9. Властивості функції

Зміст

Використовуючи малюнок 9.1, поясніть, як за графіком функції знайти нулі функції, проміжки знакосталості та проміжки зростання і спадання функції.

За графіком функції $y=f(x)$, зображеним на малюнку 9.1, відповідні властивості визначають так:

1) Нулі функції:
Нулі функції є абсцисами точок перетину графіка з віссю абсцис ($Ox$). На малюнку 9.1 графік перетинає вісь $Ox$ у точках $(-2;0)$ та $(3;0)$. Отже, нулями функції є значення аргументу $x=-2$ та $x=3$.

2) Проміжки знакосталості:

• Щоб знайти проміжки, на яких функція набуває додатних значень ($f(x)>0$), знаходять проміжки $x$, де графік розташований вище від осі $Ox$. На малюнку 9.1 графік лежить вище від осі $Ox$ на інтервалі $(-2;3)$, тобто $f(x)>0$ при $x\in (-2;3)$.
• Щоб знайти проміжки, на яких функція набуває від’ємних значень ($f(x)<0$), знаходять проміжки $x$, де графік розташований нижче від осі $Ox$. На малюнку 9.1 графік лежить нижче від осі $Ox$ на проміжках $\text{[}-4;-2)$ та (3; 4\], тобто $f(x)<0$ при x \in \[-4; -2) \cup (3; 4\].

3) Проміжки зростання і спадання:

• На проміжку \[-4; 2\] зі збільшенням значень $x$ значення $y$ збільшується (графік прямує вгору). Отже, \[-4; 2\] є проміжком зростання функції.
• На проміжку \[2; 4\] зі збільшенням значень $x$ значення $y$ зменшується (графік прямує вниз). Отже, \[2; 4\] є проміжком спадання функції.

Сформулюйте властивості функцій $y=kx+l$ ($k\ne 0$), $y=\frac{k}{x}$ ($k\ne 0$), $y=x^2$ та $y=\sqrt{x}$.

1) Властивості лінійної функції $y=kx+l$ ($k\ne 0$):

• Область визначення: $(-\infty ;+\infty )$.
• Область значень: $(-\infty ;+\infty )$.
• Нулі функції: $x=-\frac{l}{k}$.
• Проміжки знакосталості:
  • При $k>0$: $y>0$, якщо $x>-\frac{l}{k}$; $y<0$, якщо $x<-\frac{l}{k}$.
  • При $k<0$: $y>0$, якщо $x<-\frac{l}{k}$; $y<0$, якщо $x>-\frac{l}{k}$.
• Зростання / спадання: при $k>0$ функція зростає на $(-\infty ;+\infty )$; при $k<0$ функція спадає на $(-\infty ;+\infty )$.
• Найбільшого та найменшого значень не має.

2) Властивості оберненої пропорційності $y=\frac{k}{x}$ ($k\ne 0$):

• Область визначення: $(-\infty ;0)\cup (0;+\infty )$.
• Область значень: $(-\infty ;0)\cup (0;+\infty )$.
• Нулі функції: не існує.
• Проміжки знакосталості:
  • При $k>0$: $y>0$, якщо $x>0$; $y<0$, якщо $x<0$.
  • При $k<0$: $y>0$, якщо $x<0$; $y<0$, якщо $x>0$.
• Зростання / спадання: при $k>0$ функція спадає на $(-\infty ;0)$ та $(0;+\infty )$; при $k<0$ функція зростає на $(-\infty ;0)$ та $(0;+\infty )$.
• Найбільшого та найменшого значень не має.

3) Властивості квадратичної функції $y=x^2$:

• Область визначення: $(-\infty ;+\infty )$.
• Область значень: $\text{[}0;+\infty )$.
• Нулі функції: $x=0$.
• Проміжки знакосталості: $y>0$ для $x\in (-\infty ;0)\cup (0;+\infty )$; від’ємних значень не набуває.
• Зростання / спадання: спадає на проміжку (-\infty; 0\], зростає на проміжку $\text{[}0;+\infty )$.
• Найменше значення дорівнює $0$ (при $x=0$), найбільшого значення не існує.

4) Властивості функції арифметичного квадратного кореня $y=\sqrt{x}$:

• Область визначення: $\text{[}0;+\infty )$.
• Область значень: $\text{[}0;+\infty )$.
• Нулі функції: $x=0$.
• Проміжки знакосталості: $y>0$ для $x\in (0;+\infty )$; від’ємних значень не набуває.
• Зростання / спадання: зростає на проміжку $\text{[}0;+\infty )$.
• Найменше значення дорівнює $0$ (при $x=0$), найбільшого значення не існує.

№ 9.1. Знайдіть нулі функції:

1) $y=2x$;

Для знаходження нулів функції розв’яжемо рівняння $2x=0$:

$2x=0$

$x=0$

Відповідь: $0$.

2) $y=2-5x$;

Для знаходження нулів функції розв’яжемо рівняння $2-5x=0$:

$-5x=-2$

$x=\frac{-2}{-5}=0,4$

Відповідь: $0,4$.

3) $y=x(x-2)$;

Для знаходження нулів функції розв’яжемо рівняння $x(x-2)=0$:

$x=0\text{або}x-2=0⟹x=2$

Відповідь: $0;2$.

4) $y=\frac{x}{x+1}$.

Для знаходження нулів функції розв’яжемо рівняння $\frac{x}{x+1}=0$:

Відповідь: $0$.

№ 9.2. Знайдіть нулі функції:

1) $y=3x$;

2) $y=5x+4$;

3) $y=x(x+3)$;

4) $y=\frac{x-1}{x}$.

Розв’язання:

1) Для знаходження нулів функції розв’яжемо рівняння:

$3x=0$

$x=0$

Відповідь: $0$.

2) Для знаходження нулів функції розв’яжемо рівняння:

$5x+4=0$

$5x=-4$

$x=-\frac{4}{5}=-0,8$

Відповідь: $-0,8$.

3) Для знаходження нулів функції розв’яжемо рівняння:

$x(x+3)=0$

$x=0\text{або}x+3=0$

$x=-3$

Відповідь: $-3;0$.

4) Для знаходження нулів функції розв’яжемо рівняння:

$\frac{x-1}{x}=0$

$x=1$

Відповідь: $1$.

№ 9.3. (Усно.) Зростаючою чи спадною на своїй області визначення є функція:

1) $y=2x+7$;

2) $y=-3x$;

3) $y=\sqrt{x}$;

4) $y=\frac{1}{3}x$?

Розв’язання:

1) $y=2x+7$ — лінійна функція вигляду $y=kx+l$, де коефіцієнт $k=2>0$. Оскільки $k>0$, функція є зростаючою на всій своїй області визначення $(-\infty ;+\infty )$.

Відповідь: зростаюча.

2) $y=-3x$ — лінійна функція вигляду $y=kx+l$, де коефіцієнт $k=-3<0$. Оскільки $k<0$, функція є спадною на всій своїй області визначення $(-\infty ;+\infty )$.

Відповідь: спадна.

3) $y=\sqrt{x}$. За властивістю функції арифметичного квадратного кореня $y=\sqrt{x}$, більшому значенню аргументу з області визначення $[0;+\infty )$ відповідає більше значення функції ($x_2>x_1⟹\sqrt{x_2}>\sqrt{x_1}$). Вона є зростаючою на своїй області визначення $[0;+\infty )$.

Відповідь: зростаюча.

4) $y=\frac{1}{3}x$ — лінійна функція вигляду $y=kx+l$, де коефіцієнт $k=\frac{1}{3}>0$. Оскільки $k>0$, функція є зростаючою на всій своїй області визначення $(-\infty ;+\infty )$.

Відповідь: зростаюча.

РОЗВ’ЯЖІТЬ ЗАДАЧІ ТА ВИКОНАЙТЕ ВПРАВИ

№ 9.4. Зростаючою чи спадною на проміжку $(-\infty ;+\infty )$ є функція:

1) $y=-2x-5$;

2) $y=\frac{4}{5}x$;

3) $y=-0,01x$;

4) $y=5x+13$?

Розв’язання:

1) Функція $y=-2x-5$ є лінійною функцією вигляду $y=kx+b$, де кутовий коефіцієнт $k=-2$. Оскільки $k<0$, то функція є спадною на всій області визначення $(-\infty ;+\infty )$.

Відповідь: спадною.

2) Функція $y=\frac{4}{5}x$ є лінійною функцією вигляду $y=kx+b$, де кутовий коефіцієнт $k=\frac{4}{5}$. Оскільки $k>0$, то функція є зростаючою на всій області визначення $(-\infty ;+\infty )$.

Відповідь: зростаючою.

3) Функція $y=-0,01x$ є лінійною функцією вигляду $y=kx+b$, де кутовий коефіцієнт $k=-0,01$. Оскільки $k<0$, то функція є спадною на всій області визначення $(-\infty ;+\infty )$.

Відповідь: спадною.

4) Функція $y=5x+13$ є лінійною функцією вигляду $y=kx+b$, де кутовий коефіцієнт $k=5$. Оскільки $k>0$, то функція є зростаючою на всій області визначення $(-\infty ;+\infty )$.

Відповідь: зростаючою.

№ 9.5. Областю визначення функції $y=f(x)$, графік якої зображено на малюнку 9.10, є проміжок $[-3;3]$. За графіком знайдіть:

1) нулі функції;

2) проміжки, на яких функція набуває додатних значень, і проміжки, на яких вона набуває від’ємних значень;

3) проміжки, на яких функція зростає, і проміжки, на яких вона спадає;

4) значення $x$, за якого функція набуває найбільшого значення, та найбільше значення функції; значення $x$, за якого функція набуває найменшого значення, та найменше значення функції.

Розв’язання:

1) Нулі функції — це значення аргументу $x$, за яких $y=0$ (абсциси точок перетину графіка з віссю $Ox$).

Згідно з графіком, $f(x)=0$ при $x=-3$, $x=-1$ та $x=3$.

Відповідь: $x=-3$, $x=-1$, $x=3$.

2) Проміжки знакосталості:

• функція набуває додатних значень ($y>0$), коли її графік розташований вище від осі $Ox$: на проміжку $(-1;3)$;

• функція набуває від’ємних значень ($y<0$), коли її графік розташований нижче від осі $Ox$: на проміжку $(-3;-1)$.

Відповідь: $f(x)>0$ при $x\in (-1;3)$; $f(x)<0$ при $x\in (-3;-1)$.

3) Проміжки монотонності:

• зі збільшенням $x$ від $-2$ до $2$ значення $y$ збільшується, тому функція зростає на проміжку $[-2;2]$;

• зі збільшенням $x$ від $-3$ до $-2$ та від $2$ до $3$ значення $y$ зменшується, тому функція спадає на проміжках $[-3;-2]$ та $[2;3]$.

Відповідь: зростає на $[-2;2]$; спадає на $[-3;-2]$ та $[2;3]$.

4) Найбільше та найменше значення функції:

• найбільше значення функції дорівнює $2$, якого вона набуває при $x=2$;

• найменше значення функції дорівнює $-2$, якого вона набуває при $x=-2$.

Відповідь: $y_{\max }=2$ при $x=2$; $y_{\min }=-2$ при $x=-2$.

№ 9.6. Областю визначення функції $y=g(x)$, графік якої зображено на малюнку 9.11, є проміжок $[-3;3]$. За графіком знайдіть:

1) нулі функції;

2) проміжки, на яких функція набуває додатних значень, і проміжки, на яких вона набуває від’ємних значень;

3) проміжки, на яких функція зростає, і проміжки, на яких вона спадає;

4) значення $x$, за якого функція набуває найбільшого значення, та найбільше значення функції; значення $x$, за якого функція набуває найменшого значення, та найменше значення функції.

Розв’язання:

1) Нулі функції — це значення аргументу $x$, за яких $y=0$ (абсциси точок перетину графіка з віссю $Ox$).

Згідно з графіком, $g(x)=0$ при $x=-3$, $x=-1$ та $x=3$.

Відповідь: $x=-3$, $x=-1$, $x=3$.

2) Визначимо знаки функції на проміжках:

• функція набуває додатних значень ($g(x)>0$), коли її графік розташований вище від осі $Ox$: на проміжку $(-3;-1)$;

• функція набуває від’ємних значень ($g(x)<0$), коли її графік розташований нижче від осі $Ox$: на проміжку $(-1;3)$.

Відповідь: $g(x)>0$ при $x\in (-3;-1)$; $g(x)<0$ при $x\in (-1;3)$.

3) Проміжки монотонності:

• зі збільшенням $x$ від $-3$ до $-2$ та від $0$ до $3$ значення $y$ збільшується, тому функція зростає на проміжках $[-3;-2]$ та $[0;3]$;

• зі збільшенням $x$ від $-2$ до $0$ значення $y$ зменшується, тому функція спадає на проміжку $[-2;0]$.

Відповідь: зростає на $[-3;-2]$ та $[0;3]$; спадає на $[-2;0]$.

4) Найбільше та найменше значення функції:

• найбільше значення функції дорівнює $1$, якого вона набуває при $x=-2$;

• найменше значення функції дорівнює $-1$, якого вона набуває при $x=0$.

Відповідь: $g_{\max }=1$ при $x=-2$; $g_{\min }=-1$ при $x=0$.

№ 9.7. Знайдіть нулі функції (якщо вони існують):

Розв’язання:

1) $y=5(x^2+1)$

Для знаходження нулів функції розв’яжемо рівняння $y=0$:

$5(x^2+1)=0$

Поділимо обидві частини рівняння на $5$:

$x^2+1=0⟹x^2=-1$

Квадрат дійсного числа не може бути від’ємним ($x^2\ge 0$), тому дане рівняння не має дійсних коренів. Отже, нулів функції не існує.

Відповідь: нулів не існує.

2) $y=\sqrt{x-2}$

Область визначення функції: $x-2\ge 0⟹x\ge 2$.

Знайдемо нулі функції, розв’язавши рівняння:

$\sqrt{x-2}=0⟹x-2=0⟹x=2$

Значення $x=2$ належить області визначення функції.

Відповідь: $x=2$.

3) $y=\sqrt{9-x^2}$

Область визначення функції: $9-x^2\ge 0⟹x^2\le 9⟹x\in [-3;3]$.

Знайдемо нулі функції, розв’язавши рівняння:

$\sqrt{9-x^2}=0⟹9-x^2=0⟹x^2=9⟹x_1=-3,x_2=3$

Обидва значення належать області визначення функції.

Відповідь: $-3;3$.

4) $y=\sqrt{x^2+5}$

Область визначення функції: $x^2+5\ge 0$, що виконується для всіх $x\in \mathbb{R}$.

Знайдемо нулі функції, розв’язавши рівняння:

$\sqrt{x^2+5}=0⟹x^2+5=0⟹x^2=-5$

Оскільки $x^2\ge 0$ для будь-якого дійсного $x$, рівняння $x^2=-5$ не має коренів. Отже, нулів функції не існує.

Відповідь: нулів не існує.

№ 9.8. Знайдіть нулі функції (якщо вони існують):

1) $y=4(x^2+9)$;

2) $y=\sqrt{3+x}$;

3) $y=\sqrt{x^2-1}$;

4) $y=\sqrt{x^2+4}$.

Розв’язання:

1) Для знаходження нулів функції розв’яжемо рівняння $y=0$:

$4(x^2+9)=0$

Поділимо обидві частини рівняння на $4$:

$x^2+9=0$

$x^2=-9$

Рівняння не має дійсних коренів, оскільки квадрат будь-якого дійсного числа є невід’ємним ($x^2\ge 0$). Отже, нулів функції не існує.

Відповідь: нулів не існує.

2) Область визначення функції: $3+x\ge 0$, тобто $x\ge -3$.

Знайдемо нулі функції, розв’язавши рівняння:

$\sqrt{3+x}=0$

$3+x=0$

$x=-3$

Значення $x=-3$ належить області визначення функції.

Відповідь: $-3$.

3) Область визначення функції: $x^2-1\ge 0$, тобто $x\in (-\infty ;-1]\cup [1;+\infty )$.

Знайдемо нулі функції, розв’язавши рівняння:

$\sqrt{x^2-1}=0$

$x^2-1=0$

$x^2=1$

$x=\pm 1$

Обидва значення належать області визначення функції.

Відповідь: $-1;1$.

4) Область визначення функції: $x^2+4\ge 0$, що виконується для всіх $x\in \mathbb{R}$.

Знайдемо нулі функції, розв’язавши рівняння:

$\sqrt{x^2+4}=0$

$x^2+4=0$

$x^2=-4$

Рівняння не має дійсних коренів, тому нулів функції не існує.

Відповідь: нулів не існує.
№ 9.9. Накресліть схематично графік функції $y=g(x)$, областю визначення якої є проміжок $[-3;5]$, так, щоб:

1) нулем функції було число 2;

2) нулями функції були числа $-1$ і 4;

3) функція зростала на проміжку $[-3;2]$ і спадала на проміжку $[2;5]$.

Розв’язання:

1) Область визначення функції: $D(g)=[-3;5]$. Нулем функції є число 2, тобто $g(2)=0$. Це означає, що графік перетинає вісь абсцис у точці $(2;0)$ і більше не має інших точок перетину з віссю $Ox$.

Приклад побудови: з’єднаємо відрізками або плавною лінією точки $(-3;-2)$, $(2;0)$ та $(5;2)$.

2) Область визначення функції: $D(g)=[-3;5]$. Нулями функції є числа $-1$ і 4, тобто $g(-1)=0$ та $g(4)=0$. Це означає, що графік перетинає вісь абсцис у точках $(-1;0)$ та $(4;0)$.

Приклад побудови: проведемо лінію через точки $(-3;2)$, $(-1;0)$, $(1;-2)$, $(4;0)$ та $(5;2)$.

3) Область визначення функції: $D(g)=[-3;5]$. На проміжку $[-3;2]$ функція зростає, досягаючи найбільшого значення при $x=2$, а на проміжку $[2;5]$ — спадає.

Приклад побудови: з’єднаємо лінією точки $(-3;1)$, $(2;5)$ та $(5;-1)$, де точка $(2;5)$ є вершиною (точкою максимуму).

Відповідь: схематичні графіки побудовано.

№ 9.10. Побудуйте графік функції та опишіть її властивості:

1) $y=2x-4$;

2) $y=-\frac{1}{2}x+2$.

Розв’язання:

1) Функція $y=2x-4$ є лінійною, її графіком є пряма лінія.

Складемо таблицю значень аргументу $x$ та відповідних значень функції $y$:

Побудова: на координатній площині позначимо точки $(-1;-6)$, $(0;-4)$, $(2;0)$, $(3;2)$ та проведемо через них пряму лінію.

Опис властивостей функції $y=2x-4$:

• Область визначення: $D(y)=(-\infty ;+\infty )$;
• Область значень: $E(y)=(-\infty ;+\infty )$;
• Нулі функції: $y=0⟹2x-4=0⟹2x=4⟹x=2$;
• Точки перетину з осями координат: з віссю $Ox$ — $(2;0)$, з віссю $Oy$ — $(0;-4)$;
• Проміжки знакосталості: $y>0$ при $x\in (2;+\infty )$; $y<0$ при $x\in (-\infty ;2)$;
• Зростання / спадання: оскільки коефіцієнт $k=2>0$, функція зростає на всій області визначення, тобто на $(-\infty ;+\infty )$;
• Найбільше та найменше значення: не існують.

2) Функція $y=-\frac{1}{2}x+2$ є лінійною, її графіком є пряма лінія.

Складемо таблицю значень аргументу $x$ та відповідних значень функції $y$:

Побудова: на координатній площині позначимо точки $(-2;3)$, $(0;2)$, $(2;1)$, $(4;0)$ та проведемо через них пряму лінію.

Опис властивостей функції $y=-\frac{1}{2}x+2$:

• Область визначення: $D(y)=(-\infty ;+\infty )$;
• Область значень: $E(y)=(-\infty ;+\infty )$;
• Нулі функції: $y=0⟹-\frac{1}{2}x+2=0⟹\frac{1}{2}x=2⟹x=4$;
• Точки перетину з осями координат: з віссю $Ox$ — $(4;0)$, з віссю $Oy$ — $(0;2)$;
• Проміжки знакосталості: $y>0$ при $x\in (-\infty ;4)$; $y<0$ при $x\in (4;+\infty )$;
• Зростання / спадання: оскільки коефіцієнт $k=-\frac{1}{2}<0$, функція спадає на всій області визначення, тобто на $(-\infty ;+\infty )$;
• Найбільше та найменше значення: не існують.

Відповідь: графіки побудовано, властивості описано.

№ 9.11. Побудуйте графік функції та опишіть її властивості:

1) $y=-3x+6$;

2) $y=\frac{1}{3}x-1$.

Розв’язання:

1) Графіком лінійної функції $y=-3x+6$ є пряма.

Складемо таблицю значень:

Побудова: позначимо на координатній площині точки $(0;6)$, $(1;3)$, $(2;0)$, $(3;-3)$ та проведемо через них пряму.

Властивості функції $y=-3x+6$:

• Область визначення: $D(y)=(-\infty ;+\infty )$;
• Область значень: $E(y)=(-\infty ;+\infty )$;
• Нулі функції: $y=0⟹-3x+6=0⟹x=2$;
• Точки перетину з осями координат: з віссю $Ox$ — $(2;0)$, з віссю $Oy$ — $(0;6)$;
• Проміжки знакосталості: $y>0$ при $x\in (-\infty ;2)$; $y<0$ при $x\in (2;+\infty )$;
• Зростання / спадання: оскільки $k=-3<0$, функція спадає на $(-\infty ;+\infty )$;
• Найбільшого та найменшого значень функція не має.

2) Графіком лінійної функції $y=\frac{1}{3}x-1$ є пряма.

Складемо таблицю значень:

Побудова: позначимо на координатній площині точки $(-3;-2)$, $(0;-1)$, $(3;0)$, $(6;1)$ та проведемо через них пряму.

Властивості функції $y=\frac{1}{3}x-1$:

• Область визначення: $D(y)=(-\infty ;+\infty )$;
• Область значень: $E(y)=(-\infty ;+\infty )$;
• Нулі функції: $y=0⟹\frac{1}{3}x-1=0⟹x=3$;
• Точки перетину з осями координат: з віссю $Ox$ — $(3;0)$, з віссю $Oy$ — $(0;-1)$;
• Проміжки знакосталості: $y>0$ при $x\in (3;+\infty )$; $y<0$ при $x\in (-\infty ;3)$;
• Зростання / спадання: оскільки $k=\frac{1}{3}>0$, функція зростає на $(-\infty ;+\infty )$;
• Найбільшого та найменшого значень функція не має.

Відповідь: графіки побудовано, властивості описано.

№ 9.12. Не виконуючи побудови, знайдіть точки перетину з осями координат графіка функції:

1) $y=\frac{x^2+2x-3}{x-1}$;

2) $y=\sqrt{x+2}$;

3) $y=\frac{|x|-1}{x+1}$;

4) $y=\frac{\sqrt{x^2-2x}}{x}$.

Розв’язання:

1) $y=\frac{x^2+2x-3}{x-1}$.

Область визначення функції: $x-1\ne 0⟹x\ne 1$.

Перетин з віссю $Oy$ ($x=0$):

$y=\frac{0^2+2\cdot 0-3}{0-1}=\frac{-3}{-1}=3$

Точка перетину з віссю $Oy$: $(0;3)$.

Перетин з віссю $Ox$ ($y=0$):

$\frac{x^2+2x-3}{x-1}=0⟹\{\begin{array}{l}{x}^2+2x-3=0\\ x-1\ne 0\end{array}$

Корені чисельника: $x_1=1$, $x_2=-3$.

Значення $x=1$ є стороннім коренем, оскільки $x\ne 1$.

Точка перетину з віссю $Ox$: $(-3;0)$.

2) $y=\sqrt{x+2}$.

Область визначення функції: $x+2\ge 0⟹x\ge -2$.

Перетин з віссю $Oy$ ($x=0$):

$y=\sqrt{0+2}=\sqrt{2}$

Точка перетину з віссю $Oy$: $(0;\sqrt{2})$.

Перетин з віссю $Ox$ ($y=0$):

$\sqrt{x+2}=0⟹x+2=0⟹x=-2$

Точка перетину з віссю $Ox$: $(-2;0)$.

3) $y=\frac{|x|-1}{x+1}$.

Область визначення функції: $x+1\ne 0⟹x\ne -1$.

Перетин з віссю $Oy$ ($x=0$):

$y=\frac{|0|-1}{0+1}=\frac{-1}{1}=-1$

Точка перетину з віссю $Oy$: $(0;-1)$.

Перетин з віссю $Ox$ ($y=0$):

$\frac{|x|-1}{x+1}=0⟹\{\begin{array}{l}|x|-1=0\\ x+1\ne 0\end{array}$

З рівняння $|x|=1$ маємо $x_1=1$ та $x_2=-1$.

Значення $x=-1$ є стороннім коренем ($x\ne -1$).

Точка перетину з віссю $Ox$: $(1;0)$.

4) $y=\frac{\sqrt{x^2-2x}}{x}$.

Область визначення функції:

$\{\begin{array}{l}{x}^2-2x\ge 0\\ x\ne 0\end{array}⟺x\in (-\infty ;0)\cup [2;+\infty )$

Перетин з віссю $Oy$ ($x=0$):

Оскільки $x=0$ не належить області визначення ($x\ne 0$), то графік не перетинає вісь $Oy$.

Перетин з віссю $Ox$ ($y=0$):

$\frac{\sqrt{x^2-2x}}{x}=0⟹\{\begin{array}{l}{x}^2-2x=0\\ x\ne 0\end{array}⟹x(x-2)=0$

Корені: $x_1=0$ (сторонній) та $x_2=2$.

Точка перетину з віссю $Ox$: $(2;0)$.

Відповідь:

1) з $Ox$: $(-3;0)$, з $Oy$: $(0;3)$;

2) з $Ox$: $(-2;0)$, з $Oy$: $(0;\sqrt{2})$;

3) з $Ox$: $(1;0)$, з $Oy$: $(0;-1)$;

4) з $Ox$: $(2;0)$, з віссю $Oy$ перетину немає.

№ 9.13. Не виконуючи побудови, знайдіть точки перетину з осями координат графіка функції:

1) $y=\frac{x^2-4x-5}{x+1}$;

2) $y=\sqrt{x+9}$;

3) $y=\frac{|x|-2}{x-2}$;

4) $y=\frac{\sqrt{x^2+3x}}{x}$.

Розв’язання:

1) $y=\frac{x^2-4x-5}{x+1}$.

Область визначення функції: $x+1\ne 0⟹x\ne -1$.

Перетин з віссю $Oy$ ($x=0$):

$y=\frac{0^2-4\cdot 0-5}{0+1}=\frac{-5}{1}=-5$

Точка перетину з віссю $Oy$: $(0;-5)$.

Перетин з віссю $Ox$ ($y=0$):

$\frac{x^2-4x-5}{x+1}=0⟹\{\begin{array}{l}{x}^2-4x-5=0\\ x+1\ne 0\end{array}$

За теоремою Вієта $x_1=5$, $x_2=-1$. Значення $x=-1$ є стороннім коренем.

Точка перетину з віссю $Ox$: $(5;0)$.

2) $y=\sqrt{x+9}$.

Область визначення функції: $x+9\ge 0⟹x\ge -9$.

Перетин з віссю $Oy$ ($x=0$):

$y=\sqrt{0+9}=\sqrt{9}=3$

Точка перетину з віссю $Oy$: $(0;3)$.

Перетин з віссю $Ox$ ($y=0$):

$\sqrt{x+9}=0⟹x+9=0⟹x=-9$

Точка перетину з віссю $Ox$: $(-9;0)$.

3) $y=\frac{|x|-2}{x-2}$.

Область визначення функції: $x-2\ne 0⟹x\ne 2$.

Перетин з віссю $Oy$ ($x=0$):

$y=\frac{|0|-2}{0-2}=\frac{-2}{-2}=1$

Точка перетину з віссю $Oy$: $(0;1)$.

Перетин з віссю $Ox$ ($y=0$):

$\frac{|x|-2}{x-2}=0⟹\{\begin{array}{l}|x|-2=0\\ x-2\ne 0\end{array}$

З рівняння $|x|=2$ маємо $x_1=2$ та $x_2=-2$.

Значення $x=2$ є стороннім коренем ($x\ne 2$).

Точка перетину з віссю $Ox$: $(-2;0)$.

4) $y=\frac{\sqrt{x^2+3x}}{x}$.

Область визначення функції:

$\{\begin{array}{l}{x}^2+3x\ge 0\\ x\ne 0\end{array}⟺x\in (-\infty ;-3]\cup (0;+\infty )$

Перетин з віссю $Oy$ ($x=0$):

Оскільки $x=0$ не належить області визначення ($x\ne 0$), то графік не перетинає вісь $Oy$.

Перетин з віссю $Ox$ ($y=0$):

$\frac{\sqrt{x^2+3x}}{x}=0⟹\{\begin{array}{l}{x}^2+3x=0\\ x\ne 0\end{array}⟹x(x+3)=0$

Корені: $x_1=0$ (сторонній) та $x_2=-3$.

Точка перетину з віссю $Ox$: $(-3;0)$.

Відповідь:

1) з $Ox$: $(5;0)$, з $Oy$: $(0;-5)$;

2) з $Ox$: $(-9;0)$, з $Oy$: $(0;3)$;

3) з $Ox$: $(-2;0)$, з $Oy$: $(0;1)$;

4) з $Ox$: $(-3;0)$, з віссю $Oy$ перетину немає.
9.14. Використовуючи графік (мал. 9.12), дайте відповіді на запитання:

1) якою була температура повітря 3 березня; 8 березня;

2) у які дні температура була $0^{\circ }\text{C}$; $2^{\circ }\text{C}$;

3) у які дні температура була нижчою за $0^{\circ }\text{C}$; у які – вищою;

4) якою була найвища температура повітря протягом цих двох тижнів; у який день вона спостерігалася;

5) якою була найнижча температура повітря протягом цих двох тижнів; у який день вона спостерігалася;

6) протягом яких днів температура повітря знижувалася, протягом яких – підвищувалася?

Розв’язання:

1) 3 березня температура повітря становила $-3^{\circ }\text{C}$.

8 березня температура повітря становила $2^{\circ }\text{C}$.

Відповідь: $-3^{\circ }\text{C}$; $2^{\circ }\text{C}$.

2) Температура повітря дорівнювала $0^{\circ }\text{C}$ 9 березня (а також протягом 4 березня, між 4 та 5 березня).

Температура повітря дорівнювала $2^{\circ }\text{C}$ 8 березня (а також між 4 і 5 березня та між 12 і 13 березня).

Відповідь: $0^{\circ }\text{C}$ була 9 березня; $2^{\circ }\text{C}$ була 8 березня.

3) Температура була нижчою за $0^{\circ }\text{C}$ ($T<0^{\circ }\text{C}$) у дні: 1, 2, 3, 4, 10, 11 березня.

Температура була вищою за $0^{\circ }\text{C}$ ($T>0^{\circ }\text{C}$) у дні: 5, 6, 7, 8, 12, 13, 14 березня.

Відповідь: нижчою за $0^{\circ }\text{C}$ — 1, 2, 3, 4, 10, 11 березня; вищою за $0^{\circ }\text{C}$ — 5, 6, 7, 8, 12, 13, 14 березня.

4) Найвища температура повітря становила $5^{\circ }\text{C}$, і спостерігалася вона 7 березня.

Відповідь: $5^{\circ }\text{C}$, 7 березня.

5) Найнижча температура повітря становила $-4^{\circ }\text{C}$, і спостерігалася вона 2 березня.

Відповідь: $-4^{\circ }\text{C}$, 2 березня.

6) Температура повітря знижувалася з 1 по 2 березня та з 7 по 10 березня.

Температура повітря підвищувалася з 2 по 7 березня та з 10 по 14 березня.

Відповідь: знижувалася з 1 по 2 та з 7 по 10 березня; підвищувалася з 2 по 7 та з 10 по 14 березня.

9.15. Використовуючи графік (мал. 9.13), дайте відповіді на запитання:

1) якою була ціна акцій 4 вересня; 8 вересня;

2) у які дні ціна акцій була $30\text{ грн}$ за одну акцію;

3) якою була найвища ціна акцій у ці дні; у який день це було;

4) якою була найнижча ціна акцій у ці дні; у який день це було;

5) протягом яких днів ціна акцій знижувалася; протягом яких підвищувалася.

Розв’язання:

1) За графіком визначаємо: 4 вересня ціна акцій становила $45\text{ грн}$, а 8 вересня — $40\text{ грн}$.

2) Ціна акцій дорівнювала $30\text{ грн}$ за одну акцію в такі дні: 1, 9 та 11 вересня.

3) Найвища ціна акцій становила $50\text{ грн}$, це спостерігалося 5 вересня.

4) Найнижча ціна акцій становила $20\text{ грн}$, це спостерігалося 2 вересня.

5) Ціна акцій знижувалася з 1 по 2 вересня та з 5 по 10 вересня; підвищувалася з 2 по 5 вересня та з 10 по 12 вересня.

Відповідь:

1) $45\text{ грн}$, $40\text{ грн}$;

2) 1, 9 та 11 вересня;

3) $50\text{ грн}$, 5 вересня;

4) $20\text{ грн}$, 2 вересня;

5) знижувалася з 1 по 2 та з 5 по 10 вересня; підвищувалася з 2 по 5 та з 10 по 12 вересня.

9.16. Побудуйте графік функції та опишіть її властивості:

1) $y=\frac{6}{x}$;

2) $y=-\frac{8}{x}$.

Розв’язання:

1) Для функції $y=\frac{6}{x}$:

Графіком функції є гіпербола, вітки якої розташовані у I та III координатних чвертях, оскільки коефіцієнт $k=6>0$.

Складемо таблицю значень аргументу $x$ та функції $y$:

Властивості функції:

• Область визначення: $D(y)=(-\infty ;0)\cup (0;+\infty )$;

• Область значень: $E(y)=(-\infty ;0)\cup (0;+\infty )$;

• Нулі функції: немає (рівняння $\frac{6}{x}=0$ не має розв’язків);

• Проміжки знакосталості: $y>0$, якщо $x\in (0;+\infty )$; $y<0$, якщо $x\in (-\infty ;0)$;

• Зростання / спадання: функція спадає на кожному з проміжків $(-\infty ;0)$ та $(0;+\infty )$;

• Найбільшого та найменшого значень функція не має.

2) Для функції $y=-\frac{8}{x}$:

Графіком функції є гіпербола, вітки якої розташовані у II та IV координатних чвертях, оскільки коефіцієнт $k=-8<0$.

Складемо таблицю значень аргументу $x$ та функції $y$:

Властивості функції:

• Область визначення: $D(y)=(-\infty ;0)\cup (0;+\infty )$;

• Область значень: $E(y)=(-\infty ;0)\cup (0;+\infty )$;

• Нулі функції: немає (рівняння $-\frac{8}{x}=0$ не має розв’язків);

• Проміжки знакосталості: $y>0$, якщо $x\in (-\infty ;0)$; $y<0$, якщо $x\in (0;+\infty )$;

• Зростання / спадання: функція зростає на кожному з проміжків $(-\infty ;0)$ та $(0;+\infty )$;

• Найбільшого та найменшого значень функція не має.

Відповідь: графіки побудовано за таблицями; властивості описано.

9.17. Побудуйте графік функції та опишіть її властивості:

1) $y=\frac{4}{x}$

Розв’язання:

Графіком функції є гіпербола, вітки якої розташовані у I та III координатних чвертях, оскільки коефіцієнт $k=4>0$.

Складемо таблицю значень для побудови графіка:

Властивості функції:

— Область визначення: $D(y)=(-\infty ;0)\cup (0;+\infty )$;

— Область значень: $E(y)=(-\infty ;0)\cup (0;+\infty )$;

— Нулі функції: немає;

— Проміжки знакосталості: $y>0$ при $x\in (0;+\infty )$; $y<0$ при $x\in (-\infty ;0)$;

— Зростання / спадання: функція спадає на кожному з проміжків $(-\infty ;0)$ та $(0;+\infty )$;

— Найбільшого та найменшого значень функція не має.

Відповідь: графік побудовано, властивості описано.

2) $y=-\frac{10}{x}$

Розв’язання:

Графіком функції є гіпербола, вітки якої розташовані у II та IV координатних чвертях, оскільки коефіцієнт $k=-10<0$.

Складемо таблицю значень для побудови графіка:

Властивості функції:

— Область визначення: $D(y)=(-\infty ;0)\cup (0;+\infty )$;

— Область значень: $E(y)=(-\infty ;0)\cup (0;+\infty )$;

— Нулі функції: немає;

— Проміжки знакосталості: $y>0$ при $x\in (-\infty ;0)$; $y<0$ при $x\in (0;+\infty )$;

— Зростання / спадання: функція зростає на кожному з проміжків $(-\infty ;0)$ та $(0;+\infty )$;

— Найбільшого та найменшого значень функція не має.

Відповідь: графік побудовано, властивості описано.

9.18. Скільки нулів має функція:

1) $f(x)=x(x^2-1)\sqrt{|x|+2}$;

Розв’язання:

Знайдемо область визначення функції $f(x)$. Оскільки для будь-якого дійсного $x$ вираз під знаком квадратного кореня задовольняє нерівність $|x|+2\ge 2>0$, то корінь визначений при всіх $x\in \mathbb{R}$. Отже, $D(f)=(-\infty ;+\infty )$.

Для знаходження нулів функції прирівняємо її до нуля:

$x(x^2-1)\sqrt{|x|+2}=0$

Добуток кількох множників дорівнює нулю тоді і тільки тоді, коли хоча б один із множників дорівнює нулю:

Розв’яжемо кожне з рівнянь:

• Перше рівняння: $x_1=0$.

• Друге рівняння: $x^2=1⟹x_2=1$, $x_3=-1$.

• Третє рівняння: $\sqrt{|x|+2}=0⟹|x|+2=0⟹|x|=-2$, що не має розв’язків, оскільки модуль числа не може бути від’ємним ($|x|\ge 0$).

Усі знайдені значення $x_1=0$, $x_2=1$, $x_3=-1$ належать області визначення функції $D(f)$.

Таким чином, функція має 3 нулі.

Відповідь: 3 нулі ($x=-1$, $x=0$, $x=1$).

2) $g(x)=(x^2-4)\sqrt{|x|-3}$?

Розв’язання:

Знайдемо область визначення функції $g(x)$. Підкореневий вираз має бути невід’ємним:

$|x|-3\ge 0⟹|x|\ge 3⟹x\in (-\infty ;-3]\cup [3;+\infty )$

Прирівняємо функцію до нуля:

$(x^2-4)\sqrt{|x|-3}=0$

Прирівнюємо до нуля кожен із множників:

Розв’яжемо отримані рівняння:

• $x^2-4=0⟹x^2=4⟹x=2$ або $x=-2$.

Перевіримо належність значень $x=\pm 2$ до області визначення $D(g)$:

При $x=2$: $|2|-3=2-3=-1<0$ (не належить $D(g)$).

При $x=-2$: $|-2|-3=2-3=-1<0$ (не належить $D(g)$).

Отже, $x=2$ та $x=-2$ є сторонніми коренями.

• $\sqrt{|x|-3}=0⟹|x|-3=0⟹|x|=3⟹x_1=3$, $x_2=-3$.

Значення $x=3$ та $x=-3$ належать області визначення $D(g)$, оскільки підкореневий вираз дорівнює нулю.

Таким чином, функція має 2 нулі.

Відповідь: 2 нулі ($x=-3$, $x=3$).
№ 9.19. Скільки нулів має функція:

1) $f(x)=x(x^2-9)\sqrt{|x|-4}$;

Розв’язання:

Нулями функції є значення аргументу $x$, при яких $f(x)=0$, що належать області визначення функції $D(f)$.

Знайдемо область визначення функції $D(f)$:

Вираз під знаком квадратного кореня має бути невід’ємним:

$|x|-4\ge 0⟹|x|\ge 4⟹x\in (-\infty ;-4]\cup [4;+\infty )$

Знайдемо корені рівняння $f(x)=0$:

$x(x^2-9)\sqrt{|x|-4}=0$

Добуток кількох множників дорівнює нулю, коли принаймні один із множників дорівнює нулю і при цьому всі інші мають зміст:

— $x=0$ — не належить області визначення $D(f)$, оскільки $0\notin (-\infty ;-4]\cup [4;+\infty )$;

— $x^2-9=0⟹x^2=9⟹x=3$ або $x=-3$. Обидва значення не належать $D(f)$, оскільки $3\notin (-\infty ;-4]\cup [4;+\infty )$ та $-3\notin (-\infty ;-4]\cup [4;+\infty )$;

— $\sqrt{|x|-4}=0⟹|x|-4=0⟹|x|=4⟹x=4$ або $x=-4$. Значення $4$ та $-4$ належать області визначення $D(f)$.

Отже, функція має два нулі: $x_1=-4$ та $x_2=4$.

Відповідь: 2 нулі.

2) $g(x)=(x^2-9)\sqrt{|x|+2}$;

Розв’язання:

Знайдемо область визначення функції $D(g)$:

Вираз під знаком квадратного кореня має бути невід’ємним:

$|x|+2\ge 0$

Оскільки модуль числа завжди невід’ємний ($|x|\ge 0$), то $|x|+2\ge 2>0$ для будь-якого дійсного числа $x$. Отже, область визначення $D(g)=(-\infty ;+\infty )$.

Знайдемо корені рівняння $g(x)=0$:

$(x^2-9)\sqrt{|x|+2}=0$

Оскільки $\sqrt{|x|+2}\ge \sqrt{2}>0$ для всіх $x$, корінь не дорівнює нулю за жодного $x$. Тому рівняння рівносильне наступному:

$x^2-9=0⟹x^2=9⟹x=3\text{ або }x=-3$

Обидва значення належать області визначення $D(g)=\mathbb{R}$.

Отже, функція має два нулі: $x_1=-3$ та $x_2=3$.

Відповідь: 2 нулі.

№ 9.20. Побудуйте графік функції та опишіть її властивості:

1)

Розв’язання:

1) Дослідження функції:

• Область визначення: $D(f)=(-\infty ;+\infty )$.

• Область значень: $E(f)=[-4;4]$.

• Нулі функції: при $x\in [-2;2]$ маємо $f(x)=2x=0⟹x=0$. При $x<-2$ та $x>2$ вираз $\frac{8}{x}\ne 0$. Отже, $x=0$ — єдиний нуль функції.

2) Складемо таблицю значень для побудови частин графіка:

• Для $x<-2$ (вітка гіперболи $y=\frac{8}{x}$):

• Для $-2\le x\le 2$ (відрізок прямої $y=2x$):

• Для $x>2$ (вітка гіперболи $y=\frac{8}{x}$):

3) Побудова:

Позначимо точки на координатній площині та сполучимо їх. Графік є неперервною лінією, що складається з частини вітки гіперболи при $x<-2$, відрізка прямої від точки $(-2;-4)$ до точки $(2;4)$ та частини вітки гіперболи при $x>2$.

4) Властивості функції:

• Область визначення: $D(f)=(-\infty ;+\infty )$.

• Область значень: $E(f)=[-4;4]$.

• Нулі функції: $x=0$.

• Проміжки знакосталості: $f(x)>0$ при $x\in (0;+\infty )$; $f(x)<0$ при $x\in (-\infty ;0)$.

• Проміжки спадання: функція спадає на проміжках $(-\infty ;-2]$ та $[2;+\infty )$.

• Проміжки зростання: функція зростає на проміжку $[-2;2]$.

• Найбільше значення функції: $y_{\max }=4$ при $x=2$; найменше значення функції: $y_{\min }=-4$ при $x=-2$.

Відповідь: графік побудовано, властивості описано.

2) $g(x)=x+|x|$

Розв’язання:

1) За означенням модуля:

Запишемо функцію у вигляді кусково-заданої:

2) Складемо таблицю значень:

• Для $x<0$ ($y=0$, промінь уздовж від’ємної півосі $Ox$):

• Для $x\ge 0$ ($y=2x$, промінь у I чверті):

3) Побудова:

Нанесемо вказані точки та побудуємо графік, що складається з променя вздовж осі абсцис для $x\le 0$ та променя прямої $y=2x$ для $x\ge 0$.

4) Властивості функції:

• Область визначення: $D(g)=(-\infty ;+\infty )$.

• Область значень: $E(g)=[0;+\infty )$.

• Нулі функції: будь-яке значення $x\in (-\infty ;0]$.

• Проміжки знакосталості: $g(x)>0$ при $x\in (0;+\infty )$; $g(x)=0$ при $x\in (-\infty ;0]$.

• Зростання і спадання: функція є сталою на проміжку $(-\infty ;0]$ і зростає на проміжку $[0;+\infty )$.

• Найбільшого значення не існує; найменше значення функції: $y_{\min }=0$ при $x\le 0$.

Відповідь: графік побудовано, властивості описано.

№ 9.21. Побудуйте графік функції та сформулюйте її властивості:

1) $g(x)=\{\begin{array}{ll}-\frac{6}{x},& \text{якщо }x<-2;\\ -1,5x,& \text{якщо }-2\le x\le 2;\\ -\frac{6}{x},& \text{якщо }x>2\end{array}$

Розв’язання:

Дослідження функції:

• Область визначення: $D(g)=(-\infty ;+\infty )$.

• Область значень: $E(g)=[-3;3]$.

• Нулі функції: при $x\in [-2;2]$ маємо $g(x)=-1,5x=0⟹x=0$. При $x<-2$ та $x>2$ вираз $-\frac{6}{x}\ne 0$. Отже, $x=0$ — єдиний нуль функції.

Таблиця значень:

• Для $x<-2$ (вітка гіперболи $y=-\frac{6}{x}$):

• Для $-2\le x\le 2$ (відрізок прямої $y=-1,5x$):

• Для $x>2$ (вітка гіперболи $y=-\frac{6}{x}$):

Побудова:

Нанесемо точки на координатну площину і плавно з’єднаємо їх. Графік є неперервним і складається з трьох частин: вітки гіперболи при $x<-2$, відрізка прямої від точки $(-2;3)$ до точки $(2;-3)$ та вітки гіперболи при $x>2$.

Властивості функції:

• Область визначення: $D(g)=(-\infty ;+\infty )$.

• Область значень: $E(g)=[-3;3]$.

• Нулі функції: $x=0$.

• Проміжки знакосталості: $g(x)>0$ при $x\in (-\infty ;0)$; $g(x)<0$ при $x\in (0;+\infty )$.

• Проміжки зростання: функція зростає на проміжках $(-\infty ;-2]$ та $[2;+\infty )$.

• Проміжки спадання: функція спадає на проміжку $[-2;2]$.

• Найбільше значення функції: $y_{\max }=3$ при $x=-2$; найменше значення функції: $y_{\min }=-3$ при $x=2$.