7. Системи лінійних нерівностей з однією змінною, їх розв’язування

Наведіть приклад системи лінійних нерівностей з однією змінною.

Прикладом системи лінійних нерівностей з однією змінною є:
${2 x > 24, 3 x < 39.$

Що називають розв’язком системи нерівностей з однією змінною?

Розв’язком системи нерівностей з однією змінною називають значення змінної, за якого правильною є кожна з нерівностей системи.

Що означає розв’язати систему нерівностей з однією змінною?

Розв’язати систему нерівностей означає знайти всі її розв’язки або довести, що розв’язків немає.

📋 Швидка навігація по вправах:

РОЗВ’ЯЖІТЬ ЗАДАЧІ ТА ВИКОНАЙТЕ ВПРАВИ

№ 7.1. (Усно.) Чи є числа $- 2; - 1; 0; 1; 2$ розв’язками системи:

1) Для системи нерівностей:

{x < 2 x < 0

Перевіримо кожне із запропонованих чисел:

Для $x = - 2$ : $- 2 < 2$ (правильно) та $- 2 < 0$ (правильно).
Для $x = - 1$ : $- 1 < 2$ (правильно) та $- 1 < 0$ (правильно).
Для $x = 0$ : $0 < 2$ (правильно), але $0 < 0$ (неправильно).
Для $x = 1$ : $1 < 0$ (неправильно).
Для $x = 2$ : $2 < 0$ (неправильно).

Відповідь: числа $- 2$ та $- 1$ є розв’язками системи; числа $0; 1; 2$ не є розв’язками.

2) Для системи нерівностей:

{x < 3 x \geq - 1

Перевіримо кожне із запропонованих чисел:

Для $x = - 2$ : $- 2 \geq - 1$ (неправильно).
Для $x = - 1$ : $- 1 < 3$ (правильно) та $- 1 \geq - 1$ (правильно).
Для $x = 0$ : $0 < 3$ (правильно) та $0 \geq - 1$ (правильно).
Для $x = 1$ : $1 < 3$ (правильно) та $1 \geq - 1$ (правильно).
Для $x = 2$ : $2 < 3$ (правильно) та $2 \geq - 1$ (правильно).

Відповідь: числа $- 1; 0; 1; 2$ є розв’язками системи; число $- 2$ не є розв’язком.

3) Для системи нерівностей:

{x \geq - 2 x > 0

Перевіримо кожне із запропонованих чисел:

Для $x = - 2$ : $- 2 > 0$ (неправильно).
Для $x = - 1$ : $- 1 > 0$ (неправильно).
Для $x = 0$ : $0 > 0$ (неправильно).
Для $x = 1$ : $1 \geq - 2$ (правильно) та $1 > 0$ (правильно).
Для $x = 2$ : $2 \geq - 2$ (правильно) та $2 > 0$ (правильно).

Відповідь: числа $1$ та $2$ є розв’язками системи; числа $- 2; - 1; 0$ не є розв’язками.

4) Для системи нерівностей:

{x < 7 x > 8

Перевіримо кожне із запропонованих чисел:

Жодне дійсне число не може одночасно бути меншим за $7$ і більшим за $8$ . Тому нерівність $x > 8$ не виконується для жодного з чисел $- 2; - 1; 0; 1; 2$ .

Відповідь: жодне з чисел не є розв’язком системи.

№ 7.2. (Усно.) Чи є число 2 розв’язком системи:

1) Для системи нерівностей:

{2 x > 3, x < 4;

Підставимо $x = 2$ у нерівності системи:

$2 \cdot 2 = 4 > 3$ — правильна нерівність;

$2 < 4$ — правильна нерівність.

Оскільки обидві нерівності є правильними, число 2 є розв’язком системи.

Відповідь: число 2 є розв’язком системи.

2) Для системи нерівностей:

{x \geq 2, 3 x < 1;

Підставимо $x = 2$ у нерівності системи:

$2 \geq 2$ — правильна нерівність;

$3 \cdot 2 = 6 < 1$ — неправильна нерівність.

Оскільки друга нерівність не виконується, число 2 не є розв’язком системи.

Відповідь: число 2 не є розв’язком системи.

3) Для системи нерівностей:

{x < 0, 3 x \geq 0;

Підставимо $x = 2$ у нерівності системи:

$2 < 0$ — неправильна нерівність.

Перша нерівність є неправильною, тому число 2 не є розв’язком системи.

Відповідь: число 2 не є розв’язком системи.

4) Для системи нерівностей:

{x \geq - 9, 5 x < 11;

Підставимо $x = 2$ у нерівності системи:

$2 \geq - 9$ — правильна нерівність;

$5 \cdot 2 = 10 < 11$ — правильна нерівність.

Оскільки обидві нерівності є правильними, число 2 є розв’язком системи.

Відповідь: число 2 є розв’язком системи.

РОЗВ’ЯЖІТЬ ЗАДАЧІ ТА ВИКОНАЙТЕ ВПРАВИ

№ 7.3. Чи є число $- 1$ розв’язком системи:

1) Для системи нерівностей:

{x > 0 x < 2

Підставимо значення $x = - 1$ у кожну нерівність системи:

$- 1 > 0$ — неправильна числова нерівність;
$- 1 < 2$ — правильна числова нерівність.

Оскільки число $- 1$ не задовольняє першу нерівність системи, воно не є розв’язком цієї системи.

Відповідь: ні.

2) Для системи нерівностей:

{x \leq 0 x > - 2

Підставимо значення $x = - 1$ у кожну нерівність системи:

$- 1 \leq 0$ — правильна числова нерівність;
$- 1 > - 2$ — правильна числова нерівність.

Оскільки значення $x = - 1$ перетворює обидві нерівності на правильні числові нерівності, число $- 1$ є розв’язком цієї системи.

Відповідь: так.

3) Для системи нерівностей:

{x \geq - 1 x < 3

Підставимо значення $x = - 1$ у кожну нерівність системи:

$- 1 \geq - 1$ — правильна числова нерівність;
$- 1 < 3$ — правильна числова нерівність.

Оскільки значення $x = - 1$ задовольняє кожну з нерівностей, воно є розв’язком цієї системи.

Відповідь: так.

4) Для системи нерівностей:

{x < - 1 x > 3

Підставимо значення $x = - 1$ у кожну нерівність системи:

$- 1 < - 1$ — неправильна числова нерівність;
$- 1 > 3$ — неправильна числова нерівність.

Число $- 1$ не задовольняє нерівності системи, тому воно не є розв’язком цієї системи.

Відповідь: ні.

№ 7.4. Розв’яжіть систему нерівностей:

1) Для системи нерівностей:

{x > 4 x > 8

Множиною розв’язків першої нерівності є проміжок $(4; + \infty)$ , а другої — $(8; + \infty)$ .

Знайдемо переріз цих проміжків: $(4; + \infty) \cap (8; + \infty) = (8; + \infty)$ .

Координатна пряма

Відповідь: $(8; + \infty)$ .

2) Для системи нерівностей:

{x > 4 x < 8

Множиною розв’язків першої нерівності є проміжок $(4; + \infty)$ , а другої — $(- \infty; 8)$ .

Знайдемо переріз цих проміжків: $(4; + \infty) \cap (- \infty; 8) = (4; 8)$ .

Координатна пряма

Відповідь: $(4; 8)$ .

3) Для системи нерівностей:

{x < 4 x < 8

Множиною розв’язків першої нерівності є проміжок $(- \infty; 4)$ , а другої — $(- \infty; 8)$ .

Знайдемо переріз цих проміжків: $(- \infty; 4) \cap (- \infty; 8) = (- \infty; 4)$ .

Координатна пряма

Відповідь: $(- \infty; 4)$ .

4) Для системи нерівностей:

{x < 4 x > 8

Множиною розв’язків першої нерівності є проміжок $(- \infty; 4)$ , а другої — $(8; + \infty)$ .

Ці проміжки не мають спільних точок, тому їх переріз є порожньою множиною: $(- \infty; 4) \cap (8; + \infty) = \emptyset$ .

Координатна пряма

Відповідь: $\emptyset$ (розв’язків немає).

№ 7.5. Розв’яжіть систему нерівностей:

1) Для системи нерівностей:

{x > 3 x > 5

Множиною розв’язків першої нерівності є проміжок $(3; + \infty)$ , а другої — $(5; + \infty)$ .

Спільна частина (переріз) цих проміжків:

$(3; + \infty) \cap (5; + \infty) = (5; + \infty)$

Координатна пряма

Відповідь: $(5; + \infty)$ .

2) Для системи нерівностей:

{x > 3 x < 5

Множиною розв’язків першої нерівності є проміжок $(3; + \infty)$ , а другої — $(- \infty; 5)$ .

Переріз цих проміжків:

$(3; + \infty) \cap (- \infty; 5) = (3; 5)$

Координатна пряма

Відповідь: $(3; 5)$ .

3) Для системи нерівностей:

{x < 3 x < 5

Множиною розв’язків першої нерівності є проміжок $(- \infty; 3)$ , а другої — $(- \infty; 5)$ .

Переріз цих проміжків:

$(- \infty; 3) \cap (- \infty; 5) = (- \infty; 3)$

Координатна пряма

Відповідь: $(- \infty; 3)$ .

4) Для системи нерівностей:

{x < 3 x > 5

Множиною розв’язків першої нерівності є проміжок $(- \infty; 3)$ , а другої — $(5; + \infty)$ .

Ці проміжки не перетинаються:

$(- \infty; 3) \cap (5; + \infty) = \emptyset$

Отже, система не має розв’язків.

Координатна пряма

Відповідь: розв’язків немає (або $\emptyset$ ).

№ 7.6. Знайдіть розв’язки системи нерівностей:

1) Для системи нерівностей:

{3 x > 6, - 4 x > - 12;

Поділимо обидві частини першої нерівності на $3$ :

$3 x > 6 ⟹ x > \frac{6}{3} ⟹ x > 2$

Поділимо обидві частини другої нерівності на $- 4$ , змінивши знак нерівності на протилежний:

$- 4 x > - 12 ⟹ x < \frac{- 12}{- 4} ⟹ x < 3$

Отримаємо простішу систему:

{x > 2, x < 3.

Знайдемо переріз проміжків $(2; + \infty)$ та $(- \infty; 3)$ , який дорівнює $(2; 3)$ .

Координатна пряма

Відповідь: $(2; 3)$ .

2) Для системи нерівностей:

{3 x \leq 21, - 3 x \geq - 6;

Розв’яжемо кожну нерівність системи:

$3 x \leq 21 ⟹ x \leq \frac{21}{3} ⟹ x \leq 7$

$- 3 x \geq - 6 ⟹ x \leq \frac{- 6}{- 3} ⟹ x \leq 2$

Отримаємо систему:

{x \leq 7, x \leq 2.

Знайдемо переріз проміжків $(- \infty; 7]$ та $(- \infty; 2]$ , який дорівнює $(- \infty; 2]$ .

Координатна пряма

Відповідь: $(- \infty; 2]$ .

3) Для системи нерівностей:

{0, 2 x \geq 1, 0, 5 x < 1;

Розв’яжемо кожну нерівність системи:

$0, 2 x \geq 1 ⟹ x \geq \frac{1}{0 , 2} ⟹ x \geq 5$

$0, 5 x < 1 ⟹ x < \frac{1}{0 , 5} ⟹ x < 2$

Отримаємо систему:

{x \geq 5, x < 2.

Проміжки $[5; + \infty)$ та $(- \infty; 2)$ не мають спільних точок, тому система не має розв’язків.

Координатна пряма

Відповідь: $\emptyset$ (розв’язків немає).

4) Для системи нерівностей:

⎩ ⎨ ⎧ \frac{1}{4} x < 2, \frac{1}{3} x \leq 5;

Помножимо обидві частини першої нерівності на $4$ :

$\frac{1}{4} x < 2 ⟹ x < 2 \cdot 4 ⟹ x < 8$

Помножимо обидві частини другої нерівності на $3$ :

$\frac{1}{3} x \leq 5 ⟹ x \leq 5 \cdot 3 ⟹ x \leq 15$

Отримаємо систему:

{x < 8, x \leq 15.

Знайдемо переріз проміжків $(- \infty; 8)$ та $(- \infty; 15]$ , який дорівнює $(- \infty; 8)$ .

Координатна пряма

Відповідь: $(- \infty; 8)$ .

№ 7.7. Розв’яжіть систему нерівностей:

1) Для системи нерівностей:

{5 x < 15 - 4 x < 8

Розв’яжемо кожну нерівність системи:

$5 x < 15 ⟹ x < \frac{15}{5} ⟹ x < 3$ ;

$- 4 x < 8 ⟹ x > \frac{8}{- 4}$ (змінюємо знак нерівності при діленні на $- 4$ ) $⟹ x > - 2$ .

Отримаємо систему:

{x < 3 x > - 2

Знайдемо переріз проміжків $(- \infty; 3)$ та $(- 2; + \infty)$ , який дорівнює $(- 2; 3)$ .

Координатна пряма

Відповідь: $(- 2; 3)$ .

2) Для системи нерівностей:

{5 x < - 5 - 7 x > - 28

Розв’яжемо кожну нерівність системи:

$5 x < - 5 ⟹ x < \frac{- 5}{5} ⟹ x < - 1$ ;

$- 7 x > - 28 ⟹ x < \frac{- 28}{- 7}$ (змінюємо знак нерівності при діленні на $- 7$ ) $⟹ x < 4$ .

Отримаємо систему:

{x < - 1 x < 4

Знайдемо переріз проміжків $(- \infty; - 1)$ та $(- \infty; 4)$ , який дорівнює $(- \infty; - 1)$ .

Координатна пряма

Відповідь: $(- \infty; - 1)$ .

3) Для системи нерівностей:

{0, 1 x > 3 0, 2 x \leq 5

Розв’яжемо кожну нерівність системи:

$0, 1 x > 3 ⟹ x > \frac{3}{0 , 1} ⟹ x > 30$ ;

$0, 2 x \leq 5 ⟹ x \leq \frac{5}{0 , 2} ⟹ x \leq 25$ .

Отримаємо систему:

{x > 30 x \leq 25

Проміжки $(30; + \infty)$ та $(- \infty; 25]$ не мають спільних точок, тому їх переріз є порожньою множиною.

Координатна пряма

Відповідь: розв’язків немає ( $x \in \emptyset$ ).

4) Для системи нерівностей:

⎩ ⎨ ⎧ \frac{1}{3} x \leq 2 \frac{1}{8} x < 5

Розв’яжемо кожну нерівність системи:

Помножимо обидві частини першої нерівності на $3$ :

$\frac{1}{3} x \leq 2 ⟹ x \leq 2 \cdot 3 ⟹ x \leq 6$

Помножимо обидві частини другої нерівності на $8$ :

$\frac{1}{8} x < 5 ⟹ x < 5 \cdot 8 ⟹ x < 40$

Отримаємо систему:

{x \leq 6 x < 40

Знайдемо переріз проміжків $(- \infty; 6]$ та $(- \infty; 40)$ , який дорівнює $(- \infty; 6]$ .

Координатна пряма

Відповідь: $(- \infty; 6]$ .

№ 7.8. Знайдіть множину розв’язків системи нерівностей:

1) Для системи нерівностей:

{x - 3 > 1 x - 6 < 3

Розв’яжемо кожну нерівність системи:

{x > 1 + 3 x < 3 + 6

{x > 4 x < 9

Спільною частиною розв’язків на числовій прямій є проміжок $(4; 9)$ .

Координатна пряма

Відповідь: $(4; 9)$ .

2) Для системи нерівностей:

{x - 7 < - 2 x - 2 > 8

Розв’яжемо кожну нерівність системи:

{x < - 2 + 7 x > 8 + 2

{x < 5 x > 10

Нерівності $x < 5$ та $x > 10$ не мають спільних розв’язків. Переріз цих множин є порожньою множиною.

Координатна пряма

Відповідь: $\emptyset$ .

3) Для системи нерівностей:

{x + 2 \leq - 7 - 2 x \geq - 14

Розв’яжемо кожну нерівність системи:

$x + 2 \leq - 7 ⟹ x \leq - 7 - 2 ⟹ x \leq - 9$

$- 2 x \geq - 14 ⟹ x \leq \frac{- 14}{- 2} ⟹ x \leq 7$

Маємо систему:

{x \leq - 9 x \leq 7

Спільною частиною розв’язків є проміжок $(- \infty; - 9]$ .

Координатна пряма

Відповідь: $(- \infty; - 9]$ .

№ 7.9. Розв’яжіть систему нерівностей та вкажіть два числа, що є її розв’язками:

1) Розв’яжемо систему нерівностей:

{3 x + 1 < 5 x 5, 2 - 2 x > 0, 6 x

Розв’яжемо першу нерівність системи:

$3 x - 5 x < - 1$

$- 2 x < - 1$

$x > 0, 5$

Розв’яжемо другу нерівність системи:

$- 2 x - 0, 6 x > - 5, 2$

$- 2, 6 x > - 5, 2$

$x < \frac{- 5 , 2}{- 2 , 6}$

$x < 2$

Маємо систему:

{x > 0, 5 x < 2

Розв’язком системи є проміжок $(0, 5; 2)$ .

Два числа, що є розв’язками цієї системи: $1$ та $1, 5$ .

Координатна пряма

Відповідь: $(0, 5; 2)$ ; числа $1$ та $1, 5$ .

2) Розв’яжемо систему нерівностей:

{1, 5 x + 1 > 3 x - 2 x - 2 < 4 - 2 x

Розв’яжемо першу нерівність системи:

$1, 5 x - 3 x > - 2 - 1$

$- 1, 5 x > - 3$

$x < \frac{- 3}{- 1 , 5}$

$x < 2$

Розв’яжемо другу нерівність системи:

$x + 2 x < 4 + 2$

$3 x < 6$

$x < 2$

Маємо систему:

{x < 2 x < 2 ⟹ x < 2

Розв’язком системи є проміжок $(- \infty; 2)$ .

Два числа, що є розв’язками цієї системи: $0$ та $1$ .

Координатна пряма

Відповідь: $(- \infty; 2)$ ; числа $0$ та $1$ .

3) Розв’яжемо систему нерівностей:

{9 - x < 6 x + 2 x + 8 < 11

Розв’яжемо першу нерівність системи:

$- x - 6 x < 2 - 9$

$- 7 x < - 7$

$x > 1$

Розв’яжемо другу нерівність системи:

$x < 11 - 8$

$x < 3$

Маємо систему:

{x > 1 x < 3

Розв’язком системи є проміжок $(1; 3)$ .

Два числа, що є розв’язками цієї системи: $1, 5$ та $2$ .

Координатна пряма

Відповідь: $(1; 3)$ ; числа $1, 5$ та $2$ .

4) Розв’яжемо систему нерівностей:

{4 (x + 2) < 5 x x - 3 > 4, 2

Розкриємо дужки та розв’яжемо першу нерівність:

$4 x + 8 < 5 x$

$4 x - 5 x < - 8$

$- x < - 8$

$x > 8$

Розв’яжемо другу нерівність системи:

$x > 4, 2 + 3$

$x > 7, 2$

Маємо систему:

{x > 8 x > 7, 2 ⟹ x > 8

Розв’язком системи є проміжок $(8; + \infty)$ .

Два числа, що є розв’язками цієї системи: $9$ та $10$ .

Координатна пряма

Відповідь: $(8; + \infty)$ ; числа $9$ та $10$ .

№ 7.10. Розв’яжіть систему нерівностей та вкажіть два числа, що є її розв’язками:

1) Розв’яжемо систему нерівностей:

{x + 4 > 3 x 1, 4 - 0, 2 x > 0, 5 x

Розв’яжемо кожну нерівність системи:

$x - 3 x > - 4 ⟹ - 2 x > - 4 ⟹ x < 2$

$- 0, 2 x - 0, 5 x > - 1, 4 ⟹ - 0, 7 x > - 1, 4 ⟹ x < \frac{- 1 , 4}{- 0 , 7} ⟹ x < 2$

Маємо систему:

{x < 2 x < 2 ⟹ x < 2

Розв’язком системи є проміжок $(- \infty; 2)$ .

Два числа, що є розв’язками цієї системи: $0$ та $1$ .

Координатна пряма

Відповідь: $(- \infty; 2)$ ; числа $0$ та $1$ .

2) Розв’яжемо систему нерівностей:

{6 x - 1 < 7 x + 2 x + 1, 8 > 2

Розв’яжемо кожну нерівність системи:

$6 x - 7 x < 2 + 1 ⟹ - x < 3 ⟹ x > - 3$

$x > 2 - 1, 8 ⟹ x > 0, 2$

Маємо систему:

{x > - 3 x > 0, 2 ⟹ x > 0, 2

Розв’язком системи є проміжок $(0, 2; + \infty)$ .

Два числа, що є розв’язками цієї системи: $1$ та $2$ .

Координатна пряма

Відповідь: $(0, 2; + \infty)$ ; числа $1$ та $2$ .

3) Розв’яжемо систему нерівностей:

{1, 5 x - 1 > 6, 5 x - 2 x + 6 > 2 - 3 x

Розв’яжемо кожну нерівність системи:

$1, 5 x - 6, 5 x > - 2 + 1 ⟹ - 5 x > - 1 ⟹ x < 0, 2$

$x + 3 x > 2 - 6 ⟹ 4 x > - 4 ⟹ x > - 1$

Маємо систему:

{x < 0, 2 x > - 1 ⟹ - 1 < x < 0, 2

Розв’язком системи є проміжок $(- 1; 0, 2)$ .

Два числа, що є розв’язками цієї системи: $- 0, 5$ та $0$ .

Координатна пряма

Відповідь: $(- 1; 0, 2)$ ; числа $- 0, 5$ та $0$ .

4) Розв’яжемо систему нерівностей:

{3 (x + 2) < 4 x x - 2, 7 > 3, 3

Розв’яжемо кожну нерівність системи:

$3 x + 6 < 4 x ⟹ 3 x - 4 x < - 6 ⟹ - x < - 6 ⟹ x > 6$

$x > 3, 3 + 2, 7 ⟹ x > 6$

Маємо систему:

{x > 6 x > 6 ⟹ x > 6

Розв’язком системи є проміжок $(6; + \infty)$ .

Два числа, що є розв’язками цієї системи: $7$ та $8$ .

Координатна пряма

Відповідь: $(6; + \infty)$ ; числа $7$ та $8$ .

№ 7.11. Розв’яжіть подвійну нерівність:

1) $3 < 3 x \leq 9$

Поділимо всі частини подвійної нерівності на $3$ :

$\frac{3}{3} < \frac{3 x}{3} \leq \frac{9}{3}$

$1 < x \leq 3$

Звідси $x \in (1; 3]$ .

Координатна пряма

Відповідь: $(1; 3]$ .

2) $- 1 \leq \frac{x}{2} \leq 4$

Помножимо всі частини подвійної нерівності на $2$ :

$- 1 \cdot 2 \leq \frac{x}{2} \cdot 2 \leq 4 \cdot 2$

$- 2 \leq x \leq 8$

Звідси $x \in [- 2; 8]$ .

Координатна пряма

Відповідь: $[- 2; 8]$ .

3) $0 \leq x - 1 \leq 5$

Додамо число $1$ до всіх частин подвійної нерівності:

$0 + 1 \leq x - 1 + 1 \leq 5 + 1$

$1 \leq x \leq 6$

Звідси $x \in [1; 6]$ .

Координатна пряма

Відповідь: $[1; 6]$ .

4) $11 < x + 7 < 13$

Віднімемо число $7$ від усіх частин подвійної нерівності:

$11 - 7 < x + 7 - 7 < 13 - 7$

$4 < x < 6$

Звідси $x \in (4; 6)$ .

Координатна пряма

Відповідь: $(4; 6)$ .

№ 7.12. Розв’яжіть подвійну нерівність:

1) $2 \leq 2 x < 10$

Поділимо всі частини подвійної нерівності на $2$ :

$\frac{2}{2} \leq \frac{2 x}{2} < \frac{10}{2}$

$1 \leq x < 5$

Звідси $x \in [1; 5)$ .

Координатна пряма

Відповідь: $[1; 5)$ .

2) $- 2 < \frac{x}{5} \leq 1$

Помножимо всі частини подвійної нерівності на $5$ :

$- 2 \cdot 5 < \frac{x}{5} \cdot 5 \leq 1 \cdot 5$

$- 10 < x \leq 5$

Звідси $x \in (- 10; 5]$ .

Координатна пряма

Відповідь: $(- 10; 5]$ .

3) $10 < x - 5 < 12$

Додамо число $5$ до всіх частин подвійної нерівності:

$10 + 5 < x - 5 + 5 < 12 + 5$

$15 < x < 17$

Звідси $x \in (15; 17)$ .

Координатна пряма

Відповідь: $(15; 17)$ .

4) $7 \leq x + 1 \leq 8$

Віднімемо число $1$ від усіх частин подвійної нерівності:

$7 - 1 \leq x + 1 - 1 \leq 8 - 1$

$6 \leq x \leq 7$

Звідси $x \in [6; 7]$ .

Координатна пряма

Відповідь: $[6; 7]$ .

№ 7.13. Знайдіть усі цілі розв’язки подвійної нерівності:

1) $- 2 \leq 2 x < 4$ ;

Координатна пряма
2) $1, 3 < x - 2 \leq 2, 7$ .

Координатна пряма

1) Поділимо всі частини подвійної нерівності на $2$ :

$\frac{- 2}{2} \leq \frac{2 x}{2} < \frac{4}{2}$

$- 1 \leq x < 2$

Множиною розв’язків нерівності є числовий проміжок $[- 1; 2)$ .

Цілі числа, що належать цьому проміжку: $- 1; 0; 1$ .

Координатна пряма

Відповідь: $- 1; 0; 1$ .

2) Додамо число $2$ до всіх частин подвійної нерівності:

$1, 3 + 2 < x - 2 + 2 \leq 2, 7 + 2$

$3, 3 < x \leq 4, 7$

Множиною розв’язків нерівності є числовий проміжок $(3, 3; 4, 7]$ .

Єдиним цілим числом, що належить цьому проміжку, є $4$ .

Координатна пряма

Відповідь: $4$ .

№ 7.14. Розв’яжіть систему нерівностей:

1) Розв’яжемо систему нерівностей:

{2, 6 + x > 5 (x + 1) - 6 2 (x - 0, 4) - x < 3 x - 0, 5

Розв’яжемо першу нерівність системи:

$2, 6 + x > 5 x + 5 - 6$

$2, 6 + x > 5 x - 1$

$x - 5 x > - 1 - 2, 6$

$- 4 x > - 3, 6$

Поділимо обидві частини нерівності на $- 4$ , змінивши знак нерівності на протилежний:

$x < 0, 9$

Розв’яжемо другу нерівність системи:

$2 x - 0, 8 - x < 3 x - 0, 5$

$x - 0, 8 < 3 x - 0, 5$

$x - 3 x < - 0, 5 + 0, 8$

$- 2 x < 0, 3$

Поділимо обидві частини нерівності на $- 2$ , змінивши знак нерівності на протилежний:

$x > - 0, 15$

Знайдемо переріз розв’язків обох нерівностей:

{x < 0, 9 x > - 0, 15

Отже, $x \in (- 0, 15; 0, 9)$ .

Координатна пряма

Відповідь: $(- 0, 15; 0, 9)$ .

2) Розв’яжемо систему нерівностей:

{1, 2 (3 - x) - 6 > 0, 8 x - 2 (1 - 4 x) - x < 5 x

Розв’яжемо першу нерівність системи:

$3, 6 - 1, 2 x - 6 > 0, 8 x$

$- 2, 4 - 1, 2 x > 0, 8 x$

$- 1, 2 x - 0, 8 x > 2, 4$

$- 2 x > 2, 4$

Поділимо обидві частини нерівності на $- 2$ , змінивши знак нерівності на протилежний:

$x < - 1, 2$

Розв’яжемо другу нерівність системи:

$- 2 + 8 x - x < 5 x$

$7 x - 2 < 5 x$

$7 x - 5 x < 2$

$2 x < 2$

$x < 1$

Знайдемо переріз розв’язків обох нерівностей:

{x < - 1, 2 x < 1

Отже, $x \in (- \infty; - 1, 2)$ .

Координатна пряма

Відповідь: $(- \infty; - 1, 2)$ .

№ 7.15. Розв’яжіть систему нерівностей:

1) Розв’яжемо систему нерівностей:

{2 (x + 3) - 4 < x - 8 6 x + 1 > 3 (x + 1)

Розв’яжемо першу нерівність системи:

$2 x + 6 - 4 < x - 8$

$2 x + 2 < x - 8$

$2 x - x < - 8 - 2$

$x < - 10$

Розв’яжемо другу нерівність системи:

$6 x + 1 > 3 x + 3$

$6 x - 3 x > 3 - 1$

$3 x > 2$

$x > \frac{2}{3}$

Запишемо систему з отриманих нерівностей:

⎩ ⎨ ⎧ x < - 10 x > \frac{2}{3}

Оскільки проміжки $(- \infty; - 10)$ та $(\frac{2}{3}; + \infty)$ не мають спільних точок, система не має розв’язків ( $x \in \emptyset$ ).

Координатна пряма

Відповідь: розв’язків немає (або $\emptyset$ ).

2) Розв’яжемо систему нерівностей:

{- (x - 2) - 3 (x - 1) < 2 x 12 - (x - 3) \leq 5 x + 5

Розв’яжемо першу нерівність системи:

$- x + 2 - 3 x + 3 < 2 x$

$- 4 x + 5 < 2 x$

$- 4 x - 2 x < - 5$

$- 6 x < - 5$

$x > \frac{5}{6}$

Розв’яжемо другу нерівність системи:

$12 - x + 3 \leq 5 x + 5$

$15 - x \leq 5 x + 5$

$- x - 5 x \leq 5 - 15$

$- 6 x \leq - 10$

$x \geq \frac{10}{6}$

$x \geq \frac{5}{3}$

$x \geq 1 \frac{2}{3}$

Знайдемо переріз розв’язків:

⎩ ⎨ ⎧ x > \frac{5}{6} x \geq 1 \frac{2}{3}

Оскільки $1 \frac{2}{3} > \frac{5}{6}$ , спільним розв’язком є $x \geq 1 \frac{2}{3}$ , тобто $x \in [1 \frac{2}{3}; + \infty)$ .

Координатна пряма

Відповідь: $[1 \frac{2}{3}; + \infty)$ .

№ 7.16. За яких значень $x$ кожна з функцій $y = 0, 3 x - 1, 8$ і $y = 0, 2 x - 1, 2$ набуває невід’ємних значень?

Функція набуває невід’ємних значень, якщо її значення більше або дорівнює нулю ( $y \geq 0$ ).

Складемо та розв’яжемо систему нерівностей:

{0, 3 x - 1, 8 \geq 0 0, 2 x - 1, 2 \geq 0

Розв’яжемо першу нерівність:

$0, 3 x \geq 1, 8$

$x \geq \frac{1 , 8}{0 , 3}$

$x \geq 6$

Розв’яжемо другу нерівність:

$0, 2 x \geq 1, 2$

$x \geq \frac{1 , 2}{0 , 2}$

$x \geq 6$

Отримуємо систему:

{x \geq 6 x \geq 6 ⟹ x \geq 6

Координатна пряма

Відповідь: при $x \geq 6$ (або $x \in [6; + \infty)$ ).

№ 7.17. Знайдіть усі цілі розв’язки системи нерівностей:

1) Розв’яжемо систему нерівностей:

⎩ ⎨ ⎧ \frac{x}{5} > \frac{x + 1}{6} 2 (x + 1) + 5 > 3 (x - 5) + 14

Розв’яжемо першу нерівність системи, помноживши обидві частини на $30$ :

$30 \cdot \frac{x}{5} > 30 \cdot \frac{x + 1}{6}$

$6 x > 5 (x + 1)$

$6 x > 5 x + 5$

$6 x - 5 x > 5$

$x > 5$

Розв’яжемо другу нерівність системи:

$2 x + 2 + 5 > 3 x - 15 + 14$

$2 x + 7 > 3 x - 1$

$2 x - 3 x > - 1 - 7$

$- x > - 8$

Поділимо обидві частини нерівності на $- 1$ :

$x < 8$

Знайдемо розв’язки системи:

${x > 5 x < 8 ⟹ x \in (5; 8)$

Визначимо цілі числа, які належать проміжку $(5; 8)$ : це числа $6$ і $7$ .

Координатна пряма

Відповідь: $6; 7$ .

2) Розв’яжемо систему нерівностей:

⎩ ⎨ ⎧ \frac{5 x + 3}{2} \leq 3 x + 1 (x + 1) x - 2 \leq x (x - 3) + 6

Розв’яжемо першу нерівність системи, помноживши обидві частини на $2$ :

$5 x + 3 \leq 2 (3 x + 1)$

$5 x + 3 \leq 6 x + 2$

$5 x - 6 x \leq 2 - 3$

$- x \leq - 1$

Поділимо обидві частини нерівності на $- 1$ :

$x \geq 1$

Розв’яжемо другу нерівність системи:

$x^{2} + x - 2 \leq x^{2} - 3 x + 6$

Віднімемо $x^{2}$ від обох частин нерівності:

$x - 2 \leq - 3 x + 6$

$x + 3 x \leq 6 + 2$

$4 x \leq 8$

$x \leq 2$

Знайдемо розв’язки системи:

${x \geq 1 x \leq 2 ⟹ x \in [1; 2]$

Визначимо цілі числа, що належать проміжку $[1; 2]$ : це числа $1$ і $2$ .

Координатна пряма

Відповідь: $1; 2$ .

7.18. Знайдіть усі цілі розв’язки системи нерівностей:

1) Розв’яжемо систему нерівностей:

⎩ ⎨ ⎧ \frac{x}{2} > \frac{x - 3}{3} 3 (x + 1) - 5 < 2 (x - 3) + 4

Розв’яжемо першу нерівність системи, помноживши обидві її частини на спільний знаменник $6$ :

$6 \cdot \frac{x}{2} > 6 \cdot \frac{x - 3}{3}$

$3 x > 2 (x - 3)$

$3 x > 2 x - 6$

$3 x - 2 x > - 6$

$x > - 6$

Розв’яжемо другу нерівність системи:

$3 (x + 1) - 5 < 2 (x - 3) + 4$

$3 x + 3 - 5 < 2 x - 6 + 4$

$3 x - 2 < 2 x - 2$

$3 x - 2 x < - 2 + 2$

$x < 0$

Знайдемо переріз розв’язків нерівностей:

${x > - 6 x < 0 ⟹ x \in (- 6; 0)$

Визначимо цілі числа, які належать проміжку $(- 6; 0)$ : це числа $- 5; - 4; - 3; - 2; - 1$ .

Координатна пряма

Відповідь: $- 5; - 4; - 3; - 2; - 1$ .

2) Розв’яжемо систему нерівностей:

⎩ ⎨ ⎧ \frac{3 x - 1}{4} \leq x - 2 (x - 2) x - 5 \geq x (x + 1) - 29

Розв’яжемо першу нерівність системи, помноживши обидві частини на $4$ :

$\frac{3 x - 1}{4} \leq x - 2$

$3 x - 1 \leq 4 (x - 2)$

$3 x - 1 \leq 4 x - 8$

$3 x - 4 x \leq - 8 + 1$

$- x \leq - 7 \cdot (- 1)$

$x \geq 7$

Розв’яжемо другу нерівність системи:

$(x - 2) x - 5 \geq x (x + 1) - 29$

$x^{2} - 2 x - 5 \geq x^{2} + x - 29$

$x^{2} - 2 x - x^{2} - x \geq - 29 + 5$

$- 3 x \geq - 24 : (- 3)$

$x \leq 8$

Знайдемо переріз отриманих проміжків:

${x \geq 7 x \leq 8 ⟹ x \in [7; 8]$

Цілими розв’язками на проміжку $[7; 8]$ є числа $7$ та $8$ .

Координатна пряма

Відповідь: $7; 8$ .

7.19. Знайдіть суму всіх цілих розв’язків системи нерівностей:

⎩ ⎨ ⎧ x (x - 2) > x^{2} - 45 \frac{x}{3} - \frac{2 x}{5} < \frac{6}{5}

Розв’яжемо першу нерівність системи:

$x^{2} - 2 x > x^{2} - 45$

$x^{2} - 2 x - x^{2} > - 45$

$- 2 x > - 45$

$x < 22, 5$

Розв’яжемо другу нерівність системи, помноживши обидві її частини на $15$ :

$15 \cdot \frac{x}{3} - 15 \cdot \frac{2 x}{5} < 15 \cdot \frac{6}{5}$

$5 x - 6 x < 18$

$- x < 18$

$x > - 18$

Запишемо розв’язки у вигляді системи:

{x < 22, 5 x > - 18

$x \in (- 18; 22, 5)$

Цілими розв’язками системи є числа від $- 17$ до $22$ включно:

$- 17, - 16, - 15, \dots, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22$

Обчислимо суму цих цілих розв’язків. Оскільки сума протилежних чисел від $- 17$ до $17$ дорівнює $0$ , додаємо лише числа, що залишилися:

$S = 18 + 19 + 20 + 21 + 22 = 100$

Координатна пряма

Відповідь: $100$ .

7.20. Знайдіть найменше ціле число, що є розв’язком системи:

1) Для системи нерівностей:

{5 (2 x - 1) + 3 > 2 (x - 1) + 7 x 6 (1 - x) + 2 \geq 3 (x + 1) - 7 x

Розв’яжемо першу нерівність системи:

$10 x - 5 + 3 > 2 x - 2 + 7 x$

$10 x - 2 > 9 x - 2$

$10 x - 9 x > - 2 + 2$

$x > 0$

Розв’яжемо другу нерівність системи:

$6 - 6 x + 2 \geq 3 x + 3 - 7 x$

$8 - 6 x \geq - 4 x + 3$

$- 6 x + 4 x \geq 3 - 8$

$- 2 x \geq - 5$

$x \leq 2, 5$

Знайдемо спільні розв’язки обох нерівностей:

{x > 0 x \leq 2, 5 ⟹ x \in (0; 2, 5]

Цілі числа у цьому проміжку: $1$ та $2$ . Найменшим із них є $1$ .

Координатна пряма

Відповідь: $1$ .

2) Для системи нерівностей:

⎩ ⎨ ⎧ \frac{3 x + 2}{2} \geq 2 (2 x + 1) (x + 5) (x - 3) \geq x (x - 1) - 21

Розв’яжемо першу нерівність системи:

$\frac{3 x + 2}{2} \geq 4 x + 2$

$3 x + 2 \geq 2 (4 x + 2)$

$3 x + 2 \geq 8 x + 4$

$3 x - 8 x \geq 4 - 2$

$- 5 x \geq 2$

$x \leq - 0, 4$

Розв’яжемо другу нерівність системи:

$x^{2} - 3 x + 5 x - 15 \geq x^{2} - x - 21$

$x^{2} + 2 x - 15 \geq x^{2} - x - 21$

$2 x + x \geq - 21 + 15$

$3 x \geq - 6$

$x \geq - 2$

Знайдемо спільні розв’язки обох нерівностей:

{x \leq - 0, 4 x \geq - 2 ⟹ x \in [- 2; - 0, 4]

Цілі числа на проміжку $[- 2; - 0, 4]$ — це $- 2$ та $- 1$ . Найменшим цілим розв’язком є $- 2$ .

Координатна пряма

Відповідь: $- 2$ .

7.21. Знайдіть найбільше ціле число, що є розв’язком системи:

1) Розв’яжемо систему нерівностей:

{3 (2 x - 2) + 7 > 4 (x - 1) - 13 5 (1 - x) + 3 \geq 2 (x + 1) - 2 x

Розв’яжемо першу нерівність системи:

$6 x - 6 + 7 > 4 x - 4 - 13$

$6 x + 1 > 4 x - 17$

$6 x - 4 x > - 17 - 1$

$2 x > - 18$

$x > - 9$

Розв’яжемо другу нерівність системи:

$5 - 5 x + 3 \geq 2 x + 2 - 2 x$

$8 - 5 x \geq 2$

$- 5 x \geq 2 - 8$

$- 5 x \geq - 6$

$x \leq 1, 2$

Отримаємо розв’язок системи:

${x > - 9 x \leq 1, 2 ⟹ x \in (- 9; 1, 2]$

Цілими розв’язками є числа: $- 8$ , $- 7$ , $- 6$ , $- 5$ , $- 4$ , $- 3$ , $- 2$ , $- 1$ , $0$ , $1$ . Найбільшим серед них є число $1$ .

Координатна пряма

Відповідь: $1$ .

2) Розв’яжемо систему нерівностей:

⎩ ⎨ ⎧ \frac{5 x + 1}{3} \geq 4 (2 x + 1) (x + 2) (x - 5) \geq x (x + 1) - 10

Розв’яжемо першу нерівність системи:

$\frac{5 x + 1}{3} \geq 8 x + 4$

$5 x + 1 \geq 3 (8 x + 4)$

$5 x + 1 \geq 24 x + 12$

$5 x - 24 x \geq 12 - 1$

$- 19 x \geq 11$

$x \leq - \frac{11}{19}$

Розв’яжемо другу нерівність системи:

$x^{2} - 5 x + 2 x - 10 \geq x^{2} + x - 10$

$x^{2} - 3 x - 10 \geq x^{2} + x - 10$

$- 3 x - x \geq - 10 + 10$

$- 4 x \geq 0$

$x \leq 0$

Отримаємо розв’язок системи:

$⎩ ⎨ ⎧ x \leq - \frac{11}{19} x \leq 0 ⟹ x \in (- \infty; - \frac{11}{19}]$

Оскільки $- \frac{11}{19} \approx - 0, 58$ , найбільшим цілим числом, яке належить цьому проміжку, є число $- 1$ .

Координатна пряма

Відповідь: $- 1$ .

7.22. Український борець греко-римського стилю Жан Беленюк має унікальну колекцію нагород з міжнародних турнірів. Розв’яжіть систему нерівностей. Знайдіть добуток $101 x_{0}$ , де $x_{0}$ — найбільший цілий розв’язок системи нерівностей, відтак дізнаєтеся, якого року Жан здобув свою найвищу нагороду — став олімпійським чемпіоном.

{x (x - 1) - (x - 1)^{2} > 3 - x (2 x - 9) (2 x + 9) < (2 x - 1)^{2}

1) Розв’яжемо першу нерівність системи:

$x^{2} - x - (x^{2} - 2 x + 1) > 3 - x$

$x^{2} - x - x^{2} + 2 x - 1 > 3 - x$

$x - 1 > 3 - x$

$x + x > 3 + 1$

$2 x > 4$

$x > 2$

Координатна пряма

2) Розв’яжемо другу нерівність системи, застосувавши формули скороченого множення (різницю квадратів та квадрат двочлена):

$4 x^{2} - 81 < 4 x^{2} - 4 x + 1$

$4 x^{2} - 81 - 4 x^{2} + 4 x < 1$

$4 x < 1 + 81$

$4 x < 82$

$x < 20, 5$

3) Запишемо та розв’яжемо систему нерівностей:

{x > 2 x < 20, 5

$x \in (2; 20, 5)$

4) Знайдемо найбільший цілий розв’язок системи $x_{0}$ :

На проміжку $(2; 20, 5)$ найбільшим цілим числом є $x_{0} = 20$ .

5) Обчислимо шуканий добуток:

$101 \cdot x_{0} = 101 \cdot 20 = 2020$

Отже, Жан Беленюк здобув золото на Олімпійських іграх у Токіо 2020 (які через пандемію відбулися 2021 року, зберігши офіційну назву «Токіо-2020»).

Відповідь: $2020$ .

№ 7.23. Знайдіть область допустимих значень змінної у виразі:

1) $2 x + 7 + 1 - 5 x$ ;

Координатна пряма
2) $0, 3 x - 6 + \frac{1}{4 x - 8}$ .

Координатна пряма

1) $2 x + 7 + 1 - 5 x$

Арифметичний квадратний корінь існує тільки тоді, коли підкореневий вираз є невід’ємним. Складемо та розв’яжемо систему нерівностей:

{2 x + 7 \geq 0 1 - 5 x \geq 0

{2 x \geq - 7 - 5 x \geq - 1

При діленні другої нерівності на від’ємне число $- 5$ змінюємо знак нерівності на протилежний:

{x \geq - 3, 5 x \leq 0, 2

Знайдемо переріз отриманих проміжків: $x \in [- 3, 5; 0, 2]$ .

Координатна пряма

Відповідь: $[- 3, 5; 0, 2]$ .

2) $0, 3 x - 6 + \frac{1}{4 x - 8}$

Вираз під першим квадратним коренем має бути невід’ємним ( $0, 3 x - 6 \geq 0$ ).

Вираз під другим квадратним коренем знаходиться у знаменнику дробу, тому він має бути суворо більшим за нуль ( $4 x - 8 > 0$ ):

{0, 3 x - 6 \geq 0 4 x - 8 > 0

{0, 3 x \geq 6 4 x > 8

⎩ ⎨ ⎧ x \geq \frac{6}{0 , 3} x > \frac{8}{4}

{x \geq 20 x > 2

Спільні розв’язки обох нерівностей утворюють проміжок: $x \in [20; + \infty)$ .

Координатна пряма

Відповідь: $[20; + \infty)$ .

№ 7.24. Знайдіть область визначення функції:

1) $y = 10 - 2 x + 3 x + 18$ ;

Координатна пряма
2) $y = \frac{1}{2 x - 0 , 8} + 3 x + 0, 06$ .

Координатна пряма

1) Область визначення функції складається з усіх значень $x$ , при яких підкореневі вирази є невід’ємними:

{10 - 2 x \geq 0 3 x + 18 \geq 0

{- 2 x \geq - 10 3 x \geq - 18

Поділимо першу нерівність на $- 2$ (змінивши знак нерівності на протилежний), а другу — на $3$ :

{x \leq 5 x \geq - 6

Знайдемо переріз числових проміжків:

$x \in [- 6; 5]$

Координатна пряма

Відповідь: $[- 6; 5]$ .

2) Вираз під коренем у знаменнику повинен бути строго додатним, а другий підкореневий вираз — невід’ємним:

{2 x - 0, 8 > 0 3 x + 0, 06 \geq 0

{2 x > 0, 8 3 x \geq - 0, 06

{x > 0, 4 x \geq - 0, 02

Знайдемо переріз двох проміжків $[- 0, 02; + \infty)$ та $(0, 4; + \infty)$ :

$x \in (0, 4; + \infty)$

Координатна пряма

Відповідь: $(0, 4; + \infty)$ .

№ 7.25. Знайдіть множину розв’язків подвійної нерівності:

1) $0 < \frac{x}{3} - 1 \leq 2$

Додамо $1$ до всіх частин подвійної нерівності:

$0 + 1 < \frac{x}{3} \leq 2 + 1$

$1 < \frac{x}{3} \leq 3$

Помножимо всі частини нерівності на $3$ :

$3 < x \leq 9$

Координатна пряма

Відповідь: $(3; 9]$ .

2) $- 2 < - \frac{x}{2} + 3 < 4$

Віднімемо $3$ від усіх частин подвійної нерівності:

$- 2 - 3 < - \frac{x}{2} < 4 - 3$

$- 5 < - \frac{x}{2} < 1$

Помножимо всі частини на $- 2$ , змінюючи знаки нерівності на протилежні:

$10 > x > - 2$

Запишемо у звичайному порядку:

$- 2 < x < 10$

Координатна пряма

Відповідь: $(- 2; 10)$ .

3) $- 5 < \frac{2 x + 1}{3} < - 1$

Помножимо всі частини нерівності на $3$ :

$- 15 < 2 x + 1 < - 3$

Віднімемо $1$ від усіх частин:

$- 16 < 2 x < - 4$

Поділимо всі частини на $2$ :

$- 8 < x < - 2$

Координатна пряма

Відповідь: $(- 8; - 2)$ .

4) $0 \leq \frac{1 - 2 x}{3} \leq 8$

Помножимо всі частини нерівності на $3$ :

$0 \leq 1 - 2 x \leq 24$

Віднімемо $1$ від усіх частин:

$- 1 \leq - 2 x \leq 23$

Поділимо всі частини на $- 2$ , змінюючи знаки нерівності на протилежні:

$\frac{1}{2} \geq x \geq - \frac{23}{2}$

$- 11, 5 \leq x \leq 0, 5$

Координатна пряма

Відповідь: $[- 11, 5; 0, 5]$ .

№ 7.26. Розв’яжіть подвійну нерівність:

1) $- 1 < \frac{x}{3} + 1 \leq 0$

Віднімемо $1$ від усіх частин нерівності:

$- 2 < \frac{x}{3} \leq - 1$

Помножимо всі частини на $3$ :

$- 6 < x \leq - 3$

Координатна пряма

Відповідь: $(- 6; - 3]$ .

2) $3 < - \frac{x}{5} + 1 \leq 7$

Віднімемо $1$ від усіх частин нерівності:

$2 < - \frac{x}{5} \leq 6$

Помножимо всі частини на $- 5$ , змінюючи знаки нерівності на протилежні:

$- 10 > x \geq - 30$

$- 30 \leq x < - 10$

Координатна пряма

Відповідь: $[- 30; - 10)$ .

3) $4 \leq \frac{3 x - 1}{2} \leq 5$

Помножимо всі частини на $2$ :

$8 \leq 3 x - 1 \leq 10$

Додамо $1$ до всіх частин:

$9 \leq 3 x \leq 11$

Поділимо всі частини на $3$ :

$3 \leq x \leq \frac{11}{3}$

$3 \leq x \leq 3 \frac{2}{3}$

Координатна пряма

Відповідь: $[3; 3 \frac{2}{3}]$ .

4) $2 < \frac{1 - 5 x}{4} < 9$

Помножимо всі частини на $4$ :

$8 < 1 - 5 x < 36$

Віднімемо $1$ від усіх частин:

$7 < - 5 x < 35$

Поділимо всі частини на $- 5$ , змінюючи знаки нерівності на протилежні:

$- \frac{7}{5} > x > - 7$

$- 7 < x < - 1, 4$

Координатна пряма

Відповідь: $(- 7; - 1, 4)$ .

№ 7.27. Розв’яжіть систему нерівностей:

1) Для системи нерівностей:

{2 (x - 1) - 3 (x - 2) + x < 0 1, 3 x (x - 2) - 0, 4 < x (1, 3 x - 3)

Розкриємо дужки у першій нерівності системи:

$2 x - 2 - 3 x + 6 + x < 0$

$(2 x - 3 x + x) + (- 2 + 6) < 0$

$0 \cdot x + 4 < 0$

$4 < 0$

Отримали хибну числову нерівність. Отже, перша нерівність не має розв’язків ( $x \in \emptyset$ ).

Оскільки перша нерівність не має розв’язків, то і вся система не має розв’язків.

Відповідь: розв’язків немає ( $x \in \emptyset$ ).

2) Для системи нерівностей:

{2, 5 x - 0, 5 (8 - x) - 1, 6 < x x + 2, 1 > 1, 5 (2 x - 1) - 2 x

Спростимо кожну нерівність системи окремо.

Для першої нерівності:

$2, 5 x - 4 + 0, 5 x - 1, 6 < x$

$3 x - 5, 6 < x$

$3 x - x < 5, 6$

$2 x < 5, 6$

$x < 2, 8$

Для другої нерівності:

$x + 2, 1 > 3 x - 1, 5 - 2 x$

$x + 2, 1 > x - 1, 5$

$x - x > - 1, 5 - 2, 1$

$0 \cdot x > - 3, 6$

$0 > - 3, 6$

Нерівність $0 > - 3, 6$ є правильною для будь-якого значення $x$ , тобто $x \in (- \infty; + \infty)$ .

Знайдемо переріз розв’язків двох нерівностей:

{x < 2, 8 x \in (- \infty; + \infty) ⟹ x < 2, 8

Координатна пряма

Відповідь: $(- \infty; 2, 8)$ .

3) Для системи нерівностей:

{2 - x > 2 x (x - 3) - x (2 x - 5) 5 - 10 x < 3 x (2 x - 4) - x (6 x - 2)

Розкриємо дужки та зведемо подібні доданки у кожній нерівності.

Для першої нерівності:

$2 - x > 2 x^{2} - 6 x - 2 x^{2} + 5 x$

$2 - x > - x$

$2 > 0$

Нерівність $2 > 0$ є правильною для всіх $x \in (- \infty; + \infty)$ .

Для другої нерівності:

$5 - 10 x < 6 x^{2} - 12 x - 6 x^{2} + 2 x$

$5 - 10 x < - 10 x$

$5 < 0$

Нерівність $5 < 0$ є хибною, тому вона не має розв’язків ( $x \in \emptyset$ ).

Перерізом множини всіх дійсних чисел та порожньої множини є порожня множина.

Відповідь: розв’язків немає ( $x \in \emptyset$ ).

4) Для системи нерівностей:

⎩ ⎨ ⎧ \frac{x}{2} + \frac{x}{3} + 7 > \frac{5 x}{6} x - \frac{7 x}{8} < \frac{x}{8} + 4

Помножимо обидві частини першої нерівності на $6$ :

$6 \cdot \frac{x}{2} + 6 \cdot \frac{x}{3} + 6 \cdot 7 > 6 \cdot \frac{5 x}{6}$

$3 x + 2 x + 42 > 5 x$

$5 x + 42 > 5 x$

$5 x - 5 x > - 42$

$0 \cdot x > - 42$

$0 > - 42$

Нерівність є правильною для будь-якого $x \in (- \infty; + \infty)$ .

Помножимо обидві частини другої нерівності на $8$ :

$8 \cdot x - 8 \cdot \frac{7 x}{8} < 8 \cdot \frac{x}{8} + 8 \cdot 4$

$8 x - 7 x < x + 32$

$x < x + 32$

$x - x < 32$

$0 \cdot x < 32$

$0 < 32$

Нерівність є правильною для будь-якого $x \in (- \infty; + \infty)$ .

Оскільки обидві нерівності системи є правильними для будь-якого дійсного числа $x$ , розв’язком системи є вся числова пряма.

Відповідь: $(- \infty; + \infty)$ .

№ 7.28. Розв’яжіть систему нерівностей:

1) Для системи нерівностей:

{4 (x - 3) - (x + 5) > 3 (x - 2) 2 (x + 3) - 5 (x - 6) > 4 (x - 2)

Розв’яжемо першу нерівність системи:

$4 x - 12 - x - 5 > 3 x - 6$

$3 x - 17 > 3 x - 6$

$3 x - 3 x > - 6 + 17$

$0 \cdot x > 11$

Нерівність не має розв’язків ( $x \in \emptyset$ ).

Розв’яжемо другу нерівність системи:

$2 x + 6 - 5 x + 30 > 4 x - 8$

$- 3 x + 36 > 4 x - 8$

$- 3 x - 4 x > - 8 - 36$

$- 7 x > - 44$

Поділимо обидві частини на $- 7$ , змінивши знак нерівності на протилежний:

$x < \frac{44}{7}$

$x < 6 \frac{2}{7}$

Оскільки перша нерівність системи не має розв’язків, то перерізом множин розв’язків є порожня множина. Система не має розв’язків.

Відповідь: розв’язків немає.

2) Для системи нерівностей:

{6 (x - 1) - 3 < 2 (3 x - 4) x (x - 2) > (x + 3) (x - 3) - 11

Розв’яжемо першу нерівність системи:

$6 x - 6 - 3 < 6 x - 8$

$6 x - 9 < 6 x - 8$

$6 x - 6 x < - 8 + 9$

$0 \cdot x < 1$

Нерівність є правильною при будь-якому значенні $x$ ( $x \in R$ ).

Розв’яжемо другу нерівність системи:

$x^{2} - 2 x > x^{2} - 9 - 11$

$x^{2} - 2 x > x^{2} - 20$

$x^{2} - 2 x - x^{2} > - 20$

$- 2 x > - 20$

Поділимо обидві частини на $- 2$ , змінивши знак нерівності на протилежний:

$x < 10$

Оскільки перша нерівність виконується для всіх $x \in R$ , то розв’язком системи є $x < 10$ , тобто $x \in (- \infty; 10)$ .

Координатна пряма

Відповідь: $(- \infty; 10)$ .

№ 7.29. Знайдіть область визначення функції:

1) $y = x - 3 + \frac{1}{7 - x} + \frac{1}{x ^{2} - 25}$

Область визначення функції задається системою нерівностей та умов:

— підкореневий вираз арифметичного квадратного кореня має бути невід’ємним: $x - 3 \geq 0$ ;

— підкореневий вираз у знаменнику має бути строго додатним: $7 - x > 0$ ;

— знаменник дробу не повинен дорівнювати нулю: $x^{2} - 25 \neq = 0$ .

Запишемо та розв’яжемо систему:

⎩ ⎨ ⎧ x - 3 \geq 0 7 - x > 0 x^{2} - 25 \neq = 0

⎩ ⎨ ⎧ x \geq 3 - x > - 7 (x - 5) (x + 5) \neq = 0

⎩ ⎨ ⎧ x \geq 3 x < 7 x \neq = 5 x \neq = - 5

З нерівностей $x \geq 3$ та $x < 7$ отримуємо проміжок $x \in [3; 7)$ .

Оскільки $x \neq = 5$ , виключаємо число $5$ з проміжку (значення $x = - 5$ не належить проміжку $[3; 7)$ ):

$x \in [3; 5) \cup (5; 7)$

Відповідь: $[3; 5) \cup (5; 7)$ .

2) $y = 2 x - 8 + \frac{x}{10 - x} + \frac{7}{0 , 2 x - 1}$

Область визначення функції задається системою нерівностей:

⎩ ⎨ ⎧ 2 x - 8 \geq 0 10 - x > 0 0, 2 x - 1 > 0

Розв’яжемо систему:

⎩ ⎨ ⎧ 2 x \geq 8 - x > - 10 0, 2 x > 1

⎩ ⎨ ⎧ x \geq 4 x < 10 x > 5

Знайдемо переріз усіх трьох нерівностей:

Нерівності $x \geq 4$ та $x > 5$ дають $x > 5$ .

Враховуючи $x < 10$ , маємо $5 < x < 10$ , тобто:

$x \in (5; 10)$

Координатна пряма

Відповідь: $(5; 10)$ .

№ 7.30. Знайдіть область допустимих значень змінної у виразі:

1) $x - 2 + \frac{1}{6 - x} + \frac{1}{x ^{2} - 16}$

Область допустимих значень (ОДЗ) змінної у виразі визначається умовами:

⎩ ⎨ ⎧ x - 2 \geq 0 6 - x > 0 x^{2} - 16 \neq = 0

Розв’яжемо систему:

⎩ ⎨ ⎧ x \geq 2 - x > - 6 (x - 4) (x + 4) \neq = 0 \Leftrightarrow ⎩ ⎨ ⎧ x \geq 2 x < 6 x \neq = 4 x \neq = - 4

Нерівності $x \geq 2$ та $x < 6$ дають проміжок $x \in [2; 6)$ .

Значення $x = - 4$ не належить цьому проміжку, а значення $x = 4$ належить йому і має бути виключене:

$x \in [2; 4) \cup (4; 6)$

Відповідь: $[2; 4) \cup (4; 6)$ .

2) $3 x - 6 + \frac{5}{8 - x} + \frac{x}{0 , 5 x - 1 , 5}$

Область допустимих значень (ОДЗ) змінної визначається умовами:

⎩ ⎨ ⎧ 3 x - 6 \geq 0 8 - x > 0 0, 5 x - 1, 5 > 0

Розв’яжемо систему нерівностей:

⎩ ⎨ ⎧ 3 x \geq 6 - x > - 8 0, 5 x > 1, 5 \Leftrightarrow ⎩ ⎨ ⎧ x \geq 2 x < 8 x > 3

Знайдемо переріз розв’язків:

З умов $x \geq 2$ та $x > 3$ випливає $x > 3$ .

Враховуючи $x < 8$ , отримуємо $3 < x < 8$ , тобто $x \in (3; 8)$ .

Координатна пряма

Відповідь: $(3; 8)$ .

№ 7.31. Одна сторона трикутника дорівнює 4 см, а друга — 5 см. Якою завдовжки може бути третя сторона трикутника за умови, що його периметр менший від 15 см?

Розв’язання:

Нехай довжина третьої сторони трикутника дорівнює $x см$ , де $x > 0$ .

За нерівністю трикутника довжина будь-якої сторони трикутника має бути меншою від суми двох інших сторін та більшою за їхню різницю:

$5 - 4 < x < 5 + 4$

$1 < x < 9$

За умовою задачі периметр трикутника менший від $15 см$ :

$4 + 5 + x < 15$

$9 + x < 15$

$x < 6$

Складемо та розв’яжемо систему нерівностей:

⎩ ⎨ ⎧ x > 1 x < 9 x < 6

$1 < x < 6$

Отже, довжина третьої сторони трикутника має бути більшою за $1 см$ , але меншою від $6 см$ .

Координатна пряма

Відповідь: більшою за $1 см$ , але меншою від $6 см$ ( $1 < x < 6$ ).

№ 7.32. На одну машину навантажили 2 ящики з огірками по 24 кг кожен і 8 ящиків із помідорами. При цьому загальна маса була не більшою ніж 260 кг. На другу машину навантажили 3 ящики із цибулею по 18 кг і 7 ящиків із помідорами – таких самих, як на першу машину. При цьому загальна маса була не меншою ніж 230 кг. 1) Складіть систему нерівностей для визначення маси одного ящика з помідорами, позначивши її через $x$ (у кг). 2) Знайдіть $x$ , вважаючи, що $x$ дорівнює цілому числу кілограмів.

1) Позначимо масу одного ящика з помідорами через $x кг$ .

На першу машину навантажили:

2 ящики з огірками масою $2 \cdot 24 = 48 кг$ ;
8 ящиків із помідорами масою $8 x кг$ .

Загальна маса першої машини дорівнює $(48 + 8 x) кг$ , що не перевищує $260 кг$ :

$48 + 8 x \leq 260$

На другу машину навантажили:

3 ящики з цибулею масою $3 \cdot 18 = 54 кг$ ;
7 ящиків із помідорами масою $7 x кг$ .

Загальна маса другої машини дорівнює $(54 + 7 x) кг$ , що є не меншою ніж $230 кг$ :

$54 + 7 x \geq 230$

Складемо систему нерівностей для визначення $x$ :

{48 + 8 x \leq 260 54 + 7 x \geq 230

2) Розв’яжемо отриману систему нерівностей:

{8 x \leq 260 - 48 7 x \geq 230 - 54

{8 x \leq 212 7 x \geq 176

⎩ ⎨ ⎧ x \leq \frac{212}{8} x \geq \frac{176}{7}

⎩ ⎨ ⎧ x \leq 26, 5 x \geq 25 \frac{1}{7}

Звідси маємо подвійну нерівність:

$25 \frac{1}{7} \leq x \leq 26, 5$

Оскільки значення $x$ за умовою є цілим числом кілограмів, то єдиним цілим розв’язком є $x = 26$ .

Відповідь:

1) ${48 + 8 x \leq 260 54 + 7 x \geq 230$

2) $26 кг$ .

7.33. Аліса купила записник за $80 грн$ і $5$ ручок, заплативши за всю покупку менше ніж $114 грн$ . Аліна купила скетчбук (sketchbook) для малювання за $72 грн$ і $4$ такі самі ручки, як і Аліса, заплативши за всю покупку більше ніж $92 грн$ .

1) Складіть систему нерівностей для визначення ціни однієї ручки, позначивши її через $x$ (у грн).

2) Знайдіть $x$ , вважаючи, що $x$ дорівнює цілому числу гривень.

Розв’язання:

1) Нехай ціна однієї ручки дорівнює $x грн$ .

Аліса купила записник за $80 грн$ та $5$ ручок по $x грн$ , отже, вся вартість її покупки дорівнює $(80 + 5 x) грн$ . За умовою вона заплатила менше ніж $114 грн$ :

$80 + 5 x < 114$

Аліна купила скетчбук за $72 грн$ та $4$ ручки по $x грн$ , отже, вся вартість її покупки дорівнює $(72 + 4 x) грн$ . За умовою вона заплатила більше ніж $92 грн$ :

$72 + 4 x > 92$

Складемо систему нерівностей:

{80 + 5 x < 114 72 + 4 x > 92

2) Розв’яжемо отриману систему нерівностей:

{5 x < 114 - 80 4 x > 92 - 72

{5 x < 34 4 x > 20

{x < 6, 8 x > 5

Отримуємо подвійну нерівність:

$5 < x < 6, 8$

Оскільки за умовою $x$ дорівнює цілому числу гривень, то єдиним цілим значенням із цього проміжку є $x = 6$ .

Відповідь: 1) ${80 + 5 x < 114 72 + 4 x > 92$ ; 2) $6 грн$ .

7.34. За яких значень $a$ обидва корені рівняння $x^{2} - (a + 1) x - (a + 2 a^{2}) = 0$ менші від числа $1$ ?

Знайдемо корені квадратного рівняння $x^{2} - (a + 1) x - (a + 2 a^{2}) = 0$ .

Знайдемо дискримінант:

$D = (- (a + 1))^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- (a + 2 a^{2}))$

$D = (a + 1)^{2} + 4 (a + 2 a^{2}) = a^{2} + 2 a + 1 + 4 a + 8 a^{2} = 9 a^{2} + 6 a + 1 = (3 a + 1)^{2}$

Оскільки $D = (3 a + 1)^{2} \geq 0$ , корені рівняння обчислюємо за формулою:

$x_{1, 2} = \frac{( a + 1 ) \pm ( 3 a + 1 ) ^{2}}{2} = \frac{a + 1 \pm ( 3 a + 1 )}{2}$

Обчислимо кожен корінь окремо:

$x_{1} = \frac{a + 1 + 3 a + 1}{2} = \frac{4 a + 2}{2} = 2 a + 1$

$x_{2} = \frac{a + 1 - ( 3 a + 1 )}{2} = \frac{a + 1 - 3 a - 1}{2} = \frac{- 2 a}{2} = - a$

За умовою задачі обидва корені мають бути меншими від числа $1$ , тобто складемо систему нерівностей:

{x_{1} < 1 x_{2} < 1

{2 a + 1 < 1 - a < 1

Розв’яжемо систему нерівностей:

{2 a < 0 a > - 1

{a < 0 a > - 1

Перерізом розв’язків є проміжок $a \in (- 1; 0)$ .

Відповідь: $a \in (- 1; 0)$ .

7.35. За яких значень $a$ обидва корені рівняння $x^{2} - (2 a + 1) x + (a^{2} + a) = 0$ більші за число $3$ ?

Знайдемо корені квадратного рівняння $x^{2} - (2 a + 1) x + (a^{2} + a) = 0$ .

Знайдемо дискримінант:

$D = (- (2 a + 1))^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (a^{2} + a)$

$D = 4 a^{2} + 4 a + 1 - 4 a^{2} - 4 a = 1$

Оскільки $D = 1 > 0$ , рівняння має два різні корені при будь-якому значенні параметра $a$ :

$x_{1, 2} = \frac{2 a + 1 \pm 1}{2 \cdot 1} = \frac{2 a + 1 \pm 1}{2}$

Обчислимо кожен корінь:

$x_{1} = \frac{2 a + 1 + 1}{2} = \frac{2 a + 2}{2} = a + 1$

$x_{2} = \frac{2 a + 1 - 1}{2} = \frac{2 a}{2} = a$

За умовою задачі обидва корені мають бути більшими за число $3$ , тому складемо систему нерівностей:

{x_{1} > 3 x_{2} > 3

Підставимо отримані вирази:

{a + 1 > 3 a > 3

{a > 2 a > 3

Спільним розв’язком системи є:

$a > 3, тобто a \in (3; + \infty)$

Відповідь: $a \in (3; + \infty)$ .

ВПРАВИ ДЛЯ ПОВТОРЕННЯ

7.36. Відомо, що $a > b$ . Порівняйте:

1) $a - 2$ і $b - 2$ ;

2) $2, 1 a$ і $2, 1 b$ ;

3) $- a$ і $- b$ ;

4) $- 8 a$ і $- 8 b$ .

1) Якщо від обох частин правильної нерівності відняти одне й те саме число, то знак нерівності не зміниться.

Оскільки $a > b$ , віднімемо $2$ від обох частин:

$a - 2 > b - 2$

Відповідь: $a - 2 > b - 2$ .

2) Якщо обидві частини правильної нерівності помножити на одне й те саме додатне число, то знак нерівності зберігається.

Оскільки $a > b$ і $2, 1 > 0$ , помножимо обидві частини на $2, 1$ :

$2, 1 a > 2, 1 b$

Відповідь: $2, 1 a > 2, 1 b$ .

3) Якщо обидві частини правильної нерівності помножити на від’ємне число, то знак нерівності змінюється на протилежний.

Оскільки $a > b$ і $- 1 < 0$ , помножимо обидві частини на $- 1$ :

$- a < - b$

Відповідь: $- a < - b$ .

4) Якщо обидві частини правильної нерівності помножити на від’ємне число, то знак нерівності змінюється на протилежний.

Оскільки $a > b$ і $- 8 < 0$ , помножимо обидві частини на $- 8$ :

$- 8 a < - 8 b$

Відповідь: $- 8 a < - 8 b$ .

7.37. Знайдіть множину розв’язків нерівності:

1) $- 5 x \geq 15$ ;

Поділимо обидві частини нерівності на коефіцієнт біля $x$ , тобто на $- 5$ . Оскільки $- 5 < 0$ , знак нерівності змінюємо на протилежний:

$x \leq \frac{15}{- 5}$

$x \leq - 3$

Запишемо розв’язок у вигляді числового проміжку:

$x \in (- \infty; - 3]$

Відповідь: $(- \infty; - 3]$ .

2) $7 - x < 11 - 3 x$ ;

Перенесемо доданки зі змінною $x$ в ліву частину, а числа — в праву частину, змінивши їхні знаки на протилежні:

$- x + 3 x < 11 - 7$

$2 x < 4$

Поділимо обидві частини нерівності на $2$ ( $2 > 0$ , знак нерівності залишається без змін):

$x < 2$

Запишемо розв’язок у вигляді числового проміжку:

$x \in (- \infty; 2)$

Відповідь: $(- \infty; 2)$ .

ВПРАВИ ДЛЯ ПОВТОРЕННЯ

№ 7.38. Доведіть нерівність $x^{2} - 8 x + 19 > 0$ .

Перетворимо ліву частину нерівності, виділивши повний квадрат двочлена:

$x^{2} - 8 x + 19 = (x^{2} - 8 x + 16) + 3 = (x - 4)^{2} + 3$

Оскільки квадрат будь-якого дійсного числа завжди є невід’ємним, тобто $(x - 4)^{2} \geq 0$ для всіх $x \in R$ , то, додавши число $3$ , отримаємо:

$(x - 4)^{2} + 3 \geq 3 > 0$

Отже, $x^{2} - 8 x + 19 > 0$ при будь-яких дійсних значеннях $x$ , що й треба було довести.

№ 7.39. Дано: $10 < x < 20$ ; $2 < y < 5$ . Оцініть значення виразу:

1) $2 x - y$

Помножимо всі частини нерівності $10 < x < 20$ на $2$ :

$20 < 2 x < 40$

Помножимо всі частини нерівності $2 < y < 5$ на $- 1$ (при цьому знаки нерівності змінюються на протилежні) та запишемо її у звичному порядку:

$- 5 < - y < - 2$

Додамо почленно отримані нерівності:

20 + - 5 15 < < < 2 x - y 2 x - y < < < 40 - 2 38

2) $\frac{x}{y}$

Запишемо частку у вигляді добутку: $\frac{x}{y} = x \cdot \frac{1}{y}$ .

Оскільки $2 < y < 5$ і всі частини нерівності додатні, то для обернених величин виконується нерівність:

$\frac{1}{5} < \frac{1}{y} < \frac{1}{2}$

Перемножимо почленно нерівності однакового знака з додатними членами $10 < x < 20$ та $\frac{1}{5} < \frac{1}{y} < \frac{1}{2}$ :

$10 \cdot \frac{1}{5} < x \cdot \frac{1}{y} < 20 \cdot \frac{1}{2}$

$2 < \frac{x}{y} < 10$

Відповідь:

1) $15 < 2 x - y < 38$ ;

2) $2 < \frac{x}{y} < 10$ .

№ 7.40. За яких значень $m$ рівняння $m x^{2} + 4 x - 8 = 0$ не має розв’язків?

1) Якщо $m = 0$ , рівняння набуває вигляду:

$4 x - 8 = 0$

$4 x = 8$

$x = 2$

У цьому випадку рівняння є лінійним і має один корінь, що не задовольняє умову задачі.

2) Якщо $m \neq = 0$ , рівняння є квадратним. Квадратне рівняння не має розв’язків тоді і тільки тоді, коли його дискримінант від’ємний ( $D < 0$ ).

Знайдемо дискримінант квадратного рівняння:

$D = b^{2} - 4 a c = 4^{2} - 4 \cdot m \cdot (- 8) = 16 + 32 m$

Складемо та розв’яжемо нерівність $D < 0$ :

$16 + 32 m < 0$

$32 m < - 16$

$m < - \frac{16}{32}$

$m < - 0, 5$

Значення $m < - 0, 5$ задовольняє умову $m \neq = 0$ .

Відповідь: $m < - 0, 5$ (або $m \in (- \infty; - 0, 5)$ ).

ЖИТТЄВА МАТЕМАТИКА

№ 7.41. Яринка та Яся разом можуть прополоти грядку за $24 хвилини$ , а Яся самостійно — за $40 хвилин$ . За скільки хвилин самостійно може прополоти цю грядку Яринка?

Розв’язання:

Приймемо за $1$ (одиницю) весь обсяг роботи з прополювання грядки.

Нехай Яринка самостійно може прополоти грядку за $x хв$ ( $x > 0$ ).

Тоді продуктивність праці Ясі дорівнює $\frac{1}{40}$ частини грядки за хвилину, а Яринки — $\frac{1}{x}$ частини грядки за хвилину.

Спільна продуктивність дівчат дорівнює $\frac{1}{24}$ частини грядки за хвилину.

Складемо математичну модель задачі:

$\frac{1}{x} + \frac{1}{40} = \frac{1}{24}$

Розв’яжемо отримане рівняння:

$\frac{1}{x} = \frac{1}{24} - \frac{1}{40}$

Зведемо дроби у правій частині до спільного знаменника $120$ :

$\frac{1}{x} = \frac{5}{120} - \frac{3}{120}$

$\frac{1}{x} = \frac{2}{120}$

$\frac{1}{x} = \frac{1}{60}$

$x = 60$

Знайдене значення $x = 60$ задовольняє умову $x > 0$ .

Отже, Яринка може самостійно прополоти грядку за $60 хв$ (або за $1 год$ ).

Відповідь: за $60 хв$ (або за $1 год$ ).

ЦІКАВІ ЗАДАЧІ – ПОМІРКУЙ ОДНАЧЕ

№ 7.42. (Національна олімпіада США, 1979 р.) Розв’яжіть рівняння $x_{1}^{4} + x_{2}^{4} + x_{3}^{4} + \dots + x_{14}^{4} = 1599$ у цілих числах.

Дослідимо можливі остачі від ділення четвертого степеня цілого числа $x^{4}$ на $16$ :

1) Якщо число $x$ парне, тобто $x = 2 k$ ( $k \in Z$ ), то:

$x^{4} = (2 k)^{4} = 16 k^{4} \equiv 0 (mod 16)$

тобто остача від ділення $x^{4}$ на $16$ дорівнює $0$ .

2) Якщо число $x$ непарне, тобто $x = 2 k + 1$ ( $k \in Z$ ), то:

$x^{2} = (2 k + 1)^{2} = 4 k^{2} + 4 k + 1 = 4 k (k + 1) + 1$

Оскільки добуток двох послідовних цілих чисел $k (k + 1)$ завжди є парним числом, то $4 k (k + 1)$ ділиться на $8$ , тобто $x^{2} = 8 m + 1$ для деякого цілого $m$ .

Піднесемо цей вираз до квадрата:

$x^{4} = (8 m + 1)^{2} = 64 m^{2} + 16 m + 1 = 16 (4 m^{2} + m) + 1 \equiv 1 (mod 16)$

тобто остача від ділення $x^{4}$ на $16$ дорівнює $1$ .

Таким чином, для будь-якого цілого числа $x$ значення $x^{4}$ при діленні на $16$ дає в остачі або $0$ , або $1$ .

Сума $14$ таких доданків $x_{1}^{4} + x_{2}^{4} + \dots + x_{14}^{4}$ при діленні на $16$ може набувати значень від $0$ до $14$ .

Знайдемо остачу від ділення правої частини рівняння ( $1599$ ) на $16$ :

$1599 = 1600 - 1 = 16 \cdot 100 - 1 = 16 \cdot 99 + 15 \equiv 15 (mod 16)$

Оскільки ліва частина рівняння при діленні на $16$ дає остачу не більшу за $14$ , а права частина дає остачу $15$ , то рівність не може виконуватися за жодних цілих значень змінних.

Відповідь: розв’язків немає.

7. Системи лінійних нерівностей з однією змінною, їх розв’язування

Теги статті:

До уроку