Домашня самостійна робота 2 (§§ 8–11)

Зміст

РОЗВ’ЯЖІТЬ ЗАДАЧІ ТА ВИКОНАЙТЕ ВПРАВИ

№ 1. Дано $f(x)=x^2-x$. Знайдіть $f(-1)$.

А. -2
Б. 0
В. 2
Г. 1

Розв’язання:

$f(-1)=(-1{)}^2-(-1)=1+1=2$

Відповідь: В.

№ 2. Щоб побудувати графік функції $y=x^2+2$, треба графік функції $y=x^2$ перенести на $2$ одиниці…

А. вліво
Б. вгору
В. вниз
Г. вправо

Розв’язання:

Графік функції $y=f(x)+n$ одержують за допомогою паралельного перенесення графіка функції $y=f(x)$ вздовж осі $Oy$ на $n$ одиниць угору, якщо $n>0$.

Для функції $y=x^2+2$ маємо $n=2>0$, отже, графік функції $y=x^2$ необхідно перенести на $2$ одиниці вгору.

Відповідь: Б.

№ 3. Укажіть функцію, що є квадратичною:

А. $y=-2x^2+3x+7$

Б. $y=\frac{1}{x^2-2x+5}$

В. $y=x^3-2x^2+3x+1$

Г. $y=x^4-2x^2+3$

Розв’язання:
Квадратичною є функція вигляду $y=a{x}^2+bx+c$, де $a\ne 0$, $b$ і $c$ — числа, $x$ — незалежна змінна.

Функція $y=-2x^2+3x+7$ відповідає цьому означенню при $a=-2$, $b=3$, $c=7$.

Відповідь: А.

№ 4. Знайдіть нулі функції $y=x^2-4x$.

А. $0$
Б. $4$
В. $0$, $-4$
Г. $0$, $4$

Розв’язання:

Для знаходження нулів функції розв’яжемо рівняння:

$x^2-4x=0$

$x(x-4)=0$

Отже, нулями функції є числа $0$ та $4$, що відповідає варіанту Г.

Відповідь: Г.

№ 5. Укажіть значення $x$, за якого значення функції $y=2x+5$ дорівнюватиме $7$.

А. $7$
Б. $-1$
В. $1$
Г. $0$

Розв’язання:

Підставимо значення функції $y=7$ у формулу:

$2x+5=7$

$2x=7-5$

$2x=2$

$x=1$

Отже, шукане значення $x=1$, що відповідає варіанту В.

Відповідь: В.

№ 6. Не виконуючи побудови, знайдіть усі точки перетину графіків функцій $y=-3x^2$ та $y=9x$.

А. $(0;0)$
Б. $(0;0)$, $(-3;-27)$
В. $(0;0)$, $(-3;0)$
Г. $(0;0)$, $(3;27)$

Розв’язання:

Для знаходження абсцис точок перетину графіків прирівняємо їхні аналітичні вирази:

$-3x^2=9x$

$-3x^2-9x=0$

Поділимо обидві частини рівняння на $-3$:

$x^2+3x=0$

Розкладемо ліву частину на множники:

$x(x+3)=0$

Знайдемо відповідні значення ординат $y$:

якщо $x_1=0$, то $y_1=9\cdot 0=0$;

якщо $x_2=-3$, то $y_2=9\cdot (-3)=-27$.

Отже, графіки перетинаються в точках $(0;0)$ та $(-3;-27)$, що відповідає варіанту Б.

Відповідь: Б.

№ 7. Побудуйте схематично графік функції $y=-x^2+2x-3$ та вкажіть область значень цієї функції.

А. $(-\infty ;-2)$
Б. $[-2;+\infty )$
В. $(-\infty ;-2]$
Г. $(-\infty ;2]$

Розв’язання:
Графіком квадратичної функції $y=-x^2+2x-3$ є парабола, вітки якої напрямлені вниз ($a=-1<0$).

Знайдемо координати вершини параболи $(x_0;y_0)$:

$x_0=-\frac{b}{2a}=-\frac{2}{2\cdot (-1)}=1$

$y_0=y(1)=-(1{)}^2+2\cdot 1-3=-1+2-3=-2$

Вершина параболи знаходиться в точці $(1;-2)$.

Таблиця опорних точок для побудови графіка:

📷 Оригінал (з підручника):

✨ Векторне креслення (SVG):

Оскільки вітки параболи напрямлені вниз, а ордината вершини дорівнює $-2$, то найбільшим значенням функції є $y_{\max }=-2$.

Отже, область значень функції:

$E(y)=(-\infty ;-2]$

Правильною є відповідь В.

Відповідь: В. $(-\infty ;-2]$.

№ 8. Побудуйте схематично графік функції $y=\frac{1}{2}{x}^2-4x$ та вкажіть проміжок зростання цієї функції.

А. $(-\infty ;4]$
Б. $[-8;+\infty )$
В. $[-4;+\infty )$
Г. $[4;+\infty )$

Розв’язання:

Графіком функції $y=\frac{1}{2}{x}^2-4x$ є парабола, вітки якої напрямлені вгору ($a=\frac{1}{2}>0$).

Знайдемо координати вершини параболи $(x_0;y_0)$:

$x_0=-\frac{b}{2a}=-\frac{-4}{2\cdot \frac{1}{2}}=4$

$y_0=y(4)=\frac{1}{2}\cdot 4^2-4\cdot 4=8-16=-8$

Вершина параболи — точка $(4;-8)$.

Знайдемо нулі функції:

$\frac{1}{2}{x}^2-4x=0$

$x\left(\frac{1}{2}x-4\right)=0$

Складемо таблицю значень для побудови графіка:

📷 Оригінал (з підручника):

✨ Векторне креслення (SVG):

Оскільки вітки параболи напрямлені вгору, функція спадає на проміжку $(-\infty ;x_0]$ і зростає на проміжку $[x_0;+\infty )$, тобто на $[4;+\infty )$.

Відповідь: Г.

№ 9. Укажіть область визначення функції $y=\frac{5}{|x-1|-3}$.

А. $(-\infty ;-2)\cup (-2;4)\cup (4;+\infty )$
Б. $(-\infty ;4)\cup (4;+\infty )$
В. $(-\infty ;-2)\cup (-2;+\infty )$
Г. $(-\infty ;+\infty )$

Розв’язання:

Знаменник дробу не повинен дорівнювати нулю:

$|x-1|-3\ne 0$

$|x-1|\ne 3$

Звідси:

Отже, область визначення функції складається з усіх дійсних чисел, крім $-2$ та $4$:

$D(y)=(-\infty ;-2)\cup (-2;4)\cup (4;+\infty )$

Це відповідає варіанту А.

Відповідь: А.

№ 10. Укажіть область значень функції $y=4-\frac{1}{2}|x|$.

А. $(-\infty ;4)$
Б. $[4;+\infty )$
В. $(-\infty ;4]$
Г. $(-\infty ;+\infty )$

Розв’язання:

Для будь-якого дійсного числа $x$:
$|x|\ge 0$

Помножимо обидві частини нерівності на $-\frac{1}{2}$, змінивши знак нерівності на протилежний:
$-\frac{1}{2}|x|\le 0$

Додамо $4$ до обох частин нерівності:
$4-\frac{1}{2}|x|\le 4$

$y\le 4$

Отже, область значень функції:
$E(y)=(-\infty ;4]$

Цьому проміжку відповідає варіант В.

Відповідь: В.

№ 11. За яких значень $a$ і $c$ точка $M(-1;4)$ є вершиною параболи $y=a{x}^2+2x+c$?

А. $a=1$, $c=3$
Б. $a=1$, $c=5$
В. $a=1$, $c=-5$
Г. $a=-1$, $c=7$

Розв’язання:

Абсциса вершини параболи обчислюється за формулою:

$x_{\text{в}}=-\frac{b}{2a}$

За умовою $b=2$, $x_{\text{в}}=-1$:

$-1=-\frac{2}{2a}$

$-1=-\frac{1}{a}$

$a=1$

Оскільки точка $M(-1;4)$ є вершиною параболи, її координати задовольняють рівняння функції:

$y_{\text{в}}=a\cdot (-1{)}^2+2\cdot (-1)+c$

Підставимо значення $a=1$ та $y_{\text{в}}=4$:

$4=1\cdot (-1{)}^2+2\cdot (-1)+c$

$4=1-2+c$

$4=-1+c$

$c=5$

Отже, $a=1$, $c=5$, що відповідає варіанту Б.

Відповідь: Б.

№ 12. Скільки нулів має функція $y=\frac{(x^2-9)\sqrt{|x|-4}}{x}$?

А. 1
Б. 2
В. 3
Г. 4

Розв’язання:

Знайдемо область визначення функції:

$|x|\ge 4$
$x\in (-\infty ;-4]\cup [4;+\infty )$

Щоб знайти нулі функції, розв’яжемо рівняння:
$\frac{(x^2-9)\sqrt{|x|-4}}{x}=0$

Дріб дорівнює нулю, коли чисельник дорівнює нулю, а знаменник має зміст і не дорівнює нулю:
$(x^2-9)\sqrt{|x|-4}=0$

Перевіримо належність знайдених значень області визначення функції:

1) Якщо $x=3$ або $x=-3$, то:
$|x|=|\pm 3|=3<4$ — значення не належать області визначення (підкореневий вираз від’ємний).

2) Якщо $x=4$ або $x=-4$, то:
$|x|=|\pm 4|=4\ge 4$ та $x\ne 0$ — значення належать області визначення.

Отже, функція має два нулі: $x=-4$ та $x=4$.

Відповідь: Б.

№ 13. Установіть відповідність між функцією (1–3) та областю її визначення (А–Г).

Функція:
1) $y=\frac{15}{1-x^2}$
2) $y=\frac{4}{x^2-2x-3}$
3) $y=\frac{1}{\sqrt{x+1}}$

Область визначення функції:
А. $(-\infty ;-1)\cup (-1;+\infty )$
Б. $(-1;+\infty )$
В. $(-\infty ;-1)\cup (-1;1)\cup (1;+\infty )$
Г. $(-\infty ;-1)\cup (-1;3)\cup (3;+\infty )$

Розв’язання:

1) $y=\frac{15}{1-x^2}$
Знаменник дробу не може дорівнювати нулю:
$1-x^2\ne 0$
$x^2\ne 1$
$x\ne -1$ та $x\ne 1$
$D(y)=(-\infty ;-1)\cup (-1;1)\cup (1;+\infty )$
Відповідає варіанту В.

2) $y=\frac{4}{x^2-2x-3}$
Знаменник дробу не може дорівнювати нулю:
$x^2-2x-3\ne 0$
Знайдемо корені рівняння $x^2-2x-3=0$:
За теоремою Вієта:
$\{\begin{array}{l}{x}_1+x_2=2\\ x_1\cdot x_2=-3\end{array}⟹[\begin{array}{l}{x}_1=-1\\ x_2=3\end{array}$
Отже:
$x\ne -1$ та $x\ne 3$
$D(y)=(-\infty ;-1)\cup (-1;3)\cup (3;+\infty )$
Відповідає варіанту Г.

3) $y=\frac{1}{\sqrt{x+1}}$
Вираз під знаком квадратного кореня в знаменнику має бути строго додатним:
$x+1>0$
$x>-1$
$D(y)=(-1;+\infty )$
Відповідає варіанту Б.

Відповідь: 1 — В, 2 — Г, 3 — Б.