac{1}{5} x = \frac{1}{3} y - 3 ⟹ x = \frac{5}{3} y - 15 = \frac{5 y - 45}{3}$

Підставимо отриманий вираз для $x$ у перше рівняння системи:

$\frac{3}{5 y - 45} + \frac{1}{y} = \frac{1}{6}$

ОДЗ: $y > 0$ , $5 y - 45 \neq = 0 ⟹ y \neq = 9$ .

Зведемо ліву частину до спільного знаменника $y (5 y - 45)$ :

$\frac{3 y + 5 y - 45}{y ( 5 y - 45 )} = \frac{1}{6}$

$\frac{8 y - 45}{5 y ^{2} - 45 y} = \frac{1}{6}$

За основною властивістю пропорції:

$6 (8 y - 45) = 5 y^{2} - 45 y$

$48 y - 270 = 5 y^{2} - 45 y$

$5 y^{2} - 93 y + 270 = 0$

Обчислимо дискримінант квадратного рівняння:

$D = (- 93)^{2} - 4 \cdot 5 \cdot 270 = 8649 - 5400 = 3249 = 5 7^{2}$

Знайдемо корені рівняння:

$y_{1} = \frac{93 + 57}{2 \cdot 5} = \frac{150}{10} = 15$

$y_{2} = \frac{93 - 57}{10} = \frac{36}{10} = 3, 6$

Проаналізуємо отримані значення:

Якщо $y = 15$ , то $x = \frac{5 \cdot 15 - 45}{3} = \frac{30}{3} = 10 год$ (умова $x > 0$ виконується).
Якщо $y = 3, 6$ , то $x = \frac{5 \cdot 3 , 6 - 45}{3} = \frac{18 - 45}{3} = - 9 < 0$ , що є стороннім коренем, оскільки час виконання роботи не може бути від’ємним.

Таким чином, учень може виконати роботу самостійно за $15 год$ .

Відповідь: Г ( $15 год$ ).

13. Установіть відповідність між нерівністю (1–3) та множиною її розв’язків (А–Г).

1) $(x + 1)^{2} - 5 x \geq 1$

Розкриємо квадрат двочлена та зведемо подібні доданки:

$x^{2} + 2 x + 1 - 5 x \geq 1$

$x^{2} - 3 x \geq 0$

$x (x - 3) \geq 0$

Нулі функції: $x = 0$ та $x = 3$ .

За методом інтервалів отримуємо множину розв’язків: $(- \infty; 0] \cup [3; + \infty)$ , що відповідає варіанту В.

2) $x^{2} - 6 x + 9 \geq 0$

Згорнемо ліву частину за формулою квадрата різниці:

$(x - 3)^{2} \geq 0$

Оскільки квадрат будь-якого дійсного числа завжди є невід’ємним, нерівність виконується для всіх $x \in R$ , тобто на проміжку $(- \infty; + \infty)$ , що відповідає варіанту А.

3) $\frac{1}{2} x^{2} - 2 x + 7 < 0$

Помножимо обидві частини нерівності на $2$ :

$x^{2} - 4 x + 14 < 0$

Знайдемо дискримінант квадратного тричлена:

$D = (- 4)^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 14 = 16 - 56 = - 40 < 0$

Оскільки $a = 1 > 0$ і $D < 0$ , парабола розміщена повністю вище осі $O x$ , тобто $x^{2} - 4 x + 14 > 0$ при всіх $x$ . Отже, нерівність $x^{2} - 4 x + 14 < 0$ не має розв’язків, що відповідає варіанту Г.

Відповідь: 1 — В, 2 — А, 3 — Г.

ЗАВДАННЯ ДЛЯ ПЕРЕВІРКИ ЗНАНЬ ДО §§ 12–14

1. Які з нерівностей є квадратними:

1) $x^{2} + x^{3} - 3 \geq 0$ ;

2) $x^{2} + 3 x - 3 \geq 0$ ;

3) $4 x - x^{2} < 0$ ;

4) $\frac{1}{4 x - x ^{2}} < 0$ ?

Розв’язання:

1) $x^{2} + x^{3} - 3 \geq 0$ — не є квадратною, бо містить змінну в третьому степені ( $x^{3}$ ).

2) $x^{2} + 3 x - 3 \geq 0$ — є квадратною нерівністю ( $a = 1, b = 3, c = - 3$ ).

3) $4 x - x^{2} < 0$ — є квадратною нерівністю (перегрупувавши, маємо $- x^{2} + 4 x < 0$ , де $a = - 1, b = 4, c = 0$ ).

4) $\frac{1}{4 x - x ^{2}} < 0$ — не є квадратною, бо змінна міститься в знаменнику дробу (дробово-раціональна нерівність).

Відповідь: 2) та 3).

2. Які із чисел –1; 0; 1; 2; 3 є розв’язками нерівності $x^{2} - x - 2 \geq 0$ ?

Розв’язання:

Почергово підставимо кожне число в нерівність $x^{2} - x - 2 \geq 0$ :

1) При $x = - 1$ :

$(- 1)^{2} - (- 1) - 2 = 1 + 1 - 2 = 0 \geq 0 (істинна нерівність)$

Число $- 1$ є розв’язком.

2) При $x = 0$ :

$0^{2} - 0 - 2 = - 2 \geq 0 (хибна нерівність)$

Число $0$ не є розв’язком.

3) При $x = 1$ :

$1^{2} - 1 - 2 = - 2 \geq 0 (хибна нерівність)$

Число $1$ не є розв’язком.

4) При $x = 2$ :

$2^{2} - 2 - 2 = 4 - 4 = 0 \geq 0 (істинна нерівність)$

Число $2$ є розв’язком.

5) При $x = 3$ :

$3^{2} - 3 - 2 = 9 - 5 = 4 \geq 0 (істинна нерівність)$

Число $3$ є розв’язком.

Відповідь: –1; 2; 3.

3. Чи є розв’язком системи рівнянь ${x + y = 4 x^{2} + y^{2} = 10$ пара чисел:

1) $(4; 0);$

Розв’язання:

Підставимо значення $x = 4$ та $y = 0$ у кожне рівняння системи:

${4 + 0 = 4 4^{2} + 0^{2} = 10 ⟹ {4 = 4 (істинне) 16 + 0 = 10 (хибне, 16 \neq = 10)$

Оскільки друга рівність не виконується, пара чисел $(4; 0)$ не є розв’язком системи рівнянь.

Відповідь: не є розв’язком.

2) $(1; 3)?$

Розв’язання:

Підставимо значення $x = 1$ та $y = 3$ у кожне рівняння системи:

${1 + 3 = 4 1^{2} + 3^{2} = 10 ⟹ {4 = 4 (істинне) 1 + 9 = 10 (істинне)$

Обидві рівності є правильними, тому пара чисел $(1; 3)$ є розв’язком системи рівнянь.

Відповідь: є розв’язком.

4. Розв’яжіть нерівність:

1) $x^{2} - 3 x < 0;$

Розв’язання:

Розкладемо ліву частину нерівності на множники:

$x (x - 3) < 0$

Знайдемо нулі функції $f (x) = x^{2} - 3 x$ :

$x (x - 3) = 0 ⟹ x_{1} = 0, x_{2} = 3$

Графіком квадратичної функції $f (x) = x^{2} - 3 x$ є парабола, вітки якої напрямлені вгору ( $a = 1 > 0$ ). Парабола перетинає вісь $O x$ у точках $x = 0$ та $x = 3$ .

Значення функції є від’ємними ( $f (x) < 0$ ) на проміжку між її нулями:

$x \in (0; 3)$

Відповідь: $(0; 3)$ .

2) $x^{2} - 7 x - 30 \geq 0.$

Розв’язання:

Знайдемо нулі квадратичної функції $f (x) = x^{2} - 7 x - 30$ , розв’язавши квадратне рівняння $x^{2} - 7 x - 30 = 0$ :

$D = (- 7)^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 30) = 49 + 120 = 169 = 1 3^{2}$

$x_{1} = \frac{7 - 13}{2 \cdot 1} = \frac{- 6}{2} = - 3$

$x_{2} = \frac{7 + 13}{2 \cdot 1} = \frac{20}{2} = 10$

Графіком функції є парабола з вітками, напрямленими вгору ( $a = 1 > 0$ ). Функція набуває невід’ємних значень ( $f (x) \geq 0$ ) за межами інтервалу між коренями, включаючи самі корені:

$x \in (- \infty; - 3] \cup [10; + \infty)$

Відповідь: $(- \infty; - 3] \cup [10; + \infty)$ .

5. Розв’яжіть систему рівнянь ${x - y = 1 x^{2} + y^{2} = 25$

Розв’язання:

З першого рівняння системи виразимо змінну $x$ через $y$ :

$x = y + 1$

Підставимо вираз $x = y + 1$ у друге рівняння системи:

$(y + 1)^{2} + y^{2} = 25$

Розкриємо дужки за формулою квадрата суми та зведемо подібні доданки:

$y^{2} + 2 y + 1 + y^{2} = 25$

$2 y^{2} + 2 y + 1 - 25 = 0$

$2 y^{2} + 2 y - 24 = 0$

Поділимо обидві частини рівняння на $2$ :

$y^{2} + y - 12 = 0$

Знайдемо корені квадратного рівняння за допомогою дискримінанта $D$ :

$D = 1^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 12) = 1 + 48 = 49 = 7^{2}$

$y_{1} = \frac{- 1 - 7}{2 \cdot 1} = \frac{- 8}{2} = - 4$

$y_{2} = \frac{- 1 + 7}{2 \cdot 1} = \frac{6}{2} = 3$

Знайдемо відповідні значення $x$ :

1) Якщо $y_{1} = - 4$ , то $x_{1} = - 4 + 1 = - 3$ .

2) Якщо $y_{2} = 3$ , то $x_{2} = 3 + 1 = 4$ .

Отримуємо дві пари розв’язків: $(- 3; - 4)$ та $(4; 3)$ .

Відповідь: $(- 3; - 4), (4; 3)$ .

6. Периметр прямокутника дорівнює $24 см$ , а його площа — $35 см^{2}$ . Знайдіть сторони прямокутника.

Розв’язання:

1) Нехай суміжні сторони прямокутника дорівнюють $a см$ та $b см$ ( $a > 0, b > 0$ ).

2) Периметр прямокутника обчислюється за формулою $P = 2 (a + b)$ , а площа — за формулою $S = a \cdot b$ .

За умовою задачі $P = 24 см$ та $S = 35 см^{2}$ .

Складемо систему рівнянь:

${2 (a + b) = 24 a \cdot b = 35 ⟹ {a + b = 12 a \cdot b = 35$

3) Виразимо $b$ через $a$ з першого рівняння:

$b = 12 - a$

Підставимо вираз $b = 12 - a$ у друге рівняння:

$a (12 - a) = 35$

$12 a - a^{2} = 35$

$a^{2} - 12 a + 35 = 0$

Розв’яжемо квадратне рівняння за допомогою дискримінанта:

$D = (- 12)^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 35 = 144 - 140 = 4 = 2^{2}$

$a_{1} = \frac{12 - 2}{2} = 5$

$a_{2} = \frac{12 + 2}{2} = 7$

Обчислимо відповідні значення $b$ :

1) Якщо $a_{1} = 5$ , то $b_{1} = 12 - 5 = 7$ .

2) Якщо $a_{2} = 7$ , то $b_{2} = 12 - 7 = 5$ .

В обох випадках сторони прямокутника дорівнюють $5 см$ та $7 см$ .

Відповідь: $5 см$ і $7 см$ .

7. Знайдіть область визначення функції $y = \frac{8 - x ^{2} + 2 x}{x - 1}$ .

Розв’язання:

Область визначення заданої функції визначається двома умовами:

1) Вираз під знаком арифметичного квадратного кореня має бути невід’ємним: $8 - x^{2} + 2 x \geq 0$ .

2) Знаменник дробу не може дорівнювати нулю: $x - 1 \neq = 0$ .

Складемо систему нерівностей:

${8 - x^{2} + 2 x \geq 0 x - 1 \neq = 0 ⟺ {- x^{2} + 2 x + 8 \geq 0 x \neq = 1$

Помножимо першу нерівність на $- 1$ та змінимо знак нерівності на протилежний:

$x^{2} - 2 x - 8 \leq 0$

Знайдемо нулі квадратичної функції $f (x) = x^{2} - 2 x - 8$ :

$x^{2} - 2 x - 8 = 0$

$D = (- 2)^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 8) = 4 + 32 = 36 = 6^{2}$

$x_{1} = \frac{2 - 6}{2} = - 2$

$x_{2} = \frac{2 + 6}{2} = 4$

Розв’язком нерівності $x^{2} - 2 x - 8 \leq 0$ є відрізок $[- 2; 4]$ .

Враховуючи умову $x \neq = 1$ , виключаємо точку $x = 1$ з отриманого відрізка:

$x \in [- 2; 1) \cup (1; 4]$

Відповідь: $D (y) = [- 2; 1) \cup (1; 4]$ .

8. Із двох пунктів, відстань між якими $24 км$ , вирушили одночасно назустріч одне одному велосипедистка і пішохід та зустрілися через $2 год$ . Знайдіть швидкість кожного з них, якщо велосипедистка витратила на весь шлях на $3 год$ менше, ніж пішохід.

Розв’язання:

1) Нехай швидкість велосипедистки дорівнює $x км / год$ , а швидкість пішохода — $y км / год$ ( $x > 0, y > 0$ ).

2) Оскільки вони рухалися назустріч один одному і зустрілися через $2 год$ , подолавши разом відстань $24 км$ , їхня швидкість зближення дорівнює $(x + y) км / год$ :

$2 (x + y) = 24 ⟹ x + y = 12 ⟹ x = 12 - y$

Час, витрачений велосипедисткою на весь шлях ( $24 км$ ), дорівнює $\frac{24}{x} год$ .

Час, витрачений пішоходом на весь шлях ( $24 км$ ), дорівнює $\frac{24}{y} год$ .

За умовою, велосипедистка витратила на весь шлях на $3 год$ менше, ніж пішохід:

$\frac{24}{y} - \frac{24}{x} = 3$

3) Підставимо $x = 12 - y$ у рівняння:

$\frac{24}{y} - \frac{24}{12 - y} = 3$

Поділимо обидві частини рівняння на $3$ :

$\frac{8}{y} - \frac{8}{12 - y} = 1$

Зведемо до спільного знаменника $y (12 - y)$ при $0 < y < 12$ :

$8 (12 - y) - 8 y = y (12 - y)$

$96 - 8 y - 8 y = 12 y - y^{2}$

$y^{2} - 28 y + 96 = 0$

Знайдемо корені квадратного рівняння:

$D = (- 28)^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 96 = 784 - 384 = 400$

$D = 20$

$y_{1} = \frac{28 - 20}{2} = 4$

$y_{2} = \frac{28 + 20}{2} = 24$

Значення $y_{2} = 24$ не задовольняє умову $y < 12$ (оскільки тоді $x = 12 - 24 = - 12 < 0$ , що неможливо).

Отже, швидкість пішохода дорівнює $y = 4 км / год$ .

Тоді швидкість велосипедистки:

$x = 12 - 4 = 8 км / год$

Відповідь: $8 км / год$ та $4 км / год$ .

9. Розв’яжіть систему рівнянь:

${3 x y - x = 5 3 x y - y = 4$

Розв’язання:

1) Віднімемо від першого рівняння системи друге рівняння:

$(3 x y - x) - (3 x y - y) = 5 - 4$

$- x + y = 1 ⟹ y = x + 1$

2) Підставимо вираз $y = x + 1$ у перше рівняння системи:

$3 x (x + 1) - x = 5$

$3 x^{2} + 3 x - x - 5 = 0$

$3 x^{2} + 2 x - 5 = 0$

3) Обчислимо дискримінант квадратного рівняння та його корені:

$D = 2^{2} - 4 \cdot 3 \cdot (- 5) = 4 + 60 = 64$

$D = 8$

$x_{1} = \frac{- 2 + 8}{2 \cdot 3} = \frac{6}{6} = 1$

$x_{2} = \frac{- 2 - 8}{2 \cdot 3} = - \frac{10}{6} = - \frac{5}{3} = - 1 \frac{2}{3}$

4) Знайдемо відповідні значення $y$ :

Якщо $x_{1} = 1$ , то $y_{1} = 1 + 1 = 2$ .
Якщо $x_{2} = - \frac{5}{3}$ , то $y_{2} = - \frac{5}{3} + 1 = - \frac{2}{3}$ .

Відповідь: $(1; 2), (- 1 \frac{2}{3}; - \frac{2}{3})$ .

10. Знайдіть, за яких значень $a$ не має коренів рівняння $x^{2} + (a - 3) x + 4 = 0$ .

Розв’язання:

Квадратне рівняння $A x^{2} + B x + C = 0$ не має дійсних коренів тоді і тільки тоді, коли його дискримінант строго менший від нуля ( $D < 0$ ).

Для рівняння $x^{2} + (a - 3) x + 4 = 0$ коефіцієнти дорівнюють: $A = 1$ , $B = a - 3$ , $C = 4$ .

1) Виразимо дискримінант через параметр $a$ :

$D = B^{2} - 4 A C = (a - 3)^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 4 = (a - 3)^{2} - 16$

2) Складемо та розв’яжемо нерівність $D < 0$ :

$(a - 3)^{2} - 16 < 0$

$a^{2} - 6 a + 9 - 16 < 0$

$a^{2} - 6 a - 7 < 0$

3) Знайдемо нулі квадратичної функції $f (a) = a^{2} - 6 a - 7$ :

$a^{2} - 6 a - 7 = 0$

За теоремою Вієта:

$a_{1} + a_{2} = 6, a_{1} \cdot a_{2} = - 7 ⟹ a_{1} = - 1, a_{2} = 7$

Нерівність $a^{2} - 6 a - 7 < 0$ виконується на інтервалі між коренями:

$a \in (- 1; 7)$

Відповідь: $a \in (- 1; 7)$ .

11. Два робітники, працюючи разом, можуть виконати завдання за $12 год$ . За скільки годин може виконати завдання кожен робітник, працюючи окремо, якщо одному з них для виконання чверті завдання потрібно на $5 год$ менше, ніж другому для виконання третини завдання?

Розв’язання:

1) Приймемо обсяг усього завдання за $1$ .

Нехай перший робітник може виконати завдання самостійно за $x год$ , а другий — за $y год$ ( $x > 0, y > 0$ ).

Тоді продуктивність праці першого робітника дорівнює $\frac{1}{x}$ завдання/год, а другого — $\frac{1}{y}$ завдання/год.

2) Працюючи разом, робітники виконують завдання за $12 год$ :

$\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{1}{12}$

Час першого робітника на виконання $\frac{1}{4}$ завдання становить $\frac{x}{4} год$ .

Час другого робітника на виконання $\frac{1}{3}$ завдання становить $\frac{y}{3} год$ .

За умовою задачі:

$\frac{y}{3} - \frac{x}{4} = 5$

3) З другого рівняння виразимо $y$ :

$\frac{y}{3} = 5 + \frac{x}{4} ⟹ y = 15 + \frac{3 x}{4} = \frac{60 + 3 x}{4}$

Підставимо отриманий вираз у перше рівняння:

$\frac{1}{x} + \frac{4}{60 + 3 x} = \frac{1}{12}$

$\frac{1}{x} + \frac{4}{3 ( 20 + x )} = \frac{1}{12}$

Помножимо всі члени рівняння на $12 x (20 + x)$ :

$12 \cdot 3 (20 + x) + 4 \cdot 12 x = x (20 + x) \cdot 1$

$36 (20 + x) + 48 x = 20 x + x^{2}$

$720 + 36 x + 48 x = 20 x + x^{2}$

$x^{2} - 64 x - 720 = 0$

Обчислимо корені рівняння:

$D = (- 64)^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 720) = 4096 + 2880 = 6976$

Звернімо увагу на зведення: при множенні на $12 x (20 + x)$ права частина $\frac{1}{12} \cdot 12 x (20 + x) = x (20 + x) = x^{2} + 20 x$ .

Ліва частина: $36 (20 + x) + 48 x = 720 + 84 x$ .

$x^{2} + 20 x - 84 x - 720 = 0 ⟹ x^{2} - 64 x - 720 = 0$

Перевіримо коефіцієнти:

Якщо другий доданок був $\frac{4}{3 ( 20 + x )}$ , спільний знаменник $12 x (20 + x)$ :

$12 x (20 + x) \cdot \frac{1}{x} = 12 (20 + x) = 240 + 12 x$ .

Перерахуємо акуратно:

$\frac{1}{x} + \frac{4}{3 ( 20 + x )} = \frac{1}{12}$

Помножимо на $12 x (20 + x)$ :

$12 (20 + x) + 4 \cdot 4 x = x (20 + x)$

$240 + 12 x + 16 x = 20 x + x^{2}$

$240 + 28 x = 20 x + x^{2}$

$x^{2} - 8 x - 240 = 0$

Обчислимо дискримінант:

$D = (- 8)^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 240) = 64 + 960 = 1024$

$D = 32$

$x_{1} = \frac{8 + 32}{2} = 20$

$x_{2} = \frac{8 - 32}{2} = - 12$

Оскільки час виконання роботи має бути додатним ( $x > 0$ ), корінь $x_{2} = - 12$ є стороннім.

Отже, перший робітник може виконати завдання самостійно за $x = 20 год$ .

Обчислимо час для другого робітника:

$y = \frac{60 + 3 \cdot 20}{4} = \frac{120}{4} = 30 год$

Відповідь: $20 год$ та $30 год$ .

ДОМАШНЯ САМОСТІЙНА РОБОТА № 3 (§§ 12-14)

ЗАВДАННЯ ДЛЯ ПЕРЕВІРКИ ЗНАНЬ ДО §§ 12–14

Теги статті:

До уроку