5. Числові проміжки

Зміст

№ 5.1. Зобразіть на координатній прямій проміжок:

1) $(-2;1)$

На координатній прямій позначаємо дві виколоті («порожні») точки з координатами $-2$ та $1$. Штриховкою виділяємо частину числової прямої між цими точками.

Відповідь: штриховка між виколотими точками $-2$ та $1$.

2) $(-4;2]$

На координатній прямій позначаємо виколоту точку $-4$ та зафарбовану точку $2$. Штриховкою виділяємо частину числової прямої між точками $-4$ та $2$.

Відповідь: штриховка від виколотої точки $-4$ до зафарбованої точки $2$.

3) $[1;5)$

На координатній прямій позначаємо зафарбовану точку $1$ та виколоту точку $5$. Штриховкою виділяємо частину числової прямої між точками $1$ та $5$.

Відповідь: штриховка від зафарбованої точки $1$ до виколотої точки $5$.

4) $[3;7]$

На координатній прямій позначаємо дві зафарбовані точки $3$ та $7$. Штриховкою виділяємо частину числової прямої між цими точками.

Відповідь: штриховка між зафарбованими точками $3$ та $7$.

5) $(-\infty ;3)$

На координатній прямій позначаємо виколоту точку $3$. Штриховкою виділяємо промінь, розташований ліворуч від точки $3$.

Відповідь: штриховка ліворуч від виколотої точки $3$.

6) $[4;+\infty )$

На координатній прямій позначаємо зафарбовану точку $4$. Штриховкою виділяємо промінь, розташований праворуч від точки $4$.

Відповідь: штриховка праворуч від зафарбованої точки $4$.

7) $(-\infty ;0]$

На координатній прямій позначаємо зафарбовану точку $0$. Штриховкою виділяємо промінь, розташований ліворуч від точки $0$.

Відповідь: штриховка ліворуч від зафарбованої точки $0$.

8) $(5;+\infty )$

На координатній прямій позначаємо виколоту точку $5$. Штриховкою виділяємо промінь, розташований праворуч від точки $5$.

Відповідь: штриховка праворуч від виколотої точки $5$.

№ 5.2. Зобразіть на координатній прямій проміжок:

1) $[4;6)$

На координатній прямій позначаємо зафарбовану точку $4$ та виколоту точку $6$. Штриховкою виділяємо частину числової прямої між точками $4$ та $6$.

Відповідь: штриховка від зафарбованої точки $4$ до виколотої точки $6$.

2) $(-1;7)$

На координатній прямій позначаємо дві виколоті точки $-1$ та $7$. Штриховкою виділяємо частину числової прямої між точками $-1$ та $7$.

Відповідь: штриховка між виколотими точками $-1$ та $7$.

3) $[3;4]$

На координатній прямій позначаємо дві зафарбовані точки $3$ та $4$. Штриховкою виділяємо частину числової прямої між точками $3$ та $4$.

Відповідь: штриховка між зафарбованими точками $3$ та $4$.

4) $(0;2]$

На координатній прямій позначаємо виколоту точку $0$ та зафарбовану точку $2$. Штриховкою виділяємо частину числової прямої між точками $0$ та $2$.

Відповідь: штриховка від виколотої точки $0$ до зафарбованої точки $2$.

5) $(-3;+\infty )$

На координатній прямій позначаємо виколоту точку $-3$. Штриховкою виділяємо промінь, розташований праворуч від точки $-3$.

Відповідь: штриховка праворуч від виколотої точки $-3$.

6) $(-\infty ;4]$

На координатній прямій позначаємо зафарбовану точку $4$. Штриховкою виділяємо промінь, розташований ліворуч від точки $4$.

Відповідь: штриховка ліворуч від зафарбованої точки $4$.

7) $[0;+\infty )$

На координатній прямій позначаємо зафарбовану точку $0$. Штриховкою виділяємо промінь, розташований праворуч від точки $0$.

Відповідь: штриховка праворуч від зафарбованої точки $0$.

8) $(-\infty ;-1)$

На координатній прямій позначаємо виколоту точку $-1$. Штриховкою виділяємо промінь, розташований ліворуч від точки $-1$.

Відповідь: штриховка ліворуч від виколотої точки $-1$.

№ 5.3. Запишіть проміжки, які зображено на малюнках 5.14–5.17.

1) На малюнку 5.14 виділено проміжок між виколотими точками $-3$ та $2$, що відповідає проміжку $(-3;2]$.

2) На малюнку 5.15 виділено промінь ліворуч від виколотої точки $-7$, що відповідає проміжку $(-\infty ;-7)$.

3) На малюнку 5.16 виділено промінь праворуч від зафарбованої точки $3$, що відповідає проміжку $[3;+\infty )$.

4) На малюнку 5.17 виділено проміжок від зафарбованої точки $1$ до виколотої точки $4$, що відповідає проміжку $[1;4)$.

Відповідь: мал. 5.14: $(-3;2)$; мал. 5.15: $(-\infty ;-7)$; мал. 5.16: $[3;+\infty )$; мал. 5.17: $[1;4)$.

№ 5.4. Запишіть проміжки, які зображено на малюнках 5.18–5.21.

1) На малюнку 5.18 виділено промінь ліворуч від зафарбованої точки $3$, що відповідає проміжку $(-\infty ;3]$.

2) На малюнку 5.19 виділено проміжок від виколотої точки $-2$ до зафарбованої точки $5$, що відповідає проміжку $(-2;5]$.

3) На малюнку 5.20 виділено проміжок між зафарбованими точками $7$ та $10$, що відповідає проміжку $(7;10)$.

4) На малюнку 5.21 виділено промінь праворуч від виколотої точки $0$, що відповідає проміжку $(0;+\infty )$.

Відповідь: 1) $(-\infty ;3]$; 2) $(-2;5]$; 3) $[7;10]$; 4) $(0;+\infty )$.

№ 5.5. Зобразіть на координатній прямій і запишіть проміжок, який задано нерівністю:

1) Нерівність $x>3$ строга, тому точка $3$ на координатній прямій є виколотою, а штриховка напрямлена праворуч.

Відповідь: $(3;+\infty )$.

2) Нерівність $x\le -8$ нестрога, тому точка $-8$ є зафарбованою, а штриховка напрямлена ліворуч.

Відповідь: $(-\infty ;-8]$.

3) Нерівність $x\ge -1$ нестрога, тому точка $-1$ є зафарбованою, а штриховка напрямлена праворуч.

Відповідь: $[-1;+\infty )$.

4) Нерівність $x<2$ строга, тому точка $2$ є виколотою, а штриховка напрямлена ліворуч.

Відповідь: $(-\infty ;2)$.

5) У подвійній нерівності $1,8\le x<2$ точка $1,8$ зафарбована, точка $2$ виколота, штриховка між ними.

Відповідь: $[1,8;2)$.

6) У подвійній нерівності $2,5\le x\le 3\frac{1}{8}$ обидві межі включаються у проміжок, тому точки $2,5$ та $3\frac{1}{8}$ є зафарбованими, штриховка між ними.

Відповідь: $\left[2,5;3\frac{1}{8}\right]$.

7) У подвійній нерівності $3,9<x<4$ обидві нерівності строгі, тому точки $3,9$ та $4$ є виколотими, штриховка між ними.

Відповідь: $(3,9;4)$.

8) У подвійній нерівності $7<x\le 7,01$ точка $7$ виколота, точка $7,01$ зафарбована, штриховка між ними.

Відповідь: $(7;7,01]$.

№ 5.6. Зобразіть на координатній прямій і запишіть проміжок, який задано нерівністю:

1) Нерівності $x\ge 5$ відповідають усі дійсні числа, які більші за $5$ або дорівнюють $5$. На координатній прямій позначаємо точку $5$ зафарбованою (заповненою) та штрихуємо область праворуч від цієї точки до $+\infty$.

Запис у вигляді числового проміжку:

$x\in [5;+\infty )$

Відповідь: $[5;+\infty )$.

2) Нерівності $x<4,5$ відповідають усі дійсні числа, що менші за $4,5$. На координатній прямій точку $4,5$ позначаємо порожньою (виколотою) та штрихуємо область ліворуч від неї до $-\infty$.

Запис у вигляді числового проміжку:

$x\in (-\infty ;4,5)$

Відповідь: $(-\infty ;4,5)$.

3) Подвійній нерівності $1,8\le x<5$ відповідають усі дійсні числа, які більші або дорівнюють $1,8$ та строго менші за $5$. На координатній прямій точка $1,8$ є зафарбованою, а точка $5$ — виколотою (порожньою). Штрихуємо частину координатної прямої між цими точками.

Запис у вигляді числового проміжку:

$x\in [1,8;5)$

Відповідь: $[1,8;5)$.

4) Подвійній нерівності $1,9<x<4$ відповідають усі дійсні числа, що розташовані між $1,9$ та $4$, не включаючи самі кінці. На координатній прямій обидві точки $1,9$ та $4$ зображуються виколотими (порожніми). Штрихуємо область між ними.

Запис у вигляді числового проміжку:

$x\in (1,9;4)$

Відповідь: $(1,9;4)$.

№ 5.7. Чи належить проміжку $[-1,01;1,02]$ число:

1) $-1,1$;

Перевіримо виконуваність подвійної нерівності $-1,01\le -1,1\le 1,02$.

Оскільки $-1,1<-1,01$, число $-1,1$ розташоване ліворуч від лівої межі проміжку $[-1,01;1,02]$.

Отже, $-1,1\notin [-1,01;1,02]$.

Відповідь: не належить.

2) $0,9$;

Перевіримо виконуваність подвійної нерівності $-1,01\le 0,9\le 1,02$.

Нерівність $-1,01\le 0,9$ є правильною, і нерівність $0,9\le 1,02$ є правильною.

Отже, $0,9\in [-1,01;1,02]$.

Відповідь: належить.

3) $1,03$;

Перевіримо виконуваність подвійної нерівності $-1,01\le 1,03\le 1,02$.

Оскільки $1,03>1,02$, число $1,03$ розташоване праворуч від правої межі проміжку $[-1,01;1,02]$.

Отже, $1,03\notin [-1,01;1,02]$.

Відповідь: не належить.

4) $-1,11$;

Перевіримо виконуваність подвійної нерівності $-1,01\le -1,11\le 1,02$.

Оскільки $-1,11<-1,01$, число $-1,11$ розташоване ліворуч від даного проміжку.

Отже, $-1,11\notin [-1,01;1,02]$.

Відповідь: не належить.

5) $1,015$;

Перевіримо виконуваність подвійної нерівності $-1,01\le 1,015\le 1,02$.

Порівняємо числа: $-1,01<1,015$ та $1,015<1,020=1,02$.

Оскільки обидві нерівності справджуються, число $1,015$ належить даному проміжку.

Отже, $1,015\in [-1,01;1,02]$.

Відповідь: належить.

6) $-1,009$?

Перевіримо виконуваність подвійної нерівності $-1,01\le -1,009\le 1,02$.

Порівняємо від’ємні числа: $-1,010<-1,009$.

Оскільки $-1,01<-1,009$ та $-1,009<1,02$, число належить даному проміжку.

Отже, $-1,009\in [-1,01;1,02]$.

Відповідь: належить.

№ 5.8. Запишіть усі цілі числа, що належать проміжку:

1) $(-2;1)$;

2) $[-1,8;2]$;

3) $(3;4)$;

4) $(-2,6;1,6)$.

1) Проміжок $(-2;1)$ є відкритим, тому його кінці $-2$ та $1$ не належать проміжку.

Цілі числа $x$, що задовольняють нерівність $-2<x<1$, це: $-1$ та $0$.

Відповідь: $-1;0$.

2) Шукаємо цілі числа $x$, що задовольняють подвійну нерівність $-1,8\le x\le 2$.

У цьому діапазоні знаходяться цілі числа: $-1;0;1;2$.

Відповідь: $-1;0;1;2$.

3) Шукаємо цілі числа $x$, що задовольняють нерівність $3<x<4$.

Між цілими числами $3$ та $4$ немає жодного цілого числа.

Відповідь: таких чисел немає.

4) Шукаємо цілі числа $x$, що задовольняють подвійну нерівність $-2,6<x<1,6$.

У цьому діапазоні знаходяться цілі числа: $-2;-1;0;1$.

Відповідь: $-2;-1;0;1$.

№ 5.9. Які натуральні числа належать проміжку:

Натуральні числа — це цілі додатні числа ($1,2,3,4,\dots$).

1) $(-0,1;4,9]$;

Шукаємо натуральні числа $n\in \mathbb{N}$, що задовольняють подвійну нерівність $-0,1<n\le 4,9$.

Такими числами є: $1,2,3,4$.

Відповідь: $1;2;3;4$.

2) $[1;\sqrt{5})$;

Оскільки $2=\sqrt{4}<\sqrt{5}<\sqrt{9}=3$, значення $\sqrt{5}\approx 2,236$.

Шукаємо натуральні числа $n\in \mathbb{N}$, що задовольняють подвійну нерівність $1\le n<\sqrt{5}$.

Число $1$ входить до проміжку, оскільки межа квадратна ($1\ge 1$).

Число $2$ задовольняє умову, оскільки $2<\sqrt{5}\approx 2,236$.

Число $3$ не належить, бо $3>\sqrt{5}$.

Відповідь: $1;2$.

3) $(-3;0,7]$;

Шукаємо натуральні числа $n\in \mathbb{N}$, що задовольняють нерівність $-3<n\le 0,7$.

Найменше натуральне число — це $1$, але $1>0,7$. Отже, на даному проміжку немає натуральних чисел.

Відповідь: таких чисел немає.

4) $[2;3,99)$?

Шукаємо натуральні числа $n\in \mathbb{N}$, що задовольняють нерівність $2\le n<3,99$.

Такими числами є: $2$ та $3$.

Відповідь: $2;3$.

№ 5.10. Запишіть два додатних і два від’ємних числа, що належать проміжку:

1) $(-2;7)$;

2) $[-1;1]$.

1) Проміжок $(-2;7)$ задається нерівністю $-2<x<7$.

Два додатних числа ($x>0$) з даного проміжку: $1$ та $5$ (оскільки $-2<1<7$ та $-2<5<7$).

Два від’ємних числа ($x<0$) з даного проміжку: $-1$ та $-1,5$ (оскільки $-2<-1<7$ та $-2<-1,5<7$).

2) Проміжок $[-1;1]$ задається нерівністю $-1\le x\le 1$.

Два додатних числа ($x>0$) з даного проміжку: $0,5$ та $1$ (оскільки $-1\le 0,5\le 1$ та $-1\le 1\le 1$).

Два від’ємних числа ($x<0$) з даного проміжку: $-0,5$ та $-1$ (оскільки $-1\le -0,5\le 1$ та $-1\le -1\le 1$).

Відповідь:

1) додатні числа: $1$ та $5$; від’ємні числа: $-1$ та $-1,5$;

2) додатні числа: $0,5$ та $1$; від’ємні числа: $-0,5$ та $-1$.

№ 5.11. Знайдіть найменше ціле число, що належить проміжку:

1) $(0;8)$;

2) $(-5;2)$;

3) $[4;7)$;

4) $(0,5;+\infty )$.

1) Проміжок $(0;8)$ є відкритим, тому його кінці $0$ та $8$ не належать проміжку ($0\notin (0;8)$). Цілі числа, що містяться в цьому проміжку: $1,2,3,4,5,6,7$. Найменшим серед них є $1$.

Відповідь: $1$.

2) Проміжок $(-5;2)$ є відкритим, тому $-5\notin (-5;2)$. Цілі числа, що належать проміжку: $-4,-3,-2,-1,0,1$. Найменшим з них є $-4$.

Відповідь: $-4$.

3) Проміжок $[4;7)$ є напіввідкритим та включає лівий кінець $4$, оскільки дужка квадратна ($4\in [4;7)$). Цілі числа в цьому проміжку: $4,5,6$. Найменшим цілим числом є $4$.

Відповідь: $4$.

4) Проміжок $(0,5;+\infty )$ містить усі числа, більші за $0,5$. Цілі числа в цьому проміжку: $1,2,3,\dots$ Найменшим цілим числом є $1$.

Відповідь: $1$.

№ 5.12. Знайдіть найбільше ціле число, що належить проміжку:

1) $(-2;9)$

Проміжок відкритий, тому правий кінець $9\notin (-2;9)$. Цілі числа в цьому проміжку: $-1,0,1,2,3,4,5,6,7,8$. Найбільшим цілим числом є $8$.

Відповідь: $8$.

2) $(-\infty ;4,5)$

Проміжок містить усі числа, менші за $4,5$. Найбільшим цілим числом, яке задовольняє умову $x<4,5$, є $4$.

Відповідь: $4$.

3) $[0;17,2]$

Проміжок замкнений зліва та обмежений справа числом $17,2$. Найбільшим цілим числом, яке не перевищує $17,2$, є $17$.

Відповідь: $17$.

4) $(-1;0,99)$

Проміжок містить числа, що задовольняють подвійну нерівність $-1<x<0,99$. Єдиним цілим числом у цьому проміжку є $0$.

Відповідь: $0$.

№ 5.13.

1) Знайдіть найбільше і найменше натуральні числа, що належать проміжку $[\sqrt{5};\sqrt{39})$.

2) Знайдіть добуток цих чисел, відтак дізнаєтеся, скільки медалей Паралімпійських ігор має українка Олена Юрковська.

1) Оцінимо значення квадратних коренів за допомогою найближчих точних квадратів:

• Оскільки $4<5<9$, то $\sqrt{4}<\sqrt{5}<\sqrt{9}$, тобто $2<\sqrt{5}<3$ ($\sqrt{5}\approx 2,24$).

• Оскільки $36<39<49$, то $\sqrt{36}<\sqrt{39}<\sqrt{49}$, тобто $6<\sqrt{39}<7$ ($\sqrt{39}\approx 6,24$).

Отже, проміжок $[\sqrt{5};\sqrt{39})$ міститься в межах приблизно $[2,24;6,24)$.

Натуральні числа ($1,2,3,\dots$), що належать цьому проміжку: $3,4,5,6$.

• Найменше натуральне число: $3$.

• Найбільше натуральне число: $6$.

Відповідь: найменше — $3$, найбільше — $6$.

2) Обчислимо добуток знайдених найменшого та найбільшого натуральних чисел:

$3\cdot 6=18$

Українка Олена Юрковська має $18$ медалей Паралімпійських ігор.

Відповідь: $18$ медалей.

№ 5.14. Чи належить проміжку $(1,6;4,5]$ число:

1) $\sqrt{3}$;

2) $\sqrt{10}$;

3) $\sqrt{12}$;

4) $\sqrt{21}$?

Число $x$ належить проміжку $(1,6;4,5]$, якщо виконується подвійна нерівність:

$1,6<x\le 4,5$

Піднесемо додатні межі проміжку до квадрата для порівняння з квадратними коренями:

$1,6^2=2,56$

$4,5^2=20,25$

Отже, число $\sqrt{a}\in (1,6;4,5]$ тоді і тільки тоді, коли $2,56<a\le 20,25$.

1) Оскільки $2,56<3\le 20,25$, то нерівність $1,6<\sqrt{3}\le 4,5$ є правильною. Число $\sqrt{3}$ належить проміжку $(1,6;4,5]$.

Відповідь: належить.

2) Оскільки $2,56<10\le 20,25$, то нерівність $1,6<\sqrt{10}\le 4,5$ є правильною. Число $\sqrt{10}$ належить проміжку $(1,6;4,5]$.

Відповідь: належить.

3) Оскільки $2,56<12\le 20,25$, то нерівність $1,6<\sqrt{12}\le 4,5$ є правильною. Число $\sqrt{12}$ належить проміжку $(1,6;4,5]$.

Відповідь: належить.

4) Оскільки $21>20,25$, то маємо $\sqrt{21}>\sqrt{20,25}=4,5$. Число $\sqrt{21}$ виходить за праву межу проміжку і не належить йому.

Відповідь: не належить.

№ 5.15. Чи належить проміжку $[2,5;6,1)$ число:

1) $\sqrt{5}$

Перетворимо межі проміжку до коренів або порівняємо квадрати чисел:

$2,5^2=6,25$

$6,1^2=37,21$

Число $x$ належить проміжку $[2,5;6,1)$, якщо виконується подвійна нерівність $2,5\le x<6,1$, що для додатних чисел еквівалентно нерівності:

$6,25\le x^2<37,21$

Для числа $\sqrt{5}$ маємо:

$(\sqrt{5}{)}^2=5$

Оскільки $5<6,25$, число $\sqrt{5}<2,5$, отже, воно не належить вказаному проміжку.

Відповідь: не належить.

2) $\sqrt{13}$

Для числа $\sqrt{13}$ маємо:

$(\sqrt{13}{)}^2=13$

Оскільки $6,25\le 13<37,21$, виконується нерівність $2,5<\sqrt{13}<6,1$.

Відповідь: належить.

3) $\sqrt{15}$

Для числа $\sqrt{15}$ маємо:

$(\sqrt{15}{)}^2=15$

Оскільки $6,25\le 15<37,21$, виконується нерівність $2,5<\sqrt{15}<6,1$.

Відповідь: належить.

4) $\sqrt{39}$

Для числа $\sqrt{39}$ маємо:

$(\sqrt{39}{)}^2=39$

Оскільки $39>37,21$, число $\sqrt{39}>6,1$, отже, воно не належить вказаному проміжку.

Відповідь: не належить.

№ 5.16. Зобразіть проміжки на координатній прямій та запишіть їх перетин:

1) $[-2;3)$ і $[0;4]$

Для зображення на координатній прямій позначимо зафарбовану точку $-2$, виколоту точку $3$, зафарбовану точку $0$ та зафарбовану точку $4$.

Штриховкою виділимо відрізок від $-2$ до $3$ та від $0$ до $4$. Спільна частина двох штриховок знаходиться на проміжку від $0$ (включно) до $3$ (не включаючи).

$[-2;3)\cap [0;4]=[0;3)$

Відповідь: $[0;3)$.

2) $[-5;4]$ і $(-2;1)$

На координатній прямій позначимо зафарбовані точки $-5$ і $4$, а також виколоті точки $-2$ і $1$.

Проміжок $(-2;1)$ повністю лежить усередині відрізка $[-5;4]$, тому їхньою спільною частиною є проміжок $(-2;1)$.

$[-5;4]\cap (-2;1)=(-2;1)$

Відповідь: $(-2;1)$.

3) $(-\infty ;2)$ і $(-\infty ;3]$

На координатній прямій позначимо виколоту точку $2$ та зафарбовану точку $3$.

Перша штриховка йде від $2$ ліворуч до $-\infty$, друга — від $3$ ліворуч до $-\infty$. Перетином є проміжок від $-\infty$ до $2$ (не включаючи).

$(-\infty ;2)\cap (-\infty ;3]=(-\infty ;2)$

Відповідь: $(-\infty ;2)$.

4) $(-\infty ;4)$ і $[0;+\infty )$

На координатній прямій позначимо зафарбовану точку $0$ та виколоту точку $4$.

Штриховка від $4$ спрямована ліворуч, а від $0$ — праворуч. Спільна частина охоплює числа від $0$ (включно) до $4$ (не включаючи).

$(-\infty ;4)\cap [0;+\infty )=[0;4)$

Відповідь: $[0;4)$.

5) $[2;3)$ і $(2;8)$

На координатній прямій позначимо точку $2$ (зафарбована для першого проміжку та виколота для другого), виколоту точку $3$ та виколоту точку $8$.

Спільні точки лежать між $2$ та $3$, причому точка $2$ не належить другому проміжку, тому не входить до перетину.

$[2;3)\cap (2;8)=(2;3)$

Відповідь: $(2;3)$.

6) $(-2;1)$ і $(2;5)$

На координатній прямій позначимо виколоті точки $-2$, $1$, $2$ та $5$.

Перший проміжок лежить ліворуч від числа $1$, а другий — праворуч від числа $2$. Ці проміжки не мають спільних точок.

$(-2;1)\cap (2;5)=\varnothing$

Відповідь: $\varnothing$.

№ 5.17. Зобразіть проміжки на координатній прямій та запишіть їх перетин:

1) $(-1;8)$ і $(0;9)$;

На координатній прямій позначимо виколоті точки $-1$, $0$, $8$, $9$.

Штриховки перетинаються на інтервалі від $0$ до $8$.

$(-1;8)\cap (0;9)=(0;8)$

Відповідь: $(0;8)$.

2) $(-2;4]$ і $[1;2)$;

На координатній прямій позначимо виколоту точку $-2$, зафарбовану точку $1$, виколоту точку $2$ та зафарбовану точку $4$.

Проміжок $[1;2)$ повністю міститься в проміжку $(-2;4]$, тому перетином є $[1;2)$.

$(-2;4]\cap [1;2)=[1;2)$

Відповідь: $[1;2)$.

3) $(-\infty ;1)$ і $(-2;3)$;

На координатній прямій позначимо виколоті точки $-2$, $1$, $3$.

Перетином променя $(-\infty ;1)$ та інтервалу $(-2;3)$ є інтервал $(-2;1)$.

$(-\infty ;1)\cap (-2;3)=(-2;1)$

Відповідь: $(-2;1)$.

4) $[1;5)$ і $[6;+\infty )$.

На координатній прямій позначимо зафарбовану точку $1$, виколоту точку $5$ та зафарбовану точку $6$.

Проміжки $[1;5)$ та $[6;+\infty )$ не перетинаються.

$[1;5)\cap [6;+\infty )=\varnothing$

Відповідь: $\varnothing$.

№ 5.18. Зобразіть проміжки на координатній прямій та запишіть їх об’єднання:

1) $(-3;1)$ і $(0;4]$;

На координатній прямій позначимо виколоті точки $-3$, $0$, $1$ та зафарбовану точку $4$.

Об’єднання двох проміжків закриває всі точки від $-3$ до $4$ включно.

$(-3;1)\cup (0;4]=(-3;4]$

Відповідь: $(-3;4]$.

2) $[0;1)$ і $[-2;1]$;

На координатній прямій позначимо зафарбовану точку $-2$, зафарбовану точку $0$ та зафарбовану точку $1$.

Проміжок $[0;1)$ повністю належить відрізку $[-2;1]$, тому їх об’єднанням є відрізок $[-2;1]$.

$[0;1)\cup [-2;1]=[-2;1]$

Відповідь: $[-2;1]$.

3) $[3;8)$ і $[4;5]$;

На координатній прямій позначимо зафарбовані точки $3$, $4$, $5$ та виколоту точку $8$.

Відрізок $[4;5]$ є підмножиною півінтервалу $[3;8)$, тому об’єднання дорівнює $[3;8)$.

$[3;8)\cup [4;5]=[3;8)$

Відповідь: $[3;8)$.

4) $(-\infty ;3)$ і $[2,8;4)$;

На координатній прямій позначимо зафарбовану точку $2,8$, виколоту точку $3$ та виколоту точку $4$.

Оскільки $2,8<3$, проміжки перекриваються, утворюючи проміжок від $-\infty$ до $4$.

$(-\infty ;3)\cup [2,8;4)=(-\infty ;4)$

Відповідь: $(-\infty ;4)$.

5) $[1;3)$ і $[3;5]$;

На координатній прямій позначимо зафарбовану точку $1$, точку $3$ (виколоту для першого та зафарбовану для другого проміжку) і зафарбовану точку $5$.

Оскільки точка $3$ належить другому проміжку, об’єднання утворює суцільний відрізок від $1$ до $5$.

$[1;3)\cup [3;5]=[1;5]$

Відповідь: $[1;5]$.

6) $(0;1]$ і $(2;+\infty )$.

На координатній прямій позначимо виколоту точку $0$, зафарбовану точку $1$ та виколоту точку $2$.

Проміжки не перетинаються і не стикаються, тому їх об’єднання записується у вигляді сукупності двох проміжків.

$(0;1]\cup (2;+\infty )$

Відповідь: $(0;1]\cup (2;+\infty )$.

№ 5.19. Зобразіть проміжки на координатній прямій та запишіть їх об’єднання:

1) На координатній прямій позначимо зафарбовану точку $-2$, виколоті точки $2$ і $3$, та зафарбовану точку $5$.

Проміжки перекриваються на інтервалі $(2;3)$, тому об’єднання охоплює всі числа від $-2$ до $5$ включно:

$[-2;3)\cup (2;5]=[-2;5]$

Відповідь: $[-2;5]$.

2) На координатній прямій позначимо зафарбовану точку $2$, виколоту точку $4$ та виколоту точку $10$.

Інтервал $(2;4)$ є підмножиною півінтервалу $[2;10)$, тому їхнім об’єднанням є $[2;10)$:

$(2;4)\cup [2;10)=[2;10)$

Відповідь: $[2;10)$.

3) На координатній прямій позначимо точку $0$ (виколоту для першого і зафарбовану для другого проміжку) та зафарбовану точку $1$.

Точка $0$ входить до складу другого проміжку, тому об’єднанням є півінтервал $(-\infty ;1]$:

$(-\infty ;0)\cup [0;1]=(-\infty ;1]$

Відповідь: $(-\infty ;1]$.

4) На координатній прямій позначимо виколоті точки $3$ та $4$.

Проміжки перекриваються на інтервалі $(3;4)$ і разом покривають усю числову пряму:

$(-\infty ;4)\cup (3;+\infty )=(-\infty ;+\infty )$

Відповідь: $(-\infty ;+\infty )$.

ВПРАВИ ДЛЯ ПОВТОРЕННЯ

№ 5.20. Скоротіть дріб:

1) $\frac{m^2-5}{m+\sqrt{5}}$;

2) $\frac{\sqrt{m}-\sqrt{n}}{m-2\sqrt{mn}+n}$.

1) Розкладемо чисельник $m^2-5$ на множники за формулою різниці квадратів $a^2-b^2=(a-b)(a+b)$, враховуючи, що $5=(\sqrt{5}{)}^2$:

$m^2-5=(m-\sqrt{5})(m+\sqrt{5})$

Скоротимо дріб на спільний множник $(m+\sqrt{5})\ne 0$:

$\frac{m^2-5}{m+\sqrt{5}}=\frac{(m-\sqrt{5})(m+\sqrt{5})}{m+\sqrt{5}}=m-\sqrt{5}$

2) Область допустимих значень: $m\ge 0$, $n\ge 0$, $m\ne n$.

Розкладемо знаменник $m-2\sqrt{mn}+n$ за формулою квадрата різниці $a^2-2ab+b^2=(a-b{)}^2$, де $m=(\sqrt{m}{)}^2$ та $n=(\sqrt{n}{)}^2$:

$m-2\sqrt{mn}+n=(\sqrt{m}-\sqrt{n}{)}^2$

Скоротимо дріб на $(\sqrt{m}-\sqrt{n})\ne 0$:

$\frac{\sqrt{m}-\sqrt{n}}{m-2\sqrt{mn}+n}=\frac{\sqrt{m}-\sqrt{n}}{(\sqrt{m}-\sqrt{n}{)}^2}=\frac{1}{\sqrt{m}-\sqrt{n}}$

Відповідь:

1) $m-\sqrt{5}$;

2) $\frac{1}{\sqrt{m}-\sqrt{n}}$.

№ 5.21. Доведіть нерівність $(x+5)(x-9)<(x-2{)}^2$.

Для доведення нерівності розглянемо різницю між її лівою та правою частинами і покажемо, що вона є від’ємною при будь-якому значенні $x$.

1) Розкриємо дужки у лівій частині:

$(x+5)(x-9)=x^2-9x+5x-45=x^2-4x-45$

2) Розкриємо квадрат двочлена у правій частині:

$(x-2{)}^2=x^2-4x+4$

3) Знайдемо різницю лівої та правої частин:

$(x+5)(x-9)-(x-2{)}^2=(x^2-4x-45)-(x^2-4x+4)=x^2-4x-45-x^2+4x-4=-49$

4) Оскільки $-49<0$, різниця лівої і правої частин завжди від’ємна для будь-якого дійсного $x$.

Отже, нерівність $(x+5)(x-9)<(x-2{)}^2$ доведено.

Відповідь: нерівність доведено.

№ 5.22.

1) На перегоні завдовжки $120\text{ км}$ поїзд рухався зі швидкістю на $10\text{ км/год}$ меншою, ніж передбачено розкладом, тому запізнився на $24\text{ хв}$. З якою швидкістю мав рухатися поїзд за розкладом?

1) Переведемо час запізнення з хвилин у години:

$24\text{ хв}=\frac{24}{60}\text{ год}=\frac{2}{5}\text{ год}=0,4\text{ год}$

Нехай запланована швидкість поїзда за розкладом дорівнює $x\text{ км/год}$.

Тоді фактична швидкість поїзда становила $(x-10)\text{ км/год}$.

Плановий час руху:

$t_1=\frac{120}{x}\text{ год}$

Фактичний час руху:

$t_2=\frac{120}{x-10}\text{ год}$

Оскільки фактичний час на $0,4\text{ год}$ більший за плановий, складаємо рівняння:

$\frac{120}{x-10}-\frac{120}{x}=\frac{2}{5}$

$\text{ОДЗ: }x>10$.

Помножимо обидві частини рівняння на спільний знаменник $5x(x-10)\ne 0$:

$120\cdot 5x-120\cdot 5(x-10)=2x(x-10)$

$600x-600(x-10)=2x^2-20x$

$600x-600x+6000=2x^2-20x$

$2x^2-20x-6000=0$

Поділимо обидві частини рівняння на $2$:

$x^2-10x-3000=0$

Обчислимо дискримінант:

$D=(-10{)}^2-4\cdot 1\cdot (-3000)=100+12000=12100=110^2$

$x_1=\frac{10+110}{2}=60$

$x_2=\frac{10-110}{2}=-50$

Корінь $x_2=-50$ не задовольняє умову задачі, оскільки швидкість руху не може бути від’ємною ($x>0$).

Отже, швидкість поїзда за розкладом становить $60\text{ км/год}$.

Відповідь: $60\text{ км/год}$.

№ 5.22. 2) Проєктна діяльність. Проаналізуйте реальний розклад руху поїздів. Оцініть середню швидкість руху поїзда на вибраному маршруті.

Розглянемо реальний маршрут швидкісного поїзда «Інтерсіті+» за напрямком Київ — Львів.

1) Вихідні дані з розкладу руху:

• Відстань між залізничними станціями Київ-Пасажирський та Львів становить $S=572\text{ км}$.
• Час відправлення з Києва: 06:00.
• Час прибуття до Львова: 11:12.
• Загальний час у дорозі: $t=5\text{ год }12\text{ хв}$.

2) Переведення часу в десятковий дріб:

$12\text{ хв}=\frac{12}{60}\text{ год}=0,2\text{ год}$

$t=5+0,2=5,2\text{ год}$

3) Обчислення середньої швидкості:

Середня швидкість $v_{\text{сер}}$ визначається як відношення всієї пройденої відстані до всього часу руху:

$v_{\text{сер}}=\frac{S}{t}=\frac{572}{5,2}=110\text{ км/год}$

Відповідь: середня швидкість руху поїзда на маршруті Київ — Львів становить $110\text{ км/год}$.

№ 5.23. Знайдіть значення виразу $x+\frac{1}{x}$, якщо $x^2+\frac{1}{x^2}=34$.

Зауважимо, що $x\ne 0$.

Піднесемо вираз $x+\frac{1}{x}$ до квадрата за формулою квадрата суми $(a+b{)}^2=a^2+2ab+b^2$:

${\left(x+\frac{1}{x}\right)}^2=x^2+2\cdot x\cdot \frac{1}{x}+\frac{1}{x^2}$

${\left(x+\frac{1}{x}\right)}^2=x^2+\frac{1}{x^2}+2$

Підставимо числове значення $x^2+\frac{1}{x^2}=34$ у здобутий вираз:

${\left(x+\frac{1}{x}\right)}^2=34+2=36$

Оскільки квадрат виразу дорівнює $36$, шукане значення може бути як додатним, так і від’ємним:

$x+\frac{1}{x}=6\text{або}x+\frac{1}{x}=-6$

Відповідь: $6$ або $-6$.

ПІДГОТУЙТЕСЯ ДО ВИВЧЕННЯ НОВОГО МАТЕРІАЛУ

№ 5.24. Знайдіть корені лінійного рівняння:

1) $2x=6$

Поділимо обидві частини рівняння на $2$:

$x=\frac{6}{2}$

$x=3$

Відповідь: $x=3$.

2) $6x=-12$

Поділимо обидві частини рівняння на $6$:

$x=\frac{-12}{6}$

$x=-2$

Відповідь: $x=-2$.

3) $-4x=160$

Поділимо обидві частини рівняння на $-4$:

$x=\frac{160}{-4}$

$x=-40$

Відповідь: $x=-40$.

4) $-5x=-20$

Поділимо обидві частини рівняння на $-5$:

$x=\frac{-20}{-5}$

$x=4$

Відповідь: $x=4$.

5) $0x=7$

Будь-яке число при множенні на $0$ дає $0$. Оскільки рівність $0=7$ є хибною, рівняння не має розв’язків.

Відповідь: розв’язків немає.

6) $0x=0$

Будь-яке число при множенні на $0$ дає $0$. Рівність $0=0$ є правильною при будь-якому значенні змінної $x$.

Відповідь: $x$ — будь-яке число.

№ 5.25. Розв’яжіть рівняння:

1) $2x-3=3x+7;$

Перенесемо доданки зі змінною у ліву частину, а числові доданки — у праву, змінюючи їхні знаки на протилежні:

$2x-3x=7+3$

$-x=10$

$x=-10$

Відповідь: $x=-10$.

2) $2(x-3)=7(x+2)-1;$

Розкриємо дужки у лівій та правій частинах рівняння:

$2x-6=7x+14-1$

$2x-6=7x+13$

Перенесемо доданки зі змінною вліво, а числа — вправо:

$2x-7x=13+6$

$-5x=19$

$x=-\frac{19}{5}$

$x=-3,8$

Відповідь: $x=-3,8$.

3) $2(x-3)-(x+2)=1-3x;$

Розкриємо дужки, враховуючи знак мінус перед дужкою:

$2x-6-x-2=1-3x$

$x-8=1-3x$

Перенесемо доданки зі змінною вліво, а числа — вправо:

$x+3x=1+8$

$4x=9$

$x=\frac{9}{4}$

$x=2,25$

Відповідь: $x=2,25$.

4) $\frac{x+1}{2}-\frac{x-2}{3}=2.$

Помножимо обидві частини рівняння на найменший спільний знаменник $6$:

$6\cdot \frac{x+1}{2}-6\cdot \frac{x-2}{3}=6\cdot 2$

$3(x+1)-2(x-2)=12$

Розкриємо дужки та зведемо подібні доданки:

$3x+3-2x+4=12$

$x+7=12$

$x=12-7$

$x=5$

Відповідь: $x=5$.

№ 5.26. Чи є рівносильними рівняння:

Два рівняння називають рівносильними, якщо вони мають саме ті самі корені або обидва не мають коренів.

1) $-3x=12$ і $x+7=3;$

Знайдемо корінь першого рівняння:

$-3x=12$

$x=\frac{12}{-3}$

$x=-4$

Знайдемо корінь другого рівняння:

$x+7=3$

$x=3-7$

$x=-4$

Оскільки обидва рівняння мають однаковий єдиний корінь $x=-4$, вони є рівносильними.

Відповідь: так, є рівносильними.

2) $2x=18$ і $x+1=-8?$

Знайдемо корінь першого рівняння:

$2x=18$

$x=\frac{18}{2}$

$x=9$

Знайдемо корінь другого рівняння:

$x+1=-8$

$x=-8-1$

$x=-9$

Оскільки корені рівнянь відрізняються ($9\ne -9$), рівняння не є рівносильними.

Відповідь: ні, не є рівносильними.

ЖИТТЄВА МАТЕМАТИКА

№ 5.27. На малюнку зображено графік процесу розігрівання двигуна легкового автомобіля. На осі абсцис відкладено час у хвилинах, що минув від запуску двигуна, на осі ординат — температуру двигуна у градусах Цельсія. За графіком визначте:

1) на якій хвилині температура двигуна досягла значення $60^{\circ }\text{C}$;

2) скільки хвилин двигун нагрівався від температури $40^{\circ }\text{C}$ до температури $90^{\circ }\text{C}$;

3) скільки хвилин двигун охолоджувався від температури $90^{\circ }\text{C}$ до температури $80^{\circ }\text{C}$;

4) на скільки градусів нагрівся двигун за перші три хвилини.

1) На осі ординат знайдемо значення $60^{\circ }\text{C}$ і визначимо відповідну йому абсцису точки на графіку, яка дорівнює $5$. Отже, це відбулося на $5$-й хвилині.

2) Температура $40^{\circ }\text{C}$ відповідає моменту часу $3\text{ хв}$, а температура $90^{\circ }\text{C}$ — моменту часу $8\text{ хв}$. Час нагрівання становить:

$8-3=5\text{ (хв)}$

3) Температура $90^{\circ }\text{C}$ була досягнута на $8$-й хвилині, а знизилася до $80^{\circ }\text{C}$ на $10$-й хвилині. Час охолодження становить:

$10-8=2\text{ (хв)}$

4) Початкова температура двигуна при $t=0\text{ хв}$ становила $10^{\circ }\text{C}$. На $3$-й хвилині вона дорівнювала $40^{\circ }\text{C}$. Зміна температури становить:

$40^{\circ }\text{C}-10^{\circ }\text{C}=30^{\circ }\text{C}$

Відповідь:

1) на $5$-й хвилині;

2) $5\text{ хв}$;

3) $2\text{ хв}$;

4) на $30^{\circ }\text{C}$.

ЦІКАВІ ЗАДАЧІ – ПОМІРКУЙ ОДНАЧЕ

№ 5.28. Розв’яжіть рівняння:

$\frac{x^2+x+2}{3x^2+5x-14}=\frac{x^2+x+6}{3x^2+5x-10}$

Ввівши допоміжні змінні $a=x^2+x$ та $b=3x^2+5x$, запишемо рівняння у вигляді:

$\frac{a+2}{b-14}=\frac{a+6}{b-10}$

Область допустимих значень: $b-14\ne 0$ та $b-10\ne 0$, тобто $b\ne 14$ і $b\ne 10$.

Використаємо властивість пропорції (добуток крайніх членів дорівнює добутку середніх):

$(a+2)(b-10)=(a+6)(b-14)$

Перемножимо вирази у дужках:

$ab-10a+2b-20=ab-14a+6b-84$

Віднімаючи $ab$ від обох частин рівняння та зводячи подібні доданки, отримаємо:

$-10a+14a=6b-2b-84+20$

$4a=4b-64$

Поділимо обидві частини на $4$:

$a=b-16$

Підставимо замість $a$ та $b$ їхні вирази через $x$:

$x^2+x=3x^2+5x-16$

Перенесемо всі доданки в один бік та зведемо квадратне рівняння:

$3x^2-x^2+5x-x-16=0$

$2x^2+4x-16=0$

Поділимо кожний коефіцієнт на $2$:

$x^2+2x-8=0$

Знайдемо корені квадратного рівняння за допомогою дискримінанта:

$D=2^2-4\cdot 1\cdot (-8)=4+32=36$

$x_1=\frac{-2+6}{2\cdot 1}=2$

$x_2=\frac{-2-6}{2\cdot 1}=-4$

Перевіримо ОДЗ:

• Якщо $x=2$, то $b=3\cdot 2^2+5\cdot 2=12+10=22\ne 14$ і $22\ne 10$.

• Якщо $x=-4$, то $b=3\cdot (-4{)}^2+5\cdot (-4)=48-20=28\ne 14$ і $28\ne 10$.

Обидва корені задовольняють область допустимих значень.

Відповідь: $-4;2$.