Домашня самостійна робота 4 (§§ 15–21)

Зміст

РОЗВ’ЯЖІТЬ ЗАДАЧІ ТА ВИКОНАЙТЕ ВПРАВИ

№ 1. Послідовність задано формулою $x_n=3n-7$. Знайдіть $x_7$.

А. 7
Б. 14
В. -7
Г. 28

Розв’язання:

Підставимо $n=7$ у формулу $n$-го члена послідовності:

$x_7=3\cdot 7-7$

$x_7=21-7$

$x_7=14$

Отримане значення відповідає варіанту Б.

Відповідь: Б.

№ 2. Укажіть послідовність, що є арифметичною прогресією.

А. $2$, $4$, $6$

Б. $2$, $4$, $5$

В. $0$, $1$, $8$

Г. $1$, $3$, $9$

Розв’язання:

Перевіримо різницю між сусідніми членами кожної послідовності:

А. $4-2=2$ та $6-4=2$ (різниця стала: $d=2$).
Б. $4-2=2$, але $5-4=1$ ($2\ne 1$).
В. $1-0=1$, але $8-1=7$ ($1\ne 7$).
Г. $3-1=2$, але $9-3=6$ ($2\ne 6$).

Відповідь: А.

№ 3. Укажіть послідовність, що є геометричною прогресією.

А. $0$, $1$, $8$
Б. $4$, $5$, $6$
В. $1$, $2$, $4$
Г. $-2$, $-3$, $-4$

Розв’язання:

Перевіримо сталість відношення наступного члена до попереднього:

А. Перший член дорівнює $0$, що неможливо для геометричної прогресії.

Б. $\frac{5}{4}=1,25$
$\frac{6}{5}=1,2\ne 1,25$

В. $\frac{2}{1}=2$
$\frac{4}{2}=2$
Знаменник прогресії сталий: $q=2$. Послідовність є геометричною прогресією.

Г. $\frac{-3}{-2}=1,5$
$\frac{-4}{-3}=\frac{4}{3}\ne 1,5$

Відповідь: В.

№ 4. Знайдіть суму десяти перших членів арифметичної прогресії $(a_n)$, якщо $a_1=7$, $a_2=4$.

А. -130
Б. -65
В. -100
Г. 65

Розв’язання:

Знайдемо різницю арифметичної прогресії:
$d=a_2-a_1=4-7=-3$

Суму $n$ перших членів арифметичної прогресії обчислимо за формулою:
$S_n=\frac{2a_1+(n-1)d}{2}\cdot n$

Підставимо значення для $n=10$:
$S_{10}=\frac{2\cdot 7+(10-1)\cdot (-3)}{2}\cdot 10$

$S_{10}=\frac{14+9\cdot (-3)}{2}\cdot 10$

$S_{10}=\frac{14-27}{2}\cdot 10$

$S_{10}=\frac{-13}{2}\cdot 10$

$S_{10}=-13\cdot 5=-65$

Правильною є відповідь Б.

Відповідь: Б.

№ 5. Знайдіть п’ятий член геометричної прогресії $(b_n)$, якщо $b_1=3$, $q=-2$.

А. 24
Б. -96
В. -48
Г. 48

Розв’язання:

Формула $n$-го члена геометричної прогресії:
$b_n=b_1\cdot q^{n-1}$

Для $n=5$:
$b_5=b_1\cdot q^4$
$b_5=3\cdot (-2{)}^4=3\cdot 16=48$

Отже, правильним варіантом відповіді є Г.

Відповідь: Г.

№ 6. Знайдіть суму нескінченної геометричної прогресії: $18$, $-9$, $4,5$, …

А. 12
Б. 27
В. -12
Г. 36

Розв’язання:

Перший член геометричної прогресії:
$b_1=18$

Знайдемо знаменник прогресії:
$q=\frac{b_2}{b_1}=\frac{-9}{18}=-0,5$

Оскільки $|q|=|-0,5|=0,5<1$, прогресія є нескінченною спадною геометричною прогресією.

Обчислимо її суму:
$S=\frac{b_1}{1-q}$

$S=\frac{18}{1-(-0,5)}=\frac{18}{1,5}=12$

Відповідь: А.

№ 7. Послідовність $(a_n)$ — арифметична прогресія, $a_1=14,5$, $d=-2,5$. Укажіть число, яке є членом цієї прогресії.
А. -21
Б. -22
В. -23
Г. -24

Розв’язання:

Запишемо формулу $n$-го члена арифметичної прогресії:
$a_n=a_1+(n-1)d$

Підставимо відомі значення $a_1=14,5$ та $d=-2,5$:
$a_n=14,5+(n-1)\cdot (-2,5)$
$a_n=14,5-2,5n+2,5$
$a_n=17-2,5n$

Виразимо номер члена прогресії $n$:
$2,5n=17-a_n$
$n=\frac{17-a_n}{2,5}$

Оскільки номер члена прогресії обов’язково має бути натуральним числом ($n\in \mathbb{N}$), перевіримо запропоновані варіанти:

А. $n=\frac{17-(-21)}{2,5}=\frac{38}{2,5}=15,2\notin \mathbb{N}$

Б. $n=\frac{17-(-22)}{2,5}=\frac{39}{2,5}=15,6\notin \mathbb{N}$

В. $n=\frac{17-(-23)}{2,5}=\frac{40}{2,5}=16\in \mathbb{N}$

Г. $n=\frac{17-(-24)}{2,5}=\frac{41}{2,5}=16,4\notin \mathbb{N}$

Отже, число $-23$ є $16$-м членом цієї арифметичної прогресії ($a_{16}=-23$).

Відповідь: В.

№ 8. Знайдіть суму натуральних чисел, які кратні числу 8 і не перевищують числа 400.

А. $20400$
Б. $10600$
В. $10200$
Г. 9800

Розв’язання:

Натуральні числа, кратні числу $8$, утворюють арифметичну прогресію $(a_n)$, у якій:
$a_1=8$, $d=8$.

Формула $n$-го члена цієї прогресії:
$a_n=8n$

Знайдемо кількість членів прогресії, які не перевищують $400$:

$8n\le 400$

$n\le 50$

Отже, прогресія містить $50$ членів, останній з яких:
$a_{50}=8\cdot 50=400$

Обчислимо суму перших $50$ членів за формулою:

$S_n=\frac{a_1+a_n}{2}\cdot n$

$S_{50}=\frac{8+400}{2}\cdot 50=\frac{408}{2}\cdot 50=204\cdot 50=10200$

Отримане значення відповідає варіанту В.

Відповідь: В.

№ 9. Послідовність $(b_n)$ — геометрична прогресія. Знайдіть $S_6$, якщо $b_2=2$, $b_4=8$ і $q<0$.

А. -21
Б. 21
В. 63
Г. -63

Розв’язання:

За формулою $n$-го члена геометричної прогресії $b_n=b_1\cdot q^{n-1}$:

$\{\begin{array}{l}{b}_1\cdot q=2\\ b_1\cdot q^3=8\end{array}$

Поділимо друге рівняння системи на перше:

$\frac{b_1\cdot q^3}{b_1\cdot q}=\frac{8}{2}$

$q^2=4$

Оскільки за умовою $q<0$:

$q=-2$

Знайдемо перший член прогресії $b_1$:

$b_1\cdot (-2)=2$

$b_1=-1$

Обчислимо суму перших шести членів за формулою $S_n=\frac{b_1(1-q^n)}{1-q}$:

$S_6=\frac{-1\cdot (1-(-2{)}^6)}{1-(-2)}$

$S_6=\frac{-1\cdot (1-64)}{1+2}$

$S_6=\frac{-1\cdot (-63)}{3}$

$S_6=\frac{63}{3}$

$S_6=21$

Отримане значення відповідає варіанту Б.

Відповідь: Б. $21$.

№ 10. Знайдіть найменший член послідовності $x_n=n^2-6n-8$.

А. -16
Б. -17
В. -18
Г. Такого члена не існує

Розв’язання:

Виділимо квадрат двочлена у формулі $n$-го члена послідовності:

$x_n=n^2-6n-8$

$x_n=(n^2-2\cdot 3\cdot n+9)-9-8$

$x_n=(n-3{)}^2-17$

Оскільки $(n-3{)}^2\ge 0$ для будь-якого дійсного значення $n$, то:

$(n-3{)}^2-17\ge -17$

Найменшого значення вираз набуває, коли $(n-3{)}^2=0$, тобто при:

$n-3=0$

$n=3$

Оскільки $n=3$ є натуральним числом ($3\in \mathbb{N}$), то номер члена існує в послідовності.

Знайдемо третій член:

$x_3=(3-3{)}^2-17=-17$

Отже, найменший член послідовності дорівнює $-17$ (варіант Б).

Відповідь: Б. $-17$.

№ 11. Послідовність $(a_n)$ — арифметична прогресія. Знайдіть $a_4+a_{18}$, якщо $a_{11}=-8$.

А. Знайти неможливо
Б. -4
В. -16
Г. 16

Розв’язання:

За формулою $n$-го члена арифметичної прогресії:
$a_n=a_1+(n-1)d$

Виразимо $a_{11}$, $a_4$ та $a_{18}$:
$a_{11}=a_1+10d=-8$

$a_4=a_1+3d$

$a_{18}=a_1+17d$

Знайдемо суму $a_4+a_{18}$:
$a_4+a_{18}=(a_1+3d)+(a_1+17d)$

$a_4+a_{18}=2a_1+20d$

$a_4+a_{18}=2(a_1+10d)$

Оскільки $a_1+10d=a_{11}=-8$, маємо:
$a_4+a_{18}=2\cdot (-8)=-16$

Правильним варіантом відповіді є В.

Відповідь: В.

№ 12. За яких значень $x$ числа $x-2$, $x+1$ і $5x+1$ є послідовними членами геометричної прогресії?

А. 3
Б. -3
В. $0,25$, $-3$
Г. $-0,25$, $3$

Розв’язання:
За характеристичною властивістю геометричної прогресії:

$(x+1{)}^2=(x-2)(5x+1)$

$x^2+2x+1=5x^2+x-10x-2$

$x^2+2x+1=5x^2-9x-2$

$4x^2-11x-3=0$

Знайдемо дискримінант:

$D=(-11{)}^2-4\cdot 4\cdot (-3)=121+48=169=13^2$

Обчислимо корені рівняння:

$x_1=\frac{11+13}{2\cdot 4}=\frac{24}{8}=3$
$x_2=\frac{11-13}{2\cdot 4}=\frac{-2}{8}=-0,25$

Перевіримо отримані значення:

• При $x=3$ маємо послідовність чисел: $1;4;16$ (геометрична прогресія зі знаменником $q=4$).
• При $x=-0,25$ маємо послідовність чисел: $-2,25;0,75;-0,25$ (геометрична прогресія зі знаменником $q=-\frac{1}{3}$).

Обидва значення задовольняють умову, що відповідає варіанту Г.

Відповідь: Г. $-0,25$, $3$.

№ 13. Установіть відповідність між нескінченним періодичним десятковим дробом (1–3) та звичайним дробом (А–Г), який йому дорівнює.

Нескінченний періодичний десятковий дріб:
1) $0,222\dots$
2) $0,(21)$
3) $0,2(1)$

Звичайний дріб:
А. $\frac{19}{90}$
Б. $\frac{11}{90}$
В. $\frac{2}{9}$
Г. $\frac{7}{33}$

Розв’язання:

1) Подамо чистий періодичний дріб у вигляді звичайного:
$0,222\dots =0,(2)=\frac{2}{9}$ (варіант В)

2) Подамо чистий періодичний дріб у вигляді звичайного та скоротимо на $3$:
$0,(21)=\frac{21}{99}=\frac{7}{33}$ (варіант Г)

3) Подамо мішаний періодичний дріб у вигляді звичайного:
$0,2(1)=\frac{21-2}{90}=\frac{19}{90}$ (варіант А)

Відповідь: 1 — В, 2 — Г, 3 — А.