6. Лінійні нерівності з однією змінною. Рівносильні нерівності

Які нерівності називають лінійними нерівностями з однією змінною? Наведіть приклади таких нерівностей.

Нерівності вигляду $a x > b$ , $a x \geq b$ , $a x < b$ , $a x \leq b$ , де x — змінна, $a$ і $b$ — деякі числа, називають лінійними нерівностями з однією змінною.
Приклади: $2 x > 6$ , $- 3 x \leq 12$ , $0, 5 x + 1 \geq 0$ .

Які нерівності називають рівносильними?

Нерівності, що мають одні й ті самі розв’язки, називають рівносильними. Нерівності, які не мають розв’язків, також є рівносильними.

Сформулюйте властивості нерівностей, які використовують для розв’язування нерівностей.

Для розв’язування нерівностей застосовують такі властивості:

1) якщо в будь-якій частині нерівності розкрити дужки або звести подібні доданки, то отримаємо нерівність, рівносильну даній;

2) якщо в нерівності перенести доданок з однієї її частини в іншу, змінивши його знак на протилежний, то отримаємо нерівність, рівносильну даній;

3) якщо обидві частини нерівності помножити або поділити на одне й те саме додатне число, то отримаємо нерівність, рівносильну даній; якщо ж обидві частини помножити або поділити на одне й те саме від’ємне число і змінити при цьому знак нерівності на протилежний, то отримаємо нерівність, рівносильну даній.

Що можна сказати про розв’язки нерівностей вигляду $0 x > b$ , $0 x \geq b$ , $0 x < b$ , $0 x \leq b$ ?

Нерівності такого вигляду або не мають розв’язків, або їх розв’язком є будь-яке число.

РОЗВ’ЯЖІТЬ ЗАДАЧІ ТА ВИКОНАЙТЕ ВПРАВИ

6.1. (Усно.) Які з нерівностей є лінійними:

1) $\frac{1}{3} x > - 5$ ;

2) $2 x^{2} - 3 \geq 0$ ;

3) $- 3 x \leq 6$ ;

4) $\frac{1}{x} < 3$ ?

1) Нерівність $\frac{1}{3} x > - 5$ є лінійною, оскільки має вигляд $a x > b$ , де $a = \frac{1}{3}$ , $b = - 5$ .

2) Нерівність $2 x^{2} - 3 \geq 0$ не є лінійною, оскільки змінна піднесена до другого степеня.

3) Нерівність $- 3 x \leq 6$ є лінійною, оскільки має вигляд $a x \leq b$ , де $a = - 3$ , $b = 6$ .

4) Нерівність $\frac{1}{x} < 3$ не є лінійною, оскільки змінна стоїть у знаменнику дробу.

Відповідь: 1), 3).

6.2. (Усно.) Чи рівносильні нерівності:

1) $2 x - 7 > 4$ і $2 x > 4 + 7$ ;

2) $3 x > 9$ і $x < 3$ ?

1) Якщо перенести доданок $- 7$ у праву частину нерівності $2 x - 7 > 4$ зі зміною знака на протилежний, то отримаємо нерівність $2 x > 4 + 7$ . Отже, ці нерівності є рівносильними.

2) Поділимо обидві частини першої нерівності на 3: отримаємо $x > 3$ . Її розв’язком є проміжок $(3; + \infty)$ , тоді як розв’язком нерівності $x < 3$ є проміжок $(- \infty; 3)$ . Оскільки множини розв’язків різні, нерівності не є рівносильними.

Відповідь: 1) так; 2) ні.

6.3. Чи рівносильні нерівності:

1) $3 x + 2 > 5$ і $3 x > 5 + 2$ ;

2) $5 x \leq 10$ і $x \leq 2$ ?

1) Розв’яжемо першу нерівність:

$3 x + 2 > 5$

$3 x > 5 - 2$

$3 x > 3$

$x > 1$

Отже, $x \in (1; + \infty)$ .

Розв’яжемо другу нерівність:

$3 x > 5 + 2$

$3 x > 7$

$x > 2 \frac{1}{3}$

Отже, $x \in (2 \frac{1}{3}; + \infty)$ .

Множини розв’язків не збігаються, тому нерівності не є рівносильними.

2) Поділимо обидві частини нерівності $5 x \leq 10$ на додатне число 5:

$x \leq 2$

Множина розв’язків: $(- \infty; 2]$ .

Друга нерівність має таку саму множину розв’язків. Отже, нерівності є рівносильними.

Відповідь: 1) ні; 2) так.

6.4. Розв’яжіть нерівність і зобразіть множину її розв’язків на координатній прямій:

1) $x + 7 \geq 3$ ;

2) $x - 5 < 2$ ;

3) $x + 9 \leq - 17$ ;

4) $x - 7 > - 8$ .

1) Перенесемо доданок 7 у праву частину зі зміною знака:

$x \geq 3 - 7$

$x \geq - 4$

$x \in [- 4; + \infty)$ .

Відповідь: $[- 4; + \infty)$ .

2) Перенесемо доданок $- 5$ у праву частину:

$x < 2 + 5$

$x < 7$

$x \in (- \infty; 7)$ .

Відповідь: $(- \infty; 7)$ .

3) Перенесемо доданок 9 у праву частину:

$x \leq - 17 - 9$

$x \leq - 26$

$x \in (- \infty; - 26]$ .

Відповідь: $(- \infty; - 26]$ .

4) Перенесемо доданок $- 7$ у праву частину:

$x > - 8 + 7$

$x > - 1$

$x \in (- 1; + \infty)$ .

Відповідь: $(- 1; + \infty)$ .

6.5. Розв’яжіть нерівність і зобразіть множину її розв’язків на координатній прямій:

1) $x - 5 \leq 6$ ;

2) $x + 7 > - 9$ ;

3) $x - 7 \geq 12$ ;

4) $x + 7 < - 5$ .

1) $x \leq 6 + 5$
$x \leq 11$
Множина розв’язків: $(- \infty; 11]$ .

Відповідь: $(- \infty; 11]$ .

2) $x > - 9 - 7$
$x > - 16$
Множина розв’язків: $(- 16; + \infty)$ .

Відповідь: $(- 16; + \infty)$ .

3) $x \geq 12 + 7$
$x \geq 19$
Множина розв’язків: $[19; + \infty)$ .

Відповідь: $[19; + \infty)$ .

4) $x < - 5 - 7$
$x < - 12$
Множина розв’язків: $(- \infty; - 12)$ .

Відповідь: $(- \infty; - 12)$ .

6.6. Знайдіть розв’язки нерівності:

1) $4 x > 8$
$x > 2$

2) $8 x \leq 72$
$x \leq 9$

3) $- 9 x \geq - 63$
$x \leq \frac{- 63}{- 9}$
$x \leq 7$

4) $- x < 5$
$x > - 5$

5) $5 x \geq 11$
$x \geq 2, 2$

6) $6 x < 1, 2$
$x < 0, 2$

7) $- 18 x > - 27$
$x < \frac{- 27}{- 18}$
$x < 1, 5$

8) $- 3 x \leq 0$
$x \geq 0$

Відповідь:

1) $x > 2$ ;

2) $x \leq 9$ ;

3) $x \leq 7$ ;

4) $x > - 5$ ;

5) $x \geq 2, 2$ ;

6) $x < 0, 2$ ;

7) $x < 1, 5$ ;

8) $x \geq 0$ .

6.7. Розв’яжіть нерівність:

1) $6 x > 12$
$x > 2$

2) $7 x < 42$
$x < 6$

3) $- x \geq - 8$
$x \leq 8$

4) $- 12 x \leq 24$
$x \geq - 2$

5) $7 x \leq 13$
$x \leq 1 \frac{6}{7}$

6) $4 x > 1, 6$
$x > 0, 4$

7) $12 x < - 18$
$x < - 1, 5$

8) $- 9 x \geq 0$
$x \leq 0$

Відповідь:

1) $x > 2$ ;

2) $x < 6$ ;

3) $x \leq 8$ ;

4) $x \geq - 2$ ;

5) $x \leq 1 \frac{6}{7}$ ;

6) $x > 0, 4$ ;

7) $x < - 1, 5$ ;

8) $x \leq 0$ .

6.8. Розв’яжіть нерівність:

1) $\frac{1}{3} x \geq - 2$
$x \geq - 2 \cdot 3$
$x \geq - 6$

2) $\frac{2}{9} x < 10$
$x < 10 \cdot \frac{9}{2}$
$x < 45$

3) $- \frac{1}{4} x \leq - 6$
$x \geq - 6 \cdot (- 4)$
$x \geq 24$

4) $- \frac{3}{7} x > - 21$
$x < - 21 \cdot (- \frac{7}{3})$
$x < 49$

Відповідь:

1) $x \geq - 6$ ;

2) $x < 45$ ;

3) $x \geq 24$ ;

4) $x < 49$ .

6.9. Знайдіть розв’язки нерівності:

1) $\frac{1}{6} x < - 3$
$x < - 18$

2) $\frac{2}{3} x \geq 18$
$x \geq 18 \cdot \frac{3}{2}$
$x \geq 27$

3) $- \frac{3}{8} x \leq - 12$
$x \geq - 12 \cdot (- \frac{8}{3})$
$x \geq 32$

4) $- \frac{7}{6} x > 42$
$x < 42 \cdot (- \frac{6}{7})$
$x < - 36$

Відповідь:

1) $x < - 18$ ;

2) $x \geq 27$ ;

3) $x \geq 32$ ;

4) $x < - 36$ ;

6.10. Розв’яжіть нерівність та вкажіть три будь-яких числа, що є її розв’язками:

1) $- 3 x < 12$
$x > - 4$
Розв’язки, наприклад: 0, 1, 5.

2) $2 x \geq 0$
$x \geq 0$
Розв’язки, наприклад: 0, 2, 10.

3) $- 5 x > - 35$
$x < 7$
Розв’язки, наприклад: 0, 5, $- 10$ .

4) $4 x \leq - 13$
$x \leq - 3, 25$
Розв’язки, наприклад: $- 4$ , $- 5$ , $- 10$ .

Відповідь:

1) $x > - 4$ ; числа: 0, 1, 5;

2) $x \geq 0$ ; числа: 0, 2, 10;

3) $x < 7$ ; числа: 0, 5, $- 10$ ;

4) $x \leq - 3, 25$ ; числа: $- 4$ , $- 5$ , $- 10$ .

6.11. Знайдіть множину розв’язків нерівності:

1) $0, 2 x \geq 8$
$x \geq 40$
Проміжок: $[40; + \infty)$

2) $- 0, 7 x < 1, 4$
$x > - 2$
Проміжок: $(- 2; + \infty)$

3) $10 x \leq - 1$
$x \leq - 0, 1$
Проміжок: $(- \infty; - 0, 1]$

4) $- 8 x > 0$
$x < 0$
Проміжок: $(- \infty; 0)$

Відповідь:

1) $[40; + \infty)$ ;

2) $(- 2; + \infty)$ ;

3) $(- \infty; - 0, 1]$ ;

4) $(- \infty; 0)$ .

6.12. Знайдіть множину розв’язків нерівності:

1) $0, 3 x > 15$
$x > 50$
Проміжок: $(50; + \infty)$

2) $- 0, 2 x \leq 1, 8$
$x \geq - 9$
Проміжок: $[- 9; + \infty)$

3) $100 x \geq - 2$
$x \geq - 0, 02$
Проміжок: $[- 0, 02; + \infty)$

4) $- 5 x < 0$
$x > 0$
Проміжок: $(0; + \infty)$

Відповідь:

1) $(50; + \infty)$ ;

2) $[- 9; + \infty)$ ;

3) $[- 0, 02; + \infty)$ ;

4) $(0; + \infty)$ .

6.13. Чи рівносильні нерівності:

1) $2 x \geq 8$ і $- x \leq - 2$ ;

2) $3 x < 6$ і $x + 1 < 3$ ?

1) Розв’яжемо першу нерівність: $x \geq 4$ .
Розв’яжемо другу нерівність: $x \geq 2$ .
Множини розв’язків $[4; + \infty)$ і $[2; + \infty)$ не збігаються, тому нерівності не є рівносильними.

2) Розв’яжемо першу нерівність: $x < 2$ .
Розв’яжемо другу нерівність:
$x < 3 - 1$
$x < 2$
Множини розв’язків $(- \infty; 2)$ однакові, тому нерівності є рівносильними.

Відповідь: 1) ні; 2) так.

6.14. Чи рівносильні нерівності:

1) $5 x \leq 5$ і $- x \geq - 1$ ;

2) $2 x > 8$ і $x - 1 < 5$ ?

1) Для $5 x \leq 5$ маємо $x \leq 1$ . Для $- x \geq - 1$ маємо $x \leq 1$ . Множини однакові, тому нерівності є рівносильними.

2) Для $2 x > 8$ маємо $x > 4$ . Для $x - 1 < 5$ маємо $x < 6$ . Множини розв’язків різні, тому нерівності не є рівносильними.

Відповідь: 1) так; 2) ні.

6.15. За яких значень x функція $y = - 4 x$ набуває значень, які:

1) більші за $- 8$ ;

2) менші від 12?

1) Складемо нерівність:

$- 4 x > - 8$

$x < \frac{- 8}{- 4}$

$x < 2$

2) Складемо нерівність:

$- 4 x < 12$

$x > \frac{12}{- 4}$

$x > - 3$

Відповідь: 1) при $x < 2$ ; 2) при $x > - 3$ .

6.16. Розв’яжіть нерівність:

1) $1 + 2 x > 7$
$2 x > 6$
$x > 3$

2) $3 - 5 x \leq 2$
$- 5 x \leq - 1$
$x \geq 0, 2$

3) $3 x + 8 < 0$
$3 x < - 8$
$x < - 2 \frac{2}{3}$

4) $9 - 12 x \geq 0$
$- 12 x \geq - 9$
$x \leq 0, 75$

5) $6 + x < 3 - 2 x$
$3 x < - 3$
$x < - 1$

6) $4 x + 19 \leq 5 x - 2$
$- x \leq - 21$
$x \geq 21$

Відповідь:

1) $x > 3$ ;

2) $x \geq 0, 2$ ;

3) $x < - 2 \frac{2}{3}$ ;

4) $x \leq 0, 75$ ;

5) $x < - 1$ ;

6) $x \geq 21$ .

6.17. Знайдіть розв’язки нерівності:

1) $1 + 6 x \leq 7$
$6 x \leq 6$
$x \leq 1$

2) $6 x + 1 > - 3$
$6 x > - 4$
$x > - \frac{2}{3}$

3) $3 - 2 x \geq 0$
$- 2 x \geq - 3$
$x \leq 1, 5$

4) $6 - 15 x < 0$
$- 15 x < - 6$
$x > 0, 4$

5) $4 + x > 1 - 2 x$
$3 x > - 3$
$x > - 1$

6) $4 x + 7 \leq 6 x + 1$
$- 2 x \leq - 6$
$x \geq 3$

Відповідь:

1) $x \leq 1$ ;

2) $x > - \frac{2}{3}$ ;

3) $x \leq 1, 5$ ;

4) $x > 0, 4$ ;

5) $x > - 1$ ;

6) $x \geq 3$ .

6.18. За яких значень x функція $y = 2 x - 3$ набуває від’ємних значень?

Складемо нерівність:

$2 x - 3 < 0$

$2 x < 3$

$x < 1, 5$

Відповідь: при $x < 1, 5$ .

6.19. За яких значень x функція $y = 5 - 2 x$ набуває додатних значень?

Складемо нерівність:

$5 - 2 x > 0$

$- 2 x > - 5$

Поділимо обидві частини на $- 2$ і змінимо знак нерівності:

$x < 2, 5$

Відповідь: при $x < 2, 5$ .

6.20. Знайдіть розв’язки нерівності:

1) $4 - x > 3 (2 + x)$ ;

2) $3 (1 - x) \geq 2 (2 x - 2)$ ;

3) $2 (3 + x) + (4 - x) \leq 0$ ;

4) $- (2 - 3 x) + 4 (x + 6) < 1$ .

1) Розкриємо дужки:

$4 - x > 6 + 3 x$

$- 4 x > 2$

$x < - 0, 5$

2) Розкриємо дужки:

$3 - 3 x \geq 4 x - 4$

$- 7 x \geq - 7$

$x \leq 1$

3) Розкриємо дужки і зведемо подібні доданки:

$6 + 2 x + 4 - x \leq 0$

$x + 10 \leq 0$

$x \leq - 10$

4) Розкриємо дужки:

$- 2 + 3 x + 4 x + 24 < 1$

$7 x + 22 < 1$

$7 x < - 21$

$x < - 3$

Відповідь:

1) $x < - 0, 5$ ;

2) $x \leq 1$ ;

3) $x \leq - 10$ ;

4) $x < - 3$ .

6.21. Розв’яжіть нерівність:

1) $4 (1 + x) < x - 2$ ;

2) $2 + x \geq 6 (2 x - 1)$ ;

3) $- (2 x + 1) > 3 (x + 2)$ ;

4) $5 (x + 8) + 4 (1 - x) \leq 0$ .

1) Розкриємо дужки:

$4 + 4 x < x - 2$

$3 x < - 6$

$x < - 2$

2) Розкриємо дужки:

$2 + x \geq 12 x - 6$

$- 11 x \geq - 8$

$x \leq \frac{8}{11}$

3) Розкриємо дужки:

$- 2 x - 1 > 3 x + 6$

$- 5 x > 7$

$x < - 1, 4$

4) Розкриємо дужки:

$5 x + 40 + 4 - 4 x \leq 0$

$x + 44 \leq 0$

$x \leq - 44$

Відповідь:

1) $x < - 2$ ;

2) $x \leq \frac{8}{11}$ ;

3) $x < - 1, 4$ ;

4) $x \leq - 44$ .

6.22. Знайдіть область визначення функції:

1) $y = x + 2$ ;

2) $y = \frac{1}{x - 3}$ .

1) Вираз під коренем має бути невід’ємним:

$x + 2 \geq 0$

$x \geq - 2$

2) Вираз під коренем у знаменнику має бути строго додатним:

$x - 3 > 0$

$x > 3$

Відповідь: 1) $[- 2; + \infty)$ ; 2) $(3; + \infty)$ .

6.23. Знайдіть область визначення функції:

1) $y = x - 1$ ;

2) $y = \frac{1}{x + 4}$ .

1) Підкореневий вираз невід’ємний:

$x - 1 \geq 0$

$x \geq 1$

2) Знаменник не дорівнює нулю, а підкореневий вираз невід’ємний, тому:

$x + 4 > 0$

$x > - 4$

Відповідь: 1) $[1; + \infty)$ ; 2) $(- 4; + \infty)$ .

6.24. Розв’яжіть нерівність:

1) $\frac{3 x}{4} - x < 2$ ;

2) $\frac{5 x}{3} + x \geq 16$ .

1) Помножимо обидві частини на 4:

$3 x - 4 x < 8$

$- x < 8$

$x > - 8$

2) Помножимо обидві частини на 3:

$5 x + 3 x \geq 48$

$8 x \geq 48$

$x \geq 6$

Відповідь: 1) $(- 8; + \infty)$ ; 2) $[6; + \infty)$ .

6.25. За яких значень $a$ нерівність $a x < 4$ має ту саму множину розв’язків, що й нерівність:

1) $x < \frac{4}{a}$ ;

2) $x > \frac{4}{a}$ ?

1) Знак нерівності не змінився після ділення на $a$ , отже, число $a$ є додатним ( $a > 0$ ).

2) Знак нерівності змінився на протилежний після ділення на $a$ , отже, число $a$ є від’ємним ( $a < 0$ ).

Відповідь: 1) при $a > 0$ ; 2) при $a < 0$ .

6.26. За яких значень $b$ нерівність $b x \geq 7$ має ту саму множину розв’язків, що й нерівність:

1) $x \geq \frac{7}{b}$ ;

2) $x \leq \frac{7}{b}$ ?

1) Знак нерівності залишився без змін, тому $b > 0$ .

2) Знак нерівності змінився на протилежний, тому $b < 0$ .

Відповідь: 1) при $b > 0$ ; 2) при $b < 0$ .

6.27. Складіть таку нерівність вигляду $a x > b$ , щоб множиною її розв’язків був проміжок:

1) $(3; + \infty)$ ;

2) $(- \infty; 1)$ .

1) Проміжок $(3; + \infty)$ задає нерівність $x > 3$ . Помножимо обидві частини на 2:

$2 x > 6$

2) Проміжок $(- \infty; 1)$ задає нерівність $x < 1$ . Помножимо обидві частини на $- 1$ і змінимо знак нерівності:

$- x > - 1$

Відповідь: 1) $2 x > 6$ ; 2) $- x > - 1$ .

6.28. Знайдіть усі натуральні розв’язки нерівності:

1) $x (x + 2) - x^{2} > 4 x - 7$ ;

2) $(x + 5) (x - 5) \leq x^{2} - 5 x$ .

1) Розкриємо дужки:

$x^{2} + 2 x - x^{2} > 4 x - 7$

$2 x - 4 x > - 7$

$- 2 x > - 7$

$x < 3, 5$

Натуральними розв’язками є числа $1, 2, 3$ .

2) Застосуємо формулу різниці квадратів:

$x^{2} - 25 \leq x^{2} - 5 x$

$5 x \leq 25$

$x \leq 5$

Натуральними розв’язками є числа $1, 2, 3, 4, 5$ .

Відповідь: 1) $1; 2; 3$ ; 2) $1; 2; 3; 4; 5$ .

6.29. Знайдіть усі натуральні розв’язки нерівності:

1) $(x + 1)^{2} - x^{2} \geq 6 x - 9$ ;

2) $(x - 1) (x + 2) < x^{2} - 3 x + 11$ .

1) Розкриємо квадрат суми:

$x^{2} + 2 x + 1 - x^{2} \geq 6 x - 9$

$2 x - 6 x \geq - 9 - 1$

$- 4 x \geq - 10$

$x \leq 2, 5$

Натуральними розв’язками є числа 1 та 2.

2) Перемножимо дужки:

$x^{2} + x - 2 < x^{2} - 3 x + 11$

$4 x < 13$

$x < 3, 25$

Натуральними розв’язками є числа $1, 2, 3$ .

Відповідь: 1) $1; 2$ ; 2) $1; 2; 3$ .

6.30. Нехай $x_{0}$ — найбільший натуральний розв’язок нерівності $(x - 3)^{2} - (x + 1)^{2} > 2 x - 43$ . Знайдіть добуток $377 x_{0}$ , відтак дізнаєтеся рік заснування національного технічного університету «Харківський політехнічний інститут».

Розкриємо квадрати двочленів:

$(x^{2} - 6 x + 9) - (x^{2} + 2 x + 1) > 2 x - 43$

$x^{2} - 6 x + 9 - x^{2} - 2 x - 1 > 2 x - 43$

$- 8 x + 8 > 2 x - 43$

$- 10 x > - 51$

$x < 5, 1$

Найбільшим натуральним розв’язком є $x_{0} = 5$ .
Обчислимо добуток:

$377 \cdot 5 = 1885$

Відповідь: 1885 рік.

6.31. Нехай $x_{0}$ — найменший натуральний розв’язок нерівності $(x - 2)^{2} - (x - 1)^{2} < x - 52$ . Знайдіть добуток $90 x_{0}$ , відтак дізнаєтеся, якого року було прийнято «Конституцію прав і свобод війська Запорозького» Пилипа Орлика – першу конституцію у світовій історії.

Розкриємо дужки:

$(x^{2} - 4 x + 4) - (x^{2} - 2 x + 1) < x - 52$

$- 2 x + 3 < x - 52$

$- 3 x < - 55$

$x > 18 \frac{1}{3}$

Найменшим натуральним числом є $x_{0} = 19$ .
Обчислимо добуток:

$90 \cdot 19 = 1710$

Відповідь: 1710 рік.

6.32. Знайдіть найменший цілий розв’язок нерівності:

1) $\frac{x + 3}{4} - \frac{x}{3} \leq 0$ ;

2) $\frac{x + 1}{2} - \frac{1 - 5 x}{5} > x$ .

1) Помножимо обидві частини на 12:

$3 (x + 3) - 4 x \leq 0$

$3 x + 9 - 4 x \leq 0$

$- x \leq - 9$

$x \geq 9$

Найменшим цілим розв’язком є число 9.

2) Помножимо обидві частини на 10:

$5 (x + 1) - 2 (1 - 5 x) > 10 x$

$5 x + 5 - 2 + 10 x > 10 x$

$5 x > - 3$

$x > - 0, 6$

Найменшим цілим розв’язком є число 0.

Відповідь: 1) 9; 2) 0.

6.33. Знайдіть найбільший цілий розв’язок нерівності:

1) $\frac{x + 2}{7} - \frac{x}{5} \geq 0$ ;

2) $\frac{x - 1}{3} - \frac{1 - 4 x}{2} < x$ .

1) Помножимо обидві частини на 35:

$5 (x + 2) - 7 x \geq 0$

$5 x + 10 - 7 x \geq 0$

$- 2 x \geq - 10$

$x \leq 5$

Найбільшим цілим розв’язком є число 5.

2) Помножимо обидві частини на 6:

$2 (x - 1) - 3 (1 - 4 x) < 6 x$

$2 x - 2 - 3 + 12 x < 6 x$

$14 x - 6 x < 5$

$8 x < 5$

$x < \frac{5}{8}$

Оскільки $\frac{5}{8} = 0, 625$ , то найбільшим цілим розв’язком є число 0.

Відповідь: 1) 5; 2) 0.

6.34. Знайдіть множину розв’язків нерівності:

1) $2 (3 x + 1) - 3 x > 3 x$ ;

2) $x + \frac{x}{2} \geq \frac{3 x}{2} + 2$ ;

3) $4 (x + 1) \geq 2 (x + 2) + 2 x$ ;

4) $3 (x - 1) - 2 x < x - 3$ .

1) Розкриємо дужки:

$6 x + 2 - 3 x > 3 x$

$3 x - 3 x > - 2$

$0 x > - 2$

Нерівність правильна для будь-якого значення x. Множиною розв’язків є $(- \infty; + \infty)$ .

2) Помножимо обидві частини на 2:

$2 x + x \geq 3 x + 4$

$3 x - 3 x \geq 4$

$0 x \geq 4$

Нерівність хибна для будь-якого x, тому нерівність не має розв’язків ( $\emptyset$ ).

3) Розкриємо дужки:

$4 x + 4 \geq 2 x + 4 + 2 x$

$4 x - 4 x \geq 4 - 4$

$0 x \geq 0$

Нерівність правильна для будь-якого значення x. Множиною розв’язків є $(- \infty; + \infty)$ .

4) Розкриємо дужки:

$3 x - 3 - 2 x < x - 3$

$x - x < - 3 + 3$

$0 x < 0$

Нерівність не має розв’язків ( $\emptyset$ ).

Відповідь:

1) $(- \infty; + \infty)$ ;

2) розв’язків немає;

3) $(- \infty; + \infty)$ ;

4) розв’язків немає.

6.35. Розв’яжіть нерівність:

1) $3 (2 x + 1) - 6 x \geq 5$ ;

2) $4 (x + 1) - 3 x > - (2 - x)$ ;

3) $x - \frac{x}{3} < \frac{2 x}{3} - 1$ ;

4) $6 (x + 1) - 3 (x + 2) \leq 3 x$ .

1) Розкриємо дужки:

$6 x + 3 - 6 x \geq 5$

$0 x \geq 2$

Нерівність не має розв’язків.

2) Розкриємо дужки:

$4 x + 4 - 3 x > - 2 + x$

$x - x > - 2 - 4$

$0 x > - 6$

Нерівність правильна для будь-якого x. Множиною розв’язків є $(- \infty; + \infty)$ .

3) Помножимо на 3:

$3 x - x < 2 x - 3$

$2 x - 2 x < - 3$

$0 x < - 3$

Нерівність не має розв’язків.

4) Розкриємо дужки:

$6 x + 6 - 3 x - 6 \leq 3 x$

$3 x - 3 x \leq 0$

$0 x \leq 0$

Нерівність правильна для будь-якого x. Множиною розв’язків є $(- \infty; + \infty)$ .

Відповідь:

1) розв’язків немає;

2) $(- \infty; + \infty)$ ;

3) розв’язків немає;

4) $(- \infty; + \infty)$ .

6.36. Довжина однієї сторони прямокутника дорівнює 8 см. Якою має бути довжина другої сторони прямокутника, щоб його площа була меншою від 96 см²?

Нехай довжина другої сторони дорівнює $x см$ . Оскільки довжина є додатною величиною, то $x > 0$ .
Площа прямокутника дорівнює $8 x см^{2}$ . За умовою:

$8 x < 96$

$x < 12$

Враховуючи умову $x > 0$ , маємо $0 < x < 12$ .

Відповідь: більшою за $0 см$ , але меншою від $12 см$ ( $0 < x < 12 см$ ).

6.37. За яких значень $a$ коренем рівняння:

1) $4 x - 7 = a$ є число додатне;

2) $5 + 2 x = 3 - a$ є число від’ємне?

1) Виразимо x:

$4 x = a + 7$

$x = \frac{a + 7}{4}$

За умовою корінь має бути додатним:

$\frac{a + 7}{4} > 0$

$a + 7 > 0$

$a > - 7$

2) Виразимо x:

$2 x = - a - 2$

$x = \frac{- a - 2}{2}$

За умовою корінь має бути від’ємним:

$\frac{- a - 2}{2} < 0$

$- a - 2 < 0$

$- a < 2$

$a > - 2$

Відповідь: 1) при $a > - 7$ ; 2) при $a > - 2$ .

6.38. Чи існує таке значення $a$ , за якого:

1) нерівність $a x > 2$ не має розв’язків;

2) розв’язком нерівності $(a - 3) x < 7$ є будь-яке число?
У разі ствердної відповіді вкажіть це значення $a$ .

1) Якщо $a = 0$ , то отримуємо нерівність $0 \cdot x > 2$ , тобто $0 > 2$ , яка є неправильною за будь-якого значення x. Отже, при $a = 0$ нерівність розв’язків не має.

2) Якщо $a - 3 = 0$ , тобто $a = 3$ , отримуємо $0 \cdot x < 7$ , тобто $0 < 7$ , що є правильним для будь-якого значення x. Отже, розв’язком є будь-яке число.

Відповідь: 1) так, $a = 0$ ; 2) так, $a = 3$ .

6.39. За яких значень $b$ рівняння:

1) $x^{2} + 6 x - 2 b = 0$ не має коренів;

2) $b x^{2} - 4 x - 1 = 0$ має два різних корені?

1) Рівняння не має коренів, якщо дискримінант від’ємний ( $D < 0$ ):

$D = 6^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 2 b) = 36 + 8 b$

$36 + 8 b < 0$

$8 b < - 36$

$b < - 4, 5$

2) Рівняння є квадратним і має два різних корені, якщо $b \neq = 0$ та $D > 0$ :

$D = (- 4)^{2} - 4 \cdot b \cdot (- 1) = 16 + 4 b$

$16 + 4 b > 0$

$4 b > - 16$

$b > - 4$

Враховуючи, що $b \neq = 0$ , маємо $b \in (- 4; 0) \cup (0; + \infty)$ .

Відповідь: 1) при $b < - 4, 5$ ; 2) при $b \in (- 4; 0) \cup (0; + \infty)$ .

6.40. За яких значень $a$ рівняння:

1) $x^{2} + 8 x - 4 a = 0$ має два різних корені;

2) $a x^{2} - 6 x + 1 = 0$ не має коренів?

1) Квадратне рівняння має два різних корені, якщо $D > 0$ :

$D = 8^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 4 a) = 64 + 16 a$

$64 + 16 a > 0$

$16 a > - 64$

$a > - 4$

2) Якщо $a = 0$ , рівняння набуває вигляду лінійного $- 6 x + 1 = 0$ і має один корінь $x = \frac{1}{6}$ .
Якщо $a \neq = 0$ , рівняння є квадратним і не має коренів за умови $D < 0$ :

$D = (- 6)^{2} - 4 \cdot a \cdot 1 = 36 - 4 a$

$36 - 4 a < 0$

$- 4 a < - 36$

$a > 9$

Умова $a \neq = 0$ для $a > 9$ виконується.

Відповідь: 1) при $a > - 4$ ; 2) при $a > 9$ .

6.41. Два натуральних числа відносяться як $2 : 5$ , а їх сума менша від числа 171. Якого найбільшого значення може набувати менше із цих чисел?

Нехай спільна міра відношення дорівнює x ( $x \in N$ ). Тоді менше число дорівнює $2 x$ , а більше — $5 x$ .
Складемо нерівність:

$2 x + 5 x < 171$

$7 x < 171$

$x < 24 \frac{3}{7}$

Найбільшим натуральним значенням x є 24.
Знайдемо менше число:

$2 \cdot 24 = 48$

Відповідь: 48.

6.42. Два натуральних числа відносяться як $3 : 2$ , а їх сума більша за 83. Якого найменшого значення може набувати більше із цих чисел?

Нехай більше число дорівнює $3 x$ , а менше — $2 x$ , де $x \in N$ .
Складемо нерівність:

$3 x + 2 x > 83$

$5 x > 83$

$x > 16, 6$

Найменшим натуральним значенням x є 17.
Знайдемо більше число:

$3 \cdot 17 = 51$

Відповідь: 51.

6.43. Зал для хореографії має площу 510 м². Третину зали пофарбовано у жовтий колір, а решту потрібно пофарбувати у блакитний. Витрати фарби становлять 120 г/м², а банка фарби має масу 1 кг. Яку найменшу кількість банок із блакитною фарбою потрібно купити, щоб виконати таке завдання?

1) Знайдемо частину зали, яку фарбують у блакитний колір:

$1 - \frac{1}{3} = \frac{2}{3}$

2) Знайдемо площу блакитної частини:

$S = 510 \cdot \frac{2}{3} = 340 (м^{2})$

3) Переведемо витрати фарби в кілограми на квадратний метр: $120 г / м^{2} = 0, 12 кг / м^{2}$ .
Знайдемо масу блакитної фарби:

$m = 340 \cdot 0, 12 = 40, 8 (кг)$

4) Оскільки маса однієї банки становить $1 кг$ , то необхідно $40, 8$ банки. Банки продаються цілими, тому округлюємо у більшу сторону: потрібно 41 банку.

Відповідь: 41 банка.

6.44. Резервуар місткістю 1 м³ на три чверті заповнено водою. Яку найбільшу цілу кількість відер води можна долити в цей резервуар, якщо відро містить 12 л?

1) Переведемо місткість резервуара в літри: $1 м^{3} = 1000 л$ .

2) Знайдемо незаповнену частину резервуара:

$1 - \frac{3}{4} = \frac{1}{4}$

$V = 1000 \cdot \frac{1}{4} = 250 (л)$

3) Знайдемо кількість відер по $12 л$ :

$\frac{250}{12} = 20 \frac{5}{6} \approx 20, 83$

Щоб вода не перелилася через край, можна долити не більше ніж 20 повних відер.

Відповідь: 20 відер.

6.45. Розв’яжіть нерівність для всіх значень $a$ :

1) $a x > 3$ ;

2) $a x \geq 0$ ;

3) $a x < 0$ ;

4) $- a x < 5$ .

1) Якщо $a > 0$ , то $x > \frac{3}{a}$ .
Якщо $a = 0$ , то $0 x > 3$ — розв’язків немає.
Якщо $a < 0$ , то $x < \frac{3}{a}$ .

2) Якщо $a > 0$ , то $x \geq 0$ .
Якщо $a = 0$ , то $0 x \geq 0$ — розв’язком є будь-яке число ( $x \in (- \infty; + \infty)$ ).
Якщо $a < 0$ , то $x \leq 0$ .

3) Якщо $a > 0$ , то $x < 0$ .
Якщо $a = 0$ , то $0 x < 0$ — розв’язків немає.
Якщо $a < 0$ , то $x > 0$ .

4) Помножимо обидві частини на $- 1$ : $a x > - 5$ .
Якщо $a > 0$ , то $x > - \frac{5}{a}$ .
Якщо $a = 0$ , то $0 x > - 5$ — розв’язком є будь-яке число ( $x \in (- \infty; + \infty)$ ).
Якщо $a < 0$ , то $x < - \frac{5}{a}$ .

Відповідь:

1) якщо $a > 0$ , то $x > \frac{3}{a}$ ; якщо $a = 0$ , то немає розв’язків; якщо $a < 0$ , то $x < \frac{3}{a}$ ;

2) якщо $a > 0$ , то $x \geq 0$ ; якщо $a = 0$ , то $x \in (- \infty; + \infty)$ ; якщо $a < 0$ , то $x \leq 0$ ;

3) якщо $a > 0$ , то $x < 0$ ; якщо $a = 0$ , то немає розв’язків; якщо $a < 0$ , то $x > 0$ ;

4) якщо $a > 0$ , то $x > - \frac{5}{a}$ ; якщо $a = 0$ , то $x \in (- \infty; + \infty)$ ; якщо $a < 0$ , то $x < - \frac{5}{a}$ .

ВПРАВИ ДЛЯ ПОВТОРЕННЯ

6.46. Знайдіть значення виразу:

1) $2 (50 - 8)$ ;

2) $5^{2} \cdot 2^{4}$ ;

3) $(10 - 7) (10 + 7)$ .

1) Розкриємо дужки:

$2 \cdot 50 - 2 \cdot 8 = 100 - 16 = 10 - 4 = 6$

2) Обчислимо корені зі степенів:

$5^{2} \cdot (2^{2})^{2} = 5 \cdot 4 = 20$

3) Застосуємо формулу різниці квадратів:

$(10)^{2} - (7)^{2} = 10 - 7 = 3$

Відповідь: 1) 6; 2) 20; 3) 3.

6.47. Розв’яжіть систему рівнянь:
1)

{x + y = 8 2 x - y = 1

{3 y - x = 1 2 x + 5 y = 20

1) Додамо обидва рівняння системи:

$3 x = 9$

$x = 3$

Підставимо $x = 3$ у перше рівняння:

$3 + y = 8$

$y = 5$

2) Виразимо x із першого рівняння:

$x = 3 y - 1$

Підставимо у друге рівняння:

$2 (3 y - 1) + 5 y = 20$

$6 y - 2 + 5 y = 20$

$11 y = 22$

$y = 2$

Знайдемо x:

$x = 3 \cdot 2 - 1 = 5$

Відповідь: 1) $(3; 5)$ ; 2) $(5; 2)$ .

6.48. Туристка пропливла 5 км на моторному човні проти течії річки, а назад повернулася на плоту. Знайдіть швидкість течії, якщо на плоту туристка пливла на 2 год довше, ніж на човні, а власна швидкість човна дорівнює 12 км/год.

Дано:

$S = 5 км$
$v_{вл} = 12 км / год$
$t_{плоту} = t_{човна} + 2 год$

Знайти:

$v_{течії} - ?$

Розв’язання:
Нехай швидкість течії річки дорівнює $x км / год$ ( $0 < x < 12$ ).
Швидкість човна проти течії становить $(12 - x) км / год$ , а швидкість плоту дорівнює швидкості течії, тобто $x км / год$ .
Час руху на плоту дорівнює $\frac{5}{x} год$ , а на човні проти течії — $\frac{5}{12 - x} год$ .
Складемо рівняння:

$\frac{5}{x} - \frac{5}{12 - x} = 2$

$\frac{5 ( 12 - x ) - 5 x}{x ( 12 - x )} = 2$

$60 - 10 x = 2 (12 x - x^{2})$

$60 - 10 x = 24 x - 2 x^{2}$

$2 x^{2} - 34 x + 60 = 0$

$x^{2} - 17 x + 30 = 0$

За теоремою Вієта:

[x_{1} = 15 (не задовольняє умову, оскільки x < 12) x_{2} = 2

Отже, швидкість течії дорівнює $2 км / год$ .

Відповідь: $2 км / год$ .

6.49. Доведіть, що значення виразу $(\frac{1}{a ^{2} - 4 a + 4} + \frac{1}{a ^{2} - 4}) : \frac{2}{( a - 2 ) ^{2}} - \frac{a}{a + 2}$ не залежить від значення змінної.

Розкладемо знаменники на множники та виконаємо дії для всіх $a \neq = \pm 2$ :

1) Дія в дужках:

$\frac{1}{( a - 2 ) ^{2}} + \frac{1}{( a - 2 ) ( a + 2 )} = \frac{( a + 2 ) + ( a - 2 )}{( a - 2 ) ^{2} ( a + 2 )} = \frac{2 a}{( a - 2 ) ^{2} ( a + 2 )}$

2) Ділення:

$\frac{2 a}{( a - 2 ) ^{2} ( a + 2 )} \cdot \frac{( a - 2 ) ^{2}}{2} = \frac{a}{a + 2}$

3) Віднімання:

$\frac{a}{a + 2} - \frac{a}{a + 2} = 0$

Значення виразу дорівнює 0 для всіх допустимих значень змінної, отже, воно не залежить від $a$ . Доведено.

Відповідь: доведено.

6.50. Побудуйте графік функції:

y = ⎩ ⎨ ⎧ 8, \frac{8}{x}, x - 2, якщо x < 1, якщо 1 \leq x \leq 4, якщо x > 4.

Складемо таблиці значень для кожної частини графіка:

1) $y = 8$ , якщо $x < 1$ (горизонтальний промінь):

x	$- 2$	0	1 (межа)
$y$	8	8	8

2) $y = \frac{8}{x}$ , якщо $1 \leq x \leq 4$ (частина гіперболи):

x	1	2	4
$y$	8	4	2

3) $y = x - 2$ , якщо $x > 4$ (промінь прямої):

x	4 (межа)	6	8
$y$	2	4	6

ЖИТТЄВА МАТЕМАТИКА

6.51. Родина із чотирьох осіб планує подорож із Києва до Львова або поїздом, або на власному авто. Квиток на поїзд на одну особу коштує 600 грн у вагоні-купе. Автомобіль витрачає 8 літрів пального на 100 кілометрів шляху, відстань по шосе між містами дорівнює 540 км, а ціна пального становить 55 грн за літр. Скільки коштуватиме родині найдешевший варіант такої подорожі?

1) Обчислимо вартість поїздки поїздом для чотирьох осіб:

$4 \cdot 600 = 2400 (грн)$

2) Знайдемо витрати пального на відстань $540 км$ :

$\frac{540}{100} \cdot 8 = 5, 4 \cdot 8 = 43, 2 (л)$

3) Обчислимо вартість пального для автомобіля:

$43, 2 \cdot 55 = 2376 (грн)$

4) Порівняємо обидва варіанти: $2376 грн < 2400 грн$ .
Найдешевшим варіантом є подорож власним авто, що коштує $2376 грн$ .

Відповідь: $2376 грн .$

ПІДГОТУЙТЕСЯ ДО ВИВЧЕННЯ НОВОГО МАТЕРІАЛУ

6.52. Знайдіть перетин проміжків:

1) $(- \infty; 5]$ і $[3; + \infty)$ ;

2) $(- \infty; 3]$ і $[5; + \infty)$ ;

3) $(- \infty; 3)$ і $(- \infty; 5]$ ;

4) $[3; + \infty)$ і $(5; + \infty)$ .

1) Спільними є числа від 3 до 5:

$(- \infty; 5] \cap [3; + \infty) = [3; 5]$

2) Проміжки не перетинаються, оскільки спільних точок немає:

$(- \infty; 3] \cap [5; + \infty) = \emptyset$

3) Проміжок $(- \infty; 3)$ повністю входить до $(- \infty; 5]$ :

$(- \infty; 3) \cap (- \infty; 5] = (- \infty; 3)$

4) Проміжок $(5; + \infty)$ повністю входить до $[3; + \infty)$ :

$[3; + \infty) \cap (5; + \infty) = (5; + \infty)$

Відповідь:

1) $[3; 5]$ ;

2) $\emptyset$ ;

3) $(- \infty; 3)$ ;

4) $(5; + \infty)$ .

6.53. Укажіть три значення x, які одночасно є розв’язками кожної з двох нерівностей:

1) $x \leq 2$ і $x \geq - 3$ ;

2) $x > - 5$ і $x > 7$ ;

3) $x < 0$ і $x \geq - 7$ ;

4) $x \leq 2$ і $x \leq 4$ .

1) Перетином є проміжок $[- 3; 2]$ . Три значення: $- 3$ , 0, 2.

2) Перетином є проміжок $(7; + \infty)$ . Три значення: 8, 9, 10.

3) Перетином є проміжок $[- 7; 0)$ . Три значення: $- 7$ , $- 3$ , $- 1$ .

4) Перетином є проміжок $(- \infty; 2]$ . Три значення: $- 2$ , 0, 2.

Відповідь:

1) $- 3; 0; 2$ ;

2) $8; 9; 10$ ;

3) $- 7; - 3; - 1$ ;

4) $- 2; 0; 2$ .

ЦІКАВІ ЗАДАЧІ – ПОМІРКУЙ ОДНАЧЕ

6.54. У чемпіонаті з баскетболу взяли участь 6 команд, кожна з яких зіграла по 4 зустрічі з кожною командою-учасницею. Нічиїх у баскетболі не буває. Відомо, що п’ять команд мали відповідно 80 %, 60 %, 55 %, 40 % та 35 % перемог (від своєї загальної кількості ігор). Яке місце посіла шоста команда і який у неї відсоток перемог?

1) Знайдемо кількість матчів, яку зіграла кожна команда. Кожна грає з рештою 5 команд по 4 рази:

$N = 5 \cdot 4 = 20 (ігор)$

2) Обчислимо кількість перемог для кожної з п’яти відомих команд:

1-ша: $20 \cdot 0, 8 = 16 перемог$ ;
2-га: $20 \cdot 0, 6 = 12 перемог$ ;
3-тя: $20 \cdot 0, 55 = 11 перемог$ ;
4-та: $20 \cdot 0, 4 = 8 перемог$ ;
5-та: $20 \cdot 0, 35 = 7 перемог$ .

3) Загальна кількість матчів у чемпіонаті:

$\frac{6 \cdot 20}{2} = 60 (ігор)$

Оскільки нічиїх немає, у кожному матчі є рівно одна перемога, тому сума перемог усіх команд дорівнює 60.

4) Знайдемо кількість перемог шостої команди:

$60 - (16 + 12 + 11 + 8 + 7) = 60 - 54 = 6 перемог$

5) Знайдемо відсоток перемог шостої команди:

$\frac{6}{20} \cdot 100% = 30%$

6) Порівняємо відсотки перемог усіх команд:
$80% > 60% > 55% > 40% > 35% > 30%$ .
Шоста команда має найменшу кількість перемог і посіла 6-те місце.

Відповідь: 6-те місце, 30%.

6. Лінійні нерівності з однією змінною. Рівносильні нерівності

Теги статті:

До уроку