9. Властивості функції - Істер 9 клас

Зміст

РОЗВ’ЯЖІТЬ ЗАДАЧІ ТА ВИКОНАЙТЕ ВПРАВИ

№ 9.1. Знайдіть нулі функції:
1) $y=2x$;
2) $y=2-5x$;
3) $y=x(x-2)$;
4) $y=\frac{x}{x+1}$.

Розв’язання:

1) $2x=0$
$x=0$

2) $2-5x=0$
$-5x=-2$
$x=\frac{2}{5}=0,4$

3) $x(x-2)=0$
$x=0$ або $x-2=0$
$x_1=0$; $x_2=2$

4) $\frac{x}{x+1}=0$

Відповідь: 1) $0$; 2) $0,4$; 3) $0$; $2$; 4) $0$.

№ 9.2. Знайдіть нулі функції:
1) $y=3x$;
2) $y=5x+4$;
3) $y=x(x+3)$;
4) $y=\frac{x-1}{x}$.

Розв’язання:

1) $y=3x$
$3x=0$
$x=0$

2) $y=5x+4$
$5x+4=0$
$5x=-4$
$x=-\frac{4}{5}=-0,8$

3) $y=x(x+3)$
$x(x+3)=0$
$x=0$ або $x+3=0$
$x_1=0$; $x_2=-3$

4) $y=\frac{x-1}{x}$
$\frac{x-1}{x}=0$

Відповідь: 1) $0$; 2) $-0,8$; 3) $-3$; $0$; 4) $1$.

№ 9.3. Зростаючою чи спадною на своїй області визначення є функція:
1) $y=2x+7$;
2) $y=-3x$;
3) $y=\sqrt{x}$;
4) $y=\frac{1}{3}x$?

Розв’язання:
Лінійна функція $y=kx+b$ є зростаючою на всій області визначення, якщо $k>0$, і спадною, якщо $k<0$.

1) $y=2x+7$
$k=2>0$
Функція є зростаючою.

2) $y=-3x$
$k=-3<0$
Функція є спадною.

3) $y=\sqrt{x}$
$D(y)=[0;+\infty )$
Більшому значенню аргументу відповідає більше значення функції: якщо $x_2>x_1\ge 0$, то $\sqrt{x_2}>\sqrt{x_1}$
Функція є зростаючою.

4) $y=\frac{1}{3}x$
$k=\frac{1}{3}>0$
Функція є зростаючою.

Відповідь: 1) зростаюча; 2) спадна; 3) зростаюча; 4) зростаюча.

№ 9.4. Зростаючою чи спадною на проміжку $(-\infty ;+\infty )$ є функція:

1) $y=-2x-5$;

2) $y=\frac{4}{5}x$;

3) $y=-0,01x$;

4) $y=5x+13$?

Розв’язання:

Лінійна функція $y=kx+b$ є зростаючою на всій області визначення при $k>0$ та спадною при $k<0$.

1) $y=-2x-5$
$k=-2<0$, тому функція є спадною на $(-\infty ;+\infty )$.

2) $y=\frac{4}{5}x$
$k=\frac{4}{5}>0$, тому функція є зростаючою на $(-\infty ;+\infty )$.

3) $y=-0,01x$
$k=-0,01<0$, тому функція є спадною на $(-\infty ;+\infty )$.

4) $y=5x+13$
$k=5>0$, тому функція є зростаючою на $(-\infty ;+\infty )$.

Відповідь: 1) спадна; 2) зростаюча; 3) спадна; 4) зростаюча.

№ 9.5. Областю визначення функції $y=f(x)$, графік якої зображено на малюнку 9.10, є проміжок $[-3;3]$. За графіком знайдіть:
1) нулі функції;
2) проміжки, на яких функція набуває додатних значень, і проміжки, на яких вона набуває від’ємних значень;
3) проміжки, на яких функція зростає, і проміжки, на яких вона спадає;
4) значення $x$, за якого функція набуває найбільшого значення, та найбільше значення функції; значення $x$, за якого функція набуває найменшого значення, та найменше значення функції.

Розв’язання:

1) Нулі функції (значення аргументу $x$, при яких $y=0$ — точки перетину графіка з віссю $Ox$):
$x=-2$
$x=0$

2) Проміжки знаковизначеності (де графік лежить вище або нижче осі $Ox$):
$y>0$ при $x\in [-3;-2)\cup (0;3]$
$y<0$ при $x\in (-2;0)$

3) Проміжки зростання і спадання функції:
функція зростає на проміжку $[-1;2]$
функція спадає на проміжках $[-3;-1]$ та $[2;3]$

4) Найбільше та найменше значення функції на проміжку $[-3;3]$:
найбільше значення дорівнює $2,5$ при $x=2$
найменше значення дорівнює $-2$ при $x=-1$

Відповідь: 1) $-2;0$; 2) $y>0$ на $[-3;-2)$ і $(0;3]$, $y<0$ на $(-2;0)$; 3) зростає на $[-1;2]$, спадає на $[-3;-1]$ і $[2;3]$; 4) $y_{\max }=2,5$ при $x=2$, $y_{\min }=-2$ при $x=-1$.

№ 9.6. Областю визначення функції $y=g(x)$, графік якої зображено на малюнку 9.11, є проміжок $[-3;3]$. За графіком знайдіть:
1) нулі функції;
2) проміжки, на яких функція набуває додатних значень, і проміжки, на яких вона набуває від’ємних значень;
3) проміжки, на яких функція зростає, і проміжки, на яких вона спадає;
4) значення $x$, за якого функція набуває найбільшого значення, та найбільше значення функції; значення $x$, за якого функція набуває найменшого значення, та найменше значення функції.

Розв’язання:

1) Нулі функції — це значення аргументу $x$, при яких $y=0$ (точки перетину графіка з віссю $Ox$):
$x=-2,5$; $x=1,5$.

2) Проміжки знакосталості:
$y>0$ при $x\in (-2,5;1,5)$;
$y<0$ при $x\in [-3;-2,5)\cup (1,5;3]$.

3) Проміжки монотонності:
функція зростає на проміжках $[-3;-1]$ та $[2;3]$;
функція спадає на проміжку $[-1;2]$.

4) Екстремальні значення функції:
найбільшого значення функція набуває при $x=-1$, воно дорівнює $y_{\text{max}}=1$;
найменшого значення функція набуває при $x=2$, воно дорівнює $y_{\text{min}}=-1,5$.

Відповідь:

1) $-2,5$; $1,5$;

2) $y>0$, якщо $x\in (-2,5;1,5)$; $y<0$, якщо $x\in [-3;-2,5)\cup (1,5;3]$;

3) зростає на $[-3;-1]$ і $[2;3]$; спадає на $[-1;2]$;

4) найбільше значення дорівнює 1 при $x=-1$; найменше значення дорівнює $-1,5$ при $x=2$.

№ 9.7. Знайдіть нулі функції (якщо вони існують):

1) $y=5(x^2+1)$

2) $y=\sqrt{x-2}$

3) $y=\sqrt{9-x^2}$

4) $y=\sqrt{x^2+5}$

Розв’язання:

Щоб знайти нулі функції, знайдемо значення аргументу $x$, при яких $y=0$.

1) $5(x^2+1)=0$
$x^2+1=0$
$x^2=-1$
Оскільки $x^2\ge 0$ для будь-якого дійсного числа $x$, рівняння не має розв’язків.
Отже, функція нулів не має.

2) $\sqrt{x-2}=0$
$x-2=0$
$x=2$
Отже, нулем функції є $x=2$.

3) $\sqrt{9-x^2}=0$
$9-x^2=0$
$x^2=9$
$x_1=-3$; $x_2=3$
Отже, нулями функції є $x=-3$ та $x=3$.

4) $\sqrt{x^2+5}=0$
$x^2+5=0$
$x^2=-5$
Оскільки $x^2\ge 0$ для будь-якого дійсного числа $x$, рівняння не має розв’язків.
Отже, функція нулів не має.

Відповідь: 1) нулів немає; 2) $2$; 3) $-3$; $3$; 4) нулів немає.

№ 9.8. Знайдіть нулі функції (якщо вони існують):
1) $y=4(x^2+9)$;
2) $y=\sqrt{3+x}$;
3) $y=\sqrt{x^2-1}$;
4) $y=\sqrt{x^2+4}$.

Розв’язання:

1) $4(x^2+9)=0$
$x^2+9=0$
$x^2=-9$ — рівняння не має дійсних коренів.
Нулів функції не існує.

2) $\sqrt{3+x}=0$
$3+x=0$
$x=-3$

3) $\sqrt{x^2-1}=0$
$x^2-1=0$
$x^2=1$
$x_1=-1$; $x_2=1$

4) $\sqrt{x^2+4}=0$
$x^2+4=0$
$x^2=-4$ — рівняння не має дійсних коренів.
Нулів функції не існує.

Відповідь: 1) нулів не існує; 2) $-3$; 3) $-1;1$; 4) нулів не існує.

№ 9.9. Накресліть схематично графік функції $y=g(x)$, областю визначення якої є проміжок $[-3;5]$, так, щоб:
1) нулем функції було число $2$;
2) нулями функції були числа $-1$ і $4$;
3) функція зростала на проміжку $[-3;2]$ і спадала на проміжку $[2;5]$.

Розв’язання:

1) Нулем функції є число $2$, тобто $g(2)=0$.
Задамо лінійну функцію $g(x)=x-2$ на проміжку $[-3;5]$.

2) Нулями функції є числа $-1$ і $4$, тобто $g(-1)=0$ та $g(4)=0$.
Задамо функцію $g(x)=(x+1)(x-4)=x^2-3x-4$ на проміжку $[-3;5]$.
Вершина параболи: $x_{\text{в}}=1,5$, $y_{\text{в}}=-6,25$.

3) Функція зростає на проміжку $[-3;2]$ і спадає на проміжку $[2;5]$, тому точка $x=2$ є точкою максимуму.
Задамо квадратичну функцію з вершиною в точці $(2;4)$:
$g(x)=-(x-2{)}^2+4$ на проміжку $[-3;5]$.

Відповідь: графіки побудовано схематично.

№ 9.10. Побудуйте графік функції та опишіть її властивості:
1) $y=2x-4$;
2) $y=-\frac{1}{2}x+2$.

Розв’язання:

1) Графіком лінійної функції $y=2x-4$ є пряма. Складемо таблицю значень для двох точок:

Властивості функції $y=2x-4$:

• Область визначення: $D(y)=(-\infty ;+\infty )$.
• Область значень: $E(y)=(-\infty ;+\infty )$.
• Нулі функції: $y=0$, якщо:
  $2x-4=0$
  $2x=4$
  $x=2$
• Проміжки знакосталості:
  $y>0$ при $x\in (2;+\infty )$;
  $y<0$ при $x\in (-\infty ;2)$.
• Зростання / спадання: оскільки коефіцієнт $k=2>0$, функція зростає на всій області визначення, тобто на $(-\infty ;+\infty )$.

2) Графіком лінійної функції $y=-\frac{1}{2}x+2$ є пряма. Складемо таблицю значень для двох точок:

Властивості функції $y=-\frac{1}{2}x+2$:

• Область визначення: $D(y)=(-\infty ;+\infty )$.
• Область значень: $E(y)=(-\infty ;+\infty )$.
• Нулі функції: $y=0$, якщо:
  $-\frac{1}{2}x+2=0$
  $-\frac{1}{2}x=-2$
  $x=4$
• Проміжки знакосталості:
  $y>0$ при $x\in (-\infty ;4)$;
  $y<0$ при $x\in (4;+\infty )$.
• Зростання / спадання: оскільки коефіцієнт $k=-\frac{1}{2}<0$, функція спадає на всій області визначення, тобто на $(-\infty ;+\infty )$.

Відповідь: графіки побудовано, властивості описано.

№ 9.11. Побудуйте графік функції та опишіть її властивості:
1) $y=-3x+6$;
2) $y=\frac{1}{3}x-1$.

Розв’язання:

1) $y=-3x+6$

Графіком лінійної функції є пряма. Складемо таблицю значень для двох точок:

Властивості функції:

• Область визначення: $D(y)=(-\infty ;+\infty )$;
• Область значень: $E(y)=(-\infty ;+\infty )$;
• Нулі функції:
  $-3x+6=0$
  $-3x=-6$
  $x=2$;
• Проміжки знакосталості:
  $y>0$ при $x\in (-\infty ;2)$
  $y<0$ при $x\in (2;+\infty )$;
• Функція спадна на всій області визначення.

2) $y=\frac{1}{3}x-1$

Графіком лінійної функції є пряма. Складемо таблицю значень для двох точок:

Властивості функції:

• Область визначення: $D(y)=(-\infty ;+\infty )$;
• Область значень: $E(y)=(-\infty ;+\infty )$;
• Нулі функції:
  $\frac{1}{3}x-1=0$
  $\frac{1}{3}x=1$
  $x=3$;
• Проміжки знакосталості:
  $y>0$ при $x\in (3;+\infty )$
  $y<0$ при $x\in (-\infty ;3)$;
• Функція зростаюча на всій області визначення.

Відповідь: графіки побудовано, властивості описано.

№ 9.12. Не виконуючи побудови, знайдіть точки перетину з осями координат графіка функції:
1) $y=\frac{x^2+2x-3}{x-1}$
2) $y=\sqrt{x+2}$
3) $y=\frac{|x|-1}{x+1}$
4) $y=\frac{\sqrt{x^2-2x}}{x}$

Розв’язання:

1) $y=\frac{x^2+2x-3}{x-1}$

Область визначення:
$x-1\ne 0$
$x\ne 1$
$D(y)=(-\infty ;1)\cup (1;+\infty )$

Перетин з віссю $Ox$ ($y=0$):
$\frac{x^2+2x-3}{x-1}=0$
$x^2+2x-3=0$
$x=-3$ або $x=1$ (не належить $D(y)$)
$x=-3$
Точка перетину з віссю $Ox$: $(-3;0)$.

Перетин з віссю $Oy$ ($x=0$):
$y=\frac{0^2+2\cdot 0-3}{0-1}=\frac{-3}{-1}=3$
Точка перетину з віссю $Oy$: $(0;3)$.

2) $y=\sqrt{x+2}$

Область визначення:
$x+2\ge 0$
$x\ge -2$
$D(y)=[-2;+\infty )$

Перетин з віссю $Ox$ ($y=0$):
$\sqrt{x+2}=0$
$x+2=0$
$x=-2$
Точка перетину з віссю $Ox$: $(-2;0)$.

Перетин з віссю $Oy$ ($x=0$):
$y=\sqrt{0+2}=\sqrt{2}$
Точка перетину з віссю $Oy$: $(0;\sqrt{2})$.

3) $y=\frac{|x|-1}{x+1}$

Область визначення:
$x+1\ne 0$
$x\ne -1$
$D(y)=(-\infty ;-1)\cup (-1;+\infty )$

Перетин з віссю $Ox$ ($y=0$):
$\frac{|x|-1}{x+1}=0$
$|x|-1=0$
$|x|=1$
$x=1$ або $x=-1$ (не належить $D(y)$)
$x=1$
Точка перетину з віссю $Ox$: $(1;0)$.

Перетин з віссю $Oy$ ($x=0$):
$y=\frac{|0|-1}{0+1}=\frac{-1}{1}=-1$
Точка перетину з віссю $Oy$: $(0;-1)$.

4) $y=\frac{\sqrt{x^2-2x}}{x}$

Область визначення:

$x(x-2)\ge 0$, з урахуванням $x\ne 0$: $x<0$ або $x\ge 2$.
$D(y)=(-\infty ;0)\cup [2;+\infty )$

Перетин з віссю $Ox$ ($y=0$):
$\frac{\sqrt{x^2-2x}}{x}=0$
$\sqrt{x^2-2x}=0$
$x^2-2x=0$
$x(x-2)=0$
$x=0$ (не належить $D(y)$) або $x=2$
$x=2$
Точка перетину з віссю $Ox$: $(2;0)$.

Перетин з віссю $Oy$ ($x=0$):
Оскільки $x=0$ не належить області визначення функції, точок перетину з віссю $Oy$ немає.

Відповідь:
1) з $Ox$: $(-3;0)$; з $Oy$: $(0;3)$;
2) з $Ox$: $(-2;0)$; з $Oy$: $(0;\sqrt{2})$;
3) з $Ox$: $(1;0)$; з $Oy$: $(0;-1)$;
4) з $Ox$: $(2;0)$; з $Oy$: немає.

№ 9.13. Не виконуючи побудови, знайдіть точки перетину з осями координат графіка функції:
1) $y=\frac{x^2-4x-5}{x+1}$
2) $y=\sqrt{x+9}$
3) $y=\frac{|x|-2}{x-2}$
4) $y=\frac{\sqrt{x^2+3x}}{x}$

Розв’язання:

1) $y=\frac{x^2-4x-5}{x+1}$
Область визначення:
$x+1\ne 0$
$x\ne -1$
$D(y)=(-\infty ;-1)\cup (-1;+\infty )$

Перетин з віссю $Ox$ ($y=0$):
$\frac{x^2-4x-5}{x+1}=0$
$x^2-4x-5=0$
За теоремою Вієта:
$x=5$ або $x=-1\notin D(y)$.
$x=5$
Точка перетину з віссю $Ox$: $(5;0)$.

Перетин з віссю $Oy$ ($x=0$):
$y=\frac{0^2-4\cdot 0-5}{0+1}=\frac{-5}{1}=-5$
Точка перетину з віссю $Oy$: $(0;-5)$.

2) $y=\sqrt{x+9}$
Область визначення:
$x+9\ge 0$
$x\ge -9$
$D(y)=[-9;+\infty )$

Перетин з віссю $Ox$ ($y=0$):
$\sqrt{x+9}=0$
$x+9=0$
$x=-9\in D(y)$
Точка перетину з віссю $Ox$: $(-9;0)$.

Перетин з віссю $Oy$ ($x=0$):
$y=\sqrt{0+9}=\sqrt{9}=3$
Точка перетину з віссю $Oy$: $(0;3)$.

3) $y=\frac{|x|-2}{x-2}$
Область визначення:
$x-2\ne 0$
$x\ne 2$
$D(y)=(-\infty ;2)\cup (2;+\infty )$

Перетин з віссю $Ox$ ($y=0$):
$\frac{|x|-2}{x-2}=0$
$|x|-2=0$
$|x|=2$
$x=-2$ або $x=2\notin D(y)$.
$x=-2$
Точка перетину з віссю $Ox$: $(-2;0)$.

Перетин з віссю $Oy$ ($x=0$):
$y=\frac{|0|-2}{0-2}=\frac{-2}{-2}=1$
Точка перетину з віссю $Oy$: $(0;1)$.

4) $y=\frac{\sqrt{x^2+3x}}{x}$
Область визначення:

$x(x+3)\ge 0$, з урахуванням $x\ne 0$: $x\le -3$ або $x>0$.
$D(y)=(-\infty ;-3]\cup (0;+\infty )$

Перетин з віссю $Ox$ ($y=0$):
$\frac{\sqrt{x^2+3x}}{x}=0$
$\sqrt{x^2+3x}=0$
$x^2+3x=0$
$x(x+3)=0$
$x=0\notin D(y)$ або $x=-3\in D(y)$.
$x=-3$
Точка перетину з віссю $Ox$: $(-3;0)$.

Перетин з віссю $Oy$ ($x=0$):
Оскільки $x=0\notin D(y)$, точок перетину з віссю $Oy$ немає.

Відповідь:

1) з віссю $Ox$: $(5;0)$, з віссю $Oy$: $(0;-5)$;

2) з віссю $Ox$: $(-9;0)$, з віссю $Oy$: $(0;3)$;

3) з віссю $Ox$: $(-2;0)$, з віссю $Oy$: $(0;1)$;

4) з віссю $Ox$: $(-3;0)$, з віссю $Oy$ точок перетину немає.

№ 9.14. На малюнку 9.12 зображено зміни температури повітря $T$ (у ${}^{\circ }\text{C}$) протягом перших двох тижнів березня. Значення температури, що спостерігалася щодня о 8:00, позначено точками і для точності сполучено плавною лінією. Використовуючи графік, дайте відповіді на запитання:
1) якою була температура повітря 3 березня; 8 березня;
2) у які дні температура була $0^{\circ }\text{C}$; $2^{\circ }\text{C}$;
3) у які дні температура була нижчою за $0^{\circ }\text{C}$; у які — вищою;
4) якою була найвища температура повітря протягом цих двох тижнів; у який день вона спостерігалася;
5) якою була найнижча температура повітря протягом цих двох тижнів; у який день вона спостерігалася;
6) протягом яких днів температура повітря знижувалася, протягом яких — підвищувалася.

Розв’язання:

1) 3 березня температура була $-2^{\circ }\text{C}$, 8 березня — $2^{\circ }\text{C}$.

2) Температура $0^{\circ }\text{C}$ була 4, 9 та 12 березня; температура $2^{\circ }\text{C}$ була 8 та 13 березня.

3) Нижчою за $0^{\circ }\text{C}$ температура була з 1 по 4 березня та з 9 по 12 березня. Вищою за $0^{\circ }\text{C}$ — з 4 по 9 березня та з 12 по 14 березня.

4) Найвища температура становила $5^{\circ }\text{C}$ (спостерігалася 7 березня).

5) Найнижча температура становила $-4^{\circ }\text{C}$ (спостерігалася 2 березня).

6) Температура знижувалася з 1 по 2 березня та з 7 по 10 березня; підвищувалася з 2 по 7 березня та з 10 по 14 березня.

Відповідь:

1) $-2^{\circ }\text{C}$; $2^{\circ }\text{C}$;

2) $0^{\circ }\text{C}$: 4, 9, 12 березня; $2^{\circ }\text{C}$: 8, 13 березня;

3) нижче $0^{\circ }\text{C}$: з 1 по 4 і з 9 по 12 березня; вище $0^{\circ }\text{C}$: з 4 по 9 і з 12 по 14 березня;

4) $5^{\circ }\text{C}$ (7 березня);

5) $-4^{\circ }\text{C}$ (2 березня);

6) знижувалася з 1 по 2 і з 7 по 10 березня; підвищувалася з 2 по 7 і з 10 по 14 березня.

№ 9.15. На малюнку 9.13 подано жирними точками ціну однієї акції банку «Чудовий» (у грн) на момент закриття біржових торгів у всі робочі дні з 1 до 12 вересня 2025 року. По горизонталі зазначено числа місяця, по вертикалі — ціну однієї акції у грн. Для наочності жирні точки на малюнку сполучено плавною лінією. Використовуючи графік, дайте відповіді на запитання:
1) якою була ціна акцій 4 вересня; 8 вересня;
2) у які дні ціна акцій була 30 грн за одну акцію;
3) якою була найвища ціна акцій у ці дні; у який день це було;
4) якою була найнижчою ціна акцій у ці дні; у який день це було;
5) протягом яких днів ціна акцій знижувалася; протягом яких підвищувалася.

Розв’язання:

1) За графіком знаходимо значення функції для відповідних дат:
4 вересня ціна становила $45\text{ грн}$;
8 вересня ціна становила $40\text{ грн}$.

2) Проводимо горизонтальну лінію через значення 30 на осі цін. Графік перетинає цю лінію у точках, що відповідають дням:
1 вересня, 3 вересня, 9 вересня та 11 вересня.

3) Найвищій точці графіка відповідає значення $50\text{ грн}$.
Це було 5 вересня.

4) Найнижчій точці графіка відповідає значення $20\text{ грн}$.
Це було 2 вересня.

5) Ціна акцій знижувалася на проміжках спадання функції:
з 1 по 2 вересня та з 5 по 10 вересня.
Ціна акцій підвищувалася на проміжках зростання функції:
з 2 по 5 вересня та з 10 по 12 вересня.

Відповідь: 1) $45\text{ грн}$; $40\text{ грн}$; 2) 1, 3, 9, 11 вересня; 3) $50\text{ грн}$, 5 вересня; 4) $20\text{ грн}$, 2 вересня; 5) знижувалася з 1 по 2 вересня та з 5 по 10 вересня; підвищувалася з 2 по 5 вересня та з 10 по 12 вересня.

№ 9.16. Побудуйте графік функції та опишіть її властивості:
1) $y=\frac{6}{x}$
2) $y=-\frac{8}{x}$

Розв’язання:

1) $y=\frac{6}{x}$

Графік функції — гіпербола, вітки якої розташовані в I та III координатних чвертях. Складемо таблицю значень:

Властивості функції $y=\frac{6}{x}$:

1) Область визначення: $D(y)=(-\infty ;0)\cup (0;+\infty )$.

2) Область значень: $E(y)=(-\infty ;0)\cup (0;+\infty )$.

3) Нулі функції: немає (графік не перетинає вісь $Ox$).

4) Проміжки знакосталості:
$y>0$, якщо $x\in (0;+\infty )$;
$y<0$, якщо $x\in (-\infty ;0)$.

5) Проміжки спадання: функція спадає на кожному з проміжків $(-\infty ;0)$ та $(0;+\infty )$.

6) Найбільшого і найменшого значень функція не має.

2) $y=-\frac{8}{x}$

Графік функції — гіпербола, вітки якої розташовані в II та IV координатних чвертях. Складемо таблицю значень:

Властивості функції $y=-\frac{8}{x}$:

1) Область визначення: $D(y)=(-\infty ;0)\cup (0;+\infty )$.

2) Область значень: $E(y)=(-\infty ;0)\cup (0;+\infty )$.

3) Нулі функції: немає (графік не перетинає вісь $Ox$).

4) Проміжки знакосталості:
$y>0$, якщо $x\in (-\infty ;0)$;
$y<0$, якщо $x\in (0;+\infty )$.

5) Проміжки зростання: функція зростає на кожному з проміжків $(-\infty ;0)$ та $(0;+\infty )$.

6) Найбільшого і найменшого значень функція не має.

Відповідь: графіки побудовано, властивості описано.

№ 9.17. Побудуйте графік функції та опишіть її властивості:
1) $y=\frac{4}{x}$
2) $y=-\frac{10}{x}$

Розв’язання:

1) $y=\frac{4}{x}$ — графіком функції є гіпербола, вітки якої розміщені в I та III координатних чвертях.

Складемо таблицю значень:

Властивості функції:

• Область визначення: $D(y)=(-\infty ;0)\cup (0;+\infty )$
• Область значень: $E(y)=(-\infty ;0)\cup (0;+\infty )$
• Нулі функції: немає
• Проміжки знакосталості:
  $y>0$, якщо $x\in (0;+\infty )$
  $y<0$, якщо $x\in (-\infty ;0)$
• Проміжки спадання: функція спадає на кожному з проміжків $(-\infty ;0)$ та $(0;+\infty )$

2) $y=-\frac{10}{x}$ — графіком функції є гіпербола, вітки якої розміщені в II та IV координатних чвертях.

Складемо таблицю значень:

Властивості функції:

• Область визначення: $D(y)=(-\infty ;0)\cup (0;+\infty )$
• Область значень: $E(y)=(-\infty ;0)\cup (0;+\infty )$
• Нулі функції: немає
• Проміжки знакосталості:
  $y>0$, якщо $x\in (-\infty ;0)$
  $y<0$, якщо $x\in (0;+\infty )$
• Проміжки зростання: функція зростає на кожному з проміжків $(-\infty ;0)$ та $(0;+\infty )$

Відповідь: графіки побудовано, властивості описано.

№ 9.18. Скільки нулів має функція:
1) $f(x)=x(x^2-1)\sqrt{|x|+2}$;
2) $g(x)=(x^2-4)\sqrt{|x|-3}$.

Розв’язання:

1) Знайдемо область визначення функції $f(x)$:
$|x|+2\ge 0$
Оскільки $|x|\ge 0$ для всіх дійсних значень $x$, нерівність $|x|+2\ge 2>0$ виконується завжди.
$D(f)=(-\infty ;+\infty )$

Знайдемо нулі функції, розв’язавши рівняння $f(x)=0$:
$x(x^2-1)\sqrt{|x|+2}=0$

Оскільки $\sqrt{|x|+2}\ge \sqrt{2}>0$ при будь-якому $x$, вираз $\sqrt{|x|+2}\ne 0$.
$x(x^2-1)=0$
$x(x-1)(x+1)=0$
$x=0$, $x=1$ або $x=-1$.

Усі знайдені значення належать області визначення функції.
Отже, функція має 3 нулі.

2) Знайдемо область визначення функції $g(x)$:
$|x|-3\ge 0$
$|x|\ge 3⟹x\le -3$ або $x\ge 3$
$D(g)=(-\infty ;-3]\cup [3;+\infty )$

Знайдемо нулі функції, розв’язавши рівняння $g(x)=0$:
$(x^2-4)\sqrt{|x|-3}=0$
$x^2-4=0$ або $\sqrt{|x|-3}=0$.

Розв’яжемо кожне рівняння:
$x^2-4=0$
$x^2=4$
$x=\pm 2$
Оскільки $|\pm 2|=2<3$, значення $x=2$ та $x=-2$ не належать області визначення функції ($x\notin D(g)$).

$\sqrt{|x|-3}=0$
$|x|-3=0$
$|x|=3$
$x=\pm 3$
Значення $x=3$ та $x=-3$ належать області визначення функції ($x\in D(g)$).

Отже, функція має 2 нулі.

Відповідь: 1) 3 нулі; 2) 2 нулі.

№ 9.19. Скільки нулів має функція:
1) $f(x)=x(x^2-9)\sqrt{|x|-4}$;
2) $g(x)=(x^2-9)\sqrt{|x|+2}$.

Розв’язання:

1) Знайдемо область визначення функції $f(x)$:
$|x|-4\ge 0$
$|x|\ge 4⟹x\le -4$ або $x\ge 4$
$D(f)=(-\infty ;-4]\cup [4;+\infty )$

Знайдемо нулі функції з рівняння $f(x)=0$:
$x(x^2-9)\sqrt{|x|-4}=0$
$x=0$ або $x^2-9=0$ або $\sqrt{|x|-4}=0$.
Звідси отримуємо значення: $x=0$, $x=\pm 3$, $x=\pm 4$.

Перевіримо належність знайдених значень до області визначення $D(f)$:
$0\notin D(f)$;
$3\notin D(f)$, $-3\notin D(f)$;
$4\in D(f)$, $-4\in D(f)$.

Отже, функція має два нулі: $x=-4$ та $x=4$.

2) Знайдемо область визначення функції $g(x)$:
$|x|+2\ge 0$
Оскільки $|x|\ge 0$ для всіх $x\in \mathbb{R}$, то нерівність $|x|+2\ge 2>0$ виконується для будь-якого $x$.
$D(g)=(-\infty ;+\infty )$

Знайдемо нулі функції з рівняння $g(x)=0$:
$(x^2-9)\sqrt{|x|+2}=0$
Оскільки $\sqrt{|x|+2}\ge \sqrt{2}>0$ для будь-якого $x$, маємо:
$x^2-9=0$
$x^2=9$
$x=\pm 3$

Обидва числа належать області визначення функції $D(g)$.
Отже, функція має два нулі: $x=-3$ та $x=3$.

Відповідь: 1) два нулі; 2) два нулі.

№ 9.20. Побудуйте графік функції та опишіть її властивості:
1) $f(x)=\{\begin{array}{ll}\frac{8}{x},& \text{якщо }x<-2,\\ 2x,& \text{якщо }-2\le x\le 2,\\ \frac{8}{x},& \text{якщо }x>2;\end{array}$
2) $g(x)=x+|x|$

Розв’язання:

1) Складемо таблиці значень для кожної частини функції:

Для $x<-2$ ($y=\frac{8}{x}$):

Для $-2\le x\le 2$ ($y=2x$):

Для $x>2$ ($y=\frac{8}{x}$):

Властивості функції $f(x)$:

• Область визначення: $D(f)=(-\infty ;+\infty )$
• Область значень: $E(f)=[-4;4]$
• Нулі функції: $x=0$
• Проміжки зростання: функція зростає на проміжку $[-2;2]$
• Проміжки спадання: функція спадає на проміжках $(-\infty ;-2]$ та $[2;+\infty )$
• Проміжки знакосталості: $f(x)>0$ при $x\in (0;+\infty )$; $f(x)<0$ при $x\in (-\infty ;0)$

2) Розкриємо модуль у виразі функції:

• Якщо $x<0$, то $|x|=-x$, отже $g(x)=x-x=0$
• Якщо $x\ge 0$, то $|x|=x$, отже $g(x)=x+x=2x$

$g(x)=\{\begin{array}{ll}0,& \text{якщо }x<0,\\ 2x,& \text{якщо }x\ge 0\end{array}$

Таблиця значень для $x\ge 0$ ($y=2x$):

Для $x<0$ графіком є промінь вздовж від’ємної півосі $Ox$ ($y=0$).

Властивості функції $g(x)$:

• Область визначення: $D(g)=(-\infty ;+\infty )$
• Область значень: $E(g)=[0;+\infty )$
• Нулі функції: $x\in (-\infty ;0]$
• Проміжки зростання: функція зростає на проміжку $[0;+\infty )$
• Проміжки знакосталості: $g(x)>0$ при $x\in (0;+\infty )$; $g(x)=0$ при $x\in (-\infty ;0]$

Відповідь: графіки побудовано, властивості описано.

№ 9.21. Побудуйте графік функції та сформулюйте її властивості:

1) $g(x)=\{\begin{array}{ll}-\frac{6}{x},& \text{якщо }x<-2,\\ -1,5x,& \text{якщо }-2\le x\le 2,\\ -\frac{6}{x},& \text{якщо }x>2;\end{array}$

2) $f(x)=x-|x|$.

Розв’язання:

1) Для побудови графіка функції $g(x)$ складемо таблиці значень для кожної частини її області визначення.

При $x<-2$ графіком є частина гіперболи $y=-\frac{6}{x}$:

При $-2\le x\le 2$ графіком є відрізок прямої $y=-1,5x$:

При $x>2$ графіком є частина гіперболи $y=-\frac{6}{x}$:

Властивості функції $g(x)$:

1) Область визначення: $D(g)=(-\infty ;+\infty )$.

2) Область значень: $E(g)=[-3;3]$.

3) Нулі функції: $x=0$.

4) Проміжки зростання: функція зростає на проміжках $(-\infty ;-2]$ та $[2;+\infty )$.

5) Проміжки спадання: функція спадає на проміжку $[-2;2]$.

2) Розкриємо модуль у формулі функції $f(x)=x-|x|$ за означенням:
Якщо $x\ge 0$, то $|x|=x$, звідки $f(x)=x-x=0$.
Якщо $x<0$, то $|x|=-x$, звідки $f(x)=x-(-x)=2x$.

Отримуємо кусочну функцію:
$f(x)=\{\begin{array}{ll}2x,& \text{якщо }x<0,\\ 0,& \text{якщо }x\ge 0\end{array}$

Складемо таблиці значень для побудови графіка.

При $x<0$ графіком є промінь прямої $y=2x$:

При $x\ge 0$ графіком є промінь горизонтальної прямої $y=0$:

Властивості функції $f(x)$:

1) Область визначення: $D(f)=(-\infty ;+\infty )$.

2) Область значень: $E(f)=(-\infty ;0]$.

3) Нулі функції: будь-яке $x\in [0;+\infty )$.

4) Проміжки зростання: функція зростає на проміжку $(-\infty ;0]$.

5) Сталість: функція є сталою ($f(x)=0$) на проміжку $[0;+\infty )$.

Відповідь: графіки побудовано; властивості сформульовано:

1) $D(g)=(-\infty ;+\infty )$; $E(g)=[-3;3]$; нуль функції: $x=0$; зростає на $(-\infty ;-2]$ та $[2;+\infty )$; спадає на $[-2;2]$;

2) $D(f)=(-\infty ;+\infty )$; $E(f)=(-\infty ;0]$; нулі функції: $x\in [0;+\infty )$; зростає на $(-\infty ;0]$; є сталою на $[0;+\infty )$.

№ 9.22. Порівняйте числа:

1) $2\sqrt{3}$ і $\sqrt{13}$

2) $3\sqrt{2}$ і $2\sqrt{3}$

3) $3\sqrt{7}$ і $8$

Розв’язання:

1) $2\sqrt{3}=\sqrt{2^2\cdot 3}=\sqrt{12}$
Оскільки $12<13$, то $\sqrt{12}<\sqrt{13}$
$2\sqrt{3}<\sqrt{13}$

2) $3\sqrt{2}=\sqrt{3^2\cdot 2}=\sqrt{18}$
$2\sqrt{3}=\sqrt{2^2\cdot 3}=\sqrt{12}$
Оскільки $18>12$, то $\sqrt{18}>\sqrt{12}$
$3\sqrt{2}>2\sqrt{3}$

3) $3\sqrt{7}=\sqrt{3^2\cdot 7}=\sqrt{63}$
$8=\sqrt{64}$
Оскільки $63<64$, то $\sqrt{63}<\sqrt{64}$
$3\sqrt{7}<8$

Відповідь: 1) $2\sqrt{3}<\sqrt{13}$; 2) $3\sqrt{2}>2\sqrt{3}$; 3) $3\sqrt{7}<8$.

№ 9.23. Розв’яжіть нерівність:
1) $\frac{2-x}{10}+\frac{3-x}{5}<\frac{5x-3}{4}$
2) $3<\frac{1-2x}{3}\le 7$

Розв’язання:

1) $\frac{2-x}{10}+\frac{3-x}{5}<\frac{5x-3}{4}$

Помножимо обидві частини нерівності на $20$:
$2(2-x)+4(3-x)<5(5x-3)$
$4-2x+12-4x<25x-15$
$16-6x<25x-15$
$-6x-25x<-15-16$
$-31x<-31$
$x>1$
$x\in (1;+\infty )$

2) $3<\frac{1-2x}{3}\le 7$

Помножимо всі частини подвійної нерівності на $3$:
$9<1-2x\le 21$
Віднімемо $1$ від кожної частини:
$8<-2x\le 20$
Поділимо всі частини на $-2$, змінивши знаки нерівності на протилежні:
$-4>x\ge -10$
$-10\le x<-4$
$x\in [-10;-4)$

Відповідь: 1) $x>1$; 2) $-10\le x<-4$.

№ 9.24. Із Херсона до Житомира виїхали одночасно дві автівки. Одна з них рухалася зі швидкістю на 10 км/год більшою, ніж друга, а тому прибула в Житомир на 1 год раніше. Знайдіть швидкість кожної автівки, якщо відстань між містами становить 560 км.

Розв’язання:

Нехай швидкість другої автівки дорівнює $x\text{ км/год}$ ($x>0$), тоді швидкість першої автівки становить $(x+10)\text{ км/год}$.

Час у дорозі:

• для другої автівки: $\frac{560}{x}\text{ год}$;
• для першої автівки: $\frac{560}{x+10}\text{ год}$.

Оскільки перша автівка прибула на $1\text{ год}$ раніше, ніж друга, складемо рівняння:

$\frac{560}{x}-\frac{560}{x+10}=1$

Помножимо обидві частини рівняння на спільний знаменник $x(x+10)\ne 0$:

$560(x+10)-560x=x(x+10)$

$560x+5600-560x=x^2+10x$

$x^2+10x-5600=0$

За теоремою Вієта:
$x_1=70$, $x_2=-80$ (не задовольняє умову, оскільки $x>0$).
Отже, швидкість другої автівки дорівнює $70\text{ км/год}$.

Знайдемо швидкість першої автівки:
$70+10=80\text{ (км/год)}$.

Відповідь: $70\text{ км/год}$; $80\text{ км/год}$.

№ 9.25. Корені $x_1$ та $x_2$ рівняння $x^2-5x+c=0$ задовольняють умову $3x_1=2x_2$. Знайдіть корені рівняння та коефіцієнт $c$.

Розв’язання:
За теоремою Вієта для зведеного квадратного рівняння $x^2-5x+c=0$:

За умовою:
$3x_1=2x_2$
$x_2=\frac{3x_1}{2}=1,5x_1$

Підставимо вираз для $x_2$ у формулу суми коренів:
$x_1+1,5x_1=5$
$2,5x_1=5$
$x_1=\frac{5}{2,5}=2$

Знайдемо другий корінь:
$x_2=1,5\cdot 2=3$

Знайдемо коефіцієнт $c$:
$c=x_1\cdot x_2=2\cdot 3=6$

Відповідь: $x_1=2$; $x_2=3$; $c=6$.