8. Функції. Область визначення, область значень і графік функції

РОЗВ’ЯЖІТЬ ЗАДАЧІ ТА ВИКОНАЙТЕ ВПРАВИ

📋 Швидка навігація по вправах:

№ 8.1. (Усно.) Функцію задано формулою $y = 3 x - 7$ . Назвіть її незалежну змінну; залежну змінну.

Розв’язання:
У формулі $y = 3 x - 7$ :
незалежна змінна (аргумент) — $x$ ;
залежна змінна (функція) — $y$ .

Відповідь: незалежна змінна — $x$ , залежна змінна — $y$ .

№ 8.2. Знайдіть:
1) $f (2)$ , $f (0)$ , $f (- 1)$ , якщо $f (x) = 2 x - 3$ ;
2) $g (0)$ , $g (2)$ , якщо $g (x) = x^{2} + x$ ;
3) $φ (- 2)$ , $φ (3)$ , якщо $φ (x) = \frac{x - 1}{x + 1}$ .

Розв’язання:

1) $f (x) = 2 x - 3$
$f (2) = 2 \cdot 2 - 3 = 4 - 3 = 1$
$f (0) = 2 \cdot 0 - 3 = 0 - 3 = - 3$
$f (- 1) = 2 \cdot (- 1) - 3 = - 2 - 3 = - 5$

2) $g (x) = x^{2} + x$
$g (0) = 0^{2} + 0 = 0$
$g (2) = 2^{2} + 2 = 4 + 2 = 6$

3) $φ (x) = \frac{x - 1}{x + 1}$
$φ (- 2) = \frac{- 2 - 1}{- 2 + 1} = \frac{- 3}{- 1} = 3$
$φ (3) = \frac{3 - 1}{3 + 1} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2} = 0, 5$

Відповідь: 1) $1$ ; $- 3$ ; $- 5$ ; 2) $0$ ; $6$ ; 3) $3$ ; $0, 5$ .

№ 8.3. Знайдіть:
1) $g (1)$ , $g (0)$ , $g (- 3)$ , якщо $g (x) = - x + 1$ ;
2) $f (0)$ , $f (- 1)$ , якщо $f (x) = x^{2} - x$ ;
3) $ψ (3)$ , $ψ (- 1)$ , якщо $ψ (x) = \frac{x + 2}{x - 2}$ .

Розв’язання:

1) $g (x) = - x + 1$
$g (1) = - 1 + 1 = 0$
$g (0) = - 0 + 1 = 1$
$g (- 3) = - (- 3) + 1 = 3 + 1 = 4$

2) $f (x) = x^{2} - x$
$f (0) = 0^{2} - 0 = 0$
$f (- 1) = (- 1)^{2} - (- 1) = 1 + 1 = 2$

3) $ψ (x) = \frac{x + 2}{x - 2}$
$ψ (3) = \frac{3 + 2}{3 - 2} = \frac{5}{1} = 5$
$ψ (- 1) = \frac{- 1 + 2}{- 1 - 2} = \frac{1}{- 3} = - \frac{1}{3}$

Відповідь: 1) $g (1) = 0$ , $g (0) = 1$ , $g (- 3) = 4$ ; 2) $f (0) = 0$ , $f (- 1) = 2$ ; 3) $ψ (3) = 5$ , $ψ (- 1) = - \frac{1}{3}$ .

№ 8.4. Нехай $t (x) = x^{2} - x + 9$ . Знайдіть $t (- 1) + t (0) + t (1)$ , відтак дізнаєтеся, скільки медалей здобули паралімпійці України на зимових іграх 2022 року.

Розв’язання:
Обчислимо значення функції для заданих значень аргументу:
$t (- 1) = (- 1)^{2} - (- 1) + 9 = 1 + 1 + 9 = 11$
$t (0) = 0^{2} - 0 + 9 = 9$
$t (1) = 1^{2} - 1 + 9 = 1 - 1 + 9 = 9$

Обчислимо суму:
$t (- 1) + t (0) + t (1) = 11 + 9 + 9 = 29$

Відповідь: 29 медалей.

№ 8.5. Нехай $g (x) = 2 x^{2} + 3$ . Знайдіть $g (0) + g (1) + g (2)$ , відтак дізнаєтеся, у якому віці Леся Українка написала підручник «Стародавня історія східних народів».

Розв’язання:
$g (0) = 2 \cdot 0^{2} + 3 = 0 + 3 = 3$
$g (1) = 2 \cdot 1^{2} + 3 = 2 \cdot 1 + 3 = 5$
$g (2) = 2 \cdot 2^{2} + 3 = 2 \cdot 4 + 3 = 8 + 3 = 11$
$g (0) + g (1) + g (2) = 3 + 5 + 11 = 19$

Відповідь: 19 (у 19 років).

№ 8.6. Дано: $f (x) = x + x$ , $g (x) = \frac{x ^{2} - 1}{x}$ . Порівняйте:
1) $f (0)$ і $g (1)$ ;
2) $f (4)$ і $g (3)$ .

Розв’язання:

1) Обчислимо значення кожної з функцій:
$f (0) = 0 + 0 = 0$
$g (1) = \frac{1 ^{2} - 1}{1} = \frac{0}{1} = 0$
Оскільки $0 = 0$ , то:
$f (0) = g (1)$

2) Обчислимо значення кожної з функцій:
$f (4) = 4 + 4 = 2 + 4 = 6$
$g (3) = \frac{3 ^{2} - 1}{3} = \frac{9 - 1}{3} = \frac{8}{3} = 2 \frac{2}{3}$
Оскільки $6 > 2 \frac{2}{3}$ , то:
$f (4) > g (3)$

Відповідь: 1) $f (0) = g (1)$ ; 2) $f (4) > g (3)$ .

№ 8.7. Дано: $f (x) = x - x$ , $g (x) = \frac{2 x}{x ^{2} + 1}$ . Обчисліть:
1) $f (1) + g (3)$ ;
2) $f (9) - g (1)$ .

Розв’язання:

1) Знайдемо значення кожної функції:
$f (1) = 1 - 1 = 1 - 1 = 0$
$g (3) = \frac{2 \cdot 3}{3 ^{2} + 1} = \frac{6}{9 + 1} = \frac{6}{10} = \frac{3}{5}$
$f (1) + g (3) = 0 + \frac{3}{5} = \frac{3}{5}$

2) Знайдемо значення кожної функції:
$f (9) = 9 - 9 = 9 - 3 = 6$
$g (1) = \frac{2 \cdot 1}{1 ^{2} + 1} = \frac{2}{1 + 1} = \frac{2}{2} = 1$
$f (9) - g (1) = 6 - 1 = 5$

Відповідь: 1) $\frac{3}{5}$ ; 2) 5.

№ 8.8. Знайдіть область визначення функції:

1) $f (x) = 5 - 3 x$ ;

2) $g (x) = \frac{30}{x}$ ;

3) $φ (x) = x^{2} + 2 x - 3$ ;

4) $g (x) = x + 9$ ;

5) $f (x) = \frac{3}{x - 5}$ ;

6) $ψ (x) = \frac{7}{2 x + 8}$ .

Розв’язання:

1) $f (x) = 5 - 3 x$
Вираз має зміст при будь-яких значеннях $x$ :
$D (f) = (- \infty; + \infty)$

2) $g (x) = \frac{30}{x}$
Знаменник дробу не може дорівнювати нулю:
$x \neq = 0$
$D (g) = (- \infty; 0) \cup (0; + \infty)$

3) $φ (x) = x^{2} + 2 x - 3$
Вираз має зміст при будь-яких значеннях $x$ :
$D (φ) = (- \infty; + \infty)$

4) $g (x) = x + 9$
Арифметичний квадратний корінь визначений для невід’ємних чисел:
$x \geq 0$
$D (g) = [0; + \infty)$

5) $f (x) = \frac{3}{x - 5}$
Знаменник дробу не може дорівнювати нулю:
$x - 5 \neq = 0$
$x \neq = 5$
$D (f) = (- \infty; 5) \cup (5; + \infty)$

6) $ψ (x) = \frac{7}{2 x + 8}$
Знаменник дробу не може дорівнювати нулю:
$2 x + 8 \neq = 0$
$2 x \neq = - 8$
$x \neq = - 4$
$D (ψ) = (- \infty; - 4) \cup (- 4; + \infty)$

Відповідь:

1) $(- \infty; + \infty)$ ;

2) $(- \infty; 0) \cup (0; + \infty)$ ;

3) $(- \infty; + \infty)$ ;

4) $[0; + \infty)$ ;

5) $(- \infty; 5) \cup (5; + \infty)$ ;

6) $(- \infty; - 4) \cup (- 4; + \infty)$ .

№ 8.9. Знайдіть область визначення функції:

1) $g (x) = 3 x + 1$
2) $f (x) = - \frac{60}{x}$
3) $t (x) = 7 - x$
4) $f (x) = x^{2} - 3 x - 19$
5) $g (x) = \frac{x}{x + 3}$
6) $φ (x) = \frac{9}{3 x - 9}$

Розв’язання:

1) $g (x) = 3 x + 1$
Вираз має зміст при будь-яких значеннях $x$ .
$D (g) = (- \infty; + \infty)$

2) $f (x) = - \frac{60}{x}$
Знаменник дробу не може дорівнювати нулю:
$x \neq = 0$
$D (f) = (- \infty; 0) \cup (0; + \infty)$

3) $t (x) = 7 - x$
Підкореневий вираз має бути невід’ємним:
$x \geq 0$
$D (t) = [0; + \infty)$

4) $f (x) = x^{2} - 3 x - 19$
Вираз має зміст при будь-яких значеннях $x$ .
$D (f) = (- \infty; + \infty)$

5) $g (x) = \frac{x}{x + 3}$
Знаменник дробу не може дорівнювати нулю:
$x + 3 \neq = 0$
$x \neq = - 3$
$D (g) = (- \infty; - 3) \cup (- 3; + \infty)$

6) $φ (x) = \frac{9}{3 x - 9}$
Знаменник дробу не може дорівнювати нулю:
$3 x - 9 \neq = 0$
$3 x \neq = 9$
$x \neq = 3$
$D (φ) = (- \infty; 3) \cup (3; + \infty)$

Відповідь: 1) $(- \infty; + \infty)$ ; 2) $(- \infty; 0) \cup (0; + \infty)$ ; 3) $[0; + \infty)$ ; 4) $(- \infty; + \infty)$ ; 5) $(- \infty; - 3) \cup (- 3; + \infty)$ ; 6) $(- \infty; 3) \cup (3; + \infty)$ .

№ 8.10. Знайдіть значення $x$ , за якого значення функції $y = \frac{1}{3} x - 5$ дорівнює:
1) 4;
2) -5;
3) 0;
4) -1.

Розв’язання:

1) $\frac{1}{3} x - 5 = 4$
$\frac{1}{3} x = 4 + 5$
$\frac{1}{3} x = 9$
$x = 9 \cdot 3$
$x = 27$

2) $\frac{1}{3} x - 5 = - 5$
$\frac{1}{3} x = - 5 + 5$
$\frac{1}{3} x = 0$
$x = 0$

3) $\frac{1}{3} x - 5 = 0$
$\frac{1}{3} x = 5$
$x = 5 \cdot 3$
$x = 15$

4) $\frac{1}{3} x - 5 = - 1$
$\frac{1}{3} x = - 1 + 5$
$\frac{1}{3} x = 4$
$x = 4 \cdot 3$
$x = 12$

Відповідь: 1) 27; 2) 0; 3) 15; 4) 12.

№ 8.11. За якого значення $x$ значення функції $y = 7 - 3 x$ дорівнює:
1) $1$ ;
2) $7$ ;
3) $0$ ;
4) $- 5$ ?

Розв’язання:

1) $7 - 3 x = 1$
$- 3 x = 1 - 7$
$- 3 x = - 6$
$x = 2$

2) $7 - 3 x = 7$
$- 3 x = 7 - 7$
$- 3 x = 0$
$x = 0$

3) $7 - 3 x = 0$
$- 3 x = - 7$
$x = \frac{- 7}{- 3}$
$x = 2 \frac{1}{3}$

4) $7 - 3 x = - 5$
$- 3 x = - 5 - 7$
$- 3 x = - 12$
$x = 4$

Відповідь: 1) 2; 2) 0; 3) $2 \frac{1}{3}$ ; 4) 4.

№ 8.12. Побудуйте графік функції:
1) $y = 2 x - 7$
2) $y = 3$
3) $y = - \frac{6}{x}$
4) $y = x$

Розв’язання:

1) $y = 2 x - 7$
Графіком лінійної функції є пряма. Складемо таблицю значень для двох точок:

$x$	$2$	$4$
$y$	$- 3$	$1$

Графік до вправи № 8.12 (рис. 1) - Алгебра 9 клас

2) $y = 3$
Графіком функції є пряма, паралельна осі $O x$ , що проходить через точку $(0; 3)$ .

$x$	$- 2$	$2$
$y$	$3$	$3$

Графік до вправи № 8.12 (рис. 2) - Алгебра 9 клас

3) $y = - \frac{6}{x}$
Область визначення: $D (y) = (- \infty; 0) \cup (0; + \infty)$ .
Графіком функції є гіпербола, вітки якої розміщені в II та IV координатних чвертях.
Складемо таблицю значень:

$x$	$- 6$	$- 3$	$- 2$	$- 1$	$1$	$2$	$3$	$6$
$y$	$1$	$2$	$3$	$6$	$- 6$	$- 3$	$- 2$	$- 1$

Графік до вправи № 8.12 (рис. 3) - Алгебра 9 клас

4) $y = x$
Область визначення: $D (y) = [0; + \infty)$ .
Графіком функції є вітка параболи. Складемо таблицю значень:

$x$	$0$	$1$	$4$	$9$
$y$	$0$	$1$	$2$	$3$

Графік до вправи № 8.12 (рис. 4) - Алгебра 9 клас

Відповідь: графіки побудовано.

№ 8.13. Побудуйте графік функції:
1) $y = 3 x - 5$ ;
2) $y = \frac{4}{x}$ ;
3) $y = - 2$ ;
4) $y = x^{2}$ .

Розв’язання:

1) $y = 3 x - 5$
Графіком лінійної функції є пряма. Складемо таблицю значень для двох точок:

$x$	$0$	$2$
$y$	$- 5$	$1$

Графік до вправи № 8.13 (рис. 1) - Алгебра 9 клас

2) $y = \frac{4}{x}$
Графіком функції оберненої пропорційності є гіпербола, вітки якої розміщені в I та III координатних чвертях.
Область визначення: $D (y) = (- \infty; 0) \cup (0; + \infty)$ .
Складемо таблицю значень:

$x$	$- 4$	$- 2$	$- 1$	$1$	$2$	$4$
$y$	$- 1$	$- 2$	$- 4$	$4$	$2$	$1$

Графік до вправи № 8.13 (рис. 2) - Алгебра 9 клас

3) $y = - 2$
Графіком функції є пряма, паралельна осі абсцис, що проходить через точку $(0; - 2)$ .

$x$	$- 2$	$0$	$2$
$y$	$- 2$	$- 2$	$- 2$

Графік до вправи № 8.13 (рис. 3) - Алгебра 9 клас

4) $y = x^{2}$
Графіком квадратичної функції є парабола з вершиною в точці $(0; 0)$ , вітки якої напрямлені вгору.
Складемо таблицю значень:

$x$	$- 2$	$- 1$	$0$	$1$	$2$
$y$	$4$	$1$	$0$	$1$	$4$

Графік до вправи № 8.13 (рис. 4) - Алгебра 9 клас

Відповідь: графіки побудовано.

№ 8.14. На малюнку 8.2 побудовано графік функції $y = f (x)$ , областю визначення якої є проміжок $[- 3; 3]$ . Знайдіть:
1) $f (- 3)$ , $f (- 1)$ , $f (2)$ ;
2) значення $x$ , якщо $f (x) = - 1$ , $f (x) = 2, 5$ ;
3) найбільше і найменше значення функції;
4) область значень функції.

Розв’язання:

Графік до вправи № 8.14 - Алгебра 9 клас

За графіком функції $y = f (x)$ :

1) Знайдемо значення функції за заданими значеннями аргументу:
$f (- 3) = 1, 5$
$f (- 1) = 0$
$f (2) = - 1$

2) Знайдемо значення аргументу $x$ за заданими значеннями функції:
Якщо $f (x) = - 1$ , то $x = - 0, 5$ або $x = 2$
Якщо $f (x) = 2, 5$ , то $x = 3$

3) Знайдемо найбільше і найменше значення функції на проміжку $[- 3; 3]$ :
$[- 3; 3] max f (x) = 2, 5$ (при $x = 3$ )
$[- 3; 3] min f (x) = - 2$ (при $x = 1$ )

4) Область значень функції:
$E (f) = [- 2; 2, 5]$

Відповідь:
1) $f (- 3) = 1, 5$ ; $f (- 1) = 0$ ; $f (2) = - 1$ ;
2) $x = - 0, 5$ або $x = 2$ , якщо $f (x) = - 1$ ; $x = 3$ , якщо $f (x) = 2, 5$ ;
3) найбільше значення дорівнює $2, 5$ , найменше дорівнює $- 2$ ;
4) $E (f) = [- 2; 2, 5]$ .

№ 8.15. На малюнку 8.3 побудовано графік функції $y = g (x)$ , областю визначення якої є проміжок $[- 2; 4]$ . Знайдіть:
1) $g (- 2)$ , $g (0)$ , $g (3)$ ;
2) значення $x$ , якщо $g (x) = 1$ , $g (x) = - 1, 5$ ;
3) найбільше і найменше значення функції;
4) область значень функції.

Розв’язання:

Графік до вправи № 8.15 - Алгебра 9 клас

1) За графіком знаходимо значення функції $y$ для заданих значень аргументу $x$ :
$g (- 2) = - 1$
$g (0) = 3$
$g (3) = 0$

2) За графіком знаходимо абсциси точок, ординати яких дорівнюють заданим числам:
якщо $g (x) = 1$ , то $x = - 1$ або $x = 2$ ;
якщо $g (x) = - 1, 5$ , то $x = 4$ .

3) Найвища точка графіка має ординату $3, 5$ , а найнижча — ординату $- 1, 5$ :
найбільше значення функції дорівнює $3, 5$ ;
найменше значення функції дорівнює $- 1, 5$ .

4) Областю значень функції $E (g)$ є множина всіх значень, яких набуває змінна $y$ :
$E (g) = [- 1, 5; 3, 5]$

Відповідь:

1) $g (- 2) = - 1$ ; $g (0) = 3$ ; $g (3) = 0$ ;

2) $x = - 1$ , $x = 2$ при $g (x) = 1$ ; $x = 4$ при $g (x) = - 1, 5$ ;

3) найбільше значення: $3, 5$ ; найменше значення: $- 1, 5$ ;

4) $[- 1, 5; 3, 5]$ .

№ 8.16. Побудуйте графік деякої функції, визначеної на проміжку $[- 4; 4]$ , найменшим значенням якої є $- 2$ , а найбільшим 5.

Розв’язання:
За умовою:
$D (y) = [- 4; 4]$
$y_{найм} = - 2$
$y_{найб} = 5$

Побудуємо графік у вигляді ламаної, що послідовно сполучає точки:

$x$	$- 4$	$- 2$	$2$	$4$
$y$	$0$	$- 2$	$5$	$0$

Графік до вправи № 8.16 - Алгебра 9 клас

Відповідь: графік побудовано.

№ 8.17. Чи проходить графік функції $g (x) = \frac{x ^{2} + 2 x - 5}{x - 1}$ через точку:
1) $A (0; 5)$ ;
2) $B (1; - 2)$ ;
3) $C (2; 7)$ ;
4) $D (- 1; - 3)$ ?

Розв’язання:

1) Для точки $A (0; 5)$ :
$g (0) = \frac{0 ^{2} + 2 \cdot 0 - 5}{0 - 1} = \frac{- 5}{- 1} = 5$
$5 = 5$
Графік функції проходить через точку $A (0; 5)$ .

2) Для точки $B (1; - 2)$ :
Знайдемо область визначення функції:
$x - 1 \neq = 0$
$x \neq = 1$
Оскільки $x = 1$ не належить області визначення функції (знаменник дорівнює нулю), функція в цій точці не існує.
Графік функції не проходить через точку $B (1; - 2)$ .

3) Для точки $C (2; 7)$ :
$g (2) = \frac{2 ^{2} + 2 \cdot 2 - 5}{2 - 1} = \frac{4 + 4 - 5}{1} = 3$
$3 \neq = 7$
Графік функції не проходить через точку $C (2; 7)$ .

4) Для точки $D (- 1; - 3)$ :
$g (- 1) = \frac{( - 1 ) ^{2} + 2 \cdot ( - 1 ) - 5}{- 1 - 1} = \frac{1 - 2 - 5}{- 2} = \frac{- 6}{- 2} = 3$
$3 \neq = - 3$
Графік функції не проходить через точку $D (- 1; - 3)$ .

Відповідь: 1) так; 2) ні; 3) ні; 4) ні.

№ 8.18. Чи належить графіку функції $f (x) = \frac{x ^{2} + 3 x - 5}{x + 1}$ точка:

1) $A (2; 2)$ ;

2) $B (0; - 5)$ ;

3) $C (- 1; - 7)$ ;

4) $D (1; \frac{1}{2})$ ?

Розв’язання:

1) Обчислимо значення функції при $x = 2$ :
$f (2) = \frac{2 ^{2} + 3 \cdot 2 - 5}{2 + 1} = \frac{4 + 6 - 5}{3} = \frac{5}{3} = 1 \frac{2}{3} \neq = 2$
Точка $A (2; 2)$ не належить графіку функції.

2) Обчислимо значення функції при $x = 0$ :
$f (0) = \frac{0 ^{2} + 3 \cdot 0 - 5}{0 + 1} = \frac{- 5}{1} = - 5$
Значення функції дорівнює ординаті точки $B$ .
Точка $B (0; - 5)$ належить графіку функції.

3) Перевіримо допустимі значення аргументу:
$x + 1 \neq = 0$
$x \neq = - 1$
При $x = - 1$ знаменник дорівнює нулю, тому число $- 1$ не належить області визначення функції.
Точка $C (- 1; - 7)$ не належить графіку функції.

4) Обчислимо значення функції при $x = 1$ :
$f (1) = \frac{1 ^{2} + 3 \cdot 1 - 5}{1 + 1} = \frac{1 + 3 - 5}{2} = - \frac{1}{2} \neq = \frac{1}{2}$
Точка $D (1; \frac{1}{2})$ не належить графіку функції.

Відповідь: 1) ні; 2) так; 3) ні; 4) ні.

№ 8.19. Знайдіть область визначення функції:

1) $g (x) = \frac{2}{x ^{2} - 1}$ ;

2) $f (x) = \frac{3 x}{x ^{2} + 4}$ ;

3) $p (x) = \frac{5}{x ^{2} - 3 x}$ ;

4) $t (x) = \frac{1}{x + 1} - \frac{2}{2 x - 7}$ ;

5) $g (x) = \frac{3}{x ^{2} + 2 x - 3}$ ;

6) $f (x) = \frac{x}{∣ x ∣ - 1}$ ;

7) $φ (x) = \frac{x}{∣ x ∣ + 2}$ ;

8) $t (x) = \frac{5}{∣ x - 2∣ - 3}$ ;

9) $f (x) = 3 x - 6$ ;

10) $f (x) = \frac{10}{4 x + 10}$ .

Розв’язання:

1) Знаменник дробу не дорівнює нулю:
$x^{2} - 1 \neq = 0$
$x^{2} \neq = 1$
$x \neq = \pm 1$
$D (g) = (- \infty; - 1) \cup (- 1; 1) \cup (1; + \infty)$

2) Знаменник дробу $x^{2} + 4 \geq 4 > 0$ при будь-яких значеннях $x$ , тому вираз має зміст для всіх дійсних чисел:
$D (f) = (- \infty; + \infty)$

3) Знаменник дробу не дорівнює нулю:
$x^{2} - 3 x \neq = 0$
$x (x - 3) \neq = 0$
$x \neq = 0$ і $x \neq = 3$
$D (p) = (- \infty; 0) \cup (0; 3) \cup (3; + \infty)$

4) Знаменники дробів не повинні дорівнювати нулю:
${x + 1 \neq = 0 2 x - 7 \neq = 0$
${x \neq = - 1 2 x \neq = 7$
${x \neq = - 1 x \neq = 3, 5$
$D (t) = (- \infty; - 1) \cup (- 1; 3, 5) \cup (3, 5; + \infty)$

5) Знаменник дробу не дорівнює нулю:
$x^{2} + 2 x - 3 \neq = 0$
Розв’яжемо відповідне квадратне рівняння $x^{2} + 2 x - 3 = 0$ :
За теоремою Вієта:
$x_{1} = - 3$ , $x_{2} = 1$
Звідси:
$x \neq = - 3$ і $x \neq = 1$
$D (g) = (- \infty; - 3) \cup (- 3; 1) \cup (1; + \infty)$

6) Знаменник дробу не дорівнює нулю:
$∣ x ∣ - 1 \neq = 0$
$∣ x ∣ \neq = 1$
$x \neq = \pm 1$
$D (f) = (- \infty; - 1) \cup (- 1; 1) \cup (1; + \infty)$

7) Оскільки $∣ x ∣ \geq 0$ , то $∣ x ∣ + 2 \geq 2 > 0$ для будь-якого значення $x$ . Знаменник не перетворюється на нуль:
$D (φ) = (- \infty; + \infty)$

8) Знаменник дробу не дорівнює нулю:
$∣ x - 2∣ - 3 \neq = 0$
$∣ x - 2∣ \neq = 3$
${x - 2 \neq = 3 x - 2 \neq = - 3$
${x \neq = 5 x \neq = - 1$
$D (t) = (- \infty; - 1) \cup (- 1; 5) \cup (5; + \infty)$

9) Підкореневий вираз має бути невід’ємним:
$3 x - 6 \geq 0$
$3 x \geq 6$
$x \geq 2$
$D (f) = [2; + \infty)$

10) Вираз у знаменнику під знаком кореня має бути строго додатним:
$4 x + 10 > 0$
$4 x > - 10$
$x > - \frac{10}{4}$
$x > - 2, 5$
$D (f) = (- 2, 5; + \infty)$

Відповідь:

1) $(- \infty; - 1) \cup (- 1; 1) \cup (1; + \infty)$ ;

2) $(- \infty; + \infty)$ ;

3) $(- \infty; 0) \cup (0; 3) \cup (3; + \infty)$ ;

4) $(- \infty; - 1) \cup (- 1; 3, 5) \cup (3, 5; + \infty)$ ;

5) $(- \infty; - 3) \cup (- 3; 1) \cup (1; + \infty)$ ;

6) $(- \infty; - 1) \cup (- 1; 1) \cup (1; + \infty)$ ;

7) $(- \infty; + \infty)$ ;

8) $(- \infty; - 1) \cup (- 1; 5) \cup (5; + \infty)$ ;

9) $[2; + \infty)$ ;

10) $(- 2, 5; + \infty)$ .

№ 8.20. Знайдіть область визначення функції:

1) $f (x) = \frac{3}{x ^{2} - 4}$ ;
2) $g (x) = \frac{x}{x ^{2} + 1}$ ;
3) $ϕ (x) = \frac{4}{x ^{2} + 2 x}$ ;
4) $ψ (x) = \frac{1}{x - 1} + \frac{3}{3 x + 6}$ ;
5) $p (x) = \frac{5}{x ^{2} - x - 2}$ ;
6) $f (x) = \frac{2 x}{∣ x ∣ - 4}$ ;
7) $g (x) = \frac{x}{∣ x ∣ + 1}$ ;
8) $f (x) = \frac{4}{∣ x + 1∣ - 2}$ ;
9) $f (x) = 2 x + 6$ ;
10) $f (x) = \frac{8}{2 x - 7}$ .

Розв’язання:

1) $f (x) = \frac{3}{x ^{2} - 4}$
Знаменник дробу не може дорівнювати нулю:
$x^{2} - 4 \neq = 0$
$(x - 2) (x + 2) \neq = 0$
$x \neq = 2$ і $x \neq = - 2$
$D (f) = (- \infty; - 2) \cup (- 2; 2) \cup (2; + \infty)$

2) $g (x) = \frac{x}{x ^{2} + 1}$
Знаменник дробу не може дорівнювати нулю:
$x^{2} + 1 \neq = 0$
Оскільки $x^{2} \geq 0$ при будь-якому значенні $x$ , то $x^{2} + 1 \geq 1 > 0$ . Знаменник ніколи не перетворюється на нуль.
$D (g) = (- \infty; + \infty)$

3) $ϕ (x) = \frac{4}{x ^{2} + 2 x}$
Знаменник дробу не може дорівнювати нулю:
$x^{2} + 2 x \neq = 0$
$x (x + 2) \neq = 0$
$x \neq = 0$ і $x \neq = - 2$
$D (ϕ) = (- \infty; - 2) \cup (- 2; 0) \cup (0; + \infty)$

4) $ψ (x) = \frac{1}{x - 1} + \frac{3}{3 x + 6}$
Знаменники дробів не можуть дорівнювати нулю:
${x - 1 \neq = 0 3 x + 6 \neq = 0$
${x \neq = 1 3 x \neq = - 6$
${x \neq = 1 x \neq = - 2$
$D (ψ) = (- \infty; - 2) \cup (- 2; 1) \cup (1; + \infty)$

5) $p (x) = \frac{5}{x ^{2} - x - 2}$
Знаменник дробу не може дорівнювати нулю:
$x^{2} - x - 2 \neq = 0$
За теоремою Вієта коренями квадратного тричлена є $x_{1} = 2$ , $x_{2} = - 1$ :
$(x - 2) (x + 1) \neq = 0$
$x \neq = 2$ і $x \neq = - 1$
$D (p) = (- \infty; - 1) \cup (- 1; 2) \cup (2; + \infty)$

6) $f (x) = \frac{2 x}{∣ x ∣ - 4}$
Знаменник дробу не може дорівнювати нулю:
$∣ x ∣ - 4 \neq = 0$
$∣ x ∣ \neq = 4$
$x \neq = \pm 4$
$D (f) = (- \infty; - 4) \cup (- 4; 4) \cup (4; + \infty)$

7) $g (x) = \frac{x}{∣ x ∣ + 1}$
Знаменник дробу не може дорівнювати нулю:
$∣ x ∣ + 1 \neq = 0$
Оскільки $∣ x ∣ \geq 0$ для всіх дійсних чисел, то $∣ x ∣ + 1 \geq 1 > 0$ при будь-якому значенні $x$ .
$D (g) = (- \infty; + \infty)$

8) $f (x) = \frac{4}{∣ x + 1∣ - 2}$
Знаменник дробу не може дорівнювати нулю:
$∣ x + 1∣ - 2 \neq = 0$
$∣ x + 1∣ \neq = 2$
$x + 1 \neq = 2$ і $x + 1 \neq = - 2$
$x \neq = 1$ і $x \neq = - 3$
$D (f) = (- \infty; - 3) \cup (- 3; 1) \cup (1; + \infty)$

9) $f (x) = 2 x + 6$
Арифметичний квадратний корінь визначений тільки для невід’ємних чисел:
$2 x + 6 \geq 0$
$2 x \geq - 6$
$x \geq - 3$
$D (f) = [- 3; + \infty)$

10) $f (x) = \frac{8}{2 x - 7}$
Вираз під знаком квадратного кореня в знаменнику має бути строго додатним:
$2 x - 7 > 0$
$2 x > 7$
$x > 3, 5$
$D (f) = (3, 5; + \infty)$

Відповідь:
1) $(- \infty; - 2) \cup (- 2; 2) \cup (2; + \infty)$ ;
2) $(- \infty; + \infty)$ ;
3) $(- \infty; - 2) \cup (- 2; 0) \cup (0; + \infty)$ ;
4) $(- \infty; - 2) \cup (- 2; 1) \cup (1; + \infty)$ ;
5) $(- \infty; - 1) \cup (- 1; 2) \cup (2; + \infty)$ ;
6) $(- \infty; - 4) \cup (- 4; 4) \cup (4; + \infty)$ ;
7) $(- \infty; + \infty)$ ;
8) $(- \infty; - 3) \cup (- 3; 1) \cup (1; + \infty)$ ;
9) $[- 3; + \infty)$ ;
10) $(3, 5; + \infty)$ .

№ 8.21. Дано функцію $f (x) = ⎩ ⎨ ⎧ 5 - x, якщо x < - 2, x^{2}, якщо - 2 \leq x < 1, x, якщо x \geq 1.$ Знайдіть $f (- 3)$ , $f (- 2)$ , $f (0)$ , $f (1)$ , $f (4)$ .

Розв’язання:

Для $x = - 3$ ( $x < - 2$ ):
$f (- 3) = 5 - (- 3) = 5 + 3 = 8$

Для $x = - 2$ ( $- 2 \leq x < 1$ ):
$f (- 2) = (- 2)^{2} = 4$

Для $x = 0$ ( $- 2 \leq x < 1$ ):
$f (0) = 0^{2} = 0$

Для $x = 1$ ( $x \geq 1$ ):
$f (1) = 1 = 1$

Для $x = 4$ ( $x \geq 1$ ):
$f (4) = 4 = 2$

Відповідь: $f (- 3) = 8$ ; $f (- 2) = 4$ ; $f (0) = 0$ ; $f (1) = 1$ ; $f (4) = 2$ .

№ 8.22. Відомо, що $g (x) = k x + l$ , причому $g (2) = - 1$ , $g (- 4) = 17$ . Знайдіть $k$ і $l$ .

Розв’язання:
Підставимо значення аргументу та функції у формулу $g (x) = k x + l$ :
$g (2) = 2 k + l = - 1$
$g (- 4) = - 4 k + l = 17$

Складемо та розв’яжемо систему рівнянь:

{2 k + l = - 1 - 4 k + l = 17

Віднімемо від першого рівняння друге:
$2 k - (- 4 k) = - 1 - 17$
$6 k = - 18$
$k = \frac{- 18}{6}$
$k = - 3$

Підставимо значення $k = - 3$ у перше рівняння:
$2 \cdot (- 3) + l = - 1$
$- 6 + l = - 1$
$l = - 1 + 6$
$l = 5$

Відповідь: $k = - 3$ ; $l = 5$ .

№ 8.23. Відомо, що $f (x) = k x + l$ , причому $f (1) = - 4$ , $f (- 2) = - 13$ . Знайдіть $k$ і $l$ .

Розв’язання:

Підставимо значення аргументу у формулу функції:
$f (1) = k \cdot 1 + l = k + l = - 4$
$f (- 2) = k \cdot (- 2) + l = - 2 k + l = - 13$

Складемо і розв’яжемо систему рівнянь:

{k + l = - 4 - 2 k + l = - 13

Віднімемо від першого рівняння системи друге:
$(k - (- 2 k)) + (l - l) = - 4 - (- 13)$
$3 k = 9$
$k = 3$

Підставимо значення $k = 3$ у перше рівняння:
$3 + l = - 4$
$l = - 4 - 3$
$l = - 7$

Отримуємо:
$k = 3$ , $l = - 7$

Відповідь: $k = 3$ , $l = - 7$ .

№ 8.24. Знайдіть область значень функції:
1) $f (x) = x - 5$ ;
2) $g (x) = 3 - x$ ;
3) $t (x) = ∣ x ∣ + 2$ ;
4) $g (x) = ∣ x ∣ - 3$ ;
5) $f (x) = x^{2} + 5$ ;
6) $ϕ (x) = 9 - x^{4}$ .

Розв’язання:

1) $f (x) = x - 5$
Для всіх значень $x \geq 0$ :
$x \geq 0$
$x - 5 \geq - 5$
$f (x) \geq - 5$
$E (f) = [- 5; + \infty)$

2) $g (x) = 3 - x$
Для всіх значень $x \geq 0$ :
$x \geq 0$
$- x \leq 0$
$3 - x \leq 3$
$g (x) \leq 3$
$E (g) = (- \infty; 3]$

3) $t (x) = ∣ x ∣ + 2$
Для будь-якого значення $x$ :
$∣ x ∣ \geq 0$
$∣ x ∣ + 2 \geq 2$
$t (x) \geq 2$
$E (t) = [2; + \infty)$

4) $g (x) = ∣ x ∣ - 3$
Для будь-якого значення $x$ :
$∣ x ∣ \geq 0$
$∣ x ∣ - 3 \geq - 3$
$g (x) \geq - 3$
$E (g) = [- 3; + \infty)$

5) $f (x) = x^{2} + 5$
Для будь-якого значення $x$ :
$x^{2} \geq 0$
$x^{2} + 5 \geq 5$
$f (x) \geq 5$
$E (f) = [5; + \infty)$

6) $ϕ (x) = 9 - x^{4}$
Для будь-якого значення $x$ :
$x^{4} \geq 0$
$- x^{4} \leq 0$
$9 - x^{4} \leq 9$
$ϕ (x) \leq 9$
$E (ϕ) = (- \infty; 9]$

Відповідь: 1) $[- 5; + \infty)$ ; 2) $(- \infty; 3]$ ; 3) $[2; + \infty)$ ; 4) $[- 3; + \infty)$ ; 5) $[5; + \infty)$ ; 6) $(- \infty; 9]$ .

№ 8.25. Побудуйте графік функції:

1) $f (x) = ⎩ ⎨ ⎧ - x - 2, якщо x < - 3, 1, якщо - 3 \leq x \leq 2, x - 1, якщо x > 2;$

2) $f (x) = ⎩ ⎨ ⎧ \frac{6}{x}, якщо x < - 2, 1, 5 x, якщо - 2 \leq x \leq 2, \frac{6}{x}, якщо x > 2.$

Розв’язання:

1) Графік складається з трьох частин:

1) Промінь прямої $y = - x - 2$ для $x < - 3$ :

$x$	$- 5$	$- 4$	$- 3$
$y$	$3$	$2$	$1$

2) Відрізок горизонтальної прямої $y = 1$ для $- 3 \leq x \leq 2$ із кінцями в точках $(- 3; 1)$ та $(2; 1)$ .

3) Промінь прямої $y = x - 1$ для $x > 2$ :

$x$	$2$	$3$	$4$
$y$	$1$	$2$	$3$

Графік є неперервною лінією, оскільки в точках стику $x = - 3$ та $x = 2$ значення частин функції збігаються.

Графік до вправи № 8.25 (рис. 1) - Алгебра 9 клас

2) Графік складається з трьох частин:

1) Частина гіперболи $y = \frac{6}{x}$ для $x < - 2$ :

$x$	$- 6$	$- 3$	$- 2$
$y$	$- 1$	$- 2$	$- 3$

2) Відрізок прямої $y = 1, 5 x$ для $- 2 \leq x \leq 2$ :

$x$	$- 2$	$0$	$2$
$y$	$- 3$	$0$	$3$

3) Частина гіперболи $y = \frac{6}{x}$ для $x > 2$ :

$x$	$2$	$3$	$6$
$y$	$3$	$2$	$1$

Графік є неперервним, оскільки в точках стику $x = - 2$ та $x = 2$ значення частин функції збігаються: $(- 2; - 3)$ та $(2; 3)$ .

Графік до вправи № 8.25 (рис. 2) - Алгебра 9 клас

Відповідь: графіки побудовано.

№ 8.26. Побудуйте графік функції:

$f (x) = ⎩ ⎨ ⎧ x + 5, 3, 6 - x, якщо x < - 2, якщо - 2 \leq x < 3, якщо x \geq 3.$

Розв’язання:

Графік функції складається з трьох частин:

1) Промінь прямої $y = x + 5$ для $x < - 2$ :

$x$	$- 4$	$- 3$	$- 2$
$y$	$1$	$2$	$3$

Точка $(- 2; 3)$ є виколотою для цієї частини графіка.

2) Горизонтальний відрізок прямої $y = 3$ для $- 2 \leq x < 3$ :
Точка $(- 2; 3)$ — зафарбована (заповнює виколоту точку першої частини), точка $(3; 3)$ — виколота.

3) Промінь прямої $y = 6 - x$ для $x \geq 3$ :

$x$	$3$	$5$	$6$
$y$	$3$	$1$	$0$

Точка $(3; 3)$ — зафарбована (початок променя, заповнює виколоту точку другої частини).

Графік до вправи № 8.26 - Алгебра 9 клас

Відповідь: графік побудовано.

№ 8.27. Знайдіть область визначення функції та побудуйте її графік:
1) $f (x) = \frac{x ^{2} - 9}{x - 3}$
2) $g (x) = \frac{6 x + 12}{x ^{2} + 2 x}$
3) $φ (x) = \frac{x ^{2} + 4 x + 4}{x + 2}$
4) $ψ (x) = \frac{∣ x ∣ - 2}{∣ x ∣ - 2}$

Розв’язання:

1) $f (x) = \frac{x ^{2} - 9}{x - 3}$

Знайдемо область визначення:
$x - 3 \neq = 0$
$x \neq = 3$
$D (f) = (- \infty; 3) \cup (3; + \infty)$

Спростимо вираз для функції при $x \neq = 3$ :
$f (x) = \frac{( x - 3 ) ( x + 3 )}{x - 3} = x + 3$

Графіком функції є пряма $y = x + 3$ з виколотою точкою $(3; 6)$ .

Таблиця опорних точок для прямої $y = x + 3$ :

$x$	$- 3$	$0$
$y$	$0$	$3$

Точка $(3; 6)$ — виколота.

Графік до вправи № 8.27 (рис. 1) - Алгебра 9 клас

2) $g (x) = \frac{6 x + 12}{x ^{2} + 2 x}$

Знайдемо область визначення:
$x^{2} + 2 x \neq = 0$
$x (x + 2) \neq = 0$
$x \neq = 0$ та $x \neq = - 2$
$D (g) = (- \infty; - 2) \cup (- 2; 0) \cup (0; + \infty)$

Спростимо вираз для функції при $x \neq = 0$ та $x \neq = - 2$ :
$g (x) = \frac{6 ( x + 2 )}{x ( x + 2 )} = \frac{6}{x}$

Графіком функції є гіпербола $y = \frac{6}{x}$ з виколотою точкою $(- 2; - 3)$ .

Таблиця опорних точок для гіперболи $y = \frac{6}{x}$ :

$x$	$- 6$	$- 3$	$- 1$	$1$	$2$	$3$	$6$
$y$	$- 1$	$- 2$	$- 6$	$6$	$3$	$2$	$1$

Точка $(- 2; - 3)$ — виколота.

Графік до вправи № 8.27 (рис. 2) - Алгебра 9 клас

3) $φ (x) = \frac{x ^{2} + 4 x + 4}{x + 2}$

Знайдемо область визначення:
$x + 2 \neq = 0$
$x \neq = - 2$
$D (φ) = (- \infty; - 2) \cup (- 2; + \infty)$

Спростимо вираз для функції при $x \neq = - 2$ :
$φ (x) = \frac{( x + 2 ) ^{2}}{x + 2} = x + 2$

Графіком функції є пряма $y = x + 2$ з виколотою точкою $(- 2; 0)$ .

Таблиця опорних точок для прямої $y = x + 2$ :

$x$	$- 4$	$0$
$y$	$- 2$	$2$

Точка $(- 2; 0)$ — виколота.

Графік до вправи № 8.27 (рис. 3) - Алгебра 9 клас

4) $ψ (x) = \frac{∣ x ∣ - 2}{∣ x ∣ - 2}$

Знайдемо область визначення:
$∣ x ∣ - 2 \neq = 0$
$∣ x ∣ \neq = 2$
$x \neq = - 2$ та $x \neq = 2$
$D (ψ) = (- \infty; - 2) \cup (- 2; 2) \cup (2; + \infty)$

Спростимо вираз для функції при $x \neq = - 2$ та $x \neq = 2$ :
$ψ (x) = 1$

Графіком функції є горизонтальна пряма $y = 1$ з двома виколотими точками $(- 2; 1)$ та $(2; 1)$ .

Графік до вправи № 8.27 (рис. 4) - Алгебра 9 клас

Відповідь:

1) $D (f) = (- \infty; 3) \cup (3; + \infty)$ , графік побудовано;

2) $D (g) = (- \infty; - 2) \cup (- 2; 0) \cup (0; + \infty)$ , графік побудовано;

3) $D (φ) = (- \infty; - 2) \cup (- 2; + \infty)$ , графік побудовано;

4) $D (ψ) = (- \infty; - 2) \cup (- 2; 2) \cup (2; + \infty)$ , графік побудовано.

№ 8.28. Знайдіть область визначення функції та побудуйте її графік:
1) $f (x) = \frac{x ^{2} - 1}{x + 1}$ ;
2) $g (x) = \frac{16 - 8 x}{x ^{2} - 2 x}$ .

Розв’язання:

1) $f (x) = \frac{x ^{2} - 1}{x + 1}$

Знаменник дробу не може дорівнювати нулю:
$x + 1 \neq = 0$
$x \neq = - 1$
$D (f) = (- \infty; - 1) \cup (- 1; + \infty)$

Спростимо вираз для всіх $x \in D (f)$ :
$f (x) = \frac{( x - 1 ) ( x + 1 )}{x + 1} = x - 1$

Графіком функції є пряма $y = x - 1$ з виколотою точкою $(- 1; - 2)$ .

Таблиця точок для прямої $y = x - 1$ :

$x$	$0$	$2$
$y$	$- 1$	$1$

Виколота точка: $(- 1; - 2)$ .

Графік до вправи № 8.28 (рис. 1) - Алгебра 9 клас

2) $g (x) = \frac{16 - 8 x}{x ^{2} - 2 x}$

Знаменник дробу не може дорівнювати нулю:
$x^{2} - 2 x \neq = 0$
$x (x - 2) \neq = 0$
$x \neq = 0$ та $x \neq = 2$
$D (g) = (- \infty; 0) \cup (0; 2) \cup (2; + \infty)$

Спростимо вираз для всіх $x \in D (g)$ :
$g (x) = \frac{8 ( 2 - x )}{x ( x - 2 )} = - \frac{8 ( x - 2 )}{x ( x - 2 )} = - \frac{8}{x}$

Графіком функції є гіпербола $y = - \frac{8}{x}$ з виколотою точкою $(2; - 4)$ .

Таблиця точок для гіперболи $y = - \frac{8}{x}$ :

$x$	$- 8$	$- 4$	$- 2$	$- 1$	$1$	$2$	$4$	$8$
$y$	$1$	$2$	$4$	$8$	$- 8$	$- 4$	$- 2$	$- 1$

Виколота точка: $(2; - 4)$ .

Графік до вправи № 8.28 (рис. 2) - Алгебра 9 клас

Відповідь:

1) $D (f) = (- \infty; - 1) \cup (- 1; + \infty)$ , графік побудовано;

2) $D (g) = (- \infty; 0) \cup (0; 2) \cup (2; + \infty)$ , графік побудовано.

№ 8.29. Обчисліть:
1) $6^{8} : 6^{5} : 36$ ;
2) $(7^{5} \cdot 4 9^{2}) : 7^{10}$ ;
3) $1 0^{- 6} : 10 0^{- 2}$ .

Розв’язання:

1) $6^{8} : 6^{5} : 36 =$
$= 6^{8} : 6^{5} : 6^{2} =$
$= 6^{8 - 5 - 2} =$
$= 6^{1} = 6$

2) $(7^{5} \cdot 4 9^{2}) : 7^{10} =$
$= (7^{5} \cdot (7^{2})^{2}) : 7^{10} =$
$= (7^{5} \cdot 7^{4}) : 7^{10} =$
$= 7^{5 + 4} : 7^{10} =$
$= 7^{9} : 7^{10} =$
$= 7^{9 - 10} =$
$= 7^{- 1} = \frac{1}{7}$

3) $1 0^{- 6} : 10 0^{- 2} =$
$= 1 0^{- 6} : (1 0^{2})^{- 2} =$
$= 1 0^{- 6} : 1 0^{- 4} =$
$= 1 0^{- 6 - (- 4)} =$
$= 1 0^{- 2} =$
$= \frac{1}{1 0 ^{2}} = 0, 01$

Відповідь: 1) 6; 2) $\frac{1}{7}$ ; 3) $0, 01$ .

№ 8.30. Число $- 3$ є коренем рівняння $x^{2} + 2 x - c = 0$ . Знайдіть $c$ і другий корінь рівняння.

Розв’язання:
Підставимо значення кореня $x = - 3$ у рівняння:
$(- 3)^{2} + 2 \cdot (- 3) - c = 0$
$9 - 6 - c = 0$
$3 - c = 0$
$c = 3$

Рівняння набуває вигляду:
$x^{2} + 2 x - 3 = 0$

За теоремою Вієта:
$x_{1} + x_{2} = - 2$
$- 3 + x_{2} = - 2$
$x_{2} = - 2 + 3$
$x_{2} = 1$

Відповідь: $c = 3$ ; $x_{2} = 1$ .

№ 8.31. Спростіть вираз:

$(\frac{a - b}{a} - \frac{a}{a + b}) : \frac{b}{a}$

Розв’язання:

Виконаємо дії за порядком:

1) Віднімання дробів у дужках:

$\frac{a - b}{a} - \frac{a}{a + b} = \frac{( a - b ) ( a + b ) - ( a ) ^{2}}{a ( a + b )} = \frac{a - b - a}{a ( a + b )} = \frac{- b}{a ( a + b )}$

2) Ділення на корінь:

$\frac{- b}{a ( a + b )} : \frac{b}{a} = \frac{- b}{a ( a + b )} : \frac{b}{a} = \frac{- b}{a ( a + b )} \cdot \frac{a}{b} = - \frac{b}{b ( a + b )} = - \frac{b}{a + b}$

Відповідь: $- \frac{b}{a + b}$ .

№ 8.32. Скільки коренів рівняння $x^{3} + x^{2} - 4 x - 4 = 0$ є розв’язками нерівності $x^{2} - 4 < 0$ ?

Розв’язання:

Розв’яжемо рівняння способом групування:
$x^{3} + x^{2} - 4 x - 4 = 0$
$x^{2} (x + 1) - 4 (x + 1) = 0$
$(x + 1) (x^{2} - 4) = 0$
$(x + 1) (x - 2) (x + 2) = 0$

$x + 1 = 0$ або $x - 2 = 0$ або $x + 2 = 0$
$x_{1} = - 1$ , $x_{2} = 2$ , $x_{3} = - 2$

Перевіримо, які зі знайдених коренів задовольняють нерівність $x^{2} - 4 < 0$ :

1) Для $x_{1} = - 1$ :
$(- 1)^{2} - 4 = 1 - 4 = - 3$
$- 3 < 0$ — правильно, є розв’язком.

2) Для $x_{2} = 2$ :
$2^{2} - 4 = 4 - 4 = 0$
$0 < 0$ — неправильно, не є розв’язком.

3) Для $x_{3} = - 2$ :
$(- 2)^{2} - 4 = 4 - 4 = 0$
$0 < 0$ — неправильно, не є розв’язком.

Отже, розв’язком нерівності є лише один корінь рівняння ( $x = - 1$ ).

Відповідь: 1.

№ 8.33. 2025 року податок на прибуток із заробітної плати становив 18% — крім того, із заробітної плати утримували 5% військового збору. У деякій компанії зарплата HR-менеджерки (Human Resources) становила 16 400 грн. Яку суму коштів отримувала менеджерка після сплати податку на прибуток та військового збору?

Розв’язання:

Дано:

Нарахована заробітна плата: $16400 грн$
Податок на прибуток: $18%$
Військовий збір: $5%$

Знайти:

Суму коштів після сплати податків

1) Знайдемо загальний відсоток утримань із заробітної плати:
$18% + 5% = 23%$

2) Знайдемо відсоток заробітної плати, який виплачується менеджерці:
$100% - 23% = 77%$
$77% = 0, 77$

3) Обчислимо суму коштів, отриману після утримання податків:
$16400 \cdot 0, 77 = 12628 (грн)$

Відповідь: $12628 грн .$

№ 8.34. Знайдіть нулі функції:
1) $y = 2 x - 6$
2) $y = 3 x + 24$
3) $y = \frac{x + 1}{7}$
4) $y = \frac{7}{x + 1}$

Розв’язання:

1) $2 x - 6 = 0$
$2 x = 6$
$x = 3$

2) $3 x + 24 = 0$
$3 x = - 24$
$x = - 8$

3) $\frac{x + 1}{7} = 0$
$x + 1 = 0$
$x = - 1$

4) $\frac{7}{x + 1} = 0$
Оскільки дріб дорівнює нулю тоді, коли чисельник дорівнює нулю, а знаменник не дорівнює нулю, і чисельник $7 \neq = 0$ , то дане рівняння коренів не має.
Отже, функція нулів не має.

Відповідь: 1) 3; 2) -8; 3) -1; 4) нулів немає.

№ 8.35. Яка фігура є графіком функції:
1) $y = 4 x$ ;
2) $y = \frac{4}{x}$ ;
3) $y = 3 x - 7$ ;
4) $y = x^{2}$ ;
5) $y = - 3$ ;
6) $y = x$ ?

Розв’язання:

1) $y = 4 x$ — пряма (проходить через початок координат).

2) $y = \frac{4}{x}$ — гіпербола.

3) $y = 3 x - 7$ — пряма.

4) $y = x^{2}$ — парабола.

5) $y = - 3$ — пряма (паралельна осі абсцис $O x$ , проходить через точку $(0; - 3)$ ).

6) $y = x$ — вітка параболи.

Відповідь: 1) пряма; 2) гіпербола; 3) пряма; 4) парабола; 5) пряма; 6) вітка параболи.

№ 8.36. Побудуйте графік функції:

1) $y = - 3 x$

2) $y = \frac{6}{x}$

3) $y = 2$

4) $y = - \frac{8}{x}$

5) $y = x^{2}$

6) $y = x$

Розв’язання:

1) $y = - 3 x$ — пряма пропорційність, графіком є пряма, що проходить через початок координат. Складемо таблицю значень:

$x$	$- 1$	$0$	$1$
$y$	$3$	$0$	$- 3$

Графік до вправи № 8.36 (рис. 1) - Алгебра 9 клас

2) $y = \frac{6}{x}$ — обернена пропорційність, графіком є гіпербола з вітками в I та III координатних чвертях ( $D (y) : x \neq = 0$ ). Складемо таблицю значень:

$x$	$- 6$	$- 3$	$- 2$	$- 1$	$1$	$2$	$3$	$6$
$y$	$- 1$	$- 2$	$- 3$	$- 6$	$6$	$3$	$2$	$1$

Графік до вправи № 8.36 (рис. 2) - Алгебра 9 клас

3) $y = 2$ — лінійна функція, графіком є пряма, паралельна осі $O x$ , яка проходить через точку $(0; 2)$ . Складемо таблицю значень:

$x$	$- 3$	$0$	$3$
$y$	$2$	$2$	$2$

Графік до вправи № 8.36 (рис. 3) - Алгебра 9 клас

4) $y = - \frac{8}{x}$ — обернена пропорційність, графіком є гіпербола з вітками в II та IV координатних чвертях ( $D (y) : x \neq = 0$ ). Складемо таблицю значень:

$x$	$- 8$	$- 4$	$- 2$	$- 1$	$1$	$2$	$4$	$8$
$y$	$1$	$2$	$4$	$8$	$- 8$	$- 4$	$- 2$	$- 1$

Графік до вправи № 8.36 (рис. 4) - Алгебра 9 клас

5) $y = x^{2}$ — квадратична функція, графіком є парабола з вершиною в початку координат $(0; 0)$ , вітки якої напрямлені вгору. Складемо таблицю значень:

$x$	$- 3$	$- 2$	$- 1$	$0$	$1$	$2$	$3$
$y$	$9$	$4$	$1$	$0$	$1$	$4$	$9$

Графік до вправи № 8.36 (рис. 5) - Алгебра 9 клас

6) $y = x$ — функція квадратного кореня ( $D (y) : x \geq 0$ ), графіком є вітка параболи в I координатній чверті. Складемо таблицю значень:

$x$	$0$	$1$	$4$	$9$
$y$	$0$	$1$	$2$	$3$

Графік до вправи № 8.36 (рис. 6) - Алгебра 9 клас

Відповідь: графіки побудовано.

№ 8.37. Загадали деяке натуральне двоцифрове число. З правого боку до нього приписали це саме число і від утвореного числа відняли квадрат числа, яке загадали. Потім цю різницю поділили на $4 %$ від квадрата числа, яке загадали. Частка й остача виявилися рівними відповідно половині числа та числу, яке загадали. Знайдіть, яке число загадали.

Розв’язання:
Нехай загадане двоцифрове число дорівнює $x$ , де $x \in N$ та $10 \leq x \leq 99$ .

Якщо до двоцифрового числа приписати праворуч це саме число, отримаємо:
$100 x + x = 101 x$

Віднімемо від утвореного числа квадрат загаданого числа:
$101 x - x^{2}$

Знайдемо $4 %$ від квадрата загаданого числа (дільник):
$0, 04 x^{2}$

За умовою, неповна частка дорівнює $\frac{x}{2}$ , а остача дорівнює $x$ .

За формулою ділення з остачею ( $a = b \cdot q + r$ , де $r < b$ ):
$101 x - x^{2} = 0, 04 x^{2} \cdot \frac{x}{2} + x$

$101 x - x^{2} = 0, 02 x^{3} + x$

$0, 02 x^{3} + x^{2} - 100 x = 0$

Оскільки $x$ — натуральне число, поділимо обидві частини рівняння на $x \neq = 0$ :
$0, 02 x^{2} + x - 100 = 0$

Помножимо обидві частини рівняння на $50$ :
$x^{2} + 50 x - 5000 = 0$

Знайдемо дискримінант:
$D = 5 0^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 5000) = 2500 + 20000 = 22500 = 15 0^{2}$

x_{1} = \frac{- 50 + 150}{2} = 50 x_{2} = \frac{- 50 - 150}{2} = - 100 (не задовольняє умову, оскільки x \in N)

Перевіримо умову для остачі ( $r < b$ ):
$x < 0, 04 x^{2}$
$50 < 0, 04 \cdot 5 0^{2}$
$50 < 0, 04 \cdot 2500$
$50 < 100$ — нерівність правильна.

Отже, загадане число дорівнює 50.

Відповідь: 50.

8. Функції. Область визначення, область значень і графік функції

Теги статті:

До уроку