Домашня самостійна робота 5 (§§ 22–26)

Зміст

РОЗВ’ЯЖІТЬ ЗАДАЧІ ТА ВИКОНАЙТЕ ВПРАВИ

№ 1. У класі 9 юнаків і 10 дівчат. Скількома способами можна вибрати старосту в цьому класі?

А. 9
Б. 10
В. 19
Г. 90

Розв’язання:

Старостою може бути обраний або один із $9$ юнаків, або одна з $10$ дівчат.

За правилом додавання (суми):

$9+10=19\text{ (способів)}$

Правильний варіант відповіді — В.

Відповідь: В.

№ 2. Укажіть, яка з подій є випадковою.

А. Навмання вибрана доба матиме 24 години
Б. Гральний кубик має шість граней
В. Наступним днем після п’ятниці буде субота
Г. Навмання вибране трицифрове число кратне числу 7

Розв’язання:

А. Доба завжди має 24 години — подія є достовірною.

Б. Стандартний гральний кубик завжди має шість граней — подія є достовірною.

В. Наступним днем після п’ятниці завжди настає субота — подія є достовірною.

Г. Навмання вибране трицифрове число може як ділитися на $7$ (наприклад, $105$), так і не ділитися на $7$ (наприклад, $100$) — подія є випадковою.

Відповідь: Г.

№ 3. Середнє значення статистичних даних $8$, $7$, $9$, $10$ і $7$ дорівнює…

А. 41
Б. $8,2$
В. 7
Г. $10,25$

Розв’язання:

$\bar{x}=\frac{8+7+9+10+7}{5}=\frac{41}{5}=8,2$

Отримане значення відповідає варіанту Б.

Відповідь: Б.

№ 4. Випадковий дослід полягав у підкиданні грального кубика, яке проведено $100$ разів. Результати досліду занесено в таблицю. Якою є відносна частота випадання числа $6$?

А. $0,17$
Б. 17
В. $0,017$
Г. $1,7$

Розв’язання:
Загальна кількість проведених дослідів: $N=100$.
Кількість випробувань, у яких випало число $6$: $m=17$.

Обчислимо відносну частоту:

$W=\frac{m}{N}=\frac{17}{100}=0,17$

Правильною є відповідь А.

Відповідь: А.

№ 5. У наборі імовірнісних точок, що лежать на площині, є 2 точки в координатах $(1;1)$ і 1 точка, ймовірність появи якої дорівнює $\frac{4}{9}$. Яка ймовірність появи точки $(1;1)$?

А. $0,6$
Б. $0,4$
В. $0,3$
Г. $0,1$

Розв’язання:

Нехай $P$ — ймовірність появи точки $(1;1)$.

Сума ймовірностей усіх подій повної групи дорівнює $1$:

$2P+\frac{4}{9}=1$

$2P=1-\frac{4}{9}$

$2P=\frac{5}{9}$

$P=\frac{5}{18}$

$P\approx 0,28\approx 0,3$

Серед запропонованих варіантів найближчим значенням є $0,3$ (варіант В).

Відповідь: В.

№ 6. На графіку (мал. 1) показано, які місця посідала волейбольна команда «Сатурн» протягом останніх п’яти чемпіонатів області з волейболу. Якого року — 2022-го чи 2024-го — команда «Сатурн» посіла більш високе місце?

А. 2022 року
Б. 2024 року
В. 2022 року і 2024 року команда «Сатурн» посіла однакове місце
Г. Неможливо визначити

Розв’язання:

За графіком визначимо місце, яке посідала команда «Сатурн»:

• у $2022$ році команда посіла $3$-тє місце;
• у $2024$ році команда посіла $3$-тє місце.

Оскільки в обидва роки результат команди однаковий ($3=3$), то у $2022$ та $2024$ роках команда «Сатурн» посіла однакове місце.

Відповідь: В.

№ 7. У баскетбольній команді з 5 дівчат треба вибрати капітана і його заступника. Скількома способами це можна зробити?

А. 5
Б. 10
В. 20
Г. 25

Розв’язання:
Капітана можна вибрати будь-яку з $5$ дівчат ($5$ способів).

Після обрання капітана заступника вибирають серед $4$ дівчат, які залишилися ($4$ способи).

За комбінаторним правилом добутку загальна кількість способів становить:

$5\cdot 4=20$

Відповідь: В.

№ 8. Серед $100$ опитаних жителів невеликого міста $97$ мали мобільний телефон. Яке число буде найближчим до кількості мобільних телефонів, якщо опитати $200$ жителів цього міста?

А. 194

Б. 98

В. 190

Г. 199

Розв’язання:

Знайдемо відносну частоту наявності мобільного телефона серед опитаних жителів:
$\frac{97}{100}=0,97$

Очікувана кількість людей з мобільними телефонами серед $200$ опитаних:
$200\cdot 0,97=194$

Відповідь: А.

№ 9. З натуральних чисел від 1 до 24 навмання називають одне. Яка ймовірність того, що це число є дільником числа 24?

А. $\frac{1}{2}$
Б. $\frac{7}{24}$
В. $\frac{3}{8}$
Г. $\frac{1}{3}$

Розв’язання:

Загальна кількість рівноможливих наслідків випробування (усі натуральні числа від $1$ до $24$):
$n=24$

Подія $A$ — назване число є дільником числа $24$.

Дільниками числа $24$ є числа: $1,2,3,4,6,8,12,24$.

Кількість наслідків, що сприяють події $A$:
$m=8$

За класичним означенням ймовірності:
$P(A)=\frac{m}{n}=\frac{8}{24}=\frac{1}{3}$

Правильною є відповідь Г.

Відповідь: Г.

№ 10. Скільки різних чотирицифрових чисел можна скласти із цифр 0, 1, 7, 9, якщо в кожному числі цифри не повторюються?

А. 256
Б. 24
В. 18
Г. 9

Розв’язання:

Чотирицифрове число не може починатися з нуля.

За правилом добутку:

• першу цифру (тисячі) можна обрати з $3$ варіантів ($1$, $7$ або $9$);
• другу цифру (сотні) можна обрати з $3$ варіантів (будь-яка з трьох цифр, що залишилися, враховуючи $0$);
• третю цифру (десятки) можна обрати з $2$ варіантів (з двох цифр, що залишилися);
• четверту цифру (одиниці) можна обрати з $1$ варіанта (остання цифра).

Загальна кількість таких чотирицифрових чисел:

$N=3\cdot 3\cdot 2\cdot 1=18$

Це відповідає варіанту В.

Відповідь: В.

№ 11. Відомо, що біатлоністка влучає в мішень з імовірністю, більшою за $0,8$, але меншою від $0,85$. Яке число найбільш точно відображає приблизну кількість пострілів під час тренування, якщо в них біатлоністка мала $14$ влучень у мішень?

А. $17$
Б. $20$
В. $22$
Г. $15$

Розв’язання:

Нехай $x$ — загальна кількість зроблених пострілів ($x\in \mathbb{N}$).

Тоді відносна частота (імовірність) влучання становить $\frac{14}{x}$.

За умовою:
$0,8<\frac{14}{x}<0,85$

Складемо та розв’яжемо систему нерівностей:
$\{\begin{array}{l}\frac{14}{x}>0,8\\ \frac{14}{x}<0,85\end{array}$

Оскільки $x>0$:
$\{\begin{array}{l}0,8x<14\\ 0,85x>14\end{array}$

$\{\begin{array}{l}x<\frac{14}{0,8}\\ x>\frac{14}{0,85}\end{array}$

$\{\begin{array}{l}x<17,5\\ x>16\frac{8}{17}\end{array}$

Отримуємо подвійну нерівність:
$16\frac{8}{17}<x<17,5$

Оскільки кількість пострілів $x$ має бути натуральним числом, єдиним можливим значенням є:
$x=17$

Цьому значенню відповідає варіант А.

Відповідь: А.

№ 12. У коробці 4 чорні ручки, кілька синіх та кілька червоних. Скільки синіх ручок у коробці, якщо ймовірність навмання витягнути синю ручку дорівнює 0,5, а червону — 0,3?

А. 9
Б. 8
В. 12
Г. 10

Розв’язання:

Оскільки в коробці є лише чорні, сині та червоні ручки, сума ймовірностей витягнути ручку одного з цих кольорів дорівнює $1$.

1) Знайдемо ймовірність витягнути чорну ручку:
$P(\text{чорна})=1-(0,5+0,3)=1-0,8=0,2$

2) Нехай $N$ — загальна кількість ручок у коробці. Оскільки чорних ручок $4$, маємо:
$\frac{4}{N}=0,2$
$N=\frac{4}{0,2}$
$N=20\text{ (ручок)}$

3) Знайдемо кількість синіх ручок у коробці:
$20\cdot 0,5=10\text{ (ручок)}$

Відповідь: Г. 10.

№ 13. Вибірка, середнє значення якої дорівнює $6,2$, складається із чисел $8$, $5$, $a$, $2a$, $6$. Знайдіть $a$ та установіть відповідність між вибірковою характеристикою (1–3) та її значенням (А–Г).

Вибіркова характеристика:
1) Розмах вибірки
2) Мода вибірки
3) Медіана вибірки

Значення:
А. $4$
Б. $5$
В. $6$
Г. $8$

Розв’язання:

Кількість елементів у вибірці дорівнює $5$.

Знайдемо $a$, використавши формулу середнього значення:

$\frac{8+5+a+2a+6}{5}=6,2$

$19+3a=6,2\cdot 5$

$19+3a=31$

$3a=31-19$

$3a=12$

$a=4$

Обчислимо елементи вибірки:
$a=4$, $2a=2\cdot 4=8$.

Вибірка складається з чисел: $8$, $5$, $4$, $8$, $6$.

Запишемо вибірку у порядку зростання:
$4$, $5$, $6$, $8$, $8$.

Знайдемо характеристики вибірки:

1) Розмах вибірки — різниця між найбільшим і найменшим значеннями:
$8-4=4$ (відповідає значенню А).

2) Мода вибірки — значення, яке зустрічається найчастіше:
число $8$ зустрічається двічі (відповідає значенню Г).

3) Медіана вибірки — число, що стоїть посередині впорядкованого ряду:
це число $6$ (відповідає значенню В).

Відповідь: $a=4$; 1 — А, 2 — Г, 3 — В.