6. Лінійні нерівності з однією змінною. Рівносильні нерівності

Які нерівності називають рівносильними?

Нерівності, що мають одні й ті самі розв’язки, називають рівносильними. Нерівності, що не мають розв’язків, також є рівносильними.

Сформулюйте властивості нерівностей, які використовують для розв’язування нерівностей.

Для розв’язування нерівностей використовують такі властивості:

1) Якщо в будь-якій частині нерівності розкрити дужки або звести подібні доданки, то отримаємо нерівність, рівносильну даній.

2) Якщо в нерівності перенести доданок з однієї її частини в іншу, змінивши його знак на протилежний, то отримаємо нерівність, рівносильну даній.

3) Якщо обидві частини нерівності помножити або поділити на одне й те саме додатне число, то отримаємо нерівність, рівносильну даній; якщо обидві частини нерівності помножити або поділити на одне й те саме від’ємне число, змінивши при цьому знак нерівності на протилежний, то отримаємо нерівність, рівносильну даній.

Що можна сказати про розв’язки нерівностей вигляду $0 x > b$ , $0 x \geq b$ , $0 x < b$ , $0 x \leq b$ ?

Нерівності вигляду $0 x > b$ , $0 x \geq b$ , $0 x < b$ , $0 x \leq b$ або не мають розв’язків, або їх розв’язком є будь-яке число.

РОЗВ’ЯЖІТЬ ЗАДАЧІ ТА ВИКОНАЙТЕ ВПРАВИ

6.1. (Усно.) Які з нерівностей є лінійними:

1) $\frac{1}{3} x > - 5$ ;

2) $2 x^{2} - 3 \geq 0$ ;

3) $- 3 x \leq 6$ ;

4) $\frac{1}{x} < 3$ ?

Лінійною нерівністю з однією змінною називають нерівність вигляду $a x > b$ , $a x \geq b$ , $a x < b$ , $a x \leq b$ , де $x$ — змінна, $a$ і $b$ — деякі числа.

1) $\frac{1}{3} x > - 5$ — є лінійною нерівністю, оскільки вона має вигляд $a x > b$ , де $a = \frac{1}{3}$ , $b = - 5$ ;

2) $2 x^{2} - 3 \geq 0$ — не є лінійною нерівністю, оскільки містить змінну в другому степені ( $x^{2}$ );

3) $- 3 x \leq 6$ — є лінійною нерівністю, оскільки вона має вигляд $a x \leq b$ , де $a = - 3$ , $b = 6$ ;

4) $\frac{1}{x} < 3$ — не є лінійною нерівністю, оскільки змінна $x$ міститься у знаменнику дробу.

Відповідь: 1), 3).

6.2. (Усно.) Чи рівносильні нерівності:

1) $2 x - 7 > 4$ і $2 x > 4 + 7$ ;

2) $3 x > 9$ і $x < 3$ ?

1) У нерівності $2 x - 7 > 4$ перенесемо доданок $- 7$ у праву частину, змінивши його знак на протилежний ( $+ 7$ ). Отримаємо нерівність $2 x > 4 + 7$ . За властивістю рівносильності нерівностей, такі нерівності є рівносильними.

2) Розв’яжемо першу нерівність $3 x > 9$ : поділимо обидві частини на $3$ , матимемо $x > 3$ . Множиною її розв’язків є проміжок $(3; + \infty)$ .

Друга нерівність $x < 3$ має множину розв’язків $(- \infty; 3)$ . Оскільки множини розв’язків не збігаються, ці нерівності не є рівносильними.

Відповідь: 1) так, рівносильні; 2) ні, не рівносильні.

№ 6.3. Чи рівносильні нерівності:

1) $3 x + 2 > 5$ і $3 x > 5 + 2$ ;

Знайдемо розв’язки кожної нерівності.

Для першої нерівності:

$3 x + 2 > 5$

$3 x > 5 - 2$

$3 x > 3$

$x > 1 ⟹ x \in (1; + \infty)$

Для другої нерівності:

$3 x > 5 + 2$

$3 x > 7$

$x > \frac{7}{3} ⟹ x \in (\frac{7}{3}; + \infty)$

Оскільки множини розв’язків нерівностей не збігаються $((1; + \infty) \neq = (\frac{7}{3}; + \infty))$ , ці нерівності не є рівносильними.

2) $5 x \leq 10$ і $x \leq 2$ ;

Знайдемо розв’язки першої нерівності:

$5 x \leq 10$

Поділимо обидві частини на $5 > 0$ :

$x \leq 2 ⟹ x \in (- \infty; 2]$

Друга нерівність $x \leq 2$ має таку саму множину розв’язків: $x \in (- \infty; 2]$ .

Оскільки множини розв’язків обох нерівностей збігаються, вони є рівносильними.

Відповідь: 1) ні, не є рівносильними; 2) так, є рівносильними.

№ 6.4. Розв’яжіть нерівність і зобразіть множину її розв’язків на координатній прямій:

1) $x + 7 \geq 3$

Перенесемо доданок $7$ у праву частину нерівності, змінивши його знак на протилежний:

$x \geq 3 - 7$

$x \geq - 4$

Множиною розв’язків є числовий проміжок $[- 4; + \infty)$ .

Текстова інструкція для зображення на числовій прямій: позначити на числовій прямій зафарбовану точку $- 4$ та заштрихувати область праворуч від неї до $+ \infty$ .

Відповідь: $x \geq - 4$ , тобто $x \in [- 4; + \infty)$ .

2) $x - 5 < 2$

Перенесемо доданок $- 5$ у праву частину нерівності зі зміною знака:

$x < 2 + 5$

$x < 7$

Множиною розв’язків є числовий проміжок $(- \infty; 7)$ .

Текстова інструкція для зображення на числовій прямій: позначити на числовій прямій порожню (виколоту) точку $7$ та заштрихувати область ліворуч від неї до $- \infty$ .

Відповідь: $x < 7$ , тобто $x \in (- \infty; 7)$ .

3) $x + 9 \leq - 17$

Перенесемо доданок $9$ у праву частину нерівності зі зміною знака:

$x \leq - 17 - 9$

$x \leq - 26$

Множиною розв’язків є числовий проміжок $(- \infty; - 26]$ .

Текстова інструкція для зображення на числовій прямій: позначити на числовій прямій зафарбовану точку $- 26$ та заштрихувати область ліворуч від неї до $- \infty$ .

Відповідь: $x \leq - 26$ , тобто $x \in (- \infty; - 26]$ .

4) $x - 7 > - 8$

Перенесемо доданок $- 7$ у праву частину нерівності зі зміною знака:

$x > - 8 + 7$

$x > - 1$

Множиною розв’язків є числовий проміжок $(- 1; + \infty)$ .

Текстова інструкція для зображення на числовій прямій: позначити на числовій прямій порожню (виколоту) точку $- 1$ та заштрихувати область праворуч від неї до $+ \infty$ .

Відповідь: $x > - 1$ , тобто $x \in (- 1; + \infty)$ .

№ 6.5. Розв’яжіть нерівність і зобразіть множину її розв’язків на координатній прямій:

1) $x - 5 \leq 6$ ;

2) $x + 7 > - 9$ ;

3) $x - 7 \geq 12$ ;

4) $x + 7 < - 5$ .

1) $x - 5 \leq 6$

Перенесемо доданок $- 5$ у праву частину нерівності зі зміною знака:

$x \leq 6 + 5$

$x \leq 11$

Множиною розв’язків є числовий проміжок $(- \infty; 11]$ .

Текстова інструкція для зображення на числовій прямій: позначити на числовій прямій зафарбовану точку $11$ та заштрихувати область ліворуч від неї до $- \infty$ .

Відповідь: $x \leq 11$ , тобто $x \in (- \infty; 11]$ .

2) $x + 7 > - 9$

Перенесемо доданок $7$ у праву частину нерівності зі зміною знака:

$x > - 9 - 7$

$x > - 16$

Множиною розв’язків є числовий проміжок $(- 16; + \infty)$ .

Текстова інструкція для зображення на числовій прямій: позначити на числовій прямій порожню (виколоту) точку $- 16$ та заштрихувати область праворуч від неї до $+ \infty$ .

Відповідь: $x > - 16$ , тобто $x \in (- 16; + \infty)$ .

3) $x - 7 \geq 12$

Перенесемо доданок $- 7$ у праву частину нерівності зі зміною знака:

$x \geq 12 + 7$

$x \geq 19$

Множиною розв’язків є числовий проміжок $[19; + \infty)$ .

Текстова інструкція для зображення на числовій прямій: позначити на числовій прямій зафарбовану точку $19$ та заштрихувати область праворуч від неї до $+ \infty$ .

Відповідь: $x \geq 19$ , тобто $x \in [19; + \infty)$ .

4) $x + 7 < - 5$

Перенесемо доданок $7$ у праву частину нерівності зі зміною знака:

$x < - 5 - 7$

$x < - 12$

Множиною розв’язків є числовий проміжок $(- \infty; - 12)$ .

Текстова інструкція для зображення на числовій прямій: позначити на числовій прямій порожню (виколоту) точку $- 12$ та заштрихувати область ліворуч від неї до $- \infty$ .

Відповідь: $x < - 12$ , тобто $x \in (- \infty; - 12)$ .

№ 6.6. Знайдіть розв’язки нерівності:

1) $4 x > 8$ ;

Поділимо обидві частини нерівності на $4 > 0$ , зберігши знак нерівності:

$x > \frac{8}{4}$

$x > 2$

Відповідь: $x > 2$ , або $x \in (2; + \infty)$ .

2) $8 x \leq 72$ ;

Поділимо обидві частини нерівності на $8 > 0$ , зберігши знак нерівності:

$x \leq \frac{72}{8}$

$x \leq 9$

Відповідь: $x \leq 9$ , або $x \in (- \infty; 9]$ .

3) $- 9 x \geq - 63$ ;

Поділимо обидві частини нерівності на від’ємне число $- 9 < 0$ , змінивши знак нерівності на протилежний:

$x \leq \frac{- 63}{- 9}$

$x \leq 7$

Відповідь: $x \leq 7$ , або $x \in (- \infty; 7]$ .

4) $- x < 5$ ;

Помножимо обидві частини нерівності на $- 1 < 0$ , змінивши знак нерівності на протилежний:

$x > - 5$

Відповідь: $x > - 5$ , або $x \in (- 5; + \infty)$ .

5) $5 x \geq 11$ ;

Поділимо обидві частини нерівності на $5 > 0$ , зберігши знак нерівності:

$x \geq \frac{11}{5}$

$x \geq 2, 2$

Відповідь: $x \geq 2, 2$ , або $x \in [2, 2; + \infty)$ .

6) $6 x < 1, 2$ ;

Поділимо обидві частини нерівності на $6 > 0$ , зберігши знак нерівності:

$x < \frac{1 , 2}{6}$

$x < 0, 2$

Відповідь: $x < 0, 2$ , або $x \in (- \infty; 0, 2)$ .

7) $- 18 x > - 27$ ;

Поділимо обидві частини нерівності на від’ємне число $- 18 < 0$ , змінивши знак нерівності на протилежний:

$x < \frac{- 27}{- 18}$

$x < 1, 5$

Відповідь: $x < 1, 5$ , або $x \in (- \infty; 1, 5)$ .

8) $- 3 x \leq 0$ ;

Поділимо обидві частини нерівності на від’ємне число $- 3 < 0$ , змінивши знак нерівності на протилежний:

$x \geq \frac{0}{- 3}$

$x \geq 0$

Відповідь: $x \geq 0$ , або $x \in [0; + \infty)$ .

№ 6.7. Розв’яжіть нерівність:

1) $6 x > 12$ ;

Поділимо обидві частини нерівності на $6 > 0$ , зберігши знак нерівності:

$x > \frac{12}{6}$

$x > 2$

Відповідь: $x > 2$ , або $x \in (2; + \infty)$ .

2) $7 x < 42$ ;

Поділимо обидві частини нерівності на $7 > 0$ , зберігши знак нерівності:

$x < \frac{42}{7}$

$x < 6$

Відповідь: $x < 6$ , або $x \in (- \infty; 6)$ .

3) $- x \geq - 8$ ;

Помножимо обидві частини нерівності на $- 1 < 0$ , змінивши знак нерівності на протилежний:

$x \leq 8$

Відповідь: $x \leq 8$ , або $x \in (- \infty; 8]$ .

4) $- 12 x \leq 24$ ;

Поділимо обидві частини нерівності на від’ємне число $- 12 < 0$ , змінивши знак нерівності на протилежний:

$x \geq \frac{24}{- 12}$

$x \geq - 2$

Відповідь: $x \geq - 2$ , або $x \in [- 2; + \infty)$ .

5) $7 x \leq 13$ ;

Поділимо обидві частини нерівності на $7 > 0$ , зберігши знак нерівності:

$x \leq \frac{13}{7}$

$x \leq 1 \frac{6}{7}$

Відповідь: $x \leq 1 \frac{6}{7}$ , або $x \in (- \infty; 1 \frac{6}{7}]$ .

6) $4 x > 1, 6$ ;

Поділимо обидві частини нерівності на $4 > 0$ , зберігши знак нерівності:

$x > \frac{1 , 6}{4}$

$x > 0, 4$

Відповідь: $x > 0, 4$ , або $x \in (0, 4; + \infty)$ .

7) $12 x < - 18$ ;

Поділимо обидві частини нерівності на $12 > 0$ , зберігши знак нерівності:

$x < \frac{- 18}{12}$

$x < - 1, 5$

Відповідь: $x < - 1, 5$ , або $x \in (- \infty; - 1, 5)$ .

8) $- 9 x \geq 0$ ;

Поділимо обидві частини нерівності на від’ємне число $- 9 < 0$ , змінивши знак нерівності на протилежний:

$x \leq \frac{0}{- 9}$

$x \leq 0$

Відповідь: $x \leq 0$ , або $x \in (- \infty; 0]$ .

№ 6.8. Розв’яжіть нерівність:

1) $\frac{1}{3} x \geq - 2$

Помножимо обидві частини нерівності на додатне число $3$ :

$x \geq - 2 \cdot 3$

$x \geq - 6$

Відповідь: $x \geq - 6$ (або $x \in [- 6; + \infty)$ ).

2) $\frac{2}{9} x < 10$

Помножимо обидві частини нерівності на додатне число $\frac{9}{2}$ :

$x < 10 \cdot \frac{9}{2}$

$x < 45$

Відповідь: $x < 45$ (або $x \in (- \infty; 45)$ ).

3) $- \frac{1}{4} x \leq - 6$

Помножимо обидві частини нерівності на від’ємне число $- 4$ , змінюючи знак нерівності на протилежний:

$x \geq - 6 \cdot (- 4)$

$x \geq 24$

Відповідь: $x \geq 24$ (або $x \in [24; + \infty)$ ).

4) $- \frac{3}{7} x > - 21$

Помножимо обидві частини нерівності на від’ємне число $- \frac{7}{3}$ , змінюючи знак нерівності на протилежний:

$x < - 21 \cdot (- \frac{7}{3})$

$x < 49$

Відповідь: $x < 49$ (або $x \in (- \infty; 49)$ ).

№ 6.9. Знайдіть розв’язки нерівності:

1) $\frac{1}{6} x < - 3$

Помножимо обидві частини нерівності на додатне число $6$ :

$x < - 3 \cdot 6$

$x < - 18$

Відповідь: $x < - 18$ (або $x \in (- \infty; - 18)$ ).

2) $\frac{2}{3} x \geq 18$

Помножимо обидві частини нерівності на додатне число $\frac{3}{2}$ :

$x \geq 18 \cdot \frac{3}{2}$

$x \geq 27$

Відповідь: $x \geq 27$ (або $x \in [27; + \infty)$ ).

3) $- \frac{3}{8} x \leq - 12$

Помножимо обидві частини нерівності на від’ємне число $- \frac{8}{3}$ , змінюючи знак нерівності на протилежний:

$x \geq - 12 \cdot (- \frac{8}{3})$

$x \geq 32$

Відповідь: $x \geq 32$ (або $x \in [32; + \infty)$ ).

4) $- \frac{7}{6} x > 42$

Помножимо обидві частини нерівності на від’ємне число $- \frac{6}{7}$ , змінюючи знак нерівності на протилежний:

$x < 42 \cdot (- \frac{6}{7})$

$x < - 36$

Відповідь: $x < - 36$ (або $x \in (- \infty; - 36)$ ).

№ 6.10. Розв’яжіть нерівність та вкажіть три будь-яких числа, що є її розв’язками:

1) $- 3 x < 12$

Поділимо обидві частини нерівності на від’ємне число $- 3$ , змінюючи знак нерівності на протилежний:

$x > \frac{12}{- 3}$

$x > - 4$

Розв’язком є проміжок $x \in (- 4; + \infty)$ . Обрані числа з цього проміжку: $0$ , $1$ , $5$ .

Відповідь: $x > - 4$ (або $x \in (- 4; + \infty)$ ); числа: $0$ , $1$ , $5$ .

2) $2 x \geq 0$

Поділимо обидві частини нерівності на додатне число $2$ :

$x \geq \frac{0}{2}$

$x \geq 0$

Розв’язком є проміжок $x \in [0; + \infty)$ . Обрані числа з цього проміжку: $0$ , $2$ , $10$ .

Відповідь: $x \geq 0$ (або $x \in [0; + \infty)$ ); числа: $0$ , $2$ , $10$ .

3) $- 5 x > - 35$

Поділимо обидві частини нерівності на від’ємне число $- 5$ , змінюючи знак нерівності на протилежний:

$x < \frac{- 35}{- 5}$

$x < 7$

Розв’язком є проміжок $x \in (- \infty; 7)$ . Обрані числа з цього проміжку: $0$ , $5$ , $- 10$ .

Відповідь: $x < 7$ (або $x \in (- \infty; 7)$ ); числа: $0$ , $5$ , $- 10$ .

4) $4 x \leq - 13$

Поділимо обидві частини нерівності на додатне число $4$ :

$x \leq - \frac{13}{4}$

$x \leq - 3, 25$

Розв’язком є проміжок $x \in (- \infty; - 3, 25]$ . Обрані числа з цього проміжку: $- 4$ , $- 5$ , $- 10$ .

Відповідь: $x \leq - 3, 25$ (або $x \in (- \infty; - 3, 25]$ ); числа: $- 4$ , $- 5$ , $- 10$ .

№ 6.11. Знайдіть множину розв’язків нерівності:

1) $0, 2 x \geq 8$

Поділимо обидві частини нерівності на додатне число $0, 2$ :

$x \geq \frac{8}{0 , 2}$

$x \geq 40$

Відповідь: $[40; + \infty)$ .

2) $- 0, 7 x < 1, 4$

Поділимо обидві частини нерівності на від’ємне число $- 0, 7$ , змінюючи знак нерівності на протилежний:

$x > \frac{1 , 4}{- 0 , 7}$

$x > - 2$

Відповідь: $(- 2; + \infty)$ .

3) $10 x \leq - 1$

Поділимо обидві частини нерівності на додатне число $10$ :

$x \leq \frac{- 1}{10}$

$x \leq - 0, 1$

Відповідь: $(- \infty; - 0, 1]$ .

4) $- 8 x > 0$

Поділимо обидві частини нерівності на від’ємне число $- 8$ , змінюючи знак нерівності на протилежний:

$x < \frac{0}{- 8}$

$x < 0$

Відповідь: $(- \infty; 0)$ .

№ 6.12. Знайдіть множину розв’язків нерівності:

1) $0, 3 x > 15$

Поділимо обидві частини нерівності на додатне число $0, 3$ :

$x > \frac{15}{0 , 3}$

$x > 50$

Відповідь: $(50; + \infty)$ .

2) $- 0, 2 x \leq 1, 8$

Поділимо обидві частини нерівності на від’ємне число $- 0, 2$ , змінюючи знак нерівності на протилежний:

$x \geq \frac{1 , 8}{- 0 , 2}$

$x \geq - 9$

Відповідь: $[- 9; + \infty)$ .

3) $100 x \geq - 2$

Поділимо обидві частини нерівності на додатне число $100$ :

$x \geq \frac{- 2}{100}$

$x \geq - 0, 02$

Відповідь: $[- 0, 02; + \infty)$ .

4) $- 5 x < 0$

Поділимо обидві частини нерівності на від’ємне число $- 5$ , змінюючи знак нерівності на протилежний:

$x > \frac{0}{- 5}$

$x > 0$

Відповідь: $(0; + \infty)$ .

№ 6.13. Чи рівносильні нерівності:

1) $2 x \geq 8$ і $- x \leq - 2$ ;

2) $3 x < 6$ і $x + 1 < 3$ ?

1) Розв’яжемо кожну з нерівностей:

Поділимо обидві частини першої нерівності на $2$ :

$2 x \geq 8$

$x \geq 4$

$x \in [4; + \infty)$

Поділимо обидві частини другої нерівності на $- 1$ , змінивши знак нерівності на протилежний:

$- x \leq - 2$

$x \geq 2$

$x \in [2; + \infty)$

Оскільки множини розв’язків $[4; + \infty)$ та $[2; + \infty)$ не збігаються, дані нерівності не є рівносильними.

2) Розв’яжемо кожну з нерівностей:

Поділимо обидві частини першої нерівності на $3$ :

$3 x < 6$

$x < 2$

$x \in (- \infty; 2)$

Перенесемо $1$ у праву частину другої нерівності зі зміною знака:

$x + 1 < 3$

$x < 3 - 1$

$x < 2$

$x \in (- \infty; 2)$

Оскільки множини розв’язків обох нерівностей збігаються і дорівнюють $(- \infty; 2)$ , дані нерівності є рівносильними.

Відповідь:

1) ні;

2) так.

№ 6.14. Чи рівносильні нерівності:

1) $5 x \leq 5$ і $- x \geq - 1$ ;

2) $2 x > 8$ і $x - 1 < 5$ ?

1) Розв’яжемо першу нерівність, поділивши обидві частини на $5$ :

$5 x \leq 5$

$x \leq 1$

$x \in (- \infty; 1]$

Розв’яжемо другу нерівність, поділивши обидві частини на $- 1$ і змінивши знак нерівності на протилежний:

$- x \geq - 1$

$x \leq 1$

$x \in (- \infty; 1]$

Множини розв’язків обох нерівностей збігаються: $(- \infty; 1]$ . Отже, нерівності є рівносильними.

2) Розв’яжемо першу нерівність, поділивши обидві частини на $2$ :

$2 x > 8$

$x > 4$

$x \in (4; + \infty)$

Розв’яжемо другу нерівність:

$x - 1 < 5$

$x < 5 + 1$

$x < 6$

$x \in (- \infty; 6)$

Оскільки множини розв’язків $(4; + \infty)$ та $(- \infty; 6)$ є різними, нерівності не є рівносильними.

Відповідь:

1) так, рівносильні;

2) ні, не рівносильні.

№ 6.15. За яких значень $x$ функція $y = - 4 x$ набуває значень, які:

1) більші за $- 8$ ;

2) менші від $12$ ?

1) Складемо та розв’яжемо нерівність $y > - 8$ :

$- 4 x > - 8$

Поділимо обидві частини нерівності на від’ємне число $- 4$ , змінивши знак нерівності на протилежний:

$x < \frac{- 8}{- 4}$

$x < 2$

2) Складемо та розв’яжемо нерівність $y < 12$ :

$- 4 x < 12$

Поділимо обидві частини нерівності на від’ємне число $- 4$ , змінивши знак нерівності на протилежний:

$x > \frac{12}{- 4}$

$x > - 3$

Відповідь:

1) при $x < 2$ (або $x \in (- \infty; 2)$ );

2) при $x > - 3$ (або $x \in (- 3; + \infty)$ ).

№ 6.16. Розв’яжіть нерівність:

1) $1 + 2 x > 7$ ;

Перенесемо доданок $1$ у праву частину нерівності зі зміною знака:

$2 x > 7 - 1$

$2 x > 6$

Поділимо обидві частини нерівності на $2$ :

$x > 3$

Відповідь: $x > 3$ (або $x \in (3; + \infty)$ ).

2) $3 - 5 x \leq 2$ ;

Перенесемо доданок $3$ у праву частину нерівності зі зміною знака:

$- 5 x \leq 2 - 3$

$- 5 x \leq - 1$

Поділимо обидві частини нерівності на від’ємне число $- 5$ , змінивши знак нерівності на протилежний:

$x \geq \frac{- 1}{- 5}$

$x \geq 0, 2$

Відповідь: $x \geq 0, 2$ (або $x \in [0, 2; + \infty)$ ).

3) $3 x + 8 < 0$ ;

Перенесемо доданок $8$ у праву частину нерівності зі зміною знака:

$3 x < - 8$

Поділимо обидві частини нерівності на $3$ :

$x < - \frac{8}{3}$

$x < - 2 \frac{2}{3}$

Відповідь: $x < - 2 \frac{2}{3}$ (або $x \in (- \infty; - 2 \frac{2}{3})$ ).

4) $9 - 12 x \geq 0$ ;

Перенесемо доданок $9$ у праву частину нерівності зі зміною знака:

$- 12 x \geq - 9$

Поділимо обидві частини нерівності на від’ємне число $- 12$ , змінивши знак нерівності на протилежний:

$x \leq \frac{- 9}{- 12}$

$x \leq \frac{3}{4}$

$x \leq 0, 75$

Відповідь: $x \leq 0, 75$ (або $x \in (- \infty; 0, 75]$ ).

5) $6 + x < 3 - 2 x$ ;

Перенесемо доданки зі змінною у ліву частину нерівності, а числа — у праву:

$x + 2 x < 3 - 6$

$3 x < - 3$

Поділимо обидві частини нерівності на $3$ :

$x < - 1$

Відповідь: $x < - 1$ (або $x \in (- \infty; - 1)$ ).

6) $4 x + 19 \leq 5 x - 2$ .

Перенесемо доданки зі змінною у ліву частину нерівності, а числа — у праву:

$4 x - 5 x \leq - 2 - 19$

$- x \leq - 21$

Поділимо обидві частини нерівності на $- 1$ , змінивши знак нерівності на протилежний:

$x \geq 21$

Відповідь: $x \geq 21$ (або $x \in [21; + \infty)$ ).

№ 6.17. Знайдіть розв’язки нерівності:

1) $1 + 6 x \leq 7$ ;

Перенесемо доданок $1$ у праву частину нерівності зі зміною знака:

$6 x \leq 7 - 1$

$6 x \leq 6$

Поділимо обидві частини нерівності на $6$ :

$x \leq 1$

Відповідь: $x \leq 1$ (або $x \in (- \infty; 1]$ ).

2) $6 x + 1 > - 3$ ;

Перенесемо доданок $1$ у праву частину нерівності зі зміною знака:

$6 x > - 3 - 1$

$6 x > - 4$

Поділимо обидві частини нерівності на $6$ :

$x > - \frac{4}{6}$

$x > - \frac{2}{3}$

Відповідь: $x > - \frac{2}{3}$ (або $x \in (- \frac{2}{3}; + \infty)$ ).

3) $3 - 2 x \geq 0$ ;

Перенесемо доданок $3$ у праву частину нерівності зі зміною знака:

$- 2 x \geq - 3$

Поділимо обидві частини нерівності на від’ємне число $- 2$ , змінивши знак нерівності на протилежний:

$x \leq \frac{- 3}{- 2}$

$x \leq 1, 5$

Відповідь: $x \leq 1, 5$ (або $x \in (- \infty; 1, 5]$ ).

4) $6 - 15 x < 0$ ;

Перенесемо доданок $6$ у праву частину нерівності зі зміною знака:

$- 15 x < - 6$

Поділимо обидві частини нерівності на від’ємне число $- 15$ , змінивши знак нерівності на протилежний:

$x > \frac{- 6}{- 15}$

$x > \frac{2}{5}$

$x > 0, 4$

Відповідь: $x > 0, 4$ (або $x \in (0, 4; + \infty)$ ).

5) $4 + x > 1 - 2 x$ ;

Перенесемо доданки зі змінною у ліву частину нерівності, а числа — у праву:

$x + 2 x > 1 - 4$

$3 x > - 3$

Поділимо обидві частини нерівності на $3$ :

$x > - 1$

Відповідь: $x > - 1$ (або $x \in (- 1; + \infty)$ ).

6) $4 x + 7 \leq 6 x + 1$ .

Перенесемо доданки зі змінною у ліву частину нерівності, а числа — у праву:

$4 x - 6 x \leq 1 - 7$

$- 2 x \leq - 6$

Поділимо обидві частини нерівності на від’ємне число $- 2$ , змінивши знак нерівності на протилежний:

$x \geq \frac{- 6}{- 2}$

$x \geq 3$

Відповідь: $x \geq 3$ (або $x \in [3; + \infty)$ ).

№ 6.18. За яких значень $x$ функція $y = 2 x - 3$ набуває від’ємних значень?

Значення функції є від’ємним, якщо $y < 0$ . Складемо та розв’яжемо нерівність:

$2 x - 3 < 0$

Перенесемо доданок $- 3$ у праву частину нерівності зі зміною знака:

$2 x < 3$

Поділимо обидві частини нерівності на $2$ (число $2 > 0$ , тому знак нерівності не змінюється):

$x < \frac{3}{2}$

$x < 1, 5$

Запишемо розв’язок у вигляді числового проміжку: $x \in (- \infty; 1, 5)$ .

Відповідь: $x < 1, 5$ (або $x \in (- \infty; 1, 5)$ ).

№ 6.19. За яких значень $x$ функція $y = 5 - 2 x$ набуває додатних значень?

Значення функції є додатним, якщо $y > 0$ . Складемо та розв’яжемо нерівність:

$5 - 2 x > 0$

Перенесемо доданок $5$ у праву частину нерівності зі зміною знака:

$- 2 x > - 5$

Поділимо обидві частини нерівності на $- 2$ (оскільки число $- 2 < 0$ , знак нерівності змінюємо на протилежний):

$x < \frac{- 5}{- 2}$

$x < 2, 5$

Запишемо розв’язок у вигляді числового проміжку: $x \in (- \infty; 2, 5)$ .

Відповідь: $x < 2, 5$ або $x \in (- \infty; 2, 5)$ .

№ 6.20. Знайдіть розв’язки нерівності:

1) $4 - x > 3 (2 + x)$

Розкриємо дужки у правій частині нерівності:

$4 - x > 6 + 3 x$

Перенесемо доданки зі змінною у ліву частину, а числа — у праву:

$- x - 3 x > 6 - 4$

$- 4 x > 2$

Поділимо обидві частини нерівності на $- 4$ (змінивши знак нерівності на протилежний):

$x < - \frac{2}{4}$

$x < - 0, 5$

Відповідь: $x < - 0, 5$ або $x \in (- \infty; - 0, 5)$ .

2) $3 (1 - x) \geq 2 (2 x - 2)$

Розкриємо дужки в обох частинах нерівності:

$3 - 3 x \geq 4 x - 4$

Перенесемо доданки зі змінною у ліву частину, а числа — у праву:

$- 3 x - 4 x \geq - 4 - 3$

$- 7 x \geq - 7$

Поділимо обидві частини нерівності на $- 7$ (змінивши знак нерівності на протилежний):

$x \leq \frac{- 7}{- 7}$

$x \leq 1$

Відповідь: $x \leq 1$ або $x \in (- \infty; 1]$ .

3) $2 (3 + x) + (4 - x) \leq 0$

Розкриємо дужки у лівій частині нерівності:

$6 + 2 x + 4 - x \leq 0$

Зведемо подібні доданки:

$x + 10 \leq 0$

Перенесемо число $10$ у праву частину зі зміною знака:

$x \leq - 10$

Відповідь: $x \leq - 10$ або $x \in (- \infty; - 10]$ .

4) $- (2 - 3 x) + 4 (x + 6) < 1$

Розкриємо дужки у лівій частині нерівності:

$- 2 + 3 x + 4 x + 24 < 1$

Зведемо подібні доданки:

$7 x + 22 < 1$

Перенесемо число $22$ у праву частину:

$7 x < 1 - 22$

$7 x < - 21$

Поділимо обидві частини нерівності на $7$ ( $7 > 0$ , знак нерівності залишається без змін):

$x < - \frac{21}{7}$

$x < - 3$

Відповідь: $x < - 3$ або $x \in (- \infty; - 3)$ .

№ 6.21. Розв’яжіть нерівність:

1) $4 (1 + x) < x - 2$

Розкриємо дужки у лівій частині нерівності:

$4 + 4 x < x - 2$

Перенесемо доданки зі змінною у ліву частину, а числа — у праву:

$4 x - x < - 2 - 4$

$3 x < - 6$

Поділимо обидві частини нерівності на $3$ :

$x < - 2$

Відповідь: $x < - 2$ або $x \in (- \infty; - 2)$ .

2) $2 + x \geq 6 (2 x - 1)$

Розкриємо дужки у правій частині нерівності:

$2 + x \geq 12 x - 6$

Перенесемо доданки зі змінною у ліву частину, а числа — у праву:

$x - 12 x \geq - 6 - 2$

$- 11 x \geq - 8$

Поділимо обидві частини нерівності на $- 11$ (змінивши знак нерівності на протилежний):

$x \leq \frac{8}{11}$

Відповідь: $x \leq \frac{8}{11}$ або $x \in (- \infty; \frac{8}{11}]$ .

3) $- (2 x + 1) > 3 (x + 2)$

Розкриємо дужки в обох частинах нерівності:

$- 2 x - 1 > 3 x + 6$

Перенесемо доданки зі змінною у ліву частину, а числа — у праву:

$- 2 x - 3 x > 6 + 1$

$- 5 x > 7$

Поділимо обидві частини нерівності на $- 5$ (змінивши знак нерівності на протилежний):

$x < - \frac{7}{5}$

$x < - 1, 4$

Відповідь: $x < - 1, 4$ або $x \in (- \infty; - 1, 4)$ .

4) $5 (x + 8) + 4 (1 - x) \leq 0$

Розкриємо дужки у лівій частині нерівності:

$5 x + 40 + 4 - 4 x \leq 0$

Зведемо подібні доданки:

$x + 44 \leq 0$

Перенесемо число $44$ у праву частину:

$x \leq - 44$

Відповідь: $x \leq - 44$ або $x \in (- \infty; - 44]$ .

№ 6.22. Знайдіть область визначення функції:

1) $y = x + 2$ ;

2) $y = \frac{1}{x - 3}$ .

1) Вираз під знаком арифметичного квадратного кореня має бути невід’ємним, тобто:

$x + 2 \geq 0$

Розв’яжемо отриману нерівність:

$x \geq - 2$

Отже, область визначення функції: $D (y) = [- 2; + \infty)$ .

Відповідь: $x \geq - 2$ або $D (y) = [- 2; + \infty)$ .

2) Вираз під знаком квадратного кореня має бути невід’ємним, а також знаменник дробу не може дорівнювати нулю. Тому вираз під коренем у знаменнику має бути строго додатним:

$x - 3 > 0$

Розв’яжемо нерівність:

$x > 3$

Отже, область визначення функції: $D (y) = (3; + \infty)$ .

Відповідь: $x > 3$ або $D (y) = (3; + \infty)$ .

№ 6.23. Знайдіть область визначення функції:

1) $y = x - 1$ ;

2) $y = \frac{1}{x + 4}$ .

1) $y = x - 1$

Арифметичний квадратний корінь існує тільки для невід’ємних чисел. Тому підкореневий вираз має бути більшим або дорівнювати нулю:

$x - 1 \geq 0$

Перенесемо $- 1$ у праву частину нерівності, змінивши знак на протилежний:

$x \geq 1$

Запишемо розв’язок у вигляді числового проміжку: $x \in [1; + \infty)$ .

2) $y = \frac{1}{x + 4}$

Вираз під знаком квадратного кореня має бути невід’ємним, але оскільки корінь міститься у знаменнику дробу, вираз також не може дорівнювати нулю, адже ділити на нуль не можна.

Отже, підкореневий вираз має бути строго більшим за нуль:

$x + 4 > 0$

Перенесемо $4$ у праву частину нерівності зі зміною знака:

$x > - 4$

Запишемо у вигляді числового проміжку: $x \in (- 4; + \infty)$ .

Відповідь:

1) $[1; + \infty)$ ;

2) $(- 4; + \infty)$ .

№ 6.24. Розв’яжіть нерівність:

1) $\frac{3 x}{4} - x < 2$ ;

2) $\frac{5 x}{3} + x \geq 16$ .

1) $\frac{3 x}{4} - x < 2$

Помножимо обидві частини нерівності на $4$ (оскільки $4 > 0$ , знак нерівності зберігається):

$4 \cdot (\frac{3 x}{4} - x) < 4 \cdot 2$

$3 x - 4 x < 8$

Зведемо подібні доданки:

$- x < 8$

Поділимо обидві частини нерівності на $- 1$ . Оскільки ділення виконується на від’ємне число, змінюємо знак нерівності на протилежний:

$x > - 8$

Запишемо розв’язок у вигляді числового проміжку: $x \in (- 8; + \infty)$ .

Відповідь: $(- 8; + \infty)$ .

2) $\frac{5 x}{3} + x \geq 16$

Помножимо обидві частини нерівності на $3$ (оскільки $3 > 0$ , знак нерівності зберігається):

$3 \cdot (\frac{5 x}{3} + x) \geq 3 \cdot 16$

$5 x + 3 x \geq 48$

Зведемо подібні доданки:

$8 x \geq 48$

Поділимо обидві частини на $8$ ( $8 > 0$ , знак нерівності не змінюється):

$x \geq 6$

Запишемо розв’язок у вигляді числового проміжку: $x \in [6; + \infty)$ .

Відповідь: $[6; + \infty)$ .

№ 6.25. За яких значень $a$ нерівність $a x < 4$ має ту саму множину розв’язків, що й нерівність:

1) $x < \frac{4}{a}$ ;

2) $x > \frac{4}{a}$ ?

1) Розглянемо нерівність $a x < 4$ . Щоб отримати нерівність $x < \frac{4}{a}$ , потрібно поділити обидві частини нерівності на $a$ .

При цьому знак нерівності ( $<$ ) залишився без змін. Знак нерівності не змінюється при діленні на додатне число, тобто при $a > 0$ .

Відповідь: при $a > 0$ .

2) Розглянемо нерівність $a x < 4$ . Щоб отримати нерівність $x > \frac{4}{a}$ , потрібно поділити обидві частини нерівності на $a$ .

Знак нерівності змінився на протилежний (з $<$ на $>$ ). Це відбувається тоді, коли обидві частини нерівності діляться на від’ємне число, тобто при $a < 0$ .

Відповідь: при $a < 0$ .

№ 6.26. За яких значень $b$ нерівність $b x \geq 7$ має ту саму множину розв’язків, що й нерівність:

1) $x \geq \frac{7}{b}$ ;

2) $x \leq \frac{7}{b}$ ?

1) Розглянемо нерівність $b x \geq 7$ .

При діленні обох частин нерівності на $b$ знак нерівності « $\geq$ » не змінився: $x \geq \frac{7}{b}$ .

Це можливо тоді й лише тоді, коли ділення виконується на додатне число, тобто $b > 0$ .

2) Розглянемо нерівність $b x \geq 7$ .

При діленні обох частин нерівності на $b$ знак нерівності змінився на протилежний (з « $\geq$ » на « $\leq$ »): $x \leq \frac{7}{b}$ .

Це можливо тоді й лише тоді, коли ділення виконується на від’ємне число, тобто $b < 0$ .

Відповідь:

1) при $b > 0$ ;

2) при $b < 0$ .

№ 6.27. Складіть таку нерівність вигляду $a x > b$ , щоб множиною її розв’язків був проміжок:

1) $(3; + \infty)$ ;

2) $(- \infty; 1)$ .

1) Проміжок $(3; + \infty)$ відповідає нерівності $x > 3$ .

Щоб звести її до вигляду $a x > b$ , помножимо обидві частини нерівності $x > 3$ на будь-яке додатне число, наприклад, на $2$ ( $2 > 0$ , знак нерівності зберігається):

$2 \cdot x > 2 \cdot 3$

$2 x > 6$

Отримали нерівність вигляду $a x > b$ , де $a = 2$ , $b = 6$ .

Відповідь: $2 x > 6$ (або $x > 3$ ).

2) Проміжок $(- \infty; 1)$ відповідає нерівності $x < 1$ .

Нам необхідно скласти нерівність зі знаком « $>$ » (вигляду $a x > b$ ). Щоб змінити знак нерівності з « $<$ » на « $>$ », помножимо обидві частини нерівності $x < 1$ на будь-яке від’ємне число, наприклад, на $- 1$ :

$- 1 \cdot x > - 1 \cdot 1$

$- x > - 1$

Отримали нерівність вигляду $a x > b$ , де $a = - 1$ , $b = - 1$ .

Відповідь: $- x > - 1$ (або $- 2 x > - 2$ ).

№ 6.28. Знайдіть усі натуральні розв’язки нерівності:

1) $x (x + 2) - x^{2} > 4 x - 7$ ;

Розкриємо дужки у лівій частині нерівності:

$x^{2} + 2 x - x^{2} > 4 x - 7$

Зведемо подібні доданки:

$2 x > 4 x - 7$

Перенесемо доданок зі змінною в ліву частину нерівності:

$2 x - 4 x > - 7$

$- 2 x > - 7$

Поділимо обидві частини нерівності на $- 2$ , змінивши знак нерівності на протилежний:

$x < \frac{- 7}{- 2}$

$x < 3, 5$

Натуральні числа — це цілі додатні числа ( $1, 2, 3, \dots$ ). Серед чисел, що задовольняють нерівність $x < 3, 5$ , натуральними є $1, 2, 3$ .

Відповідь: $1; 2; 3$ .

2) $(x + 5) (x - 5) \leq x^{2} - 5 x$ .

Застосуємо формулу різниці квадратів у лівій частині нерівності:

$x^{2} - 25 \leq x^{2} - 5 x$

Перенесемо доданки зі змінною в ліву частину, а числа — у праву:

$x^{2} - x^{2} + 5 x \leq 25$

$5 x \leq 25$

Поділимо обидві частини нерівності на $5$ :

$x \leq 5$

Натуральними розв’язками нерівності $x \leq 5$ є числа $1, 2, 3, 4, 5$ .

Відповідь: $1; 2; 3; 4; 5$ .

№ 6.29. Знайдіть усі натуральні розв’язки нерівності:

1) $(x + 1)^{2} - x^{2} \geq 6 x - 9$ ;

Розкриємо квадрат суми у лівій частині нерівності:

$x^{2} + 2 x + 1 - x^{2} \geq 6 x - 9$

Зведемо подібні доданки:

$2 x + 1 \geq 6 x - 9$

Перенесемо доданки зі змінною в ліву частину, а числа — у праву:

$2 x - 6 x \geq - 9 - 1$

$- 4 x \geq - 10$

Поділимо обидві частини нерівності на $- 4$ , змінивши знак нерівності на протилежний:

$x \leq \frac{- 10}{- 4}$

$x \leq 2, 5$

Натуральними розв’язками нерівності $x \leq 2, 5$ є числа $1$ та $2$ .

Відповідь: $1; 2$ .

2) $(x - 1) (x + 2) < x^{2} - 3 x + 11$ .

Перемножимо многочлени у лівій частині нерівності:

$x^{2} + 2 x - x - 2 < x^{2} - 3 x + 11$

$x^{2} + x - 2 < x^{2} - 3 x + 11$

Перенесемо доданки зі змінною в ліву частину, а числа — у праву:

$x^{2} + x - x^{2} + 3 x < 11 + 2$

$4 x < 13$

Поділимо обидві частини нерівності на $4$ :

$x < \frac{13}{4}$

$x < 3, 25$

Натуральними розв’язками нерівності $x < 3, 25$ є числа $1, 2, 3$ .

Відповідь: $1; 2; 3$ .

№ 6.30. Нехай $x_{0}$ — найбільший натуральний розв’язок нерівності $(x - 3)^{2} - (x + 1)^{2} > 2 x - 43$ . Знайдіть добуток $377 x_{0}$ , відтак дізнаєтеся рік заснування національного технічного університету «Харківський політехнічний інститут».

Розкриємо квадрати двочленів у лівій частині нерівності:

$(x^{2} - 6 x + 9) - (x^{2} + 2 x + 1) > 2 x - 43$

$x^{2} - 6 x + 9 - x^{2} - 2 x - 1 > 2 x - 43$

Зведемо подібні доданки у лівій частині:

$- 8 x + 8 > 2 x - 43$

Перенесемо доданки зі змінною в ліву частину, а числа — у праву:

$- 8 x - 2 x > - 43 - 8$

$- 10 x > - 51$

Поділимо обидві частини нерівності на $- 10$ , змінивши знак нерівності на протилежний:

$x < \frac{- 51}{- 10}$

$x < 5, 1$

Натуральними розв’язками нерівності є числа $1, 2, 3, 4, 5$ . Найбільшим натуральним розв’язком є $x_{0} = 5$ .

Обчислимо шуканий добуток:

$377 \cdot x_{0} = 377 \cdot 5 = 1885$

Отже, Національний технічний університет «Харківський політехнічний інститут» було засновано 1885 року.

Відповідь: $x_{0} = 5$ ; рік заснування — $1885$ .

№ 6.31. Нехай $x_{0}$ — найменший натуральний розв’язок нерівності $(x - 2)^{2} - (x - 1)^{2} < x - 52$ . Знайдіть добуток $90 x_{0}$ , відтак дізнаєтеся, якого року було прийнято «Конституцію прав і свобод Війська Запорозького» Пилипа Орлика — першу конституцію у світовій історії.

Розкриємо квадрати двочленів у лівій частині нерівності:

$(x^{2} - 4 x + 4) - (x^{2} - 2 x + 1) < x - 52$

$x^{2} - 4 x + 4 - x^{2} + 2 x - 1 < x - 52$

Зведемо подібні доданки у лівій частині:

$- 2 x + 3 < x - 52$

Перенесемо доданки зі змінною в ліву частину, а числа — у праву:

$- 2 x - x < - 52 - 3$

$- 3 x < - 55$

Поділимо обидві частини нерівності на $- 3$ , змінивши знак нерівності на протилежний:

$x > \frac{- 55}{- 3}$

$x > 18 \frac{1}{3}$

Найменшим натуральним числом, що задовольняє умову $x > 18 \frac{1}{3}$ , є $x_{0} = 19$ .

Обчислимо шуканий добуток:

$90 \cdot x_{0} = 90 \cdot 19 = 1710$

Отже, «Конституцію прав і свобод Війська Запорозького» Пилипа Орлика було прийнято 1710 року.

Відповідь: $x_{0} = 19$ ; рік прийняття — $1710$ .

№ 6.32. Знайдіть найменший цілий розв’язок нерівності:

1) $\frac{x + 3}{4} - \frac{x}{3} \leq 0$ ;

Помножимо обидві частини нерівності на найменший спільний знаменник дробів — число $12$ :

$12 \cdot \frac{x + 3}{4} - 12 \cdot \frac{x}{3} \leq 12 \cdot 0$

$3 (x + 3) - 4 x \leq 0$

Розкриємо дужки:

$3 x + 9 - 4 x \leq 0$

$- x + 9 \leq 0$

Перенесемо число $9$ у праву частину:

$- x \leq - 9$

Поділимо обидві частини нерівності на $- 1$ , змінивши знак нерівності на протилежний:

$x \geq 9$

Множиною розв’язків є числовий проміжок $[9; + \infty)$ . Найменшим цілим розв’язком нерівності є число $9$ .

Відповідь: $9$ .

2) $\frac{x + 1}{2} - \frac{1 - 5 x}{5} > x$ .

Помножимо обидві частини нерівності на найменший спільний знаменник дробів — число $10$ :

$10 \cdot \frac{x + 1}{2} - 10 \cdot \frac{1 - 5 x}{5} > 10 \cdot x$

$5 (x + 1) - 2 (1 - 5 x) > 10 x$

Розкриємо дужки:

$5 x + 5 - 2 + 10 x > 10 x$

$15 x + 3 > 10 x$

Перенесемо доданки зі змінною в ліву частину, а числа — у праву:

$15 x - 10 x > - 3$

$5 x > - 3$

Поділимо обидві частини нерівності на $5$ :

$x > - \frac{3}{5}$

$x > - 0, 6$

Найменшим цілим числом з проміжку $(- 0, 6; + \infty)$ є число $0$ .

Відповідь: $0$ .

№ 6.33. Знайдіть найбільший цілий розв’язок нерівності:

1) $\frac{x + 2}{7} - \frac{x}{5} \geq 0;$

Помножимо обидві частини нерівності на найменший спільний знаменник дробів — число $35$ :

$35 \cdot (\frac{x + 2}{7} - \frac{x}{5}) \geq 35 \cdot 0$

$5 (x + 2) - 7 x \geq 0$

Розкриємо дужки та зведемо подібні доданки:

$5 x + 10 - 7 x \geq 0$

$- 2 x + 10 \geq 0$

Перенесемо число $10$ у праву частину нерівності, змінивши його знак на протилежний:

$- 2 x \geq - 10$

Поділимо обидві частини нерівності на від’ємне число $- 2$ , змінивши знак нерівності на протилежний:

$x \leq 5$

Множиною розв’язків є числовий проміжок $x \in (- \infty; 5]$ .

Найбільшим цілим розв’язком цієї нерівності є число $5$ .

Відповідь: $5$ .

2) $\frac{x - 1}{3} - \frac{1 - 4 x}{2} < x .$

Помножимо обидві частини нерівності на найменший спільний знаменник дробів — число $6$ :

$6 \cdot (\frac{x - 1}{3} - \frac{1 - 4 x}{2}) < 6 \cdot x$

$2 (x - 1) - 3 (1 - 4 x) < 6 x$

Розкриємо дужки:

$2 x - 2 - 3 + 12 x < 6 x$

Зведемо подібні доданки у лівій частині:

$14 x - 5 < 6 x$

Перенесемо доданки зі змінною $x$ у ліву частину, а без змінної — у праву:

$14 x - 6 x < 5$

$8 x < 5$

Поділимо обидві частини нерівності на $8$ :

$x < \frac{5}{8}$

Множиною розв’язків є проміжок $(- \infty; \frac{5}{8})$ .

Оскільки $\frac{5}{8} = 0, 625$ , то найбільшим цілим числом, яке менше за $0, 625$ , є число $0$ .

Відповідь: $0$ .

№ 6.34. Знайдіть множину розв’язків нерівності:

1) $2 (3 x + 1) - 3 x > 3 x$ ;

2) $x + \frac{x}{2} \geq \frac{3 x}{2} + 2$ ;

3) $4 (x + 1) \geq 2 (x + 2) + 2 x$ ;

4) $3 (x - 1) - 2 x < x - 3$ .

1) Розкриємо дужки у лівій частині нерівності:

$6 x + 2 - 3 x > 3 x$

Зведемо подібні доданки:

$3 x + 2 > 3 x$

Перенесемо доданок $3 x$ у ліву частину, а число $2$ — у праву:

$3 x - 3 x > - 2$

$0 \cdot x > - 2$

Нерівність $0 \cdot x > - 2$ є правильною за будь-якого значення змінної $x$ , оскільки $0 > - 2$ .

Отже, розв’язком нерівності є будь-яке число ( $x \in (- \infty; + \infty)$ ).

Відповідь: $(- \infty; + \infty)$ .

2) Помножимо обидві частини нерівності на $2$ :

$2 \cdot (x + \frac{x}{2}) \geq 2 \cdot (\frac{3 x}{2} + 2)$

$2 x + x \geq 3 x + 4$

$3 x \geq 3 x + 4$

Перенесемо доданок $3 x$ з правої частини у ліву:

$3 x - 3 x \geq 4$

$0 \cdot x \geq 4$

Нерівність $0 \cdot x \geq 4$ є неправильною для будь-якого значення $x$ , оскільки $0 \geq 4$ — хибне твердження.

Отже, нерівність не має розв’язків.

Відповідь: $\emptyset$ .

3) Розкриємо дужки у лівій та правій частинах нерівності:

$4 x + 4 \geq 2 x + 4 + 2 x$

Зведемо подібні доданки у правій частині:

$4 x + 4 \geq 4 x + 4$

Перенесемо доданки зі змінною у ліву частину, а числа — у праву:

$4 x - 4 x \geq 4 - 4$

$0 \cdot x \geq 0$

Нерівність $0 \cdot x \geq 0$ є правильною для будь-якого значення $x$ , оскільки $0 \geq 0$ .

Отже, розв’язком нерівності є будь-яке число ( $x \in (- \infty; + \infty)$ ).

Відповідь: $(- \infty; + \infty)$ .

4) Розкриємо дужки у лівій частині:

$3 x - 3 - 2 x < x - 3$

Зведемо подібні доданки:

$x - 3 < x - 3$

Перенесемо доданок $x$ у ліву частину, а число $- 3$ — у праву:

$x - x < - 3 + 3$

$0 \cdot x < 0$

Нерівність $0 \cdot x < 0$ є неправильною за будь-якого значення $x$ , оскільки $0 < 0$ — хибне твердження.

Отже, нерівність не має розв’язків.

Відповідь: $\emptyset$ .

№ 6.35. Розв’яжіть нерівність:

1) $3 (2 x + 1) - 6 x \geq 5;$

Розкриємо дужки:

$6 x + 3 - 6 x \geq 5$

Зведемо подібні доданки:

$0 \cdot x + 3 \geq 5$

$0 \cdot x \geq 5 - 3$

$0 \cdot x \geq 2$

Нерівність $0 \cdot x \geq 2$ не має розв’язків, оскільки $0 \geq 2$ є хибним твердженням.

Відповідь: розв’язків немає (або $\emptyset$ ).

2) $4 (x + 1) - 3 x > - (2 - x);$

Розкриємо дужки з обох боків:

$4 x + 4 - 3 x > - 2 + x$

$x + 4 > - 2 + x$

Перенесемо доданок $x$ у ліву частину, а число $4$ — у праву:

$x - x > - 2 - 4$

$0 \cdot x > - 6$

Нерівність $0 \cdot x > - 6$ є правильною при будь-якому значенні $x$ , оскільки $0 > - 6$ .

Відповідь: будь-яке число (або $(- \infty; + \infty)$ ).

3) $x - \frac{x}{3} < \frac{2 x}{3} - 1;$

Помножимо обидві частини нерівності на $3$ :

$3 \cdot (x - \frac{x}{3}) < 3 \cdot (\frac{2 x}{3} - 1)$

$3 x - x < 2 x - 3$

$2 x < 2 x - 3$

Перенесемо $2 x$ з правої частини у ліву:

$2 x - 2 x < - 3$

$0 \cdot x < - 3$

Нерівність $0 \cdot x < - 3$ не має розв’язків, оскільки $0 < - 3$ є хибним твердженням.

Відповідь: розв’язків немає (або $\emptyset$ ).

4) $6 (x + 1) - 3 (x + 2) \leq 3 x .$

Розкриємо дужки у лівій частині:

$6 x + 6 - 3 x - 6 \leq 3 x$

Зведемо подібні доданки у лівій частині:

$3 x \leq 3 x$

Перенесемо доданок $3 x$ з правої частини у ліву:

$3 x - 3 x \leq 0$

$0 \cdot x \leq 0$

Нерівність $0 \cdot x \leq 0$ є правильною за будь-якого значення $x$ , оскільки $0 \leq 0$ .

Відповідь: будь-яке число (або $(- \infty; + \infty)$ ).

№ 6.36. Довжина однієї сторони прямокутника дорівнює $8 см$ . Якою має бути довжина другої сторони прямокутника, щоб його площа була меншою від $96 см^{2}$ ?

Нехай довжина другої сторони прямокутника дорівнює $x см$ . Оскільки довжина сторони фігури є додатною величиною, маємо умову $x > 0$ .

Площа прямокутника обчислюється за формулою $S = a \cdot b$ . Враховуючи, що $a = 8 см$ , а $b = x см$ , за умовою задачі складемо нерівність:

$8 \cdot x < 96$

Поділимо обидві частини нерівності на $8$ :

$x < \frac{96}{8}$

$x < 12$

Враховуючи геометричний зміст довжини ( $x > 0$ ), отримуємо:

$0 < x < 12$

Відповідь: довжина другої сторони має бути більшою за $0 см$ , але меншою від $12 см$ ( $0 < x < 12 см$ ).

№ 6.37. За яких значень $a$ коренем рівняння:

1) $4 x - 7 = a$ є число додатне;

Виразимо корінь рівняння $x$ через параметр $a$ :

$4 x = a + 7$

$x = \frac{a + 7}{4}$

За умовою задачі корінь рівняння має бути додатним числом ( $x > 0$ ):

$\frac{a + 7}{4} > 0$

Помножимо обидві частини нерівності на $4$ :

$a + 7 > 0$

$a > - 7$

Відповідь: при $a > - 7$ .

2) $5 + 2 x = 3 - a$ є число від’ємне?

Виразимо корінь рівняння $x$ через параметр $a$ :

$2 x = 3 - a - 5$

$2 x = - a - 2$

$x = \frac{- a - 2}{2}$

За умовою задачі корінь рівняння має бути від’ємним числом ( $x < 0$ ):

$\frac{- a - 2}{2} < 0$

Помножимо обидві частини нерівності на $2$ :

$- a - 2 < 0$

$- a < 2$

Поділимо обидві частини нерівності на $- 1$ , змінивши знак нерівності на протилежний:

$a > - 2$

Відповідь: при $a > - 2$ .

№ 6.38. Чи існує таке значення $a$ , за якого:
1) нерівність $a x > 2$ не має розв’язків;
2) розв’язком нерівності $(a - 3) x < 7$ є будь-яке число?
У разі ствердної відповіді вкажіть це значення $a$ .

1) Розглянемо нерівність $a x > 2$ для різних значень параметра $a$ :

якщо $a > 0$ , то $x > \frac{2}{a}$ (розв’язки є);
якщо $a < 0$ , то $x < \frac{2}{a}$ (розв’язки є);
якщо $a = 0$ , отримаємо:

$0 \cdot x > 2$

$0 > 2$

Нерівність $0 > 2$ є неправильною для будь-якого значення $x$ , тому нерівність не має розв’язків.

Отже, при $a = 0$ нерівність не має розв’язків.

Відповідь: так, $a = 0$ .

2) Розглянемо нерівність $(a - 3) x < 7$ :

якщо $a - 3 = 0$ , тобто $a = 3$ , отримаємо:

$0 \cdot x < 7$

$0 < 7$

Нерівність $0 < 7$ є правильною для будь-якого значення $x$ .

Отже, при $a = 3$ розв’язком нерівності є будь-яке число ( $x \in R$ ).

якщо $a - 3 \neq = 0$ ( $a \neq = 3$ ), розв’язком є числовий проміжок, а не будь-яке число.

Відповідь: так, $a = 3$ .

№ 6.39. За яких значень $b$ рівняння:

1) $x^{2} + 6 x - 2 b = 0$ не має коренів;

2) $b x^{2} - 4 x - 1 = 0$ має два різних корені?

1) Розглянемо квадратне рівняння $x^{2} + 6 x - 2 b = 0$ .

Коефіцієнти рівняння: $a = 1$ , $k = 6$ , $c = - 2 b$ .

Рівняння не має коренів тоді і тільки тоді, коли його дискримінант від’ємний ( $D < 0$ ):

$D = 6^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 2 b) = 36 + 8 b$

Складемо та розв’яжемо нерівність:

$36 + 8 b < 0$

$8 b < - 36$

$b < - \frac{36}{8}$

$b < - 4, 5$

Відповідь: $b < - 4, 5$ (або $b \in (- \infty; - 4, 5)$ ).

2) Розглянемо рівняння $b x^{2} - 4 x - 1 = 0$ .

Рівняння має два різних корені, якщо воно є квадратним ( $b \neq = 0$ ) і його дискримінант строго більший за нуль ( $D > 0$ ).

Знайдемо дискримінант:

$D = (- 4)^{2} - 4 \cdot b \cdot (- 1) = 16 + 4 b$

Складемо систему умов:

{b \neq = 0 16 + 4 b > 0

Розв’яжемо нерівність системи:

$16 + 4 b > 0$

$4 b > - 16$

$b > - 4$

Враховуючи умову $b \neq = 0$ , маємо:

$b \in (- 4; 0) \cup (0; + \infty)$

Відповідь: $b \in (- 4; 0) \cup (0; + \infty)$ .

№ 6.40. За яких значень $a$ рівняння:

1) $x^{2} + 8 x - 4 a = 0$ має два різних корені;

2) $a x^{2} - 6 x + 1 = 0$ не має коренів?

1) Квадратне рівняння $x^{2} + 8 x - 4 a = 0$ .

Коефіцієнти: $A = 1$ , $B = 8$ , $C = - 4 a$ .

Рівняння має два різних корені, якщо дискримінант більший за нуль ( $D > 0$ ):

$D = B^{2} - 4 A C = 8^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 4 a) = 64 + 16 a$

Складемо та розв’яжемо нерівність:

$64 + 16 a > 0$

$16 a > - 64$

$a > - 4$

Відповідь: $a > - 4$ ( $a \in (- 4; + \infty)$ ).

2) Рівняння $a x^{2} - 6 x + 1 = 0$ .

Розглянемо два випадки:

Якщо $a = 0$ , рівняння набуває вигляду $- 6 x + 1 = 0$ , звідки $6 x = 1$ , тобто $x = \frac{1}{6}$ (має один корінь), що не задовольняє умову.
Якщо $a \neq = 0$ , рівняння є квадратним і не має коренів, якщо $D < 0$ :

$D = (- 6)^{2} - 4 \cdot a \cdot 1 = 36 - 4 a$

Складемо та розв’яжемо нерівність:

$36 - 4 a < 0$

$- 4 a < - 36$

Поділимо обидві частини на $- 4$ , змінивши знак нерівності на протилежний:

$a > 9$

Оскільки при $a > 9$ умова $a \neq = 0$ виконується, то розв’язком є $a > 9$ .

Відповідь: $a > 9$ ( $a \in (9; + \infty)$ ).

№ 6.41. Два натуральних числа відносяться як $2 : 5$ , а їх сума менша від числа 171. Якого найбільшого значення може набувати менше із цих чисел?

Нехай $x$ — спільна міра відношення ( $x \in N$ ).

Тоді менше натуральне число дорівнює $2 x$ , а більше натуральне число дорівнює $5 x$ .

За умовою задачі сума цих чисел менша від $171$ :

$2 x + 5 x < 171$

$7 x < 171$

$x < \frac{171}{7}$

$x < 24 \frac{3}{7}$

Оскільки $x \in N$ , то найбільшим натуральним значенням для $x$ є $x = 24$ .

Знайдемо найбільше значення меншого числа $2 x$ :

$2 \cdot 24 = 48$

Відповідь: $48$ .

№ 6.42. Два натуральних числа відносяться як $3 : 2$ , а їх сума більша за $83$ . Якого найменшого значення може набувати більше із цих чисел?

Нехай $x$ — коефіцієнт пропорційності ( $x \in N$ ).

Тоді більше натуральне число дорівнює $3 x$ , а менше — $2 x$ .

За умовою задачі сума цих чисел більша за $83$ :

$3 x + 2 x > 83$

$5 x > 83$

$x > \frac{83}{5}$

$x > 16, 6$

Оскільки $x \in N$ , то найменшим натуральним значенням $x$ , що задовольняє нерівність $x > 16, 6$ , є $x = 17$ .

Знайдемо найменше значення більшого числа:

$3 \cdot 17 = 51$

Відповідь: $51$ .

№ 6.43. Зал для хореографії має площу $510 м^{2}$ . Третину зали пофарбовано у жовтий колір, а решту потрібно пофарбувати у блакитний. Витрати фарби становлять $120 г / м^{2}$ , а банка фарби має масу $1 кг$ . Яку найменшу кількість банок із блакитною фарбою потрібно купити, щоб виконати таке завдання?

1) Обчислимо площу частини зали, яку потрібно пофарбувати в блакитний колір. Оскільки жовтим кольором пофарбовано $\frac{1}{3}$ всієї площі, частка блакитного кольору становить:

$1 - \frac{1}{3} = \frac{2}{3}$

Площа блакитної частини дорівнює:

$S = 510 \cdot \frac{2}{3} = 340 м^{2}$

2) Обчислимо необхідну масу блакитної фарби. Витрати фарби становлять $120 г / м^{2} = 0, 12 кг / м^{2}$ :

$m = 340 \cdot 0, 12 = 40, 8 кг$

3) Знайдемо кількість банок фарби масою $1 кг$ :

$\frac{40 , 8}{1} = 40, 8 банок$

Оскільки банки продаються цілими, округлюємо значення у більшу сторону до найближчого цілого числа, щоб фарби вистачило на всю площу: $41$ банка.

Відповідь: 41 банка.

№ 6.44. Резервуар місткістю $1 м^{3}$ на три чверті заповнено водою. Яку найбільшу цілу кількість відер води можна долити в цей резервуар, якщо відро містить $12 л$ ?

1) Переведемо місткість резервуара у літри ( $1 м^{3} = 1000 л$ ):

$V_{заг} = 1000 л$

2) Знайдемо об’єм порожньої частини резервуара, яку можна доповнити водою. Оскільки резервуар заповнений на $\frac{3}{4}$ , незаповнена частина становить:

$1 - \frac{3}{4} = \frac{1}{4}$

Вільний об’єм дорівнює:

$V_{вільний} = 1000 \cdot \frac{1}{4} = 250 л$

3) Знайдемо кількість відер об’ємом $12 л$ , які можна долити:

$n = \frac{250}{12} = 20 \frac{10}{12} = 20 \frac{5}{6} \approx 20, 83$

Оскільки вода не повинна виливатися з резервуара, найбільша ціла кількість відер становить $20$ .

Відповідь: $20$ відер.

№ 6.45. Розв’яжіть нерівність для всіх значень $a$ :

1) $a x > 3$ ;

Розглянемо три випадки залежно від знака коефіцієнта $a$ :

Якщо $a > 0$ , поділимо обидві частини нерівності на $a > 0$ , при цьому знак нерівності не змінюється:

$x > \frac{3}{a} ⟹ x \in (\frac{3}{a}; + \infty)$

Якщо $a = 0$ , отримаємо нерівність $0 \cdot x > 3$ , тобто $0 > 3$ , що є неправильним твердженням. Отже, розв’язків немає ( $x \in \emptyset$ ).
Якщо $a < 0$ , поділимо обидві частини нерівності на $a < 0$ , при цьому знак нерівності змінюється на протилежний:

$x < \frac{3}{a} ⟹ x \in (- \infty; \frac{3}{a})$

Відповідь: якщо $a > 0$ , то $x \in (\frac{3}{a}; + \infty)$ ; якщо $a = 0$ , то розв’язків немає; якщо $a < 0$ , то $x \in (- \infty; \frac{3}{a})$ .

2) $a x \geq 0$ ;

Розглянемо можливі випадки для коефіцієнта $a$ :

Якщо $a > 0$ , поділимо обидві частини нерівності на $a > 0$ :

$x \geq 0 ⟹ x \in [0; + \infty)$

Якщо $a = 0$ , отримаємо нерівність $0 \cdot x \geq 0$ , тобто $0 \geq 0$ , що є правильним для будь-якого дійсного числа $x$ . Отже, розв’язком є будь-яке число ( $x \in (- \infty; + \infty)$ ).
Якщо $a < 0$ , поділимо обидві частини нерівності на $a < 0$ , змінивши знак нерівності на протилежний:

$x \leq 0 ⟹ x \in (- \infty; 0]$

Відповідь: якщо $a > 0$ , то $x \in [0; + \infty)$ ; якщо $a = 0$ , то $x \in (- \infty; + \infty)$ ; якщо $a < 0$ , то $x \in (- \infty; 0]$ .

3) $a x < 0$ ;

Розглянемо можливі випадки для коефіцієнта $a$ :

Якщо $a > 0$ , поділимо обидві частини нерівності на $a > 0$ :

$x < 0 ⟹ x \in (- \infty; 0)$

Якщо $a = 0$ , отримаємо нерівність $0 \cdot x < 0$ , тобто $0 < 0$ , що є неправильним. Отже, розв’язків немає ( $x \in \emptyset$ ).
Якщо $a < 0$ , поділимо обидві частини нерівності на $a < 0$ , змінивши знак нерівності на протилежний:

$x > 0 ⟹ x \in (0; + \infty)$

Відповідь: якщо $a > 0$ , то $x \in (- \infty; 0)$ ; якщо $a = 0$ , то розв’язків немає; якщо $a < 0$ , то $x \in (0; + \infty)$ .

4) $- a x < 5$ .

Помножимо обидві частини нерівності на $- 1$ і змінимо знак нерівності на протилежний:

$a x > - 5$

Розглянемо випадки для коефіцієнта $a$ :

Якщо $a > 0$ , поділимо обидві частини на $a > 0$ :

$x > - \frac{5}{a} ⟹ x \in (- \frac{5}{a}; + \infty)$

Якщо $a = 0$ , отримаємо нерівність $0 \cdot x > - 5$ , тобто $0 > - 5$ , що є правильним для будь-якого $x$ . Отже, $x \in (- \infty; + \infty)$ .
Якщо $a < 0$ , поділимо обидві частини на $a < 0$ , змінивши знак нерівності на протилежний:

$x < - \frac{5}{a} ⟹ x \in (- \infty; - \frac{5}{a})$

Відповідь: якщо $a > 0$ , то $x \in (- \frac{5}{a}; + \infty)$ ; якщо $a = 0$ , то $x \in (- \infty; + \infty)$ ; якщо $a < 0$ , то $x \in (- \infty; - \frac{5}{a})$ .

№ 6.46. Знайдіть значення виразу:

1) $2 (50 - 8)$ ;

2) $5^{2} \cdot 2^{4}$ ;

3) $(10 - 7) (10 + 7)$ .

1) Використаємо властивість множення коренів та розкриємо дужки:

$2 (50 - 8) = 2 \cdot 50 - 2 \cdot 8 = 2 \cdot 50 - 2 \cdot 8 = 100 - 16 = 10 - 4 = 6$

2) Застосуємо властивість арифметичного квадратного кореня з добутку та степеня:

$5^{2} \cdot 2^{4} = 5^{2} \cdot (2^{2})^{2} = 5 \cdot 2^{2} = 5 \cdot 4 = 20$

3) Застосуємо формулу скороченого множення для різниці квадратів $(a - b) (a + b) = a^{2} - b^{2}$ :

$(10 - 7) (10 + 7) = (10)^{2} - (7)^{2} = 10 - 7 = 3$

Відповідь:

1) $6$ ;

2) $20$ ;

3) $3$ .

№ 6.47. Розв’яжіть систему рівнянь:

{x + y = 8 2 x - y = 1

Застосуємо метод почленного додавання рівнянь системи:

$(x + y) + (2 x - y) = 8 + 1$

$3 x = 9$

$x = 3$

Підставимо отримане значення $x = 3$ у перше рівняння системи:

$3 + y = 8$

$y = 8 - 3$

$y = 5$

Отже, розв’язком системи є пара чисел $(3; 5)$ .

Відповідь: $(3; 5)$ .

{3 y - x = 1 2 x + 5 y = 20

Виразимо змінну $x$ з першого рівняння системи:

$x = 3 y - 1$

Підставимо вираз для $x$ у друге рівняння системи:

$2 (3 y - 1) + 5 y = 20$

$6 y - 2 + 5 y = 20$

$11 y = 20 + 2$

$11 y = 22$

$y = 2$

Обчислимо значення змінної $x$ :

$x = 3 \cdot 2 - 1 = 6 - 1 = 5$

Отже, розв’язком системи є пара чисел $(5; 2)$ .

Відповідь: $(5; 2)$ .

ВПРАВИ ДЛЯ ПОВТОРЕННЯ

6.48. Туристка пропливла 5 км на моторному човні проти течії річки, а назад повернулася на плоту. Знайдіть швидкість течії, якщо на плоту туристка пливла на 2 год довше, ніж на човні, а власна швидкість човна дорівнює 12 км/год.

Нехай швидкість течії річки дорівнює $x км / год$ . Оскільки пліт рухається за течією лише за рахунок її швидкості, швидкість руху плоту також дорівнює $x км / год$ .

Власна швидкість човна дорівнює $12 км / год$ , а його швидкість проти течії річки становить $(12 - x) км / год$ .

Область допустимих значень (ОДЗ): $0 < x < 12$ .

За умовою задачі відстань в один бік дорівнює $5 км$ .

Час руху на плоту становить $t_{1} = \frac{5}{x} год$ .

Час руху на човні проти течії становить $t_{2} = \frac{5}{12 - x} год$ .

Різниця між часом руху на плоту та на човні дорівнює $2 год$ :

$\frac{5}{x} - \frac{5}{12 - x} = 2$

Розв’яжемо отримане рівняння:

$\frac{5 ( 12 - x ) - 5 x}{x ( 12 - x )} = 2$

$\frac{60 - 5 x - 5 x}{12 x - x ^{2}} = 2$

$\frac{60 - 10 x}{12 x - x ^{2}} = 2$

Помножимо обидві частини на $12 x - x^{2} \neq = 0$ :

$60 - 10 x = 2 (12 x - x^{2})$

$60 - 10 x = 24 x - 2 x^{2}$

$2 x^{2} - 34 x + 60 = 0$

Поділимо обидві частини рівняння на $2$ :

$x^{2} - 17 x + 30 = 0$

Знайдемо корені за допомогою дискримінанта:

$D = (- 17)^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 30 = 289 - 120 = 169 = 1 3^{2}$

$x_{1} = \frac{17 + 13}{2} = \frac{30}{2} = 15$

$x_{2} = \frac{17 - 13}{2} = \frac{4}{2} = 2$

Перевірка коренів:

Корінь $x_{1} = 15$ не задовольняє умову $0 < x < 12$ (швидкість течії не може перевищувати власну швидкість човна).

Корінь $x_{2} = 2$ задовольняє умову ОДЗ.

Відповідь: $2 км / год$ .

6.49. Доведіть, що значення виразу $(\frac{1}{a ^{2} - 4 a + 4} + \frac{1}{a ^{2} - 4}) : \frac{2}{( a - 2 ) ^{2}} - \frac{a}{a + 2}$ не залежить від значення змінної.

Виконаємо спрощення виразу за діями для всіх допустимих значень $a$ ( $a \neq = 2$ , $a \neq = - 2$ ).

1) Виконаємо додавання у дужках:

$\frac{1}{a ^{2} - 4 a + 4} + \frac{1}{a ^{2} - 4} = \frac{1}{( a - 2 ) ^{2}} + \frac{1}{( a - 2 ) ( a + 2 )}$

Спільним знаменником є $(a - 2)^{2} (a + 2)$ :

$\frac{1 \cdot ( a + 2 ) + 1 \cdot ( a - 2 )}{( a - 2 ) ^{2} ( a + 2 )} = \frac{a + 2 + a - 2}{( a - 2 ) ^{2} ( a + 2 )} = \frac{2 a}{( a - 2 ) ^{2} ( a + 2 )}$

2) Виконаємо ділення на дріб $\frac{2}{( a - 2 ) ^{2}}$ :

$\frac{2 a}{( a - 2 ) ^{2} ( a + 2 )} : \frac{2}{( a - 2 ) ^{2}} = \frac{2 a}{( a - 2 ) ^{2} ( a + 2 )} \cdot \frac{( a - 2 ) ^{2}}{2} = \frac{2 a \cdot ( a - 2 ) ^{2}}{( a - 2 ) ^{2} ( a + 2 ) \cdot 2} = \frac{a}{a + 2}$

3) Виконаємо віднімання:

$\frac{a}{a + 2} - \frac{a}{a + 2} = 0$

Оскільки в результаті спрощення виразу отримано число $0$ , значення виразу дорівнює $0$ і не залежить від значення змінної $a$ . Доведено.

Відповідь: доведено.

6.50. Побудуйте графік функції:

y = ⎩ ⎨ ⎧ 8, \frac{8}{x}, x - 2, якщо x < 1, якщо 1 \leq x \leq 4, якщо x > 4.

Побудуємо графік функції на кожному з трьох проміжків:

1) При $x < 1$ функція задана формулою $y = 8$ . Графіком є горизонтальний промінь з ординатою $y = 8$ .

Складемо таблицю значень:

$x$	$- 3$	$- 1$	$0$	$1$ (межа)
$y$	$8$	$8$	$8$	$8$

2) При $1 \leq x \leq 4$ функція задана формулою $y = \frac{8}{x}$ . Графіком є частина гіперболи у I координатній чверті.

Складемо таблицю значень:

$x$	$1$	$2$	$4$
$y$	$8$	$4$	$2$

3) При $x > 4$ функція задана формулою $y = x - 2$ . Графіком є промінь прямої з початком у точці $(4; 2)$ .

Складемо таблицю значень:

$x$	$4$ (межа)	$5$	$6$	$8$
$y$	$2$	$3$	$4$	$6$

Побудова:

Для $x < 1$ креслимо горизонтальний промінь $y = 8$ ;
На відрізку $[1; 4]$ сполучаємо плавною кривою точки $(1; 8)$ , $(2; 4)$ та $(4; 2)$ ;
Для $x > 4$ будуємо промінь, що виходить із точки $(4; 2)$ і проходить через точки $(5; 3)$ , $(6; 4)$ , $(8; 6)$ .

Графік функції до завдання 6.50

ЖИТТЄВА МАТЕМАТИКА

6.51. Родина із чотирьох осіб планує подорож із Києва до Львова або поїздом, або на власному авто. Квиток на поїзд на одну особу коштує 600 грн у вагоні-купе. Автомобіль витрачає 8 літрів пального на 100 кілометрів шляху, відстань по шосе між містами дорівнює 540 км, а ціна пального становить 55 грн за літр. Скільки коштуватиме родині найдешевший варіант такої подорожі?

1) Знайдемо вартість подорожі поїздом для родини з 4 осіб:

$S_{1} = 4 \cdot 600 = 2400 грн$

2) Знайдемо кількість пального, необхідного для подорожі на автомобілі на відстань $540 км$ :

$V = \frac{540}{100} \cdot 8 = 5, 4 \cdot 8 = 43, 2 л$

3) Обчислимо вартість пального для подорожі на автомобілі:

$S_{2} = 43, 2 \cdot 55 = 2376 грн$

4) Порівняємо витрати для двох варіантів:

$2376 грн < 2400 грн$

Найдешевшим варіантом є подорож на автомобілі, яка коштуватиме $2376 грн$ .

Відповідь: $2376 грн$ .

ПІДГОТУЙТЕСЯ ДО ВИВЧЕННЯ НОВОГО МАТЕРІАЛУ

6.52. Знайдіть перетин проміжків:

1) $(- \infty; 5]$ і $[3; + \infty)$ ;

Спільною частиною обох проміжків є числа $x$ , які задовольняють умову $3 \leq x \leq 5$ .

Отже, $(- \infty; 5] \cap [3; + \infty) = [3; 5]$ .

Відповідь: $[3; 5]$ .

2) $(- \infty; 3]$ і $[5; + \infty)$ ;

Проміжки не мають спільних точок, оскільки $3 < 5$ .

Отже, $(- \infty; 3] \cap [5; + \infty) = \emptyset$ .

Відповідь: $\emptyset$ .

3) $(- \infty; 3)$ і $(- \infty; 5]$ ;

Проміжок $(- \infty; 3)$ є складовою частиною проміжку $(- \infty; 5]$ , тому їхнім перерізом є проміжок $(- \infty; 3)$ .

Отже, $(- \infty; 3) \cap (- \infty; 5] = (- \infty; 3)$ .

Відповідь: $(- \infty; 3)$ .

4) $[3; + \infty)$ і $(5; + \infty)$ .

Проміжок $(5; + \infty)$ повністю входить до проміжку $[3; + \infty)$ , тому їхнім перерізом є проміжок $(5; + \infty)$ .

Отже, $[3; + \infty) \cap (5; + \infty) = (5; + \infty)$ .

Відповідь: $(5; + \infty)$ .

ПІДГОТУЙТЕСЯ ДО ВИВЧЕННЯ НОВОГО МАТЕРІАЛУ

6.53. Укажіть три значення $x$ , які одночасно є розв’язками кожної з двох нерівностей:

1) $x \leq 2$ і $x \geq - 3$ ;

Знайдемо переріз двох числових проміжків:

{x \leq 2 x \geq - 3 ⟺ - 3 \leq x \leq 2 ⟺ x \in [- 3; 2]

Будь-які три значення $x$ із цього проміжку (наприклад, $x = - 3$ , $x = 0$ , $x = 2$ ) є спільними розв’язками нерівностей.

Відповідь: $- 3; 0; 2$ .

2) $x > - 5$ і $x > 7$ ;

Знайдемо переріз двох числових проміжків:

{x > - 5 x > 7 ⟺ x > 7 ⟺ x \in (7; + \infty)

Будь-які три значення $x$ із цього проміжку (наприклад, $x = 8$ , $x = 9$ , $x = 10$ ) є спільними розв’язками нерівностей.

Відповідь: $8; 9; 10$ .

3) $x < 0$ і $x \geq - 7$ ;

Знайдемо переріз двох числових проміжків:

{x < 0 x \geq - 7 ⟺ - 7 \leq x < 0 ⟺ x \in [- 7; 0)

Будь-які три значення $x$ із цього проміжку (наприклад, $x = - 7$ , $x = - 5$ , $x = - 1$ ) є спільними розв’язками нерівностей.

Відповідь: $- 7; - 5; - 1$ .

4) $x \leq 2$ і $x \leq 4$ .

Знайдемо переріз двох числових проміжків:

{x \leq 2 x \leq 4 ⟺ x \leq 2 ⟺ x \in (- \infty; 2]

Будь-які три значення $x$ із цього проміжку (наприклад, $x = - 1$ , $x = 0$ , $x = 2$ ) є спільними розв’язками нерівностей.

Відповідь: $- 1; 0; 2$ .

ЦІКАВІ ЗАДАЧІ – ПОМІРКУЙ ОДНАЧЕ

6.54. У чемпіонаті з баскетболу взяли участь 6 команд, кожна з яких зіграла по 4 зустрічі з кожною командою-учасницею. Нічиїх у баскетболі не буває. Відомо, що п’ять команд мали відповідно $80 %$ , $60 %$ , $55 %$ , $40 %$ та $35 %$ перемог (від своєї загальної кількості ігор). Яке місце посіла шоста команда і який у неї відсоток перемог?

1) Визначимо загальну кількість ігор, яку зіграла кожна команда.

Оскільки у турнірі беруть участь 6 команд, кожна команда зіграла з іншими 5 командами по 4 матчі:

$N = 5 \cdot 4 = 20 (ігор)$

2) Обчислимо кількість перемог для кожної з п’яти відомих команд:

1-ша команда: $80 %$ від $20$ ігор $⟹ \frac{80}{100} \cdot 20 = 16 перемог$ ;
2-га команда: $60 %$ від $20$ ігор $⟹ \frac{60}{100} \cdot 20 = 12 перемог$ ;
3-тя команда: $55 %$ від $20$ ігор $⟹ \frac{55}{100} \cdot 20 = 11 перемог$ ;
4-та команда: $40 %$ від $20$ ігор $⟹ \frac{40}{100} \cdot 20 = 8 перемог$ ;
5-та команда: $35 %$ від $20$ ігор $⟹ \frac{35}{100} \cdot 20 = 7 перемог$ .

3) Визначимо загальну кількість матчів та перемог усього турніру.

Всього у турнірі 6 команд, і кожна грає по 20 ігор. Оскільки у кожному матчі беруть участь 2 команди, то загальна кількість ігор у турнірі дорівнює:

$\frac{6 \cdot 20}{2} = 60 ігор$

Оскільки нічиїх у баскетболі не буває, у кожній грі є рівно один переможець. Отже, загальна сума перемог усіх 6 команд має дорівнювати загальній кількості ігор у турнірі, тобто $60$ .

4) Знайдемо кількість перемог шостої команди.

Сума перемог перших п’яти команд:

$16 + 12 + 11 + 8 + 7 = 54 перемоги$

Тоді шоста команда здобула:

$60 - 54 = 6 перемог$

5) Знайдемо відсоток перемог шостої команди:

$\frac{6}{20} \cdot 100% = 30%$

6) Розподілимо місця в залежності від кількості перемог (або відсотка перемог):

1 місце: 16 перемог ( $80 %$ )
2 місце: 12 перемог ( $60 %$ )
3 місце: 11 перемог ( $55 %$ )
4 місце: 8 перемог ( $40 %$ )
5 місце: 7 перемог ( $35 %$ )
6 місце: 6 перемог ( $30 %$ )

Шоста команда посіла 6-те (останнє) місце.

Відповідь: 6-те місце, $30 %$ перемог.

6. Лінійні нерівності з однією змінною. Рівносильні нерівності

Теги статті:

До уроку