4. Нерівності зі змінними. Розв’язок нерівності

Зміст

• Наведіть приклад нерівності з однією змінною.

Прикладом нерівності з однією змінною є вираз $2 x + 1 > 11$ .

• Що називають розв’язком нерівності з однією змінною?

Розв’язком нерівності з однією змінною називають значення змінної, яке перетворює її у правильну числову нерівність.

• Що означає розв’язати нерівність?

Розв’язати нерівність означає знайти всі її розв’язки або довести, що розв’язків немає.

РОЗВ’ЯЖІТЬ ЗАДАЧІ ТА ВИКОНАЙТЕ ВПРАВИ

4.1. (Усно.) Чи є розв’язком нерівності $x > 3$ число: 1) $- 2$ ; 2) 5; 3) $2, 7$ ; 4) 0; 5) $3, 01$ ; 6) 17?

1) $- 2 > 3$ — нерівність неправильна, число $- 2$ не є розв’язком;

2) $5 > 3$ — нерівність правильна, число 5 є розв’язком;

3) $2, 7 > 3$ — нерівність неправильна, число $2, 7$ не є розв’язком;

4) $0 > 3$ — нерівність неправильна, число 0 не є розв’язком;

5) $3, 01 > 3$ — нерівність правильна, число $3, 01$ є розв’язком;

6) $17 > 3$ — нерівність правильна, число 17 є розв’язком.

Відповідь: 1) ні; 2) так; 3) ні; 4) ні; 5) так; 6) так.

4.2. Чи є розв’язком нерівності $x < 7$ число: 1) 8; 2) $- 2$ ; 3) 0; 4) $4, 7$ ; 5) $8, 1$ ; 6) 13?

1) $8 < 7$ — неправильно, число 8 не є розв’язком;

2) $- 2 < 7$ — правильно, число $- 2$ є розв’язком;

3) $0 < 7$ — правильно, число 0 є розв’язком;

4) $4, 7 < 7$ — правильно, число $4, 7$ є розв’язком;

5) $8, 1 < 7$ — неправильно, число $8, 1$ не є розв’язком;

6) $13 < 7$ — неправильно, число 13 не є розв’язком.

Відповідь: 1) ні; 2) так; 3) так; 4) так; 5) ні; 6) ні.

4.3. Запишіть три будь-яких розв’язки нерівності $x \leq - 2$ .

Розв’язками є числа, менші від $- 2$ або рівні йому.

Відповідь: $- 2$ ; $- 5$ ; $- 10$ (можна вказати будь-які числа, що не перевищують $- 2$ ).

4.4. Запишіть три будь-яких розв’язки нерівності $x \geq 4$ .

Розв’язками є числа, більші за 4 або рівні йому.

Відповідь: 4; 7; 10 (можна вказати будь-які числа, не менші від 4).

4.5. Які із чисел є розв’язками нерівності $x^{2} + 3 x \leq 3 + x$ : 1) 2; 2) 0; 3) $- 4$ ; 4) 1; 5) 3; 6) $- 3$ ?

Підставимо кожне число у нерівність:

1) При $x = 2$ :
$2^{2} + 3 \cdot 2 \leq 3 + 2 ⟹ 10 \leq 5$ (неправильно);

2) При $x = 0$ :
$0^{2} + 3 \cdot 0 \leq 3 + 0 ⟹ 0 \leq 3$ (правильно);

3) При $x = - 4$ :
$(- 4)^{2} + 3 \cdot (- 4) \leq 3 + (- 4) ⟹ 16 - 12 \leq - 1 ⟹ 4 \leq - 1$ (неправильно);

4) При $x = 1$ :
$1^{2} + 3 \cdot 1 \leq 3 + 1 ⟹ 4 \leq 4$ (правильно);

5) При $x = 3$ :
$3^{2} + 3 \cdot 3 \leq 3 + 3 ⟹ 18 \leq 6$ (неправильно);

6) При $x = - 3$ :
$(- 3)^{2} + 3 \cdot (- 3) \leq 3 + (- 3) ⟹ 9 - 9 \leq 0 ⟹ 0 \leq 0$ (правильно).

Відповідь: розв’язками є числа 0; 1; $- 3$ (пункти 2, 4, 6).

4.6. Які із чисел є розв’язками нерівності $x^{2} + 4 x \geq 6 + 3 x$ : 1) 4; 2) 0; 3) $- 3$ ; 4) 1; 5) 2; 6) $- 1$ ?

Підставимо кожне число у нерівність:

1) При $x = 4$ :
$4^{2} + 4 \cdot 4 \geq 6 + 3 \cdot 4 ⟹ 32 \geq 18$ (правильно);

2) При $x = 0$ :
$0^{2} + 4 \cdot 0 \geq 6 + 3 \cdot 0 ⟹ 0 \geq 6$ (неправильно);

3) При $x = - 3$ :
$(- 3)^{2} + 4 \cdot (- 3) \geq 6 + 3 \cdot (- 3) ⟹ 9 - 12 \geq 6 - 9 ⟹ - 3 \geq - 3$ (правильно);

4) При $x = 1$ :
$1^{2} + 4 \cdot 1 \geq 6 + 3 \cdot 1 ⟹ 5 \geq 9$ (неправильно);

5) При $x = 2$ :
$2^{2} + 4 \cdot 2 \geq 6 + 3 \cdot 2 ⟹ 12 \geq 12$ (правильно);

6) При $x = - 1$ :
$(- 1)^{2} + 4 \cdot (- 1) \geq 6 + 3 \cdot (- 1) ⟹ 1 - 4 \geq 6 - 3 ⟹ - 3 \geq 3$ (неправильно).

Відповідь: розв’язками є числа 4; $- 3$ ; 2 (пункти 1, 3, 5).

4.7. Запишіть два будь-яких розв’язки нерівності $x - 1 > 3$ .

Піднесемо обидві частини нерівності до квадрата:
$x - 1 > 3^{2}$
$x - 1 > 9$
$x > 10$

Розв’язками є будь-які числа, більші за 10.

Відповідь: 11; 17.

4.8. Запишіть два будь-яких розв’язки нерівності $x + 2 < 7$ .

Арифметичний квадратний корінь набуває невід’ємних значень, тому:
$0 \leq x + 2 < 7^{2}$
$0 \leq x + 2 < 49$
$- 2 \leq x < 47$

Розв’язками є будь-які числа з проміжку $[- 2; 47)$ .

Відповідь: 0; 5.

4.9. Знайдіть усі натуральні розв’язки нерівності $15 \frac{1}{3} < x \leq 19$ .

Натуральні числа — це цілі числа, більші за нуль: $1, 2, 3, \dots$
У проміжок між $15 \frac{1}{3}$ та 19 входять числа 16, 17, 18, 19.

Відповідь: 16; 17; 18; 19.

4.10. Знайдіть усі цілі розв’язки нерівності $\frac{20}{x} < - 8$ .

Оскільки чисельник $20 > 0$ , то для отримання від’ємного значення знаменник має бути від’ємним, тобто $x < 0$ .
Помножимо обидві частини на $x < 0$ , змінивши знак нерівності:
$20 > - 8 x$
$x > - \frac{20}{8}$
$x > - 2, 5$

Маємо подвійну нерівність:
$- 2, 5 < x < 0$

Цілими значеннями в цьому інтервалі є $- 2$ та $- 1$ .

Відповідь: $- 2$ ; $- 1$ .

4.11. Знайдіть усі цілі розв’язки нерівності $- \frac{30}{x} < - 7$ .

Помножимо обидві частини нерівності на $- 1$ , змінивши знак:
$\frac{30}{x} > 7$

Оскільки значення дробу більше за додатне число 7, знаменник x має бути додатним ( $x > 0$ ).
Помножимо на $x > 0$ :
$30 > 7 x$
$x < \frac{30}{7}$
$x < 4 \frac{2}{7}$

Отримуємо:
$0 < x < 4 \frac{2}{7}$

Цілими значеннями в цьому інтервалі є 1; 2; 3; 4.

Відповідь: 1; 2; 3; 4.

4.12. Розв’яжіть нерівність:

1) $x^{2} > 0$
Квадрат будь-якого числа невід’ємний і дорівнює нулю лише при $x = 0$ . Нерівність правильна для всіх x, крім нуля.
Відповідь: $x \neq = 0$ (або $x \in (- \infty; 0) \cup (0; + \infty)$ ).

2) $- x^{2} < 0$
Поділимо на $- 1$ , змінивши знак: $x^{2} > 0$ , звідки $x \neq = 0$ .
Відповідь: $x \neq = 0$ (або $x \in (- \infty; 0) \cup (0; + \infty)$ ).

3) $x^{2} \geq 0$
Квадрат будь-якого дійсного числа завжди невід’ємний.
Відповідь: x — будь-яке число.

4) $x^{2} \leq 0$
Оскільки $x^{2} \geq 0$ , нерівність можлива лише за умови $x^{2} = 0$ , тобто $x = 0$ .
Відповідь: 0.

5) $(x - 1)^{2} > 0$
Вираз у квадраті додатний усюди, крім точки, де основа дорівнює нулю: $x - 1 \neq = 0$ , отже $x \neq = 1$ .
Відповідь: $x \neq = 1$ .

6) $(x - 1)^{2} \geq 0$
Квадрат будь-якого виразу завжди невід’ємний.
Відповідь: x — будь-яке число.

7) $(x - 1)^{2} < 0$
Квадрат дійсного числа не може бути строго меншим від нуля.
Відповідь: розв’язків немає.

8) $(x - 1)^{2} \leq 0$
Можливо лише при $(x - 1)^{2} = 0$ , звідки $x - 1 = 0$ , тобто $x = 1$ .
Відповідь: 1.

9) $x^{2} + 9 < 0$
Оскільки $x^{2} \geq 0$ , то $x^{2} + 9 \geq 9 > 0$ . Додатний вираз не може бути меншим від нуля.
Відповідь: розв’язків немає.

4.13. Розв’яжіть нерівність:

1) $(x + 2)^{2} \geq 0$
Квадрат будь-якого дійсного числа завжди невід’ємний.
Відповідь: x — будь-яке число.

2) $(x + 2)^{2} > 0$
Нерівність виконується для всіх x, окрім випадку, коли $x + 2 = 0$ , тобто $x \neq = - 2$ .
Відповідь: $x \neq = - 2$ .

3) $(x + 2)^{2} < 0$
Квадрат дійсного виразу не буває від’ємним.
Відповідь: розв’язків немає.

4) $(x + 2)^{2} \leq 0$
Рівність нулю можлива лише за умови $x + 2 = 0 ⟹ x = - 2$ .
Відповідь: $- 2$ .

5) $\frac{1}{x ^{2}} + 13 < 0$
Для будь-якого $x \neq = 0$ дріб $\frac{1}{x ^{2}} > 0$ , тому сума $\frac{1}{x ^{2}} + 13 > 13 > 0$ .
Відповідь: розв’язків немає.

6) $x^{2} + 5 \geq 0$
Оскільки $x^{2} \geq 0$ , то $x^{2} + 5 \geq 5 > 0$ для будь-якого x.
Відповідь: x — будь-яке число.

4.14. Розв’яжіть нерівність:

1) $\frac{x + 2}{x + 2} > 0, 5$
Область визначення: $x \neq = - 2$ . При цьому значення дробу дорівнює 1. Оскільки $1 > 0, 5$ є правильною нерівністю, вона виконується для всіх $x \neq = - 2$ .
Відповідь: $x \neq = - 2$ (або $x \in (- \infty; - 2) \cup (- 2; + \infty)$ ).

2) $\frac{x - 3}{x - 3} \leq 0, 7$
Область визначення: $x \neq = 3$ . При цьому дріб дорівнює 1. Нерівність $1 \leq 0, 7$ є неправильною.
Відповідь: розв’язків немає.

3) $(\frac{x + 1}{x})^{2} \geq 0$
Квадрат будь-якого числа завжди невід’ємний. Вираз має зміст, якщо знаменник не дорівнює нулю: $x \neq = 0$ .
Відповідь: $x \neq = 0$ .

4) $(\frac{x + 1}{x})^{2} > 0$
Квадрат строго більший за нуль, якщо вираз існує і не дорівнює нулю: $x \neq = 0$ та $x + 1 \neq = 0 ⟹ x \neq = - 1$ .
Відповідь: $x \neq = - 1$ ; $x \neq = 0$ (або $x \in (- \infty; - 1) \cup (- 1; 0) \cup (0; + \infty)$ ).

5) $\frac{( x + 3 ) ^{2}}{x} > 0$
Чисельник $(x + 3)^{2} \geq 0$ і дорівнює нулю при $x = - 3$ . Дріб додатний, якщо знаменник $x > 0$ та чисельник не дорівнює нулю ( $x \neq = - 3$ ). Оскільки точка $- 3$ не потрапляє в область $x > 0$ , розв’язком є $x > 0$ .
Відповідь: $x > 0$ (або $x \in (0; + \infty)$ ).

6) $\frac{( x - 1 ) ^{2}}{x} \leq 0$
Чисельник $(x - 1)^{2} \geq 0$ . Дріб дорівнює нулю при $x = 1$ . Дріб менший від нуля, коли знаменник від’ємний: $x < 0$ .
Відповідь: $x < 0$ або $x = 1$ (або $x \in (- \infty; 0) \cup {1}$ ).

4.15. Розв’яжіть нерівність:

1) $\frac{x - 3}{x - 3} > - 2$
Область визначення: $x \neq = 3$ . За цієї умови вираз дорівнює 1. Нерівність $1 > - 2$ завжди правильна.
Відповідь: $x \neq = 3$ (або $x \in (- \infty; 3) \cup (3; + \infty)$ ).

2) $\frac{x + 7}{x + 7} < - 1$
Область визначення: $x \neq = - 7$ . Отримуємо $1 < - 1$ , що неможливо.
Відповідь: розв’язків немає.

3) $(\frac{x - 1}{x})^{2} \geq 0$
Квадрат дробу невід’ємний для всіх значень, при яких знаменник не дорівнює нулю: $x \neq = 0$ .
Відповідь: $x \neq = 0$ .

4) $(\frac{x - 1}{x})^{2} > 0$
Вираз строго додатний, якщо він визначений і чисельник не дорівнює нулю: $x \neq = 0$ та $x \neq = 1$ .
Відповідь: $x \neq = 0$ ; $x \neq = 1$ (або $x \in (- \infty; 0) \cup (0; 1) \cup (1; + \infty)$ ).

5) $\frac{( x - 3 ) ^{2}}{x} > 0$
Чисельник додатний при $x \neq = 3$ . Дріб буде додатним за умови $x > 0$ та $x \neq = 3$ .
Відповідь: $x \in (0; 3) \cup (3; + \infty)$ .

6) $\frac{( x + 1 ) ^{2}}{x} \leq 0$
Чисельник невід’ємний при всіх x. Дріб від’ємний при $x < 0$ і дорівнює нулю при $x = - 1$ . Оскільки число $- 1$ уже входить у проміжок $x < 0$ , остаточним розв’язком є $x < 0$ .
Відповідь: $x < 0$ (або $x \in (- \infty; 0)$ ).

ВПРАВИ ДЛЯ ПОВТОРЕННЯ

4.16. Спростіть вираз:

1) $(3 + 5)^{2} - 65$

За формулою квадрата суми:
$(3 + 5)^{2} - 65 = 3^{2} + 2 \cdot 3 \cdot 5 + (5)^{2} - 65 = 9 + 65 + 5 - 65 = 14$

Відповідь: 14.

2) $(7 - 2)^{2} - 9$

За формулою квадрата різниці:
$(7 - 2)^{2} - 9 = (7)^{2} - 2 \cdot 7 \cdot 2 + (2)^{2} - 9 = 7 - 214 + 2 - 9 = 9 - 214 - 9 = - 214$

Відповідь: $- 214$ .

4.17. Доведіть тотожність:

$\frac{x ^{2} + x}{( x - 1 ) ^{2}} : (\frac{x}{x - 1} - \frac{x}{x + 1} + \frac{x ^{2} + 1}{x ^{2} - 1}) = \frac{x}{x - 1}$

Виконаємо дії у виразі в дужках:
$\frac{x}{x - 1} - \frac{x}{x + 1} + \frac{x ^{2} + 1}{( x - 1 ) ( x + 1 )} = \frac{x ( x + 1 ) - x ( x - 1 ) + x ^{2} + 1}{( x - 1 ) ( x + 1 )}$
$= \frac{x ^{2} + x - x ^{2} + x + x ^{2} + 1}{( x - 1 ) ( x + 1 )} = \frac{x ^{2} + 2 x + 1}{( x - 1 ) ( x + 1 )} = \frac{( x + 1 ) ^{2}}{( x - 1 ) ( x + 1 )} = \frac{x + 1}{x - 1}$

Виконаємо дію ділення:
$\frac{x ^{2} + x}{( x - 1 ) ^{2}} : \frac{x + 1}{x - 1} = \frac{x ( x + 1 )}{( x - 1 ) ^{2}} \cdot \frac{x - 1}{x + 1} = \frac{x}{x - 1}$

Отримали $\frac{x}{x - 1} = \frac{x}{x - 1}$ , отже, тотожність доведено.

4.18. Побудуйте графік рівняння $∣ x - y ∣ = 3$ .

За означенням модуля маємо:
$x - y = 3 або x - y = - 3$
$y = x - 3 або y = x + 3$

Графіком даного рівняння є пара паралельних прямих.

Складемо таблиці значень для побудови:

1) $y = x - 3$

x	0	3
$y$	$- 3$	0

2) $y = x + 3$

x	0	$- 3$
$y$	3	0

ЖИТТЄВА МАТЕМАТИКА

4.19. Діагональ екрана телевізора дорівнює 48 дюймів. Запишіть довжину діагоналі екрана в сантиметрах, якщо в одному дюймі 2,54 см. Результат округліть до цілого числа сантиметрів.

Дано:

$d = 48 дюймів$
$1 дюйм = 2, 54 см$

Знайти:

$d (см) - ?$

Розв’язання:
$d = 48 \cdot 2, 54 = 121, 92 см$
Округлимо до цілих: $121, 92 \approx 122 см$ .

Відповідь: $122 см$ .

ПІДГОТУЙТЕСЯ ДО ВИВЧЕННЯ НОВОГО МАТЕРІАЛУ

4.20. Де на координатній прямій містяться числа, якщо вони:

1) більші за число 5: праворуч від числа 5;

2) менші від числа 3: ліворуч від числа 3;

3) більші за число 5, але менші від числа 9: між числами 5 та 9.

4.21. Укажіть кілька значень змінної, які задовольняють нерівність:

1) $x < - 2$ : наприклад, $- 3$ ; $- 5$ ; $- 10$ ;

2) $x > 3$ : наприклад, 4; 7; 12;

3) $- 2 \leq x \leq 3$ : наприклад, $- 2$ ; 0; $1, 5$ ; 3;

4) $- 2 < x < 3$ : наприклад, $- 1$ ; 0; $2, 8$ .

4.22. Між якими цілими числами міститься число:

1) $2$ : оскільки $1 < 2 < 4$ , то $1 < 2 < 2$ ;

2) $5$ : оскільки $4 < 5 < 9$ , то $2 < 5 < 3$ ;

3) $13$ : оскільки $9 < 13 < 16$ , то $3 < 13 < 4$ ;

4) $- 3$ : оскільки $1 < 3 < 4$ , то $1 < 3 < 2$ , звідки $- 2 < - 3 < - 1$ .

4.23. Укажіть елементи множини:

1) Елементами множини $A = {4; 7; 10}$ є числа 4, 7 та 10.

2) Елементами множини $B = {△; □;!}$ є трикутник $△$ , квадрат $□$ та знак оклику $!$ .

4.24.

1) Наведіть приклади скінченних множин та нескінченних множин.

Скінченна множина: множина голосних літер в українській мові; множина цифр ${0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}$ ; множина учнів у класі.
Нескінченна множина: множина натуральних чисел $N$ ; множина точок на прямій; множина парних чисел.

2) Як називають множину дійсних розв’язків рівняння $∣ x ∣ = - 4$ ?

Оскільки модуль числа не може дорівнювати від’ємному числу, рівняння не має коренів. Таку множину називають порожньою множиною (позначають $\emptyset$ ).

4.25. Назвіть спільні елементи множин $A = {1; 3; 5; 7}$ і $B = {2; 3; 4; 5}$ .

Спільними елементами множин є числа 3 та 5 ( $A \cap B = {3; 5}$ ).

Відповідь: 3; 5.

ЦІКАВІ ЗАДАЧІ — ПОМІРКУЙ ОДНАЧЕ

4.26. Першу половину шляху пішохід рухався зі швидкістю, на 25 % більшою від запланованої. На скільки відсотків меншою від запланованої може бути тепер його швидкість на другій половині шляху, щоб прибути до пункту призначення вчасно?

Розв’язання:

Нехай весь шлях становить $S$ , запланована швидкість — v.
Тоді плановий час становить:
$t = \frac{S}{v}$

Швидкість пішохода на першій половині шляху:
$v_{1} = v + 0, 25 v = 1, 25 v = \frac{5}{4} v$

Час, витрачений на подолання першої половини шляху ( $\frac{S}{2}$ ):
$t_{1} = \frac{\frac{S}{2}}{\frac{5}{4} v} = \frac{S}{2} \cdot \frac{4}{5 v} = \frac{2}{5} \cdot \frac{S}{v} = 0, 4 t$

Час, що залишився на другу половину шляху:
$t_{2} = t - t_{1} = t - 0, 4 t = 0, 6 t = \frac{3}{5} \cdot \frac{S}{v}$

Необхідна швидкість на другій половині шляху:
$v_{2} = \frac{\frac{S}{2}}{t _{2}} = \frac{\frac{S}{2}}{\frac{3}{5} \frac{S}{v}} = \frac{S}{2} \cdot \frac{5 v}{3 S} = \frac{5}{6} v$

Знайдемо, на скільки відсотків швидкість $v_{2}$ менша за заплановану v:
$\frac{v - v _{2}}{v} \cdot 100% = \frac{v - \frac{5}{6} v}{v} \cdot 100% = \frac{\frac{1}{6} v}{v} \cdot 100% = \frac{100%}{6} = 16 \frac{2}{3} %$

Відповідь: на $16 \frac{2}{3} %$ .

4. Нерівності зі змінними. Розв’язок нерівності

Теги статті:

До уроку