ДОМАШНЯ САМОСТІЙНА РОБОТА № 2 (§§ 8–11)

№ 1. Дано $f (x) = x^{2} - x$ . Знайдіть $f (- 1)$ .

Розв’язання:

Підставимо $x = - 1$ у формулу функції:

$f (- 1) = (- 1)^{2} - (- 1) = 1 + 1 = 2$

Отримане значення відповідає варіанту В.

Відповідь: В.

№ 2. Щоб побудувати графік функції $y = x^{2} + 2$ , треба графік функції $y = x^{2}$ перенести на 2 одиниці…

Розв’язання:

За правилами геометричних перетворень графіків функцій, графік функції $y = f (x) + n$ утворюється внаслідок паралельного перенесення графіка функції $y = f (x)$ уздовж осі ординат ( $O y$ ) на $n$ одиниць вгору, якщо $n > 0$ .

Отже, графік функції $y = x^{2}$ слід перенести на $2$ одиниці вгору.

Це відповідає варіанту Б.

Відповідь: Б.

№ 3. Укажіть функцію, що є квадратичною:
А. $y = - 2 x^{2} + 3 x + 7$
Б. $y = \frac{1}{x ^{2} - 2 x + 5}$
В. $y = x^{3} - 2 x^{2} + 3 x + 1$
Г. $y = x^{4} - 2 x^{2} + 3$

Розв’язання:

Квадратичною є функція, яку можна задати формулою виду $y = a x^{2} + b x + c$ , де $x$ — незалежна змінна, $a, b, c$ — числа, причому $a \neq = 0$ . Серед наведених варіантів даній умові відповідає лише функція $y = - 2 x^{2} + 3 x + 7$ .

Відповідь: А ( $y = - 2 x^{2} + 3 x + 7$ ).

№ 4. Знайдіть нулі функції $y = x^{2} - 4 x$ .
А. $0$
Б. $4$
В. $0; - 4$
Г. $0; 4$

Розв’язання:

Щоб знайти нулі функції, прирівняємо значення функції до нуля ( $y = 0$ ):

$x^{2} - 4 x = 0$

Розкладемо ліву частину рівняння на множники, винісши спільний множник $x$ за дужки:

$x (x - 4) = 0$

Добуток дорівнює нулю, коли хоча б один із множників дорівнює нулю:

$x = 0 або x - 4 = 0$

$x_{1} = 0, x_{2} = 4$

Відповідь: Г ( $0; 4$ ).

№ 5. Укажіть значення $x$ , за якого значення функції $y = 2 x + 5$ дорівнюватиме $7$ .
А. $7$
Б. $- 1$
В. $1$
Г. $0$

Розв’язання:

За умовою значення функції $y = 7$ . Підставимо це значення у формулу функції та розв’яжемо лінійне рівняння відносно $x$ :

$2 x + 5 = 7$

$2 x = 7 - 5$

$2 x = 2$

$x = \frac{2}{2}$

$x = 1$

Відповідь: В ( $1$ ).

№ 6. Не виконуючи побудови, знайдіть усі точки перетину графіків функцій $y = - 3 x^{2}$ та $y = 9 x$ .
А. $(0; 0)$
Б. $(0; 0), (- 3; - 27)$
В. $(0; 0), (- 3; 0)$
Г. $(0; 0), (3; 27)$

Розв’язання:

Щоб знайти абсциси точок перетину графіків функцій, прирівняємо їх праві частини:

$- 3 x^{2} = 9 x$

Перенесемо всі доданки в ліву частину рівняння:

$- 3 x^{2} - 9 x = 0$

Поділимо обидві частини рівняння на $- 3$ :

$x^{2} + 3 x = 0$

$x (x + 3) = 0$

Звідси отримуємо два значення $x$ :

1) $x_{1} = 0$ ;

2) $x + 3 = 0 ⟹ x_{2} = - 3$ .

Обчислимо відповідні значення ординат $y$ , підставивши знайдені значення $x$ у формулу $y = 9 x$ :

1) Якщо $x_{1} = 0$ , то $y_{1} = 9 \cdot 0 = 0$ . Отримуємо точку $(0; 0)$ .

2) Якщо $x_{2} = - 3$ , то $y_{2} = 9 \cdot (- 3) = - 27$ . Отримуємо точку $(- 3; - 27)$ .

Відповідь: Б ( $(0; 0), (- 3; - 27)$ ).

№ 7. Побудуйте схематично графік функції $y = - x^{2} + 2 x - 3$ та вкажіть область значень цієї функції.
А. $(- \infty; - 2)$
Б. $[- 2; + \infty)$
В. $(- \infty; - 2]$
Г. $(- \infty; 2]$

Розв’язання:

1) Графіком квадратичної функції $y = - x^{2} + 2 x - 3$ є парабола. Оскільки старший коефіцієнт $a = - 1 < 0$ , вітки параболи напрямлені вниз.

2) Обчислимо координати вершини параболи $(x_{0}; y_{0})$ :

$x_{0} = - \frac{b}{2 a} = - \frac{2}{2 \cdot ( - 1 )} = \frac{- 2}{- 2} = 1$

$y_{0} = y (1) = - (1)^{2} + 2 \cdot 1 - 3 = - 1 + 2 - 3 = - 2$

Точка $(1; - 2)$ — вершина параболи.

3) Складемо таблицю значень для схематичної побудови графіка:

$x$	$- 1$	$0$	$1$ (вершина)	$2$	$3$
$y$	$- 6$	$- 3$	$- 2$	$- 3$	$- 6$

4) Оскільки вітки параболи напрямлені вниз, то найбільшим значенням функції є ордината її вершини $y_{0} = - 2$ . Отже, область значень функції $E (y) = (- \infty; - 2]$ .

Відповідь: В ( $(- \infty; - 2]$ ).

№ 8. Побудуйте схематично графік функції $y = \frac{1}{2} x^{2} - 4 x$ та вкажіть проміжок зростання цієї функції.

Розв’язання:

1) Дано квадратичну функцію $y = \frac{1}{2} x^{2} - 4 x$ , де $a = \frac{1}{2}$ , $b = - 4$ , $c = 0$ .

Область визначення функції: $D (y) = (- \infty; + \infty)$ .

Графіком функції є парабола, вітки якої спрямовані вгору, оскільки коефіцієнт $a = \frac{1}{2} > 0$ .

2) Знайдемо координати вершини параболи $(x_{0}; y_{0})$ :

$x_{0} = - \frac{b}{2 a} = - \frac{- 4}{2 \cdot \frac{1}{2}} = 4$

$y_{0} = y (4) = \frac{1}{2} \cdot 4^{2} - 4 \cdot 4 = \frac{1}{2} \cdot 16 - 16 = 8 - 16 = - 8$

Вершина параболи знаходиться в точці $(4; - 8)$ .

3) Складемо таблицю значень для побудови графіка функції:

$x$	$0$	$2$	$4$ (вершина)	$6$	$8$
$y$	$0$	$- 6$	$- 8$	$- 6$	$0$

4) Побудова:

Позначимо на координатній площині вершину $(4; - 8)$ та точки $(0; 0)$ , $(2; - 6)$ , $(6; - 6)$ , $(8; 0)$ .
З’єднаємо їх плавною лінією.

5) Функція спадає на проміжку $(- \infty; 4]$ і зростає на проміжку $[4; + \infty)$ . Отже, проміжком зростання цієї функції є $[4; + \infty)$ .

Відповідь: Г ( $[4; + \infty)$ ).

№ 9. Укажіть область визначення функції $y = \frac{5}{∣ x - 1∣ - 3}$ .

Розв’язання:

1) Знаменник дробу не повинен дорівнювати нулю, тому область визначення функції $D (y)$ задається умовою:

$∣ x - 1∣ - 3 \neq = 0 ⟹ ∣ x - 1∣ \neq = 3$

2) Знайдемо значення $x$ , при яких знаменник перетворюється на нуль:

[x - 1 = 3 x - 1 = - 3 ⟹ [x = 4 x = - 2

3) Отже, область визначення складається з усіх дійсних чисел, крім $x = - 2$ та $x = 4$ :

$D (y) = (- \infty; - 2) \cup (- 2; 4) \cup (4; + \infty)$

Відповідь: А ( $(- \infty; - 2) \cup (- 2; 4) \cup (4; + \infty)$ ).

№ 10. Укажіть область значень функції $y = 4 - \frac{1}{2} ∣ x ∣$ .

Розв’язання:

1) За означенням модуля для будь-якого $x \in R$ виконується нерівність $∣ x ∣ \geq 0$ .

2) Помножимо обидві частини нерівності на $- \frac{1}{2}$ (змінивши знак нерівності на протилежний):

$- \frac{1}{2} ∣ x ∣ \leq 0$

3) Додамо $4$ до обох частин нерівності:

$4 - \frac{1}{2} ∣ x ∣ \leq 4$

4) Отже, $y \leq 4$ , тому область значень функції: $E (y) = (- \infty; 4]$ .

Відповідь: В ( $(- \infty; 4]$ ).

№ 11. За яких значень $a$ і $c$ точка $M (- 1; 4)$ є вершиною параболи $y = a x^{2} + 2 x + c$ ?

Розв’язання:

1) Абсциса вершини параболи обчислюється за формулою $x_{0} = - \frac{b}{2 a}$ .

За умовою $x_{0} = - 1$ та $b = 2$ . Підставимо ці значення:

$- 1 = - \frac{2}{2 a} ⟹ - 1 = - \frac{1}{a} ⟹ a = 1$

2) Оскільки точка $M (- 1; 4)$ належить параболі, її координати задовольняють рівняння функції. Підставимо $x = - 1$ , $y = 4$ та $a = 1$ :

$4 = 1 \cdot (- 1)^{2} + 2 \cdot (- 1) + c$

$4 = 1 - 2 + c$

$4 = - 1 + c ⟹ c = 5$

3) Таким чином, $a = 1$ та $c = 5$ .

Відповідь: Б ( $a = 1, c = 5$ ).

№ 12. Скільки нулів має функція $y = \frac{( x ^{2} - 9 ) ∣ x ∣ - 4}{x}$ ?

Розв’язання:

1) Знайдемо область визначення функції $D (y)$ :

Знаменник не дорівнює нулю: $x \neq = 0$ .
Підкореневий вираз має бути невід’ємним:

$∣ x ∣ - 4 \geq 0 ⟹ ∣ x ∣ \geq 4 ⟹ x \in (- \infty; - 4] \cup [4; + \infty)$

Отже, область визначення $D (y) = (- \infty; - 4] \cup [4; + \infty)$ .

2) Прирівняємо чисельник дробу до нуля:

$(x^{2} - 9) ∣ x ∣ - 4 = 0$

3) Розв’яжемо рівняння:

Перший множник:

$x^{2} - 9 = 0 ⟹ x^{2} = 9 ⟹ x = 3 або x = - 3$

Перевіримо належність до $D (y)$ : числа $3$ та $- 3$ не входять до області визначення, оскільки підкореневий вираз для них від’ємний ( $∣ \pm 3∣ - 4 = - 1 < 0$ ). Отже, ці корені є сторонніми.

Другий множник:

$∣ x ∣ - 4 = 0 ⟹ ∣ x ∣ - 4 = 0 ⟹ ∣ x ∣ = 4 ⟹ x = 4 або x = - 4$

Перевіримо належність до $D (y)$ : значення $x = 4$ та $x = - 4$ належать області визначення.

4) Отже, функція має точно $2$ нулі: $x = 4$ та $x = - 4$ .

Відповідь: Б ( $2$ ).

№ 13. Установіть відповідність між функцією (1–3) та областю її визначення (А–Г).

Розв’язання:

1) $y = \frac{15}{1 - x ^{2}}$

Область визначення функції визначається умовою, що знаменник дробу не дорівнює нулю:

$1 - x^{2} \neq = 0$

$(1 - x) (1 + x) \neq = 0 ⟹ x \neq = 1 та x \neq = - 1$

Отже, область визначення: $D (y) = (- \infty; - 1) \cup (- 1; 1) \cup (1; + \infty)$ , що відповідає варіанту В.

2) $y = \frac{4}{x ^{2} - 2 x - 3}$

Знайдемо значення $x$ , за яких знаменник дорівнює нулю:

$x^{2} - 2 x - 3 \neq = 0$

За теоремою Вієта корені рівняння $x^{2} - 2 x - 3 = 0$ :

${x_{1} + x_{2} = 2 x_{1} \cdot x_{2} = - 3 ⟹ x_{1} = 3, x_{2} = - 1$

Отже, $x \neq = - 1$ та $x \neq = 3$ .

Область визначення: $D (y) = (- \infty; - 1) \cup (- 1; 3) \cup (3; + \infty)$ , що відповідає варіанту Г.

3) $y = \frac{1}{x + 1}$

Вираз під знаком арифметичного квадратного кореня в знаменнику має бути строго додатним:

$x + 1 > 0 ⟹ x > - 1$

Отже, область визначення: $D (y) = (- 1; + \infty)$ , що відповідає варіанту Б.

Відповідь: 1 — В; 2 — Г; 3 — Б.

ЗАВДАННЯ ДЛЯ ПЕРЕВІРКИ ЗНАНЬ ДО §§ 8–11

№ 1. Для функції $f (x) = x^{2} + x$ знайдіть:

1) $f (0)$ ;

2) $f (- 1)$ ;

3) $f (2)$ ;

4) $f (- 3)$ .

Розв’язання:

1) Обчислимо значення функції при $x = 0$ :

$f (0) = 0^{2} + 0 = 0 + 0 = 0$

2) Обчислимо значення функції при $x = - 1$ :

$f (- 1) = (- 1)^{2} + (- 1) = 1 - 1 = 0$

3) Обчислимо значення функції при $x = 2$ :

$f (2) = 2^{2} + 2 = 4 + 2 = 6$

4) Обчислимо значення функції при $x = - 3$ :

$f (- 3) = (- 3)^{2} + (- 3) = 9 - 3 = 6$

Відповідь: 1) $0$ ; 2) $0$ ; 3) $6$ ; 4) $6$ .

№ 2. Як із графіка функції $y = x^{2}$ отримати графік функції:

1) $y = x^{2} + 5$ ;

2) $y = (x + 5)^{2}$ ?

Розв’язання:

1) Для отримання графіка функції $y = x^{2} + 5$ необхідно графік функції $y = x^{2}$ паралельно перенести на $5$ одиниць вгору вздовж осі $O y$ .

2) Для отримання графіка функції $y = (x + 5)^{2}$ необхідно графік функції $y = x^{2}$ паралельно перенести на $5$ одиниць ліворуч вздовж осі $O x$ .

Відповідь: 1) паралельним перенесенням графіка $y = x^{2}$ на $5$ одиниць вгору вздовж осі $O y$ ; 2) паралельним перенесенням графіка $y = x^{2}$ на $5$ одиниць ліворуч вздовж осі $O x$ .

№ 3. Які з функцій є квадратичними:

1) $y = x^{2} - 4 x$ ;

2) $y = \frac{1}{x ^{2} - 4 x}$ ;

3) $y = x^{3} + x + 3$ ;

4) $y = x^{2} + x + 3$ ?

Розв’язання:

За означенням, квадратичною є функція виду $y = a x^{2} + b x + c$ , де $a \neq = 0$ .

1) $y = x^{2} - 4 x$ — є квадратичною функцією, оскільки має вигляд $y = a x^{2} + b x + c$ , де $a = 1$ , $b = - 4$ , $c = 0$ .

2) $y = \frac{1}{x ^{2} - 4 x}$ — не є квадратичною функцією, оскільки змінна $x$ міститься у знаменнику дробу.

3) $y = x^{3} + x + 3$ — не є квадратичною функцією, оскільки найвищий степінь змінної $x$ дорівнює $3$ .

4) $y = x^{2} + x + 3$ — є квадратичною функцією, оскільки має вигляд $y = a x^{2} + b x + c$ , де $a = 1$ , $b = 1$ , $c = 3$ .

Відповідь: квадратичними є функції 1) та 4).

№ 4. Знайдіть нулі функції:

1) $y = - 2 x + 7$ ;

2) $y = x^{2} - 5 x + 6$ .

Розв’язання:

1) Щоб знайти нулі функції $y = - 2 x + 7$ , прирівняємо її до нуля:

$- 2 x + 7 = 0$

$- 2 x = - 7$

$x = \frac{- 7}{- 2}$

$x = 3, 5$

2) Щоб знайти нулі функції $y = x^{2} - 5 x + 6$ , розв’яжемо рівняння:

$x^{2} - 5 x + 6 = 0$

За теоремою Вієта:

${x_{1} + x_{2} = 5 x_{1} \cdot x_{2} = 6$

Отримуємо корені: $x_{1} = 2$ , $x_{2} = 3$ .

Відповідь: 1) $3, 5$ ; 2) $2$ ; $3$ .

№ 5. Побудуйте графік функції:

1) $y = x - 3$ ;

2) $y = x - 3$ .

Розв’язання:

1) Область визначення функції $y = x - 3$ :

$x - 3 \geq 0 ⟹ x \geq 3, тобто D (y) = [3; + \infty)$

Графік функції $y = x - 3$ утворюється шляхом паралельного перенесення графіка функції $y = x$ вздовж осі $O x$ на $3$ одиниці праворуч.

Складемо таблицю значень для побудови графіка:

$x$	$3$	$4$	$7$	$12$
$y$	$0$	$1$	$2$	$3$

На координатній площині позначимо точки $(3; 0)$ , $(4; 1)$ , $(7; 2)$ , $(12; 3)$ і з’єднаємо їх плавною лінією, починаючи з точки $(3; 0)$ .

2) Область визначення функції $y = x - 3$ :

$x \geq 0, тобто D (y) = [0; + \infty)$

Графік функції $y = x - 3$ утворюється шляхом паралельного перенесення графіка функції $y = x$ вздовж осі $O y$ на $3$ одиниці вниз.

Складемо таблицю значень для побудови графіка:

$x$	$0$	$1$	$4$	$9$
$y$	$- 3$	$- 2$	$- 1$	$0$

На координатній площині позначимо точки $(0; - 3)$ , $(1; - 2)$ , $(4; - 1)$ , $(9; 0)$ і з’єднаємо їх плавною лінією, починаючи з точки $(0; - 3)$ .

Відповідь: побудову виконано.

№ 6. Не виконуючи побудови, знайдіть координати точок перетину графіків функцій $y = - 4 x^{2}$ та $y = 2 x$ .

Розв’язання:

Для знаходження координат точок перетину прирівняємо вирази для $y$ :

$- 4 x^{2} = 2 x$

$4 x^{2} + 2 x = 0$

$2 x (2 x + 1) = 0$

Добуток дорівнює нулю, коли хоча б один із множників дорівнює нулю:

[2 x = 0 2 x + 1 = 0 ⟹ [x_{1} = 0 x_{2} = - 0, 5

Обчислимо відповідні значення $y$ :

1) Якщо $x_{1} = 0$ , то $y_{1} = 2 \cdot 0 = 0$ . Точка перетину $(0; 0)$ .

2) Якщо $x_{2} = - 0, 5$ , то $y_{2} = 2 \cdot (- 0, 5) = - 1$ . Точка перетину $(- 0, 5; - 1)$ .

Відповідь: $(0; 0)$ та $(- 0, 5; - 1)$ .

№ 7. Знайдіть область визначення функції:

1) $f (x) = \frac{15 x}{2 x ^{2} + 3 x - 5}$ ;

2) $g (x) = \frac{1}{8 - 2 x}$ .

Розв’язання:

1) Знаменник дробу не може дорівнювати нулю:

$2 x^{2} + 3 x - 5 \neq = 0$

Знайдемо корені рівняння $2 x^{2} + 3 x - 5 = 0$ :

$D = b^{2} - 4 a c = 3^{2} - 4 \cdot 2 \cdot (- 5) = 9 + 40 = 49$

$x_{1} = \frac{- 3 + 49}{2 \cdot 2} = \frac{- 3 + 7}{4} = 1$

$x_{2} = \frac{- 3 - 49}{2 \cdot 2} = \frac{- 10}{4} = - 2, 5$

Отже, $x \neq = - 2, 5$ та $x \neq = 1$ .

Область визначення: $D (f) = (- \infty; - 2, 5) \cup (- 2, 5; 1) \cup (1; + \infty)$ .

2) Вираз під знаком арифметичного квадратного кореня в знаменнику має бути строго більшим за нуль:

$8 - 2 x > 0$

$- 2 x > - 8$

Поділимо обидві частини нерівності на $- 2$ , змінюючи знак нерівності на протилежний:

$x < 4$

Область визначення: $D (g) = (- \infty; 4)$ .

Відповідь: 1) $D (f) = (- \infty; - 2, 5) \cup (- 2, 5; 1) \cup (1; + \infty)$ ; 2) $D (g) = (- \infty; 4)$ .

№ 8. Побудуйте графік функції $y = x^{2} - 2 x - 3$ . За графіком знайдіть:

1) область значень функції;

2) проміжок зростання і проміжок спадання функції.

Розв’язання:

Графіком функції $y = x^{2} - 2 x - 3$ є парабола, вітки якої спрямовані вгору (оскільки $a = 1 > 0$ ).

Обчислимо координати вершини параболи $(x_{0}; y_{0})$ :

$x_{0} = - \frac{b}{2 a} = - \frac{- 2}{2 \cdot 1} = 1$

$y_{0} = y (1) = 1^{2} - 2 \cdot 1 - 3 = 1 - 2 - 3 = - 4$

Вершина параболи — точка $(1; - 4)$ .

Складемо таблицю значень для побудови параболи:

$x$	$- 2$	$- 1$	$0$	$1$ (вершина)	$2$	$3$	$4$
$y$	$5$	$0$	$- 3$	$- 4$	$- 3$	$0$	$5$

Нанесемо точки $(- 2; 5)$ , $(- 1; 0)$ , $(0; - 3)$ , $(1; - 4)$ , $(2; - 3)$ , $(3; 0)$ , $(4; 5)$ на координатну площину та з’єднаємо їх плавною лінією.

За графіком отримуємо:

1) Область значень функції: $E (y) = [- 4; + \infty)$ .

2) Функція спадає на проміжку $(- \infty; 1]$ і зростає на проміжку $[1; + \infty)$ .

Відповідь: 1) $E (y) = [- 4; + \infty)$ ; 2) спадає на $(- \infty; 1]$ , зростає на $[1; + \infty)$ .

№ 9. За яких значень $b$ і $c$ точка $A (2; - 1)$ є вершиною параболи $y = 2 x^{2} + b x + c$ ?

Розв’язання:

Для квадратичної функції $y = 2 x^{2} + b x + c$ коефіцієнт $a = 2$ . Точка $A (2; - 1)$ є вершиною параболи, тому $x_{0} = 2$ та $y_{0} = - 1$ .

1) Використаємо формулу абсциси вершини параболи $x_{0} = - \frac{b}{2 a}$ :

$2 = - \frac{b}{2 \cdot 2}$

$2 = - \frac{b}{4}$

$b = - 8$

2) Підставимо значення $x = 2$ , $y = - 1$ та $b = - 8$ у рівняння параболи:

$- 1 = 2 \cdot 2^{2} + (- 8) \cdot 2 + c$

$- 1 = 2 \cdot 4 - 16 + c$

$- 1 = 8 - 16 + c$

$- 1 = - 8 + c$

$c = 7$

Відповідь: $b = - 8$ , $c = 7$ .

ДОМАШНЯ САМОСТІЙНА РОБОТА № 2 (§§ 8-11)

ДОМАШНЯ САМОСТІЙНА РОБОТА № 2 (§§ 8–11)

ЗАВДАННЯ ДЛЯ ПЕРЕВІРКИ ЗНАНЬ ДО §§ 8–11

Теги статті:

До уроку