Наведіть приклад нерівності з однією змінною.
Прикладом нерівності з однією змінною є вираз $2x + 1 > 11$.
Що називають розв’язком нерівності з однією змінною?
Розв’язком нерівності з однією змінною називають значення змінної, яке перетворює її у правильну числову нерівність.
Що означає розв’язати нерівність?
Розв’язати нерівність означає знайти всі її розв’язки або довести, що розв’язків немає.
РОЗВ’ЯЖІТЬ ЗАДАЧІ ТА ВИКОНАЙТЕ ВПРАВИ
4.1. (Усно.) Чи є розв’язком нерівності $x > 3$ число: 1) -2; 2) 5; 3) 2,7; 4) 0; 5) 3,01; 6) 17?
- Число $-2$ не є розв’язком, оскільки нерівність $-2 > 3$ є хибною.
- Число $5$ є розв’язком, оскільки нерівність $5 > 3$ є правильною.
- Число $2,7$ не є розв’язком, оскільки нерівність $2,7 > 3$ є хибною.
- Число $0$ не є розв’язком, оскільки нерівність $0 > 3$ є хибною.
- Число $3,01$ є розв’язком, оскільки нерівність $3,01 > 3$ є правильною.
- Число $17$ є розв’язком, оскільки нерівність $17 > 3$ є правильною.
4.2. Чи є розв’язком нерівності $x < 7$ число: 1) 8; 2) -2; 3) 0; 4) 4,7; 5) 8,1; 6) 13?
- Число $8$ не є розв’язком, оскільки нерівність $8 < 7$ є хибною.
- Число $-2$ є розв’язком, оскільки нерівність $-2 < 7$ є правильною.
- Число $0$ є розв’язком, оскільки нерівність $0 < 7$ є правильною.
- Число $4,7$ є розв’язком, оскільки нерівність $4,7 < 7$ є правильною.
- Число $8,1$ не є розв’язком, оскільки нерівність $8,1 < 7$ є хибною.
- Число $13$ не є розв’язком, оскільки нерівність $13 < 7$ є хибною.
4.3. Запишіть три будь-яких розв’язки нерівності $x \le -2$.
Будь-якими трьома розв’язками нерівності $x \le -2$ можуть бути числа $-2$, $-5$ та $-10$.
РОЗВ’ЯЖІТЬ ЗАДАЧІ ТА ВИКОНАЙТЕ ВПРАВИ
4.4. Запишіть три будь-яких розв’язки нерівності $x \geq 4$.
Розв’язками нерівності $x \geq 4$ є будь-які числа, що більші за 4 або дорівнюють йому, наприклад: 4, 10, 25.
4.5. Які із чисел є розв’язками нерівності $x^2 + 3x \leq 3 + x$: 1) 2; 2) 0; 3) -4; 4) 1; 5) 3; 6) -3?
Для перевірки підставимо кожне число у нерівність:
- При $x = 2$:
$2^2 + 3 \cdot 2 \leq 3 + 2$
$10 \leq 5$ — хибно. - При $x = 0$:
$0^2 + 3 \cdot 0 \leq 3 + 0$
$0 \leq 3$ — істинно. - При $x = -4$:
$(-4)^2 + 3 \cdot (-4) \leq 3 + (-4)$
$16 – 12 \leq -1$
$4 \leq -1$ — хибно. - При $x = 1$:
$1^2 + 3 \cdot 1 \leq 3 + 1$
$4 \leq 4$ — істинно. - При $x = 3$:
$3^2 + 3 \cdot 3 \leq 3 + 3$
$9 + 9 \leq 6$
$18 \leq 6$ — хибно. - При $x = -3$:
$(-3)^2 + 3 \cdot (-3) \leq 3 + (-3)$
$9 – 9 \leq 0$
$0 \leq 0$ — істинно.
Розв’язками нерівності є числа: 0; 1; -3.
4.6. Які із чисел є розв’язками нерівності $x^2 + 4x \geq 6 + 3x$: 1) 4; 2) 0; 3) -3; 4) 1; 5) 2; 6) -1?
Для перевірки підставимо кожне число у нерівність:
- При $x = 4$:
$4^2 + 4 \cdot 4 \geq 6 + 3 \cdot 4$
$32 \geq 18$ — істинно. - При $x = 0$:
$0^2 + 4 \cdot 0 \geq 6 + 3 \cdot 0$
$0 \geq 6$ — хибно. - При $x = -3$:
$(-3)^2 + 4 \cdot (-3) \geq 6 + 3 \cdot (-3)$
$9 – 12 \geq 6 – 9$
$-3 \geq -3$ — істинно. - При $x = 1$:
$1^2 + 4 \cdot 1 \geq 6 + 3 \cdot 1$
$5 \geq 9$ — хибно. - При $x = 2$:
$2^2 + 4 \cdot 2 \geq 6 + 3 \cdot 2$
$12 \geq 12$ — істинно. - При $x = -1$:
$(-1)^2 + 4 \cdot (-1) \geq 6 + 3 \cdot (-1)$
$1 – 4 \geq 6 – 3$
$-3 \geq 3$ — хибно.
Розв’язками нерівності є числа: 4; -3; 2.
4.7. Запишіть два будь-яких розв’язки нерівності $\sqrt{x – 1} > 3$.
Розв’язання:
$\sqrt{x – 1} > 3$
$x – 1 > 3^2$
$x – 1 > 9$
$x > 10$
Будь-якими двома розв’язками нерівності є числа, що більші за 10, наприклад: 11, 26.
4.8. Запишіть два будь-яких розв’язки нерівності $\sqrt{x + 2} < 7$.
Розв’язання:
$0 \leq x + 2 < 7^2$
$0 \leq x + 2 < 49$
$-2 \leq x < 49 – 2$
$-2 \leq x < 47$
Будь-якими двома розв’язками нерівності є числа з проміжку $[-2; 47)$, наприклад: 0, 7.
РОЗВ’ЯЖІТЬ ЗАДАЧІ ТА ВИКОНАЙТЕ ВПРАВИ
4.9. Знайдіть усі натуральні розв’язки нерівності $15 \dfrac{1}{3} < x \le 19$.
Розв’язання:
Натуральними розв’язками нерівності є цілі додатні числа, що більші за $15 \dfrac{1}{3}$ і не перевищують $19$. Такими числами є $16, 17, 18, 19$.
Відповідь: 16; 17; 18; 19.
4.10. Знайдіть усі цілі розв’язки нерівності $\dfrac{20}{x} < -8$.
Розв’язання:
Оскільки чисельник дробу $20$ є додатним, то для того, щоб дріб був меншим за $-8$, знаменник $x$ має бути від’ємним. Помножимо обидві частини нерівності на $x$, при цьому знак нерівності зміниться на протилежний:
$20 > -8x$
$x > -\dfrac{20}{8}$
$x > -2,5$
Враховуючи, що $x$ має бути від’ємним цілим числом і $x > -2,5$, отримуємо значення $-1$ та $-2$.
Відповідь: -1; -2.
4.11. Знайдіть усі цілі розв’язки нерівності $\dfrac{30}{x} < -7$.
Розв’язання:
Оскільки чисельник $30$ є додатним, знаменник $x$ повинен бути від’ємним. Помножимо обидві частини нерівності на $x$, змінюючи знак нерівності:
$30 > -7x$
$x > -\dfrac{30}{7}$
$x > -4 \dfrac{2}{7}$
Цілими від’ємними розв’язками, що більші за $-4 \dfrac{2}{7}$, є числа $-1, -2, -3, -4$.
Відповідь: -1; -2; -3; -4.
4.12. Розв’яжіть нерівність:
- $x^2 > 0$
Квадрат будь-якого числа завжди невід’ємний. Вираз $x^2$ дорівнює нулю тільки при $x = 0$. Отже, нерівність виконується для всіх дійсних чисел, крім нуля.
Відповідь: $x \in (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$. - $-x^2 < 0$
Помножимо на $-1$, змінивши знак нерівності: $x^2 > 0$. Це виконується для всіх $x$, крім $x = 0$.
Відповідь: $x \neq 0$. - $x^2 \ge 0$
Квадрат будь-якого дійсного числа завжди більший за нуль або дорівнює йому.
Відповідь: $x$ — будь-яке число. - $x^2 \le 0$
Оскільки $x^2$ не може бути меншим за нуль, єдиним розв’язком є $x = 0$.
Відповідь: 0. - $(x – 1)^2 > 0$
Вираз у квадраті завжди додатний, крім випадку, коли основа дорівнює нулю: $x – 1 \neq 0$, тобто $x \neq 1$.
Відповідь: $x \neq 1$. - $(x – 1)^2 \ge 0$
Квадрат будь-якого виразу завжди невід’ємний.
Відповідь: $x$ — будь-яке число. - $(x – 1)^2 < 0$
Квадрат числа не може бути від’ємним.
Відповідь: розв’язків немає. - $(x – 1)^2 \le 0$
Нерівність виконується лише тоді, коли $(x – 1)^2 = 0$, тобто $x = 1$.
Відповідь: 1. - $x^2 + 9 < 0$
Оскільки $x^2 \ge 0$ для будь-якого $x$, то $x^2 + 9 \ge 9$. Додатне число не може бути меншим за нуль.
Відповідь: розв’язків немає.
4.13. Розв’яжіть нерівність:
- $(x + 2)^2 \ge 0$
Квадрат будь-якого виразу завжди є невід’ємним за визначенням.
Відповідь: $x$ — будь-яке число. - $(x + 2)^2 > 0$
Нерівність виконується для всіх значень $x$, при яких вираз під квадратом не дорівнює нулю: $x + 2 \neq 0$, отже $x \neq -2$.
Відповідь: $x \neq -2$. - $(x + 2)^2 < 0$
Квадрат дійсного числа не може бути меншим за нуль.
Відповідь: розв’язків немає. - $(x + 2)^2 \le 0$
Нерівність має розв’язок тільки тоді, коли вираз дорівнює нулю: $x + 2 = 0$, звідки $x = -2$.
Відповідь: -2. - $\dfrac{1}{x^2} + 13 < 0$
Оскільки $x^2 > 0$ (знаменник не може бути 0), то дріб $\dfrac{1}{x^2}$ завжди додатний. Сума двох додатних чисел ($\dfrac{1}{x^2}$ та $13$) завжди більша за нуль.
Відповідь: розв’язків немає. - $x^2 + 5 \ge 0$
Оскільки $x^2 \ge 0$, то $x^2 + 5$ завжди не менше ніж $5$. Умова виконується для будь-якого значення змінної.
Відповідь: $x$ — будь-яке число.
РОЗВ’ЯЖІТЬ ЗАДАЧІ ТА ВИКОНАЙТЕ ВПРАВИ
4.14. Розв’яжіть нерівність: 1) $\dfrac{x + 2}{x + 2} > 0,5$; 2) $\dfrac{x – 3}{x – 3} \leq 0,7$; 3) $\left(\dfrac{x + 1}{x}\right)^2 \geq 0$; 4) $\left(\dfrac{x + 1}{x}\right)^2 > 0$; 5) $\dfrac{(x + 3)^2}{x} > 0$; 6) $\dfrac{(x – 1)^2}{x} \leq 0$.
- $\dfrac{x + 2}{x + 2} > 0,5$
Вираз має зміст при $x + 2 \neq 0$, тобто $x \neq -2$.
При $x \neq -2$ дріб дорівнює 1.
Нерівність набуває вигляду $1 > 0,5$, що є правильною числовою нерівністю для будь-якого допустимого значення $x$.
Відповідь: $x \in (-\infty; -2) \cup (-2; +\infty)$. - $\dfrac{x – 3}{x – 3} \leq 0,7$
Вираз має зміст при $x – 3 \neq 0$, тобто $x \neq 3$.
При $x \neq 3$ дріб дорівнює 1.
Нерівність набуває вигляду $1 \leq 0,7$, що є хибним твердженням.
Відповідь: розв’язків немає. - $\left(\dfrac{x + 1}{x}\right)^2 \geq 0$
Квадрат будь-якого виразу завжди є невід’ємним.
Нерівність виконується для всіх значень $x$, при яких вираз має зміст.
Знаменник не може дорівнювати нулю: $x \neq 0$.
Відповідь: $x \in (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$. - $\left(\dfrac{x + 1}{x}\right)^2 > 0$
Квадрат виразу є додатним, якщо сам вираз не дорівнює нулю та має зміст.
Умова існування виразу: $x \neq 0$.
Умова нерівності нулю: $x + 1 \neq 0$, отже $x \neq -1$.
Відповідь: $x \in (-\infty; -1) \cup (-1; 0) \cup (0; +\infty)$. - $\dfrac{(x + 3)^2}{x} > 0$
Чисельник $(x + 3)^2 \geq 0$ для всіх $x$ і дорівнює нулю при $x = -3$.
Для того щоб дріб був більшим за нуль, знаменник має бути додатним ($x > 0$), а чисельник не повинен дорівнювати нулю ($x \neq -3$).
Оскільки число $-3$ не входить у проміжок $x > 0$, розв’язком є всі додатні числа.
Відповідь: $x \in (0; +\infty)$. - $\dfrac{(x – 1)^2}{x} \leq 0$
Чисельник $(x – 1)^2 \geq 0$ для всіх $x$ і дорівнює нулю при $x = 1$.
Дріб дорівнює нулю, якщо $x = 1$.
Дріб є меншим за нуль, якщо чисельник додатний, а знаменник від’ємний:
$(x – 1)^2 > 0$ при $x \neq 1$ та $x < 0$.
Об’єднуючи ці випадки, отримуємо $x < 0$ або $x = 1$.
Відповідь: $x \in (-\infty; 0) \cup {1}$.
4.15. Розв’яжіть нерівність: 1) $\dfrac{x – 3}{x – 3} > -2$; 2) $\dfrac{x + 7}{x + 7} < -1$; 3) $\left(\dfrac{x – 1}{x}\right)^2 \geq 0$; 4) $\left(\dfrac{x – 1}{x}\right)^2 > 0$; 5) $\dfrac{(x – 3)^2}{x} > 0$; 6) $\dfrac{(x + 1)^2}{x} \leq 0$.
- $\dfrac{x – 3}{x – 3} > -2$
Область допустимих значень: $x \neq 3$.
При $x \neq 3$ нерівність набуває вигляду $1 > -2$, що є правильним для всіх допустимих значень.
Відповідь: $x \in (-\infty; 3) \cup (3; +\infty)$. - $\dfrac{x + 7}{x + 7} < -1$
Область допустимих значень: $x \neq -7$.
При $x \neq -7$ нерівність набуває вигляду $1 < -1$, що є хибним.
Відповідь: розв’язків немає. - $\left(\dfrac{x – 1}{x}\right)^2 \geq 0$
Будь-який вираз у квадраті є невід’ємним на всій області свого визначення.
Область визначення: $x \neq 0$.
Відповідь: $x \in (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$. - $\left(\dfrac{x – 1}{x}\right)^2 > 0$
Квадрат виразу є строго більшим за нуль, якщо вираз має зміст і не дорівнює нулю.
Вираз має зміст при $x \neq 0$.
Вираз не дорівнює нулю при $x – 1 \neq 0$, тобто $x \neq 1$.
Відповідь: $x \in (-\infty; 0) \cup (0; 1) \cup (1; +\infty)$. - $\dfrac{(x – 3)^2}{x} > 0$
Чисельник $(x – 3)^2$ завжди невід’ємний і дорівнює нулю при $x = 3$.
Дріб буде додатним, якщо знаменник $x > 0$ та чисельник $(x – 3)^2 \neq 0$.
Отже, $x > 0$ та $x \neq 3$.
Відповідь: $x \in (0; 3) \cup (3; +\infty)$. - $\dfrac{(x + 1)^2}{x} \leq 0$
Чисельник $(x + 1)^2 \geq 0$ для всіх $x$.
Дріб буде від’ємним, якщо знаменник $x < 0$ (при цьому чисельник у цій області буде додатним або нульовим).
Дріб дорівнює нулю при $x = -1$. Оскільки $-1$ входить у проміжок $x < 0$, розв’язком є всі від’ємні числа.
Відповідь: $x \in (-\infty; 0)$.
ВПРАВИ ДЛЯ ПОВТОРЕННЯ
4.16. Спростіть вираз:
- $(3 + \sqrt{5})^2 – 6\sqrt{5}$
Розв’язання:
$(3 + \sqrt{5})^2 – 6\sqrt{5} = 9 + 2 \cdot 3 \cdot \sqrt{5} + (\sqrt{5})^2 – 6\sqrt{5} = 9 + 6\sqrt{5} + 5 – 6\sqrt{5} = 14$
Відповідь: 14.
- $(\sqrt{7} – \sqrt{2})^2 – 9$
Розв’язання:
$(\sqrt{7} – \sqrt{2})^2 – 9 = (\sqrt{7})^2 – 2 \cdot \sqrt{7} \cdot \sqrt{2} + (\sqrt{2})^2 – 9 = 7 – 2\sqrt{14} + 2 – 9 = 9 – 2\sqrt{14} – 9 = -2\sqrt{14}$
Відповідь: $-2\sqrt{14}$.
4.18. Побудуйте графік рівняння $|x – y| = 3$.
[!NOTE]
Промпт для створення зображення:
A coordinate plane with two parallel lines representing the graph of |x – y| = 3. The lines are y = x – 3 and y = x + 3. All labels including axes X and Y and the equations of the lines must be in Ukrainian language: ‘вісь X’, ‘вісь Y’, ‘графік рівняння’.
ЖИТТЄВА МАТЕМАТИКА
4.19. Діагональ екрана телевізора дорівнює 48 дюймів. Запишіть довжину діагоналі екрана в сантиметрах, якщо в одному дюймі 2,54 см. Результат округліть до цілого числа сантиметрів.
Відомо:
- $d = 48 \text{ дюймів}$
- $1 \text{ дюйм} = 2,54 \text{ см}$
Знайти:
- $d \text{ (см)} – ?$
Розв’язання:
$d = 48 \cdot 2,54 = 121,92 \text{ см}$
Округлимо до цілого числа: $121,92 \approx 122$.
Відповідь: 122 см.
ПІДГОТУЙТЕСЯ ДО ВИВЧЕННЯ НОВОГО МАТЕРІАЛУ
4.20. Де на координатній прямій містяться числа, якщо вони:
- Числа, більші за число 5, містяться праворуч від числа 5.
- Числа, менші від числа 3, містяться ліворуч від числа 3.
- Числа, більші за число 5, але менші від числа 9, містяться між числами 5 та 9.
4.23. Укажіть елементи множини:
- Елементами множини $A = {4; 7; 10}$ є числа 4, 7 та 10.
- Елементами множини $B = {\triangle; \square; !}$ є трикутник, квадрат та знак оклику.
4.25. Назвіть спільні елементи множин $A = {1; 3; 5; 7}$ і $B = {2; 3; 4; 5}$.
Спільними елементами множин $A$ і $B$ є числа 3 та 5.
ЦІКАВІ ЗАДАЧІ — ПОМІРКУЙ ОДНАЧЕ
4.26. Першу половину шляху пішохід рухався зі швидкістю, на 25 % більшою від запланованої. На скільки відсотків меншою від запланованої може бути тепер його швидкість на другій половині шляху, щоб прибути до пункту призначення вчасно?
Розв’язання:
Нехай $S$ — весь шлях, $v$ — запланована швидкість. Запланований час $t = \dfrac{S}{v}$.
Швидкість на першій половині шляху $v_1 = 1,25v$.
Час на першу половину шляху $t_1 = \dfrac{0,5S}{1,25v} = \dfrac{S}{2,5v} = 0,4\dfrac{S}{v} = 0,4t$.
Час, що залишився на другу половину шляху: $t_2 = t – 0,4t = 0,6t$.
Швидкість на другій половині шляху має бути:
$v_2 = \dfrac{0,5S}{t_2} = \dfrac{0,5S}{0,6 \cdot \dfrac{S}{v}} = \dfrac{0,5}{0,6}v = \dfrac{5}{6}v$.
Знайдемо різницю у відсотках:
$\Delta v = \dfrac{v – \dfrac{5}{6}v}{v} \cdot 100% = \dfrac{1}{6} \cdot 100% \approx 16,67%$.
Відповідь: на $16\dfrac{2}{3}%$ (або приблизно 16,67%).