ДОМАШНЯ САМОСТІЙНА РОБОТА № 1 (§§ 1–7)

Зміст

1. Яке із чисел є розв’язком нерівності $3x>7$?

А. $-2$
Б. $0$
В. $5$
Г. $2$

Розв’яжемо нерівність $3x>7$:

$x>\frac{7}{3}$

$x>2\frac{1}{3}$

Перевіримо запропоновані варіанти відповідей:

• А. $-2<2\frac{1}{3}$ (не є розв’язком);

• Б. $0<2\frac{1}{3}$ (не є розв’язком);

• В. $5>2\frac{1}{3}$ (є розв’язком);

• Г. $2<2\frac{1}{3}$ (не є розв’язком).

Відповідь: В.

2. Укажіть проміжок, зображений на малюнку 1.

А. $[-1;2]$
Б. $[-1;2)$
В. $(-1;2)$
Г. $(-1;2]$

Аналізуючи малюнок:

• Точка $-1$ є виколотою (порожня точка на числовій прямій), що відповідає строгій нерівності та круглій дужці: $(-1$;

• Точка $2$ є зафарбованою, що відповідає нестрогій нерівності та квадратній дужці: $2]$;

• Заштрихована область розташована між цими точками, тобто від $-1$ до $2$.

Отже, на малюнку зображено проміжок $(-1;2]$.

Відповідь: Г.

3. Яка з нерівностей є лінійною з однією змінною?

А. $3x^2>7$
Б. $2+1>0$
В. $\frac{1}{2x+7}<3$
Г. $-3x>8$

Лінійною нерівністю з однією змінною називають нерівність виду $ax>b$, $ax<b$, $ax\ge b$ або $ax\le b$, де $x$ — змінна, $a$ і $b$ — деякі числа ($a\ne 0$).

• Варіант А: $3x^2>7$ — нерівність другого степеня (квадратична).

• Варіант Б: $2+1>0$ — числова нерівність, яка не містить змінної.

• Варіант В: $\frac{1}{2x+7}<3$ — дрібно-раціональна нерівність, оскільки змінна міститься в знаменнику.

• Варіант Г: $-3x>8$ — лінійна нерівність з однією змінною $x$ (де $a=-3$, $b=8$).

Відповідь: Г.

4. Відомо, що $a>b$. Укажіть правильну нерівність.

А. $\frac{a}{7}<\frac{b}{7}$

Б. $a+3<b+3$

В. $-a>-b$

Г. $-2a<-2b$

Застосуємо основні властивості числових нерівностей до нерівності $a>b$:

• Якщо обидві частини нерівності поділити на додатне число $7$, знак нерівності не зміниться: $\frac{a}{7}>\frac{b}{7}$ (варіант А неправильний).

• Якщо до обох частин нерівності додати число $3$, знак нерівності не зміниться: $a+3>b+3$ (варіант Б неправильний).

• Якщо обидві частини нерівності помножити на від’ємне число $-1$, знак нерівності змінюється на протилежний: $-a<-b$ (варіант В неправильний).

• Якщо обидві частини нерівності помножити на від’ємне число $-2$, знак нерівності змінюється на протилежний: $-2a<-2b$ (варіант Г правильний).

Відповідь: Г.

5. Розв’яжіть нерівність $-3x\le -15$.

А. $[5;+\infty )$
Б. $(-\infty ;5]$
В. $[-5;+\infty )$
Г. $(-\infty ;-5)$

Поділимо обидві частини нерівності $-3x\le -15$ на від’ємне число $-3$. При діленні на від’ємне число знак нерівності змінюється на протилежний:

$x\ge \frac{-15}{-3}$

$x\ge 5$

У вигляді числового проміжку: $x\in [5;+\infty )$.

Відповідь: А.

6. Розв’яжіть систему нерівностей:

А. $[-2;3)$

Б. $[-2;9)$

В. $(-\infty ;-2]$

Г. $(9;+\infty )$

Розв’яжемо кожну нерівність системи:

1) $x-2<7$

$x<7+2$

$x<9$

2) $2x\ge -4$

$x\ge \frac{-4}{2}$

$x\ge -2$

Знайдемо спільний розв’язок нерівностей:

Відповідь: Б.

7. Укажіть вираз, що набуває додатних значень за будь-якого значення $x$.

А. $-x^2$

Б. $x^2$

В. $x^2+2$

Г. $(x+2{)}^2$

Проаналізуємо кожен із виразів при довільному дійсному значенні $x\in \mathbb{R}$:

• А. Оскільки $x^2\ge 0$, то $-x^2\le 0$ для всіх $x\in \mathbb{R}$. При $x=0$ значення виразу дорівнює $0$, що не є додатним.

• Б. Вираз $x^2\ge 0$ для всіх $x\in \mathbb{R}$. При $x=0$ значення виразу дорівнює $0$.

• В. Оскільки $x^2\ge 0$ для будь-якого $x\in \mathbb{R}$, то $x^2+2\ge 0+2=2>0$. Отже, вираз $x^2+2$ завжди більший за нуль при будь-яких значеннях $x$.

• Г. Вираз $(x+2{)}^2\ge 0$ для всіх $x\in \mathbb{R}$. При $x=-2$ значення виразу дорівнює $0$.

Відповідь: В.

8. Відомо, що $2<a<5$ і $1<b<3$. Оцініть значення виразу $4a-b$.

А. $5<4a-b<19$
Б. $7<4a-b<17$
В. $-1<4a-b<4$
Г. $9<4a+b<23$

1) Помножимо всі частини подвійної нерівності $2<a<5$ на $4$:

$2\cdot 4<4a<5\cdot 4$

$8<4a<20$

2) Помножимо нерівність $1<b<3$ на $-1$ та змінимо знаки нерівності на протилежні:

$-1\cdot 3<-b<-1\cdot 1$

$-3<-b<-1$

3) Додамо почленно отримані нерівності $8<4a<20$ та $-3<-b<-1$:

$8+(-3)<4a+(-b)<20+(-1)$

$5<4a-b<19$

Відповідь: А.

9. Укажіть число, що не належить проміжку $[2,5;3,6)$.

А. $\sqrt{7}$

Б. $\sqrt{14}$

В. $2\frac{1}{2}$

Г. $\sqrt{11}$

Знайдемо квадрати меж даного проміжку:

$2,5^2=6,25$

$3,6^2=12,96$

Додатне число $y$ належить проміжку $[2,5;3,6)$ тоді і тільки тоді, коли його квадрат належить проміжку $[6,25;12,96)$.

Перевіримо варіанти відповідей:

А. $(\sqrt{7}{)}^2=7\in [6,25;12,96)$, тому $\sqrt{7}\in [2,5;3,6)$;

Б. $(\sqrt{14}{)}^2=14\notin [6,25;12,96)$, оскільки $14\ge 12,96$. Отже, $\sqrt{14}\notin [2,5;3,6)$;

В. $2\frac{1}{2}=2,5\in [2,5;3,6)$;

Г. $(\sqrt{11}{)}^2=11\in [6,25;12,96)$, тому $\sqrt{11}\in [2,5;3,6)$.

Відповідь: Б.

10. Відомо, що $1<x<2$. Оцініть значення виразу $\frac{30}{5-2x}$.

А. $3\frac{1}{3}<\frac{30}{5-2x}<4\frac{2}{7}$

Б. $\frac{30}{5-2x}>0$

В. $15<\frac{30}{5-2x}<30$

Г. $10<\frac{30}{5-2x}<30$

1) Помножимо нерівність $1<x<2$ на $-2$, змінюючи знаки нерівності на протилежні:

$1\cdot (-2)>-2x>2\cdot (-2)$

$-4<-2x<-2$

2) Додамо $5$ до всіх частин нерівності:

$5-4<5-2x<5-2$

$1<5-2x<3$

3) Оскільки всі частини нерівності є додатними, знайдемо обернені до них значення:

$\frac{1}{3}<\frac{1}{5-2x}<1$

4) Помножимо всі частини нерівності на $30$:

$30\cdot \frac{1}{3}<\frac{30}{5-2x}<30\cdot 1$

$10<\frac{30}{5-2x}<30$

Відповідь: Г.

11. Знайдіть область визначення функції $y=\sqrt{x-2}+\frac{1}{\sqrt{8-x}}+\frac{1}{x^2-9}$.

А. $[2;8)$
Б. $[2;3)\cup (3;8]$
В. $[2;3)\cup (3;8)$
Г. $(2;3)\cup (3;8)$

Область визначення функції визначається системою умов:

1) $x-2\ge 0⟹x\ge 2$;

2) $8-x>0⟹x<8$;

3) $x^2-9\ne 0⟹(x-3)(x+3)\ne 0⟹x\ne 3\text{ та }x\ne -3$.

Складемо та розв’яжемо систему нерівностей:

Відповідь: В.

12. За яких значень $c$ рівняння $2x^2+4x-c=0$ не має розв’язків?

А. Таких значень $c$ не існує
Б. $c<-2$
В. $c\le -2$
Г. $c>-2$

Квадратне рівняння $a{x}^2+bx+c=0$ не має дійсних розв’язків тоді і тільки тоді, коли його дискримінант від’ємний ($D<0$).

Для рівняння $2x^2+4x-c=0$: $a=2$, $b=4$, вільний член дорівнює $-c$.

Обчислимо дискримінант:

$D=b^2-4ac=4^2-4\cdot 2\cdot (-c)=16+8c$

Розв’яжемо нерівність $D<0$:

$16+8c<0$

$8c<-16$

$c<-2$

Відповідь: Б.

13. Установіть відповідність між нерівністю (1–3) та множиною всіх її розв’язків (А–Г).

Нерівність:

1) $x(x+2)-x^2>4x-8$

2) $\frac{x+2}{6}-\frac{x}{4}<0$

3) $2(x+3)-x>x$

Множина всіх розв’язків нерівності:
А $(-\infty ;+\infty )$
Б $(-\infty ;4)$
В $(-\infty ;-4)$
Г $(4;+\infty )$

1) Розв’яжемо нерівність:

$x(x+2)-x^2>4x-8$

$x^2+2x-x^2>4x-8$

$2x>4x-8$

$2x-4x>-8$

$-2x>-8$

$x<4$

$x\in (-\infty ;4)\text{ (варіант Б)}$

2) Розв’яжемо нерівність:

$\frac{x+2}{6}-\frac{x}{4}<0$

Помножимо обидві частини нерівності на $12>0$:

$12\cdot \frac{x+2}{6}-12\cdot \frac{x}{4}<0$

$2(x+2)-3x<0$

$2x+4-3x<0$

$-x<-4$

$x>4$

$x\in (4;+\infty )\text{ (варіант Г)}$

3) Розв’яжемо нерівність:

$2(x+3)-x>x$

$2x+6-x>x$

$x+6>x$

$x-x>-6$

$0\cdot x>-6$

$0>-6$

Нерівність правильна для будь-якого значення $x$:

$x\in (-\infty ;+\infty )\text{ (варіант А)}$

Відповідь: 1 — Б, 2 — Г, 3 — А.