Домашня самостійна робота 3 (§§ 12–14)

РОЗВ’ЯЖІТЬ ЗАДАЧІ ТА ВИКОНАЙТЕ ВПРАВИ

📋 Швидка навігація по вправах:

№ 1 № 2 № 3 № 4 № 5 № 6 № 7 № 8 № 9 № 10 № 11 № 12 № 13

№ 1. Яка з нерівностей є квадратною?

А. $2 x^{2} - 3 x^{3} \geq 0$
Б. $7 x^{2} - 9 x + 12 \leq 0$
В. $\frac{1}{3 x ^{2} - 2 x + 7} < 0$
Г. $2 x - 9 > 0$

Розв’язання:

Нерівність $7 x^{2} - 9 x + 12 \leq 0$ має вигляд $a x^{2} + b x + c \leq 0$ , де $a = 7$ ( $a \neq = 0$ ), $b = - 9$ , $c = 12$ , тому вона є квадратною.

Відповідь: Б.

№ 2. Укажіть число, що є розв’язком нерівності $x^{2} - 2 x - 3 < 0$ .

А. -2
Б. 2
В. 4
Г. -1

Розв’язання:

Знайдемо корені квадратного тричлена $x^{2} - 2 x - 3 = 0$ :

За теоремою Вієта:
$x_{1} = - 1$ , $x_{2} = 3$

Оскільки вітки параболи $y = x^{2} - 2 x - 3$ напрямлені вгору ( $a = 1 > 0$ ), розв’язком строгої нерівності $x^{2} - 2 x - 3 < 0$ є інтервал між її коренями:

$x \in (- 1; 3)$

Перевіримо числа з варіантів відповіді:

А. $- 2 \in / (- 1; 3)$
Б. $2 \in (- 1; 3)$
В. $4 \in / (- 1; 3)$
Г. $- 1 \in / (- 1; 3)$

Отже, розв’язком нерівності є число $2$ (варіант Б).

Відповідь: Б.

№ 3. Укажіть розв’язок системи рівнянь
${x + y = 5, x^{2} - y^{2} = 15.$

А. $(1; 4)$
Б. $(5; 0)$
В. $(- 4; 1)$
Г. $(4; 1)$

Розв’язання:

Розкладемо ліву частину другого рівняння системи за формулою різниці квадратів:
${x + y = 5, (x - y) (x + y) = 15$

Підставимо значення $x + y = 5$ у друге рівняння:
${x + y = 5, 5 (x - y) = 15$

${x + y = 5, x - y = 3$

Додамо почленно обидва рівняння системи:
$2 x = 8$
$x = 4$

Підставимо значення $x = 4$ у перше рівняння:
$4 + y = 5$
$y = 1$

Отримуємо розв’язок системи: $(4; 1)$ , що відповідає варіанту Г.

Відповідь: Г.

№ 4. Розв’яжіть нерівність $x^{2} + 2 x \leq 0$ .

А. $[- 2; 0]$
Б. $(- \infty; - 2] \cup [0; + \infty)$
В. $(- 2; 0)$
Г. $[0; 2]$

Розв’язання:

Знайдемо нулі функції $y = x^{2} + 2 x$ :

$x^{2} + 2 x = 0$

$x (x + 2) = 0$

$x_{1} = 0$ , $x_{2} = - 2$

Графіком функції $y = x^{2} + 2 x$ є парабола, вітки якої напрямлені вгору ( $a = 1 > 0$ ).

Нерівність $x^{2} + 2 x \leq 0$ виконується для тих значень $x$ , при яких графік функції лежить на осі абсцис або нижче від неї (на проміжку між нулями функції включно).

Отже:
$x \in [- 2; 0]$

Складемо таблицю значень для побудови графіка:

$x$	$- 3$	$- 2$	$- 1$	$0$	$1$
$y$	$3$	$0$	$- 1$	$0$	$3$

Отриманий проміжок відповідає варіанту А.

Відповідь: А.

№ 5. Розв’яжіть систему рівнянь
${x - y = 2 x^{2} + y^{2} = 10$

А. $(- 1; - 3)$
Б. $(3; 1)$
В. $(3; 1)$ , $(- 1; - 3)$
Г. $(1; 3)$ , $(- 3; - 1)$

Розв’язання:
Виразимо $y$ через $x$ із першого рівняння системи:

$y = x - 2$

Підставимо отриманий вираз у друге рівняння замість $y$ :

$x^{2} + (x - 2)^{2} = 10$

Розкриємо дужки та зведемо подібні доданки:

$x^{2} + x^{2} - 4 x + 4 = 10$

$2 x^{2} - 4 x - 6 = 0$

Поділимо обидві частини рівняння на $2$ :

$x^{2} - 2 x - 3 = 0$

За теоремою Вієта:
$x_{1} = 3$ , $x_{2} = - 1$

Знайдемо відповідні значення $y$ :

1) Якщо $x_{1} = 3$ , то:
$y_{1} = 3 - 2 = 1$

2) Якщо $x_{2} = - 1$ , то:
$y_{2} = - 1 - 2 = - 3$

Розв’язками системи є пари чисел $(3; 1)$ та $(- 1; - 3)$ , що відповідає варіанту В.

Відповідь: В.

№ 6. Сума катетів прямокутного трикутника дорівнює $21 см$ , а його площа — $54 см^{2}$ . Знайдіть менший катет трикутника.

А. $8 см$
Б. $12 см$
В. $10 см$
Г. $9 см$

Розв’язання:

Нехай катети прямокутного трикутника дорівнюють $x см$ та $y см$ ( $x > 0, y > 0$ ).

За умовою задачі сума катетів дорівнює $21 см$ , тобто $x + y = 21$ .

Площа прямокутного трикутника дорівнює половині добутку його катетів: $S = \frac{1}{2} x y = 54 см^{2}$ .

Складемо та розв’яжемо систему рівнянь:

⎩ ⎨ ⎧ x + y = 21 \frac{1}{2} x y = 54

{y = 21 - x x y = 108

Підставимо вираз для $y$ у друге рівняння:

$x (21 - x) = 108$

$21 x - x^{2} = 108$

$x^{2} - 21 x + 108 = 0$

Знайдемо корені за теоремою Вієта:
$x_{1} = 9$ , $x_{2} = 12$

Якщо $x = 9$ , то $y = 21 - 9 = 12$ .
Якщо $x = 12$ , то $y = 21 - 12 = 9$ .

Отже, довжини катетів трикутника дорівнюють $9 см$ та $12 см$ .
Менший із катетів дорівнює $9 см$ , що відповідає варіанту Г.

Відповідь: Г ( $9 см$ ).

№ 7. Знайдіть область визначення функції $y = \frac{6 - x - x ^{2}}{x + 1}$ .

А. $[- 3; - 1) \cup (- 1; 2]$
Б. $(- \infty; + \infty)$
В. $(- 3; - 1) \cup (- 1; 2)$
Г. $[- 3; 2]$

Розв’язання:

Область визначення функції задається системою:

{6 - x - x^{2} \geq 0 x + 1 \neq = 0

Розв’яжемо першу нерівність:
$x^{2} + x - 6 \leq 0$

Знайдемо корені квадратного тричлена $x^{2} + x - 6 = 0$ :
$x_{1} = - 3$ , $x_{2} = 2$

Розв’язком нерівності $x^{2} + x - 6 \leq 0$ є відрізок:
$x \in [- 3; 2]$

З другої умови системи:
$x \neq = - 1$

Виключимо точку $x = - 1$ із знайденого відрізка:
$x \in [- 3; - 1) \cup (- 1; 2]$

Отриманий розв’язок відповідає варіанту А.

Відповідь: А. $[- 3; - 1) \cup (- 1; 2]$ .

№ 8. Із двох пунктів, відстань між якими $6 км$ , одночасно назустріч один одному вирушили два пішоходи і зустрілися через $1 год 12 хв$ . Знайдіть швидкість того пішохода, котрий ішов швидше, якщо на весь шлях він витратив на $1 год$ менше, ніж другий.

А. $2 км / год$
Б. $2, 5 км / год$
В. $3 км / год$
Г. $4 км / год$

Розв’язання:

Переведемо час зустрічі в години:

$1 год 12 хв = 1 \frac{12}{60} год = 1 \frac{1}{5} год = \frac{6}{5} год = 1, 2 год$

Нехай швидкість швидшого пішохода дорівнює $y км / год$ , а швидкість другого пішохода — $x км / год$ ( $y > x > 0$ ).

Складемо систему рівнянь:

$⎩ ⎨ ⎧ \frac{6}{5} x + \frac{6}{5} y = 6 \frac{6}{x} - \frac{6}{y} = 1$

Поділимо обидві частини першого рівняння на $\frac{6}{5}$ :

$⎩ ⎨ ⎧ x + y = 5 \frac{6}{x} - \frac{6}{y} = 1$

Виразимо $x$ через $y$ з першого рівняння:

$x = 5 - y$

Підставимо у друге рівняння:

$\frac{6}{5 - y} - \frac{6}{y} = 1$

Помножимо обидві частини рівняння на $y (5 - y) \neq = 0$ :

$6 y - 6 (5 - y) = y (5 - y)$

$6 y - 30 + 6 y = 5 y - y^{2}$

$12 y - 30 = 5 y - y^{2}$

$y^{2} + 7 y - 30 = 0$

За теоремою Вієта:
$y_{1} = - 10$ (не задовольняє умову, оскільки $y > 0$ ), $y_{2} = 3$

Отже, швидкість пішохода, котрий ішов швидше, дорівнює $3 км / год$ .

Відповідь: В ( $3 км / год$ ).

№ 9. Не виконуючи побудови, знайдіть усі точки перетину прямої $x + y = 3$ і параболи $y = x^{2} + 1$ .

А. $(1; 2)$
Б. $(1; 2)$ , $(- 2; 5)$
В. $(- 1; 4)$ , $(2; 1)$
Г. $(2; 1)$ , $(5; - 2)$

Розв’язання:

Для знаходження точок перетину графіків складемо та розв’яжемо систему рівнянь:

{x + y = 3 y = x^{2} + 1

Виразимо $y$ з першого рівняння:

$y = 3 - x$

Підставимо отриманий вираз у друге рівняння замість $y$ :

$3 - x = x^{2} + 1$

$x^{2} + x - 2 = 0$

За теоремою Вієта:
$x_{1} = 1$ , $x_{2} = - 2$

Знайдемо відповідні значення $y$ :

Якщо $x_{1} = 1$ , то:
$y_{1} = 3 - 1 = 2$

Якщо $x_{2} = - 2$ , то:
$y_{2} = 3 - (- 2) = 5$

Отримуємо дві точки перетину: $(1; 2)$ та $(- 2; 5)$ .

Цим координатам відповідає варіант Б.

Відповідь: Б. $(1; 2)$ , $(- 2; 5)$ .

№ 10. Укажіть усі розв’язки системи рівнянь

{x - 2 x y = 6 y - 2 x y = 3

А. $(2; - 1)$ , $(1, 5; - 1, 5)$
Б. $(- 1; 2)$ , $(- 1, 5; 1, 5)$
В. Система не має розв’язків
Г. $(2; - 1)$

Розв’язання:

Віднімемо почленно друге рівняння системи від першого:

$(x - 2 x y) - (y - 2 x y) = 6 - 3$

$x - y = 3$

$y = x - 3$

Підставимо вираз для $y$ у перше рівняння системи:

$x - 2 x (x - 3) = 6$

$x - 2 x^{2} + 6 x - 6 = 0$

$- 2 x^{2} + 7 x - 6 = 0$

$2 x^{2} - 7 x + 6 = 0$

$D = (- 7)^{2} - 4 \cdot 2 \cdot 6 = 49 - 48 = 1$

$x_{1} = \frac{7 + 1}{2 \cdot 2} = 2$
$x_{2} = \frac{7 - 1}{2 \cdot 2} = 1, 5$

Знайдемо відповідні значення $y$ :

$y_{1} = 2 - 3 = - 1$

$y_{2} = 1, 5 - 3 = - 1, 5$

Розв’язками системи є пари чисел $(2; - 1)$ та $(1, 5; - 1, 5)$ , що відповідає варіанту А.

Відповідь: А. $(2; - 1)$ , $(1, 5; - 1, 5)$ .

№ 11. Знайдіть усі значення $a$ , за яких рівняння $x^{2} + (2 - a) x + 9 = 0$ має два різних корені.

А. $(- 4; 8)$
Б. $(- \infty; - 4] \cup [8; + \infty)$
В. $(- \infty; - 8) \cup (4; + \infty)$
Г. $(- \infty; - 4) \cup (8; + \infty)$

Розв’язання:

Квадратне рівняння має два різних корені тоді й лише тоді, коли його дискримінант строго більший за нуль ( $D > 0$ ).

Знайдемо дискримінант рівняння:

$D = (2 - a)^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 9$

$D = 4 - 4 a + a^{2} - 36$

$D = a^{2} - 4 a - 32$

Складемо та розв’яжемо нерівність:

$a^{2} - 4 a - 32 > 0$

Знайдемо нулі функції $f (a) = a^{2} - 4 a - 32$ , розв’язавши відповідне квадратне рівняння:

$a^{2} - 4 a - 32 = 0$

За теоремою Вієта:
$a_{1} = 8$ , $a_{2} = - 4$

Графіком функції $f (a) = a^{2} - 4 a - 32$ є парабола, вітки якої напрямлені вгору. Вона перетинає вісь абсцис у точках $a = - 4$ та $a = 8$ .

Нерівність $a^{2} - 4 a - 32 > 0$ виконується на проміжках, де графік лежить вище осі абсцис:

$a \in (- \infty; - 4) \cup (8; + \infty)$

Відповідь: Г.

№ 12. Майстер і учень, працюючи разом, виконують деяку роботу за 6 год. Працюючи самостійно, майстер виконує $\frac{1}{5}$ частини роботи на 3 год швидше, ніж учень $\frac{1}{3}$ частину роботи. За скільки годин виконає роботу учень, якщо працюватиме самостійно?

А. 9 год
Б. 10 год
В. 12 год
Г. 15 год

Розв’язання:

Нехай майстер може виконати всю роботу самостійно за $x год$ , а учень — за $y год$ .

Оскільки разом вони виконують роботу за $6 год$ , то за одну годину вони виконують $\frac{1}{6}$ частину роботи:

$\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{1}{6}$

Майстер виконує $\frac{1}{5}$ частини роботи за $\frac{x}{5} год$ , а учень виконує $\frac{1}{3}$ частину роботи за $\frac{y}{3} год$ . За умовою майстер робить це на $3 год$ швидше:

$\frac{y}{3} - \frac{x}{5} = 3$

Складемо та розв’яжемо систему рівнянь:

$⎩ ⎨ ⎧ \frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{1}{6} \frac{y}{3} - \frac{x}{5} = 3$

Помножимо обидві частини другого рівняння на $15$ :

$5 y - 3 x = 45$

$3 x = 5 y - 45$

$x = \frac{5 y - 45}{3}$

Підставимо вираз для $x$ у перше рівняння:

$\frac{3}{5 y - 45} + \frac{1}{y} = \frac{1}{6}$

Помножимо обидві частини рівняння на $6 y (5 y - 45) \neq = 0$ :

$18 y + 6 (5 y - 45) = y (5 y - 45)$

$18 y + 30 y - 270 = 5 y^{2} - 45 y$

$48 y - 270 = 5 y^{2} - 45 y$

$5 y^{2} - 93 y + 270 = 0$

$D = (- 93)^{2} - 4 \cdot 5 \cdot 270 = 8649 - 5400 = 3249 = 5 7^{2}$

$y_{1} = \frac{93 + 57}{2 \cdot 5} = \frac{150}{10} = 15$
$y_{2} = \frac{93 - 57}{2 \cdot 5} = \frac{36}{10} = 3, 6$ (не задовольняє умову, бо $x < 0$ )

Якщо $y = 15$ , то $x = \frac{5 \cdot 15 - 45}{3} = \frac{30}{3} = 10 > 0$ .

Отже, учень виконає всю роботу самостійно за $15 год$ .

Відповідь: Г (15 год).

№ 13. Установіть відповідність між нерівністю (1–3) та множиною її розв’язків (А–Г).

Нерівність:
1) $(x + 1)^{2} - 5 x \geq 1$
2) $x^{2} - 6 x + 9 \geq 0$
3) $\frac{1}{2} x^{2} - 2 x + 7 < 0$

Множина розв’язків нерівності:
А. $(- \infty; + \infty)$
Б. $(- \infty; 3] \cup [3; + \infty)$
В. $(- \infty; 0] \cup [3; + \infty)$
Г. Нерівність не має розв’язків

Розв’язання:

1) Розв’яжемо нерівність:
$(x + 1)^{2} - 5 x \geq 1$
$x^{2} + 2 x + 1 - 5 x - 1 \geq 0$
$x^{2} - 3 x \geq 0$
$x (x - 3) \geq 0$

Нулі функції $y = x^{2} - 3 x$ :
$x_{1} = 0$ , $x_{2} = 3$

Вітки параболи напрямлені вгору ( $a = 1 > 0$ ), тому нерівність $x (x - 3) \geq 0$ виконується при:
$x \in (- \infty; 0] \cup [3; + \infty)$

Це відповідає варіанту В.

2) Розв’яжемо нерівність:
$x^{2} - 6 x + 9 \geq 0$
$(x - 3)^{2} \geq 0$

Квадрат будь-якого дійсного числа є невід’ємним для всіх значень змінної:
$x \in (- \infty; + \infty)$

Це відповідає варіанту А.

3) Розв’яжемо нерівність:
$\frac{1}{2} x^{2} - 2 x + 7 < 0$

Помножимо обидві частини нерівності на $2$ :
$x^{2} - 4 x + 14 < 0$

Знайдемо дискримінант квадратного тричлена:
$D = (- 4)^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 14 = 16 - 56 = - 40 < 0$

Оскільки $a = 1 > 0$ і $D < 0$ , графік функції лежить повністю вище від осі абсцис, тому вираз набуває лише додатних значень при будь-яких дійсних $x$ .

Отже, нерівність розв’язків не має.

Це відповідає варіанту Г.

Відповідь: 1 — В, 2 — А, 3 — Г.

Домашня самостійна робота 3 (§§ 12–14)

Теги статті:

До уроку