3. Почленне додавання і множення числових нерівностей

Зміст

ПОМІРКУЙТЕ

Що мають на увазі під почленним додаванням нерівностей?

Під почленним додаванням нерівностей мають на увазі додавання лівих частин нерівностей окремо від правих частин при збереженні спільного знака нерівності.

Сформулюйте й доведіть властивість про почленне додавання нерівностей.

Властивість 5: якщо $a < b$ і $c < d$, то $a + c < b + d$.

Дано:

• $a < b$
• $c < d$

Довести:

• $a + c < b + d$

Доведення:
До обох частин нерівності $a < b$ додамо число $c$:
$a + c < b + c$
До обох частин нерівності $c < d$ додамо число $b$:
$c + b < d + b$
Оскільки $a + c < b + c$, а $b + c < b + d$ (від перестановки доданків сума не змінюється), то за властивістю транзитивності маємо:
$a + c < b + d$

Що мають на увазі під почленним множенням нерівностей?

Під почленним множенням нерівностей мають на увазі множення лівих частин нерівностей окремо від правих частин при збереженні спільного знака нерівності, за умови, що всі члени нерівностей є додатними числами.

Сформулюйте й доведіть властивість про почленне множення нерівностей.

Властивість 6: якщо $a < b$ і $c < d$, де $a, b, c, d$ — додатні числа, то $ac < bd$.

Дано:

• $a < b$
• $c < d$
• $a, b, c, d > 0$

Довести:

• $ac < bd$

Доведення:
Помножимо обидві частини нерівності $a < b$ на додатне число $c$:
$ac < bc$
Помножимо обидві частини нерівності $c < d$ на додатне число $b$:
$bc < bd$
Оскільки $ac < bc$, а $bc < bd$, то за властивістю транзитивності маємо:
$ac < bd$

ЗАПИТАННЯ ТА ЗАВДАННЯ

Сформулюйте наслідок з властивості про почленне множення нерівностей.

Наслідок з властивості про почленне множення нерівностей стверджує: якщо $a$ і $b$ — додатні числа і $a < b$, то $a^n < b^n$, де $n$ — будь-яке натуральне число.

ЗАВДАННЯ

3.1. Додайте почленно нерівності: 1) 3 < 9 і 10 < 14; 2) -2 > -5 і 3 > 0.

1. Додамо ліві та праві частини нерівностей:
   $3 + 10 < 9 + 14$
   $13 < 23$
2. Виконаємо почленне додавання частин нерівностей:
   $-2 + 3 > -5 + 0$
   $1 > -5$

3.2. Додайте почленно нерівності: 1) 8 > 3 і 10 > 7; 2) -3 < -1 і -5 < 1.

1. Складемо відповідні частини нерівностей одного знака:
   $8 + 10 > 3 + 7$
   $18 > 10$
2. Знайдемо суми лівих та правих частин нерівностей:
   $-3 + (-5) < -1 + 1$
   $-8 < 0$

3.3. Перемножте почленно нерівності: 1) 3 > 1 і 5 > 2; 2) 7 < 10 і 2 < 5.

1. Перемножимо відповідні частини нерівностей, оскільки вони складаються з додатних чисел:
   $3 \cdot 5 > 1 \cdot 2$
   $15 > 2$
2. Виконаємо почленне множення лівих та правих частин:
   $7 \cdot 2 < 10 \cdot 5$
   $14 < 50$

3.4. Перемножте почленно нерівності: 1) 5 < 7 і 1 < 10; 2) 7 > 3 і 5 > 1.

1. Знайдемо добутки відповідних частин нерівностей:
   $5 \cdot 1 < 7 \cdot 10$
   $5 < 70$
2. Перемножимо ліві та праві частини нерівностей:
   $7 \cdot 5 > 3 \cdot 1$
   $35 > 3$

РОЗВ’ЯЖІТЬ ЗАДАЧІ ТА ВИКОНАЙТЕ ВПРАВИ

3.5. (Усно.) Чи отримаємо правильну нерівність, перемноживши почленно нерівності: 1) -2 < -1 і 5 < 17; 2) 0 > -3 і 1 > -5?

1. При почленному множенні нерівностей $-2 < -1$ та $5 < 17$ отримаємо $-10 < -17$, що є неправильною нерівністю.
2. При почленному множенні нерівностей $0 > -3$ та $1 > -5$ отримаємо $0 > 15$, що є неправильною нерівністю.
   Почленне множення нерівностей гарантує правильний результат лише за умови, що всі частини нерівностей є додатними числами.

3.6. Оцініть значення виразу a + b, якщо: 1) -3 < a < 5 і 0 < b < 7; 2) 2 < a < 7 і -10 < b < -8.

1)
Відомо:

• $-3 < a < 5$
• $0 < b < 7$

Знайти:

• $a + b-?$

Розв’язання:
За властивістю почленного додавання нерівностей:
$-3 + 0 < a + b < 5 + 7$
$-3 < a + b < 12$

Відповідь: $-3 < a + b < 12$.

2)
Відомо:

• $2 < a < 7$
• $-10 < b < -8$

Знайти:

• $a + b-?$

Розв’язання:
За властивістю почленного додавання нерівностей:
$2 + (-10) < a + b < 7 + (-8)$
$-8 < a + b < -1$

Відповідь: $-8 < a + b < -1$.

3.7. Оцініть значення виразу m + n, якщо: 1) 3 < m < 7 і 0 < n < 2; 2) -3 < m < -2 і -5 < n < -1.

1)
Відомо:

• $3 < m < 7$
• $0 < n < 2$

Знайти:

• $m + n-?$

Розв’язання:
$3 + 0 < m + n < 7 + 2$
$3 < m + n < 9$

Відповідь: $3 < m + n < 9$.

2)
Відомо:

• $-3 < m < -2$
• $-5 < n < -1$

Знайти:

• $m + n-?$

Розв’язання:
$-3 + (-5) < m + n < -2 + (-1)$
$-8 < m + n < -3$

Відповідь: $-8 < m + n < -3$.

3.8. Оцініть значення виразу xy, якщо: 1) 1 < x < 2 і 5 < y < 10; 2) 3 < x < 4,5 і 1 < y < 10.

1)
Відомо:

• $1 < x < 2$
• $5 < y < 10$

Знайти:

• $xy-?$

Розв’язання:
Оскільки всі частини нерівностей додатні, застосуємо почленне множення:
$1 \cdot 5 < xy < 2 \cdot 10$
$5 < xy < 20$

Відповідь: $5 < xy < 20$.

2)
Відомо:

• $3 < x < 4{,}5$
• $1 < y < 10$

Знайти:

• $xy-?$

Розв’язання:
Оскільки всі частини нерівностей додатні, застосуємо почленне множення:
$3 \cdot 1 < xy < 4{,}5 \cdot 10$
$3 < xy < 45$

Відповідь: $3 < xy < 45$.

3.9. Оцініть значення виразу cd, якщо: 1) 2 < c < 10 і 1,5 < d < 2,5; 2) 1/3 < c < 1 і 3 < d < 8.

1)
Відомо:

• $2 < c < 10$
• $1{,}5 < d < 2{,}5$

Знайти:

• $cd-?$

Розв’язання:
$2 \cdot 1{,}5 < cd < 10 \cdot 2{,}5$
$3 < cd < 25$

Відповідь: $3 < cd < 25$.

2)
Відомо:

• $\dfrac{1}{3} < c < 1$
• $3 < d < 8$

Знайти:

• $cd-?$

Розв’язання:
$\dfrac{1}{3} \cdot 3 < cd < 1 \cdot 8$
$1 < cd < 8$

Відповідь: $1 < cd < 8$.

РОЗВ’ЯЖІТЬ ЗАДАЧІ ТА ВИКОНАЙТЕ ВПРАВИ

3.10. Відомо, що 1,4 < √2 < 1,5; 2,2 < √5 < 2,3. Оцініть: 1) √2 + √5; 2) √10.

Дано:

• $1{,}4 < \sqrt{2} < 1{,}5$
• $2{,}2 < \sqrt{5} < 2{,}3$

Знайти:

• 1. $\sqrt{2} + \sqrt{5}-?$
  2. $\sqrt{10}-?$

Розв’язання:

1. Виконаємо почленне додавання нерівностей однакового знака:
   $1{,}4 + 2{,}2 < \sqrt{2} + \sqrt{5} < 1{,}5 + 2{,}3$
   $3{,}6 < \sqrt{2} + \sqrt{5} < 3{,}8$
2. Оскільки $\sqrt{10} = \sqrt{2} \cdot \sqrt{5}$ і всі частини нерівностей додатні, виконаємо почленне множення:
   $1{,}4 \cdot 2{,}2 < \sqrt{2} \cdot \sqrt{5} < 1{,}5 \cdot 2{,}3$
   $3{,}08 < \sqrt{10} < 3{,}45$

Відповідь: 1) $3{,}6 < \sqrt{2} + \sqrt{5} < 3{,}8$; 2) $3{,}08 < \sqrt{10} < 3{,}45$.

3.11. 1) Оцініть значення виразу 3a + b, де -1 < a < 10, 2 < b < 16. 2) Найбільше ціле значення виразу вкаже кількість перемог, які здобув український боксер Віталій Кличко за роки професійної кар’єри.

Дано:

• $-1 < a < 10$
• $2 < b < 16$

Знайти:

• 1. Оцінку $3a + b$
  2. $n_{max} \in \mathbb{Z}$

Розв’язання:

1. Оцінимо значення виразу $3a$, помноживши всі частини нерівності на 3:
   $-1 \cdot 3 < 3a < 10 \cdot 3$
   $-3 < 3a < 30$

Додамо отриману нерівність до нерівності для $b$:
$-3 + 2 < 3a + b < 30 + 16$
$-1 < 3a + b < 46$

2. Найбільшим цілим числом, що задовольняє нерівність $3a + b < 46$, є число 45.

Відповідь: 1) $-1 < 3a + b < 46$; 2) Віталій Кличко здобув 45 перемог.

3.12. 1) Оцініть значення виразу 2x + y, де -2 < x < 1, 2 < y < 7. 2) Найбільше ціле значення виразу вкаже кількість медалей, які здобула жіноча збірна України із шахів на всесвітніх шахових олімпіадах.

Дано:

• $-2 < x < 1$
• $2 < y < 7$

Знайти:

• 1. Оцінку $2x + y$
  2. $m_{max} \in \mathbb{Z}$

Розв’язання:

1. Оцінимо значення виразу $2x$, помноживши всі частини нерівності на 2:
   $-2 \cdot 2 < 2x < 1 \cdot 2$
   $-4 < 2x < 2$

Додамо отриману нерівність до нерівності для $y$:
$-4 + 2 < 2x + y < 2 + 7$
$-2 < 2x + y < 9$

2. Найбільшим цілим числом, що задовольняє нерівність $2x + y < 9$, є число 8.

Відповідь: 1) $-2 < 2x + y < 9$; 2) Жіноча збірна України із шахів здобула 8 медалей.

3.13. Оцініть значення виразу p^2, якщо 2 < p < 3.

Дано:

• $2 < p < 3$

Знайти:

• $p^2-?$

Розв’язання:

Оскільки обидві частини нерівності є додатними числами, за властивістю нерівностей (наслідок про піднесення до степеня) піднесемо їх до квадрата:
$2^2 < p^2 < 3^2$
$4 < p^2 < 9$

Відповідь: $4 < p^2 < 9$.

3.14. Оцініть значення виразу m^2, якщо 1 < m < 5.

Дано:

• $1 < m < 5$

Знайти:

• $m^2-?$

Розв’язання:

Оскільки обидві частини нерівності є додатними числами, піднесемо їх до квадрата:
$1^2 < m^2 < 5^2$
$1 < m^2 < 25$

Відповідь: $1 < m^2 < 25$.

РОЗВ’ЯЖІТЬ ЗАДАЧІ ТА ВИКОНАЙТЕ ВПРАВИ

3.15. Відомо, що $x > 3, y > 4$. Чи правильне твердження: 1) $x + y > 7$; 2) $x + y > 6$; 3) $x + y > 8$; 4) $xy > 12$; 5) $xy > 13$; 6) $xy > 10$?

1. Твердження правильне, оскільки при почленному додаванні правильних нерівностей $x > 3$ та $y > 4$ отримаємо $x + y > 7$.
2. Твердження правильне, оскільки якщо $x + y > 7$, то воно автоматично більше за $6$.
3. Твердження неправильне, оскільки сума $x + y$ може бути будь-яким числом, більшим за $7$ (наприклад, $7{,}1$), що не обов’язково більше за $8$.
4. Твердження правильне, оскільки за властивістю почленного множення нерівностей для додатних чисел $x > 3$ та $y > 4$ отримаємо $xy > 12$.
5. Твердження неправильне, оскільки добуток $xy$ може бути будь-яким числом, більшим за $12$ (наприклад, $12{,}5$), що не обов’язково більше за $13$.
6. Твердження правильне, оскільки якщо $xy > 12$, то воно автоматично більше за $10$.

3.16. Відомо, що $x < 3, y < 4$. Чи можна стверджувати, що $xy < 12$?

Стверджувати, що $xy < 12$, не можна. Властивість почленного множення нерівностей $a < c$ і $b < d \implies ab < cd$ справджується лише для додатних чисел. Якщо $x$ та $y$ будуть від’ємними (наприклад, $x = -10$ та $y = -10$), то їхні значення задовольняють умови $x < 3$ та $y < 4$, але їхній добуток $xy = 100$, що більше за $12$.

3.17. Відомо, що $-3 < x < 4, 1 < y < 4$. Оцініть значення виразу: 1) $x-y$; 2) $3x-y$; 3) $2y-x$; 4) $2x-3y$.

1. Оцінка виразу $x-y$:

Відомо:

• $-3 < x < 4$
• $1 < y < 4$

Знайти:

• Оцінити $x-y$

Розв’язання:
Для оцінки різниці додамо до нерівності для $x$ нерівність для $-y$:
$-4 < -y < -1$

$-3 + (-4) < x + (-y) < 4 + (-1)$
$-7 < x-y < 3$

Відповідь: $-7 < x-y < 3$.

2. Оцінка виразу $3x-y$:

Відомо:

• $-3 < x < 4$
• $1 < y < 4$

Знайти:

• Оцінити $3x-y$

Розв’язання:
Оцінимо $3x$:
$3 \cdot (-3) < 3x < 3 \cdot 4$
$-9 < 3x < 12$

Додамо до нерівності для $3x$ нерівність для $-y$ (де $-4 < -y < -1$):
$-9 + (-4) < 3x-y < 12 + (-1)$
$-13 < 3x-y < 11$

Відповідь: $-13 < 3x-y < 11$.

3. Оцінка виразу $2y-x$:

Відомо:

• $-3 < x < 4$
• $1 < y < 4$

Знайти:

• Оцінити $2y-x$

Розв’язання:
Оцінимо $2y$:
$2 \cdot 1 < 2y < 2 \cdot 4$
$2 < 2y < 8$

Оцінимо $-x$:
$-4 < -x < 3$

Додамо отримані нерівності:
$2 + (-4) < 2y-x < 8 + 3$
$-2 < 2y-x < 11$

Відповідь: $-2 < 2y-x < 11$.

4. Оцінка виразу $2x-3y$:

Відомо:

• $-3 < x < 4$
• $1 < y < 4$

Знайти:

• Оцінити $2x-3y$

Розв’язання:
Оцінимо $2x$:
$2 \cdot (-3) < 2x < 2 \cdot 4$
$-6 < 2x < 8$

Оцінимо $-3y$:
$-3 \cdot 4 < -3y < -3 \cdot 1$
$-12 < -3y < -3$

Додамо нерівності:
$-6 + (-12) < 2x-3y < 8 + (-3)$
$-18 < 2x-3y < 5$

Відповідь: $-18 < 2x-3y < 5$.

3.18. Відомо, що $-2 < a < 0, 3 < b < 5$. Оцініть значення виразу: 1) $a-b$; 2) $2a-b$; 3) $3b-a$; 4) $4a-5b$.

1. Оцінка виразу $a-b$:

Відомо:

• $-2 < a < 0$
• $3 < b < 5$

Знайти:

• Оцінити $a-b$

Розв’язання:
Оцінимо $-b$:
$-5 < -b < -3$

Додамо нерівності:
$-2 + (-5) < a-b < 0 + (-3)$
$-7 < a-b < -3$

Відповідь: $-7 < a-b < -3$.

2. Оцінка виразу $2a-b$:

Відомо:

• $-2 < a < 0$
• $3 < b < 5$

Знайти:

• Оцінити $2a-b$

Розв’язання:
Оцінимо $2a$:
$-4 < 2a < 0$

Додамо нерівність для $-b$ (де $-5 < -b < -3$):
$-4 + (-5) < 2a-b < 0 + (-3)$
$-9 < 2a-b < -3$

Відповідь: $-9 < 2a-b < -3$.

3. Оцінка виразу $3b-a$:

Відомо:

• $-2 < a < 0$
• $3 < b < 5$

Знайти:

• Оцінити $3b-a$

Розв’язання:
Оцінимо $3b$:
$9 < 3b < 15$

Оцінимо $-a$:
$0 < -a < 2$

Додамо нерівності:
$9 + 0 < 3b-a < 15 + 2$
$9 < 3b-a < 17$

Відповідь: $9 < 3b-a < 17$.

4. Оцінка виразу $4a-5b$:

Відомо:

• $-2 < a < 0$
• $3 < b < 5$

Знайти:

• Оцінити $4a-5b$

Розв’язання:
Оцінимо $4a$:
$-8 < 4a < 0$

Оцінимо $-5b$:
$-25 < -5b < -15$

Додамо нерівності:
$-8 + (-25) < 4a-5b < 0 + (-15)$
$-33 < 4a-5b < -15$

Відповідь: $-33 < 4a-5b < -15$.

3.19. Дано: $5 < a < 10, 1 < b < 2$. Оцініть значення виразу: 1) $\dfrac{a}{b}$; 2) $\dfrac{4b}{3a}$.

1. Оцінка виразу $\dfrac{a}{b}$:

Відомо:

• $5 < a < 10$
• $1 < b < 2$

Знайти:

• Оцінити $\dfrac{a}{b}$

Розв’язання:
Запишемо частку як добуток: $\dfrac{a}{b} = a \cdot \dfrac{1}{b}$.
Оцінимо $\dfrac{1}{b}$:
$\dfrac{1}{2} < \dfrac{1}{b} < 1$

Почленно перемножимо нерівності для $a$ та $\dfrac{1}{b}$:
$5 \cdot \dfrac{1}{2} < a \cdot \dfrac{1}{b} < 10 \cdot 1$
$2{,}5 < \dfrac{a}{b} < 10$

Відповідь: $2{,}5 < \dfrac{a}{b} < 10$.

2. Оцінка виразу $\dfrac{4b}{3a}$:

Відомо:

• $5 < a < 10$
• $1 < b < 2$

Знайти:

• Оцінити $\dfrac{4b}{3a}$

Розв’язання:
Оцінимо $4b$:
$4 < 4b < 8$

Оцінимо $3a$:
$15 < 3a < 30$

Оцінимо $\dfrac{1}{3a}$:
$\dfrac{1}{30} < \dfrac{1}{3a} < \dfrac{1}{15}$

Почленно перемножимо нерівності для $4b$ та $\dfrac{1}{3a}$:
$4 \cdot \dfrac{1}{30} < \dfrac{4b}{3a} < 8 \cdot \dfrac{1}{15}$
$\dfrac{2}{15} < \dfrac{4b}{3a} < \dfrac{8}{15}$

Відповідь: $\dfrac{2}{15} < \dfrac{4b}{3a} < \dfrac{8}{15}$.

РОЗВ’ЯЖІТЬ ЗАДАЧІ ТА ВИКОНАЙТЕ ВПРАВИ

3.20. Дано: $2 < x < 4$, $1 < y < 5$. Оцініть значення виразу: 1) $\dfrac{x}{y}$; 2) $\dfrac{5y}{2x}$.

1. Оцінимо частку $\dfrac{x}{y}$ як добуток $x \cdot \dfrac{1}{y}$.

Відомо:

• $2 < x < 4$
• $1 < y < 5$

Розв’язання:
Оскільки $1 < y < 5$, то за властивістю числових нерівностей:
$\dfrac{1}{5} < \dfrac{1}{y} < \dfrac{1}{1}$, тобто $0,2 < \dfrac{1}{y} < 1$.

Перемножимо нерівності $2 < x < 4$ та $0,2 < \dfrac{1}{y} < 1$:
$2 \cdot 0,2 < x \cdot \dfrac{1}{y} < 4 \cdot 1$

$0,4 < \dfrac{x}{y} < 4$

2. Оцінимо вираз $\dfrac{5y}{2x}$ як добуток $5y \cdot \dfrac{1}{2x}$.

Розв’язання:
Оцінимо $5y$:
$5 \cdot 1 < 5y < 5 \cdot 5$
$5 < 5y < 25$

Оцінимо $2x$:
$2 \cdot 2 < 2x < 2 \cdot 4$
$4 < 2x < 8$

Оцінимо $\dfrac{1}{2x}$:
$\dfrac{1}{8} < \dfrac{1}{2x} < \dfrac{1}{4}$, тобто $0,125 < \dfrac{1}{2x} < 0,25$.

Перемножимо нерівності $5 < 5y < 25$ та $0,125 < \dfrac{1}{2x} < 0,25$:
$5 \cdot 0,125 < 5y \cdot \dfrac{1}{2x} < 25 \cdot 0,25$

$0,625 < \dfrac{5y}{2x} < 6,25$

3.21. Поле має форму прямокутника зі сторонами $a$ км і $b$ км. Оцініть периметр $P$ поля, якщо $2,3 < a < 2,5$, $3,1 < b < 3,7$.

Відомо:

• $2,3 < a < 2,5$
• $3,1 < b < 3,7$

Знайти:

• $P-?$

Розв’язання:
Периметр прямокутника обчислюється за формулою:
$P = 2(a + b)$

Додамо почленно нерівності для сторін $a$ та $b$:
$2,3 + 3,1 < a + b < 2,5 + 3,7$
$5,4 < a + b < 6,2$

Помножимо всі частини нерівності на 2:
$2 \cdot 5,4 < 2(a + b) < 2 \cdot 6,2$
$10,8 < P < 12,4$

Відповідь: $10,8 < P < 12,4$.

3.22. Оцініть, скільки тасьми (у см) знадобиться дівчині, щоб обшити цей елемент одягу, якщо $10 < x < 12$, $9 < y < 11$.

Відомо:

• $10 < x < 12$ (основа рівнобедреного трикутника)
• $9 < y < 11$ (бічна сторона рівнобедреного трикутника)

Знайти:

• $L-?$ (периметр трикутника)

Розв’язання:
Для рівнобедреного трикутника довжина тасьми $L$ відповідає його периметру:
$L = x + 2y$

Оцінимо значення $2y$:
$2 \cdot 9 < 2y < 2 \cdot 11$
$18 < 2y < 22$

Додамо почленно нерівності для $x$ та $2y$:
$10 + 18 < x + 2y < 12 + 22$
$28 < L < 34$

Відповідь: дівчині знадобиться від 28 см до 34 см тасьми.

3.23. Оцініть міру кута $A$ трикутника $ABC$, якщо $50^\circ < \angle B < 52^\circ$, $60^\circ < \angle C < 65^\circ$.

Відомо:

• $50^\circ < \angle B < 52^\circ$
• $60^\circ < \angle C < 65^\circ$

Знайти:

• $\angle A-?$

Розв’язання:
Сума кутів трикутника дорівнює $180^\circ$, тому $\angle A = 180^\circ-(\angle B + \angle C)$.

Оцінимо суму $(\angle B + \angle C)$:
$50^\circ + 60^\circ < \angle B + \angle C < 52^\circ + 65^\circ$
$110^\circ < \angle B + \angle C < 117^\circ$

Помножимо нерівність на $-1$, змінюючи знаки:
$-117^\circ < -(\angle B + \angle C) < -110^\circ$

Додамо до всіх частин $180^\circ$:
$180^\circ-117^\circ < 180^\circ-(\angle B + \angle C) < 180^\circ-110^\circ$
$63^\circ < \angle A < 70^\circ$

Відповідь: $63^\circ < \angle A < 70^\circ$.

3.24. Дано: $a > 4$, $b < -3$. Доведіть, що: 1) $a-b > 7$; 2) $2a-b > 11$; 3) $5b-a < -19$; 4) $6b-11a < -60$.

1. Доведемо, що $a-b > 7$.
   Якщо $b < -3$, то $-b > 3$.
   Додамо почленно нерівності $a > 4$ та $-b > 3$:
   $a + (-b) > 4 + 3$
   $a-b > 7$. Нерівність доведено.
2. Доведемо, що $2a-b > 11$.
   Оцінимо $2a$: $2 \cdot a > 2 \cdot 4 \Rightarrow 2a > 8$.
   Оцінимо $-b$: $b < -3 \Rightarrow -b > 3$.
   Додамо нерівності: $2a + (-b) > 8 + 3 \Rightarrow 2a-b > 11$. Нерівність доведено.
3. Доведемо, що $5b-a < -19$.
   Оцінимо $5b$: $5 \cdot b < 5 \cdot (-3) \Rightarrow 5b < -15$.
   Оцінимо $-a$: $a > 4 \Rightarrow -a < -4$.
   Додамо нерівності: $5b + (-a) < -15 + (-4) \Rightarrow 5b-a < -19$. Нерівність доведено.
4. Доведемо, що $6b-11a < -60$.
   Оцінимо $6b$: $6 \cdot b < 6 \cdot (-3) \Rightarrow 6b < -18$.
   Оцінимо $-11a$: $a > 4 \Rightarrow -11a < -44$.
   Додамо нерівності: $6b + (-11a) < -18 + (-44) \Rightarrow 6b-11a < -62$.
   Оскільки $6b-11a < -62$, а $-62 < -60$, то нерівність $6b-11a < -60$ є правильною. Нерівність доведено.

РОЗВ’ЯЖІТЬ ЗАДАЧІ ТА ВИКОНАЙТЕ ВПРАВИ

3.25. Дано: $m > 6, n < -1$. Доведіть, що: 1) $m-n > 7$; 2) $3m-n > 13$; 3) $2n-m < -8$; 4) $4n-5m < -34$.

1. Додамо нерівність $m > 6$ та нерівність $-n > 1$, яку отримали шляхом множення $n < -1$ на $-1$:
   $m + (-n) > 6 + 1$
   $m-n > 7$.
2. Помножимо нерівність $m > 6$ на $3$, отримаємо $3m > 18$. Помножимо нерівність $n < -1$ на $-1$, отримаємо $-n > 1$. Додамо отримані нерівності:
   $3m + (-n) > 18 + 1$
   $3m-n > 19$.
   Оскільки $19 > 13$, то $3m-n > 13$.
3. Помножимо нерівність $n < -1$ на $2$, отримаємо $2n < -2$. Помножимо нерівність $m > 6$ на $-1$, отримаємо $-m < -6$. Додамо отримані нерівності:
   $2n + (-m) < -2 + (-6)$
   $2n-m < -8$.
4. Помножимо нерівність $n < -1$ на $4$, отримаємо $4n < -4$. Помножимо нерівність $m > 6$ на $-5$, отримаємо $-5m < -30$. Додамо отримані нерівності:
   $4n + (-5m) < -4 + (-30)$
   $4n-5m < -34$.

3.26. Доведіть нерівність: 1) $(x^3 + y)(x + y^3) \ge 4x^2y^2$, якщо $x \ge 0, y \ge 0$; 2) $(m + 6)(n + 3)(p + 2) \ge 48\sqrt{mnp}$, якщо $m \ge 0, n \ge 0, p \ge 0$; 3) $(a + 1)(b + 1)(c + 1) > 32$, якщо $a > 0, b > 0, c > 0$ і $abc = 16$.

1. За нерівністю Коші для невід’ємних чисел:
   $x^3 + y \ge 2\sqrt{x^3y}$
   $x + y^3 \ge 2\sqrt{xy^3}$
   Перемножимо ці нерівності:
   $(x^3 + y)(x + y^3) \ge 2\sqrt{x^3y} \cdot 2\sqrt{xy^3}$
   $(x^3 + y)(x + y^3) \ge 4\sqrt{x^4y^4}$
   $(x^3 + y)(x + y^3) \ge 4x^2y^2$.
2. Застосуємо нерівність Коші до кожної дужки:
   $m + 6 \ge 2\sqrt{6m}$
   $n + 3 \ge 2\sqrt{3n}$
   $p + 2 \ge 2\sqrt{2p}$
   Перемножимо ці нерівності:
   $(m + 6)(n + 3)(p + 2) \ge 2\sqrt{6m} \cdot 2\sqrt{3n} \cdot 2\sqrt{2p}$
   $(m + 6)(n + 3)(p + 2) \ge 8\sqrt{36mnp}$
   $(m + 6)(n + 3)(p + 2) \ge 48\sqrt{mnp}$.
3. За нерівністю Коші:
   $a + 1 \ge 2\sqrt{a}$
   $b + 1 \ge 2\sqrt{b}$
   $c + 1 \ge 2\sqrt{c}$
   Перемноживши їх, отримаємо:
   $(a + 1)(b + 1)(c + 1) \ge 8\sqrt{abc}$
   Підставимо $abc = 16$:
   $(a + 1)(b + 1)(c + 1) \ge 8\sqrt{16} = 8 \cdot 4 = 32$.
   Оскільки рівність $x + 1 = 2\sqrt{x}$ можлива лише при $x = 1$, а за умовою $abc = 16$ (тобто змінні не можуть одночасно дорівнювати $1$), то нерівність є строгою:
   $(a + 1)(b + 1)(c + 1) > 32$.

3.27. Доведіть нерівність: 1) $(mn + 1)(m + n) \ge 4mn$, якщо $m \ge 0, n \ge 0$; 2) $(a + 2c)(b + 2a)(c + 2b) \ge 16\sqrt{2}abc$, якщо $a \ge 0, b \ge 0, c \ge 0$; 3) $(x + 3)(y + 3)(z + 3) > 72$, якщо $x > 0, y > 0, z > 0$ і $xyz = 3$.

1. Використаємо нерівність Коші для кожної дужки:
   $mn + 1 \ge 2\sqrt{mn}$
   $m + n \ge 2\sqrt{mn}$
   Перемножимо результати:
   $(mn + 1)(m + n) \ge 2\sqrt{mn} \cdot 2\sqrt{mn}$
   $(mn + 1)(m + n) \ge 4mn$.
2. Використаємо нерівність Коші:
   $a + 2c \ge 2\sqrt{2ac}$
   $b + 2a \ge 2\sqrt{2ab}$
   $c + 2b \ge 2\sqrt{2bc}$
   Перемножимо нерівності:
   $(a + 2c)(b + 2a)(c + 2b) \ge 8\sqrt{8a^2b^2c^2}$
   $(a + 2c)(b + 2a)(c + 2b) \ge 8 \cdot 2\sqrt{2}abc$
   $(a + 2c)(b + 2a)(c + 2b) \ge 16\sqrt{2}abc$.
3. За нерівністю Коші:
   $x + 3 \ge 2\sqrt{3x}$
   $y + 3 \ge 2\sqrt{3y}$
   $z + 3 \ge 2\sqrt{3z}$
   Перемноживши їх, маємо:
   $(x + 3)(y + 3)(z + 3) \ge 8\sqrt{27xyz}$
   Підставимо $xyz = 3$:
   $(x + 3)(y + 3)(z + 3) \ge 8\sqrt{27 \cdot 3} = 8\sqrt{81} = 8 \cdot 9 = 72$.
   Оскільки рівність досягається лише при $x=3, y=3, z=3$, що суперечить умові $xyz=3$, то нерівність є строгою:
   $(x + 3)(y + 3)(z + 3) > 72$.

3.28. Доведіть нерівність: 1) $x + \dfrac{1}{x} + y + \dfrac{1}{y} \ge 4$, якщо $x > 0, y > 0$; 2) $(1 + x + \dfrac{1}{x})(1 + y + \dfrac{1}{y}) \ge 9$, якщо $x > 0, y > 0$.

1. Для будь-якого додатного числа $a$ виконується нерівність $a + \dfrac{1}{a} \ge 2$. Застосуємо це для $x$ та $y$:
   $x + \dfrac{1}{x} \ge 2$
   $y + \dfrac{1}{y} \ge 2$
   Додамо ці нерівності:
   $x + \dfrac{1}{x} + y + \dfrac{1}{y} \ge 4$.
2. Використовуючи властивість $a + \dfrac{1}{a} \ge 2$, оцінимо кожну дужку:
   $1 + x + \dfrac{1}{x} \ge 1 + 2 = 3$
   $1 + y + \dfrac{1}{y} \ge 1 + 2 = 3$
   Перемножимо ці нерівності для додатних значень:
   $(1 + x + \dfrac{1}{x})(1 + y + \dfrac{1}{y}) \ge 3 \cdot 3$
   $(1 + x + \dfrac{1}{x})(1 + y + \dfrac{1}{y}) \ge 9$.

ЖИТТЄВА МАТЕМАТИКА

3.29. 1) Оцініть (у грамах) масу $M$ п’яти таких пакетів разом з упаковкою, якщо маса однієї упаковки (пакета) 5 г, а $24{,}5 < m_1 < 25{,}2$, $26 < m_2 < 26{,}5$.

Відомо:

• $n_1 = 10$ (кількість білих цукерок у пакеті)
• $n_2 = 12$ (кількість чорних цукерок у пакеті)
• $m_{upak} = 5\text{ г}$ (маса однієї порожньої упаковки)
• $24{,}5 < m_1 < 25{,}2$ (маса однієї білої цукерки)
• $26 < m_2 < 26{,}5$ (маса однієї чорної цукерки)

Знайти:

• $M-?$ (маса 5 повних пакетів)

Розв’язання:

Загальна маса п’яти пакетів разом з упаковкою обчислюється за формулою:
$M = 5 \cdot (10 \cdot m_1 + 12 \cdot m_2 + 5) = 50m_1 + 60m_2 + 25$

Оцінимо значення $50m_1$:
$50 \cdot 24{,}5 < 50m_1 < 50 \cdot 25{,}2$
$1225 < 50m_1 < 1260$

Оцінимо значення $60m_2$:
$60 \cdot 26 < 60m_2 < 60 \cdot 26{,}5$
$1560 < 60m_2 < 1590$

Додамо отримані нерівності та додамо 25:
$1225 + 1560 + 25 < 50m_1 + 60m_2 + 25 < 1260 + 1590 + 25$
$2810 < M < 2875$

Відповідь: $2810 < M < 2875\text{ г}$.

3.29

ПРОЄКТНА ДІЯЛЬНІСТЬ

2) Оцініть масу харчових продуктів разом з упаковкою у вибраному пакуванні. Визначте її мінімальне та максимальне значення.

Для оцінювання обрано пакування з 10 плитками шоколаду. Маса однієї плитки $m_{п}$ коливається в межах від $98\text{ г}$ до $102\text{ г}$. Маса картонної коробки $m_{к}$ становить від $30\text{ г}$ до $40\text{ г}$.

Оцінка загальної маси $M = 10 \cdot m_{п} + m_{к}$:

$10 \cdot 98 + 30 \le M \le 10 \cdot 102 + 40$

$980 + 30 \le M \le 1020 + 40$

$1010 \le M \le 1060$

Мінімальне значення маси становить $1010\text{ г}$, максимальне — $1060\text{ г}$.

ВПРАВИ ДЛЯ ПОВТОРЕННЯ

3.30. Виконайте дії:

1. $\dfrac{4c^2-4c + 1}{5c + 5} \cdot \dfrac{c + 1}{2c-1}$

Покрокове розв’язання:

Розкладемо чисельник першого дробу за формулою квадрата різниці, а знаменник — винесенням спільного множника за дужки:
$4c^2-4c + 1 = (2c-1)^2$
$5c + 5 = 5(c + 1)$

Запишемо добуток дробів:
$\dfrac{(2c-1)^2}{5(c + 1)} \cdot \dfrac{c + 1}{2c-1}$

Скоротимо дріб на множники $(c + 1)$ та $(2c-1)$:
$\dfrac{2c-1}{5}$

2. $\dfrac{p-2}{m^2 + 2m} : \dfrac{p-2}{5m + 10}$

Покрокове розв’язання:

Замінимо ділення множенням на обернений дріб та розкладемо знаменники на множники:
$m^2 + 2m = m(m + 2)$
$5m + 10 = 5(m + 2)$

Запишемо вираз:
$\dfrac{p-2}{m(m + 2)} \cdot \dfrac{5(m + 2)}{p-2}$

Скоротимо дріб на множники $(p-2)$ та $(m + 2)$:
$\dfrac{5}{m}$

3.31. 1) Після змішування 6-відсоткового і 3-відсоткового розчинів солі отримали 300 г 4-відсоткового розчину. По скільки грамів кожного розчину було змішано?

Відомо:

• $C_1 = 6% = 0{,}06$
• $C_2 = 3% = 0{,}03$
• $m_{суміші} = 300\text{ г}$
• $C_{суміші} = 4% = 0{,}04$

Знайти:

• $m_1-?$
• $m_2-?$

Розв’язання:

Нехай $m_1$ — маса першого розчину, тоді $m_2 = 300-m_1$ — маса другого розчину.
Маса солі в першому розчині становить $0{,}06 \cdot m_1$, у другому — $0{,}03 \cdot (300-m_1)$.
Маса солі в отриманій суміші становить $300 \cdot 0{,}04 = 12\text{ г}$.

Складемо рівняння:
$0{,}06 \cdot m_1 + 0{,}03 \cdot (300-m_1) = 12$

$0{,}06 \cdot m_1 + 9-0{,}03 \cdot m_1 = 12$

$0{,}03 \cdot m_1 = 12-9$

$0{,}03 \cdot m_1 = 3$

$m_1 = \dfrac{3}{0{,}03} = 100\text{ г}$

Маса другого розчину:
$m_2 = 300-100 = 200\text{ г}$

Відповідь: 100 г 6-відсоткового розчину та 200 г 3-відсоткового розчину.

3.31. 2) Проєктна діяльність. Змоделюйте приготування соляного розчину в побутових умовах. Обґрунтуйте вибір пропорцій компонентів.

Для приготування $500\text{ г}$ антисептичного розчину для промивання горла з концентрацією $1%$ необхідно змішати сіль та воду.

Обґрунтування пропорцій:
Концентрація $1%$ є безпечною для слизової оболонки. Для отримання такої концентрації потрібно $500 \cdot 0{,}01 = 5\text{ г}$ солі (приблизно 1 чайна ложка без гірки). Решта маси — це вода: $500-5 = 495\text{ г}$ (приблизно $495\text{ мл}$).

Модель приготування:

1. Зважити $5\text{ г}$ кухонної солі.
2. Відміряти $495\text{ мл}$ теплої кип’яченої води.
3. Ретельно перемішати компоненти до повного розчинення солі.

3.32. Обчисліть: $\dfrac{\sqrt{5}-\sqrt{2}}{\sqrt{5} + \sqrt{2}} + \dfrac{\sqrt{5} + \sqrt{2}}{\sqrt{5}-\sqrt{2}}$

Покрокове розв’язання:

Зведемо дроби до спільного знаменника $(\sqrt{5} + \sqrt{2})(\sqrt{5}-\sqrt{2})$:

$\dfrac{(\sqrt{5}-\sqrt{2})^2 + (\sqrt{5} + \sqrt{2})^2}{(\sqrt{5} + \sqrt{2})(\sqrt{5}-\sqrt{2})}$

Застосуємо формулу різниці квадратів у знаменнику та формули квадрата суми/різниці у чисельнику:
Знаменник: $(\sqrt{5})^2-(\sqrt{2})^2 = 5-2 = 3$.
Чисельник: $((\sqrt{5})^2-2 \cdot \sqrt{5} \cdot \sqrt{2} + (\sqrt{2})^2) + ((\sqrt{5})^2 + 2 \cdot \sqrt{5} \cdot \sqrt{2} + (\sqrt{2})^2)$

Чисельник: $(5-2\sqrt{10} + 2) + (5 + 2\sqrt{10} + 2) = 7-2\sqrt{10} + 7 + 2\sqrt{10} = 14$

Виконаємо ділення:
$\dfrac{14}{3} = 4\dfrac{2}{3}$

Відповідь: $4\dfrac{2}{3}$.

ВПРАВИ ДЛЯ ПОВТОРЕННЯ

3.33. Побудуйте графік функції $y = \dfrac{12-6x}{x^2-2x}$.

Розв’язання:

Знайдемо область визначення функції:
$x^2-2x \neq 0$
$x(x-2) \neq 0$
$x \neq 0$ і $x \neq 2$

Спростимо вираз функції:
$y = \dfrac{6(2-x)}{x(x-2)} = \dfrac{-6(x-2)}{x(x-2)} = -\dfrac{6}{x}$

Отже, графіком функції є гіпербола $y = -\dfrac{6}{x}$

.

ЖИТТЄВА МАТЕМАТИКА

3.34. 1) Знайдіть швидкість у кілометрах за годину в момент, коли спідометр показує 60 миль за годину. Відповідь округліть до десятих км/год.

Дано:

• $v_{милі} = 60\text{ миль/год}$
• $1\text{ миля} = 1609\text{ м} = 1{,}609\text{ км}$

Знайти:

• $v_{км}-?$

Розв’язання:
$v_{км} = v_{милі} \cdot 1{,}609$

$v_{км} = 60 \cdot 1{,}609 = 96{,}54\text{ км/год}$

Округлимо до десятих: $96{,}5\text{ км/год}$.

Відповідь: 96,5 км/год.

3.34. 2) Знайдіть абсолютну похибку (у км/год) такого обчислення, якщо спідометр показує 70 миль за годину.

Дано:

• $v_{милі} = 70\text{ миль/год}$
• $k_{точне} = 1{,}609$
• $k_{набл} = 1{,}6$

Знайти:

• $\Delta-?$

Розв’язання:
Знайдемо точне значення швидкості:
$v_{точне} = 70 \cdot 1{,}609 = 112{,}63\text{ км/год}$

Знайдемо наближене значення швидкості:
$v_{набл} = 70 \cdot 1{,}6 = 112\text{ км/год}$

Знайдемо абсолютну похибку:
$\Delta = |v_{точне}-v_{набл}|$

$\Delta = |112{,}63-112| = 0{,}63\text{ км/год}$

Відповідь: 0,63 км/год.

ПІДГОТУЙТЕСЯ ДО ВИВЧЕННЯ НОВОГО МАТЕРІАЛУ

3.35. Чи є число 2 розв’язком рівняння:

1. $2x-1 = 5$;
   $2 \cdot 2-1 = 3 \neq 5$.
   Число 2 не є розв’язком.
2. $x^2 + x = 6$;
   $2^2 + 2 = 4 + 2 = 6$.
   Число 2 є розв’язком.
3. $3x-7 = -1$;
   $3 \cdot 2-7 = 6-7 = -1$.
   Число 2 є розв’язком.
4. $x^2 + x + 9 = 2x + 7$;
   $2^2 + 2 + 9 = 15$;
   $2 \cdot 2 + 7 = 11$;
   $15 \neq 11$.
   Число 2 не є розв’язком.
5. $x^3 + x^2 + x = 14$;
   $2^3 + 2^2 + 2 = 8 + 4 + 2 = 14$.
   Число 2 є розв’язком.
6. $\dfrac{x + 8}{x-1} = 10$;
   $\dfrac{2 + 8}{2-1} = \dfrac{10}{1} = 10$.
   Число 2 є розв’язком.

3.36. Чи правильна нерівність $25-x > 20$, якщо $x = -5; 3; 5; 11$?

• При $x = -5$: $25-(-5) = 30 > 20$. Нерівність правильна.
• При $x = 3$: $25-3 = 22 > 20$. Нерівність правильна.
• При $x = 5$: $25-5 = 20$, що не більше 20. Нерівність неправильна.
• При $x = 11$: $25-11 = 14$, що менше 20. Нерівність неправильна.

ПІДГОТУЙТЕСЯ ДО ВИВЧЕННЯ НОВОГО МАТЕРІАЛУ

3.37. До кожної нерівності доберіть два таких значення x, щоб для кожного з них вона була правильною: 1) x ≥ 5; 2) x < -2; 3) x + 7 > 9; 4) x – 3 ≤ 0; 5) 2x ≥ 9; 6) -3x < -12.

1. Для нерівності $x \geq 5$ правильними значеннями є $x = 5$ та $x = 10$.
2. Для нерівності $x < -2$ правильними значеннями є $x = -3$ та $x = -10$.
3. Для нерівності $x + 7 > 9$, що рівносильна $x > 2$, правильними значеннями є $x = 3$ та $x = 5$.
4. Для нерівності $x-3 \leq 0$, що рівносильна $x \leq 3$, правильними значеннями є $x = 3$ та $x = 0$.
5. Для нерівності $2x \geq 9$, що рівносильна $x \geq 4{,}5$, правильними значеннями є $x = 5$ та $x = 6$.
6. Для нерівності $-3x < -12$, що рівносильна $x > 4$, правильними значеннями є $x = 5$ та $x = 10$.

3.38. Які із запропонованих виразів є додатними для всіх значень змінної, а які — невід’ємними: 1) x^2; 2) (x – 3)^2 + 1; 3) (x + 5)^2; 4) (x + 7)^2 + 11?

1. Вираз $x^2$ є невід’ємним для всіх значень змінної, оскільки він може дорівнювати нулю при $x = 0$.
2. Вираз $(x-3)^2 + 1$ є додатним для всіх значень змінної, оскільки $(x-3)^2 \geq 0$, а додавання одиниці робить значення виразу більшим або рівним 1.
3. Вираз $(x + 5)^2$ є невід’ємним для всіх значень змінної, оскільки він може дорівнювати нулю при $x = -5$.
4. Вираз $(x + 7)^2 + 11$ є додатним для всіх значень змінної, оскільки $(x + 7)^2 \geq 0$, а додавання числа 11 робить значення виразу більшим або рівним 11.

ЦІКАВІ ЗАДАЧІ — ПОМІРКУЙ ОДНАЧЕ

3.39. (Українська математична олімпіада, 1962 р.) Знайдіть значення виразу a^3 + b^3 + 3(a^3b + ab^3) + 6(a^3b^2 + a^2b^3), де a і b — корені рівняння x^2 – x + q = 0.

Відомо:

• $x^2-x + q = 0$
• $a, b$ — корені рівняння

Знайти:

• $a^3 + b^3 + 3(a^3b + ab^3) + 6(a^3b^2 + a^2b^3)-?$

Розв’язання:

За теоремою Вієта для рівняння $x^2-x + q = 0$:
$a + b = 1$
$ab = q$

Перетворимо шуканий вираз, групуючи доданки та виносячи спільні множники за дужки:
$E = a^3 + b^3 + 3ab(a^2 + b^2) + 6a^2b^2(a + b)$

Виразимо суму квадратів через суму та добуток коренів:
$a^2 + b^2 = (a + b)^2-2ab = 1^2-2q = 1-2q$

Виразимо суму кубів через суму та добуток коренів:
$a^3 + b^3 = (a + b)(a^2-ab + b^2) = 1 \cdot (1-2q-q) = 1-3q$

Підставимо отримані значення у вираз $E$:
$E = (1-3q) + 3q \cdot (1-2q) + 6q^2 \cdot 1$

$E = 1-3q + 3q-6q^2 + 6q^2$

$E = 1$

Відповідь: 1.