3. Почленне додавання і множення числових нерівностей

Зміст

ПОМІРКУЙТЕ

Що мають на увазі під почленним додаванням нерівностей?

Під почленним додаванням нерівностей мають на увазі додавання лівих частин нерівностей окремо від правих частин при збереженні спільного знака нерівності.

Сформулюйте й доведіть властивість про почленне додавання нерівностей.

Властивість 5: якщо $a<b$ і $c<d$, то $a+c<b+d$.

Доведення:
До обох частин нерівності $a<b$ додамо число $c$:
$a+c<b+c$
До обох частин нерівності $c<d$ додамо число $b$:
$c+b<d+b$
Оскільки $a+c<b+c$, а $b+c<b+d$ (від перестановки доданків сума не змінюється), то за властивістю транзитивності маємо:
$a+c<b+d$

Що мають на увазі під почленним множенням нерівностей?

Під почленним множенням нерівностей мають на увазі множення лівих частин нерівностей окремо від правих частин при збереженні спільного знака нерівності, за умови, що всі члени нерівностей є додатними числами.

Сформулюйте й доведіть властивість про почленне множення нерівностей.

Властивість 6: якщо $a<b$ і $c<d$, де $a,b,c,d$ — додатні числа, то $ac<bd$.

Помножимо обидві частини нерівності $a<b$ на додатне число $c$:
$ac<bc$
Помножимо обидві частини нерівності $c<d$ на додатне число $b$:
$bc<bd$
Оскільки $ac<bc$, а $bc<bd$, то за властивістю транзитивності маємо:
$ac<bd$

ЗАПИТАННЯ ТА ЗАВДАННЯ

Сформулюйте наслідок з властивості про почленне множення нерівностей.

Наслідок з властивості про почленне множення нерівностей стверджує: якщо $a$ і $b$ — додатні числа і $a<b$, то $a^n<b^n$, де $n$ — будь-яке натуральне число.

ЗАВДАННЯ

3.1. Додайте почленно нерівності:

1) $3<9$ і $10<14$;

2) $-2>-5$ і $3>0$.

Розв’язання:

1) Додамо ліві та праві частини нерівностей:
$3+10<9+14$;
$13<23$.

2) Виконаємо почленне додавання нерівностей:
$-2+3>-5+0$;
$1>-5$.

Відповідь:

1) $13<23$;

2) $1>-5$.

3.2. Додайте почленно нерівності:

1) $8>3$ і $10>7$;

2) $-3<-1$ і $-5<1$.

Розв’язання:

1) Складемо відповідні частини нерівностей одного знака:
$8+10>3+7$
$18>10$

2) Знайдемо суми лівих та правих частин нерівностей:
$-3+(-5)<-1+1$
$-8<0$

Відповідь:

1) $18>10$;

2) $-8<0$.

3.3. Перемножте почленно нерівності:
1) $3>1$ і $5>2$;
2) $7<10$ і $2<5$.

Розв’язання:

1) Перемножимо відповідні частини нерівностей, оскільки всі їхні члени є додатними числами:
$3\cdot 5>1\cdot 2$,
$15>2$.

2) Виконаємо почленне множення лівих та правих частин нерівностей:
$7\cdot 2<10\cdot 5$,
$14<50$.

Відповідь:

1) $15>2$;

2) $14<50$.

3.4. Перемножте почленно нерівності:

1) $5<7$ і $1<10$;

2) $7>3$ і $5>1$.

Розв’язання:

1) Знайдемо добутки відповідних частин нерівностей:
$5\cdot 1<7\cdot 10$;

$5<70$.

2) Перемножимо ліві та праві частини нерівностей:
$7\cdot 5>3\cdot 1$;

$35>3$.

Відповідь:

1) $5<70$;

2) $35>3$.

РОЗВ’ЯЖІТЬ ЗАДАЧІ ТА ВИКОНАЙТЕ ВПРАВИ

3.5. (Усно.) Чи отримаємо правильну нерівність, перемноживши почленно нерівності:

1) $-2<-1$ і $5<17$;

2) $0>-3$ і $1>-5$?

Розв’язання:

1) Перемноживши почленно нерівності $-2<-1$ та $5<17$, отримаємо:
$(-2)\cdot 5<(-1)\cdot 17$;
$-10<-17$ — неправильна нерівність (оскільки $-10>-17$).
Отже, правильну нерівність не отримаємо.

2) Перемноживши почленно нерівності $0>-3$ та $1>-5$, отримаємо:
$0\cdot 1>(-3)\cdot (-5)$;
$0>15$ — неправильна нерівність (оскільки $0<15$).
Отже, правильну нерівність не отримаємо.

Почленне множення нерівностей однакового знака гарантує правильний результат лише за умови, що всі їхні частини є додатними числами.

Відповідь:

1) ні;

2) ні.

3.6. Оцініть значення виразу $a+b$, якщо:
1) $-3<a<5$ і $0<b<7$;
2) $2<a<7$ і $-10<b<-8$.

Розв’язання:

1) За властивістю почленного додавання нерівностей:
$-3+0<a+b<5+7$;
$-3<a+b<12$.

Відповідь: $-3<a+b<12$.

2) За властивістю почленного додавання нерівностей:
$2+(-10)<a+b<7+(-8)$;
$-8<a+b<-1$.

Відповідь: $-8<a+b<-1$.

3.7. Оцініть значення виразу $m+n$, якщо:

1) $3<m<7$ і $0<n<2$;

2) $-3<m<-2$ і $-5<n<-1$.

Розв’язання:

1) Додамо почленно нерівності однакового знака:

$3+0<m+n<7+2$

$3<m+n<9$

Відповідь: $3<m+n<9$.

2) Додамо почленно нерівності однакового знака:

$-3+(-5)<m+n<-2+(-1)$

$-8<m+n<-3$

Відповідь: $-8<m+n<-3$.

3.8. Оцініть значення виразу $xy$, якщо:
1) $1<x<2$ і $5<y<10$;
2) $3<x<4,5$ і $1<y<10$.

Розв’язання:

1) Оскільки всі частини нерівностей додатні, застосуємо почленне множення:
$1\cdot 5<xy<2\cdot 10$
$5<xy<20$

Відповідь: $5<xy<20$.

2) Оскільки всі частини нерівностей додатні, застосуємо почленне множення:
$3\cdot 1<xy<4,5\cdot 10$
$3<xy<45$

Відповідь: $3<xy<45$.

3.9. Оцініть значення виразу $cd$, якщо:
1) $2<c<10$ і $1,5<d<2,5$;
2) $\frac{1}{3}<c<1$ і $3<d<8$.

Розв’язання:

1) $2\cdot 1,5<cd<10\cdot 2,5$

$3<cd<25$

Відповідь: $3<cd<25$.

2) $\frac{1}{3}\cdot 3<cd<1\cdot 8$

$1<cd<8$

Відповідь: $1<cd<8$.

РОЗВ’ЯЖІТЬ ЗАДАЧІ ТА ВИКОНАЙТЕ ВПРАВИ

3.10. Відомо, що $1,4<\sqrt{2}<1,5$; $2,2<\sqrt{5}<2,3$. Оцініть: 1) $\sqrt{2}+\sqrt{5}$; 2) $\sqrt{10}$.

Розв’язання:

1) Виконаємо почленне додавання нерівностей однакового знака:

$1,4+2,2<\sqrt{2}+\sqrt{5}<1,5+2,3$;

$3,6<\sqrt{2}+\sqrt{5}<3,8$.

2) Оскільки $\sqrt{10}=\sqrt{2}\cdot \sqrt{5}$ і всі частини нерівностей додатні, виконаємо почленне множення:

$1,4\cdot 2,2<\sqrt{2}\cdot \sqrt{5}<1,5\cdot 2,3$;

$3,08<\sqrt{10}<3,45$.

Відповідь: 1) $3,6<\sqrt{2}+\sqrt{5}<3,8$; 2) $3,08<\sqrt{10}<3,45$.

3.11. 1) Оцініть значення виразу $3a+b$, де $-1<a<10$, $2<b<16$. 2) Найбільше ціле значення виразу вкаже кількість перемог, які здобув український боксер Віталій Кличко за роки професійної кар’єри.

Розв’язання:

1) Оцінимо значення виразу $3a$, помноживши всі частини нерівності $-1<a<10$ на $3$:
$-1\cdot 3<3a<10\cdot 3$;
$-3<3a<30$.

Додамо почленно отриману нерівність та нерівність для $b$:
$-3+2<3a+b<30+16$;
$-1<3a+b<46$.

2) Оскільки $-1<3a+b<46$, найбільшим цілим значенням виразу $3a+b$ є число $45$.

Відповідь:

1) $-1<3a+b<46$;

2) Віталій Кличко здобув $45$ перемог.

3.12.

1) Оцініть значення виразу $2x+y$, де $-2<x<1$, $2<y<7$;

2) Найбільше ціле значення виразу вкаже кількість медалей, які здобула жіноча збірна України із шахів на всесвітніх шахових олімпіадах.

Розв’язання:

1) Оцінимо значення виразу $2x$, помноживши всі частини нерівності на $2$:
$-2\cdot 2<2x<1\cdot 2$
$-4<2x<2$

Додамо почленно отриману нерівність та нерівність $2<y<7$:
$-4+2<2x+y<2+7$
$-2<2x+y<9$

2) Оскільки $-2<2x+y<9$, то найбільшим цілим значенням цього виразу є число $8$. Отже, жіноча збірна України із шахів здобула $8$ медалей.

Відповідь:

1) $-2<2x+y<9$;

2) $8$ медалей.

3.13. Оцініть значення виразу $p^2$, якщо $2<p<3$.

Розв’язання:

Оскільки всі частини нерівності є додатними числами, за властивістю числових нерівностей піднесемо їх до квадрата:

$2^2<p^2<3^2$;

$4<p^2<9$.

Відповідь: $4<p^2<9$.

3.14. Оцініть значення виразу $m^2$, якщо $1<m<5$.

Розв’язання:

Оскільки всі частини нерівності є додатними числами, піднесемо їх до квадрата:
$1^2<m^2<5^2$;
$1<m^2<25$.

Відповідь: $1<m^2<25$.

РОЗВ’ЯЖІТЬ ЗАДАЧІ ТА ВИКОНАЙТЕ ВПРАВИ

3.15. Відомо, що $x>3$, $y>4$. Чи правильне твердження:
1) $x+y>7$;
2) $x+y>6$;
3) $x+y>8$;
4) $xy>12$;
5) $xy>13$;
6) $xy>10$?

Розв’язання:

1) Твердження правильне, оскільки при почленному додаванні правильних нерівностей $x>3$ та $y>4$ отримаємо $x+y>7$.

2) Твердження правильне, оскільки якщо $x+y>7$, то $x+y>6$ (оскільки $7>6$).

3) Твердження неправильне, оскільки сума $x+y$ може бути будь-яким числом, більшим за $7$ (наприклад, $7,1$), що не обов’язково більше за $8$.

4) Твердження правильне, оскільки за властивістю почленного множення нерівностей для додатних чисел $x>3$ та $y>4$ отримаємо $xy>12$.

5) Твердження неправильне, оскільки добуток $xy$ може бути будь-яким числом, більшим за $12$ (наприклад, $12,5$), що не обов’язково більше за $13$.

6) Твердження правильне, оскільки якщо $xy>12$, то $xy>10$ (оскільки $12>10$).

Відповідь:

1) так (правильне);

2) так (правильне);

3) ні (неправильне);

4) так (правильне);

5) ні (неправильне);

6) так (правильне).

3.16. Відомо, що $x<3$, $y<4$. Чи можна стверджувати, що $xy<12$?

Розв’язання:

Стверджувати, що $xy<12$, не можна. Властивість почленного множення нерівностей справджується лише для додатних чисел.

Якщо $x$ та $y$ будуть від’ємними (наприклад, $x=-10$ та $y=-10$), то їхні значення задовольняють умови $x<3$ та $y<4$, але їхній добуток:
$xy=-10\cdot (-10)=100>12$

Відповідь: ні, не можна.

3.17. Відомо, що $-3<x<4$, $1<y<4$. Оцініть значення виразу:
1) $x-y$;
2) $3x-y$;
3) $2y-x$;
4) $2x-3y$.

Розв’язання:

1) Оцінка виразу $x-y$:

Для оцінки різниці додамо до нерівності для $x$ нерівність для $-y$:
Помножимо нерівність $1<y<4$ на $-1$:
$-4<-y<-1$

Додамо почленно нерівності:
$-3+(-4)<x+(-y)<4+(-1)$

$-7<x-y<3$

Відповідь: $-7<x-y<3$.

2) Оцінка виразу $3x-y$:

Оцінимо $3x$:
$3\cdot (-3)<3x<3\cdot 4$

$-9<3x<12$

Додамо до нерівності для $3x$ нерівність для $-y$ (де $-4<-y<-1$):
$-9+(-4)<3x-y<12+(-1)$

$-13<3x-y<11$

Відповідь: $-13<3x-y<11$.

3) Оцінка виразу $2y-x$:

Оцінимо $2y$:
$2\cdot 1<2y<2\cdot 4$

$2<2y<8$

Оцінимо $-x$:
$-4<-x<3$

Додамо отримані нерівності:
$2+(-4)<2y-x<8+3$

$-2<2y-x<11$

Відповідь: $-2<2y-x<11$.

4) Оцінка виразу $2x-3y$:

Оцінимо $2x$:
$2\cdot (-3)<2x<2\cdot 4$

$-6<2x<8$

Оцінимо $-3y$:
$-3\cdot 4<-3y<-3\cdot 1$

$-12<-3y<-3$

Додамо отримані нерівності:
$-6+(-12)<2x-3y<8+(-3)$

$-18<2x-3y<5$

Відповідь: $-18<2x-3y<5$.

3.18. Відомо, що $-2<a<0$, $3<b<5$. Оцініть значення виразу:
1) $a-b$;
2) $2a-b$;
3) $3b-a$;
4) $4a-5b$.

Розв’язання:

1) Оцінимо вираз $a-b$:

Оцінимо $-b$:
$-5<-b<-3$

Додамо почленно нерівності $-2<a<0$ та $-5<-b<-3$:
$-2+(-5)<a+(-b)<0+(-3)$
$-7<a-b<-3$

Відповідь: $-7<a-b<-3$.

2) Оцінимо вираз $2a-b$:

Помножимо всі частини нерівності $-2<a<0$ на $2$:
$-4<2a<0$

Оскільки $-5<-b<-3$, додамо почленно нерівності:
$-4+(-5)<2a+(-b)<0+(-3)$
$-9<2a-b<-3$

Відповідь: $-9<2a-b<-3$.

3) Оцінимо вираз $3b-a$:

Помножимо всі частини нерівності $3<b<5$ на $3$:
$9<3b<15$

Помножимо всі частини нерівності $-2<a<0$ на $-1$:
$0<-a<2$

Додамо почленно нерівності:
$9+0<3b+(-a)<15+2$
$9<3b-a<17$

Відповідь: $9<3b-a<17$.

4) Оцінимо вираз $4a-5b$:

Помножимо всі частини нерівності $-2<a<0$ на $4$:
$-8<4a<0$

Помножимо всі частини нерівності $3<b<5$ на $-5$:
$-25<-5b<-15$

Додамо почленно нерівності:
$-8+(-25)<4a+(-5b)<0+(-15)$
$-33<4a-5b<-15$

Відповідь: $-33<4a-5b<-15$.

3.19. Дано: $5<a<10$, $1<b<2$. Оцініть значення виразу: 1) $\frac{a}{b}$; 2) $\frac{4b}{3a}$.

Розв’язання:

1) Оцінка виразу $\frac{a}{b}$:

Запишемо частку як добуток: $\frac{a}{b}=a\cdot \frac{1}{b}$.

Оцінимо $\frac{1}{b}$:

$\frac{1}{2}<\frac{1}{b}<1$

Почленно перемножимо нерівності для $a$ та $\frac{1}{b}$:

$5\cdot \frac{1}{2}<a\cdot \frac{1}{b}<10\cdot 1$

$2,5<\frac{a}{b}<10$

Відповідь: $2,5<\frac{a}{b}<10$.

2) Оцінка виразу $\frac{4b}{3a}$:

Оцінимо $4b$:

$4<4b<8$

Оцінимо $3a$:

$15<3a<30$

Оцінимо $\frac{1}{3a}$:

$\frac{1}{30}<\frac{1}{3a}<\frac{1}{15}$

Почленно перемножимо нерівності для $4b$ та $\frac{1}{3a}$:

$4\cdot \frac{1}{30}<\frac{4b}{3a}<8\cdot \frac{1}{15}$

$\frac{2}{15}<\frac{4b}{3a}<\frac{8}{15}$

Відповідь: $\frac{2}{15}<\frac{4b}{3a}<\frac{8}{15}$.

РОЗВ’ЯЖІТЬ ЗАДАЧІ ТА ВИКОНАЙТЕ ВПРАВИ

3.20. Дано: $2<x<4$, $1<y<5$. Оцініть значення виразу: 1) $\frac{x}{y}$; 2) $\frac{5y}{2x}$.

Розв’язання:

1) Оцінимо частку $\frac{x}{y}$ як добуток $x\cdot \frac{1}{y}$.

Оскільки $1<y<5$, то за властивістю числових нерівностей:
$\frac{1}{5}<\frac{1}{y}<\frac{1}{1}$, тобто $0,2<\frac{1}{y}<1$.

Перемножимо почленно нерівності $2<x<4$ та $0,2<\frac{1}{y}<1$:
$2\cdot 0,2<x\cdot \frac{1}{y}<4\cdot 1$

$0,4<\frac{x}{y}<4$

2) Оцінимо вираз $\frac{5y}{2x}$ як добуток $5y\cdot \frac{1}{2x}$.

Оцінимо $5y$:
$5\cdot 1<5y<5\cdot 5$
$5<5y<25$

Оцінимо $2x$:
$2\cdot 2<2x<2\cdot 4$
$4<2x<8$

Оцінимо $\frac{1}{2x}$:
$\frac{1}{8}<\frac{1}{2x}<\frac{1}{4}\text{, тобто }0,125<\frac{1}{2x}<0,25$

Перемножимо почленно нерівності $5<5y<25$ та $0,125<\frac{1}{2x}<0,25$:
$5\cdot 0,125<5y\cdot \frac{1}{2x}<25\cdot 0,25$

$0,625<\frac{5y}{2x}<6,25$

Відповідь:

1) $0,4<\frac{x}{y}<4$;

2) $0,625<\frac{5y}{2x}<6,25$.

3.21. Поле має форму прямокутника зі сторонами $a\text{ км}$ і $b\text{ км}$. Оцініть периметр $P$ поля, якщо $2,3<a<2,5$, $3,1<b<3,7$.

Дано:

• $2,3<a<2,5$
• $3,1<b<3,7$

Знайти:

• $P$

Розв’язання:

Периметр прямокутника обчислюється за формулою:
$P=2(a+b)$

Додамо почленно нерівності для сторін $a$ та $b$:
$2,3+3,1<a+b<2,5+3,7$
$5,4<a+b<6,2$

Помножимо всі частини нерівності на $2$:
$2\cdot 5,4<2(a+b)<2\cdot 6,2$
$10,8<P<12,4$

Відповідь: $10,8<P<12,4$.

3.22. Оцініть, скільки тасьми (у см) знадобиться дівчині, щоб обшити цей елемент одягу, якщо $10<x<12$, $9<y<11$.

Розв’язання:

Для рівнобедреного трикутника довжина тасьми $L$ відповідає його периметру:
$L=x+2y$

Оцінимо значення $2y$:
$2\cdot 9<2y<2\cdot 11$
$18<2y<22$

Додамо почленно нерівності для $x$ та $2y$:
$10+18<x+2y<12+22$
$28<L<34$

Відповідь: дівчині знадобиться від $28\text{ см}$ до $34\text{ см}$ тасьми ($28<L<34$).

3.23. Оцініть міру кута $A$ трикутника $ABC$, якщо $50^{\circ }<\angle B<52^{\circ }$, $60^{\circ }<\angle C<65^{\circ }$.

Розв’язання:

Сума кутів трикутника дорівнює $180^{\circ }$, тому $\angle A=180^{\circ }-(\angle B+\angle C)$.

Оцінимо суму $\angle B+\angle C$:

$50^{\circ }+60^{\circ }<\angle B+\angle C<52^{\circ }+65^{\circ }$

$110^{\circ }<\angle B+\angle C<117^{\circ }$

Помножимо нерівність на $-1$, змінивши знаки нерівності на протилежні:

$-117^{\circ }<-(\angle B+\angle C)<-110^{\circ }$

Додамо до всіх частин нерівності $180^{\circ }$:

$180^{\circ }-117^{\circ }<180^{\circ }-(\angle B+\angle C)<180^{\circ }-110^{\circ }$

$63^{\circ }<\angle A<70^{\circ }$

Відповідь: $63^{\circ }<\angle A<70^{\circ }$.

3.24. Дано: $a>4$, $b<-3$. Доведіть, що: 1) $a-b>7$; 2) $2a-b>11$; 3) $5b-a<-19$; 4) $6b-11a<-60$.

Розв’язання:

1) Доведемо, що $a-b>7$.

Якщо $b<-3$, то $-b>3$.

Додамо почленно нерівності $a>4$ та $-b>3$:
$a+(-b)>4+3$
$a-b>7$
Нерівність доведено.

2) Доведемо, що $2a-b>11$.

Оцінимо $2a$:
$a>4⟹2\cdot a>2\cdot 4⟹2a>8$

Оцінимо $-b$:
$b<-3⟹-b>3$

Додамо почленно нерівності:
$2a+(-b)>8+3⟹2a-b>11$
Нерівність доведено.

3) Доведемо, що $5b-a<-19$.

Оцінимо $5b$:
$b<-3⟹5\cdot b<5\cdot (-3)⟹5b<-15$

Оцінимо $-a$:
$a>4⟹-a<-4$

Додамо почленно нерівності:
$5b+(-a)<-15+(-4)⟹5b-a<-19$
Нерівність доведено.

4) Доведемо, що $6b-11a<-60$.

Оцінимо $6b$:
$b<-3⟹6\cdot b<6\cdot (-3)⟹6b<-18$

Оцінимо $-11a$:
$a>4⟹-11\cdot a<-11\cdot 4⟹-11a<-44$

Додамо почленно нерівності:
$6b+(-11a)<-18+(-44)⟹6b-11a<-62$

Оскільки $6b-11a<-62$, а $-62<-60$, то за властивістю транзитивності $6b-11a<-60$.

Нерівність доведено.

РОЗВ’ЯЖІТЬ ЗАДАЧІ ТА ВИКОНАЙТЕ ВПРАВИ

3.25. Дано: $m>6$, $n<-1$. Доведіть, що:

1) $m-n>7$;

2) $3m-n>13$;

3) $2n-m<-8$;

4) $4n-5m<-34$.

Доведення:

1) Помножимо нерівність $n<-1$ на $-1$, змінивши знак нерівності на протилежний: $-n>1$.

Додамо почленно нерівності однакового знака $m>6$ та $-n>1$:
$m+(-n)>6+1$;
$m-n>7$, що й треба було довести.

2) Помножимо нерівність $m>6$ на $3$:
$3m>18$.

Помножимо нерівність $n<-1$ на $-1$:
$-n>1$.

Додамо почленно отримані нерівності:
$3m+(-n)>18+1$;
$3m-n>19$.

Оскільки $19>13$, то за транзитивністю нерівностей:
$3m-n>13$, що й треба було довести.

3) Помножимо нерівність $n<-1$ на $2$:
$2n<-2$.

Помножимо нерівність $m>6$ на $-1$:
$-m<-6$.

Додамо почленно отримані нерівності:
$2n+(-m)<-2+(-6)$;
$2n-m<-8$, що й треба було довести.

4) Помножимо нерівність $n<-1$ на $4$:
$4n<-4$.

Помножимо нерівність $m>6$ на $-5$:
$-5m<-30$.

Додамо почленно отримані нерівності:
$4n+(-5m)<-4+(-30)$;
$4n-5m<-34$, що й треба було довести.

3.26. Доведіть нерівність:

1) $(x^3+y)(x+y^3)\ge 4x^2{y}^2$, якщо $x\ge 0$, $y\ge 0$;

2) $(m+6)(n+3)(p+2)\ge 48\sqrt{mnp}$, якщо $m\ge 0$, $n\ge 0$, $p\ge 0$;

3) $(a+1)(b+1)(c+1)>32$, якщо $a>0$, $b>0$, $c>0$ і $abc=16$.

Розв’язання:

1) За нерівністю Коші для невід’ємних чисел:
$x^3+y\ge 2\sqrt{x^{3}y}$
$x+y^3\ge 2\sqrt{x{y}^3}$

Перемножимо ці нерівності:
$(x^3+y)(x+y^3)\ge 2\sqrt{x^{3}y}\cdot 2\sqrt{x{y}^3}$
$(x^3+y)(x+y^3)\ge 4\sqrt{x^4{y}^4}$
$(x^3+y)(x+y^3)\ge 4x^2{y}^2$

Нерівність доведено.

2) Застосуємо нерівність Коші до кожної дужки:
$m+6\ge 2\sqrt{6m}$
$n+3\ge 2\sqrt{3n}$
$p+2\ge 2\sqrt{2p}$

Перемножимо ці нерівності:
$(m+6)(n+3)(p+2)\ge 2\sqrt{6m}\cdot 2\sqrt{3n}\cdot 2\sqrt{2p}$
$(m+6)(n+3)(p+2)\ge 8\sqrt{36mnp}$
$(m+6)(n+3)(p+2)\ge 48\sqrt{mnp}$

Нерівність доведено.

3) За нерівністю Коші:
$a+1\ge 2\sqrt{a}$
$b+1\ge 2\sqrt{b}$
$c+1\ge 2\sqrt{c}$

Перемноживши їх, отримаємо:
$(a+1)(b+1)(c+1)\ge 8\sqrt{abc}$

Підставимо $abc=16$:
$(a+1)(b+1)(c+1)\ge 8\sqrt{16}=8\cdot 4=32$

Оскільки рівність виду $t+1=2\sqrt{t}$ можлива лише за умови $t=1$, а за умовою $abc=16$ (змінні $a,b,c$ не можуть одночасно дорівнювати $1$), рівність не досягається.

Отже, нерівність є строгою:
$(a+1)(b+1)(c+1)>32$

Нерівність доведено.

3.27. Доведіть нерівність:

1) $(mn+1)(m+n)\ge 4mn$, якщо $m\ge 0,n\ge 0$;

2) $(a+2c)(b+2a)(c+2b)\ge 16\sqrt{2}abc$, якщо $a\ge 0,b\ge 0,c\ge 0$;

3) $(x+3)(y+3)(z+3)>72$, якщо $x>0,y>0,z>0$ і $xyz=3$.

Доведення:

1) Використаємо нерівність Коші для кожної дужки:
$mn+1\ge 2\sqrt{mn}$
$m+n\ge 2\sqrt{mn}$

Перемножимо отримані нерівності:
$(mn+1)(m+n)\ge 2\sqrt{mn}\cdot 2\sqrt{mn}$
$(mn+1)(m+n)\ge 4mn$.

2) Використаємо нерівність Коші:
$a+2c\ge 2\sqrt{2ac}$
$b+2a\ge 2\sqrt{2ab}$
$c+2b\ge 2\sqrt{2bc}$

Оскільки обидві частини нерівностей невід’ємні, перемножимо їх:
$(a+2c)(b+2a)(c+2b)\ge 2\sqrt{2ac}\cdot 2\sqrt{2ab}\cdot 2\sqrt{2bc}$
$(a+2c)(b+2a)(c+2b)\ge 8\sqrt{8a^2{b}^2{c}^2}$
$(a+2c)(b+2a)(c+2b)\ge 8\cdot 2\sqrt{2}abc$
$(a+2c)(b+2a)(c+2b)\ge 16\sqrt{2}abc$.

3) За нерівністю Коші:
$x+3\ge 2\sqrt{3x}$
$y+3\ge 2\sqrt{3y}$
$z+3\ge 2\sqrt{3z}$

Перемноживши їх, маємо:
$(x+3)(y+3)(z+3)\ge 8\sqrt{27xyz}$

Підставимо $xyz=3$:
$(x+3)(y+3)(z+3)\ge 8\sqrt{27\cdot 3}=8\sqrt{81}=8\cdot 9=72$.

Рівність у нерівності Коші досягається лише за умови $x=3$, $y=3$, $z=3$. Але тоді $xyz=3\cdot 3\cdot 3=27\ne 3$, що суперечить умові $xyz=3$. Отже, рівність не досягається, і нерівність є строгою:
$(x+3)(y+3)(z+3)>72$.

3.28. Доведіть нерівність:

1) $x+\frac{1}{x}+y+\frac{1}{y}\ge 4$, якщо $x>0$, $y>0$;

2) $\left(1+x+\frac{1}{x}\right)\left(1+y+\frac{1}{y}\right)\ge 9$, якщо $x>0$, $y>0$.

Доведення:

1) Для будь-якого додатного числа $a$ виконується нерівність $a+\frac{1}{a}\ge 2$.

Застосуємо її для $x>0$ та $y>0$:

$x+\frac{1}{x}\ge 2$;

$y+\frac{1}{y}\ge 2$.

Додамо почленно ці нерівності однакового знака:

$x+\frac{1}{x}+y+\frac{1}{y}\ge 2+2$;

$x+\frac{1}{x}+y+\frac{1}{y}\ge 4$.

2) Використовуючи нерівність $a+\frac{1}{a}\ge 2$ для додатних чисел, оцінимо значення кожного з виразів у дужках:

$1+x+\frac{1}{x}\ge 1+2=3$;

$1+y+\frac{1}{y}\ge 1+2=3$.

Оскільки ліві та праві частини нерівностей є додатними, перемножимо їх почленно:

$\left(1+x+\frac{1}{x}\right)\left(1+y+\frac{1}{y}\right)\ge 3\cdot 3$;

$\left(1+x+\frac{1}{x}\right)\left(1+y+\frac{1}{y}\right)\ge 9$.

Нерівність доведено.

ЖИТТЄВА МАТЕМАТИКА

3.29. 1) Оцініть (у грамах) масу $M$ п’яти таких пакетів разом з упаковкою, якщо маса однієї упаковки (пакета) $5\text{ г}$, а $24,5<m_1<25,2$, $26<m_2<26,5$.

Дано:

• $n_1=10$ (кількість білих цукерок у пакеті);
• $n_2=12$ (кількість чорних цукерок у пакеті);
• $m_{\text{упак}}=5\text{ г}$ (маса однієї порожньої упаковки);
• $24,5<m_1<25,2$ (маса однієї білої цукерки);
• $26<m_2<26,5$ (маса однієї чорної цукерки).

Знайти:

• $M$ — маса $5$ повних пакетів.

Розв’язання:

Загальна маса п’яти пакетів разом з упаковкою обчислюється за формулою:
$M=5\cdot (10\cdot m_1+12\cdot m_2+5)=50m_1+60m_2+25$.

Оцінимо значення $50m_1$:
$50\cdot 24,5<50m_1<50\cdot 25,2$;
$1225<50m_1<1260$.

Оцінимо значення $60m_2$:
$60\cdot 26<60m_2<60\cdot 26,5$;
$1560<60m_2<1590$.

Додамо отримані нерівності та додамо $25$:
$1225+1560+25<50m_1+60m_2+25<1260+1590+25$;
$2810<M<2875$.

Відповідь: $2810<M<2875\text{ г}$.

2) Оцініть масу харчових продуктів разом з упаковкою у вибраному пакуванні. Визначте її мінімальне та максимальне значення.

Розв’язання:

Для оцінювання обрано пакування з $10$ плитками шоколаду. Маса однієї плитки $m_{\text{п}}$ коливається в межах від $98\text{ г}$ до $102\text{ г}$ ($98\le m_{\text{п}}\le 102$). Маса картонної коробки $m_{\text{к}}$ становить від $30\text{ г}$ до $40\text{ г}$ ($30\le m_{\text{к}}\le 40$).

Оцінка загальної маси $M=10\cdot m_{\text{п}}+m_{\text{к}}$:

$10\cdot 98+30\le M\le 10\cdot 102+40$;

$980+30\le M\le 1020+40$;

$1010\le M\le 1060$.

Мінімальне значення маси становить $1010\text{ г}$, максимальне — $1060\text{ г}$.

Відповідь: мінімальне значення — $1010\text{ г}$, максимальне — $1060\text{ г}$.

ВПРАВИ ДЛЯ ПОВТОРЕННЯ

3.30. Виконайте дії:

1) $\frac{4c^2-4c+1}{5c+5}\cdot \frac{c+1}{2c-1}$

Розв’язання:

Розкладемо чисельник першого дробу за формулою квадрата різниці, а знаменник — винесенням спільного множника за дужки:
$4c^2-4c+1=(2c-1{)}^2$
$5c+5=5(c+1)$

Запишемо добуток дробів:
$\frac{(2c-1{)}^2}{5(c+1)}\cdot \frac{c+1}{2c-1}=\frac{(2c-1{)}^2\cdot (c+1)}{5(c+1)(2c-1)}$

Скоротимо дріб на спільні множники $(c+1)$ та $(2c-1)$:
$\frac{2c-1}{5}$

Відповідь: $\frac{2c-1}{5}$.

2) $\frac{p-2}{m^2+2m}:\frac{p-2}{5m+10}$

Розв’язання:

Замінимо ділення множенням на обернений дріб та розкладемо знаменники на множники:
$m^2+2m=m(m+2)$
$5m+10=5(m+2)$

Запишемо вираз:
$\frac{p-2}{m(m+2)}\cdot \frac{5(m+2)}{p-2}=\frac{(p-2)\cdot 5(m+2)}{m(m+2)(p-2)}$

Скоротимо дріб на спільні множники $(p-2)$ та $(m+2)$:
$\frac{5}{m}$

Відповідь: $\frac{5}{m}$.

3.31. 1) Після змішування 6-відсоткового і 3-відсоткового розчинів солі отримали 300 г 4-відсоткового розчину. По скільки грамів кожного розчину було змішано?

Дано:

• $C_1=6\%=0,06$
• $C_2=3\%=0,03$
• $m_{\text{суміші}}=300\text{ г}$
• $C_{\text{суміші}}=4\%=0,04$

Знайти:

• $m_1-\text{ ?}$
• $m_2-\text{ ?}$

Розв’язання:

Нехай $m_1$ — маса першого розчину, тоді $m_2=(300-m_1)\text{ г}$ — маса другого розчину.

Маса солі в першому розчині становить $0,06\cdot m_1$, у другому — $0,03\cdot (300-m_1)$.

Маса солі в отриманій суміші становить $300\cdot 0,04=12\text{ г}$.

Складемо рівняння:
$0,06\cdot m_1+0,03\cdot (300-m_1)=12$

$0,06\cdot m_1+9-0,03\cdot m_1=12$

$0,03\cdot m_1=12-9$

$0,03\cdot m_1=3$

$m_1=\frac{3}{0,03}$

$m_1=100\text{ г}$

Маса другого розчину:
$m_2=300-100=200\text{ г}$

Відповідь: $100\text{ г}$ 6-відсоткового розчину та $200\text{ г}$ 3-відсоткового розчину.

2) Проєктна діяльність. Змоделюйте приготування соляного розчину в побутових умовах. Обґрунтуйте вибір пропорцій компонентів.

Для приготування $500\text{ г}$ антисептичного розчину для промивання горла з концентрацією $1\%$ необхідно змішати сіль та воду.

Обґрунтування пропорцій:
Концентрація $1\%$ є безпечною для слизової оболонки. Для отримання такої концентрації потрібно $500\cdot 0,01=5\text{ г}$ солі (приблизно 1 чайна ложка без гірки). Решта маси — це вода: $500-5=495\text{ г}$ (приблизно $495\text{ мл}$).

Модель приготування:

1) Зважити $5\text{ г}$ кухонної солі.

2) Відміряти $495\text{ мл}$ теплої кип’яченої води.

3) Ретельно перемішати компоненти до повного розчинення солі.

3.32. Обчисліть: $\frac{\sqrt{5}-\sqrt{2}}{\sqrt{5}+\sqrt{2}}+\frac{\sqrt{5}+\sqrt{2}}{\sqrt{5}-\sqrt{2}}$

Розв’язання:

Зведемо дроби до спільного знаменника $(\sqrt{5}+\sqrt{2})(\sqrt{5}-\sqrt{2})$:

Застосуємо формулу різниці квадратів у знаменнику та формули квадрата суми і квадрата різниці у чисельнику:

Знаменник:
$(\sqrt{5}{)}^2-(\sqrt{2}{)}^2=5-2=3$

Чисельник:
$((\sqrt{5}{)}^2-2\cdot \sqrt{5}\cdot \sqrt{2}+(\sqrt{2}{)}^2)+((\sqrt{5}{)}^2+2\cdot \sqrt{5}\cdot \sqrt{2}+(\sqrt{2}{)}^2)=(5-2\sqrt{10}+2)+(5+2\sqrt{10}+2)=7-2\sqrt{10}+7+2\sqrt{10}=14$

Отримуємо:

Відповідь: $4\frac{2}{3}$.

ВПРАВИ ДЛЯ ПОВТОРЕННЯ

3.33. Побудуйте графік функції $y=\frac{12-6x}{x^2-2x}$.

Розв’язання:

Знайдемо область визначення функції:
$x^2-2x\ne 0$
$x(x-2)\ne 0$
$x\ne 0\text{ і }x\ne 2$

Спростимо формулу функції:
$y=\frac{6(2-x)}{x(x-2)}=\frac{-6(x-2)}{x(x-2)}=-\frac{6}{x},\text{ де }x\ne 2$

Отже, графіком функції є гіпербола $y=-\frac{6}{x}$ з виколотою точкою $(2;-3)$.

Складемо таблицю значень для побудови гіперболи:

ЖИТТЄВА МАТЕМАТИКА

3.34. 1) Знайдіть швидкість у кілометрах за годину в момент, коли спідометр показує 60 миль за годину. Відповідь округліть до десятих км/год.

Дано:

• $v_{\text{милі}}=60\text{ миль/год}$
• $1\text{ миля}=1609\text{ м}=1,609\text{ км}$

Знайти:

• $v_{\text{км}}-?$

Розв’язання:

$v_{\text{км}}=v_{\text{милі}}\cdot 1,609$

$v_{\text{км}}=60\cdot 1,609=96,54\text{ км/год}$

Округлимо до десятих: $96,54\approx 96,5\text{ км/год}$.

Відповідь: $96,5\text{ км/год}$.

3.34. 2) Знайдіть абсолютну похибку (у км/год) такого обчислення, якщо спідометр показує 70 миль за годину.

Дано:

• $v_{\text{милі}}=70\text{ миль/год}$
• $k_{\text{точне}}=1,609$
• $k_{\text{набл}}=1,6$

Знайти:

• $\Delta -?$

Розв’язання:

Знайдемо точне значення швидкості:
$v_{\text{точне}}=70\cdot 1,609=112,63\text{ км/год}$

Знайдемо наближене значення швидкості:
$v_{\text{набл}}=70\cdot 1,6=112\text{ км/год}$

Знайдемо абсолютну похибку:
$\Delta =|v_{\text{точне}}-v_{\text{набл}}|$

$\Delta =|112,63-112|=0,63\text{ км/год}$

Відповідь: $0,63\text{ км/год}$.

ПІДГОТУЙТЕСЯ ДО ВИВЧЕННЯ НОВОГО МАТЕРІАЛУ

3.35. Чи є число 2 розв’язком рівняння:

1) $2x-1=5$;

$2\cdot 2-1=3\ne 5$.

Число 2 не є розв’язком.

2) $x^2+x=6$;

$2^2+2=4+2=6$.

Число 2 є розв’язком.

3) $3x-7=-1$;

$3\cdot 2-7=6-7=-1$.

Число 2 є розв’язком.

4) $x^2+x+9=2x+7$;

$2^2+2+9=15$;

$2\cdot 2+7=11$;

$15\ne 11$.

Число 2 не є розв’язком.

5) $x^3+x^2+x=14$;

$2^3+2^2+2=8+4+2=14$.

Число 2 є розв’язком.

6) $\frac{x+8}{x-1}=10$;

$\frac{2+8}{2-1}=\frac{10}{1}=10$.

Число 2 є розв’язком.

3.36. Чи правильна нерівність $25-x>20$, якщо $x=-5;3;5;11$?

Розв’язання:

1) При $x=-5$:
$25-(-5)=25+5=30>20$ — нерівність правильна;

2) При $x=3$:
$25-3=22>20$ — нерівність правильна;

3) При $x=5$:
$25-5=20\ngtr 20$ ($20=20$) — нерівність неправильна;

4) При $x=11$:
$25-11=14\ngtr 20$ ($14<20$) — нерівність неправильна.

Відповідь: правильна при $x=-5$ та $x=3$; неправильна при $x=5$ та $x=11$.

ПІДГОТУЙТЕСЯ ДО ВИВЧЕННЯ НОВОГО МАТЕРІАЛУ

3.37. До кожної нерівності доберіть два таких значення $x$, щоб для кожного з них вона була правильною: 1) $x\ge 5$; 2) $x<-2$; 3) $x+7>9$; 4) $x-3\le 0$; 5) $2x\ge 9$; 6) $-3x<-12$.

Розв’язання:

1) Для нерівності $x\ge 5$ правильними значеннями є, наприклад, $x=5$ та $x=10$.

2) Для нерівності $x<-2$ правильними значеннями є, наприклад, $x=-3$ та $x=-10$.

3) Для нерівності $x+7>9$, що рівносильна $x>2$, правильними значеннями є, наприклад, $x=3$ та $x=5$.

4) Для нерівності $x-3\le 0$, що рівносильна $x\le 3$, правильними значеннями є, наприклад, $x=3$ та $x=0$.

5) Для нерівності $2x\ge 9$, що рівносильна $x\ge 4,5$, правильними значеннями є, наприклад, $x=5$ та $x=6$.

6) Для нерівності $-3x<-12$, що рівносильна $x>4$, правильними значеннями є, наприклад, $x=5$ та $x=10$.

3.38. Які із запропонованих виразів є додатними для всіх значень змінної, а які — невід’ємними: 1) $x^2$; 2) $(x-3{)}^2+1$; 3) $(x+5{)}^2$; 4) $(x+7{)}^2+11$?

Розв’язання:

1) Вираз $x^2$ є невід’ємним для всіх значень змінної, оскільки $x^2\ge 0$ (він може дорівнювати нулю при $x=0$).

2) Вираз $(x-3{)}^2+1$ є додатним для всіх значень змінної, оскільки $(x-3{)}^2\ge 0$, а додавання одиниці робить значення виразу більшим або рівним $1$ ($(x-3{)}^2+1\ge 1>0$).

3) Вираз $(x+5{)}^2$ є невід’ємним для всіх значень змінної, оскільки $(x+5{)}^2\ge 0$ (він може дорівнювати нулю при $x=-5$).

4) Вираз $(x+7{)}^2+11$ є додатним для всіх значень змінної, оскільки $(x+7{)}^2\ge 0$, а додавання числа $11$ робить значення виразу більшим або рівним $11$ ($(x+7{)}^2+11\ge 11>0$).

Відповідь: додатні: 2), 4); невід’ємні: 1), 3).

ЦІКАВІ ЗАДАЧІ — ПОМІРКУЙ ОДНАЧЕ

3.39. (Українська математична олімпіада, 1962 р.) Знайдіть значення виразу $a^3+b^3+3(a^{3}b+a{b}^3)+6(a^3{b}^2+a^2{b}^3)$, де $a$ і $b$ — корені рівняння $x^2-x+q=0$.

Відомо:

• $x^2-x+q=0$;
• $a,b$ — корені рівняння.

Знайти:

• $a^3+b^3+3(a^{3}b+a{b}^3)+6(a^3{b}^2+a^2{b}^3)$

Розв’язання:

За теоремою Вієта для рівняння $x^2-x+q=0$: